含参绝对值不等式解法
绝对值不等式中的含参问题(原创)
绝对值不等式中的含参问题在高中数学中，绝对值不等式的求解及含参问题是高考中不等式选讲部分重要的考点，面对诸多的含参问题，我们来对这些类型的题目作以梳理。
绝对值不等式的核心是去掉绝对值符号，将它转化为一般不等式加以解决。
一、绝对值的最值问题1、当绝对值中x 的系数相同时。
运用三角不等式：||a |−|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |例1：求函数f (x )=|x −3|+|x −4|的最值解：|x −3|+|x −4|≥|(x −3)−(x −4)|=1，函数f (x )的最小值为1。
例2：求函数f (x )=|2x −1|−|2x −3|的最值解：||2x −1|−|2x −3||≤|(2x −1)−(2x −3)|=2，即得到−2≤|2x −1|−|2x −3|≤2，函数f (x )的最小值为−2，最大值为2。
2、当绝对值中x 的系数不相同时。
①零点分段，②写出分段函数，③画草图（或直接由直线的上升与下降判断最高或最低处），在分界点处求最值。
例：求函数f (x )=|2x −2|+|x +2|的最值解：当{x ≤−2−(x +2)−(2x −2) 即{x ≤−2−3x ， 当{−2<x <1(x +2)−(2x −2) 即{−2<x <1−x +4， 当{x ≥1(x +2)+(2x −2) 即{x ≥13x。
则有f(x)={−3x, x≤−2−x+4, −2<x<13x, x≥1画出草图，或者由每一段的单调性判断直线的上升或者下降，图像从左往右先降，再降，后升，在x=1处，函数取得最小值3。
二、求绝对值中的参数范围1、恒成立问题∀x∈D,a<f(x)恒成立，则a<f min(x)∀x∈D,a>f(x)恒成立，则a>f max(x)例1：|x−3|+|x−4|>a对一切x∈R恒成立，求a的取值范围。
析：先求函数f(x)=|x−3|+|x−4|的最小值，再a<f min(x)解：由|x−3|+|x−4|≥|(x−3)−(x−4)|=1，得f min(x)= 1，则a<1。
含参数的绝对值不等式的解法
含参数的绝对值不等式的解法含参数的绝对值不等式是高中数学中常见的一类问题，解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将简要介绍含参数的绝对值不等式的解法，并通过例题进行说明，帮助读者更好地理解和掌握这类问题的解题方法。
一、绝对值不等式的基本概念在开始介绍含参数的绝对值不等式的解法之前，我们先来回顾一下绝对值不等式的基本概念。
对于任意实数x，绝对值|x|的定义如下：当x≥0时，|x|=x；当x<0时，|x|=-x。
绝对值的定义告诉我们，无论x是正数还是负数，绝对值都是非负的。
绝对值不等式则是对绝对值进行不等式的运算，即|x|<a或|x|>a，其中a为正实数。
含参数的绝对值不等式的解法与普通的绝对值不等式有一些区别，需要根据参数的取值范围来进行分类讨论。
1. 当参数的取值范围为正数时，我们可以直接根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x-2|<a，其中a>0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-2≥0时，|x-2|=x-2，不等式变为x-2<a，解为x<a+2；（2）当x-2<0时，|x-2|=-(x-2)，不等式变为-(x-2)<a，解为x>2-a。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为2-a<x<a+2。
2. 当参数的取值范围为负数时，同样可以根据绝对值的定义进行求解。
例如，对于不等式|x+3|<b，其中b<0，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x+3≥0时，|x+3|=x+3，不等式变为x+3<b，解为x<b-3；（2）当x+3<0时，|x+3|=-(x+3)，不等式变为-(x+3)<b，解为x>-3-b。
综合以上两种情况，得到不等式的解集为b-3<x<-3-b。
3. 当参数的取值范围为正负混合时，我们需要分情况讨论。
例如，对于不等式|x-1|<c，其中c可以为正数也可以为负数，我们可以得到以下解法步骤：（1）当x-1≥0时，|x-1|=x-1，不等式变为x-1<c，解为x<c+1；（2）当x-1<0时，|x-1|=-(x-1)，不等式变为-(x-1)<c，解为x>1-c。
含参数含绝对值不等式的求解举例
含参数含绝对值不等式的求解举例
广东顺德李伟强职校韦生
问题：如果不等式的解集是，求b的取值范围百度网上给出的答案：R 事实上，上述答案是错的：
例1：求不等式的解集
解：需要分为：和两种情况讨论
1.当时，即时，不等式等价于不等式组。
(1) 或(2)
解（1）得：解集。
解（2）得:或解集
综合：时，原不等式的解集为：
或
2当.即不等式等价于不等式组。
(3) 或(4)
解（3）得：
解（4）得:
综合：即不等式的解为
回到问题的开始：
如果不等式的解集是，求b的取值范围，那么b的取值范围应为:,而不是R
为此，我们可以通过验证来检验。
例2：（1）取b=1>时，不等式：的解集为：
（2）取b=<时，不等式：的解集为或
教学时，学生感觉此题较难，找不到解题思路。
从上面解题过程看，解法是进行二次分类讨论：首先确定b的分类：和；其次绝对值的分类；因此，加强多个知识点的综合应用练习，从而培养综合运用知识能力，更好的适应应考要求。
