2012年3月北京市丰台区高三一模(理数)定稿答案
数学2012年高三一模试题及答案整理(朝阳、海淀、丰台)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷（文史类） 2012.3第一部分（选择题 共40分）注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 复数10i 12i=-A.42i -B. 42i -+C. 24i +D. 24i - 2. 若集合{}21,A m =，{}3,4B =，则“2m =”是“{}4=B A ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3. 已知平面向量,a b 满足()=3a a +b ⋅，且，则向量a 与b 的夹角为A.6π B.3π C.32π D.65π4. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且21()n n S a n *=-∈N ，则A. 16-B. 16C. 31D. 325. 关于两条不同的直线,与两个不同的平面,，下列命题正确的是 A ．且，则 B ．且，则C ．且，则D ．且，则6. 已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率2e =，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A ．2212xy -= B ．22123xy-= C.2214xy -= D. 221x y -=7. 某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件. 从第二年开始，商场对A 种产品 征收销售额的%x 的管理费（即销售100元要征收x 元），于是该产品定价每件比第一年 增加了70%1%x x ⋅-元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是A. 2B. 6.5C. 8.8D. 102,1==a b n 5a =m n αββα//,//n m βα//n m //βα⊥⊥n m ,βα⊥m //n βα//,n m ⊥βα//n m ⊥βα⊥n m ,//βα⊥n m //8. 函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有(2)()f x f x +=.当01x ≤≤时，2()f x x =.若直线y x a =+与函数()y f x =的图象有两个不同的公共点，则实数a 的值为 A.()n ∈Z B.n ()n ∈Z C. 2n 或124n -()n ∈Z D. n 或14n -()n ∈Z第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上. 9.若sin 3θ=,(,)2θπ∈π，则tan θ= .10.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .（第10题图）11. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值是4，则输出S 的值是 .（第11题图）12. 设,x y 满足约束条件0, , 230,y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值是 ；使z 取得最大值时的点(,)x y 的坐标是 .13. 已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩，则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k=-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .正视图 侧视图14. 已知集合{}22(,)4A x y x y =+≤，集合B =(){},,x y y m x m ≥为正常数.若O 为坐标原点，M ，N 为集合A 所表示的平面区域与集合B 所表示的平面区域的边界的交点,则MON ∆的面积S 与m 的关系式为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 把答案答在答题卡上. 15. （本题满分13分）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若3()5f α=，其中π3π,44α<<求πsin 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值； （II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 16. （本题满分13分）某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第1组[25，30)，第2组[30，35)，第3组[35，40)，第4组[40，45)，第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如右图所示．(Ⅰ)下表是年龄的频数分布表，求正整数,a b 的值；(Ⅱ)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．17. （本题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形A B C D 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面A B C D ，EF//AB ，2AB =，=1EF ，=BC （Ⅰ）求证：//EM 平面ADF ；（Ⅱ）在EB 上是否存在一点P ，使得C ∠ 若存在，请求出C P D ∠请说明理由.18. （本题满分14分）已知函数()2()1e x f x ax =-⋅,a ∈R .（Ⅰ）若函数()f x 在1x =时取得极值，求a 的值；（Ⅱ）当0a ≤时，求函数()f x 的单调区间. 19.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点分别为1(0)F ，20)F ，点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(1,0)M 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点,设点(3,2)N ，记直线AN ，BN的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +为定值. 20（本题满分13分）已知各项均为非负整数的数列001:,,,n A a a a （n *∈N ），满足00a =，1n a a n ++= ．若存在最小的正整数k ，使得(1)k a k k =≥，则可定义变换T ，变换T 将数列0A 变为00111():1,1,,1,0,,,k k n T A a a a a a -++++ ．设1()i i A T A +=，0,1,2i = ． （Ⅰ）若数列0:0,1,1,3,0,0A ，试写出数列5A ；若数列4:4,0,0,0,0A ，试写出数列0A ； （Ⅱ）证明存在数列0A ，经过有限次T 变换，可将数列0A 变为数列,0,0,,0n n个；（Ⅲ）若数列0A 经过有限次T 变换，可变为数列,0,0,,0n n个．设1m m mnS a a a +=+++ ，1,2,,m n = ，求证[](1)1m m m S a S m m =-++，其中[]1m S m +表示不超过1m S m +的最大整数.北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学试卷答案（文史类） 2012.3二、填空题：注：若有两空，则第一个空第二个空三、解答题：15、（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为π3()cos()45f αα=-=，且ππ042α<-<， …………1分所以π4sin 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭. .…………5分. （II ）()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=ππsin()cos()44x x +⋅+ =1πsin(2)22x +=1cos 22x . .…….…..10分当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 则当0x =时，()g x 的最大值为12；当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ………13分16、（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由题设可知，0.085500200a =⨯⨯=， 0.02550050b =⨯⨯=.……………2分(Ⅱ) 因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第1组的人数为5061300⨯=，第2组的人数为5061300⨯=，第3组的人数为20064300⨯=，所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人． ………………6分 (Ⅲ)设第1组的1位同学为A ，第2组的1位同学为B ，第3组的4位同学为1234,,,C C C C ，则从六位同学中抽两位同学有：1234(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A C A C A C 1234(,),(,),(,),(,),B C B C B C B C 12(,),C C13(,),C C 142324(,),(,),(,),C C C C C C 34(,),C C 共种可能． ………… 10分其中2人年龄都不在第3组的有：(,),A B 共1种可能， ……… ………12分 所以至少有1人年龄在第3组的概率为11411515-=． ………………13分17、（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取A D 的中点N ，连接,M N N F .在D AB ∆中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点， 所以MN//AB,MN 12=A B . ……………2分 又因为EF//AB,EF 12=A B ，所以M N //EF 且M N =EF .所以四边形M N FE 为平行四边形，所以E M //F N . ………………4分 又因为FN ⊂平面ADF ，EM ⊄平面ADF ，故E M //平面ADF . ……………………6分 （Ⅱ）解：假设在EB 上存在一点P ，使得C P D ∠最大.因为EB ⊥平面ABD ，所以EB C D ⊥.又因为C D B D ⊥，所以C D ⊥平面EBD . ………………………8分 在R t C PD ∆中，tan =C D C P D D P∠.因为C D 为定值，且C P D ∠为锐角，则要使C P D ∠最大，只要D P 最小即可. 显然，当DP EB ⊥时，D P 最小.因为DB EB ⊥，所以当点P 在点B 处时，使得C P D ∠最大. …………11分 易得tan C D C P D =D B∠=23.所以C P D ∠的正切值为23.……………………13分18、（本小题满分14分）解：（Ⅰ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅.x ∈R ……………………2分 依题意得(1)(31)e =0f a '=-⋅，解得13a =. 经检验符合题意. ………4分（Ⅱ）()2()21e x f x ax ax '=+-⋅，设2()21g x ax ax =+-，15NCA F EB MD（1）当0a =时，()e x f x =-，()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……5分 （2）当0a <时，方程2()21g x ax ax =+-=0的判别式为244a a ∆=+， 令0∆=, 解得0a =（舍去）或1a =-.1°当1a =-时，22()21(1)0g x x x x =---=-+≤， 即()2()21e 0x f x ax ax '=+-⋅≤，且()f x '在1x =-两侧同号，仅在1x =-时等于0，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………………7分 2°当10a -<<时，0∆<，则2()210g x ax ax =+-<恒成立，即()0f x '<恒成立，则()f x 在(),-∞+∞上为单调减函数. ……………9分3°1a <-时，2440a a ∆=+>，令()0g x =，方程2210ax ax +-=有两个不相等的实数根11x a=-+，21x a=--，作差可知11aa -->-+，则当1x a<-+时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(,1)a-∞-+上为单调减函数；当11x aa-+<<--时，()0g x >，()0f x '>，()f x 在(11)aa-+--上为单调增函数；当1x a>--时，()0g x <，()0f x '<，()f x 在(1,)a--+∞上为单调减函数. ……………………………………………………………………13分 综上所述，当10a -≤≤时，函数()f x 的单调减区间为(),-∞+∞；当1a <-时，函数()f x 的单调减区间为(,1a-∞-+，(1)a--+∞，函数()f x的单调增区间为(11aa-+--. (14)分19、（本小题满分14分） 解:（Ⅰ）依题意，由已知得c =，222a b -=，由已知易得1b OM ==,解得a = …………3分 则椭圆的方程为2213xy +=. …………4分(II) ①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,3x y ==±设(1,3A，(1,3B -，则122233222k k -++=+=为定值. ………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213xy +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=.…6分依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631kx x k +=+，21223331k x x k -=+. ……………………7分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ………………………8分122112(2)(3)(2)(3)(3)(3)y x y x x x --+--=--12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k kx x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21) 2.6(21)k k +==+ .…….………………13分综上得12k k +为常数2. .…….………………14分 20、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）若0:0,1,1,3,0,0A ，则1:1,0,1,3,0,0A ；2:2,1,2,0,0,0A ； 3:3,0,2,0,0,0A ； 4:4,1,0,0,0,0A ； 5:5,0,0,0,0,0A ．若4:4,0,0,0,0A ，则 3:3,1,0,0,0A ； 2:2,0,2,0,0A ； 1:1,1,2,0,0A ；0:0,0,1,3,0A ． .……….………………4分（Ⅱ）若数列001:,,,n A a a a 满足0k a =及0(01)i a i k >≤≤-，则定义变换1T-，变换1T-将数列0A 变为数列10()T A -：01111,1,,1,,,,k k n a a a k a a -+--- ．易知1T-和T 是互逆变换．对于数列,0,0,,0n 连续实施变换1T-（一直不能再作1T-变换为止）得,0,0,,0n 1T-−−→1,1,0,,0n - 1T-−−→2,0,2,0,,0n - 1T-−−→3,1,2,0,,0n - 1T-−−→ 1T-−−→01,,,n a a a ，则必有00a =（若00a ≠，则还可作变换1T-）．反过来对01,,,n a a a 作有限次变换T ，即可还原为数列,0,0,,0n ，因此存在数列0A 满足条件．…………………………8分（Ⅲ）显然i a i ≤(1,2,,)i n = ，这是由于若对某个0i ，00i a i >，则由变换的定义可知，0i a通过变换，不能变为0.由变换T 的定义可知数列0A 每经过一次变换，k S 的值或者不 变，或者减少k ，由于数列0A 经有限次变换T ，变为数列,0,,0n 时，有0m S =，1,2,,m n = ，所以m m S m t =(m t 为整数)，于是1m m m S a S +=+1(1)m m a m t +=++，0m a m ≤≤， 所以m a 为m S 除以1m +后所得的余数，即[](1)1m m m S a S m m =-++．………13分北京海淀区2012年高三一模文科数学试题2012.04．05一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合2{|1}A x x ==，{|(2)0}B x x x =-<，那么A B = （A ）Æ （B ） {1}- （C ）{1} （D ）{1,1}-2、在等比数列{}n a 中，26a =，318a =-，则1234a a a a +++=（A ）26（B ）40 （C ）54（D ）803、已知向量=(12=(1)x x +-,a b ,),. 若a 与垂直，则||b =（A ）1 （B（C ）2 （D ）4 4、过双曲线221916xy-=的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是（A ）34150x y +-= （B ）34150x y --= （C ）43200x y -+= （D ）43200x y --= 5、执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86、若满足条件020x y x y y a -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩的整点(,)x y 恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为（A ）3- （B ） 2- （C ）1- （D ）07、已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a < （B ）2a > （C ）22a -<< （D ）2a >或2a <-b A'B'C'D'A BCD8、在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（A ）4 （B ）6 （C ）8 （D ）12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. 