第二章 利息理论Microsoft PowerPoint 演...

t
At A0 A0 (at a0 )

第n年的利息为：

I n An An1 A0 (an an1 )
3、利率

单位资本的获得的利息。
A1 A0 第一年：i1 a1 1 A0 A2 A1 a2 a1 第二年：i2 A1 a1 An An 1 an an 1 第n年：in An 1 an 1
1 1 i
1
1
1 (1i )2
折 现 过 程
1
vt
1 (1i )t
1 (1i)t
复利条件下：

折现因子：
v

1 1i
折现函数：
vt v
t
贴现率
1）计息的方式。 滞后利息 期初利息 例：购买一年期面值为100元的国债， 第一种方法：一年后还本付息110元； 10元为滞后利息，是期初本金上的增加额。---利 息。

所以：
d 1 (1

d ( m) m m
)
1 d (1
d ( m) m m
)
或：
( m)
d
m[1 (1 d ) ]
1 m
3）i(m)与d(m) 的关系

1元钱在年末的累积值 为：

则：
i(m) m (1 ) m
(1

i
(m)
(1
d ( m) m m
0
t
ln a(t ) ln a(0) ln a(t )
0 s ds a(t ) e
t
。

当 s 为常数时：
a(t ) e
t
各年的利息力分别为： 1 , 2 n时
积累函数值
0 t dt a ( n) e 1
n
0 1dt 1 2 dt n1 n dt e

解（1）

（2）
i (1
i
(12 )
12
) 1
12

d 1 (1 9.63%
d (4) 4 4
)
12.68%
结论：结转次数越多， 实际利率越大，实际贴 现率越小。
例
2，000元的本金在6%的名义利率下
投资，如果每年结转4次利息，求： 1）2年零6个月后的积累值； 2）年名义贴现率。

3）贴现率与利率
d

an an1 an

(1i )n (1i )n1 (1i )n

i 1i
或：
d i v i
d 1d
4）贴现率与折现因子

公式一

公式二
d 1 v

vt vt (1 d )t

及：
及：
v 1 d
at (1 d )
t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？ 2）年利率为多少? 3）折现因子为多少？

解： 1）A0=1000(1-d)4 =656.1元 2) d 1d

i
11.1%

3）v=1-d=0.9
7、一年计息m次的实际利率与贴现率
例：期初本金为1元，年利率为10%。 如果一年计息一次，则年末积累值为
解：1） P=
20001 (
6% 2 4
) 194045元 .
) 5.8663 %
或：2）
d 1 (1
0.06 4 4
P 2000 1 5.8663 0.5 1940 45元 ( %) .
8、利息力


瞬时利率。度量资本在某一时点上的获利能 力。 1）常数利息力 定义 ：
0.9259
作业
1、李华90年1月1日在银行帐户上有5，000 元存款。 1）在每年10%的单利下，求94年1月1日的 存款。 2）在每年8%的复利下，求94年1月1日的存 款。

。
2、张军94年初在银行帐户上有10，000元存 款。 1）在复利11%下计算90年的现值。 2）在11%的贴现率下计算90年的现值。
第二章
利息理论
第一节
利息的基础知识
主要内容
累积函数 利息 利率 单利与复利 现值函数 一年计息m次的实际利率与实际贴现率 利息力

1、累积函数
单位货币经过t 年后的价值。
A0为本金，At为t年后的价值。
At at A0
或 : A t A0 at
2、利息

投资获得的报酬。 t年内的利息为： I


第二种方法：购买时90元，一年后按面 值返还。 10元为期初利息，是期末值的减少额。--贴现额。
.

2）贴现率的定义：单位货币在一年内的贴现额。
dn

An An1 An

an an1 an
年贴现额=Andn=An-An-1 以An为标准的减少额。 年利息=An-1 in=An-An-1 以An-1为标准的增加额。
例一
设：at =ct2+d
(c、d为常数）， a 5=126 , A0=100 求：A10、 、 i10
解：
a0=1
a5=126 得： c=5 d=1 所以：at=5t2+1 A10=A0a10=50100 i10=(a10-a9)/a9=0.233
4、单利与复利的积累函数

当m ，期初付与期末付没有区别。
3）利息力的一般式

定义
t lim
h 0
a (t h )a (t ) h a ( t )

a (t ) a (t )
'
累积函数与利息力

由定义式：
t [ln a(t )]
'
两边积分

t
0
s ds [ln a( s)]' ds
2
n
e
1 2 n
n
e
k
k 1
第n年的利率为

。
in
a ( n) a ( n1)
1 e
n
1
现值函数值为：
vn e

k
k 1
n
(1 i1 ) (1 i2 ) (1 in )
1
1
1
例：设某项投资基金的利息力为，
2 k 5100k , k 1,2,3
其中k为投资年度。求投资者在开始投资多少 资金于该基金时，使得投资在5年末的终值为 50，000元。

解：
v(0) 50000 e

k
k 1
5
50000 e 2884749元 .
5 2 k 100 k 1

5
例：设

i 0.08 求：i

i (12 ) 12
(12 )
假设年利率为12%，试分别以单利和复 利计算： （1）96年1月1日时，他需还银行多少 钱? （2）几年后需还款1，500元？
解：

（1）A1=1，000（1+it） =1，000 （1+0.12×2）=1，240元 A2=1，000(1+i)2=1，254.4元 （2）1，500=1，000（1+it1） t1=4.17年 1，500=1，000(1+i)t t2=3.58年

6、现值和贴现率

现值函数。未来t年1单位货币在现在的值。 （1）单利：各年1元的现值。
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
1/1+i 1/1+2i
1
1
折 现 过 程
1
vt
1 1it
1 1it
.

（2）复利
设年利率为i ，各年1元的现
值。
1 0 1+i （1+i ）2 （1+i）t
1

1）单利 设年利率为i ，期初本金为1
1 1+i 1+2i 1+it
0
1
2
t
at=1+it
2）复利

设利率为i，期初本金为1。
1 1+i (1+i)2 (1+i)t
0
1
2
t
at=(1+i)t
5、单利、复利的比较
（1）单利条件下，每年利息相等，实际
利率减少。 每年的利息：In=An-An-1 =A0(an-an-1)=A0i 每年的利率：


所以：
i Байду номын сангаас1

i( m ) m m
) 1
1 m
或：
( m)
1 i (1
i( m ) m m
i
m[(1 i) 1]
)
2）实际贴现率：每个度量期内贴现一次的贴现率。 名义贴现率：每个度量期内多次贴现的贴现率。

设年名义贴现率为d(m), 实际贴现率为d， d (m) 则：每次的贴现率为 m

习题



1、假设累积函数a(t)=at2+b，如果期初的100元在3 年末可以累积到172元，试计算在第6年初投资100 元，在第10年末可以累积到多少元？ 2、如果A(t)=100+5t，试计算i5。 3、如果A(t)=100×(1.1)t，试计算i5。 4、已知投资3 000元在两年后的利息是158元，试 计算以相同的复利利率投资，起初的3 000元在3年 半的利息。