变分法

(完整版)差分方程模型(讲义)

差分方程模型一. 引言数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。

二. 差分方程简介在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则

变分法简介(简单明了易懂)(可编辑修改word版)

? §1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比· 伯努利（ Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ， 1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在 1646 年（当时 17 岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691 年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 ? d 2 y ? dx 2 a 1+ ( dy )2 dx ? y (0) = y ? ? ? 解此方程并适当选取参数，得 y '(0) = 0 即为悬链线。 y = 1 2a (e ax + e -ax ) （1）悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变 = 0

变分法的发展与应用

变分法的发展与应用应用数学11XX班XXX 104972110XXXX 摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。关键词：起源；发展；应用 1.引言变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研

究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2.变分法的起源物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3.变分法的发展 18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯

变分法简介(简单_明了_易懂)

§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程解此方程并适当选取参数，得 )(21ax ax e e a y -+= （1）即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变???????='=+=0)0()0()(10222y y y dx dy a dx y d

Matlab建模教程-变分法简介

变分原理与变分法

第一章变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则）一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理：昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理；在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间的（映射）关系特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分：函数空间数域

D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系统势能。泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x

最优控制讲义

第一章绪论 §1.1最优控制问题静态最优化问题：输入—输出—代数方程动态最优化问题：输入—输出—微分方程确定性最优控制：系统参数确定，无随机输入随机性最优控制：系统参数确定，有随机输入 ?? ?=+=) ()()()()(t Cx t Y t Bu t Ax t x ?? ?+=++=) ()()()()()()(t v t Cx t Y t w t Bu t Ax t x 例：飞船的月球软着陆问题推力 dt dm k f -= 运动方程 m g dt dm k mg f dt x d m --=-=22 )()(][00f t t t m t m dt dt dm J f -=- =?

初始条件 ? ? ?======0)(,)(,00f f t x x t t h t x x t t 约束条件为 0≤≤-dt dm α 求min J §1.2最优控制的数学模型一控制系统的数学模型(集中参数系统) 直接法建立：动力学、运动学的基本定律，即解析法. 间接法建立：通过“辩识”的途径确定系统的结构与参数. )),(),(()(t t u t x f t x = 其中 T n t x t x t x t x )](,)(),([)(21 =,T r t u t u t u t u )](,)(),([)(21 =,],,[21n f f f f = )(t x 为n 维状态向量,)(t u 为r 维控制向量,f 为n 维函数向量. 二目标集通过)(t u 使)(t x 由)(0t x 到)(f t x ，其中)(0t x 为初始状态，并且通常为已知；)(f t x 为终端状态，即控制所要求达到的目标。一般来说对终端状态的要求可用如下的约束条件表示： 0)),((,0)),((21≤=f f f f t t x g t t x g . 三容许控制 i u 具有不同的物理属性，一般有r 1,2i u i ,,=≤α，即在控制域U 内.凡在闭区间 ],[0f t t 上有定义，且控制域U 内取值的每一个控制函数)(t u 均称为容许控制。四性能指标主要取决于问题所要解决的主要矛盾。表达式为： ? + =?f t t f f dt t u x L t t x S u J 0 ),,()),(()]([ 其中)(t x 是动态系统起始于00)(x t x =，对应于)(t u 的状态轨线。)(f t x 是此轨线在终端时刻的值。五最优控制的提法受控系统的状态方程及给定的初态 00)(),),(),(()(t t x t t u t x f t x == 规定的目标集为 }0)),((,0)),((,)(:)({11≤=∈f f f f n f f t t x g t t x g R t x t x M

