毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
运动带电粒子的磁场载流子毕奥萨伐尔定律
磁通量(通过一定面积的磁力线数目，单位韦伯Wb)
S
B
匀强磁场
S
n
B
m BS
m B S BS cos
非匀强磁场
S
ds
S
n
B
ds
B
n
n
m
m B d S BdS cos
S S
B d S BdS cos
S S
通过某一曲面的总的磁通量，就是穿出与穿入的代数和。
(S ) (s)
注意：1）磁感应通量的单位：1韦伯＝1特斯拉×1米2 ，1Wb=1T×m2 2）磁感应强度的大小B可看成是通过单位面积的磁通量，即磁通密度。
3）如电力线的疏密度反映了电场强度的大小一样，磁感应线的疏密度也
反映了磁感应强度B的大小。即磁感应线密集的地方磁感应强度B大，磁感 应线稀疏的地方磁感应强度B小。
1.圆形积分回路
0 I 0 I B dl dl dl 0 I 2 r 2 r 2 r l 2 r
l
I
r
B dl I
0 l
B
l 与I 成右手螺旋关系
2.任意积分回路
L
B dl B cos dl
L
0 I cos dl 2 r L 0 I rd L 2r 0 I d 0 I L 2
§11-3 磁高斯定理、安培环路定理
一、磁高斯定理 (Gauss theorem)
1、磁感应线：像电场电力线一样，在磁场中也引入磁感应线
的概念，形象描绘磁场的分布。磁感应线上任意一点的切线方向 与该点的磁场方向一致，且穿过垂直于B的单位面积上的磁感应 线数，与B的大小相等。
《大学物理》第八章 毕萨定律S
”
. 例Id载ly任流意2长一r直解点导：P根线的取据，磁任毕其其感意—电在应电萨流P强流点定强度元产理度BI生d为l的I?，磁试场d计为B 算方：导向线为旁Idl r
ol
ro
P
dB
各电流元产生的
o Idlsin 4dB 方r向2 垂直纸面向里。
I
1
B dB
B
ab
dr
其中B adbr、0cd与B板 d面r 等 距B离 d。0r
bc
cd
da
B
c
Bab Bcd 2Bab
而 o Ii o j ab
B
1 2
o
j
. . . . 与P点到平板的距离无关。
dl
dl
aB
b
B
1 2
o
j
与P点到平板的距离无关。
)
0m 2x3
r
B
xP
2)
在圆心处（x=0）：
B
0 I
2R
（磁偶极子的场）
如考虑一段“圆弧形”载流线在圆心的磁场贡
献：
B 0I 2R 2
圆弧对圆心 所张的角
例 一直螺线管轴线上的磁场 B ?
已知：导线通有电流I，单位长度
B
2
oI R2
(
x2
R2
)
3 2
I
若令L 积分B回 d路r LL的L 绕B向dl 相反：0 若积分回L 路不包围电流I ： B
I
dr
0
L
B
r
I
L
L
几点注意事项：
毕奥萨伐尔定律与安培环路定理的关系
毕奥萨伐尔定律与安培环路定理的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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毕奥—萨伐尔定律,安培环路定理
长直线
长
内
直
圆
柱外
面
长 直
内
圆
柱 体
外
B 0I 2r
B0
第八章
B 0I 2r
B
0 Ir 2R 2
B 0I 2r
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
练习：求同轴B的的两分筒布状。导线通有等值反向的电流I,
(1) r R2 , B 0
R2
R1
(2)
R1
r
R2 ,
B
0I 2r
I
rI
(3) r R1, B 0
B • dl 0
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
安培环路定理
在稳恒磁场中，磁感应强度
B
在闭合曲线
上的环流，等于该闭合曲线所包围的电流的代
数和与真 空中的磁导率的乘积。即
B • dl 0 Ii
说明：
I4
I1 I2 I3
电流取正时与环路成右旋关系
l
B • dl 0 Ii
.. . . .
R1 R2
.. . .
..r...............
q
v
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
静电场 E dl 0
l
磁 场 B dl ?
