高一数学交集和并集经典例题
高一数学交集并集1(整理2019年11月)
x A, x B 或 x A, x B 或 x A, x B 所以 A B A A B, A B B A B
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1.3.1 交集、并集（1）
BA
AB
（4）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AB A
（5）
AB B
如果集合A是集合B的子集：则有 A B A, A B B
A B A A B, A B B A B
1.3.1 交集、并集（1）
例1：设 A {x | x 2}，B {x | x 3}，求A B.
1.3.1 交集、并集（1）
学习目标： 1、正确理解交集与并集的概念。 2、会求两个已知集合的交集、并集。 3、提高文氏图在集合中的运用能力。
1.3.1 交集、并集（1）
一、复习练习：
1、如果全集 U {x | 0 x 6, x N} A {1，3，5} B {1，4} 那么 CuA __{_0_,2_,_4_}___ CuB __{_0_,_2_,3_,5_}_____
注意：定义中的“且”字，它说明A∩B中的任一元素x都是A与B的 公共元素。由此可知， A∩B必是A和B的公共子集。
即：A B A, A B B
2、并集：一般地，由所有属于集合A，或属于集合B的元素所组成的 集合，叫做集合A与集合B的并集。
记作：A B 读作：“A并B” 即 A B {x | x A,或x B}
2、看图回答问题：
A
B
A
B
A
B
（1）
（2）
(新)高一数学集合的运算：交集与并集
一切事无法追求完美，唯有追求尽力而为。
这样心无压力，最后的结果反而会更好。
课 题 交集 与并集交集一、引入：考察下面例子：已知6的正约数的集合为10},6,3,2,1{=A 的正约数的集合为}10,5,2,1{=B ，那么6与10的正公约数的集合为}2,1{. 二、基本概念： 1.交集的概念：2.B A 的图示3.B A 的性质三、例题分析：例1.（1）设}3|{},2|{<=->=x x B x x A ，则=B A _____________.(2) 设}723|),{(},64|),{(=+==+=y x y x B y x y x A ，则B A =___________. (3) 设A ={等腰三角形}，B ={直角三角形}，则B A =______________. (4) 已知A 为奇数集,B 为偶数集,Z 为整数集,则Z A =_____________, Z B =_______________,B A =___________________.课堂练习1、（1）学校里开运动会，设x x A |{=是参加百米赛跑的同学x x B |{},=是参加跳高比赛的同学}，则=B A ______.（2）已知集合A ={平行四边形}，B ={梯形}，C ={对角线相等的四边形}，则C B =______，C A =______．（3）若集合}2|),{(},0|),{(=-==+=y x y x P y x y x M ，则=P M （ ）A.)1,1(-B.}1{}1{-=-=y x C ．}1,1{- D ．)}1,1{(-例2.已知集合}082|{},065|{},019|{2222=-+==+-==-+-=x x x C x x x B a ax x x A ,满足∅=∅≠C A B A ,.求实数a 的值.课堂练习2、已知集合{}{}{}2,0,0222=⋂=--==++=N M q x x x N px x x M 且，则q p ,的值分别为___________．例3.已知集合|}|,1{},,1{a B a A =-=.(1)若∅=B A ,求实数a 的取值范围； (2)若B A 是单元素集，求实数a 的取值范围．课堂练习3、（1）已知集合}|{},42|{a x x B x x A <=≤≤-=，若∅≠B A ，则实数a 的取值 范围是_ _____；若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______（2）已知集合{}{}A x x B x a x a =-≤≤=+≤≤+||35141，，且A B B ⋂=，B ≠φ，则实数a 的取值范围是___________．例4、已知集合}1,12,3{},3,1,{22+--=-+=m m m Q m m P ，且}3{-=Q P ，求实数m 的值．课堂练习4、已知集合M={}{}{}2,64,2,3,4,2,2222=⋂+-++=-+N M a a a a N a a 且, 求实数a 的的值．思考题：{}{},,72,,3222R x b ax x y y B R x b ax x y y A ∈++-==∈+-==若=⋂B A {}8≤≤2y y 求b a ,的值。
高一数学交集和并集1
观察上述每组集合中A,B,C之间都具有怎样的关系？
预1、设全集U＝{1,2,3,4,5,6}
集合A={2,4,6} B={1,2,4,5} {2,4} 则A∩B=_________ {1,2,4,5,6} A∪B=_________ {1,3,5,6} （CUA ）∪（CUB） =_______ {1,3,5,6} CU(A ∩ B) =_________ {3} （CUA） ∩ （CUB） =______ {3} CU(A UB )=_________ CU(A ∩ B) =（ CUA） ∪（CUB） CU(A ∪ B) =（ CUA） ∩ （CUB）
预2、某班50名学生中喜
欢李宇春的有40人，喜欢 周笔畅的有31人，两个都 不喜欢的有4人，则同时喜 25 欢两个人的有______ 人。
4
x 40－x 31-x
预3、设集合A＝{x︱-3<x<10} B={x︱-5<x≤5} 则A ∩B=__________ {x︱-3<x ≤5} {x︱-5<x <10} A∪B=_________ {x︱5<x <10} A ∩ CRB =_________
则集合M∩ N = （
D ）
A
{0}
B
D
{0,1}
{0,2}
C {1，2}
已知集合A={x︱x≤2}B ={x︱x>a} (1)若A∩B＝φ，求a的取值范围；
