高三数学考试试题错误失误分析(文)
高考数学备考经验总结与反思(9篇)
高考数学备考经验总结与反思（9篇）高考数学备考经验总结与反思（9篇）随着社会一步步向前发展，教学是教师的任务之一，反思指回头、反过来思考的意思。
那么反思应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一些高考数学备考经验总结与反思，欢迎阅读参考。
高考数学备考经验总结与反思篇1一、完成学科教学任务方面的总结与反思。
1、总结：完成教学进度。
从8月份至期末考前，按照教学进度，完成了除三选二专题外的必修课程与选修系列2的基础知识复习，实现了第一轮的系统复习，本轮复习注重基础知识、基本技能、基本方法的复习训练，目标是全面、扎实、系统、灵活。
注重学法指导。
由于学生极易忽视复习课中重要例题所蕴含的数学思想方法。
所以本轮复习中，我们强调，梳理回顾知识概念的发生发展背景，定理公式的推导形成过程，形成完整的知识体系，整体把握数学认知结构。
在知识方法的运用方面，注重基础与拓展，强调通法与审题，训练学生的数学思维习惯与解题规范。
2、反思：研究教材要做到考试范围与考题意识心中有数?一轮复习要从数学思想方法的高度进一步抽象概括，指出每一节内容的最实质的地方，深入挖掘、透彻领悟;要从课程目标要求和高考实际，总结每一节内容的考题角度，加以训练、提升能力。
研究教辅要做到创造性与选择性的使用?要注意教材中的例题、习题的基础性、典型性，通过一题多解、一题多变、多题一解的方式，深入挖掘其进一步的教学功能，特别是解题功能。
注意教辅用书的选择使用，通过增删习题的方式，依据本班学生的具体学情，对照考试说明，研究例题配置、学生训练和课堂教学。
二、了解班级学生情况的总结与反思1、总结：在课堂教学前，注重错题本的统计与利用，督促学生及时认真的反馈学习中存在的问题，并记录在错题本之中，了解学生对本学科复习的时间与精力投入，要求学生重视本学科的复习要求，进而了解任教班级的学习情况，包括学科基础、学习习惯、解题规范方面。
在课堂教学中，注意倾听学生发表的不同意见，主要是学科知识的梳理要求，解题思路的不同角度，了解学生对基础知识体系的把握程度，对知识运用和基本方法的掌握程度。
2022年高三数学备考过程中存在的问题、反思及其应对策略
2022年高三数学备考过程中存在的问题、反思及其应对策略【摘要】有句俗语：＂工欲善其事，必先利其后。
高三阶段是一个系统化的复习阶段，关系到学生们的未来发展，可以说教师与学生是分秒必争。
掌握高效的复习方法和有效的教学手段，才能以最好的心态和信心迎接高考．因此，解决学生在学习数学时遇到的问题，如何提高数学复习效率是现代教师应该考虑的一大课题。
【关键词】备考、问题、反思、策略今年引起巨大热议的全国乙卷与新高考卷，它们被许多考生甚至是数学老师批评难度大，有老师甚至用了＂近乎变态＂这样的词语来评价，有人说今年的压轴大题是高考数学史上第二难的题仅次于2003年的高考题，而当你翻看近三年全部的高考数学试卷以及上面试卷诞生的流程，你就必须知道今年的试卷并不是命题组的一时兴起，是经过了反复讨论最终确定，而它们也说明了今后命题与改革的方向，未来会着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力.对于高考这种选拔性的考试，数学试卷就是一把利器，我们可以看到很多学生从考场出来以后，痛哭流涕，觉得是数学毁了他们的高考，真的是这样吗？有句俗语：＂工欲善其事，必先利其后。
高三阶段是一个系统化的复习阶段，关系到学生们的未来发展，可以说教师与学生是分秒必争。
掌握高效的复习方法和有效的教学手段，才能以最好的心态和信心迎接高考．因此，解决学生在学习数学时遇到的问题，如何提高数学复习效率是现代教师应该考虑的一大课题．一、备考复习中存在的问题高三数学备考复习阶段，即要全面复习学科主干知识点、考点，又要借助一定量的训练，达到将所学知识转化为解答高考试题的能力。
但是，在备考复习的过程中出现了如下情况：1、教师梳理讲评过的知识与练习题，经过学生复习、练习之后，隔一段时间再重现，学生仍觉得许多知识点、练习题似曾相识，但仍有部分学生无从下手。
2、还有部分学生做选择题不能准确把握问题和所考的知识点，不会分析大题的材料，得分低。
高三数学一模考试总结分析（2篇）
高三数学一模考试总结分析一、试卷分析二、答卷分析通过本次阅卷的探讨和本人对试卷的分析，学生在答卷中存在的主要问题有一下几点：2.基础知识不扎实，基本技能和方法掌握不熟练.3.审题不到位，运算能力差，书写不规范.审题不到位在的第18题表现的较为明显。
这是一道概率题，由于审题不到位致使将概率模型搞错、在(Ⅰ)问中学生出现结果重复与遗漏的现象严重导致后面全错，还有不会应用数学语言，表达五花八门。
在考生的试卷中，因审题不到位、运算能力差等原因导致的书写不规范问题到处可见.4.综合能力不够，运用能力欠佳.第21题为例，这道题是导数问题(Ⅰ)求单调区间，(Ⅱ)求恒成立问题(Ⅲ)最值问题"由于学生综合运用能力较弱，致使考生不知如何分类讨论，或考虑问题不全面，导致解题思路受阻。
绝大部分学生几乎白卷。
5.心态不好，应变能力较弱.考试本身的巨大压力，考生信心不足，造成考生情绪紧张，缺乏冷静，不能灵活应变，会而不对、对而不全，甚至会而不得分的情形常可见到三、教学建议后阶段的复习，特别是第二轮复习具有承上启下，知识系统化、条理化的作用，是促进学生素质、能力发展的关键时期，因而对讲练、检测等要求较高，如何才能在最后阶段充分利用有限的时间，取得满意的效果从这次的检测结果来看：1、研读考纲和说明，明确复习方向认真研读考试大纲和考试说明，关注考试的最新动向，不做无用功，弄清了“不考什么”后，还要弄清“考什么”，做到“有备无患”。
2、把所学知识和方法系统化、网络化(1)注重基础知识，整合主干内容，建构知识网络体系。
专题训练和综合训练相结合，课本例习题和模拟试题都重视，继续查漏补缺，归纳总结，巩固和深化一轮复习成果。
(2)多思考感悟，养成良好的做题习惯。
分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。
做到审题三读：一读明结构，二读抓关键，三读查缺漏;答题三思：一思找通法，二思找巧法，三思解;题后三变：一变同类题，二变出拓展，三变出规律。
高三试卷分析反思
高三试卷分析反思一、试卷分析本次试卷主要有三种题型：选择题占40分；填空题占30分；解答题占80分。
试题考查的知识范畴：从整套试题可以看出，试题结构合理，对知识和能力的考察全面，题目层次明晰，主要体现在如下一些方面。
1、全面覆盖基础知识：全面覆盖了中学数学教材中的知识模块，突出了学科的核心内容集合与函数，立体几何，解析几何、数列、复数、算法、概率统计、导数的应用等重点内容，基础知识和思维能力方面都达到了必要的考查的广度和深度。
2、注重能力的考查，特别是逻辑思维能力，运算能力和空间想象能力的强调比较突出。
二、成绩统计及分析1、“一分三率”的统计“一分”即班级平均分为53.67“三率”指：及格率0%、优秀率0%、低分率30.8%2、分数段统计3、各题的得分率三、学生答题存在的问题原因：1、基础知识不扎实。
数学科目的很多知识仍然要求学生熟练记忆，而这往往是学生容易忽视的，认为没有必要记忆，多数学生的基础不扎实与这有很大关系。
只有在这些基础都打得非常牢固的前提下，才能在数学学习上争取更大的提高。
2、看题不清，审题不准。
审题是做对题的基础和前提，一旦审错题，后面的工作就白做了，出力不讨好！所以一定要重视审题环节。
3、粗心大意，越是简单的问题越反而出错。
主要表现为数学表示错误，笔误多，计算出错多，结果不化简，将题目所给数据代错等等。
4、学生考试答题不规范。
从现在看来，有一半以上的学生考试答题还不规范，没有经过系统的训练，同时还有一些普通学校的改卷也不规范，没有根据高考的阅卷的要求来批改学生试卷，这样对学生来说是不利的。
解题过程不规范，不写出中间主要步骤，只写出最后答案。
比如在概率题中只写出结果不写出简要过程，在几何题中，关键性的推导证明没有写出等。
5、做综合题缺少思路和方法。
这是很多学生存在的问题，遇到综合题就不知道怎么去分析，找不到切入点，只好说一句“我不会”。