1、圆形积分回路
B
dl
0I 2r
dl
0I
2r
dl
0I 2r
2r
B dl 0I
I
r
B
B
0I
2r
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
I
毕奥萨伐尔定律安培环路定律磁通连续原理
朱英伟
教案邮箱： 2015142536
第三章 恒定磁场
导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围 的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场， 称为恒定磁场。
恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。
实验测得电流回路 l’ 对电流回路 l 的作用力F
F 0
Idl (I 'dl ' eR )
4π l l'
R2
式中， 为真空中的磁导率 0
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
比较静电场与恒定磁场的知识结构和分析方法。
基本实验定律 (安培力定律） 磁感应强度（B）(毕奥—沙伐定律)
H 的旋度 基本方程 B 的散度
磁位(m) 分界面衔接条件 磁矢位（A）
数值法
边值问题
解析法
有限差分法 有限元法 分离变量法 镜像法
电感的计算 磁场能量及力 磁路及其计算
§3.0 磁力和磁场 磁感应强度
m IS
B
0m 2 x3
3.2 安培环路定律
考虑磁场矢量线积分的特性。 3.2.1 真空安培环路定律
首先计算简单实例——无限长直导线的磁场环量， 然后推广——认为任意情形下磁场的环量都满足特例的结果 这一结果称为安培环路定理。
3.2.2 媒质的磁化及一般形式安培定律
引入磁场强度 H ，得到一般形式的安培环路定律。
B Bxex
由毕奥萨伐尔定律导出安培环路定理
由毕奥萨伐尔定律导出安培环路定理好呀，咱们今天就来聊聊毕奥萨伐尔定律和安培环路定理，这可是一对好搭档，像老夫老妻一样，彼此相辅相成。
你可能会想，这俩定律有什么特别之处，能让人如此兴奋呢？别急，慢慢来，咱们一步步揭开它们的神秘面纱。
毕奥萨伐尔定律。
这名字听着就挺复杂，不过其实说白了，就是讲磁场和电流的关系。
想象一下，你在海边，看到水波荡漾。
电流就像那海浪，一波接一波，而磁场就是那些水波掀起的涟漪。
电流越强，涟漪就越大，形成的磁场也就越强。
是不是有点儿形象？你要是拿个电流计，把电流一开，磁场就像调皮的孩子一样，立马跑出来，四处捣乱。
这时候，你就能感受到电流产生的磁场影响了。
安培环路定理又是什么呢？听起来好像很严肃，其实它告诉我们，磁场和电流之间的关系更是深得不得了。
安培可真是个聪明的人，他意识到，磁场的形成不是随意的，而是有规律可循的。
就像你去一家餐馆，服务员会告诉你菜单上的菜如何搭配，磁场也是有自己的“菜单”的。
通过安培的定理，我们可以知道，围绕电流流动的路径，磁场会形成一个闭合的环路，就像是舞会上人们手拉手围成的圆圈。
电流在中间转悠，磁场就在旁边欢快地跳舞。
咱们就要把这俩定律捏合在一起，看看它们怎么亲密无间地合作。
想象一下你手里拿着一个导线，电流在里面欢快地游来游去。
根据毕奥萨伐尔定律，你知道这个电流会在周围制造出一个磁场，而这个磁场的强度和方向，取决于电流的强度和位置。
你绕着这个导线走一圈，就能用安培环路定理来测量这个磁场。
听起来像个科学实验，是吧？其实这就是物理学的魅力，越是深入，越是让人惊叹。
哦，还有一点要提的是，毕奥萨伐尔定律其实是从微观层面出发的，它告诉我们每一小段电流都会产生一个微小的磁场，而安培环路定理则把这些小磁场结合在一起，形成了一个整体的磁场。
就像是拼积木，每一块都有它的位置，最终组合成一座宏伟的建筑。
每当你看到这些小块搭起来，心里是不是也会产生一丝成就感呢？有趣的是，咱们在生活中也能见到这些原理的身影。
安培环路定理推导毕奥萨伐尔定律
安培环路定理是电磁学中非常重要的原理之一，它描述了磁场的环路积分与通过该环路的电流之间的关系。
而毕奥萨伐尔定律则是安培环路定理的应用，它指出了磁场的旋度与电流密度之间的关系。
本文将围绕这两个定律展开，从安培环路定理的推导开始，逐步深入探讨毕奥萨伐尔定律的相关内容。
1. 安培环路定理的推导安培环路定理是从麦克斯韦方程组中的法拉第电磁感应定律和高斯定理推导而来的。
首先我们回顾一下这两个定律的表达式：- 法拉第电磁感应定律：$\oint_{\partial \Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{\ell}=-\frac{\partial}{\partialt}\int_{\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$- 高斯定理：$\oint_{\partial V} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = \int_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V$其中，$\Sigma$ 为任意闭合曲面，$\partial \Sigma$ 为该闭合曲面的边界，$\mathbf{E}$ 为电场强度，$\mathbf{B}$ 为磁感应强度，$\mathbf{F}$ 为任意矢量场，$\mathbf{S}$ 为曲面的法向量，$\boldsymbol{\ell}$ 为曲线的切向量，$V$ 为任意闭合曲面围成的体积。
