离散数学 第10讲 分配格、有界格与有补格
三、布尔格(布尔代数)
布尔格的定义 如果格<L,∧,∨,0,1>,既是有补格,又是分配格,则称此格为布尔格(或有 补分配格),也叫做布尔代数. 例3 设S是非空有限集合, <ρ(S),∩,∪>为代数格 ∀A,B∈ρ(S)，A≤BA∩B=AA⊆B 由<ρ(S),∩,∪>诱导的偏序格是<ρ(S),⊆>. 说明<ρ(S),⊆>是布尔格. 证明 (1)<ρ(S),⊆>是格; (2)<ρ(S),⊆>是有界格, 因为
一、分配格
例2: 图中钻石格与五角格是分配格吗？
(a) b*(c⊕d)＝b*a＝b
(b) c*(b⊕d)＝c*a＝c
(b*c)⊕(b*d)＝e⊕e＝e
(c*b)⊕(c*d)＝e⊕d=d
所以b*(c⊕d) ≠ (b*c)⊕(b*d)
所以c*(b⊕d) ≠ (c*b)⊕(c*d)
一、分配格
定理1 设<L, ≤ >是偏序格，则<L, ≤ >是分配格当且仅当 (i) 在此格中不存在与钻石格同构的子格; (ii) 且不存在与五角格同构的子格。 推论:设<L, ≤ >是格，|L|<5, 则<L, ≤ >是分配格。
离散数学（二）
1
特殊格:分配格,有界格与有补格
主要内容:
11 分配格 2
有界格和有补格
3
布尔格(布尔代数)
重点和难点:
重点: 分配格,有界格与有补格 难点: 有补格的定义
一、分配格
分配格的定义：
设<L,*,⊕>是一个格, 若对于任何a,b,c∈L,有 a*(b⊕c) = (a*b)⊕(a*c) 保交对保联可分配 (1)
二、有界格和有补格
有补格定义: 如果在一个有界格中，每个元素都至少有一个补元,则称这个格为有补格. 上图中(2)和(3)是有补格,而(1)不是有补格.
定理7 在有界格<L,∧,∨,0,1>中, 0 和 1互为补元, 且是唯一的.
证明: ∵0∧1=0，0∨1=1，∴0、1互为补元。设c也是0的补元， ∵0∨c =1， ∴必有c=1，故0的补元唯一。 同理可证1的补元也唯一。 定理8 在分配格中，如果元素a∈L有一个补元a' ，则此补元a'是唯一的. 证明: 设 b,c都是a的补元, 则a∧b=0=a∧c, a∨b=1=a∨c,分配格 满足消去律,可知b=c. 消去律: (即对于任意a,b,c∈L有(a∧b=a∧c)∧ (a∨b=a∨c)⇒b=c)
= b⊕((a*b) ⊕(b*c))
= b⊕(a*c) = b⊕(a*b) =b
二、有界格和有补格
全上/下界定义: 设<L, ≤>是一个格, 若∃a∈L, 对所有x∈L均有x≤a,称a为格<L, ≤>的全上界； 若∃b∈L, 对所有x∈L均有b≤x,称b为格<L, ≤>的全下界。 通常将全上界记为“1”，而将全下界记为“0”。 定理5 对于一个格<L, ≤>,若全上界存在,那么它是唯一的(若全下界 存在,则唯一). Note: 1 有限格必有全上界(全下界) 2 无限格不一定有全上界(全下界) 如<I, ≤ >无全上界. 有界格的定义: 具有全上界和全下界的格称为有界格,记作<L,∧,∨,0,1>.
<X,∧,∨>诱导的偏序格是 <X, >.说明<X, >是布尔格.
证明 (1) <X, >是格， (2) <X, >是有界格, 因为 全上界 T ∀P∈X,有PT 全下界 F ∀P∈X, 有FP. (3) <X, >是有补格，因任取 ∀P∈X, P的补元是┒P
(4) <X,∧,∨>是分配格,因∧和∨运算满足相互分配律，
一、分配格
定理3 设<L,*,⊕>是一个格，若*运算对⊕运算可分配，则⊕对 *也可分配，反之亦然。 证明: 设*运算对⊕运算可分配，即任取a,b,c∈L,满足 a*(b⊕c) = (a*b)⊕(a*c), 现要证 a⊕(b*c) = (a⊕b)*(a⊕c). (a⊕b)*(a⊕c) = ((a⊕b) * a)⊕((a⊕b) *c) = a ⊕ [(a*c)⊕(b*c)] = [a⊕(a*c)]⊕(b*c) = a⊕(b*c) 同理可由a⊕(b*c) = (a⊕b)*(a⊕c)推出a*(b⊕c) = (a*b)⊕(a*c).