四、试卷分析反思：（一）试卷分析得到的启示：根据对试卷的抽样分析，从试卷得分来看，学生的两极分化仍然严重。
高三考试总结与反思8篇
高三考试总结与反思8篇篇1一、考试概况回顾本次考试是对高三学子们一年来辛勤努力的全面检验。
考试内容覆盖了高中各学科的知识点，旨在考察学生的知识掌握程度、应用能力和思维方式。
此次考试共涉及科目包括语文、数学、英语等基础课程及物理、化学等理科科目，全体考生都表现出极高的重视和投入。
经过一周紧张的考试过程，学生们的成绩呈现出多元化分布。
从整体情况来看，大多数学生能够正常发挥所学，部分学生在个别科目上取得了优异成绩。
然而，也存在一部分学生因心态不稳定或其他因素导致发挥不佳的情况。
二、成绩分析与反思本次考试成绩反映了学生们的学习状态及学习成果，透过数据分析可以为我们带来多方面的反思：（一）优点体现在本次考试中，学生们展现出了良好的知识储备和一定的应用能力。
特别是在数学和物理等科目中，学生们的逻辑思维能力和问题解决能力得到了充分体现。
同时，学生们在备考过程中展现出的毅力和勤奋也是值得肯定的优点。
（二）存在问题分析本次考试数据，不难发现以下几个问题：首先，部分学生对基础知识的掌握还不够扎实，在题目难度适中的情况下依然出现失误；其次，部分学生在面对复杂问题时缺乏灵活应变的能力；最后，备考过程中部分学生存在心态不稳定的问题，容易受到外界干扰影响复习效率。
此外，在复习策略和方法上，也有待进一步优化和改进。
三、学习策略与方法反思学习是一个不断调整和提高的过程。
本次考试过后，学生们需要在学习策略与方法上作出一些思考和调整：（一）加强基础知识巩固知识是能力的基础。
在备考过程中，学生需要加强对基础知识的巩固和理解，确保对每一个知识点都有深入的了解和把握。
（二）提升问题解决能力面对复杂问题，学生需要具备灵活应变的能力。
这需要通过大量的练习和实战模拟来培养和提高。
同时，学生们也需要学会运用所学知识解决实际问题，提升知识的应用性和实践性。
（三）调整心态与学习方法备考过程中，心态至关重要。
学生们需要学会调整心态，保持积极乐观的学习态度。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期期中考试文科数学试题(解析版)
成都七中2022～2023学年度（上）高三年级半期考试数学试卷（文科）（试卷总分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，则()U A B = ð（ ）A. {}0,6 B. {}1,4 C. {}2,4 D. {}3,5【答案】C【解析】【分析】根据交集、补集的定义，即得解【详解】由题意，全集{}0,1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}1,3,5B =，故{0,2,4,6}U B =ð则(){2,4}U A B =∩ð故选：C2. 复数43i 2i z -=+（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法的运算法则，求出复数z ，然后由虚部的定义即可求解.【详解】解：因为复数()()()()2243i 2i 43i 510i 12i 2i 2i 2i 21z ----====-++-+，所以复数z 的虚部为2-，故选：A .3. 青少年视力被社会普遍关注，为了解他们的视力状况，经统计得到图中右下角12名青少年的视力测量值()1,2,3,,12i a i =⋅⋅⋅（五分记录法）的茎叶图，其中茎表示个位数，叶表示十分位数．如果执行如图所示的算法程序，那么输出的结果是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】依题意该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3人数，结合茎叶图判断可得；【详解】解：根据程序框图可知，该程序框图是统计这12名青少年视力小于等于4.3的人数，由茎叶图可知视力小于等于4.3的有5人，故选：B4. 抛物线()220y px p =≠上的一点()9,12P -到其焦点F 的距离PF 等于（ ）A. 17B. 15C. 13D. 11【答案】C【解析】【分析】由点的坐标求得参数p ，再由焦半径公式得结论．【详解】由题意2122(9)p =⨯-，解得8p =-，所以4(9)132P p PF x =--=--=，故选：C ．5. 奥运会跳水比赛中共有7名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到5个有效评分，则与7个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ）A. 众数B. 方差C. 中位数D. 平均数【答案】B【解析】的【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案．【详解】对于A：众数可能不变，如8,7,7,7,4,4,1，故A错误；对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确；对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误；对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误；故选：B6. 已知一个几何体的三视图如图，则它的表面积为（）A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π【答案】B【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同，根据题干三视图的数据，以及圆锥的侧面积和球的表面积公式，即得解【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥和半球拼接成的组合体，且圆锥的底面圆和半球的大圆面半径相同底面圆的半径1r =，圆锥的母线长2l ==记该几何体的表面积为S 故211(2)4422S r l r πππ=+⨯=故选：B7. 设平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a = ，2b = ，则()2a a b ⋅+= （ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算律以及数量积的定义，计算即得解【详解】由题意，()22222112cos120211a ab a a b ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯=-= 则()21a a b ⋅+= 故选：A8. 设x ，y 满足240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A. 2- B. 1- C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示, 转化2z x y =+为2y x z =-+,要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大，数形结合即得解【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示转化2z x y =+为2y x z=-+要使得2z x y =+取得最大值，即直线2y x z =-+与阴影部分相交且截距最大由图像可知，当经过图中B 点时，直线的截距最大240220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得(0,2)B 故2022z =⨯+=故2z x y =+的最大值是2故选：D9. “α为第二象限角”是“sin 1αα>”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据条件sin 1αα->求出α的范围，从而可判断出选项.