求 (2) 若 A ∪ B ＝ R ， 求 a 的取值范围 ； 一 求 (3)若1∈ A∩B ，求a的取值范围。
想一想
2 已知A＝{2,-1,x -x+1}
复习巩固
1、对于A与B两个集合：如果集合A中的任何 一个元素都是集合B中的元素，我们就说 A B 子集 记作________ 集合A叫做集合B的______, B中至少有一个元素不属于A 如果A B且______________________ B A≠ 我们就说集合A是集合B的真子集，记作______ A B 且B A 那么A=B. 如果_______________, 任何非空集合的真子集。 任何集合 的子集，是____________ 2、φ是________ 不属于 的所有 3、如果A是全集U的一个子集，由U中_______ CUA 元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作______ x A CUA={x︱x∈U且_______}
高一数学交集并集试题
高一数学交集并集试题1.设集合M=R}，P=R}，则M P=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】两个集合分别是函数R与R的值域，∴M，P=R，∴M P=．故选D。
【考点】本题主要考查交集的概念。
点评：本题主要考查交集的概念。
注意理解集合中元素的特征—函数的值域。
2.已知集合M=，P=，则M P=（）A．B．C．D．【答案】C【解析】M中，P中，集合数轴可知M P=，故选C。
【考点】本题主要考查交集的概念。
点评：本题主要考查交集的概念。
注意理解集合中元素的特征—函数的定义域。
3.已知全集U={，且N}，集合M={1，3，5，7}，集合P={3，5}，则（）+A．B．C．D．【答案】A【解析】U={1，2，3，4，5，6，7}，{1，2，4，6，7}．故选A。
【考点】本题主要考查交集、并集、全集、补集的概念、集合的表示方法。
点评：此题考查了交集、并集、全集、补集的概念，注意结合选项进行考察。
4.设集合A="{x∈R" |x2="x" }，B="{x∈R" ||x|="x" }，则集合M={0，1}=（）PA．B B．A∩B C．A∪B D．A∩CR【答案】B【解析】A={0，1}，B={x|x≥0}），A∩B={0，1}，故选B。
【考点】本题主要考查交集、补集的概念、集合的表示方法。
点评：此题考查了交集、补集的概念，解方程后，注意结合数轴解题。
5.已知集合，集合，是否存在实数，使得集合A、B 能同时满足下列三个条件：①；②；③？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】这样的实数不存在【解析】由已知条件可得，若存在，由，且，∴，又，∴，∴，或，当时，有，即，解得，或，此时集合，或都与矛盾；当时，同理得出矛盾，故这样的实数不存在．【考点】本题主要考查子集、集合相等、交集、并集的概念、集合中元素的性质。
交集、并集知识点总结及练习
1.3 交集并集学习目标：1．理解交集、并集的含义．2．能进行交集并集的运算．重点难点：交集、并集的运算．授课内容：一、知识要点1．集合的并、交运算并集：A ∪B ＝{x | x ∈A 或x ∈B}．交集：A ∩B ＝ ．2．交并集的性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．二、典型例题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B = ． 2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B = ．3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 ．(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=．4．知集合A ={x |-5<x <5}，B ={x |-7<x <a }，C ={x |b <x <2}，且A ∩B =C ，则 a ，b 的值分别为 ．5．设全集U ={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A ,B )为一个“理想配集”．（若A ＝B ，规定(A ,B )＝(B , A )；若A ≠B ，规定(A ,B )与(B , A )是两个不同的“理想配集”）．那么符合此条件的“理想配集”的个数是 ．6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。
==P 则T P 的元素有 个．7．若(){}(){}2,|,,,|,,A A x y y x x R B x y y x x R B ==∈==∈则= ．8．已知集合{}{},11|,52|+≤≤-=≤≤-=k x k x Q x x P 求使∅=Q P 的实数k 的取值范围．9．已知集合{},413,12,4,1,3,222⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-+=+=a a a B a A 且{}2=B A ，求实数a 的值．10．设U ={小于10的正整数}，已知A ∩B ={2}，()()U U C A C B ={1，9}，(){4,6,8}U C A B =，求A ，B ．11．设全集22{},{|560},{|120},U A x x x B x x px ==-+==++=不超过5的正整数 {1,3,4,5}U C A B =,求p 及A B ．12．已知集合A ={x |x <3}，B ={x |x <a }，①若A ∩B =A ，求实数a 的取值范围．②若A ∩B =B ，求实数a 的取值范围．③若R C A 是R C B 的真子集，求实数a 的取值范围．三、课堂练习1．设集合{}{},9,8,6,3,1,7,5,4,2,1,0==B A {},8,7,3=C 则集合()=C B A ． 2．设全集{},,8|+∈≤=N x x x U 若(){}(){}1,8,2,6,U U A C B C A B ==()(){}4,7,U U C A C B =则=A ，=B ．