a⊕(b*c) = (a⊕b)*(a⊕c)
则称<L,*,⊕>是一个分配格。
保联对保交可分配
(2)
Note: 上述定义中(1)和(2)是等价的,只要一个成立,应用吸收律 可推出另外一个。因此,判断一个格是否是分配格只需判断 (1)或(2)其中之一. 例1:S={a,b,c}, <ρ(S),∩,∪>为分配格, 因为任取A,B,C∈ρ(S), (a) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) (b) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
定理2 每个链都是分配格。
证明: 设<L,≤>是链，则<L,≤>必是格.任取a,b,c∈L,讨论以下 两种情况: (1) a≤b或a≤c; (2) a≥b和a≥c。 对于情况(1)有: a*(b⊕c)=a; (a*b)⊕(a*c)=a⊕a=a. 对于情况(2)有: a*(b⊕c)=b⊕c; (a*b)⊕(a*c)=b⊕c. 因此有a*(b⊕c)=(a*b)⊕(a*c). 所以,每个链都是分配格.
全上界 S
全下界 Ø
∀A∈ρ(S),有A⊆S
∀A∈ρ(S),有Ø⊆A;
(3)<ρ(S),⊆>是有补格, 因任取 A∈ρ(S), A的补元是S-A; (4)<ρ(S),⊆>是分配格, 因∩和∪运算满足相互分配律. 综上可知, <ρ(S),⊆>是一个布尔格。
三、布尔格(布尔代数)
例4 X={A|A是由变元p1,p2,…,pn,﹁,∧,∨,→,构成的合式公式集}。
一、分配格
定理4 设<L,*,⊕>是一个分配格，那么对于任意a,b,c∈L,若有a*b= a*c和a⊕b=a⊕c，则必有b=c。 证明: c = (a*c)⊕c = (a*b)⊕c = (a⊕c) *(b⊕c) = (a⊕b)*(b⊕c) = ((a⊕b)*b)⊕((a⊕b) * c) = b⊕((a*c) ⊕(b*c))
二、有界格和有补格
定理6 设<L, ≤>是一个有界格，则对于∀aA,都有 a∨1=1 a∧1=a (1是∨运算的零元,∧运算的幺元) a∨0=a a∧0=0 (0是∨运算的幺元,∧运算的零元) 证明: (1) 证 a∨1=1 因为a∨1 L且1是全上界，所以 a∨1≤1;又因 为 1 ≤ a∨1，所以 a∨1=1. (2) 证 a∧1=a 因为a ≤ a，a ≤ 1, 所以a ≤ a∧1;又因为 a∧1 ≤ a， 所以a∧1=a. (3)(4)类似可证.
综上可知, <X,>是一个布尔格。
三、布尔格(布尔代数)
由于布尔代数L中的每个元都有唯一的补元.求一个元素的补元素可以 看作一元运算,称为补运算.因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,,其中'表
示求补运算.
定理8 设<L,≤>是布尔格(<L,∧,∨,0,1>)，对于所有a,b∈L,有 (1) (a′)′=a (2) (a∨b)′=a′∧b′ (3) (a∧b)′=a′∨b′ (4) a≤b⇔a∧b′=0⇔a′∨b =1 证明 (1) 由于a∧a′=1, a∨a′=0;根据交换律有, a′∧a=1, a′∨a=0;所以(a′)′=a; (2) (a∨b)∧(a′∧b′)=(a∧a′∧b′)∨(b∧a′∧b′)=0 (a∨b)∨(a′∧b′)=(a∨a′∨b′)∧(b∨a′∨b′)=1 根据补元的唯一性,可得(a∨b)′=a′∧b′
二、有界格和有补格
补元的定义: 设<L,∧,∨,0,1>是有界格a∈L,若存在b∈L使得a∨b=1和a∧b=0,则称 b为a的补元。
(1)中a,b,c都不存在补元,0与1互为补元. (2)中a,b,c中任意两个都互为补元, 0与1互为补元. (3)中a的补元都是b和c,而c的补元是a,0与1互为补元. Note: 在格中有的元素无补元,有的元素有补元,有的元素有多个补元.
作业： P239 习题7.3 9、13
谢谢同学们!
17
二、有界格和有补格
例2 (1) S={a,b,c}, 偏序格是 <ρ(S), ⊆>， 全上界 S ∀A∈ρ(S),有A⊆S 全下界 Ø ∀A∈ρ(S), 有Ø⊆A (2) X={A|A是由变元p1,p2,…,pn, ﹁,∧,∨,→, 构成的合式公 式集}。< X, ∧,∨ >诱导的偏序格是 <X, >. 全上界 T ∀P∈X,有PT 全下界 F ∀P∈X, 有FP.