9、复数2i 1i-在复平面内所对应的点的坐标为 .10、若tan 2α=，则sin 2α= .11、以抛物线24y x =上的点0(,4)x 为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是 .12、已知三条侧棱两两垂直的正三棱锥的俯视图如图所示，那么此三棱锥的体积是 ，左视图的面积是 .13、设某商品的需求函数为1005Q P =-，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性E Q E P大于1（其中'E Q Q P E PQ=-，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .14、已知函数1,,()0,.x f x x ìÎïï=íïÎïîR Q Q ð 则()()______f f x =； 下面三个命题中，所有真命题的序号是 . ① 函数()f x 是偶函数；② 任取一个不为零的有理数T ，()()f x T f x +=对x ∈R 恒成立；③ 存在三个点112233(,()),(,()),(,()),A x f x B x f x C x f x 使得ABC ∆为等边三角形. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、本小题满分13分）已知函数()sin sin()3f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c .已知()2f A =，a =，试判断ABC ∆的形状.俯视图16、（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值； （Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿.17、（本小题满分14分）已知菱形ABCD 中，AB =4， 60BAD ∠=（如图1所示），将菱形ABCD 沿对角线B D翻折，使点C 翻折到点1C 的位置（如图2所示），点E ，F ，M 分别是AB ，DC 1，BC 1的中点． （Ⅰ）证明：BD //平面EM F ； （Ⅱ）证明：1AC BD ⊥；（Ⅲ）当E F A B ⊥时，求线段AC 1 的长．18、（本小题满分13分）已知函数211()ln (0)22f x a x x a a =-+∈≠且R .（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≤？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由. 19、（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221 (0)x y a b ab+=>>的右顶点(2,0)A，离心率为2，O 为坐标原点.ABCD图1M FEABC 1D图2（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P （异于点A ）为椭圆C 上一个动点，过O 作线段A P 的垂线l 交椭圆C 于点,E D ，求D E AP的取值范围.20、（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知A ={2，4，6，8，10}，B ={1，2，4，8，16}.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆； （Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数.（ⅰ）求证：当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取得最小值时， 2X Î； （ⅱ）求()()C ard X A C ard X B ∆+∆的最小值.海淀区高三年级第二学期期中练习 数 学（文科）参考答案及评分标准 2012．04一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9、(1,1)- 10、4511、22(4)(4)25x y -+-=12、3，2； 13、(10,20) ； 14、1 ， ①②③三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()sin sin()3f x x x π=+-1sin sin 22x x x =+- (2)分3sin 22x x =-1cos 22x x ÷÷=-÷÷ )6x π=-.…………………4分由22,262k x k k πππππ-<-<+ Z ， 得：222,33k x k k ππππ-<<+Z . 所以 ()f x 的单调递增区间为2(2,2)33k k ππππ-+，k ÎZ . ………………………6分（Ⅱ）因为()2f A =，所以)62A π-=.所以1s i n ()62A π-=. ………………7分因为 0A π<<，所以 5666A πππ-<-<. 所以3A π=. ……………………………………9分 因为sin sin a bAB =，a =，所以 1sin 2B =. ………………………11分因为 a b >，3A π=，所以 6B π=.所以 2C π= .所以 ABC ∆为直角三角形. ………………………………………13分 16、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由直方图可得200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以0.0125x =. …………………6分（Ⅱ）由直方图可知，新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.003220=0.12创.…………9分因为 6000.1272⨯=.所以 600名新生中有72名学生可以申请住宿. …………13分17、（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）因为点,F M 分别是11,C D C B 的中点，所以//FM BD ． ……………2分又FM ⊂平面EM F ，BD ⊄平面EM F ,所以//BD 平面EM F ．……………4分（Ⅱ）在菱形ABCD 中，设O 为,AC BD 的交点, 则AC BD ⊥．………………………5分所以 在三棱锥1C ABD -中，1,C O BD AO BD ⊥⊥.又 1,C O AO O =所以 B D ⊥平面1AO C ． ………7分又1AC ⊂平面1AO C ，所以 B D ⊥O M FEABC 1D1AC ． ………………………………………9分（Ⅲ）连结1,D E C E ．在菱形ABCD 中，,60DA AB BAD =∠= ， 所以 A B D ∆是等边三角形.所以 D A D B =． ………………10分 因为 E 为A B 中点，所以 D E A B ⊥． 又 EF AB ⊥，EF D E E = ．所以 A B ⊥平面D EF ，即A B ⊥平面1D EC ．………12分 又 1C E ⊂平面1D EC ，所以 A B ⊥1C E ．因为,4AE EB AB ==，1BC AB=，所以114AC BC ==． …………………14分18、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞. 2'()a x af x x xx-+=-= (2)分当0a <时，在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 所以 ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞.……………3分当0a >时，令'()0f x =得x =x =.函数()f x ,'()f x 随x 的变化如下：所以 ()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. ……………6分综上所述，当0a <时， ()f x 的单调递减区间是(0,)+∞；当0a >时，()f x 的单调递增区间是，单调递减区间是)+∞. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：M FEABC 1D当0a <时, ()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.……7分当0a >时，① 1≤，即01a <≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减.所以()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)0f =，即对任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤.………10分② 1>，即1a >时，()f x 在上单调递增，所以 (1)f f >.又 (1)0f =，所以 0f >，与对于任意的[1,)x ∈+∞，都有()0f x ≤矛盾. ………………………12分综上所述，存在实数a 满足题意，此时a 的取值范围是(,0)(0-∞ .………………………13 19、（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为 (2,0)A 是椭圆C 的右顶点，所以 2a =. 又2c a =，所以 c =.所以 222431b ac =-=-=. 所以 椭圆C 的方程为2214xy +=. ……………3分（Ⅱ）当直线A P 的斜率为0时，||4AP =，D E 为椭圆C 的短轴，则||2D E =.所以 ||1||2D E AP =. ………………………………………5分当直线A P 的斜率不为0时，设直线A P 的方程为(2)y k x =-，00(,)P x y ， 则直线DE 的方程为1y x k=-. ………………………………………6分由22(2),14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得224[(2)]40x k x +--=. 即2222(14)161640k x k x k +-+-=.所以 202162.41kx k +=+所以 20282.41k x k =+- (8)分所以||AP ==即||41A P k =+.类似可求||D E =. 所以2||||41D E AP k ==+………………11分设t =则224k t =-，2t >.22||4(4)1415(2).||D E t t t A P tt-+-==>令2415()(2)t g t t t-=>，则22415'()0t g t t+=>.所以 ()g t 是一个增函数.所以2||41544151||22D E t A P t-⨯-=>=.综上，||||D E A P 的取值范围是1[,)2+ . (13)分20、（本小题满分14分）（Ⅰ）解：(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.…………………3分 （Ⅱ）设当()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值时，X W =. （ⅰ）证明：假设2W Ï，令{2}Y W = .那么 ()()C ard Y A C ard Y B ∆+∆()1()1C ard W A C ard W B =∆-+∆-()()C ard W A C ard W B <∆+∆.这与题设矛盾.所以 2W Î，即当()()C a r d X AC a r d X B ∆+∆取到最小值时，2X Î. …………7分（ⅱ）同（ⅰ）可得：4W Î且8W Î.若存在a X Î且a A B Ï ，则令{}X Z a =ð. 那么()()C ard Z A C ard Z B ∆+∆()1()1C ard X A C ard X B =∆-+∆-()()C ard X A C ard X B <∆+∆.所以 集合W 中的元素只能来自A B .若a A B Î 且a A B Ï ，同上分析可知：集合X 中是否包含元素a ，()()C ard X A C ard X B ∆+∆的值不变.综上可知，当W 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()C ard X A C ard X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………14分2012年北京丰台区高考模试题（数学文）-B 版第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （题1）1．设集合{|1}P x x =>，{|(1)0}Q x x x =->，下列结论正确的是（ ） A ．P Q = B ．P Q R = C ．P Q Ü D ．Q P Ü 【解析】 C ；(1,)P =+∞，(,0)(1,)Q =-∞+∞ ． （题2）2．下面四个点中，在平面区域4y x y x<+⎧⎨>-⎩内的点是（ ）A ．(0,0)B ．(0,2)C ．(3,2)-D ．(2,0)- 【解析】 B ；直接将坐标代入即得． （题3）3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于（ ）A ．10B ．12C ．15D ．30 【解析】 C ；24362a a a +==，于是33a =，53515S a ==．（题4） 4．若0mn<<，则下列结论正确的是（ ）A ．22mn>B ．1122mn⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．22log log mn> D ．1122log log m n >【解析】 D ；由指数函数与对数函数的单调性知D 正确． （题5）5．甲乙两名运动员在某项测试中的6次成绩如茎叶图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，1s ，2s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（ ）A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s <>【解析】 B ；1215x x ==，222222221211(6116)(7227)66s s =+++<=+++．甲乙012965541835572（题6）6．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ．1321B ．2113C ．813D ．138【解析】 D ；1,1,220x y z ===<；1,2,320x y z ===<； ，8,13,2120x y z ===>，故输出138．（题7）7．已知双曲线2213yx -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅最小值为（ ） A ．2- B ．8116- C ．1 D ．0【解析】 A ；12(1,0),(2,0)A F -，设(,P x yx≥，2212(1,)(2,)2PA PF x y x y x x y⋅=--⋅-=--+，又2213yx -=，故223(1)y x =-，于是2212114545816PA PF x x x ⎛⎫⋅=--=---⎪⎝⎭ ，当1x =时，取到最小值2-．（题8）8．如图，平面α⊥平面β，αβ =直线l ，,A C 是α内不同的两点，,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l ，,M N 分别是线段,AB CD 的中点．下列判断正确的是（ ） A ．当||2||CD AB =时，,M N 两点不可能重合B ．当||2||CD AB =时，线段,AB CD 在平面α上正投影的长度不可能相等C ．,M N 两点可能重合，但此时直线A C 与l 不可能相交D ．当AB 与C D 相交，直线A C 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交 【解析】 C ；若,M N 两点重合，由,AM M B CM M D ==知AC BD ∥，从而A C ∥平面β，故有A C l ∥，故C 正确．第II 卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （题9）9．i 是虚数单位，1i 1i+=+ ．【解析】 11i22+；11i 1i i i 1i22-++=+=+．（题10） 10．在边长为1的正方形A B C D 内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于1的概率为 ． 【解析】 π4；当P 点在阴影内部时，满足到点A 的距离小于1，概率满足几何概型，故所求的概率为面积比21ππ144⋅=．（题11）11．已知||2a =，||3b = ，,a b 的夹角为60°，则|2|a b -=．【解析】；222(2)44cos 6013a b aa b b-=-⋅︒+= ．（题12） 12．已知2,0()12lg ,0x x x f x x x ⎧-=⎨+>⎩≤，若()2f x =，则x=．【解析】 1-当0x ≤时，由22x x -=得，1x =-（正值舍）；当0x >时，12lg 2x +=，解得x =（题13）13．在A B C ∆中，C 为钝角，32A B B C=，1sin 3A =，则角C=，sin B=．【解析】 150°6由正弦定理知sin 31sin sin 22AB C C BCA==⇒=，又C 为钝角，故150C=︒；11sin sin()sin cos cos sin 32326B A C A C A C ⎛=+=+=⨯-+= ⎝⎭．（题14）14．设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数． 