时滞系统的鲁棒稳定性分析_吴方向
几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究的开题报告
几类变时滞系统的鲁棒稳定性研究的开题报告一、研究背景随着现代控制理论的发展，越来越多的系统可以被建模为时间滞后系统。
这种系统在现实中有许多应用，如在交通、制造业、医疗等领域中的实时性要求较高的控制系统中。
然而，时间滞后系统的特殊性质使得传统控制方法变得不够有效，因此需要进行进一步的研究和实践。
二、研究目的本文将着眼于变时滞系统的鲁棒稳定性研究，主要目的包括：1. 综述时间滞后系统及其在工业界的应用；2. 复习时间滞后系统的各种数学模型以及现存的控制算法；3. 展示主流的鲁棒性能分析方法；4. 探讨时间滞后系统的鲁棒稳定性研究方法，包括传统方法如Lyapunov-Krasovskii方法和新方法如复杂网络方法；5. 设计相应的数值算法，通过仿真实验对比不同方法的性能以验证所提出的研究方案的有效性。
三、研究内容与思路1. 时间滞后系统的数学模型及其应用时间滞后系统有多种不同的数学模型，包括时变和时不变的情况，各类非线性情况，如其它扰动和不确定性等。
本部分将探索这些模型的各种性质及其在实际中的应用。
2. 时间滞后系统的鲁棒性能分析方法鲁棒性能分析方法所研究的主要是复杂控制系统的稳定性问题，本部分将介绍鲁棒稳定性分析的主要思路和方法，如极点配置，频率域控制，H∞控制等。
3. 时间滞后系统的稳定性分析方法通过研究不同的鲁棒稳定性分析方法，如Lyapunov-Krasovskii方法和复杂网络方法，本部分将探讨如何高效地解决时间滞后系统的稳定性问题。
4. 数值算法设计和仿真实验通过给出有效的数值算法和与仿真实验，本部分将证明所提出的研究方案的可行性，并评估各种方法的表现效果。
四、预期成果本文主要预期成果包括：1. 时间滞后系统的综述，包括各种数学模型及其应用；2. 鲁棒性能分析方法的综述，包括各种思路和方法；3. 时间滞后系统鲁棒稳定性研究方法的综述，包括传统方法和新方法；4. 针对不同方法设计的数值算法，并对其进行仿真实验评估；5. 讨论各种方法的优缺点，并展示其在不同情况下的实用性。
中立型灰色随机分布时滞系统的指数鲁棒稳定性
中立型灰色随机分布时滞系统的指数鲁棒稳定性苏春华;刘思峰【摘要】为了得到一类中立型灰色随机分布时滞系统的指数鲁棒稳定性,本文利用LyapunovKrasovskii泛函法、灰矩阵的连续矩阵覆盖的分解技术和It(o)公式,分别得到了以非线性矩阵不等式和线性矩阵不等式(LMI)表示的该系统指数鲁棒稳定的时滞依赖性判据.对非线性矩阵不等式判据,我们给出了一般性算法,解决了非线性矩阵不等式判据不便于实际应用的问题.数值例子表明,本文所给判据是有效的,且系统的指数稳定性和时滞,随着绝对灰度矩阵的谱范数的增大而减小.【期刊名称】《工程数学学报》【年(卷),期】2010(027)003【总页数】12页(P403-414)【关键词】中立随机系统;分布时滞;指数鲁棒稳定性;灰矩阵;线性矩阵不等式【作者】苏春华;刘思峰【作者单位】信阳师范学院数学与信息科学学院,信阳,464000;南京航空航天大学经济与管理学院,南京,210016【正文语种】中文【中图分类】N941.5;O231.31 引言由于随机微分系统在自然、社会和科技等领域具有广泛的应用，所以，近三十多年来，关于随机微分系统的稳定与控制问题，一直是很多学者关注的焦点问题，并取得了许多有价值的成果[1]。