【详解】因为1sin 2sin 2sin 23πααααα⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由sin 1αα>，得2sin 13πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1sin 32πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以522,636k k k Z ππππαπ+<-<+∈，即722,26k k k Z πππαπ+<<+∈，所以当α为第二象限角时，sin 1αα>；但当sin 1αα>时，α不一定为第二象限角，故“α为第二象限角”是“sin 1αα>”的充分不必要条件.故选：A .10. 已知直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，则22log log a b +的最大值为（ ）A. 3B. 2C. 2-D. 3-【答案】D【解析】【分析】由直线与圆相切可得2214a b +=，然后利用均值不等式可得18ab ≤，从而可求22log log a b +的最大值.【详解】解：因为直线()100,0ax by a b +-=>>与圆224x y +=相切，2=，即2214a b +=，因为222a b ab +≥，所以18ab ≤，所以22221log log log log 38a b ab +=≤=-，所以22log log a b +的最大值为3-，故选：D .11. 关于函数()sin cos 6x x f x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的叙述中，正确的有（ ）①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内单调递增；③3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数；④()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④【答案】C【解析】【分析】应用差角余弦公式、二倍角正余弦公式及辅助角公式可得()11sin(2)264f x x π=-+，再根据正弦型函数的性质，结合各项描述判断正误即可.【详解】()211sin cos sin sin )cos sin 622x f x x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+= ⎪⎝⎭11112cos 2sin(2)44264x x x π-+=-+，∴最小正周期22T ππ==，①错误；令222262k x k πππππ-≤-≤+，则()f x 在[,63k k ππππ-+上递增，显然当0k =时,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，②正确；1111sin(2)cos 2322424f x x x ππ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭，易知3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，③正确；令26x k ππ-=，则212k x ππ=+，Z k ∈，易知()f x 的图象关于1,124π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，④错误；故选：C12. 攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状．始建于1752年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观．其檐平面呈正八边形，上檐边长为a ，宝顶到上檐平面的距离为h ，则攒尖的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】攒尖是一个正八棱锥，由棱锥体积公式计算可得．【详解】如图底面正八边形ABCDEFGH 的外接圆圆心是O （正八边形对角线交点），设外接圆半径为R ，在OAB 中，4AOB π∠=，AB a =，由余弦定理得222222cos (24a R R R R π=+-=-，22R ==，正八边形的面积为218sin 24S R π=⨯22(1a =，所以攒尖体积13V Sh ==．故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是_______________________．【答案】2,2x x N x ∀∈≥【解析】【分析】根据命题的否定的定义求解．【详解】特称命题的否定是全称命题．命题“x N ∃∈，22x x <”的否定是：2,2x x N x ∀∈≥．故答案为：2,2x x N x ∀∈≥．14. 函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为_______________________．（要求写一般式方程）【答案】230x y +-=【解析】【分析】利用导函数求出斜率，即可写出切线方程.【详解】()ln f x x =-的导函数是()1f x x'=，所以()111122f '=-=-.又()11f =，所以函数()ln f x x =-在1x =处的切线方程为()1112y x -=--，即230x y +-=.故答案为：230x y +-=.15. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为1F 、2F ，且两条渐近线互相垂直，若C 上一点P 满足213PF PF =，则12F PF ∠的余弦值为_______________________．【答案】13【解析】【分析】由题意可得b a =，进而得到c =，再结合双曲线的定义可得123,PF a PF a ==，进而结合余弦定理即可求出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>，所以渐近线方程为b y x a =±，又因为两条渐近线互相垂直，所以21b a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以1b a =，即b a =，因此c =，因此213PF PF =，又由双曲线的定义可知122PF PF a -=，则123,PF a PF a ==，所以在12F PF △中由余弦定理可得222122112121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠===⋅，故答案为：13.16. 已知向量(),a x m = ，()32,2b x x =-+ ．（1）若当2x =时，a b ⊥ ，则实数m 的值为_______________________；（2）若存在正数x ，使得//a b r r，则实数m 取值范围是__________________．【答案】①. 2- ②. (),0[2,)-∞⋃+∞【解析】【分析】（1）由2x =时，得到()2,a m = ，()4,4b = ，然后根据a b ⊥ 求解；（2）根据存在正数x ，使得//a b r r，则()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，利用二次函数的根的分布求解.【详解】（1）当2x =时，()2,a m = ，()4,4b = ，因为a b ⊥ ，所以2440m ⨯+=，解得2m =-，所以实数m 的值为-2；（2）因为存在正数x ，使得//a b r r，所以()()232x x m x +=-，()0,x ∈+∞有解，即()22320x m x m +-+=，()0,x ∈+∞有解，所以()223022380m m m -⎧->⎪⎨⎪∆=--≥⎩或230220m m -⎧-≤⎪⎨⎪<⎩，解得2m ≥或0m <，所以实数m 的取值范围是(),0[2,)-∞⋃+∞.