现给出下列命题： ①函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的1高调函数；②函数()sin 2f x x =为R 上的π高调函数；③如果定义域为[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上m 高调函数，那么实数m 的取值范围是[2,)+∞；其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的序号）【解析】 ②③；①中()f x 为减函数，故不可能是1高调函数；②中，(π)()f x f x +=，故②正确；2()(1)f x x x =-≥的图象如下图所示，要使得(1)(1)1f m f -+-=≥，有2m ≥；1x -≥时，恒有(2)()f x f x +≥，故2m ≥即可，③正确．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（题15） 15．（本小题满分12分）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率． 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B 包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B =．（题16） 16．（本小题满分12分） 已知α为锐角，且πtan 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭．⑴求tan α的值； ⑵求sin 2cos sin cos 2αααα-的值．【解析】 ⑴π1tan tan 41tan ααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭，所以1tan 2,1tan 22tan 1tan αααα+=+=--，所以1tan 3α=．⑵2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===，因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=，所以21sin 10α=，又α为锐角，所以sin 10α=，所以sin 2cos sin cos 210αααα-=．（题17）17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥P A B C -中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，D 为侧棱P C 上一点， 它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示． ⑴证明：AD ⊥平面PBC ； ⑵求三棱锥D ABC -的体积；⑶在A C B ∠的平分线上确定一点Q ，使得PQ ∥平面ABD ，并求此时PQ 的长．【解析】 ⑴因为PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，所以B C ⊥平面PAC ，所以BC AD ⊥．由三视图可得，在P A C ∆中，4PA AC ==，D 为P C 中点，所以AD PC⊥，所以AD ⊥平面PBC ， ⑵由三视图可得4B C =，由⑴知90AD C ∠=︒，B C ⊥平面PAC ，又三棱锥D ABC -的体积即为三棱锥B AD C -的体积，所以，所求三棱锥的体积111164443223V =⨯⨯⨯⨯⨯=．⑶取AB 的中点O ，连接C O 并延长至Q ，使得2CQ CO =，点Q 即为所求．因为O 为C Q 中点，所以PQ OD ∥，因为PQ ⊄平面ABD ，O D ⊂平面ABD ，所以PQ ∥平面ABD ， 连接A Q ，BQ ，四边形AC BQ 的对角线互相平分，所以AC BQ 为平行四边形，所以4AQ =，又PA ⊥平面ABC ， 所以在直角PAD ∆中，PQ ==（题18） 18．（本小题满分14分） 椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，且过(2,0)点．⑴求椭圆C 的方程；⑵设直线l ：y x m =+与椭圆C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若O A B ∆直角三角形，求m 的值． 【解析】 ⑴已知2412c a a==，所以2,a c ==222a b c =+，所以1b =，所以椭圆C 的方程为2214xy +=．侧（左）视图正（主）视图PDCBAOQABC DP⑵联立2214x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得2258440x mx m ++-=，2226480(1)1680m m m ∆=--=-+，令0∆>，即216800m -+>，解得m <<设A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，i ）当A O B ∠为直角时，则21212844,55m x x m x x -+=-=，因为A O B ∠为直角，所以0O A O B⋅=，即12120x x y y +=，所以212122()0x x m x x m +++=， 所以222888055m m m --+=，解得m =±；ii ）当O A B ∠或O B A ∠为直角时，不妨设O A B ∠为直角，由直线l 的斜率为1，可得直线O A 的斜率为1-， 所以111y x =-，即11y x =-，又2214xy +=，所以211514x x =⇒=±1112m y x x =-=-=±，依题意m <<0m≠，经检验，所求m 值均符合题意，综上，m的值为±±（题19） 19．（本小题满分14分）设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2nn nb na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m=，232m b =，其中0m ≠．⑴求数列{}n a 的首项和公比； ⑵当1m=时，求nb ；⑶设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m的取值范围．【解析】 ⑴由已知11b a =，所以1a m=；2122b a a =+，所以12322a a m+=，解得22m a =-；所以数列{}n a 的公比12q =-；⑵当1m =时，112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，121(1)2n n nb na n a a a -=+-+++ ，………………………①，2311(1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②，②－①得23132n n n b n a a a a +-=-+++++ ，所以111223111123212nnn b n n ⎡⎤⎛⎫---⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦-=-+=----⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，1222162(2)39929nnn n n b -++-⎛⎫=+--=⎪⎝⎭．⑶1[1]212113212nnn m m S ⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==⋅--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，因为1102n⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以由[1,3]n S ∈得1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，注意到，当n为奇数时，1311,22n⎛⎫⎛⎤--∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦；当n 为偶数时，131,124n⎛⎫⎡⎫--∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，所以112n⎛⎫-- ⎪⎝⎭最大值为32，最小值为34．对于任意的正整数n 都有1233111122nnm ⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭≤≤，所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，即所求实数m 的取值范围是{|23}m m ≤≤．（题20） 20．（本小题满分14分）已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．⑴若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；⑵当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．【解析】 ⑴设()f x 有零点，即函数2()g x x mx m =-+有零点，所以240m m -≥，解得4m ≥或0m ≤；⑵2()(2)e ()e (2)e x x x f x x m x m x m x x m '=-⋅+-+⋅=-+， 令()0f x '=得0x=或2xm =-，因为0m <，所以20m -<，当(,2)x m ∈-∞-时，()0f x '>，函数()f x 单调递增； 当(2,0)x m ∈-时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增． 此时，()f x 存在最小值．()f x 的极小值为(0)0f m =<．根据()f x 的单调性，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，解()f x =0，得()f x 的零点为12x =22x =，结合2()()e x f x x mx m =-+⋅可得在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >．因为0m<，所以120x x <<，并且1(2)222x m m --=-+=4|2|4(2)10222m m m m -+---+-->===>，即12x m >-，综上，在区间1(,)x -∞和2(,)x +∞上，()0f x >，()f x 在区间(2,)m -+∞上的最小值为m ，0m <，所以，当0m <时()f x 存在最小值，最小值为m ．。
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(13) 排列、组合及二项式定理 理
十三、排列、组合及二项式定理第一部分 排列与组合6.（2012年海淀一模理6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（ D ）A ．12B ．24C ．36D ．485.（2012年东城一模理5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ C ）A ．16B ．18C ．24D ．326．（2012年丰台一模理6）学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、 丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有（ C ）种A.2243∙AB.2324A A ∙C.2243∙C D.2324A C ∙ 5.（2012年朝阳一模理5）有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定.技术 人员对它们进行一一测试，直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束，则恰好3次就结束 测试的方法种数是（ C ）A. 16B. 24C. 32D. 4812.（2012年房山一模12）如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有 种.答案：120。
5．（2012年密云一模理5）某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为（ A ）A.14B.24C.28D.48第二部分 二项式定理10.（2012年西城一模理10）6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答） 答案：160-。
3.（2012年丰台一模理3） 6+的二项展开式中，常数项是（ C ） A.10 B.15 C.20 D.306.（2012年石景山一模理6）若21()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（ B ）A.84-B.84C.36-D.36。
2012年北京市各区一模试题分类解析(数学理)(5)三角函数
五、三角函数11.（2012年海淀一模理11）若1tan 2α=，则cos(2)απ2+= . 答案：45-。
5.（2012年西城一模理5）已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ B ）A ．2B ．1C ．12 D ．147．（2012年丰台一模理7）已知a b <，函数()=sin f x x ，()=cos g x x ．命题p ：()()0f a f b ⋅<，命题q ：函数()g x 在区间(,)a b 内有最值．则命题p 是命题q 成立的（ A ）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要 4．（2012年门头沟一模理4）在ABC ∆中，已知4A π∠=，3B π∠=，1AB =，则BC 为（ A ）11C.311.（2012年东城11校联考理11）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，若sin A C =， 30=B ，2=b ，则边c = .答案：2。
11.（2012年房山一模11）已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0, πϕ<<0）的图象如图所示，则ω=_ _，ϕ=_ _. 答案：58,910π。
6．（2012年密云一模理6） 已知函数sin(),(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的简图如下图， 则ωϕ的值为（ B ） A. 6π B. 6π C. 3π D. 3π15.（2012年海淀一模理15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列.（Ⅰ）若b =，3a =，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=.因为b =3a =，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=.所以4c =或1c =-（舍去）.（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )2A A A =+11cos22()22A A -=+ 11sin(2)426A π=+-. … 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.15.（2012年西城一模理15）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =，20=⋅，求||AB AC +．解：（Ⅰ）原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=．因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =．（Ⅱ）由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=， 所以 22||||89AB AC +=．因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， 所以 ||129AB AC +=15．（2012年东城一模理15）已知函数22()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8π个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,4π]时，求()y g x =的最大值和最小值. 解：（Ⅰ）因为22()(sin 2cos2)2sin 2f x x x x =+-sin 4cos 4x x =+)4x π=+ ,所以函数()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）依题意,()y g x ==[4()8x π-4π+]1+)14x π=-+.因为04x π≤≤，所以34444x πππ-≤-≤.当442x ππ-=，即316x π=时，()g x 1； 当444x ππ-=-，即0x =时， ()g x 取最小值0.15. （2012年丰台一模理15）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=．（Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=． 即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， ……2分所以 sin()sin sin C B A B +=． …4分 因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以 sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， ……5分 所以 sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形．……6分 （法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， …4分即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． ……5分 所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……6分 （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- …8分=211(cos )39x --． ………10分所以 211()(cos )39f A A =--．