变分法
第九章变分法_量子力学

a
a
(9)
其中N为归一化常数,λ为变分参数。利用归一化条件
∫ <ψ |ψ >= a ψ 2dx = 1 −a
容易求得
N 2a = 315 /16(λ 2 + 8λ + 28)
由公式
∫ h 2
E =− 2m
aψ
−a
d 2ψ dx2
dx
求得
E (λ )
=
3 4
11λ 2 λ2
+ 36λ + 60 + 8λ + 28
J (α,
β
,L)
=
∫ψ *(r;α, β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ ∫ψ *(r;α , β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ
的极值。 ∂J / ∂α = ∂J / ∂β = L = 0 (1)
α β, ,L 得到使积分取得最小值的参量 00 用它们按(1)式计算得结果就是基态能量的近似值,即近似的有
量子力学 第九章 变分法
李延芳 李忻忆 龚 陈蔚
变分法的基本步骤: 1、根据实际问题的物理分析,选择含有待定参量α,β,的尝试波函数
,然后计算积分
J (α, β ,L)
ψ (r;α , β,L)
=
∫ψ *(r;α , β ,L)Hψ (r;α, β ,L)dτ
∫ψ (r;α, β ,L)ψ (r;α, β ,L)dτ *
n
≥ (E2 − E1)(C2*C2 + C3*C3 +L)
≥ (E2 − E1)(1− C1*C1)
(6)
此式即为(2)式。
1
在看下一道题之前,这里我们先看一下无限深势阱波函数和能级的精确解是什么?
第2章变分法

第二章变分法变分法(Variational calculus )是研究泛函极值的数学方法,早在十七世纪末,几何学、力学等领域相继提出了一些泛函极值问题(最速降线问题、最小旋转曲面问题等),导致了变分法的形成和发展。
本章我们介绍变分法及其在最优控制中的应用。
第一节 泛函及其极值我们首先给出泛函的定义定义1.1 设Ω为一函数的集合,若对于每一个函数Ω∈)(t x ,都有一个实数J 与之对应,则称J 是定义在Ω上的泛函,记作))((t x J 。
Ω称为J 的容许函数集合,Ω∈)(t x 称为宗量。
例 1 对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ,绕x 轴旋转得一旋转体,旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函⎰+=21))(1()(2))((2x x dx x y x y x y J &π, 容许函数集合可表示为 })(,)(],,[)()({2211211y x y y x y x x C x y x y ==∈=Ω.第一章中介绍的三个性能指标1)终端型性能指标也称麦耶(Mayer )型性能指标)),(()(11t t x x J Φ=,2)积分型性能指标还称拉格郎日(Lagrange )型性能指标⎰=10))(),(,()(0t t dt t x t x t f x J &, 3)混合型性能指标也叫包尔查(Bolza )型性能指标⎰+Φ=10))(),(,()),(()(011t t dt t x t x t f t t x x J &, 它们都是泛函,并且它们之间可以相互转化。
引进新的函数)(0t x ,它是如下微分方程初值问题的解.0)()),(),(,()(0000==t x t x t x t f t x && 则拉格郎日(Lagrange )型性能指标就化为⎰=≡Φ10))(),(,()()),((01011t t dt t x t x t f t x t t x &, 变成麦耶(Mayer )型性能指标。
变分法

tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内, M (t ) 0 。
(用反证法容易证明,略) 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt (1)的极值,一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ,使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线(或轨线) ,记为 x (t ) 。 1.端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ,且二次可微。 首先计算(1)式的变分:
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件,可仿照前面端点固定发问进行推导,即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
ห้องสมุดไป่ตู้
, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
(2)
对上式右端第二项做分布积分,并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ,有
件,有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况,如二元泛函
变分原理与变分法

