2-3隐函数及参数方程确定的函数求导
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隐函数和由参数方程所确定的函数的导数
的隐函数，则 F[ x, y( x)] 0 ( x D)；
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
2021/4/22
2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
2021/4/22
14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
2°若隐函数 y y( x) ( x D)可由F ( x, y) 0中
解出，则称此隐函数可显化；
如：
确定了一个隐函数：y = y(x)
可显化：y 3 1 x.
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2
3°有些隐函数不易显化，甚至不能显化.
例1 e y xy 0 确定了一个隐函数：
y
t
2
,
t x 2
y
t2
( x)2
2
x2 4
故
消去参数 t
y 1 x. 2
问题: 消去参数困难或无法消去参数时，如何
求函数的导数?
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14
结论 (由参数方程所确定的函数的求导公式)
在
x y
(t) (t)
中，设
x
(t
)在某个区间上具有
单调且连续的反函数 t 1( x), 且能构成复合
5 y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
由原方程得 x = 0 时 y = 0 , 故
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例3-4 设 y x ex , 求其反函数的导数 . 解 (方法1)
(方法2) 等式两边同时对 y 求导
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f (x) 0 f (x) 0
当 f ( x) 0 时，y f ( x)
f (x)
y (ln x ) 1 ( x 0) x
当
f
(
x)
0
时，y
[
1 f(
x)]
[
f
(
x
2-3隐函数和参数方程的导数
《微积分 A》习题解答
(2) ⎨
⎧ x = θ (1 − sin θ ) ⎩ y = θ cos θ
解：
′ = 1 − sin θ − θ cos θ xθ ， ′ = cos θ − θ sin θ yθ
故
′ dy yθ cos θ − θ sin θ = = ′ 1 − sin θ − θ cos θ dx xθ
解： ln y = 4 ln( 3 − x ) +
1 ln( x + 2) − 5 ln( x + 1) ，两端同时对 x 求导： 2
y′ 4 1 5 (3 − x )4 x + 2 ⎛ 4 1 5 ⎞ ′ ⎜ ⎟ ，所以 y = = + − + − 5 ⎜ ⎟ y x − 3 2( x + 2) x + 1 ( x + 1) ⎝ x − 3 2( x + 2) x + 1 ⎠
由题意知
dr = 6m / s ， r ( 2) = 12 ， dt dr ds ds = 2π r ⋅ ，故 dt dt dt
s = π r2
两端对 t 求导得
= 2π r ⋅
t =2
dr = 144π ( m 2 / s ) dt
13. 一架巡逻直升机在距地面 3km 的高度以 120km / h 的常速沿着一水平笔直的高速路飞 行，飞行员观察到迎面驶来一辆汽车，通过雷达测出直升机与汽车间的距离为 5km ，且此 距离以 160km / h 的速率减少。试求汽车行驶的速度. 解：由图示建立坐标系，设时刻 t 直升机位于点 ( x1 ( t ), 3) 处，汽车位于点 ( x 2 ( t ), 0) 处， 直升机与汽车间的距离为 l ( t ) ，则有 l = ( x 2 − x 1 ) + 3 ，且已知
第二章第三节隐函数2-3
ln y v ln u 1 u v y v ln u y u u v v y u ( v ln u ) u
注意:
u v ln u v vu v 1 u y
按幂函数求导公式
按指数函数求导公式
S D
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
S D
例1. 求由方程 在 x = 0 处的导数
确定的隐函数
解: 方程两边对 x 求导
得
dy dy 1 21x 6 0 5y 2 dx dx 6 d y 1 21x 4 dx 5 y 2
4
因x=0时y=0, 故
S D
S D
S DS DFra bibliotek说明:
1) 对幂指函数 y u v 可用对数求导法求导 :
S D
S D
S D
S D
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数
则
(t ) 0 时, 有
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 d x d x d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) dt (此时看成 x 是 y 的函数 )
S D
第二章
第三节隐函数和参数方程所确定函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数
S D
一、隐函数的导数
若由方程 可确定 y 是 x 的函数 ,则称此 函数为隐函数 . 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数
隐函数、参数方程表示的函数求导
【再用隐函数求导法补证反三角函数的导数公式】 设 y = arcsin x，则 x = sin y，两边对 x 求导，得
dy 1 cos y dx
1 y . cos y
因为 ≤ y ≤ 时， cos y 取正号， 2 2
所以 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 .
v( x)
的情形.
( x 1)3 x 1 例7 设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
将 x = 4 代入方程，得 y = 1. 即对应于 x = 4 有两个纵坐标，这就是说曲线上有两个点 P1(4, 1) 和 P2(4, - 1).