变分法与张量分析试卷

变分法与张量分析出卷教师：王建伟适应班级：工程力学13级考试方式：报告姓名：吴祥乐学号：201316920201 班级：工程1301 第一题（10分） 1)说明变分符号δ的含义，要求分别说明宗量变分和泛函变分的含义。 δ。 2)设函数'12 =∈=∈，试求dF与F (x,y,y)C,(x)C F F y y 答：1、对任意值x∈［x0,x1］,可取函数y（x）与另一可取函数y0（x）之差y（x）—y0（x）称为函数y（x）在y0（x）处变分或函数的变分，记作δy，δ称为变分符号或变分算子。这时 δy = y（x）—y 0（x）所以可知函数y（x）的变分δy是x的函数，函数的变分δy与函数的增量不同，δy 表示两个不同的函数y（x）和y0（x）在自变量x取固定值时之差，而函数的增量则表示Δy，是自变量x取一增加量y（x）的变化，函数仍不变。因此可以看出变分符号δ的作用是用以表示响应的自变量x取值时函数的微小改变。因为可取函数y（x）是泛函J[y(x)]的宗量则可以这样定义宗量的变分：泛函的宗量y（x）与另一宗量y0（x）之差y（x）—y0（x）称为宗量y(x)在y0（x）处变分。泛函的变分：若泛函有二阶连续性且增量可表示ΔJ=L[y(x),δy]+d[y(x),δy],其中d[y,δy]为δy的高阶无穷小量则这个泛函称为在y=y（x）处可微，并把L[y,δy]称为泛函J[y(x)]在y（x）上的一阶变分，即泛函的变分。 δ。 2、'12 =∈=∈，试求dF与F F F y y (x,y,y)C,(x)C

第二题（20分）分别用用拉格朗日方法和欧拉方法求解下述泛函的变分，并根据变分原理求解该泛函的极值宗量：1 [()];(0)0,y(1)1y x y ∏=== 拉格朗日方法定义：欧拉方法：极值宗量：第三题（20分）设(x,y)u u =为区域D 上的任意函数2(x,y)()u C D ∈，且(x,y)u 满足固定边界条件0(,)(,)D u x y u x y ?=，试求如下泛函的极值宗量应满足的条件。 [(,)](,,,)x D u x y F x y u u dxdy ∏=∏=??

第十八章变分法模型

-218- 第十八章动态优化模型动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。 §1 变分法简介变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应，则称J 是对应在S 上的泛函，记作))((t x J 。S 称为J 的容许函数集。通俗地说，泛函就是“函数的函数”。例如对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J 。由微积分知识不难写出 dx x y x y x y J x x )('1)(2))((2 12?+=π （1）容许函数集可表示为 })( ,)(],,[)(|)({2211211y x y y x y x x C x y x y S ==∈= （2）最简单的一类泛函表为 ?=2 1 ),,())((t t dt x x t F t x J （3）被积函数F 包含自变量t ，未知函数x 及导数x 。（1）式是最简泛函。 1.1.2 泛函的极值泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0t x 接近的 S t x ∈)(，都有))(())((0t x J t x J ≥。所谓接近，可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量，而距离定义为 |})()(||,)()({|max ))(),((0002 1t x t x t x t x t x t x d t t t --=≤≤ 泛函的极大值可以类似地定义。)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(t x 在)(0t x 的增量记为 )()()(0t x t x t x -=δ 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ))(())()((00t x J t x t x J J -+=?δ 如果J ?可以表为

动力学基础讲义

1. 动力学概述结构动力学是结构力学的一个分支，着重研究结构对于动荷载的响应（如位移、应力等的时间历程），以便确定结构的承载能力和动力学特性，或为改善结构的性能提供依据。 1.1 结构动力体系当荷载不同时，结构体系对于荷载要考虑的结构特征也随之变化。质量作为结构的固有属性，分析动力问题时，因为质量的存在，会在结构中产生惯性力。 1.2 动载的定义和分类荷载的定义：作用在结构上的主动力。三要素：大小、方向和作用点。荷载按照不同的要素可以有不同的分类：作用时间：恒载活载作用位置：固定荷载移动荷载对结构产生的效应：静荷载动荷载静荷载：大小、方向和作用点不随时间变化或变化很缓慢的荷载。动荷载：大小、方向或作用点随时间变化很快的荷载。快慢标准：是否会使结构产生显著的加速度。显著标准：质量运动加速度所引起的惯性力与荷载相比是否可以忽略。动荷载分类确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。例如：简谐荷载、冲击荷载、突加荷载等非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。例如：风荷载、地震荷载等 1.3 动力问题的基本特性与结构静力学相比，动力学的复杂性表现在：（1）动力问题具有随时间而变化的性质；（2）数学解答不是单一的数值，而是时间的函数；（3）惯性力是结构内部弹性力所平衡的全部荷载的一个重要部分；（4）引入惯性力后涉及到二阶微分方程的求解；（5）需考虑结构本身的动力特性：刚度分布、质量分布、阻尼特性分布的影响。