3．已知P ={y |y=x 2+1，x ∈N }，Q ={y |y=－x 2+1，x ∈N }则P ∩Q = ．4．设集合{}{}{},20|,31|,24|≥≤=<≤-=<≤-=x x x C x x B x x A 或则_______)(=B C A ．5．设P M ,是两个非空集合，定义M 与P 的差为{}|,,M P x x M x P -=∈∉且则()M M P --= ．6．已知全集{},4,3,2,1,0,1,2,3,4----=U 集合A ={-3，a 2，a + 1}，B ={a – 3，2a – 1，a 2 +1}，其中R a ∈，若{}3-=B A ，求)(B A C U ．7．A = {x ∣x 2 – 3x +2 = 0，x ∈R }，B = {x ∣x 2 – ax + a – 1 = 0，x ∈R }，C = {x ∣x 2 – mx + 2= 0，x ∈R }，且,AB A AC C ==，求m a ,的值．8．已知集合},1{},21{<=<<=x x B ax x A 且满足B B A = ，求实数a 的取值范围．【拓展提高】10．已知φ==++=+R A m x x x A 且}02{2，求实数m 的取值范围．四、巩固练习1．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x|x ＝2a ，a ∈A}，则集合∁U (A ∪B)＝________．2．如图所示，U 是全集，A ，B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是________．3．已知全集U＝{x|0≤x<10，x∈N}，A∪B＝U，A∩(∁U B)＝{1,3,5,7,9}，则集合B＝________．4．集合M＝{x|－2≤x<1}，N＝{x|x≤a}，若∅(M∩N)，则实数a的取值范围为________．5．设集合M＝{－1,0,1}，N＝{a，a2}，则使M∪N＝M成立的a的值是________．6．对于集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A，且x B}，A⊕B＝(A－B)∪(B－A)．设M＝{1,2,3,4,5,6}，N＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M⊕N中元素的个数为________．7．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则m的取值范围________．8．已知非空集合A＝{(x，y)|(a2－1)x＋(a－1)y＝15}，B＝{(x，y)|y＝(5－3a)x－2a}．若A∩B＝∅，则a＝________．9．已知M＝{x|y＝x2－1}，N＝{y|y＝x2－1}，那么M∩N＝________．10．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,3,5}，则∁U(A∩B)等于________．11．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,5}，而A∩(∁U B)等于________．12．设集合A＝{x|x∈Z且－10≤x≤－1}，B＝{x|x∈Z且－5≤x≤5}，则A∪B的元素个数是________．13．已知集合M是方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≠0)的解集，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,4,7,10}，若M∩A＝∅，且M∪B＝B，试求p、q的值．14．已知全集U＝{不大于5的自然数}，A＝{0,1}，B＝{x|x∈A，且x<1}，C＝{x|x－1 A，且x∈U},求∁U B，∁U C.15．设集合A＝{a2,2a－1,－4}，B＝{a－5,1－a,9}．(1)若{9}＝A∩B，求实数a的值；(2)若9∈(A∩B)，求实数a的值．。
交集、并集·典型例题
交集、并集·典型例题能力素质例1 已知M ＝{y|y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y|y ＝－x 2＋1，x ∈R}则M ∩N 是[ ]A ．{0，1}B ．{(0，1)}C ．{1}D ．以上均不对分析 先考虑相关函数的值域． 解 ∵M ＝{y|y ≥1}，N ＝{y|y ≤1}， ∴在数轴上易得M ∩N ＝{1}．选C ．例已知集合＝＋＋＝，如果∩＝，则实数的2 A {x|x x 10}A R m 2m ∅取值范围是 [ ]A ．m ＜4B ．m ＞4C ．0＜m ＜4D ．0≤m ＜4分析∵∩＝，∴＝．所以＋＋＝无实数根，由A R A x x 12∅∅M 0m 0(m)402≥，Δ＝－＜，⎧⎨⎪⎩⎪ 可得0≤m ＜4． 答 选D ．例3 设集合A ＝{x|－5≤x ＜1}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∪B ＝ [ ]A ．{x|－5≤x ＜1}B ．{x|－5≤x ≤2}C ．{x|x ＜1}D ．{x|x ≤2}分析 画数轴表示得∪＝≤，∪＝．注意，也可以得到∪＝≠A B {x|x 2}A B B (A B A B ⊂B)．答 选D ．说明：集合运算借助数轴是常用技巧．例 4 集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝0}，B ＝{(x ，y)|x －y ＝2}，则A ∩B ＝________．分析 A ∩B 即为两条直线x ＋y ＝0与x －y ＝2的交点集合．解由＋＝，－＝得＝，＝－．x y 0x y 2 x 1y 1⎧⎨⎩⎧⎨⎩ 所以A ∩B ＝{(1，－1)}．说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．例下列四个推理：①∈∪∈；②∈∩∈5 a (A B)a A a (A B)a (A ⇒⇒∪B)；③∪＝；④∪＝∩＝，其中正确的个数A B A B B A B A A B B ⊆⇒⇒为[ ]A ．