通过对法拉第电磁感应定律取环路积分，我们可以得到：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$再根据斯托克斯定理，上式可以转化为：$\oint_{\partial \gamma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = -\frac{\partial}{\partial t} \iint_{\Sigma}\nabla \times \mathbf{A} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$其中，$\mathbf{A}$ 为矢量势。
毕奥萨伐尔定律、安培环路定律、磁通连续原理
认为： 磁场力 = 电流 磁感应强度
定义：磁感应强度 B (又称磁通密度)
B 0 4π
I 'd l eR l R2
0
4π
I dl (r r) l r r 3 单位 T（Wb/m2）
——毕奥—沙伐定律的积分形式
磁场对回路电流的作用力 磁场对运动电荷的作用力
F l Id l B
f qv B
B, r
BH
r H
0
H
单向电流励磁
B Br
Hc 0
Hc
H
正反电流励磁和退磁
3.2 磁通连续性原理
为了形象地描述磁场, 引入磁感应线(也称磁力线)。
➢ 磁力线有以下特点: (1) 磁力线是无头无尾的闭合曲线(或两端伸向无 穷远处)。所以磁场是涡旋场。 (2) 磁力线与载流电路互相铰链(即每条磁力线都 围绕着载流导线)。 (3) 任两条磁力线都不相交。
解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dl，
B 0 Idl eR 4π L R2
式中 R 2 2 z 2
dl eR dz sin e dz sin e R dze
B
0
4π
L1
I dz
L2 ( 2 z 2 )3 2
0I [ L1 L2 ] 4π 2 L12 2 L22
Idl 是元电流，R 是两电流元之间距离。
两载流回路间的相互作用力
上式就是真空中的安培力定律。 ➢ 安培力定律是多年经实验验证的，是电磁学基础定律。
3.1.2 毕奥—沙伐定律 、磁感应强度
安培力定律公式可改写为：
F
Id l ( μ0
l
4π
l
I
d
l R2
eR
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8-4磁场的安培环路定理
一、 安培环路定理
r r 静电场 ∫ E ⋅ dl = 0 r r 磁 场 ∫ B⋅ dl = ?
I
l
r
r B
r µ0I B= 2πr
1、圆形积分回路 、
r r µ0 I dl ∫ B⋅ dl = ∫ 2πr µ0I µ0I = ∫ dl = 2πr ⋅ 2πr 2πr r
r r ∫ B • dl = µ0nabI
r ............... B
a
b
µ0nI 内 B= 外 0
第八章
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗
恒定电流的磁场
d
c
I
8-4磁场的安培环路定理 3. 环形载流螺线管 已知： 已知：I 、N、R1、R2 N——导线总匝数 导线总匝数 分析对称性 磁力线分布如图 作积分回路如图 方向 右手螺旋
实用条件
v << c
恒定电流的磁场
毕奥—萨伐尔定律 8-3 毕奥 萨伐尔定律
r r r µ0 qv × r0 B= 4π r 2 r v v r v v 若q < 0, B与v × r反向 若q > 0, B与v r
θ
−q
恒定电流的磁场
v ⊗B
⊕
+q
θ
v v
第八章
v v
µ0 NI B = 2πr 0 内 外
. . . .. .. .. . . . . . . . . . r . . R1 . . . . R2 . .. . .. . . . . ... B
O
R 1 R2
r
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 4. 无限大载流导体薄板 已知： 已知：导线中电流强度 I 单位长度导线匝数n 单位长度导线匝数 分析对称性 磁力线如图 作积分回路如图 ab、cd与导体板等距 与导体板等距
?
不变
?
I1
l
改变
I2
I1
I3
I2
I4
l
I3
第八章
位置移动 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
静电场
r r ∫ E ⋅ dl = 0
电场有保守性， 电场有保守性，它是 保守场， 保守场，或有势场
稳恒磁场 r r ∫ B⋅ dl = µ0 ∑Ii
i
磁场没有保守性， 磁场没有保守性，它是 非保守场， 非保守场，或无势场
毕奥—萨伐尔定律 8-3 毕奥 萨伐尔定律 任意载流导线在点 P 处的磁感强度
I
α
v v v v µ0 I dl × r B = ∫ dB = ∫ 3 4π r
磁感应强度矢量叠加
v Idl
r dB
P
r r
第八章
恒定电流的磁场
毕奥—萨伐尔定律 8-3 毕奥 萨伐尔定律
三、运动电荷的磁场
电流 电荷定向运动 r 电流元 Idl
. . . .. . .. . .
. . . . . . . ..
. . . . . . . .
r
R1 R2 .. .. . . . . .
第八章
恒定电流的磁场
I
8-4磁场的安培环路定理 计算环流 r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B • dl = µ0 NI
第八章 恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理
当场源分布具有高度对称性时 当场源分布具有高度对称性时，利用安培环路定理 高度对称性
I R
8-4磁场的安培环路定理
r 的方向判断如下： B的方向判断如下：
r
dS1
O
r r dB r
dB2
P
dB1
l
dS2
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 作积分环路并计算环流 如图
2 d π a + ∫c Bdl cos 0 + ∫d Bdl cos 2
b
a
.........