因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<， …11分所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． …12分所以()f A 的取值范围是11[,)93-． …13分15.（2012年朝阳一模理15）已知函数π()cos()4f x x =-.（Ⅰ）若()10f α=，求si n 2α的值；（II ）设()()2g x f x f x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭，求函数()g x 在区间ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解：（Ⅰ）因为π()cos()410f αα=-=，所以sin )210αα+=， 所以 7cos sin 5αα+=. 平方得，22sin 2sin cos cos αααα++=4925， 所以 24sin 225α=. ……6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+⎪⎝⎭=ππcos()cos()44x x -⋅+=(cos sin )sin )22x x x x +⋅- =221(cos sin )2x x - =1cos 22x . …10分 当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为12； 当π3x =时，()g x 的最小值为14-. ……13分15.（2012年东城11校联考理15）已知函数x x x x f ωωωcos sin 3cos )(2⋅-= )0(>ω的最小正周期是π，（1）求函数)(x f 的单调递增区间和对称中心；（2）若A 为锐角ABC ∆的内角，求)(A f 的取值范围.解：（1）x x x f ωω2sin 2322cos 1)(-+=21)32cos(++=πωx πωπ==22T 1=ω 21)32cos()(++=πx x fππππππππk x k Zk k x k +-≤≤+-∈≤+≤+-632,2322函数)(x f 的单调增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-ππππk k 6,32，Z k ∈Z k k k x k x ∈+∴+=+=+),21,212(212,232πππππππ对称中心为令 ………7分（2）所以)(A f 的取值范围为 )1,21⎢⎣⎡- ………13分15.（2012年石景山一模理15）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且C b B c a cos cos )2(=-．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若cos 22A a ==，求AB C ∆的面积.解：（Ⅰ）因为C b B c a cos cos )2(=-，由正弦定理，得C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=-． …2分∴ A C B C B B C B A sin )sin(cos sin cos sin cos sin 2=+=+=．…4分 ∵ 0A π<<, ∴0sin ≠A ，121)32cos(2121)32cos(13432320<++≤-<+≤-<+<<<ππππππA A A A∴ 21cos =B ． 又∵ π<<B 0 ， ∴ 3π=B ． ……6分（Ⅱ）由正弦定理BbA a sin sin =，得b = …8分由 cos A =可得4A π=，由3π=B ，可得sin C =， …11分∴113sin 22242s ab C +==⨯=． ……13分15.（2012年房山一模15）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ,b ，c ，tan tan tan A B A B +,,2=a c （Ⅰ）求tan()A B +的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.解：（I ）解tan tan tan A B A B +tan tan )A B =-tan tantan()1tan tan A BA B A B+∴+=-=………5分（II ）由（I ）知 60A B +=︒，120C ∴=︒ ……7分C ab b a c cos 2222-+=∴⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯-+=21224192b b ∴3=b ……10分 ∴233221sin 21⨯⨯⨯==∆C ab S ABC 233=…13分15．（2012年密云一模理15） 已知函数()22sin sin()2f x x x x π=+⋅+.(I)求()f x 的最小正周期 ，最大值以及取得最大值时x 的集合.(II) 若A 是锐角三角形ABC ∆的内角，()05,7,f A b a ===，求ABC ∆的面积.解：(I):()22sin .sin(22sin .cos 2f x x x x x x x π=+++)32sin 2=2sin(2x x x π++ ……4分().f x π∴的最小正周期是 ……5分=+2,.322k k Z x πππ∈+令:+,.12x k k Z ππ=∈解得+,}.12()2,x k k Z f x x ππ∴=∈的最大值是取得最大值时的集合是{x| ……7分(II)()sin(2)032f A A πππ=+=∴，0<A<A=3……9分ABC ∆在中，2222.cos a b c bc A =+-,25240c c --=,解得83c c ==-或（舍) ……11分1.sin 2ABC S bc A ∆∴==……13分15．（2012年门头沟一模理15）已知：函数2()sincos222xxxf x ωωω=+(0)ω>的周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间.解：（Ⅰ）1()cos )sin 2f x x x ωω=-+ …………4分()sin()3f x x πω=-……… 6分 因为函数的周期为π所以2ω= ………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ()s i n (2)32f x x π=-+ ………8分当 222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 时函数单增……………10分5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ …………12分所以函数()f x 的单增区间为5[,]1212k k ππππ-+，其中k Z ∈ ……13分。
北京2012年高考理科数学模拟试题三及答案
北京2012年高考理科数学模拟试题三一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合{}01|2<-=x x M ，{}0lg |<=x x N ，则N M ⋃等于A {}11|<<-x xB {}10|<<x xC {}01|<<-x xD {}0|<x x2.已知21,e e 是不共线向量，212e e a +=，21e e b -=λ，当a ∥b 时，实数λ等于A 1-B 0C 21-D 2- 3.设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若α⊂⊥n n m ,，则α⊥mB 若m n m //,α⊥，则α⊥nC 若αα//,//n m ，则n m //D 若γβγα⊥⊥,，则βα// 4.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且2312,21,a a a 成等差数列，则9876a a a a ++等于 A 21+ B 21- C 223+ D 223-5.设抛物线x y 82-=的焦点为F,准线为l ，P 为抛物线上一点，l PA ⊥，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为3，那么=PFA 34B 38C 8D 16 6.极坐标方程θρsin 2=和参数方程⎩⎨⎧--=+=ty tx 132（t 为参数）所表示的图形分别为A 圆，圆B 圆，直线C 直线，直线D 直线，圆7.已知点),(y x P 的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≥0321y x x y x ，那么点P 到直线0943=--y x 的距离的最小值为PoB A DCA514 B 56C 2D 1 8.已知定义在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,0π上的函数)(x f y =的图像关于直线43π=x 对称，当43π≥x 时，x x f cos )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S, 则S 不可能．．．为 Aπ45 B π23 C π49D π3 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数ii++121对应的点的坐标为________________________. 10.在二项式521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，含4x 项的系数为______________________. (用数字作答）11.如图，AB,CD 是半径a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，a CP 89=，︒=∠60AOP ,则=PD ________________.是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是38，则12.如图=a ____________________.13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标）。
2012北京市高三一模理科数学分类汇编5：立体几何
2012北京市高三一模数学理分类汇编5：立体几何【2012北京市丰台区一模理】5．若正四棱锥的正视图和侧视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．4B ．4410+C ．8D ．4411+【答案】B【2012北京市房山区一模理】10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 .【答案】32 【2012北京市海淀区一模理】（8）在正方体''''ABCDA B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为A'B'C'D'A BCD（A ）0 （B ）3（C ）4 （D ）6 【答案】B【2012北京市海淀区一模理】(16)（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD 中，AB //CD ，AB AD ，4,22,2AB AD CD ，PA平面ABCD ，4PA.（Ⅰ）设平面PAB 平面PCD m =，求证：CD //m ；PDCBA（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC，求PQ PB 的值．【答案】（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P ，D ，C .………………………………………5分所以 (BD =-，AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQ PBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQ PB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以4,0,44,xy zλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQ λλ. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,22,0)BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，所以2234(42)8326(42)8(44)λλλ---=⋅-++-+.解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB . ………………………………………14分【2012年北京市西城区高三一模理】4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3123cm ．其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A ）243cm （B ）223cm （C ）28cm （D ）24cm 【答案】A【解析】正六棱柱的左视图是一个以AB 长为宽，高为2的矩形，32=AB所以左视图的面积为34232=⨯，选A.【2012北京市门头沟区一模理】3．己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为(A)8 (B) 4 (C)43(D)23【答案】B【2012北京市门头沟区一模理】8．正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为22，12AA =，点M 是BC 的中点，P 是平面11A BCD 内的一个动点，且满足2PM ≤，P 到11A D 和AD 的距离相等，则点P 的轨迹的长度为 (A)π(B)23π(C)22(D)2【答案】D【2012北京市朝阳区一模理】4. 已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【2012北京市朝阳区一模理】10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【答案】324【2012北京市石景山区一模理】设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．αα//,//,//n m n m 则若B ．βαγβγα//,,则若⊥⊥C ．n m n m //,//,//则若ααD ．n m n m ⊥⊥则若,//,αα【答案】D【解析】根据线面垂直的性质可知选项D 正确。
2012年北京丰台区高三数学(理科)一摸试题与答案3
俯视图正视图322丰台区2012年高三年级第二学期统一练习（一） 2012.3数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A ={x ∣x 2<1}，B ={a }，若A ∩B =∅，则a 的取值范围是(A) (,1)(1,)-∞-+∞ (B) (,1][1,)-∞-+∞ (C) (1,1)-(D) [1,1]-2．若变量x ，y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z =3x +5y 的取值范围是(A) [3,)+∞(B) [-8,3](C) (,9]-∞(D) [-8,9]3． 62()2x x+的二项展开式中，常数项是 (A) 10(B) 15(C) 20(D) 304．已知向量(sin ,cos )a θθ= ，(3,4)b =，若a b ⊥ ，则tan 2θ等于(A)247(B)67(C) 2425-(D) 247-5．若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是(A) 4 (B) 4410+(C) 8(D) 4411+6．学校组织高一年级4个班外出春游，每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览，则恰有两个班选择了甲景区的选法共有(A) 2243A ⋅种 (B) 2243A A ⋅种 (C) 2243C ⋅种(D) 2243C A ⋅种7．已知a b <，函数()=sin f x x ，()=cos g x x ．命题p ：()()0f a f b ⋅<，命题q ：函数()g x 在区间(,)a b 内有最值．则命题p 是命题q 成立的 (A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件8．已知定义在R 上的函数y =f (x )满足f (x +2)= f (x )，当-1<x ≤1时，f (x )=x 3．若函数()()log a g x f x x =-恰有6个零点，则a(A) a = 5或a =15(B) 1(0,)[5,)5a ∈+∞(C) 11[,][5,7]75a ∈ (D) 11[,)[5,7)75a ∈第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是______．10．已知等比数列}{n a 的首项为1，若14a ，22a ，3a 成等差数列，则数列1{}na 的前5项和为______． 11．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是31,21,2x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以O 为极点，x 轴正方向极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程是ρ2-4ρcos θ+3=0．则圆心到直线的距离是_____．12．如图所示，Rt △ABC 内接于圆，60ABC ∠=，P A 是圆的切线，A 为切点， PB 交AC 于E ，交圆于D ．若P A =AE ，PD =3，BD =33，则AP = ，AC = ． 13．执行如下图所示的程序框图，则输出的i 值为______．ED P CBA14．定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果[,]a b ξ∃∈，使得()()'()()f b f a f b a ξ-=-，则称ξ为区间[,]a b 上的“中值点”．下列函数：①()32f x x =+；②2()1f x x x =-+；③()ln(1)f x x =+；④31()()2f x x =-中，在区间[0,1]上“中值点”多于一个的函数序号为____．（写出所有．．