1B ．2C ．3D ．4分析 根据交集、并集的定义，①是错误的推理． 答 选C ．点击思维例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x|－4≤x ＜2}，B ＝{x|－1＜x＝________．号的值．解观察数轴得，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∩B∩(U P)＝{x|0＜x＜2}．例7 设A＝{x∈R|f(x)＝0}，B＝{x∈R|g(x)＝0}，C{x R|f(x)g(x)0}U R＝∈＝，全集＝，那么[ ] A．C＝A∪(U R) B．C＝A∩(U B)C．C＝A∪B D．C ＝(U A)∩B分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归C{x R|f(x)g(x)0}＝∈＝＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A∩(U B)．答选B．说明：本题把分式的意义与集合相结合．例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．分析一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．另一种方法，画图1－10观察可得．答填15．例9 已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(U B)＝{5，13，23}，(U A)∩B＝{11，19，29}，(U A)∩(U B)＝{3，7}求A，B．分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．解 ∵U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29} 用图形表示出A ∩(U B)，(U A)∩B及(U A)∩(U B)得U (A ∪B)＝{3，7}，A ∩B ＝{2，17}，所以A ＝{2，5，13，17，23}，B ＝{2，11，17，19，29}．说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．学科渗透例10 设集合A ＝{x 2，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B ．分析 欲求A ∪B ，需根据A ∩B ＝{9}列出关于x 的方程，求出x ，从而确定A 、B ，但若将A 、B 中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A ，再将所得值代入检验．解 由9∈A 可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或5．当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违反互异性，故x ＝3应舍去；当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，此时A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，这与A ∩B ＝{9}矛盾．故x ＝5应舍去．从而可得x ＝－3，且A ∪B ＝{－8，－4，4，－7，9}．说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的．例11 设A ＝{x|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若A ∩B ＝B ，求a 的值．分析由∩＝，，而＝＋＝＝，－，所以 A B B B A A {x|x 4x 0}{04}2⊆需要对A 的子集进行分类讨论．解假如≠，则含有的元素． B B A ∅设0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1，当a ＝－1时，B ＝{0}符合题意；当a ＝1时，B ＝{0，－4}也符合题意．设－4∈B ，则a ＝1或a ＝7，当a ＝7时，B ＝{－4，－12}不符合题意．假如＝，则＋＋＋－＝无实数根，此时Δ＜得B x 2(a 1)x a 100a 22∅＜－1．综上所述，a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1．说明：＝这种情形容易被忽视．B ∅高考巡礼例12(1998年全国高考题)设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{x|x－≤，若∩≠，则的取值范围是k 0}M N k ∅[ ]A ．(－∞，2]B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1，2]分析 分别将集合M 、N 用数轴表示，可知：k ≥－1时，M ∩N ≠．∅答 选B ．例13(2000年全国高考题)如图1－12：U 为全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则下图中的阴影部分为________．分析 利用交集、并集、补集的意义分析． 解 阴影部分为：(M ∩P)∩(U S)．说明：你能否指出M ∩(P ∪S)是图形上的哪一区域？。
1.3.1并集和交集【解析版】