故答案为：-2，(),0[2,)-∞⋃+∞三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个题目考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 某企业有甲、乙两条生产线，其产量之比为4:1．现从两条生产线上按分层抽样的方法得到一个样本，其部分统计数据如表（单位：件），且每件产品都有各自生产线的标记．的产品件数一等品二等品总计甲生产线2乙生产线7总计50（1）请将22⨯列联表补充完整，并根据独立性检验估计；大约有多大把握认为产品的等级差异与生产线有关？()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++（2）从样本的所有二等品中随机抽取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率．【答案】（1）列联表见解析，有97.5%的把握认为产品的等级差异与生产线有关； （2）710【解析】【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，再与观测值比较即可判断；（2）记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ，用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；小问1详解】解：依题意可得22⨯列联表如下：产品件数一等品二等品总计甲生产线38240乙生产线7310总计45550所以()225038327 5.5561040545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为5.024 5.556 6.635<<，所以有97.5%的把握认为产品的等【级差异与生产线有关；【小问2详解】解：依题意，记甲生产线的2个二等品为A ，B ，乙生产线的3个二等品为a ，b ，c ；则从中随机抽取2件，所有可能结果有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc 共10个，至少有1件为甲生产线产品的有AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc 共7个，所以至少有1件为甲生产线产品的概率710P =；18. 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．（1）求证：平面1ADC ⊥平面11BCC B ；（2）已知1AA =，求异面直线1A B 与1DC 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析； （2）6π【解析】【分析】（1）证得AD ⊥平面11BCC B ，结合面面垂直的判定定理即可证出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【小问1详解】因为正三棱柱111ABC A B C -，所以AB AC =，又因为D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，又因为平面ABC ⊥平面11BCC B ，且平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AD ⊥平面11BCC B ，又因为AD ⊂平面1ADC ，所以平面1ADC ⊥平面11BCC B ；【小问2详解】取11B C 的中点E ，连接DE ，由正三棱柱的几何特征可知,,DB DA DE 两两垂直，故以D 为坐标原点，分以,,DA DB DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，设2AB =，则1AA =，所以()()(11,0,1,0,0,0,0,0,1,A B D C -,则((11,0,1,A B DC =-=-u u u r u u u r，所以111111cos ,A B DC A B DC A B DC ⋅===⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 由于异面直线成角的范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，所以异面直线1A B 与1DC ，因此异面直线1A B 与1DC 所成角为6π.19. 已知n N *∈，数列{}n a 的首项11a =，且满足下列条件之一：①1122n n n a a +=+；②()121n n na n a +=+．（只能从①②中选择一个作为已知）（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n a 的前n 项和n S m <，求正整数m 的最小值．【答案】（1）22n nn a = （2）4【解析】【分析】（1）若选①，则可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，从而可得数列{}2nn a ⋅是以2为公差，2为首项的等差数列，则可求出2nn a ⋅，进而可求出n a ，若选②，则1112n n a a n n +=⋅+，从而可得数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1为首项的等比数列，则可求出na n，进而可求出n a ，（2）利用错位相减法求出n S ，从而可求出正整数m 的最小值【小问1详解】若选①，则由1122n n n a a +=+可得11222n n n n a a ++⋅-⋅=，所以数列{}2n n a ⋅是以2为公差，1122a ⋅=为首项的等差数列，所以222(1)2nn a n n ⋅=+-=，所以22n nn a =，若选②，则由()121n n na n a +=+，得1112n n a a n n +=⋅+，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为公比，1111a a ==为首项的等比数列，所以1112n n a n -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，所以1222n n nnn a -==【小问2详解】因为12312462(1)222222n n n n n S --=+++⋅⋅⋅++，所以234112462(1)2222222n n n n nS +-=+++⋅⋅⋅++，所以23112222122222n n n n S +=+++⋅⋅⋅+-2311112()2222n nn=+++⋅⋅⋅+-111[1]42121212n nn -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯--222n n +=-，所以2442n nn S +=-，所以4n S <，所以正整数m 的最小值为4，20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为，左顶点A 到右焦点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程（2）设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）依题意可得b =、3a c +=，再根据222c a b =-，即可求出a 、c ，从而求出椭圆方程、离心率；（2）设直线l 为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，依题意可得12AM AN k k ⋅=-，即可得到方程，整理得到225480m k km --=，即可得到m 、k 的关系，从而求出直线过定点；【小问1详解】解：依题意b =、3a c +=，又222c a b =-，解得2a =，1c =，所以椭圆方程为22143x y +=，离心率12c e a ==；【小问2详解】解：由（1）可知()2,0A -，当直线斜率存在时，设直线l 为y kx m =+，联立方程得22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2223484120k