离散数学答案 第十章 格和布尔代数
第十章格和布尔代数习题10.1 1．解 ⑴不是，因为L 中的元素对{2,3}没有最小上界；⑵是，因为L=｛1,2,3,4,6,9,12,18,36｝任何一对元素a ,b ，都有最小上界和最大下界；⑶是，与⑵同理；⑷不是，因为L 中的元素对{6,7}没有最小上界不存在最小上界。
2．证明 ⑴因为，a ≤b,所以，a ∨b=b ；又因为，b ≤c,所以，b ∧c=b 。
故a ∨b=b ∧c ；⑵因为，a ≤b ≤c,所以，a ∧b=a,b ∧c=b,而a ∨b=b ，因此，(a ∧b )∨(b ∧c )=b ；又a ∨b=b,b ∨c=c,而b ∧c=b, 因此，(a ∨b )∧(b ∨c )=b 。
即(a ∧b)∨(b ∧c)=(a ∨b)∧(b ∨c)。
习题10.21．解 由图1知：＜S 1,≤＞不是＜L,≤＞的子格，这是因为，e ∨f=g ∉S 1;＜S 2,≤＞不是＜L,≤＞的子格， ∵e ∧f=c ∉S 2;＜S 3,≤＞是＜L,≤＞的子格.2．解 S 24的包含5个元素的子格有如下的8个：S 1={1,3,6,12,24}, S 2={1,2,6,12,24}, S 3={1,2,4,12,24}, S 4={1,2,4,8,24},S 5={1,2,3,6,12}, S 6={1,2,4,6,12}, S 7={2,4,6,12,24}, S 7={2,4,8,12,24}.3．证明 因为，一条线上的任何两个元素都有（偏序）关系，所以，都有最大下界和最小上界，故它是格，又因为它是<L ，∨,∧>的子集，即是<L ，∨,∧>的子代数，故是子格。
4．证明 由(10-4)有，a ∧b ≤a ,由已知a ≤c ,由偏序关系的传递性有，a ∧b ≤c ；同理 a ∧b ≤d 。
由(10-5)和以上两式有，a ∧b ≤c ∧d .5．证明 因为由(10-4)有，a ∧b ≤a ，因此，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨(c ∧d ) ①由分配不等式有，a ∨(c ∧d )≤(a ∨c )∧(a ∨d ) ②再由由(10-4)有，(a ∨c )∧(a ∨d ) ≤a ∨c ③由偏序关系的传递性和①②③则有，(a ∧b )∨(c ∧d )≤a ∨c同理 (a ∧b )∨(c ∧d )≤b ∨d因此有， (a ∧b )∨(c ∧d )≤(a ∨c ) ∧(b ∨d )。
离散数学 第10讲 分配格、有界格与有补格
二、有界格和有补格
有补格定义: 如果在一个有界格中，每个元素都至少有一个补元,则称这个格为有补格. 上图中(2)和(3)是有补格,而(1)不是有补格.
定理7 在有界格<L,∧,∨,0,1>中, 0 和 1互为补元, 且是唯一的.
证明: ∵0∧1=0，0∨1=1，∴0、1互为补元。设c也是0的补元， ∵0∨c =1， ∴必有c=1，故0的补元唯一。 同理可证1的补元也唯一。 定理8 在分配格中，如果元素a∈L有一个补元a' ，则此补元a'是唯一的. 证明: 设 b,c都是a的补元, 则a∧b=0=a∧c, a∨b=1=a∨c,分配格 满足消去律,可知b=c. 消去律: (即对于任意a,b,c∈L有(a∧b=a∧c)∧ (a∨b=a∨c)⇒b=c)
一、分配格
定理4 设<L,*,⊕>是一个分配格，那么对于任意a,b,c∈L,若有a*b= a*c和a⊕b=a⊕c，则必有b=c。 证明: c = (a*c)⊕c = (a*b)⊕c = (a⊕c) *(b⊕c) = (a⊕b)*(b⊕c) = ((a⊕b)*b)⊕((a⊕b) * c) = b⊕((a*c) ⊕(b*c))
二、有界格和有补格
例2 (1) S={a,b,c}, 偏序格是 <ρ(S), ⊆>， 全上界 S ∀A∈ρ(S),有A⊆S 全下界 Ø ∀A∈ρ(S), 有Ø⊆A (2) X={A|A是由变元p1,p2,…,pn, ﹁,∧,∨,→, 构成的合式公 式集}。< X, ∧,∨ >诱导的偏序格是 <X, >. 全上界 T ∀P∈X,有PT 全下界 F ∀P∈X, 有FP.