在 P1 处的切线斜率 y|(4,1)= - 2， P2 处切线的 在 斜率 y|(4, - 1) = 2. 所以，在点 P1 处的切线方程为 y – 1 = - 2(x - 4) 即 y + 2x – 9 = 0 在点 P2 处的切线方程为 y + 1 = 2(x - 4)，即 y - 2x + 9 = 0
2 2 | v | v x v 2 v0 2v0 gt sina g 2 t 2， y
它的位置是在 t 时所对应的点处的切线上，且沿炮 弹的前进方向，其斜率为
dy v0 sina gt . dx v0 cosa
2v0 sina ， (2)令 y = 0，得中弹点所对应的时刻 t0 g
1 ( x 1)2 2 1 1 3 . 3 ( x 1)( x 2) x 1 x 1 x 2
2-3隐函数与参数方程求导法
(t )中, (t)
设函数x = (t)具有单调连续的反函数 t = (-1 x),
y = [ -1( x)]
再设函数 x = (t), y = (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dx
=
dy dt
dt dx
=
dy dt
1 dx
=
(t) (t)
即
dy dx
dt dy 之间也存在一定关系, 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率.
相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?
解决相关变化率问题,可采用如下步骤: (1) 建立x, y之间的关系式F ( x, y) = 0; (2) 用链式法则将关系式两端对t求导， 得x(t )与y(t )之间的关系式； (3) 从中解出所要求的变化率.
1
,
y = x sin x .
方法:
先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数.
--------对数求导法
适用于:
(1)幂指函数 u( x)v( x)的情形. (2)由多个函数相乘除的情形.
例5 设 y = ( x + 1)3 x - 1 , 求y. ( x + 4)2 e x
解 等式两边取对数得
线通过原点.
解 方程两边对x求导, 3x2 + 3 y2 y = 3 y + 3xy
y (3,3) 22
=
y - x2 y2 - x
= -1.
33 (,)
22
所求切线方程为 y - 3 = -( x - 3) 即 x + y - 3 = 0.
2
隐函数和参数方程求导、相关变化率
#
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
x＝ t t－1 例 6 求曲线 在 t＝ 0 点处的切线方程. y 1＋t e y － dx 解： 令 t 0 得切点 (0 , 1) ， 2t 1 dt
y dy dy dy e 由隐函数求导法： e y te y 解得 dt dt dt 1 te y dy dy 斜率 dt e 1 dx t 0 dx dt t 0
证毕 #
记住方法！
参数方程求二阶导数的 方法：
ψ t 将一阶导函数视作复合 关系 y ＝ ， t＝ 1 x t
则
d2y d dt d y d ψ t 1 ＝ y ＝ ＝ ＝ 2 dx dx dt dx dt t t
解： 如图所示 dx 水平速度 v x ＝ ＝v0 cos θ dt dy 垂直速度 v y ＝ ＝v0 sin θ －g t dt
y
vy v0 θ
α
v vx x
2
0
2
则t 时刻炮弹速度的
2 2
v0 sin θ－gt ＝ 大小：v＝ v x ＋v y ＝ v0 cos θ ＋
dy dy dt v0 sin θ－ gt 方向： tan α ＝ ＝ ＝ dx dx v0 cos θ dt
证：
由条件 x＝ t 单调、可导，且 t 0 ，
则反函数 t＝ 1 x 存在且可导， dt 1 ＝ dx t
视
y＝ t ， t＝ 1 x ，
由复合函数求导法则有 dy dy dy dt 1 ＝ ＝ t ＝ dt dx dt dx t dx dt
例3
解：
设 x , y 满足方程 cos x ＝sin y ， 求 y .
隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
rh
x
体积为 V
V,
13
则
R2h
R
1 3r2(hx)3hR22[h3(hx)3]
dV dt
故
dx dt
两边对 t 求导
R2 h2
(hx)2 d d
25h2
R2 (h x)2
x t ,
, 而 dV 25 (cm3
dt
当x h 时, dx 2 dt
r hx
第二章
第四节 隐函数及由参数方程 所确定的函数的导数
一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率 四、小结与思考题
2020/2/14
1
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一、隐函数的导数（Derivative of Implicit Function）
若由方程 F(x,y)0可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
dt
9 25
25
因此，当漏斗中水深为 12cm，水面下降速度为 1cm /s
时，桶中水面上升的速度为 16 cm /s． 25
2020/2/14
19
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例8 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升,
其速率为 140m min, 当气球高度为 500 m 时, 观察员
视线的仰角增加率是多少?