xkmx m +++-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，所以122834km x x k +=-+，212241234m x x k-=+；因为直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，所以12AM AN k k ⋅=-；即()()22121212121212121212222242AM ANk x x km x x m y y kx m kx m k k x x x x x x x x +++++⋅=⋅=⋅==-+++++++所以2222222241281343441282243434m km k km m k k m km k k -⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭=--⎛⎫+-+ ⎪++⎝⎭，即22221231164162k m k m km -+=-+-，所以225480m k km --=，即()()2520m k m k -+=，所以2m k =或25m k =-，当2m k =时，直线l ：2y kx k =+，恒过定点()2,0-，因为直线不过A 点，所以舍去；当25m k =-时，直线l ：25y kx k =-，恒过定点2,05⎛⎫ ⎪⎝⎭；当直线斜率不存在时，设直线0:l x x =，()00,M x y ，()00,N x y -，则00001222AM AN y y k k x x -⋅=⋅=-++，且2200143x y +=，解得025x =或02x =-（舍去）；综上可得直线l 恒过定点2,05⎛⎫⎪⎝⎭.21. 已知函数()sin xf x e k x =-，其中k 为常数．（1）当1k =时，判断()f x 在区间()0,∞+内的单调性；（2）若对任意()0,x π∈，都有()1f x >，求k 的取值范围．【答案】（1）判断见解析 （2）(,1]k ∈-∞【解析】【分析】小问1：当1k =时，求出导数，判断导数在()0,∞+上的正负，即可确定()f x 在()0,∞+上的单调性；小问2：由()1f x >得sin 10x e k x -->，令()sin 1x g x e k x =--，将参数k 区分为0k ≤，01k <≤，1k >三种情况，分别讨论()g x 的单调性，求出最值，即可得到k 的取值范围.【小问1详解】当1k =时，得()sin xf x e x =-，故()cos xf x e x '=-，当()0,∞+时，()0f x '>恒成立，故()f x 在区间()0,∞+为单调递增函数.【小问2详解】当()0,x π∈时，sin (0,1]x ∈，故()1f x >，即sin 1x e k x ->，即sin 10x e k x -->.令()sin 1x g x e k x =--①当0k ≤时，因为()0,x π∈，故sin (0,1]x ∈，即sin 0k x -≥，又10x e ->，故()0f x >在()0,x π∈上恒成立，故0k ≤；②当01k <≤时，()cos x g x e k x '=-，()sin x g x e k x ''=+，故()0g x ''>在()0,x π∈上恒成立，()g x '在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)0g x g e k ''>=->，即()g x 在()0,x π∈上单调递增，故0()(0)10g x g e >=-=，故01k <≤；③当1k >时，由②可知()g x '在()0,x π∈上单调递增，设()0g x '=时的根为0x ，则()g x 在0(0,)x x ∈时为单调递减；在0(,)x x π∈时为单调递增又0(0)10g e =-=，故0()0g x <，舍去；综上：(,1]k ∈-∞【点睛】本题考查了利用导数判断函数单调性，及利用恒成立问题，求参数的取值范围的问题，对参数做到不重不漏的讨论，是解题的关键.（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）22. 在平面直角坐标系xOy 中，伯努利双纽线1C （如图）的普通方程为()()222222x y x y +=-，曲线2C 的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩（其中r ∈（，θ为参数）．的（1）以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设1C 与2C 的交于A ，B ，C ，D 四点，当r 变化时，求凸四边形ABCD 的最大面积．【答案】（1）1:C 2222cos 2sin ρθθ=-；2:C r ρ=（2）2【解析】【分析】（1）根据直角坐标方程，极坐标方程，参数方程之间的公式进行转化即可；（2）设点A 在第一象限，并且设点A 的极坐标，根据题意列出点A 的直角坐标，表示出四边形ABCD 的面积进行计算即可.小问1详解】1:C ()()222222x y x y +=-，由cos ,sin x y ρθρθ==，故222222()2(cos sin )ρρθρθ=-，即2222cos 2sin ρθθ=-2:C cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，即222x y r +=，即22r ρ=，rρ=【小问2详解】由1C 和2C 图象的对称性可知，四边形ABCD 为中心在原点处，且边与坐标轴平行的矩形，设点A 在第一象限，且坐标为(,)ρα(02πα<<，又r ρ=，则点A 的直角坐标为(cos ,sin )r r αα，又2222cos 2sin ραα=-，即2222cos 2sin 2cos 2r ααα=-=故S 四边形ABCD =22cos 2sin 2sin 2r r r ααα⋅==22cos 2sin 22sin 4ααα⋅⋅=又02πα<<，故042απ<<，因此当42πα=，即8πα=时，四边形ABCD 的面积最大为2.［选修4—5：不等式选讲]（10分）【23. 设M 为不等式1431x x ++≥-的解集．（1）求集合M 的最大元素m ；（2）若a ，b M ∈且a b m +=，求1123a b +++的最小值．【答案】（1）3m = （2）12【解析】【分析】（1）分类讨论13x ≥，1x ≤-，113x -<<，打开绝对值求解，即得解；（2）由题意1,3,3a b a b -≤≤+=，构造11(2)(3)132([11]2328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++，利用均值不等式即得解【小问1详解】由题意，1431x x ++≥-（1）当13x ≥时，1431x x ++≥-，解得3x ≤，即133x ≤≤；（2）当1x ≤-时，1413x x --+≥-，解得1x ≥-，即=1x -；（3）当113x -<<时，1413x x ++≥-，解得1x ≥-，即113x -<<综上：13x -≤≤故集合{|13}M x x =-££，3m =【小问2详解】由题意，1,3,3a b a b -≤≤+=，故(2)(3)8a b +++=故11(2)(3)132()[112328113823a b b a a b a b a b ++++++=+⨯=+++++++++由于1,3a b -≤≤，故20,30a b +>+>由均值不等式，113211[11[1123823821b a a b a b +++=+++≥++=++++当且仅当3223b a a b ++=++，即2,1a b ==时等号成立故求1123a b +++的最小值为12。
2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学(文)试题【含答案】