三、布尔格(布尔代数)
布尔格的定义 如果格<L,∧,∨,0,1>,既是有补格,又是分配格,则称此格为布尔格(或有 补分配格),也叫做布尔代数. 例3 设S是非空有限集合, <ρ(S),∩,∪>为代数格 ∀A,B∈ρ(S)，A≤BA∩B=AA⊆B 由<ρ(S),∩,∪>诱导的偏序格是<ρ(S),⊆>. 说明<ρ(S),⊆>是布尔格. 证明 (1)<ρ(S),⊆>是格; (2)<ρ(S),⊆>是有界格, 因为
离散数学(格的种类)
结论：
格L,×，+是有界格，则对L中的任 意元素 a,成立： a+1=a， a+0=0 a×0=a, a×1=1 注：1与0分别是乘法和加法的零元。
定义（有补格）
定义:格L,×，+是有界格，对L中的任意的元素 a ， 必有元素 bL，使得： a+b=0 a×b=1 则称此有界格称为有补格，b是a 的补元. 注： ① 0 和 1互为补元,且是唯一的
由集合论知: A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C). .
分配格的充要条件
定理:格L是分配格当且Байду номын сангаас当在L中成立消去律.
定义（有界格）
格L,×，+中+的单位元1和 ×的单位元0， 则称此格为有界格. a+1=a， a×0=a
注：从偏序格看，1与0分别表示偏序集中的上界 和下界。
7.2.2 分配格、有界格与有补格
定义（分配格） 其两个运算满足分配律的格称为分配格,具 体讲,格L,×，+称为分配格,如果对任何a,b， c L 有 a×(b+c)=(a×b)+(a×c), (1) 和 a+(b×c)=(a+b)×(a+c). (2)
分配格举例
集S的幂集格 (S),∪,∩, 是分配格.
② a{0,1}的补元一般不唯一.
③ 有补分配格任何元 a 的补元唯一.
有补分配格的性质
德摩根律： 格L,×，+是有补分配格，则对L中的任 意元素 a,b :
(1) ( 2)
ab a b a b ab
最新离散数学第10章陈瑜
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的图
称为(n，m)图；
e4
v3 e6
v5 v4
e2 e5
e3
v2
e1
v1
21.01.2021
计算机科学与工程学院
15
图的分类(按边的重数)
1) 在有向图中，两个结点间(包括结点自身间)若有同始 点和同终点的几条边，则这几条边称为平行边。
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
5) 仅由孤立结点组成的图称为零图；
6) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
7) 含有n个结点、m条边的
e2 e5
e3
v2
21.01.2021
计算机科学与工程学院
12
几个概念
1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还 是无向的，均称边e与结点vI和vj相关联，而vi和vj称 为邻接点，否则称为不邻接的；
2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边；
3) 图中关联同一个结点的边称为环(或自回路)；
4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点；
2) 若边e与有序结点对<u，v>相对应，则称边e为有向 边，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点。v是边 e的终点，统称为e的端点；e是u的出边，是v的入边。
3) 每条边都是无向边的图称为无向图； 4) 每条边都是有向边的图称为有向图； 5) 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。
用小圆圈表示V中的结点，用由u指向v的有向线段表示 <u,v>，无向线段表示(u,v)。
《离散数学》总复习省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
P ES, ①
③(x)(P(x) (Q(x)R(x))) ④P(c) (Q(c)R(c)) ⑤Q(c)R(c)
P US, ③ T, ②, ④, I
⑥R(c) ⑦P(c)R(c) ⑧(x)(P(x)R(x))
T, ⑤, I T, ②, ⑥, I EG, ⑦
6
2、证明推理：
(PQ)(RS), (QP)R, R PQ
13
第三部分 代数系统
一、内容提要