1.3.1并集和交集1．已知集合A＝{－1,0}，B＝{0,1}，C＝{1,2}，则(A∩B)∪C等于( )A．∅B．{1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}解析：A∩B＝{0}，所以(A∩B)∪C＝{0}∪{1,2}＝{0,1,2}．故选C.2．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数为( )A．1 B．3C．4 D．8解析：由已知可得B中必含元素3.又A∪B＝{1,2,3}，故B可能含1,2，所以B＝{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共4个．故选C.3．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )A．{1,2} B．{1,5}C．{2,5} D．{1,2,5}解析：因为A∩B＝{2}，所以2∈A,2∈B，所以a＋1＝2，所以a＝1，b＝2.即A＝{1,2}，B＝{2,5}，所以A∪B＝{1,2,5}，故选D.4．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{0,1,2}，则如下Venn图中的阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由题图可知，阴影部分为{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }．由已知易得M ∪N ＝{－1,0,1,2}，M ∩N ＝{0,1}，所以{x |x ∈M ∪N 且x ∉M ∩N }＝{－1,2}．5．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，显然⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，解得a ＝4. 6．若集合P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，则P ∩Q 等于( )A ．{x |3≤x <4}B ．{x |3<x <4}C ．{x |2≤x <3}D ．{x |2≤x ≤3} 解析：因为P ＝{x |2≤x <4}，Q ＝{x |x ≥3}，所以P ∩Q ＝{x |3≤x <4}，故选A.7.已知集合M={x|-3<x ≤5},N={x|x<-5,或x>4},则M ∪N=( )A.{x|x<-5,或x>-3}B.{x|-5<x<4}C.{x|-3<x<4}D.{x|x<-3,或x>5}解析：在数轴上分别表示集合M 和N,如图所示,则M ∪N={x|x<-5,或x>-3}.8.已知集合A={1,3,m 2},B={1,m},A ∪B=A,则m 等于( )A.3B.0或3C.1或0D.1或3解析：因为B ∪A=A,所以B ⊆A,因为集合A={1,3,m2},B={1,m},所以m=3,或m2=m,所以m=3或m=0.故选B.9．已知集合M ＝{(x ，y )|4x ＋y ＝6}，P ＝{(x ，y )|3x ＋2y ＝7}，则M ∩P 等于 .解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋y ＝6，3x ＋2y ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2. 所以M ∩P ＝{(1,2)}． 10．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝ .解析：∵A ∩B ＝{x |a ≤x ≤2}＝{2}，∴a ＝2.11．集合A ＝{x |x 2－px ＋15＝0，x ∈N }，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0，x ∈N }，若A ∪B ＝{2,3,5}，则A ＝ ，B ＝ .解析：设A ＝{x 1，x 2}，B ＝{x 3，x 4}，∵x 1，x 2是方程x 2－px ＋15＝0的两根，∴x 1x 2＝15.又A ∪B ＝{2,3,5}，∴x 1，x 2∈{2,3,5}，∴x 1＝3，x 2＝5或x 1＝5，x 2＝3，即A ＝{3,5}，同理，可得B ＝{2,3}．12.集合A={x|x ≤-1或x>6},B={x|-2≤x ≤a},若A ∪B=R,则实数a 的取值范围为_________. 解析:由图示可知a ≥6. 所以a 的取值范围为{a|a ≥6}13.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是_________,若A∩B=∅,则a的范围为_________.解析:根据题意,集合A={x|1≤x≤2},若A∩B=A,则有A⊆B,必有a>2,若A∩B= ,必有a≤1.14.已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=________.解析:如图所示,可知a=1,b=6, 2a-b=-4.15．已知集合M＝{2,3，a2＋4a＋2}，N＝{0,7，a2＋4a－2，2－a}，且M∩N＝{3,7}，求实数a 的值．解：因为M∩N＝{3,7}，所以7∈M.又M＝{2,3，a2＋4a＋2}，故a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.当a＝－5时，N中的元素为0,7,3,7，这与集合中元素的互异性矛盾，舍去；当a＝1时，M＝{2,3,7}，N＝{0,7,3,1}，所以M∩N＝{3,7}，符合题意．故a＝1.16.已知集合A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a<x<3a(a>0)}．(1)若A∪B＝B，求a的取值范围；(2)若A∩B＝∅，求a的取值范围．解: (1)因为A∪B＝B，所以A⊆B，观察数轴可知，⎩⎪⎨⎪⎧2≥a ，4≤3a ，所以43≤a ≤2. (2)A ∩B ＝∅有两类情况：B 在A 的左边和B 在A 的右边，如图．观察数轴可知，a ≥4或3a ≤2，又a >0，所以0<a ≤23或a ≥4. 17．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x >a }．(1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．解：(1)由于A ∩B ≠A ，所以如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2.(2)由于A ∩B ≠∅，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a <4.18．