2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（ ）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（ ）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为 ，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间 内 ，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当 时 ，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得 ．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（ ）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（ ）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（ ）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（ ）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。
2023届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2023届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{4A xx =<-∣或1}x >，{}2,1,1,2B =--，则()A B =R （ ） A ．{}1,1- B ．{}2,1-- C ．{}2,1,1-- D ．{}2,1,1,2--【答案】C 【分析】计算{}41A x x =-≤≤R∣，再计算交集得到答案.【详解】{4A xx =<-∣或1}x >，{}41A x x =-≤≤R∣，(){}R 2,1,1A B ⋂=--．故选：C2．设()()2i i 3i ,a b a b +=+∈R ，则（ ） A ．3a =，2b = B ．3a =-，2b = C ．3a =，2b =- D ．3a =-，2b =-【答案】C【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案. 【详解】依题意()()2i i 3i ,a b a b +=+∈R ， 即2i 3i a b -+=+，所以23ba -=⎧⎨=⎩，即3,2ab ==-.故选：C3．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】D【分析】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.【详解】在平行四边形ABCD 中，依题意，OC OA a =-=-，而OB b =， 所以BC OC OB a b =-=--. 故选：D4．已知函数()2234f x x x +=-+，则()1f =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】由21x +=得=1x -，依题意，()2234f x x x +=-+，令=1x -得()()()2113141348f =--⨯-+=++=. 故选：D5．在ABC 中，若π3A =，cos B =2b =，则=a （ ） ABC ．3 D【答案】D【分析】运用同角平方关系可求sin B ，然后利用正弦定理，计算即可得到a ． 【详解】解：3A π=，cos B =2b =，sin B ∴==由正弦定理可得，sin sin a bA B=，∴2sin sin b Aa B===．故选：D ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：222440x y x y +-+-=，圆2C ：222220x y x y ++--=，则两圆的公切线的条数是 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,分析两个圆的位置关系,即可得答案.【详解】圆221:2440C x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-,半径为3,圆222:2220C x y x y ++--=的圆心坐标为(1,1)-,半径为2,则圆心距为:22(11)(12)13(32,32)--++=∈-+, 故两圆相交,两圆的公切线的条数是2条, 故选B.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7．“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若sin cos 1αα+=，则2(sin cos )12sin cos 1sin 21ααααα+=+=+=，即sin 20α=. 若sin 20α=，则222sin cos sin 2(sin cos )1ααααα++=+=，则sin cos 1αα=±+. 故“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的充分不必要条件. 故选：A8．函数()()cos (0,)2f x x ϕπωϕω=+><的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．37,44k ππk ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈B ．5,44k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈C ．52,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】D【解析】根据周期求得ω，根据,04π⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，利用整体代入法求得单调区间.【详解】依题意52,2,1244T T Tπππππω=-====， 所以()()cos f x x ϕ=+，由于()f x 图象过,04π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于2πϕ<，所以,424πππϕϕ+==，所以()cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2224k x k πππππ+<+<+得372244k x k ππππ+<<+， 所以()f x 的单调递增区间为372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据图象求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法.9．若抛物线22(0)y px p =>上的点0(A x 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的2倍，则p 等于（ ）A ．B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】利用抛物线的定义进行求解.【详解】由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离是02p x +， 由题意可得0022p x x +=，解得02px =，代入抛物线的方程可得282pp ⋅=，即p =故选：A.10．