满足条件的函数的序号）开始结束18a =，0i =0S =，0S '=S S a =+ 4a a =-，1i i =+S S '=S S '>输出i 是否三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin cos cos a B b C c B -=． （Ⅰ）判断△ABC 的形状；（Ⅱ）若121()cos 2cos 232f x x x =-+，求()f A 的取值范围． 16.（本小题共14分）四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，∠BCD =60º，P A =PD =2，E 是BC 中点，点Q 在侧棱PC 上．（Ⅰ）求证：AD ⊥PB ；（Ⅱ）若Q 是PC 中点，求二面角E -DQ -C 的余弦值；（Ⅲ）若PQPCλ=，当P A // 平面DEQ 时，求λ的值．17.（本小题共13分）某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）请根据图中所给数据，求出a 的值；（Ⅱ）从成绩在[50,70)内的学生中随机选3名学生，求这3名学生的成绩都在[60,70)内的概率； （Ⅲ）为了了解学生本次考试的失分情况，从成绩在[50,70)内的学生中随机选取3人的成绩进行分析，用X 表示所选学生成绩在[60,70)内的人数，求X的分布列和数学期望．18.（本小题共13分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++．（Ⅰ）当a =1时，求曲线y =f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；（Ⅱ）当a >0时，函数f (x )在区间[1，e]上的最小值为-2，求a 的取值范围；（Ⅲ）若对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x <，且1122()+2()+2f x x f x x <恒成立，求a 的取值范围．E DCBA QP19.（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点(2,0)M -．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，连接MA ，MB 并延长交直线x =4于P ，Q 两点，设y P ，y Q 分别为点P ，Q 的纵坐标，且121111P Qy y y y +=+．求证：直线l 过定点．20.（本小题共13分）已知函数2()f x x x =+，'()f x 为函数()f x 的导函数．（Ⅰ）若数列{}n a 满足1'()n n a f a +=，且11a =，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1b b =，1()n n b f b +=．（ⅰ）是否存在实数b ，使得数列{}n b 是等差数列？若存在，求出b 的值；若不存在，请说明理由；（ⅱ）若b >0，求证：111ni i i b b b =+<∑． 丰台区2012年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCABCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．5410．3116 11．1212．23，33 13．6 14．①④注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=．即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， ……………………2分所以 sin()sin sin C B A B +=． ……………………4分因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以 sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， ……………………5分 所以 sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分 （法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， ……………………4分即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． ……………………5分 所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分 （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- ……………………8分=211(cos )39x --． ……………………10分所以 211()(cos )39f A A =--．因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<， ……………………11分 所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． ……………………12分所以()f A 的取值范围是11[,)93-． ……………………13分16．证明：（Ⅰ）取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ．因为 P A =PD ，所以 PO ⊥AD ． ……………………1分因为 菱形ABCD 中，∠BCD =60º， 所以 AB =BD ， 所以 BO ⊥AD ． ……………………2分因为 BO ∩PO =O ， ……………………3分 所以 AD ⊥平面POB ．……………………4分 所以 AD ⊥PB ． ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BO ⊥AD ，PO ⊥AD ．因为 侧面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD =AD ，所以PO ⊥底面ABCD ． ……………………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．OP QA BC D E DC QP Oz……………………7分则(1,0,0)D -，(1,3,0)E -，(0,0,1)P ，(2,3,0)C -，因为Q 为PC 中点， 所以31(1,,)22Q -． ……………………8分 所以 (0,3,0)DE = ，31(0,,)22DQ = ，所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =． 因为 (1,3,0)DC =- ，31(0,,)22DQ = ，设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z = ， 则220,0DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩ 30,310.22x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 令3x =，则1y =，3z =-，即2(3,1,3)n =-． ……………………9分12121221cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==． 由图可知，二面角E -DQ -C 为锐角，所以余弦值为217． ……………………10分 （Ⅲ）因为PQPCλ=，所以 PQ PC λ= ， 由（Ⅱ）知(2,3,1)PC =-- ，(1,0,1)PA =-，若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-，由 PQ PC λ= ， 得231x y z λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ 中，(0,3,0)DE = ，(1,,)(12,3,1)DQ x y z λλλ=+=--，所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--， ……………………12分又因为 P A // 平面DEQ ，所以 10PA n ⋅=， ……………………13分即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，P A // 平面DEQ ． ……………………14分17．解：(Ⅰ)根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以 0.03a =． ……………………2分 （Ⅱ）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………………4分 设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ，……………………5分则3931128()55C P A C ==． ……………………7分所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855． （Ⅲ）依题意，X 的可能取值是1，2，3． ……………………8分21293113(1)55C C P X C ===； 122931124(2)55C C P X C ===； 28(3)()55P X P A ===． ……………………10分所以X 的分布列为ξ1 2 3P355 2455 2855……………………11分324282712355555511E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………13分18．解：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． ……………………1分 因为(1)0f '=，(1)2f =-， ……………………2分 所以切线方程为 2y =-． ……………………3分 （Ⅱ）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当a >0时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x-++'=-++=(0)x >，……………………4分令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===，所以12x =或1x a=． ……………………5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是(1)2f =-； ……………………6分 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意． ……………………7分 综上可得 1a ≥． ……………………8分 （Ⅲ）设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， ……………………9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……………………10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； ……………………11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥，则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． ……………………12分 综上可得 08a ≤≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意2a =，22c a =，所以2c =． ……………………2分 因为222a b c =+， 所以2b =． ……………………3分椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）2224x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩消y 得 222(21)4240k x k m x m +++-=，0∆>． ……………………6分因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 122421km x x k +=-+，21222421m x x k -=+． ……………………7分设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+……………………9分 因为121111P Qy y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=． ……………………10分所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，1212122()4()80kx x m x x k x x m ++-+-=，222224442()4()80212121m km km k m k m k k k -+----=+++， 所以288021k mk --=+，得 m k =-． ……………………13分 则y kx k =-，故l 过定点(1,0)． ……………………14分20．解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21n n a =-． ……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++． 所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分 （ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+； 所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=> ； 所以11122311*********()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b =+++=-+-++-=-<∑ ． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
2012北京数学理科(纯word版,含答案)
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学 （理）（北京卷）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合{}320A x R x =∈+>，{}(1)(3)0B x R x x =∈+->，则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π- 3.设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 165.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（） A ．CE ·CB=AD ·DB B ．CE ·CB=AD ·AB C ．AD ·AB= 2CD D ．CE ·EB= 2CD6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数， 其中奇数的个数为（ ）A ． 24B ． 18C ． 12D ． 67. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A．28+ B．30+ C．56+．60+8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（ ）A ．5B ． 7C ． 9D ．11（第4题图）B第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y =α⎧⎨=α⎩（α为参数）的交点个数为 .10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = ；n S = . 11.在△ABC 中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 12.在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相较于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为 .13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ； DE DC ⋅的最大值为 .14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分） 已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.16. （本小题14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E 分别是AC ，AB 上的点， 且DE ∥BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数） 18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题14分）已知曲线C: 22(5)(2)8()m x m y m R -+-=∈ (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M,N,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A,G,N 三点共线. 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和1j n ≤≤； 记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A,求()k A 的值；（2）设数表A=(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，21t +),求()k A 的最大值.（李国波录入2012-6-8）参考答案 一、选择题1、D2、D3、B4、C5、A6、B7、B8、C 二、填空题9、2；10、1，1(1)4n n +；11、4；1213、1,1；14、(4,2)--； 三、解答题15、解：（1）由sin 0x ≠得,()x k k Z π≠∈，故()f x 的定义域为{|,}x R x k k Z π∈≠∈.因为(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==2cos (sin cos )x x x -=sin 2cos 21x x --)14x π--,所以()f x 的最小正周期22T ππ==. （2）函数sin y x =的单调递减区间为3[2,2]()22k k k Z ππππ++∈. 由222,()242k x k x k k Z ππππππ-≤-≤+≠∈得3,()88k x k x k k Z πππππ-≤≤+≠∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为[,)8k k k Z πππ-∈，和3(,]()8k k k Z πππ+∈. 16．解：（1） ,AC BC DE BC ⊥∥∴DE AC ⊥∴1DE A D ⊥,DE CD ⊥(1A D CD D = )又 DE ⊥平面1A DC ，∴DE 1AC ⊥ 又∵1A C CD ⊥，(DE CD D = ) ∴1AC ⊥平面BCDE （2）如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C xyz -，则(100A ，，，()020D ，，，M ,()300B ，，，()220E ，，，设平面1A BE 法向量为()n x y z = ，，，则10,0A B n BE n ⋅=⋅=∴(130A B =- ，，,()120BE =- ，，，∴3020x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令1y =，则2,x z ==∴(21n = 设CM 与平面1A BE 所成的角为θ∵(0CM =∴sin |cos ,|||||||CM n n CM CM n θ⋅=====⋅CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）线段BC 上不存在点P,使平面1A DP 与平面1ABE 垂直。