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x <－1，或x >16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围．(1)A ∩B ＝∅；(2)A ⊆(A ∩B )．解：(1)若A ＝∅，则A ∩B ＝∅成立．此时2a ＋1>3a －5，即a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝∅的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}．(2)因为A ⊆(A ∩B )，所以A ∩B ＝A ，即A ⊆B .显然A ＝∅满足条件，此时a <6.若A ≠∅，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≤3a －5，3a －5<－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1≤3a －5，2a ＋1>16.解得a >152. 综上，满足条件A ⊆(A ∩B )的实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <6或a >152.。
集合的并集、交集专题训练
集合的并集、交集专题训练一、选择题1．已知集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |－1≤x ≤2}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x ≥－1}B ．{x |x ≤2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |－1≤x ≤2}2．设S ，T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A ．S ∩TB ．SC ．∅D ．T3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．44．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,5}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B 等于( )A ．{1,2}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{1,2,5}5．如图所示的Venn 图中，若A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |x ＞1}，则阴影部分表示的集合为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |1＜x ≤2}C ．{x |0≤x ≤1，或x ≥2}D ．{x |0≤x ≤1，或x ＞2}二、填空题6．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数为________．7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是____________．三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求S ∪T .10．集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x<a}．(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；(2)若A∪B＝{x|x<1}，求a的取值范围．能力提升11．已知A＝{x|a＜x≤a＋8}，B＝{x|x<－1，或x>5}．若A∪B＝R，求a的取值范围．12．已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，且∅(A∩B)，A∩C＝∅，求a的值．集合的并集、交集专题训练答案一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝( )A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2} C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}解析：选A 借助数轴可知A∪B＝{x|x≥－1}．2．设S，T是两个非空集合，且它们互不包含，那么S∪(S∩T)等于( )A．S∩T B．S C．∅ D．T解析：选B ∵(S∩T)⊆S，∴S∪(S∩T)＝S.3．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4解析：选D ∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4. 4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于( )A．{1,2} B．{1,5} C．{2,5} D．{1,2,5}解析：选D ∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}．∴A∪B＝{1,2,5}．5．如图所示的Venn图中，若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x＞1}，则阴影部分表示的集合为( )A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1，或x≥2} D．{x|0≤x≤1，或x＞2}解析：选D 因为A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥0}，阴影部分为A∪B中除去A∩B的部分，即为{x|0≤x≤1，或x＞2}．二、填空题6．满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数为________．