变分原理与变分法一、变分原理的基本概念变分原理是针对泛函的一种表述方式。
所谓泛函是指一类函数的函数,这类函数可以是数学上的对象,也可以是物理上的对象。
变分原理是以泛函的极值问题为基础,通过对泛函进行变分计算,求取泛函的极值。
在变分原理中,被考虑的对象是泛函数而不是函数。
二、变分原理的基本原理三、变分法的基本步骤变分法是通过对泛函的变分计算来解决极值问题。
它的基本步骤如下:1.建立泛函:根据具体的问题,建立一个泛函表达式,其中包含了待求函数及其导数。
2.变分计算:对建立的泛函进行变分计算,即对泛函中的待求函数及其导数进行变动,求出泛函的变分表达式。
3.边界条件:根据具体问题的边界条件,对变分表达式进行求解,得到泛函的变分解。
4.极值问题:根据泛函的变分解,通过进一步的计算确定泛函的极值。
四、变分原理和变分法的应用1.物理学中的应用:变分原理和变分法在物理学中有广泛的应用。
例如,拉格朗日方程和哈密顿方程可以通过变分原理推导出来。
此外,在量子力学和场论中,变分法也被用于求解相应的泛函积分方程。
2.工程学中的应用:在工程学中,变分原理和变分法常用于求解最优化问题。
例如,在结构力学中,通过变分法可以求解出构件的最优形状和尺寸。
在控制理论中,变分法可以用于求解最优控制问题。
3.数学学科中的应用:变分原理和变分法在数学学科中也有重要的应用。
例如,在函数极值问题中,变分法可以用于求解一类非线性偏微分方程的临界点。
总之,变分原理与变分法是一种强有力的数学工具,具有广泛的应用领域。
通过应用变分原理和变分法,可以更好地解决求极值问题,进而推导出物理方程、最优设计和数学方程等相关问题的解。
因此,深入理解变分原理和变分法对于数学、物理、工程等学科的研究和应用具有重要的意义。
第1章变分法

接近度的任何函数 y1(x) 上的值,即
J[ y0 (x)] ≥ J1[ y1(x)] ,
(1.1.10)
则称泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对极大值.如果泛函 J[ y(x)] 在函数 y0 (x)
的零级ε-邻域,(1.1.10)式总是成立,那么称 J[ y(x)] 在函数 y0 (x) 上达到相对强极
的 y0 (x) n 级ε-邻域.
y y = y1 (x, y)
y = y (x, y)+ε y = y (x, y) y = y (x, y)−ε
x0
x1 x
图 1.2
定义 4 设 J[ y(x)] 是定义在某个函数类{y(x)}上的泛函,如果存在ε >0,使
得它在函数 y0 (x) 上的值不小于它在函数类{y(x)}中且与 y0 (x) 有某确定级数的ε-
A(0, 0) x
M(x, y)
B(a, b) y
图 1 1.
如图 1.1,以 A 点为坐标原点,Ox 轴取在水平方向,Oy 轴铅直向下.设 y = y(x)
是连接点 A(0, 0) 和 B(a,b) 的一条光滑曲线,质点沿这条曲线下滑.因初速度为零,
故质点下滑到任意点 M (x, y) 的速率为
v = 2gy
§1.1 泛函和泛函的极值问题
1.1.1 泛函的概念
先从一个最简单的例子引进泛函的概念. 例 1 设已给 x 轴上两点 x = x0 和 x = x1 ,y = y(x) 是定义在区间[x0, x1] 上的有
连续一阶导数的函数,则曲线 y = y(x) 的长为
∫ l[ y(x)] = x1 1+ y′2 dx , x0
变量 J 是函数 y(x) 的泛函,记之为 J = J[ y(x)].而此函数集称为泛函 J[ y(x)] ]的定 义域,有时也称为泛函的容许函数.简言之,泛函是函数集 Y 到数域 R 上的一个 映射,映射的自变元是一个函数,而属于 Y 的每一个函数 y(x) 称为容许函数.读 者不难自己类似的给出依赖于多个函数的泛函的定义.
变分法基本原理

变分法基本原理【1】变分法(Variational method)是一种数学方法,用于解决泛函的极值问题。
泛函是把函数映射到实数的映射,而泛函的极值问题是要找到使得泛函取得极值的函数。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域中的最优化问题。
【2】变分法的基本原理可以概括为以下几个步骤:步骤一:定义泛函首先,要明确定义所研究的泛函。
泛函可以是一个函数的积分、一个函数的级数或者其他数学表达式。
要根据具体问题的特点来选择合适的泛函。
步骤二:提出变分函数接下来,通过引入一个假设的函数(称为变分函数)作为泛函的自变量,使泛函成为这个变分函数的函数。
变分函数通常具有一定的约束条件,如满足特定边界条件或其他限制条件。
步骤三:计算变分利用变分函数的小扰动,即在该函数上加上一个小的修正项,计算泛函的变分。
变分是泛函在变分函数上的一阶近似变化率。
步骤四:应用欧拉-拉格朗日方程将变分代入到泛函中,得到泛函的表达式。
然后,通过应用欧拉-拉格朗日方程,将泛函转化为一个微分方程。
这个微分方程是通过对变分函数求导,然后令导数为零得到的。
步骤五:求解微分方程解决微分方程,得到最优解的表达式。
这个最优解是使得泛函取得极值的函数。
【3】变分法的基本原理是通过引入一个变分函数,将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
这种方法的优势在于可以将复杂的极值问题转化为求解微分方程的问题,简化了求解的过程。
【4】变分法在物理学中的应用非常广泛。
例如,它可以用于求解经典力学中的最小作用量原理,即通过将作用量泛函取极值来得到物体的运动方程。
此外,变分法还可以应用于量子力学中的路径积分方法、场论中的泛函积分等问题的求解。
【5】总之,变分法是一种数学方法,用于求解泛函的极值问题。
它的基本原理是通过引入一个变分函数,将泛函的极值问题转化为求解一个微分方程的问题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、应用数学等领域,并具有很好的应用前景。
变分法