北京市2012高三数学一模分类汇编7 圆锥曲线 理
2012北京市高三一模数学理分类汇编7：圆锥曲线【2012北京市丰台区一模理】9．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，一条渐近线方程为34y x =，则该双曲线的离心率是 。
【答案】45 【2012北京市房山区一模理】14. F 是抛物线22y px =()0>p 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两点，设,AF a BF b ==，则：①若60=θ且b a >，则ba 的值为______；②=+b a ______（用p 和θ表示）.【答案】① 3 ；②θ2sin 2pAB =或()θθ22tan 1tan 2+p 【2012北京市海淀区一模理】（10）过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . 【答案】43200xy【2012北京市门头沟区一模理】7．已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:4360l x y -+=的距离和到直线2:1l x =- 的距离之和的最小值为（A ）3716(B ）115（C ）2（D ）3【答案】C【2012北京市东城区一模理】（13）抛物线2y x =的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点(1,1)M ，且 与准线相切的圆共有 个． 【答案】14x =-2 【2012北京市朝阳区一模理】9. 已知双曲线的方程为2213x y -=，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线的距离为 .【答案】31【2012北京市石景山区一模理】19．（本小题满分13分）已知椭圆12222=+by a x （0>>b a1，短轴长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的，求直线AB 的方程． 【答案】解：（Ⅰ）由题意，2221a c b a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩-------1分解得1a c ==. ------------2分即：椭圆方程为.12322=+y x ------------3分 （Ⅱ）当直线AB 与x轴垂直时，AB =此时AOB S ∆= -----------4分 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为：)1(+=x k y ， 代入消去y 得：2222(23)6(36)0k x k x k +++-=. ------------6分设1122(,),(,)A x y B x y ，则212221226233623k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， -----------7分 所以221)23k AB k+=+. ------------9分 原点到直线的AB距离d =所以三角形的面积12S AB d ==由224S k k =⇒=⇒= ------------12分所以直线0AB l y -=或0AB l y +=. ---------13分 【2012北京市朝阳区一模理】19. （本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1(F，2F .点(1,0)M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点N 的坐标为(3,2)，点P 的坐标为(,)(3)m n m ≠.过点M 任作直线l 与椭圆 C 相交于A ，B 两点，设直线AN ，NP ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若 1322k k k +=，试求,m n 满足的关系式. 【答案】解:（Ⅰ）依题意，c = 1b =，所以a = 故椭圆C 的方程为2213x y +=. ……………4分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由221,13x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1,x y ==.不妨设A，(1,B ，因为132233222k k -++=+=，又1322k k k +=，所以21k =，所以,m n 的关系式为213n m -=-，即10m n --=. ………7分 ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-.将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简得，2222(31)6330k x k x k +-+-=. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122631k x x k +=+,21223331k x x k -=+. ………9分又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-. 所以12122113121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3)3()9k x x k x x x x x x ---+---=-++121212122(42)()6123()9kx x k x x k x x x x -++++=-++222222223362(42)6123131336393131k k k k k k k k k k k -⨯-+⨯++++=--⨯+++ 222(126)2.126k k +==+………12分所以222k =，所以2213n k m -==-，所以,m n 的关系式为10m n --=.………13分 综上所述，,m n 的关系式为10m n --=. ………14分 【2012北京市门头沟区一模理】19．（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,M N ． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求BM BN 的取值范围．【答案】（Ⅰ）解:，可设,2c a t ==，则b = 因为22221(0)x y a b a b+=>>经过点(2,1)A所以2241142t t +=，解得232t =，所以226,3a b == 椭圆方程为22163x y += …………………4分 （Ⅱ）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(3)y k x =-，直线l 与椭圆的交点坐标为1122(,),(,)M x y N x y …………………5分由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消元整理得：2222(12)121860k x k x k +-+-= (7)分2222(12)4(12)(186)0k k k ∆=-+-> 得201k ≤< …………………8分21221212k x x k +=+，212218612k x x k -=+…………………9分BM BN 11221212(3,)(3,)(3)(3)x y x y x x y y =--=--+ …………………10分21212(1)[3()9]k x x x x =+-++223(1)12k k =+⨯+231(1)212k =++………11分因为201k ≤<，所以2312(1)3212k<+≤+ 所以BM BN 的取值范围是(2,3]．…………………14分 【2012北京市东城区一模理】（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率是12，其左、右顶点分别为1A ，2A ，B为短轴的端点，△12A BA的面积为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）2F 为椭圆C 的右焦点，若点P 是椭圆C 上异于1A ，2A 的任意一点，直线1A P ，2A P与直线4x =分别交于M ，N 两点，证明：以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于点2F ．【答案】（Ⅰ）解：由已知2221,2.c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩…………2分解得2a =，b =…………4分故所求椭圆方程为22143x y +=． …………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知()12,0A -，()22,0A ，()21,0F． 设()()00,2P x y x≠±，则2203412x y +=． 于是直线1A P 方程为 ()0022y y x x =++，令4x =，得0062M yy x =+； 所以(M 4,0062y x +)，同理(N 4,0022y x -)． …………7分 所以2F M =(3,0062y x +)，2F N =(3,0022y x -). 所以 22F M F N ⋅=(3,0062y x +)⋅(3,0022y x -) 000062922y y x x =+⨯+- ()220022003123129944x y x x -=+=+-- ()2029499904x x -=-=-=-．所以 22F M F N ⊥，点2F 在以MN 为直径的圆上． …………9分 设MN 的中点为E ，则(4,E 00204(1)4y x x --)． …………10分又2F E =(3,00204(1)4y x x --)，()2001,,F P x y =-所以22F E F P ⋅=(3,00204(1)4y x x --)()()()20000020411,314y x x y x x -⋅-=-+-()()()()()20020123131313104x x x x x x --=-+=---=-．所以 22F E F P ⊥． …………12分因为2F E 是以MN 为直径的圆的半径，E 为圆心，22F E F P ⊥， 故以MN 为直径的圆与直线2PF 相切于右焦点． …………13分 【2012年北京市西城区高三一模理】19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为3，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a -===-， 得 23b a =. ………2分依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. ………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ………5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ………7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ………8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以=+PB PA k k .……9分设(,0)P a ，则有12120y y x a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ……………12分将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. …………13分 由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. ………14分 【2012北京市海淀区一模理】(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.【答案】（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c .所以 2222a b c . ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=. 因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m dk.因为 120m m +=， 所以 1221m dk. ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S ==≤ 所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为.【2012北京市房山区一模理】19.（本小题共14分）已知椭圆G 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，一个顶点为()0,1A -，离心率为36． （I ）求椭圆G 的方程；（II ）设直线m kx y +=与椭圆相交于不同的两点,M N ．当AN AM =时，求m 的取值范围．【答案】解：（I ）依题意可设椭圆方程为 1222=+y a x ，则离心率为==ac e 36故3222=ac ，而12=b ，解得32=a ， ……………………4分故所求椭圆的方程为1322=+y x . ……………………5分 （II ）设()()()P P M M N N P x y M x y N x y ，、，、，，P 为弦MN 的中点，由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1322y x mkx y 得 0)1(36)13(222=-+++m mkx x k ， 直线与椭圆相交，()()()2226431310mk k m ∴∆=-+⨯->⇒1322+<k m ，① …………7分23231M N P x x mk x k +∴==-+，从而231P P my kx m k =+=+，（1）当0≠k 时21313P AP P y m k k x mk+++∴==-(0=m 不满足题目条件) ∵,AM AN AP MN =∴⊥，则kmk k m 13132-=++- ，即 1322+=k m ， ② …………………………9分把②代入①得 22m m < ，解得 20<<m ， …………………………10分由②得03122>-=m k ，解得21>m ．故221<<m ………………………11分（2）当0=k 时∵直线m y =是平行于x 轴的一条直线，∴11<<-m …………………………13分 综上，求得m 的取值范围是21<<-m ． …………………………14分。
精选北京市丰台区高考一模数学(理)模拟试题有答案
丰台区高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知全集U={x I x < 5}，集合，则(A) (B)(C)(D)(2）已知命题p：x <1，，则为(A) x ≥1, (B)x<1,(C) x <1,(D) x ≥1,(3)设不等式组表示的平面区域为.则(A）原点O在内(B)的面积是1(C)内的点到y轴的距离有最大值(D)若点P(x0,y0) ，则x0+y0≠0(4)执行如图所示的程序框图，如果输出的a=2，那么判断框中填入的条件可以是(A) n≥5 (B) n≥6 (C) n≥7 (D) n≥8(5）在平面直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为（为参数）．若以射线Ox为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为(A)=sin(B)=2sin(C) =cos(D)=2cos (6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(A)(B)(C) 2 (D)(7）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为(A)4 (B)8(C) 12 (D) 24(8）设函数,若函数恰有三个零点x1, x2, x3 (x1<x2 <x3)，则x1 + x2 + x3的取值范围是(A)(B)(C)(D)第二部分〔非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市各区2012年高考数学一模试题分类解析(18) 空间几何体 理