解析：∵M ∪{1}＝{1,2,3}，∴M ＝{1,2,3}或{2,3}，即M 的个数为2.答案：27．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设所求人数为x ，则只喜爱乒乓球运动的人数为10－(15－x )＝x －5，故15＋x －5＝30－8⇒x ＝12.答案：128．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是____________． 解析：由图可知，若A ∩B ≠∅，则a ＞－1，即a 的取值范围为{a |a ＞－1}．答案：{a |a ＞－1}三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，求S ∪T . 解：∵S ∩T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， ∴12∈S ，且12∈T . 因此有⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q －1＝0，p ＋2q ＋15＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝－7，q ＝－4.从而S ＝{x |2x 2＋7x －4＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－4. T ＝{x |6x 2－5x ＋1＝0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13. ∴S ∪T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，－4∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，－4. 10．集合A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x <a }．(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝{x |x <1}，求a 的取值范围．解：(1)如下图所示，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x <a }，且A ∩B ＝∅，∴数轴上的点x ＝a 在x ＝－1的左侧(含点x ＝－1)，∴a ≤－1，即a 的取值范围为{a |a ≤－1}．(2)如下图所示，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{x |x <a }，且A ∪B ＝{x |x <1}，∴数轴上的点x ＝a 在x ＝－1和x ＝1之间(含点x ＝1，但不含点x ＝－1)，∴－1<a ≤1，即a 的取值范围为{a |－1<a ≤1}．能力提升11．已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．解：在数轴上标出集合A ，B ，如图．要使A ∪B ＝R ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋8≥5，a <－1，解得－3≤a ＜－1.综上可知，a 的取值范围为{a |－3≤a ＜－1}．12．已知A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，且∅(A ∩B )，A ∩C ＝∅，求a 的值．解：B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{x |(x －2)(x －3)＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{x |(x －2)(x ＋4)＝0}＝{2，－4}，∵A ∩B ≠∅，A ∩C ＝∅，∴3∈A ，将x ＝3代入x 2－ax ＋a 2－19＝0得：a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}与A ∩C ＝∅矛盾；当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}符合题意．综上a ＝－2.。
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例1 已知M ＝{y|y ＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y|y ＝－x 2＋1，x ∈R}则M ∩N 是
[ ]
A ．{0，1}
B ．{(0，1)}
C ．{1}
D ．以上均不对
分析 先考虑相关函数的值域． 解 ∵M ＝{y|y ≥1}，N ＝{y|y ≤1}， ∴在数轴上易得M ∩N ＝{1}．选C ．
例已知集合＝＋＋＝，如果∩＝，则实数的2 A {x|x x 10}A R m 2m ∅
取值范围是
[ ]
A ．m ＜4
B ．m ＞4
C ．0＜m ＜4
D ．0≤m ＜
4
分析∵∩＝，∴＝．所以＋＋＝无实数根，由
A R A x x 12
∅∅M 0
m 0(m)402
≥，
Δ＝－＜，⎧⎨⎪⎩
⎪ 可得0≤m ＜4． 答 选D ．
例3 设集合A ＝{x|－5≤x ＜1}，B ＝{x|x ≤2}，则A ∪B ＝
[ ]
A ．{x|－5≤x ＜1}
B ．{x|－5≤x ≤2}
C ．{x|x ＜1}
D ．{x|x ≤
2}
分析 画数轴表示
得∪＝≤，∪＝．注意，也可以得到∪＝≠
A B {x|x 2}A B B (A B A B ⊂
B)．
答 选D ．
说明：集合运算借助数轴是常用技巧．
例4 集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝0}，B ＝{(x ，y)|x －y ＝2}，则A ∩B ＝________． 分析 A ∩B 即为两条直线x ＋y ＝0与x －y ＝2的交点集合．
解由
＋＝，
－＝
得
＝，
＝－．x y0
x y2
x1