利用新的参数方程 dy (t) ,可得 dx (t)
d2 y d x2
d ( d y ) d (dy) d x d x dt dx
dx dt
(t)(t)(t)(t)
2 (t)
(t)
(t)(t)3 ( t)(t)(t)
理学求导法则续课隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
解法二：方程两边对 x 求导，注意到 y 是 x 的函数
得： 1 3y2 dy 0 dx
即：
dy 1 dx 3y2
由此可以看出，不管是否化为显函数，求 导结果都是一样的.
5
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例2 求由方程 ex e y xy3 (1 e) 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dx
dy dx
2t 3t
t3 t3
在t
0
处的切线方程和法线方程
解：
dy dy dt 3(1 t2 ) 3 (1 t)
dx dx 2(1 t) 2
dt
dy dx
t0
3 (1 0) 2
3 2
29
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当t 0时, x 0, y 0.
所求切线方程为
y 0 3 (x 0)
2
即
y3x 2
返回
二、求下列方程所确定的隐函数 y 的二阶导数d 2 y ： dx 2
1、y 1 xe y ； 2、 y tan( x y)； 3、x y y x ( x 0，y 0) .
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2 ；
2、y x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
25
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例9.
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解 dy dt a sin t sin t dx dx a a cos t 1 cos t
隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x (t ), y (t ),
t [ , ]为参数 .
若x (t )与y (t )都可导，且 (t ) 0. 又x (t )存在
反函数 t 1 ( x)，则y为x的复合函数 y ( 1 ( x)) ，即
y (t )，t 1 ( x).
Yunnan University
7
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
由复合函数与反函数的 求导法则，有
dy dy dy dt (t ) dt 1 (t ) ( ( x)) . dx dt dx (t ) dx dt
这即是参数方程所表示 函数的求导法，从而导 函数的
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法
设二元方程 F ( x, y) 0
确定了唯一的单值可导函数y f ( x)，求 dy . dx
例如: F ( x, y) x 2 y 2 R2 0可确定隐函数
y R 2 x 2，x [ R, R]，y [0, R]; 和 y R 2 x 2，x [ R, R]，y [ R,0].
4
§6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法
x2 y2 例3. 求 垂 直 于 直 线 l : 2 x 4 y 3 0并 与 双 曲 线 1 2 7 相切的直线方程。
解： 设双曲线上一点 ( x, y)的切线斜率为 k，则由隐函数求
导法，有
2x 2 y 7x y 0， 即 k y . 2 7 2y
即
y y( x) x x . y ( x) y
方 法I : 对 于 由 方 程 F ( x, y) 0确 定 的 隐 函 数 ， 只 需 用 应复 合 函 数 的 求 导 法 ， 对 恒 等 式方 或程 两 端 关 于 x求 导 数 ， 即 可 得 隐 函 数的导数（注意 y是x的 函 数 ） .
隐函数参数方程求导
dx dx
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
当 t 时, x a(2 1), y a.
2
2
所求切线方程为
即
y a x a( 1) y x a(2 2 )
x
2
y
cos
x
－sin
x
sin
x
2
2
y＝ －sin
x＝－cos
x
sin
x
3
2
y4＝ －cos x＝sin x ……
y (n) sin x n 即 (sin x)(n) sin x n
2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x)仍是 x
的可导函数，就称y f (x) 的导数为函数 f (x)
的二阶导数,记作
y，f
(x)
，d2 y d x2
或
d2 f (x) d x2
即
y
(
y)，f
(x)
[
f
(x)]
，d 2y dx2
两边对x求导
(含导数 y的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解： 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
a sin t sin t a a cos t 1 cos t
dt
dy dx
t 2
sin 2
1 cos
1.
当 t 时, x a(2 1), y a.
2
2
所求切线方程为
即
y a x a( 1) y x a(2 2 )
x
2
y
cos
x
－sin
x
sin
x
2
2
y＝ －sin
x＝－cos
x
sin
x
3
2
y4＝ －cos x＝sin x ……
y (n) sin x n 即 (sin x)(n) sin x n
2
13
四、高阶导数
如果函数 y f (x) 的导函数 y f (x)仍是 x
的可导函数，就称y f (x) 的导数为函数 f (x)
的二阶导数,记作
y，f
(x)
，d2 y d x2
或
d2 f (x) d x2
即
y
(
y)，f
(x)
[
f
(x)]
，d 2y dx2
两边对x求导
(含导数 y的方程)
3
例1. 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
y的导数 dy , dy dx dx
x0 .