俯视图正视图十八、空间几何体 第一部分 三视图4.（2012年西城一模理4）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ A ） A ．2 B ．2 C ．28cm D ．24cm5．（2012年丰台一模理5）若正四棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ B ）A.4B.4+4+10.（2012年朝阳一模理10） 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 答案：32正视图侧视图6.（2012年东城11校联考理6）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ B ） A ．112 B.80 C.72 D.647.（2012年石景山一模理7）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ A ）A.83+B.83+C.83+D.323俯视图 侧视图10.（2012年房山一模10）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 . 答案：32。
11．（2012年密云一模理11）已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积 为 . 答案：32。
第第11题图 第12题图C3．（2012年门头沟一模理3）己知某几何体的三视图如右图所示，则其体积为（ B ） A.8 B.4 C.主视图 左视图俯视图第二部分 立体几何4.（2012年朝阳一模理4）已知平面α，直线,,a b l ，且,a b αα⊂⊂，则“l a ⊥且l b ⊥”是“l α⊥”的（ B ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.（2012年东城11校联考理3）已知直线m ，n 与平面α，β，下列命题正确的是 （ D ）A ．βα//,//n m 且βα//，则n m //B ．βα//,n m ⊥且β⊥α，则n m ⊥C ．,βm n m =⊥α且βα⊥，则α⊥n D ．βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥4.（2012年石景山一模理4）设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，下列命题正确的是（ D ）A.αα//,//,//n m n m 则若B.βαγβγα//,,则若⊥⊥C.n m n m //,//,//则若ααD.n m n m ⊥⊥则若,//,αα4.（2012年东城11校联考理4）甲从正四面体的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线， 乙从该正四面体四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是（ A ） A.61 B. 92 C. 185 D. 318.（2012年海淀一模理8）在正方体''''ABCD A B C D -中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45°的点P 的个数为（ B ）A ．0B ．3C ．4D ．616.（2012年海淀一模理16）在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，AB AD ^，4,2AB AD CD ===，PA ^平面ABCD ，4PA =. （Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ； （Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC所成角的正弦值为3，求PQPB的值．A'B'C'D'ABCDPDCBA证明：（Ⅰ） 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m .（Ⅱ）：因为AP ^平面ABCD ，AB AD ^，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C . 所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .（Ⅲ）解：设PQPBλ=（其中01λ＃），(,,)Qxyz ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ. 所以 PQ PB λ=.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ-=-.所以 4,0,44,x y z λλì=ïïï=íïï=-+ïïî即(4,0,44)Q λλ-+.所以(42,44)CQ λλ=---+.由（Ⅱ）知平面PAC的一个法向量为(4,BD =-.因为 sin cos ,CQ BD CQ BD CQ BDθ×=<>=×，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB =.17.（2012年西城一模理17）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且F A F C =．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．证明：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点．又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． （Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． 又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． 解：（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． 设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O-． 所以 (3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ．易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ．由二面角B FC A --是锐角，得cos ,⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． 17．（2012年东城一模理17）如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2） （Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.图1 图2证明：（Ⅰ）取BE 中点D ，连结DF .因为1AE CF ==，1DE =，所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形. 又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥. 所以1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角. 又二面角1A EF B --为直二面角， 所以1A E BE ⊥. 又因为BEEF E =,所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP .解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，,0)F 在图１中，连结DP . 因为12CF CP FA PB ==，所以PF∥BE，且12PF BE DE==.所以四边形EFPD为平行四边形.所以EF∥DP，且EF DP=.故点P的坐标为（10）. 图2所以1(2,0,1)A B=-，(BP=-，1(0,0,1)EA=.不妨设平面1A BP的法向量(,,)x y z=n，则10,0.A BBP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn即20,0.x zx-=⎧⎪⎨-=⎪⎩令y=(3,6)=n.所以111cos,||||14EAEAEA⋅<>===⨯nnn故直线1A E与平面1A BP所成角的大小为3π.16. （2012年丰台一模理16）四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，侧面PAD⊥底面ABCD，∠B CD=60º，，E是BC中点，点Q在侧棱PC上．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若Q是PC中点，求二面角E-DQ-C的余弦值；（Ⅲ）若PQPCλ=，当PA // 平面DEQ时，求λ的值．证明：（Ⅰ）取AD中点O，连结OP，OB，BD．因为 PA=PD，所以 PO⊥AD．…………1分ED CBAQPPQ因为 菱形ABCD 中，∠B CD =60º， 所以 AB=BD ，所以 BO ⊥AD ． …………2分 因为 BO ∩PO=O ， …………3分 所以 AD ⊥平面POB ．………4分 所以 AD ⊥PB ． …………5分 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BO ⊥AD ，PO ⊥AD ．因为 侧面PAD ⊥底面ABCD ， 且平面PAD ∩底面ABCD=AD ，所以PO ⊥底面ABCD ． ………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O-……7分则(1,0,0)D -，(E -，(0,0,1)P ， (C -，因为Q 为PC 中点， 所以1()2Q -． ……8分 所以 DE =，1(0,)2DQ =， 所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =． 因为 (DC =-，1(0,)2DQ =， 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z =， 则220,DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩0,10.22x y z ⎧-=+=⎪⎩ 令x =1y =，z =2(3,1,n =． …9分12121221cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==．由图可知，二面角E-DQ-C 为锐角，所以余弦值为7． …10分 （Ⅲ）因为PQPCλ=，所以 PQ PC λ=， 由（Ⅱ）知(1)PC =--，(1,0,1)PA =-，C若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-，由 PQ PC λ=，得21x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ中，DE =，(1,,)(12,1)DQ x y z λλ=+=--，所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--， …12分 又因为 PA // 平面DEQ ， 所以 10PA n ⋅=， ……13分 即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，PA // 平面DEQ ． …14分17.（2012年朝阳一模理17）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，=90ABD ∠︒，EB ⊥平面ABCD ，EF//AB ，=2AB，==1EB EF，=BC M 是BD 的中点.（Ⅰ）求证：EM//平面ADF ；（Ⅱ）求二面角D-AF-B 的大小；（Ⅲ）在线段EB 上是否存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒？若存在，求出BP 的长度；若不存在，请说明理由.证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是AD 的中点，所以1=2MN//AB,MN AB ， 又因为1=2EF//AB,EF AB ，所以MN//EF 且MN =EF .所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以EM//FN .又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，CA F EBMD NCA F EBMD故EM//平面ADF. … 4分解法二：因为EB⊥平面ABD，AB BD⊥，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz. ……1分由已知可得(0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D3(3,-2,0),(,0,0)2C E F M（Ⅰ）3=(,0,-3)(3,-2,0)2EM,AD=，设平面ADF的一个法向量是()x,y,zn=.由0,0,ADAFnn⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得32x-y=0,=0.⎧⎪⎨⎪⎩令y=3，则n=. …3分又因为3(=3+0-3=02EM n⋅=⋅，所以EM n⊥，又EM⊄平面ADF，所以//EM平面ADF. ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF的一个法向量是n=.因为EB⊥平面ABD，所以EB BD⊥.又因为AB BD⊥，所以BD⊥平面EBAF.故(3,0,0)BD=是平面EBAF的一个法向量.所以1cos<=2BDBD,BDnnn⋅>=⋅，又二面角D-AF-B为锐角，故二面角D-AF-B的大小为60︒. …10分（Ⅲ）假设在线段EB上存在一点P，使得CP与AF所成的角为30︒.不妨设(0,0,t)P（0t≤≤，则=(3,-2,-),=PC AFt.所以2cos<2PC AFPC,AFPC AF⋅>==⋅，=，化简得35-=，解得0t=<.所以在线段EB上不存在点P，使得CP与AF所成的角为30︒.……14分17.（2012年东城11校联考理17）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90DAB ∠=，//AD BC ，AD ⊥侧面PAB ，△PAB 是等边三角形，2==AB DA ，12BC AD =，E 是线段AB 的中点．（1）求证：CD PE ⊥；（2）求四棱锥P ABCD -的体积；（3）试问线段PB 上是否存在点F ，使二面角C DE F --的余弦值为41?若存在，确定点F 的位置；若不存在，说明理由.证明：（1）因为AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， 所以AD PE ⊥．又因为△PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点，所以PE AB ⊥． 因为ADAB A =，所以PE ⊥平面ABCD ．而CD ⊂平面ABCD ，所以PE CD ⊥． ……4分解：（2）由（1）知PE ⊥平面ABCD ，所以PE 是四棱锥P ABCD -的高．由2==AB DA ，12BC AD =，可得1=BC ． 因为△PAB 是等边三角形，可求得3=PE ．所以332)21(213131=⨯⨯+⨯=⋅=-PE S V ABCD ABCD P ．……8分（3）以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -．(0,1,0),(0,0,0)(01,0),(11,0),(2,1,0),(0,0A E B C D P --则有，，，设000(,,),F x y z PF PB=λ,则)3,1,0()3,,(--=-λzyx(0,)F-λ所以.设(,,x y z=）n为平面DEF的法向量,(2,1,0),(0,),ED EF==-λ0,0,EDEF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn200.x yy z+=⎧⎪⎨-λ+=⎪⎩，即）x1y2z⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，(1,=-所以n.设平面CDE的法向量为(0,0,1=）m．1cos,4m n==所以.化简得01232=-+λλ.解得311=-=λλ（舍）或.所以存在点F，且PBPF31= .………13分17.（2012年石景山一模理17）如图，三棱柱111CBAABC-中，1AA⊥面ABC，2,==⊥ACBCACBC，13AA=，D为AC的中点.（Ⅰ）求证：11//BDCAB面；（Ⅱ）求二面角CBDC--1的余弦值；（Ⅲ）在侧棱1AA上是否存在点P，使得1BDCCP面⊥？请证明你的结论.B1 B证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ． …1分 ∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点． 又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1．∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1． 解：（II ）如图，建立空间直角坐标系， 则C 1（0，0，0），B （0，3，2）， C （0，3，0），A （2，3，0）， D （1，3，0），1(0,3,2)C B =，1(1,3,0)C D =，……5分设111(,,)n x y z =是面BDC 1的一个法向量，则110,0n C B n C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩即1111320,30y z x y +=⎧⎨+=⎩，取11(1,,)32n =-.…7分 易知1(0,3,0)C C =是面ABC 的一个法向量. ……8分1112cos ,7n C C n C C n C C==-⨯.∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为27. ……9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P 使得CP ⊥面BDC 1.设P （2，y ，0）（0≤y ≤3），则 (2,3,0)CP y =-， …10分则110,0CP C B CP C D ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即3(3)0,23(3)0y y -=⎧⎨+-=⎩. …12分解之3,73y y =⎧⎪⎨=⎪⎩∴方程组无解. ……13分∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1. …14分17.（2012年房山一模17）在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC CC AB ===2 ,BC AB ⊥.