含绝对值不等式的解法(含答案)(可编辑修改word版)
⎨ ⎩ 含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用 x > a 与 x < a 的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义： x 是指数轴上点 x 到原点的距离； x 1 - x 2 两点间的距离.。
2、 x > a 与 x < a 型的不等式的解法。
是指数轴上 x 1 ， x 2 当a > 0 时，不等式 x > 的解集是{x x > a ,或x < -a}不等式 x < a 的解集是{x - a < x < a };当a < 0 时，不等式 x > a 的解集是{x x ∈ R }不等式 x < a 的解集是∅ ;3． ax + b > c 与 ax + b < c 型的不等式的解法。
把 ax + b 看作一个整体时，可化为 x < a 与 x > a 型的不等式来求解。
当c > 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x ax + b > c ,或ax + b < -c}不等式 ax + b < c 的解集是{x - c < ax + b < c };当c < 0 时，不等式 ax + b > c 的解集是{x x ∈ R }不等式 a + bx < c 的解集是∅ ;例 1 解不等式 x - 2 < 3分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“ x - 2 ” 看着一个整体。
答案为{x - 1 < x < 5}。
(解略)⎧a (a > 0), （二）、定义法:即利用 a = ⎪0(a = 0), ⎪-a (a < 0). 去掉绝对值再解。
含绝对值不等式的解法 ppt课件
x<1或x>3，
即x≤9， x≥－5.
∴－5≤x<1 或 3<x≤9.
∴原不等式解集为{x|－5≤x<1 或 3<x≤9}．
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法二：原不等式可转化为 －7≤2－x<－1或1<2－x≤7， ∴3<x≤9或－5≤x<1， ∴原不等式解集为{x|－5≤x<1或3<x≤9}． 【名师点评】 本例题是不等式的一种常见 题，第二种解法要比第一种解法更为简 单．也可根据绝对值的意义解题．
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误区警示
例 求使不等式|x－4|＋|x－3|<a有解的a的取 值范围． 【错解】 ∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1. ∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1. ∴a<1时原不等式有解． 【错因】 “|x－4|＋|x－3|<a有解”理解错． 上述解法是无解的情况．
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【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用．
f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
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变式训练3 若不等式|x＋3|－|x－5|<m对 x∈R恒成立，则m的取值范围为________． 解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8， ∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8， ∴m>8. 答案：(8，＋∞)
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(3)原不等式可化为－5<x2－3x＋1<5， x2－3x＋1>－5，
即x2－3x＋1<5. ∴x－∈1R<x，<4， 即－1<x<4. ∴原不等式的解集为{x|－1<x<4}．
含有参数的绝对值不等式解法举例
含有参数的绝对值不等式解法举例
题型一
普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修4-5）――《不等式选讲》第20页的第9题是：
如果关于x的不等式x-3+x-4解法一当x≤3时，解得x>7-a2.
当31.
当x≥4时，解得x1或7+a2>4，即a>1.
综上所述：a>1.
解法二令f（x）=|x-3|+|x-4|，即
f（x）= -2x+7，x≤3，1，31时，原不等式有解.
解法三由绝对值三角不等式可知：
x-3+x-4=x-3+4-x?颉荭颍?x-3）+（4-x）=1.
要使x-3+x-41.
本题还可以做以下变式：
x-4+x-3变式1：若关于x的不等式x-4+x-3>a恒成立，求参数a的取值范围.
解令f（x）=x-4+x-3.
因为x-4+x-3?颉?1，
所以fmin（x）=1.
若要使原不等式恒成立，只需使fmin（x）>a即可.
即aa.
变式3：若关于x的不等式x-3-x-4>a有解，求参数a的取值范围（aa的解集为，求参数a的取值范围（a≥1，解略）.
题型二
x2+2x-3>a.