1.4 离散化方法 1.4.1 集中质量法概念：把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。适用范围：大部分质量集中在若干离散点上的结构。举例：（1）房屋结构一般简化为层间剪切模型。（2）简支梁结构 1.4.2 广义位移法 1.4.3 有限元法 1.5 运动方程的建立运动方程：在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。运动方程的重要性：运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用的方法有：直接平衡法、虚功法、变分法。直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载，使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的思路，直接写出运动方程。虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运动方程。

变分原理基础_讲义

变分原理基础罗建辉 2009年夏季

1 能量原理能量原理是以能量形式表述的力学定律。概括地说，在所有满足一定的约束条件的可能状态中，真实状态应使其能量取极值或驻值。本课程讨论结构力学、弹性力学、薄板的能量原理，只讨论线性平衡问题。 2 弹性系统真实平衡状态的能量特征举例从能量角度看，弹性系统的真实平衡状态具有如下的能量特征：即与其他可能状态相比，真实状态的能量为极值或驻值。对这一能量特征举几个简例。例0—1. 弹簧系统真实平衡状态的能量特征图0—1 所示为一弹簧下端挂一重物。弹簧的刚度系数为k ，重物的重力为P 。用?表示位移，当弹簧系统处于平衡状态时，求得位移?的真解为 k P = ?=?0)(真解 (1) 真解的能量特征是弹簧系统的势能p ∏为极小。现检验如下： ? -?= ∏ P k p 2 2 1 (2) 式(2)右边第一项是弹簧的应变能，第二项是重力P 的势能。系统势能p ∏是位移?的二次式。由式(2)得 2 2 1()2 2p P P k k k ∏ = ?- - (3) 现考察真解的能量特征。显然，真解(1)使势能p ∏取极小值。换一个角度，求p ∏的一阶及二阶导数，得 P k d d p -?=? ∏ (4) 2 2>=? ∏k d d p (5) 将真解(1)代入式(4)，得 0=? ∏d d p ，故知势能p ∏ 为驻值。根据式(5)，又知势能p ∏ 变分原理广义变分原理单变量形式多变量形式

为极小值。例0—2 超静定梁真实平衡状态的能量特征图0—2a 所示为一超静定梁，取图0—2b 所示静定梁为其基本结构。根据平衡条件，基本结构的弯矩可表示为 P M X M M +=11 (6) 其中p M 是在荷载作用下基本结构的弯矩，1M 是在单位多余力11 =X 作用下基本结构的弯矩，1X 是任意值。式(6)同时也是超静定梁满足平衡条件的可能弯矩，由于1X 是任意参数，因此超静定梁的可能弯矩尚未唯一确定。为了确定1X 的真解，还必须应用变形协调条件 )(1111=?+p X 真解δ (7) 式中 ? = ?dx EI M M p p 11 (8) ? = dx EI M 2 111δ 试验证真解的能量特征是梁的余能c ∏为极小值，余能c ∏的表示式为 dx M X M EI dx EI M p c ? ? += = ∏2 112 )(212 (9) 余能c ∏是1X 的二次函数，由式(9)得 1111 11222 112 2 12 12 2 11112 2 2 11111111 1 1(2)2 1[2] 21[2] 2 1 [()] 2p c p p p p p p p p M X M M X M dx EI M dx M M dx M dx X X EI EI EI M dx X X EI M dx X EI δδδδ∏=++=++=+?+=+?-?+?? ? ? ? ? (10) 由式(10)可知变形协调条件(7)使余能c ∏取极小值。换一个角度，求c ∏的一阶及二阶导数，得 p p c X dx M M X M EI dX d 11111111 )(1?+=+= ∏? δ (11) 1121 2>=∏δdX d c (12) 由于真解满足式(7)，代入式(11)，得0 1 =∏dX d c ，故知余能c ∏为驻值。根据式 (12)，又知余能c ∏为极小值。 3 基本能量原理