§1 变分法简介作为数学的一个分支,变分法的诞生,是现实世界许多现象不断探索的结果,人们可以追寻到这样一个轨迹:约翰·伯努利(Johann Bernoulli ,1667-1748)1696年向全欧洲数学家挑战,提出一个难题:“设在垂直平面内有任意两点,一个质点受地心引力的作用,自较高点下滑至较低点,不计摩擦,问沿着什么曲线下滑,时间最短?”这就是著名的“最速降线”问题(The Brachistochrone Problem )。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同,它是要求出一个未知函数(曲线),来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣,罗比塔(Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704)、雅可比·伯努利(Jacob Bernoulli 1654-1705)、莱布尼茨(Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716)和牛顿(Isaac Newton1642—1727)都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮,而雅可布的解法虽然麻烦与费劲,却更为一般化。
后来欧拉(Euler Lonhard ,1707~1783)和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ,1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法,从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是,在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案,即,固定项链的两端,在重力场中让它自然垂下,问项链的曲线方程是什么。
在大自然中,除了悬垂的项链外,我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索,挂着水珠的蜘蛛网,以及两根电线杆之间所架设的电线,这些都是悬链线(catenary )。
伽利略(Galileo, 1564~1643)比贝努利更早注意到悬链线,他猜测悬链线是抛物线,从外表看的确象,但实际上不是。
最优控制问题的变分方法