当a0或x2+2x-3-1+4+a或x-1+4+a或x-1+4+a或x。
1.2.2含参绝对值不等式解法
[归纳领悟]
比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是： (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论． 其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形 式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．
比较法：
例1.试比较a b 与a b ab 的大小。
n n n1 n1
2 x 3, f ( x) 1, 2 x 3, x 2 2≤x≤ 1, x 1
则
如图,显然函数f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-1,+∞)上单
调递增,在[-2,-1]上为常数1,所以函数f(x)的最小值为1. 因为不等式|x+2|+|x+1|>k恒成立,所以k<1. 答案:(-∞,1)
题型五.|ax+b|+|cx+d|≥k(k∈R)型
例5. 解不等式|x-2|+|x-4|≥4
法一：零点分段讨论法
法二：构造函数法（图像法）
法三：利用绝对值不等式的几何意义
练习. f(x)=|x-1|+|x-a|
(1)若a 1, 解不等式f ( x) 3;
(2)在(1)的条件下，f ( x) k k恒成立，
练习:
1.解不等式|2x-4|-|3x+9|<1
6 x x 或x 13 5
2.对任意实数 x，若不等式 |x+1| |x 2|>k 恒成立， 则 k 的取值范围是（B ） ( A)k 3 ( B)k 3 (C )k ≤ 3 ( D) k ≤ 3
3.不等式 x 4 x 3 a 有解的条件是( B )
例2.试比较a b 与a b (a、b 0)的大小。
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式解法
带有绝对值的不等式通常需要根据绝对值的性质进行分类讨论，然后根据不同情况分别解出不等式。
以下是带有绝对值的不等式的一般解法步骤：
1. 首先，需要确定绝对值内的表达式的符号。
2. 根据表达式的符号，将不等式分成两种情况进行讨论。
3. 对于每种情况，将绝对值符号去掉，并解出不等式。
4. 最后，将两种情况下的解集合并起来，得到最终的解集。
以下是一些常见的带有绝对值的不等式的解法示例：
1. 绝对值不等式：|x|<a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x<a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x<a，即x>-a。
因此，不等式的解集为-a<x<a。
2. 绝对值不等式：|x|>a（其中a为正数）
当x\ge0时，|x|=x，则原不等式可化为x>a。
当x<0时，|x|=-x，则原不等式可化为-x>a，即x<-a。
因此，不等式的解集为x<-a或x>a。
3. 绝对值不等式：|x-a|<b（其中a、b为常数）
当x\ge a时，|x-a|=x-a，则原不等式可化为x-a<b，即x<a+b。
当x<a时，|x-a|=a-x，则原不等式可化为a-x<b，即x>a-b。
因此，不等式的解集为a-b<x<a+b。
需要注意的是，对于带有绝对值的不等式，解集可能包含零值，也可能不包含零值，具体情况需要根据不等式的具体形式进行讨论。
1。
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课题含参绝对值不等式解法（3课时）总第课时
备课组高二年级备课组主备课人张忠才授课时间2014年6月10
备课组成员
教学目标
1.掌握含有参数绝对值不等式解法
2.解含参绝对值不等式中注意参数的讨论
重点掌握含有参数绝对值不等式解法
难点参数的求解。
教学方法启学法教学手段多媒体
教学过程
教师与学生活动
一、课前回顾(知识链接)
含有绝对值不等式的类型及解法（学生默写出绝对值不等式的类型及解法）
学生在黑板演练
1、简单的去绝对值情形
1、不等式：3
2-
x≤1的解集是_______ ___．
2.不等式：1
-
x≥3的解集是_______ _ _．
3.解不等式：3
1
2>
-
+x
x的解集是_______ _ _．
2、涉及两个且另有一常数时，用分段讨论法去绝对值
1. 不等式：|||1|3
x x
+->的解集是_______ _ _．
2．不等式的解集为.
3. 不等式|
2
1
|
2
|
4
3
2|+
-
≥
-x
x的解集是_______ _ _．4．对于x R
∈，不等式1028
x x
+--≥的解集为________
二、例题讲解
例题分析（1）
1已知函数()
f x x a
=-,其中1
a>.
(I)当=2
a时,求不等式()44
f x x
≥--的解集;
(II)已知关于x的不等式()()
222
f x a f x
+-≤的解集为{}
|12
x x
≤≤,求a的值.
2、本小题满分10分）设函数0
,
3
)
(>
+
-
=a
x
a
x
x
f
（1）当1
=
a时，求不等式2
3
)
(+
≥x
x
f的解集；
(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{}1-≤x x ，求a 的值。
3、已知函数()2f x x a x =++-
（1）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；
（2）若()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.
4．本小题满分10分）已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|.
（I ）证明：-3≤f （x ）≤3；
（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集.
5、设函数.|||1|)(a x x x f -+-=
（I ）若3)(,1≥-=x f a 解不等式；
（II ）如果a x f x 求,2)(,≥∈∀R 的取值范围。
6、已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式3)(≤x f 的解集为}12{≤≤-x x 。
(Ⅰ)求a 的值；
(Ⅱ)若k x f x f ≤-)2(2)(恒成立，求k 的取值范围。
7、已知函数()f x x a =-,其中1a >.
(I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集;
(II)已知关于x 的不等式()(){}
222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 附加：三角不等式y x y x +≤-，y x y x +≤+运用
1. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则1++y x 的最大值为 .
2. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则32++y x 的最大值为 .
3.已知实数x ，y 满足1≤+y x ，323≤-y x ，则y x -2的最大值为 .
4.已知实数x ，y 满足12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为 .
5. 对于实数x ，y ，若12≤+-y x ，323≤-y x ，则45+x 的最大值为 .
6. 对于实数x ，y ，若12≤+x ，21≤-y ，则3+-y x 的最大值为 . 例题分析（2）
历年有关不等式选讲高考题（2010年——2014年）（ppt 演示）
课堂小结
本节课你有什么收获?(本节课的知识点、其中一道例题的其他解法、那些知识点有困惑)。
作业布置 1、不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围
2、若关于x 的不等式34---<x x a 存在实数解，则实数a 的取值范围为
教
学
反
思。