解： 方程两边对x求导,
y x dy e x e y dy 0
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练习题答案
4 一 、 1、 ,； 3
2、 x + 11 y − 23 = 0 2、
2 2 e x+ y − y sin t + cos t 4、 , − 2 − 3 ； 5、 5、 4、 . x+ y cos t − sin t x−e
3、 3、
π
x− y+
π
= 0；
四、小结
隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 参数方程求导: 参数方程求导 相关变化率: 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式 求导法求解. 求导法求解.
练 习 题
填空： 填空： 1、 设 x 3 − 2 x 2 y + 5 xy 2 − 5 y + 1 = 0 确定了 dy y 是 x 的函数，则 的函数， =________ dx (1,1) 在点（ 曲线 x 3 + y 3 − xy = 7 在点 （ 1 ， 2 ） 处的切线方程是 ___________. π x = t cos t 处的法线方程________. 2、 曲线 在 t = 处的法线方程________. 2 y = t sin t x = e t cos t dy dy =______； 3、 已知 ,则 =______； =______. t dx dx t = π y = e sin t 3 dy 4、 设 xy = e x + y ,则 =________. dx
dy dy dt dy 1 ψ ′( t ) = ⋅ = ⋅ = dx dt dx dt dx ϕ ′( t ) dt
dy dy dt 即 = dx dx dt
x = arctan t dy ,求 . 例5、设 dx y = t + tan t
π x = a ( t − sin t ) 例6 求摆线 在t = 处的切线 方程 . 2 y = a (1 − cos t )
第三节 隐函数的导数和由参数 方程确定的函数ห้องสมุดไป่ตู้导数 一、 隐函数的导数 二、 由参数方程确定的函数的导数 三、 相关变化率
一、隐函数的导数
方 F 确 的 于 定义: 由 程 (x, y) = 0所 定 y关 x的 定义: 数 为 函 . 函 称 隐 数 y = f ( x ) 形式称为显函数 . F ( x, y) = 0 y = f ( x ) 隐函数的显化
∴ dt = 0.14 (弧度 / 秒 )
仰角增加率
设有一个正圆锥，其底半径以1.5cm/s的速度增 例9 设有一个正圆锥，其底半径以 的速度增 其高以3cm/s的速度减少，当半径为 的速度减少， 加，其高以 的速度减少 当半径为20cm,高为 高为 10cm时其体积的变化率多少？ 时其体积的变化率多少？ 时其体积的变化率多少
e
arctan
y x
二、由参数方程所确定的函数的导数
x =ϕ(t) 若 数 程 参 方 确 y与 间 函 关 , 定 x 的 数 系 y =ψ(t) 此 由 数 程 确 的 数 称 为 参 方 所 定 函 .
x = 2t , x 例如 消去参数 t t= 2 y = t , 2 2 x 2 x 1 2 ∴y=t =( ) = ∴ y′ = x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导? 问题: 消参困难或无法消参如何求导
x = ϕ( t ) 在方程 中, y = ψ( t )
设函数 x = ϕ ( t )具有单调连续的反函数 t = ϕ ( x ),
−1
∴ y = ψ [ϕ −1 ( x )]
再设函数 x = ϕ ( t ), y = ψ ( t )都可导, 且ϕ ( t ) ≠ 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
x = a cos 3 t 例7、求由方程 表示的函数的导数 . 3 y = a sin t
三、相关变化率
设 x = x ( t )及 y = y( t )都是可导函数 , 而变量 x与 dx y之间存在某种关系 , 从而它们的变化率 与 dt dy 之间也存在一定关系 , 这样两个相互依赖的 dt 变化率称为相关变化率 .
dy dy y的导数 , dx dx
x=0
.
例2 设曲线 C的方程为 x 3 + y 3 = 3 xy , 求过C上
3 3 点( , )的切线方程 , 并证明曲线 C在该点的法 2 2 线通过原点 .
例3：设x = y
y
sin x
, 求y′ .
dy 例4：求由 = 1所确定的函数的导数 。 2 2 dx x +y
相关变化率问题: 相关变化率问题: 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率? 已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率
例6 一汽球从离开观察员 500 米处离地面铅直
上升 , 其速率为 140 米 / 秒 .当气球高度为 500 米时 , 观察员视线的仰角增加 率是多少 ?
解 设气球上升 t秒后 , 其高度为 h, 观察员视线 的仰角为 α , 则 500米 h tanα = α 500 dα 1 dh 500米 2 = ⋅ 上式两边对 t求导得 sec α ⋅ dt 500 dt dh Q = 140米 / 秒, 当 h = 500米时, sec 2 α = 2 dt dα
例如： xy − e x + e y = 0 例如：
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则: 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导. 用复合函数求导法则直接对方程两边求导
例1 求由方程 xy − e x + e y = 0所确定的隐函数