线性规划问题中目标函数常见类型梳理

线性规划问题中目标函数常见类型梳理线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。

本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。

一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）由于线性规划的目标函数：z ax by b =+≠()0可变形为y a b x z b =-+，则z b 为直线y a b x zb=-+的纵截距，那么我们在用线性规划求最值时便可以得到如下结论： （1）当b >0时，直线y a b x zb=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，便是z 取得最大值的点；反之，使纵截距取得最小值的点，就是z 取得最小值的点。

（2）当b <0时，与b >0时情形正好相反，直线y a b x zb=-+所经过可行域上的点使其纵截距最大时，是z 取得最小值的点；使纵截距取得最小值的点，便是z 取得最大值的点。

例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）A ．5B ．-6C ．10D ．-10 分析：将目标函数变形可得124z y x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图1所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。

图1 图2例2. 设x y ,满足约束条件x x y x y ≥≤+≤⎧⎨⎪⎩⎪021,,,求z x y =-32的最大值和最小值。

解：如图2作出可行域，因为由图2可知过点B 时纵截距最大，z x y =-32取得最小值，所以z min =⨯-⨯=-30212；过点A 时纵截距最小，z 在A （1313,）处取最大值，z max =⨯-⨯=31321313。

二 直线的斜率型例3.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域.解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，31y z x +=+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解得25a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此min263z -=。

综上可知函数的值域为26,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦三 平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例4. 已知实数x 、y 满足10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，则22448w x y x y =+--+的最值为___________.解析：目标函数2222448(2)(2)w x y x y x y =+--+=-+-，其含义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方。

由实数x 、y 所满足的不等式组作可行域如图所示：可行域为图中ABC V 内部（包括边界），易求B （-2，-1），结合图形知，点(2,2)到点B 的距离为其到可行域内点的最大值，22max (22)(12)25w =--+--=；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min3222w ==。

四． 变换问题研究目标函数例5.已知⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥a x y x xy 2，且y x z +=2的最大值是最小值的3倍，则a 等于（ ） A ．31或3 B ．31 C ．52或2 D ．52 解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题， 准确画图找到可行域是关键.如图所示，A y x z 在+=2点和B 点分别取得最小值和最大值. 由),(•a a•A x y a x 得⎩⎨⎧==，由⎩⎨⎧==+y x y x 2得 B (1，1). ∴a •z •z 3,3minmax ==. 由题意得.31•a=故答案B 。

五 综合导数、函数知识类-111O xy •（2，2）x+y-1=0 -1 A B C例5.（山东省日照市2008届高三第一次调研）．已知函数),2[)(+∞-的定义域为x f ，部分对应值如下表，)()(x f x f 为'的导函数，函数)(x f y '=的图象如右图所示. 若两正数a ，b 满足331)2(++<+a b b a f ，则的取值范围是（A ．)3,7(B ．)3,5(C ．)56,32(D ．)3,31(-分析：本题的关键是如何从函数的导函数的图象中找到原函数的基本性质，将其与所给的函数性质联系起来。

由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数。

结合题中提供的函数的数据可得422<+<-b a ，另外注意到33++a b 的几何意义，转化为线性规划问题可求解。

解析：由导函数的图象可知，原函数在区间 [-2,0]为单调递减函数，在区间（0，∞+）为单调递增函数，又1)4(,1)0(,1)2(=-==-f f f ，故422<+<-b a ，而b a ,均为正数，可得可行域如图，33++a b 的几何意义是可行域内的点和（-3，-3）连线的斜率的取值范围，故最大为点（0，4），此时为373034=++，最小为点（2，0），此时为533230=++，所以答案B.基本不等式及其应用参考答案1-5 CBABB 6 M>N 7. 4 8. 20 9. 10 15 25 10. 251511. －2 12. 18 13.10≤a 。

14.解：（1）8392031600292031600920160039202=+≤++=++=vv v v v y 当且仅当vv 1600=，即40=v 时取等号， 1.11max ≈y （2）6425<<v 15.解：（1）0221)(>--=+-=axax x a x f 当0>a 时，a x 20<<；当0<a 时，02><aorx x所以当0>a 时解集为}20|{a x x <<、当0<a 时解集为}02|{><x a x x 或。

（2）02212)(≥++-=+x x a x x f 4222220=⋅≥+∴>x x x x x Θ41≤∴a 、解得a 的取值范围是),41[)0,(+∞⋃-∞。

16、｛x ｜－2＜x ＜3｝。

17．略 18．解：(1)把a ＝2代入f (x )＝x ＋a x ＋1中，得f (x )＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋2x ＋1－1.由于x ∈[0，＋∞)，所以x ＋1>0，2x ＋1>0.所以f (x )≥22－1.当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时，f (x )取得最小值，最小值为22－1.(2)因为f (x )＝x ＋ax ＋1＝x ＋1＋ax ＋1－1，设x 1>x 2≥0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋ax 1＋1－x 2－ax 2＋1＝(x 1－x 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a(x 1＋1)(x 2＋1).由于x 1>x 2≥0，所以x 1－x 2>0，x 1＋1>1，x 2＋1≥1.所以(x 1＋1)(x 2＋1)>1.而0<a <1，所以a(x 1＋1)(x 2＋1)<1.所以f (x 1)－f (x 2)>0.即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以f (x )min ＝f (0)＝a .19．解：(1)设引进该设备x 年后开始盈利．盈利额为y 万元．则y ＝50x －98－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋x (x －1)2×4＝－2x 2＋40x －98，令y >0，得10－51<x <10＋51，∵x ∈N *，∴3≤x ≤17.即引进该设备三年后开始盈利；(2)第一种：年平均盈利为y x ，y x＝－2x －98x＋40≤－22x ·98x ＋40＝12，当且仅当2x ＝98x，即x＝7时，年平均利润最大，共盈利12×7＋26＝110万元．第二种：盈利总额y ＝－2(x －10)2＋102，当x ＝10时，取得最大值102，即经过10年盈利总额最大，THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。