1、代数系统旳定义（封闭性）、特殊元素（幺元，零元、逆 元、幂等元）。 2、代数系统之间旳关系：子代数，同态（单同态、满同态、 同构）。 3、同余关系旳定义和商代数。 4、半群、独异点和群旳定义及其相互间旳关系。 5、群旳基本性质：消去律、元素旳阶。 6、循环群旳性质及生成元。 7、子群旳定义及鉴定措施、正规子群旳定义及鉴定措施、子 群旳陪集。(拉格朗日定理)
=(a*c)*(a*b*c)
（由提醒）
即： (a*b*c)*(a*c) =(a*c)*(a*b*c)
故： a*b*c=a*c
24
8、设<G, ∘>是一种群，b G，定义函数f: G→G且给定成： 对任意旳x G，f(x)=b∘x∘b-1。
证明：f是从<G, ∘>到<G, ∘>旳一种同构映射。
证：
（1）显然<G, ∘>与<G, ∘>同类型；
b*a=a*b
18
4、设*运算是X中旳可结合旳二元运算，而且对任意旳x, y X, 若x*y=y*x，则x=y。证明：X中旳每个元素都是等幂旳。
证： 对任意旳x X, 要证明x是等幂旳，即证明：x*x=x 因为：*运算是X中旳可结合旳二元运算 所以：x*(x*x)=(x*x)*x 由已知：x*y=y*x x=y 得：x*x=x
第十一讲：子格,分配格与有补格
典型的格
13
模 格
定 义 （ 模 格 ） ： 设 ������ 是 格 ， 若 对 任 意 ������, ������, ������ ∈ ������，������ ≼ ������ → ������ ∨ ������ ∧ ������ = ������ ∧ (������ ∨ ������) 则称������是模格（modular lattice） ∀������, ������, ������ ∈ ������, ������ ∨ ������ ∧ ������ ≼ ������ ∨ ������ ∧ (������ ∨ ������) ������ ≼ ������ → ������ ∨ ������ ∧ ������ ≼ ������ ∧ (������ ∨ ������)
推论：
⑴小于五元的格皆为分配格 ⑵任何链皆为分配格
17
分配格
分配格的判定定理（续）
分配格
18
分配格的判定定理（续）
定理（分配格判定定理二）：设������为格， 则������是分配格当且仅当
∀������, ������, ������ ∈ ������ ������ ∧ ������ = ������ ∧ ������且������ ∨ ������ = ������ ∨ ������
格同态
9
格同构的直观特征（续）
格同态
10
格同构的直观特征（续）
格同态
11
格同构的直观特征（续）
格同态
12
几种典型的格
定义（三种典型的格）：
⑴ 链（chain）
⑵ 钻石格（diamond lattice, ������������ ）
代数结构与数理逻辑-有补格及分配格
❖ (2) 是格L到格S的一一对应, 且对任何 a,bL,a≤b当且仅当(a)≤(b)
❖ 主要证明是同态映射,即
❖ (ab)=(a)(b), (ab)=(a)(b) ❖ 分别证明(ab)≤(a)(b)
❖ (a)(b)≤(ab)
❖ 由(B;≤)定义了,运算，而a的补元a'也 是B中的元素，且分配格补元唯一
❖ '看作为B上的一元运算。
❖ [B;,,']为代数系统，又称为布尔代数。
❖ 布尔代数[B;,,']是有补分配格,具有性
质L1~L4,
❖ L1幂等律:aa=a,aa=a;
❖ L2交换律:ab=ba,ab=ba;
❖ L3结合律:a(bc)=(ab)c,
❖
a(bc)=(ab)c;
❖ L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。 ❖ 分配格,满足分配等式D1~D2,
❖ D1:a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(b c)
❖ D2:(ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc)
❖ 有补格:一定是有界格,每个元素有补元, 满足B1、B2和C1~C3,
❖ 例:如下图所示的格分配等式不成立.
❖ 例：S,[P(S);∪,∩]满足分配等式。 ❖ 分配格 ❖ 定 义 16.9 : [ L;,] 为 格 , 当 对 其 任 意 元
a,b,cL成立分配律,即
❖ (1)a(bc)=(ab)(ac); ❖ (2)(ab)(ac)=a(bc)。 ❖ 则称该格为分配格。
❖ 例:S={1,2,3,4,5},其偏序关系由下图所示, 则S是有界格,且为有补格.
❖ 由此可知补元不唯一.