计算结构力学课程讲义

第1章绪论 1.1 课程内容 (1) 研究内容本课程主要研究工程结构计算机分析（数值分析）的常用方法——有限单元法、加权残数（余量）法和边界单元法的基本概念、基本原理及其应用。 (2) 参考书籍课程的主要参考书籍如下：唐锦春，孙炳楠，郭鼎康，计算结构力学，浙江大学出版社，1989 丁皓江, 谢贻权, 何福保，弹性和塑性力学中的有限单元法，机械工业出版社，1989 王勖成，有限单元法，清华大学出版社，2003 王勖成，邵敏，有限单元法基本原理及数值方法，第二版，清华大学出版社，1997 徐次达，固体力学加权残数法，同济大学出版社，1987 孙炳楠，项玉寅，张永元，工程中边界单元法及其应用，浙江大学出版社，1991 Bath, K. J. Finite Element Procedures, Prentice-Hall, Inc., 1996. Zienkiewicz, O. C., The Finite Element Method, 5th Edition, McGraw Hill, 2001. Brebbia, C.A., The Boundary Element Method for Engineers, Pentech Press, London, 1978. Chandrupatla, T. R., Belegundu, A.D. Introduction to Finite Elements in Engineering, Prentice-Hall, Inc., 2002. 1.2 结构分析方法概述一个工程技术问题总可由一组基本方程（通常是微分方程）加一组边界条件描述，即由下式给出：基本方程：L(u)-p=0，∈V（域内）边界条件：B(u)-g=0，∈S（边界）式中L、B为算子，p、g为已知函数。工程技术问题的常用分析方法有： (1) 解析方法只适用于少数简单问题，即形状规则且外部作用（如外荷载）简单的结构分析

变分法初步

理学院邓胜华第19章变分法初步

引言：从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似．

常用近似解法涉及：有限差分法、模拟法、变分法等．有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．变分法：是这些方法中最为重要和切实有效的方法，已经广泛应用于科学研究和工程计算之中。本课主要介绍经典变分法的基本概念和理论．

变分法是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法，变分问题即是求泛函的极值问题，把定解问题转化为变分问题，再求变分问题的解。变分法的优点: (1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定律都能用变分原理的形式予以表达； (2)变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；

(3)变分法是求解数学物理定解问题常用的近似方法。基本思想：是把数学物理定解问题转化为变分问题。由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法； (4)变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．

使用变分法的理由

在热力学系使用变分法的理由及结果摩尔熵分布函数”的导出摘要：当热力学体系达到平衡态时，具有“无耗散”（即“无熵产”）的特点。本文就依据这一“平衡态原理”（ “熵增原理”）使用了“变分法”进行“泛函分析”；导出了“欧勒方程”的解──“比熵平衡方程”，还给出了“即使在外场中处于密度不均匀的无‘熵产’状态，类似于最大熵状态时，体系仍然保持着均匀的．．．．．．‘比．熵．’分．布”．．这个新结果。同时，这都因为大胆地在 “热统”领域引进了“间接变分法”的结果，这增强了对体系“熵函数”的探讨能力；最后还作了一些展望。 1．引言若有一绝热封闭的刚性壁容器，内盛有一摩尔单原子理想气体，在桌面上静置了一百年；试问该容器内不同高度上的气体密度、压力、温度这三个热力学参量沿着高度的分布情况究竟是怎样的？依据经验,假如容器处在无外力场中且保持惯性运动状态, 则容器内气体必将有0=?P ，0=?ρ，0=?T ,这只是经验认识；对此，笔者一直心存余悸，在惯性空间，究竟当热力学体系达到平衡态时，虽然可以肯定体系的熵达到了极大值，但体系的密度、温度、压力是否真的会均匀分布，这决不能满足于主观臆测，必须建立相应的数学模型进严格的