B = µ0 nI 2
c
d
板上下两侧为均匀磁场
恒定电流的磁场
第八章
8-4磁场的安培环路定理 讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 讨论：如图，两块无限大载流导体薄板平行放置。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 通有相反方向的电流。求磁场分布。 已知：导线中电流强度 I、单位长度导线匝数n 已知： 、单位长度导线匝数
µ0I 2 R π
r B
r B
I
R
O
r
恒定电流的磁场
第八章
8-4磁场的安培环路定理 讨论：长直载流圆柱面。已知： 讨论：长直载流圆柱面。已知：I、R
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
0 Ii = ∑ µ I 0 r<R r >R
I R
µ0I B 2πR
0 B= µ0I 2πr
B = µ0 nI 2
两板外侧 0 B= µ0nI 两板之间
第八章
⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ⊗ ⊗⊗⊗⊗⊗⊗
.........
恒定电流的磁场
r ∫ B⋅ dl = µ0I
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 改变电流方向 l
I
r
r B
µ0I B= 2πr
r r ∫ B⋅ dl = −µ0I
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 2、任意积分回路 、
r r ∫ B⋅ dl = ∫ Bcos θdl
µ0 I =∫ cosθdl 2πr µ0 I rdϕ =∫ 2πr µ0 I 2π = 2π r r ∫ B• dl = µ0I
r v 1 ∫ E • dS = ∑qi
s
ε0
r v ∫ B• dS = 0
磁力线闭合、 磁力线闭合、 无自由磁荷 磁场是无源场
恒定电流的磁场
电力线起于正电荷、 电力线起于正电荷、 止于负电荷。 止于负电荷。 静电场是有源场
第八章
r r 二、安培环路定理的应用 ∫ B• dl = µ0 ∑Ii
计算磁感应强度 1. 无限长载流圆柱导体 已知： 已知：I、R 电流沿轴向， 电流沿轴向，在截面上均匀分布 分析对称性 电流分布——轴对称 轴对称 电流分布 磁场分布——轴对称 轴对称 磁场分布
r 利用安培环路定理求 B
r r ∫ B • dl = µ0 I
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB
µ0
r>R
I R
r
r B
2πrB = µ0 I µ0 I B= 2πr
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 作积分环路并计算环流 如图
r r ∫ B • dl = ∫ Bdl = 2πrB r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B • dl = µ0 I′
I
r dB
b a .........
c
第八章 恒定电流的磁场
d
8-4磁场的安培环路定理 计算环流
r r b π c ∫ B • dl = ∫a Bdl cos 0 + ∫b Bdl cos
= B ⋅ ab + B ⋅ cd = 2B⋅ ab ⋅ r 利用安培环路定理求 B r r ∫ B• dl = µ0n⋅ ab⋅ I
第八章
.
I
r
dϕ
v B v θ dl
cosθdl = rdϕ
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 3、回路中包含多根电流 、
I1
I3
I2
I4
r r ∫ B • dl = µ0 ∑Ii
第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 4、回路不环绕电流 、
r µ0I B= 2πr
r r µ0I B ⋅ dl = cosθ1dl 1 2πr 1 r µI r B2 ⋅ dl = 0 cosθ2dl 2πr2
r B2
r2
.
r1
r B 1
dϕ
cos θ1dl = − r1dϕ
r r r B ⋅ dl + B2 ⋅ dl = 0 1
cos θ 2 dl = r2 dϕ r
第八章
r r ∫ B• dl = 0
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 安培环路定理
v 在稳恒磁场中， 在稳恒磁场中，磁感应强度 B 在闭合曲线
I πr 2 = µ0 πR2
r<R
I R
I′
r B
µ0
r
µ0 Ir B= 2 2πR 第八章
恒定电流的磁场
8-4磁场的安培环路定理 结论：无限长载流圆柱导体。已知： 结论：无限长载流圆柱导体。已知：I、R µ0 Ir r≤R 2 R2 π B= µ0 I r≥R 2 r B π
⊕ ⊕ ⊕
⊕ q⊕ ⊕
r v
I S
dl
r r r µ0 Idl × r µ nSqdlv × r = 0 dB = 4π r3 4π r3
Q qnSl I= = = qnSv t t r r
r r r µ0 qdNv × r dB = 4π r3
第八章
dN = nSdl
r r r µ0 qv × r B= 3 4π r
v 的分布。 求B 的分布。
(1) r > R2 , B = 0
µ0 I (2) R < r < R2 , B = 1 2πr
R2
R 1
I
r I
(3) r < R , B = 0 1
第八章 恒定电流的磁场