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，1AA AB =，D ，E ，F 分别是棱1AA ，1BB ，BC 的中点，则异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是（ ）A 5B 5C 5D 15【答案】C【分析】在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，即可得到1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角，求出HF ，DH ，DF ，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：如图，在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ， 由于,G E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C G BE C G =，故四边形1BGC E 为平行四边形，进而1//C E BG ,又因为,F H 是,BC CM 的中点，所以//HF BG ，所以1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角.设4AB =，则2,1,2CF CH AD ===，从而225HF CF CH +()2217DH AC AD CH =+-=2223AF AB BF -224DF AF AD =+=故5cos 245DFH ∠⨯⨯故异面直线DF 与1C E 5故选：C11．甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（ ） A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【答案】B【分析】通过分析，利用排除法思考即可.【详解】丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的个头高或乙比丙的个头大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的个头大，即戴蓝帽的是丙； 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查推理论证能力、应用意识及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，逻辑推理题通常借助表格或图进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断即可.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e xf x x =，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()2e ln3ef f f -<< B ．()()()2ln3e e f f f <<- C ．()()()2e e ln3f f f <-<D ．()()()2ln3e e f f f <-<【答案】B【分析】由()f x 的周期性及奇偶性得22(e )(e 6)f f =-，(e)(e)f f -=，根据()f x 在[]0,3上的单调性比较大小.【详解】[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则()(1)0x f x x e '=+>，所以()f x 在[]0,3上单调递增，因为(6)()f x f x +=，所以22(e )(e 6)f f =-， 因为()f x 是偶函数，所以(e)(e)f f -=，又因为21ln 3e 6e 3<<-<<，所以2(ln 3)(e 6)(e)f f f <-<， 即2(ln 3)(e )(e)f f f <<-. 故选：B.二、填空题13．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6．现采用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 5727 0623 7140 9857 6347 4379 8636 6013 1417 4698 0371 6843 2676 8012 6011 3661 9597 7424 6710 4203 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______． 【答案】0.5##12【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727， 9857， 6347， 4379， 8636， 4698， 6843， 2676， 9597， 7424 共10组随机数， 所以所求概率为100.520=． 故答案为：0.514．若,x y 满足约束条件2120x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】5【分析】画出可行域与目标函数，利用几何意义求出最大值. 【详解】画出可行域（阴影部分）与目标函数，如下：当目标函数经过点A 时，取得最大值，联立220x x y =⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，则max 2215z =⨯+=. 故答案为：515．若双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的一条渐近线与直线420x y -+=垂直，则C 的离心率为_______．17【分析】易得双曲线渐近线为by x a=±，再利用两直线垂直斜率之积为-1求出b ，结合离心率公式即可求解.【详解】双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的渐近线方程为4b y x =±，直线420x y -+=斜率为14，由一条渐近线与直线垂直得1144b -⋅=-，解得16b =，所以离心率为222161617a b e ++==1716．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4,22PB AD ==当AB PD ⋅最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】24π【分析】由题意可得2224AB PD +=，结合均值不等式可得23AB PD ==，从而可得外接球的直径，即可求得四棱锥外接球的表面积.【详解】设外接球的半径为R ，由题可知222168PA AB PD =-=-，所以2224AB PD +=.因为222AB PD AB PD +⋅，所以12AB PD ⋅，当且仅当23AB PD ==时，等号成立，此时()222222(2)24R AB AP AD AB PD =++=+=，所以2424S R ππ==.故答案为：24π三、解答题17．已知{}n a 是以1为首项的等差数列，{}n b 是以2为首项的正项等比数列，且满足621032a b a b -=-=.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1),2n n na b n ==(2)1n n S n =+【分析】（1）根据已知条件求得{}n a 的公差，{}n b 的公比，从而求得求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）利用裂项求和法求得n S .【详解】（1）依题意，{}n a 是以1为首项的等差数列，{}n b 是以2为首项的正项等比数列， 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q （0q >），6210322a b a b -=⎧⎨-=⎩，215221922d q d q +-=⎧⎨+-=⎩， 解得2q（负根舍去），1d =.所以,2n n n a b n ==（2）()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 18．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A 地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h ）按[1,6),[6,11),[11,16),[16,21),[21,26]分组，得到频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性． 