y1⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
所以A∩B＝{(1，－1)}．
说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．
例下列四个推理：①∈∪∈；②∈∩∈
5 a(A B)a A a(A B)a(A
⇒⇒
∪B)；
③∪＝；④∪＝∩＝，其中正确的个数
A B A B B A B A A B B
⊆⇒⇒
为
[ ] A．1
B．2
C．3
D．4
分析根据交集、并集的定义，①是错误的推理．
答选C．
例6 已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x＜2}，B＝{x|－1＜x
＝________．
号的值．
解观察数轴得，A∩B＝{x|－1＜x＜2}，A∩B∩(U P)＝{x|0＜x＜2}．
例7 设A＝{x∈R|f(x)＝0}，
B＝{x∈R|g(x)＝0}，
C{x R|f(x)
g(x)
0}U R
＝∈＝，全集＝，那么
[ ]
A．C＝A∪(U R) B．C＝A∩(U B)
C．C＝A∪B D．C＝(U A)
∩B
分析依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归
C{x R|f(x)
g(x)
0}
＝∈＝
＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}
＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A∩(U B)．
答选B．
说明：本题把分式的意义与集合相结合．
例8 集合A含有10个元素，集合B含有8个元素，集合A∩B含有3个元素，则集合A∪B有________个元素．
分析一种方法，由集合A∩B含有3个元素知，A，B仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A∪B的元素个数为10＋8－3＝15．
另一种方法，画图1－10观察可得．
答填15．
例9 已知全集U＝{x|x取不大于30的质数}，A，B是U的两个子集，且A∩(U B)＝{5，13，23}，(U A)∩B＝{11，19，29}，(U A)∩(U B)＝{3，7}求A，B．分析由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．
解∵U＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29}
用图形表示出A∩(U B)，(U A)∩B及(U A)∩(U B)得
U
(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，所以
A＝{2，5，13，17，23}，
B＝{2，11，17，19，29}．
说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．
例10 设集合A＝{x2，2x－1，－4}，B＝{x－5，1－x，9}，若A∩B＝{9}，求A ∪B．
分析欲求A∪B，需根据A∩B＝{9}列出关于x的方程，求出x，从而确定A、B，但若将A、B中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A，
再将所得值代入检验．
解 由9∈A 可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或5．
当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违反互异性，故x ＝3应舍去；
当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，此时A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}
当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，这与A ∩B ＝{9}矛盾．
故x ＝5应舍去．
从而可得x ＝－3，且A ∪B ＝{－8，－4，4，－7，9}．
说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的． 例11 设A ＝{x|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若A ∩B ＝B ，求a 的值．
分析由∩＝，，而＝＋＝＝，－，所以 A B B B A A {x|x 4x 0}{04}2⊆
需要对A 的子集进行分类讨论．
解假如≠，则含有的元素． B B A ∅
设0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1，当a ＝－1时，B ＝{0}符合题意；当a ＝1时，B ＝{0，－4}也符合题意．
设－4∈B ，则a ＝1或a ＝7，当a ＝7时，B ＝{－4，－12}不符合题意．
假如＝，则＋＋＋－＝无实数根，此时Δ＜得B x 2(a 1)x a 100a 22∅
＜－1．
综上所述，a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1．
说明：＝这种情形容易被忽视．B ∅
例12 (1998年全国高考题)设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{x|x
－≤，若∩≠，则的取值范围是k 0}M N k ∅
[ ]
A ．(－∞，2]
B ．[－1，＋
∞)
C ．(－1，＋∞)
D ．[－1，2] 分析 分别将集合M 、N 用数轴表示，可知：k ≥－1时，M ∩
N ≠．∅
答 选B ．
例13(2000年全国高考题)如图1－12：U 为全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则下图中的阴影部分为________．
分析利用交集、并集、补集的意义分析．
解阴影部分为：(M∩P)∩(U S)．
说明：你能否指出M∩(P∪S)是图形上的哪一区域？。