点N M ,分别是1CC ,C B 1的中点，G 是棱AB 上的动点.（I ）求证：⊥C B 1平面BNG ；(II)若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明；(III)求二面角1M AB B --的余弦值.证明：(I)∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC BC =，点N 是C B 1的中点，∴C B BN 1⊥ …………1分BC AB ⊥,1BB AB ⊥,B BC BB = 1∴AB ⊥平面11BCC B …………2分⊂C B 1平面11BCC B∴AB C B ⊥1，即GB C B ⊥1 ……………3分 又B BG BN =∴⊥C B 1平面BNG …………4分（II ）当G 是棱AB 的中点时，CG //平面M AB 1.……………5分 证明如下:连结1AB ,取1AB 的中点H ，连接GC HM HG ,,, 则HG 为B AB 1∆的中位线 ∴GH ∥1BB ，121BB GH =………6分 ∵由已知条件，11BCC B 为正方形 ∴1CC ∥1BB ，11BB CC = ∵M 为1CC 的中点，∴121CC CM =……7分 ∴MC ∥GH ，且GH MC = ∴四边形HGCM 为平行四边形 ∴GC ∥HM又 ∵M AB HM M AB GC 11,平面平面⊄⊂ ……8分 ∴CG //平面M AB 1 ………9分 解：(III) ∵ 直三棱柱111ABC A B C -且BC AB ⊥依题意，如图：以1B 为原点建立空间直角坐标系1B xyz -，…10分∴1(0,0,0)B ,(0,2,0)B ,)0,1,2(M ,(0,2,2)A ,1(2,0,0)C则1(0,2,2)B A =，)0,1,2(1=B 设平面1B AM 的法向量(,,)n x y z =，则1100n B A n B M ⋅=⋅⎧⎪=⎨⎪⎩,即00222x y z y ⎧⎨+=+=⎩，令1=x ，有)2,2,1(-=n ………12分 又平面1B AB 的法向量为11(2,0,0)BC =，∴11cos ,BC n <>=1111B C n B C n⋅⋅=31， ……13分设二面角1M AB B --的平面角为θ，且θ为锐角∴111cos cos ,3B C n θ=-=． ……14分16．（2012年密云一模理16）如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==，2NC =，M 是线段PA 上一动点．（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；（Ⅲ）当M 是PA 中点时，求二面角M EF N --的余弦值．证明：（Ⅰ）连结BD ，∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥， 又∵BD AC ⊥，AC PA A =，∴BD ⊥平面PAC ，又∵E ，F 分别是BC 、CD 的中点，∴//EF BD ， ∴EF ⊥平面PAC ，又EF ⊂平面NEF ， ∴平面PAC ⊥平面NEF ； ……4分 解：（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则(0,0,4)P ，(4,4,0)C ，(4,2,0)E ，(2,4,0)F ，∴(4,4,4)PC =-，(2,2,0)EF =-，设点M 的坐标为(0,0,)m ，平面MEF 的法向量为(,,)n x y z =，则(4,2,)ME m =-，所以00n ME n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220x y mz x y +-=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，6z m =，故6(1,1,)n m=，第16题图第16题图用心 爱心 专心∵//PC 平面MEF ，∴0PC n ⋅=，即24440m+-=，解得3m =， 故3AM =，即点M 为线段PA 上靠近P 的四等分点；故:1:3PM MA = ----8分（Ⅲ）(4,4,2)N ，则(0,2,2)EN =，设平面NEF 的法向量为(,,)m x y z =，则00m EN m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220y z x y +=⎧⎨-+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，即(1,1,1)m =-， 当M 是PA 中点时，2m =，则(1,1,3)n =，∴cos ,m n <>== ∴二面角M EF N --的余弦值为．----14分16．（2012年门头沟一模理16）如图，在多面体ABCD EF -中，四边形ABCD 为正方形，//EF AB ，EF EA ⊥，2AB EF =，090AED ∠=，AE ED =，H 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：//EH 平面FAC ；（Ⅱ）求证：EH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角A FC B --的大小．证明：（Ⅰ）ACBD O =，连结HO ，FO因为ABCD 为正方形，所以O 是AC 中点，EDABCFH用心 爱心 专心 22又H 是AD 中点， 所以1//,2OH CD OH CD =，1//,2EF AB EF AB =， 所以//EF OH 且EF OH =， 所以四边形EHOF 为平行四边形， 所以//EH FO ，又因为FO ⊂平面FAC ，EH ⊄平面FAC ． 所以//EH 平面FAC ．……………4分 证明：（Ⅱ）因为AE ED =，H 是AD 的中点， 所以EH AD ⊥……………6分又因为//AB EF ，EF EA ⊥，所以AB EA ⊥ 又因为AB AD ⊥ 所以AB ⊥平面AED ， 因为EH ⊂平面AED ， 所以AB EH ⊥，……………8分 所以EH ⊥平面ABCD ．……………9分解：（Ⅲ）AC ，BD ，OF 两两垂直，建立如图所示的坐标系，设1EF =， 则2AB =，B，(C ，(0,0,1)F …………10分设平面BCF 的法向量为1(,,)n x y z =， (2,2,0),(2,0,1)BC CF =--=，110,0n BC n CF ⋅=⋅=所以 1(1,1n =- …………11分 平面AFC 的法向量为2(0,1,0)n = ………12分1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>==⋅． ………13分二面角A FC B --为锐角，所以二面角A FC B --等于3π．……………14分。
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丰台区2012年高三年级第二学期数学统一练习（一）数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDCABCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．5410．3116 11．1212．23，33 13．6 14．①④注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．解：（Ⅰ）（法1）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由正弦定理可得 sin sin sin cos sin cos A B B C C B -=．即sin sin sin cos cos sin A B C B C B =+， ……………………2分所以 sin()sin sin C B A B +=． ……………………4分 因为在△ABC 中，A B C ++=π，所以 sin sin sin A A B = 又sin 0A ≠， ……………………5分 所以 sin 1B =，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分 （法2）因为 sin cos cos a B b C c B -=，由余弦定理可得 222222sin 22a b c a c b a B b c ab ac+-+-=⋅+⋅， ……………………4分即sin a B a =．因为0a ≠， 所以sin 1B =． ……………………5分 所以在△ABC 中，2B π=． 所以 △ABC 为2B π=的直角三角形． ……………………6分 （Ⅱ）因为121()cos 2cos 232f x x x =-+22cos cos 3x x =- ……………………8分=211(cos )39x --． ……………………10分所以 211()(cos )39f A A =--．因为△ABC 是2B π=的直角三角形，所以 02A π<<，且0cos 1A <<， ……………………11分 所以 当1cos 3A =时，()f A 有最小值是19-． ……………………12分所以()f A 的取值范围是11[,)93-． ……………………13分16．证明：（Ⅰ）取AD 中点O ，连结OP ，OB ，BD ．因为 P A =PD ，所以 PO ⊥AD ． ……………………1分因为 菱形ABCD 中，∠BCD =60º， 所以 AB =BD ， 所以 BO ⊥AD ． ……………………2分因为 BO ∩PO =O ， ……………………3分 所以 AD ⊥平面POB ．……………………4分 所以 AD ⊥PB ． ……………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BO ⊥AD ，PO ⊥AD ．因为 侧面P AD ⊥底面ABCD ，且平面P AD ∩底面ABCD =AD ，所以PO ⊥底面ABCD ． ……………………6分以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．……………………7分则(1,0,0)D -，(1,3,0)E -，(0,0,1)P ， (2,3,0)C -，因为Q 为PC 中点， 所以31(1,,)22Q -． ……………………8分 所以 (0,3,0)DE = ，31(0,,)22DQ = ，所以平面DEQ 的法向量为1(1,0,0)n =． 因为 (1,3,0)DC =- ，31(0,,)22DQ = ， 设平面DQC 的法向量为2(,,)n x y z = ， 则220,0DC n DQ n ⎧⋅=⎪⇔⎨⋅=⎪⎩ 30,310.22x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩ 令3x =，则1y =，3z =-，即2(3,1,3)n =-． ……………………9分OP QA BC D E E DC BAQP Ozyx12121221cos ,7||||n n n n n n ⋅<>==． 由图可知，二面角E -DQ -C 为锐角，所以余弦值为217． ……………………10分 （Ⅲ）因为PQPCλ=，所以 PQ PC λ= ， 由（Ⅱ）知(2,3,1)PC =-- ，(1,0,1)PA =-，若设(,,)Q x y z ，则(,,1)PQ x y z =-， 由 PQ PC λ= ， 得231x y z λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩，在平面DEQ 中，(0,3,0)DE = ，(1,,)(12,3,1)DQ x y z λλλ=+=--，所以平面DEQ 法向量为1(1,0,21)n λλ=--， ……………………12分又因为 P A // 平面DEQ ，所以 10PA n ⋅=， ……………………13分即(1)(1)(21)0λλ-+--=，得23λ=． 所以，当23λ=时，P A // 平面DEQ ． ……………………14分17．解：(Ⅰ)根据频率分布直方图中的数据，可得1(0.0050.00750.02250.035)100.10.070.0310a -+++⨯==-=，所以 0.03a =． ……………………2分 （Ⅱ）学生成绩在[50,60)内的共有40×0.05=2人，在[60,70)内的共有40×0.225=9人，成绩在[50,70)内的学生共有11人． ……………………4分 设“从成绩在[50,70)的学生中随机选3名，且他们的成绩都在[60,70)内”为事件A ，……………………5分则3931128()55C P A C ==． ……………………7分所以选取的3名学生成绩都在[60,70)内的概率为2855． （Ⅲ）依题意，X 的可能取值是1，2，3． ……………………8分21293113(1)55C C P X C ===； 122931124(2)55C C P X C ===； 28(3)()55P X P A ===． ……………………10分所以X 的分布列为ξ1 2 3P355 2455 2855……………………11分324282712355555511E ξ=⨯+⨯+⨯=． ……………………13分18．解：（Ⅰ）当1a =时，2()3ln f x x x x =-+，1()23f x x x'=-+． ……………………1分 因为(1)0f '=，(1)2f =-， ……………………2分 所以切线方程为 2y =-． ……………………3分 （Ⅱ）函数2()(2)ln f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞．当a >0时，212(2)1()2(2)ax a x f x ax a x x -++'=-++=(0)x >，……………………4分 令()0f x '=，即22(2)1(21)(1)()0ax a x x ax f x x x-++--'===， 所以12x =或1x a=． ……………………5分 当101a<≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递增， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是(1)2f =-； ……………………6分 当11e a <<时，()f x 在[1,e]上的最小值是1()(1)2f f a<=-，不合题意； 当1e a≥时，()f x 在(1,)e 上单调递减， 所以()f x 在[1,e]上的最小值是()(1)2f e f <=-，不合题意． ……………………7分 综上可得 1a ≥． ……………………8分（Ⅲ）设()()2g x f x x =+，则2()ln g x ax ax x =-+， ……………………9分只要()g x 在(0,)+∞上单调递增即可．而2121()2ax ax g x ax a x x-+'=-+=， ……………………10分当0a =时，1()0g x x'=>，此时()g x 在(0,)+∞单调递增； ……………………11分 当0a ≠时，只需()0g x '≥在(0,)+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞，只要22+10ax ax -≥，则需要0a >，对于函数22+1y ax ax =-，过定点(0,1)，对称轴104x =>，只需280a a ∆=-≤， 即08a <≤． ……………………12分 综上可得 08a ≤≤． ……………………13分19．解：（Ⅰ）依题意2a =，22c a =，所以2c =． ……………………2分 因为222a b c =+， 所以2b =． ……………………3分椭圆方程为22142x y +=． ……………………5分 （Ⅱ）2224x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 得 222(21)4240k x k m x m +++-=，0∆>． ……………………6分 因为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 122421km x x k +=-+，21222421m x x k -=+． ……………………7分 设直线MA ：11(2)2y y x x =++，则1162P y y x =+；同理2262Q y y x =+……………………9分 因为121111P Qy y y y +=+， 所以12121222666666x x y y y y +++=+， 即121244066x x y y --+=． ……………………10分所以 1221(4)(4)0x y x y -+-=，所以 1221(4)()(4)()0x kx m x kx m -++-+=，1212122()4()80kx x m x x k x x m ++-+-=，222224442()4()80212121m km km k m k m k k k -+----=+++，所以288021k mk --=+，得 m k =-． ……………………13分则y kx k =-，故l 过定点(1,0)． ……………………14分20．解：（Ⅰ）因为 2()f x x x =+， 所以 '()21f x x =+．所以 121n n a a +=+， 所以 112(1)n n a a ++=+，且11112a +=+=， 所以数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列．所以 11222n n n a -+=⋅=， 即21n n a =-． ……………………4分 （Ⅱ）（ⅰ）假设存在实数b ，使数列{}n b 为等差数列，则必有2132b b b =+，且1b b =，221()b f b b b ==+，22232()()()b f b b b b b ==+++． 所以 22222()()()b b b b b b b +=++++， 解得 0b =或2b =-．当0b =时，10b =，1()0n n b f b +==，所以数列{}n b 为等差数列； 当2b =-时，12b =-，22b =，36b =，442b =，显然不是等差数列．所以，当0b =时，数列{}n b 为等差数列． ……………………9分 （ⅱ）10b b =>，1()n n b f b +=，则21()n n n n b f b b b +==+； 所以 21n n n b b b +=-；所以 211111111n n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b b b ++++++⋅-====-⋅⋅⋅． 因为 210n n n b b b +=->，所以 1110n n n b b b b b +->>>>=> ； 所以11122311111111111()()()ni i i n n n b b b b b b b b b b b =+++=-+-++-=-<∑ ． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。