支持上网课 不支持上网课 家长 30 70 学生 5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)0.03，13.5h ；(2)有【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解，再利用平均数的定义求解； （2）根据列联表求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.【详解】（1）解：因为()0.0220.050.0751a +++⨯=，所以0.03a =， 平均数为()7172737470.0250.0550.0750.0350.03513.5h 22222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）因为22200(30505070)87.87980120100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.【答案】(1)证明见解析25【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质进行推理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.【详解】（1）证明：FA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD FA BD ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又FA AC A =，FA ⊂平面,FAC AC ⊂平面FAC ，BD ∴⊥平面FACBD FC ∴⊥（2）1112322sin1202332ABD F ABD V S FA -⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭三棱锥 FA ⊥平面ABCD ，,FA AB FA AD ∴⊥⊥22FB FD ∴==由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=， 可得23BD =15FBD S ∴设点A 到平面FBD 的距离为h ， 则111533FBD A FBD V S h h -==三棱锥， 由A FBD F ABD V V --=三棱维三棱倠123153h ， 解得25h =∴点A 到平面FBD 25.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1D 3(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为()0k k ≠的直线m 与椭圆相交于两点,A B ，y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP （其中O 为原点），证明直线l 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）由题可得1b =，然后利用离心率即可求解；（2）设直线m 方程为(3y k x =，联立椭圆方程利用韦达定理，可得(24333P P P k k x y k x ===l 的方程为43y kx k =，即可得证.【详解】（1）依题意，c a = 2234a c ∴= 又222221,,3,4b a b c c a ==+∴=∴=∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）由（1）知右焦点坐标为)，设直线m方程为(()11,,y k x A x y =，()22,B x y由(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得，()2222141240k x x k +-+-=，12x x ∴+=(P P P x y k x ∴===∴直线OP 的斜率14pOP p y k x k==-， ∴直线l 的斜率4l k k =，令0x =得点E坐标为()0,，∴直线l的方程为4y kx =，即(4y k x =， ∴直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 21．已知函数()2ln ln x f x ae x a -=-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为312y x =-，求a 的值； (2)若a e ≥，证明：()2f x ≥.【答案】(1)2a =(2)证明见解析【分析】（1）由()32,2f '=可得a 的值，再验证切点坐标也满足条件； （2）由a e ≥，20x e ->知要证()2ln ln 2x f x ae x a -=-+≥也即证1ln 10x e x ---≥，设()1ln 1x g x e x -=--，求出导数分析其单调性，得出其最值可证明.【详解】（1）()21x f x ae x -'=- ，则()221132,222f ae a -'=-=-=解得2a =又()322122f =⨯-=，()222ln 2ln 2f ae a -=-+=，可得2a = 综上2a = （2）由a e ≥，20x e ->知要证()2ln ln 2x f x ae x a -=-+≥即证21ln ln ln 12x x e e x e e x --⋅-+=-+≥也即证1ln 10x e x ---≥设()1ln 1x g x e x -=--，则()11x g x e x-'=-， 再令()11x h x e x -=-，()1210x h x e x-'=+>， 所以()11x g x e x -'=-在()0,∞+上单调递增，又()10g '= 则当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以()()10g x g ≥=所以1ln 10x e x ---≥成立，即()2f x ≥成立.22．已知曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为6πθ=. (1)求曲线1C 的普通方程；(2)若曲线1C 和曲线2C 与直线l 分别交于非坐标原点的A ，B 两点，求||AB 的值.【答案】(1)22(1)1y x +-=(2)3【分析】（1）利用同角三角关系22sin cos 1θθ+=即可转化，（2）根据极径的几何意义求解.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 普通方程为22(1)1y x +-=.（2）由（1）的曲线1C 的一般方程为：2220x y y +-=，化为极坐标方程：2sin ρθ= 将6πθ=代入1C 的极坐标方程得11ρ=， 将6πθ=代入2C 的极坐标方程得：24ρ=， ∴21||3AB ρρ=-=.23．已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≤的解集；(2)当x ∈R 时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)⎣⎦【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数解析式写为分段函数，分类讨论即可；（2）先求出()f x 的最小值，然后建立不等式求解即可.【详解】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≤，解得32x ≥-，此时312x -≤<-； 当12x -≤<时，34≤恒成立，此时12x -≤<；当2x ≥时，214x -≤，解得52x ≤，此时522x <≤.综上：()4f x ≤的解集为35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤m ≤∴m的取值范围是⎣⎦。