离散数学知识点(可编辑修改word版)
1.内容及范围主要来自 ppt，标签对应书本2.可能有错，仅供参考离散数学知识点说明：定义：红色表示。
定理性质：橙色表示。
公式：蓝色表示。
算法: 绿色表示页码：灰色表示数理逻辑：1.命题公式：命题，联结词(⌝，∧，∨，→，↔)，合式公式，子公式2.公式的真值：赋值，求值函数，真值表，等值式，重言式，矛盾式3.范式：析取范式，极小项，主析取范式，合取范式，极大项，主合取范式4.联结词的完备集：真值函数，异或，条件否定，与非，或非，联结词完备集5.推理理论：重言蕴含式，有效结论，P 规则，T 规则， CP 规则，推理6.谓词与量词:谓词，个体词，论域，全称量词，存在量词7.项与公式:项，原子公式，合式公式，自由变元，约束变元，辖域，换名，代入8.公式语义:解释，赋值，有效的，可满足的，不可满足的9.前束范式:前束范式10.推理理论:逻辑蕴含式，有效结论，∀-规则（US），∀+规则（UG），∃-规则(ES)，∃+规则(EG), 推理集合论：1.集合: 集合, 外延性原理, ∈, ⊆, ⊂, 空集, 全集, 幂集, 文氏图, 交, 并, 差, 补, 对称差2.关系: 序偶, 笛卡尔积, 关系, domR, ranR, 关系图, 空关系, 全域关系, 恒等关系3.关系性质与闭包:自反的, 反自反的, 对称的, 反对称的, 传递的,自反闭包 r(R),对称闭包 s(R), 传递闭包 t(R)4.等价关系: 等价关系, 等价类, 商集, 划分5.偏序关系:偏序, 哈斯图, 全序(线序), 极大元/极小元, 最大元/最小元, 上界/下界6.函数: 函数, 常函数, 恒等函数, 满射,入射,双射，反函数, 复合函数7.集合基数:基数, 等势, 有限集/无限集, 可数集, 不可数集代数结构：1.运算及其性质：运算，封闭的,可交换的,可结合的,可分配的,吸收律, 幂等的，幺元,零元,逆元2.代数系统：代数系统，子代数，积代数，同态，同构。
离散数学知识点总结
总结离散数学知识点第二章命题逻辑1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假；2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积；3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反；4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假；5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写；6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项；7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取；8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式；9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假)10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法；第三章谓词逻辑1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质；多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系；2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^;3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词；第四章集合1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0；2.基：集合A中不同元素的个数，|A|；3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)；4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2；5.集合的分划：(等价关系)①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合；②这几个子集相交为空，相并为全(A)；6.集合的分划与覆盖的比较：分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；第五章关系1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基数为2种不同的关系；mn，A到B上可以定义mn2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系；3.全关系的性质：自反性，对称性，传递性；空关系的性质：反自反性，反对称性，传递性；全封闭环的性质：自反性，对称性，反对称性，传递性；4.前域(domR)：所有元素x组成的集合；后域(ranR)：所有元素y组成的集合；5.自反闭包：r(R)=RUI;x对称闭包：s(R)=RU1-R;传递闭包：t(R)=RU2R U3R U……6.等价关系：集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；7.偏序关系：集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；8.covA={<x,y>|x,y属于A，y盖住x}；9.极小元：集合A中没有比它更小的元素(若存在可能不唯一)；极大元：集合A中没有比它更大的元素(若存在可能不唯一)；最小元：比集合A中任何其他元素都小(若存在就一定唯一)；最大元：比集合A中任何其他元素都大(若存在就一定唯一)；10.前提：B是A的子集上界：A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界(若存在，可能不唯一)；下界：A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界(若存在，可能不唯一)；上确界：最小的上界(若存在就一定唯一)；下确界：最大的下界(若存在就一定唯一)；第六章函数2种不同的关系，有m n种不同的函1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有mn数；2.在一个有n个元素的集合上，可以有22n种不同的关系，有n n种不同的函数，有n!种不同的双射；3.若|X|=m,|Y|=n，且m<=n，则从X到Y有A m n种不同的单射；4.单射：f:X-Y，对任意x,2x属于X,且1x≠2x，若f(1x)≠f(2x)；1满射：f:X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；双射：f:X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；5.复合函数：fºg=g(f(x));6.设函数f:A-B，g:B-C，那么①如果f,g都是单射，则fºg也是单射；②如果f,g都是满射，则fºg也是满射；③如果f,g都是双射，则fºg也是双射；④如果fºg是双射，则f是单射，g是满射；第七章代数系统1.二元运算：集合A上的二元运算就是2A到A的映射；2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×A到A上的映射的个数，即从从A×A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为2*22=42=16种；3.