规范的推导求证。波尔兹曼早就用统计力学的方法推导出，无论体系是否处在外力场中，体系的平衡态都将保持温度均匀分布的状态；所以教科书将温度均匀分布作为物系达到平衡态的标志。笔者试图另辟蹊径，依据“最大熵原理”借用“（间接）变分法”（破解相应的“欧勒方程”）首先解出惯性空间的热力学平衡态体系的参量分布函数，接着再导出当存在外场（即当g≠0）时，热力学平衡态体系的参量分布函数…… 2．对热力学体系尝试“变分法”的理由其实上面的问题可以归结为，当体系的“熵产生率”等于零或曰热孤立体系的总熵不再增长时（最大熵原理），惯性空间中的热力学体系各点介质的‘比熵’（即某小局域的熵与该小局域所含介质的摩尔数的比值）将保持什么样的关系问题；或曰热力学参量的分布函数将是怎样的？这个问题一直困扰着笔者……久思不得其解；思来想去一筹莫展（无从下手）。经过长期的沉思……笔者突然联想到人们在寻求极限条件下的尝试函数，常常运用“变分法”进行泛函分析……譬如在力学中为了寻求最快捷的下滑轨道方程（函数），使用了“间接变分法”，求解“欧勒方程”；也就是说欲使某一滑块从某一点下滑到另一点需要的时间最短，其路径（轨迹曲线）的方程（函数）是怎样的（即“捷线问题”）？“捷线问题”与本文的问题颇为相似。本文的问题就是指一摩尔理想气体在特定的绝热封闭的刚性容器中经过长期静置，试问其最终死寂（平静）状态时的密度、温度、压

《变分法基础》习题2

习题2 2.1 设函数1)',,(C y y x F F ∈=，2)(C x y y ∈=，试求 (1) 微分F d ；(2) 变分F δ。 2.2 试求下列函数的一阶变分，其中a 、b 、c 和d 均为常数。 (1) 22'dy cy by ax F +++=；(2) 2'1y y F +=；(3) 2''cy by a F ++=。 2.3 试求下列泛函的一阶变分 (1) ?++=10 d )'''(][2x x x cy by ay y J ；(2) ?+=1 d '1][22x x x y y y J ； (3) ?--=10 d )cosh 2'(][22x x x x y y y y J ；(4) ?++=1 d )''(][22x x x c bxy y ax y J ； (5) ?-+=1 d )'2(][22x x x y y y xy y J 。 2.4 求泛函?+=1 02d )12'(][x xy y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ，1)1(=y 。 2.5 求泛函?π-=20 22d )'(][x y y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ，12=?? ? ??πy 。 2.6 求泛函?+=1 d )'1('][2x x x y x y y J 的极值曲线。 2.7 求泛函?+=1 d )'(][2x x x y xy y J 的极值曲线。 2.8 求泛函?+=1 d )'2(][2x x x xy y y J 的极值曲线，边界条件为00)(y x y =，11)(y x y =。 2.9 求泛函?+=1 d '1 e ][2x x x x y y J 的极值曲线。 2.10 求泛函?-=2 12d )'(][x y xy y J 的极值曲线，边界条件为0)1(=y ，1)2(=y 。 2.11 求泛函?=1 d '][2 x x k x x y y J 的极值曲线，式中0>k 。 2.12 求泛函?++=2 122d )'2'(][x y yy y y J 的极值曲线，边界条件为1)1(=y ，0)2(=y 。 2.13 求泛函?=1 02d '][x yy y J 的极值曲线，边界条件为1)0(=y ，34)1(=y 。 2.14 求泛函?π-+=022d )'co s 4(][x y y x y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ， 0)(=πy 。 2.15 求泛函?+=e 12d )''(][x yy xy y J 的极值曲线，边界条件为0)1(=y ，1(e)=y 。 2.16 求泛函?+=1 02d )'(][x y x y J 的极值曲线，边界条件为1)0(=y ，2)1(=y 。 2.17 求泛函?+=1 022d )'(][x y y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ，1)1(=y 。 2.18 求泛函?+=1 022d )4'(][x y y y J 的极值曲线，边界条件为2e )0(=y ，1)1(=y 。 2.19 求泛函?-=1 d )'(][22x x x y x y y J 的极值曲线，边界条件为a x y =)(0，b x y =)(1。 2.20 求泛函?-=1 2 d ) '(][x x y x xy y y J 的极值曲线，边界条件为a x y =)(0，b x y =)(1。 2.21 求泛函?+=1 d )'(][2x x x by ay y J 的极值曲线，边界条件为00)(y x y =，11)(y x y =。

变分法