最优控制问题的变分方法在数学与控制理论中,最优控制问题是研究如何选择最佳的控制策略,以使系统的性能达到最优的问题。
变分方法便是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
一、引言最优控制是控制理论中一个重要的分支,它通过对系统建模和优化理论的应用,旨在找到使系统性能达到最佳的控制策略。
而变分方法,则是解决最优控制问题的一种有效途径。
二、变分法概述变分法是以变分运算为基础的数学方法,在最优控制问题中得到了广泛的应用。
它通过对控制信号进行微小的变分,并得到变分函数的极值来确定最优控制策略。
变分法的基本思想是将最优控制问题转化为求解变分问题,从而得到最优解。
三、变分法的基本原理1. 贝尔曼原理贝尔曼原理是变分法的核心原理之一。
它通过将最优控制问题分解为两个部分,即值函数和最优策略。
通过解反向动态规划方程,可以得到最优策略和值函数。
2. 泛函极值原理泛函极值原理是变分法的另一个重要原理。
它通过对泛函进行变分,并通过求解变分问题来得到泛函的极值。
在最优控制问题中,泛函可以表示系统性能的指标,如性能函数、代价函数等。
四、变分法的应用变分法在最优控制问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的应用领域:1. 高维空间中的最优控制在高维空间中的最优控制问题中,变分法能够通过求解变分问题,得到最优控制策略。
2. 动态规划动态规划是最优控制中一个重要的方法,变分法能够通过解反向动态规划方程,得到最优策略和值函数。
3. 时间最优控制时间最优控制问题中,变分法可以通过求解变分问题,得到最优控制策略以及最小时间。
五、总结变分方法是解决最优控制问题的一种重要数学方法。
它通过对控制信号进行微小的变分,并求解变分问题来得到最优控制策略。
变分法的应用非常广泛,能够解决包括高维空间中的最优控制、动态规划和时间最优控制等问题。
通过变分方法,我们能够有效地求解最优控制问题,并得到系统性能达到最优的控制策略。
最优控制问题的变分方法就是如上所述的一种有效的数学方法。
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������
分部积分: ∫ ������������ ′ ������������ = ������������ − ∫ ������′ ������������������
������2 ������������ ������������ ������������ = ∫ [ ������(������) + ������′(������)]������������ ������������ ������������′ ������1 ������������ ������2 ������������ ������ ������������ ������������ ������2 = ∫ [ ������(������) − ( )������(������)]������������ + ������(������)|������1 ′ ′ ������������ ������������ ������������ ⏟ ������1 ������������
������ ������
√(������������)2
+
(������������(������))2
= ∫ √1 + ������′(������)2 ������������
������
变分法基本方程: Lagrange 量
������ = ∫ ������(������ (������ ), ������ ′ (������ ), ������ )������������
令L = 0 ⋅ ������ + √1 + (������ ′ )2 , ������������(������) = ������������ ������������′ (������),则 0= 所以 ������ ′ √1 + (������ ′ )2 解得 ������ = ������������ + ������ 证明: 1 2 ������ = ������ℎ′ (������) − ������������ℎ(������) 2 ������������ ������ ������������ = ������ℎ ������������ ������ℎ′ ������ ������ (������ℎ′ ) = −������������ = ������ ������������ ������������ ������ 恰好还原成牛顿第二定律 ◆ 约束条件下的极值——拉格朗日乘子法 函数的拉格朗日乘子法 ������ ������(������, ������) ������(������, ������) = ������������������������������ ������ 1 2������ ′ ( ) ������������ 2 √1 + (������ ′ )2
������������
������
������������
������
无约束条件下,场函数������(������, ������)的取极值条件为:
������������ ������������ = =0 ������������ ������������ 加上约束������(������, ������) = ������������������������������ ,问题变成在约束上取极值。 取极值的条件为:������(������, ������)的切线和������(������, ������)的切线在极值 点平行。 ������(������, ������)法线方向(������������ , ������������),切线方向(������������ , − ������������ ); ������(������, ������)切线方向(������������ , − ������������ ) 因为平行 ������������ ������������ ������������ = ������������ = ������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������为拉格朗日乘子。 所以 ������������ ������������ = ������ ������������ ������������ ������������ ������������ = ������ ������������ ������������ 所以 ������(������ − ������������) =0 ������������ ������(������ − ������������) =0 ������������ 定义 ������ = ������ − ������������ 所以 ������������ ������������ = =0 ������������ ������������ 此时取得约束条件下场函数的极值。
变分法及其应用
◆ 无处不在的变分法与泛函极值 女生减肥 美联储加息 便利店采购 ◆ 变分法:求一条函数,使得某个目标最大化 变分: ������ ������������
������处的微分为������ + ������������ ������ ������
������
f(������)+������g(������)
������
L=A- ������
������������
������
Euler-Lagrange 方程
泛函的极值问题
例题:证明两点之间线段最短 ������ ������ 路线 f(������)
������ ������ S = ∫ ������������ = ∫ √(������������)2 + (������������)2 = ∫ √1 + (������ ′ )2 ������������
�����ห้องสมุดไป่ตู้1
作用量 两端固定
������2
A 取极值的判定方程
Euler-Lagrange 方程
◆ 极值问题: 泛函极值 引入∀������(������),������(������1 ) = ������(������2 ) = 0 存在微小量ε(ε ∈ R) ,使得ε������(������) ≪ ������(������) 则方程
������
取极值
Euler-Lagrange 方程
������������ ������ ������������ − =0 ������������(������) ������������ ������������ ′ (������)
Euler-Lagrange 方程的意义:
动力学方程: A=������������ ������
������ = ∫ ������(������(������) + ε������(������), ������ ′ (������) + ε������′(������), ������)������������
������1
������2
当 ������������ = 0时取得极值。 ������ ������ 路线 f(������) 路线 f(������)+������������ (������)
������������ ������������ ������������ ������������ ������������ ������������
泛函极值也一样, 可通过引入������将含约束问题变为无约束 问题。 例题: 证明给定周长下, 闭合曲线绕出的最大面积是圆。 ������ = ∫ ������1 (������, ������ ′ , ������)������������ ������ = ∫ ������2 (������, ������ ′ , ������)������������ 在 G 为定值下求 S 的极值 令 ������3 = ������1 + ������2 ������3 不受约束,满足 Euler-Lagrange 方程 ������������3 ������ ������������3 = ������������ ������������ ������������′
������������ ������ ������������ =∫ ( − )������(������)������������ ������������ ������������ ′ ������1 ������������ 由于对任意������(������),上式均成立,故
������2
=0
令 ������������ = 0,则 ������������ ������ ������������ − =0 ������������ ������������ ������������ ′
������������
������ = ∫������ ������(������(������), ������ ′ (������), ������)������������
������������
������ ������ 证明:
2 ′ ′(������) ������������ ������ ∫������1 ������(������(������) + ε������(������), ������ (������) + ε������ , ������)������������ = ������������ ������������ ������2 ������������ ������(������ + ������������) ������������ ������(������′ + ������������′) =∫ [ + ]������������ ������������ ������(������′ + ������������′) ������������ ������1 ������(������ + ������������) ������2 ������������ ������������ = ∫ [ ������(������) + ������′(������)]������������ ������������′ ������1 ������������