判断二元运算的性质方法：①封闭性：运算表内只有所给元素；②交换律：主对角线两边元素对称相等；③幂等律：主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；④有幺元：元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；⑤有零元：元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；4.同态映射：<A,*>,<B,^>,满足f(a*b)=f(a)^f(b),则f为由<A,*>到<B,^>的同态映射；若f是双射，则称为同构；第八章群1.广群的性质：封闭性；半群的性质：封闭性，结合律；含幺半群(独异点)：封闭性，结合律，有幺元；群的性质：封闭性，结合律，有幺元，有逆元；2.群没有零元；3.阿贝尔群(交换群)：封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；4.循环群中幺元不能是生成元；5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；第十章格与布尔代数1.格：偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；2.格的基本性质：1) 自反性a≤a 对偶: a≥a2) 反对称性a≤b ^ b≥a => a=b对偶:a≥b ^ b≤a => a=b3) 传递性a≤b ^ b≤c => a≤c对偶:a≥b ^ b≥c => a≥c4) 最大下界描述之一a^b≤a 对偶 avb≥aA^b≤b 对偶 avb≥b5）最大下界描述之二c≤a,c≤b => c≤a^b对偶c≥a,c≥b =>c≥avb6) 结合律a^(b^c)=(a^b)^c对偶 av(bvc)=(avb)vc7)等幂律a^a=a 对偶 ava=a8) 吸收律a^(avb)=a 对偶 av(a^b)=a9) a≤b <=> a^b=a avb=b10) a≤c,b≤d => a^b≤c^d avb≤cvd11) 保序性b≤c => a^b≤a^c avb≤avc12）分配不等式av(b^c)≤(avb)^(avc)对偶 a^(bvc)≥(a^b)v(a^c)13）模不等式a≤c <=> av(b^c)≤(avb)^c3.分配格：满足a^(bvc)=(a^b)v(a^c)和av(b^c)=(avb)^(avc)；4.分配格的充要条件：该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；6.全上界：集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<A,<=>的全上界，记为1；(若存在则唯一)全下界：集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<A,<=>的全下界，记为0；(若存在则唯一)7.有界格：有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；8.补元：在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；9.有补格：在有界格内，每个元素都至少有一个补元；10.有补分配格(布尔格)：既是有补格，又是分配格；11.布尔代数：一个有补分配格称为布尔代数；第十一章图论1.邻接：两点之间有边连接，则点与点邻接；2.关联：两点之间有边连接，则这两点与边关联；3.平凡图：只有一个孤立点构成的图；4.简单图：不含平行边和环的图；5.无向完全图：n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；有向完全图:n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；6.无向完全图有n(n-1)/2条边，有向完全图有n(n-1)条边；7.r-正则图：每个节点度数均为r的图；8.握手定理：节点度数的总和等于边的两倍；9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；12.可达：对于图中的两个节点v,j v，若存在连接i v到j v的路，则称i vi与v相互可达，也称i v与j v是连通的；在有向图中，若存在i v到j v的j路，则称v到j v可达；i13.强连通：有向图章任意两节点相互可达；单向连通：图中两节点至少有一个方向可达；弱连通：无向图的连通；(弱连通必定是单向连通)14.点割集：删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；割点：如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；15.关联矩阵：M(G)，m是i v与j e关联的次数，节点为行，边为列；ij无向图：点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；有向图：点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，关联矩阵的特点：无向图：①行：每个节点关联的边，即节点的度；②列：每条边关联的节点；有向图：③所有的入度(1)=所有的出度(0);16.邻接矩阵：A(G)，a是i v邻接到j v的边的数目，点为行，点为列；ij17.可达矩阵：P(G)，至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列； P(G)=A(G)+2A(G)+3A(G)+4A(G)可达矩阵的特点：表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为1的通路条数；2A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为2的通路条数；3A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为3的通路条数；4A(G)中所有数的和：表示图中路径长度为4的通路条数；P(G)中主对角线所有数的和：表示图中的回路条数；18.布尔矩阵：B(G)，v到j v有路为1，无路则为0，点为行，点为列；i19.代价矩阵：邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；20.生成树：只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；21.构造生成树的两种方法：深度优先；广度优先；深度优先：①选定起始点v；②选择一个与v邻接且未被访问过的节点1v；③从v出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所1有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；广度优先：①选定起始点v；②访问与v邻接的所有节点1v,2v,……,k v,这些作为第一层节点；③在第一层节点中选定一个节点v为起点；1④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；22.最小生成树：具有最小权值(T)的生成树；23.构造最小生成树的三种方法：克鲁斯卡尔方法；管梅谷算法；普利姆算法；（1）克鲁斯卡尔方法①将所有权值按从小到大排列；②先画权值最小的边，然后去掉其边值；重新按小到大排序；③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；重新按小到大排序；④重复③，直到所有节点都被访问过一次；（2）管梅谷算法(破圈法)①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；③重复②，直到所有节点都被访问过一次；（3）普利姆算法①在图中任取一点为起点v，连接边值最小的邻接点2v；1②以邻接点v为起点，找到2v邻接的最小边值，如果最小边值2比v邻接的所有边值都小(除已连接的边值)，直接连接，否则退回1v，1连接v现在的最小边值(除已连接的边值)；1③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；24.关键路径例2 求PERT图中各顶点的最早完成时间, 最晚完成时间, 缓冲时间及关键路径.解：最早完成时间TE(v1)=0TE(v2)=max{0+1}=1TE(v3)=max{0+2,1+0}=2TE(v4)=max{0+3,2+2}=4TE(v5)=max{1+3,4+4}=8TE(v6)=max{2+4,8+1}=9TE(v7)=max{1+4,2+4}=6TE(v8)=max{9+1,6+6}=12 最晚完成时间TL(v8)=12TL(v7)=min{12-6}=6TL(v6)=min{12-1}=11TL(v5)=min{11-1}=10TL(v4)=min{10-4}=6TL(v3)=min{6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2 TL(v1)=min{2-1,2-2,6-3}=0 缓冲时间TS(v1)=0-0=0TS(v2)=2-1=1TS(v3)=2-2=0TS(v4)=6-4=2TS(v5=10-8=2TS(v6)=11-9=2TS(v7)=6-6=0TS(v8)=12-12=0关键路径: v1-v3-v7-v825.欧拉路：经过图中每条边一次且仅一次的通路；欧拉回路：经过图中每条边一次且仅一次的回路；欧拉图：具有欧拉回路的图；单向欧拉路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；欧拉单向回路：经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；26.（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：①连通图；②有0个或2个奇数度节点；（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：①连通图；②所有节点度数均为偶数；（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：①除两个节点外，每个节点入度=出度；②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；度比出度少1；（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：图中每个节点的出度=入度；27.哈密顿路：经过图中每个节点一次且仅一次的通路；哈密顿回路：经过图中每个节点一次且仅一次的回路；哈密顿图：具有哈密顿回路的图；28.判定哈密顿图（没有充要条件）必要条件：任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；充分条件：图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；29.哈密顿图的应用：安排圆桌会议；方法：将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路(哈密顿图)，即可；30.平面图：将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；31.面次：面的边界回路长度称为该面的次；32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；33.欧拉定理：假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则 v-e+r=2；34.判断是平面图的必要条件：(若不满足，就一定不是平面图)设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>=3，则e<=3v-6；35.同胚：对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；36.判断G是平面图的充要条件：图G不含同胚于K3.3或K5的子图；37.二部图：①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；完全二部图：二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；判定无向图G为二部图的充要条件：图中每条回路经过边的条数均为偶数；38.树：具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；39.节点的层数：从树根到该节点经过的边的条数；40.树高：层数最大的顶点的层数；41.二叉树：①二叉树额基本结构状态有5种；②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；④二叉树内节点的度数=边的总数(只算出度)；握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有12 k个(k>=1)；⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为k2-1个，最少k个(k>=1)；⑧如果有n个叶子，2n个2度节点，则0n=2n+1；42.二叉树的节点遍历方法：先根顺序（DLR）；中根顺序（LDR）；后根顺序（LRD）；43.哈夫曼树：用哈夫曼算法构造的最优二叉树；44.最优二叉树的构造方法：①将给定的权值按从小到大排序；②取两个最小值分支点的左右子树(左小右大)，去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；③重复②，直达所有权值构造完毕；45.哈夫曼编码：在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；每个节点的编码：从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求。
离散数学教学课件 (19)
❖ 给定的有单位元1的环[B;+,·],若它的每个 元素都是幂等元,且定义任a,bB,a'=1-a, ab=a+b-a·b,ab=a·b,可以得到一个代 数系统[B;,,'],可以验证它满足H1~H4, 因此所定义的代数系统[B;,,']是布尔代 数。
❖ (H4)a'B,使aa'=0,aa'=1。 ❖ 则[B;,,']为布尔代数。
❖[B; ,,']为代数系统,,,为定义在B 上的二元运算,’为定义在B上的一 元运算, 满足条件(H1)~(H4),则称B为
布尔代数。
❖ 二、布尔环
❖ 定义:在布尔代数[B;,,']中,定义B上的 二元运算+及·如下:任a,bB
❖
a(bc)=(ab)c;
❖ L4吸收律:a(ab)=a, a(ab)=a。 ❖ 分配格,满足分配等式D1~D2,
❖ D1:a(bc)=(ab)(ac);(ab)(ac)=a(b c)
❖ D2:(ab)(ac)(bc)=(ab)(ac)(bc)
❖ 有补格:一定是有界格,每个元素有补元, 满足B1、B2和C1~C3,
❖ a+b=(ab')(a'b),a·b=ab
❖ 容易验证在一般的布尔代数[B;,,']上定 义的[B;+,·]是可交换的有单位元环。我 们称这样的环为布尔环
❖ 定义16.12:[B;,,']为布尔代数,如上定 义+,·,则有[B;+,·]为环,称此环为布尔环。
❖ 定理16.12:[B;+,·]为布尔环,则对任 aB,a2=a,且2a=0。