其间，在二十世纪八十年代，Kolmanovaskii和Nosov基于化学工程和航空理论发展的需要，还建立了一类中立型随机泛函微分系统，并研究了该系统解的存在性、唯一性[2]、稳定性和渐近稳定性[3]的问题。
此后，一些学者又利用Lyaponuv泛函和Razumikhin技术，研究了中立型随机系统的指数稳定问题，得到了一些指数稳定的代数判据[4-6]。
2007年，Randjelovic和Jankovic则基于一个关于向量范数的p-阶矩不等式，给出了中立型随机系统的p-阶矩指数稳定的代数判据[7]，且该判据还是文献[8]的结果的推广。
然而，关于中立型不确定随机系统的研究，目前仅有少量的报道。
时滞关联系统的鲁棒稳定性分析
ｌ， ｌ…Ⅳ （ ７５４—７５６．分析 ， ， ６ 的稳 定性 ｏ： ２ ， ）
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时滞关联 系统 的鲁棒 稳 定性 分析
（ 尔 滨 商业 大学 基础 科 学 学 院 ， 龙 江 哈 尔滨 １０ ２ ） 哈 黑 ５ ０ ８
摘 要： 本文考虑常时滞与 变时滞的不确定关联 大 系统 ， 针对具有矩 阵多胞型结构不确 定性情形 ， 用 Ｌ ａ ｕｏ 利 ｙｐ ｎｖ函数和 Ｌ ， 出了系统鲁棒 ＭＩ得
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不确定时滞系统的稳定性分析及鲁棒可靠控制的开题报告
不确定时滞系统的稳定性分析及鲁棒可靠控制的开题报告一、研究背景随着控制系统的应用越来越普及，时滞系统的稳定性分析和鲁棒可靠控制问题也成为了研究的热点和难点。
由于时滞系统中存在着时滞因素，这些因素会对系统的稳定性和控制效果造成很大的影响，因此需要对时滞系统进行深入的研究和分析，以便为实际控制系统的设计和应用提供依据。
二、研究目标本文旨在研究时滞系统的稳定性分析及鲁棒可靠控制方法，并分析这些方法的优缺点，为实际控制系统的设计和应用提供帮助。
三、研究内容本文的主要研究内容包括以下几个方面：1. 时滞系统的稳定性分析：对于时滞系统，其稳定性分析是一个基本且关键的问题。
本文将对时滞系统的稳定性分析方法进行研究和探讨。
2. 鲁棒控制方法：针对时滞系统中存在的不确定性和扰动等因素，需要采用鲁棒控制方法进行控制。
本文将对鲁棒控制方法进行研究和探讨。
3. 可靠控制方法：可靠性是控制系统的一个重要指标，对于时滞系统也需要采用可靠控制方法来提高系统的可靠性。
本文将对可靠控制方法进行研究和探讨。
4. 系统仿真分析：本文将通过系统仿真分析的方式进行验证和评估所提出的时滞系统鲁棒可靠控制方法的有效性和可靠性。
四、研究方法本文将采用文献资料法、理论分析和仿真分析相结合的方法进行研究。
具体来说，首先对时滞系统的稳定性分析、鲁棒控制方法和可靠控制方法进行文献资料的查阅和分析，然后通过理论分析的方式进行深入探讨和验证，最后通过仿真分析来验证和评估所提出的鲁棒可靠控制方法的有效性和可靠性。
五、研究意义本文的研究内容旨在提高时滞控制系统的鲁棒性和可靠性，为实际控制系统的设计和应用提供参考和指导。
同时，本文的研究成果也可以为其他相关领域的研究提供借鉴和启示。
一类基于时滞分解方法的时滞系统稳定性分析与鲁棒H_∞控制器设计
一类基于时滞分解方法的时滞系统稳定性分析与鲁棒H_∞控制器设计在许多实际系统中,时间延迟问题经常发生,而且时间延迟问题是机械系统、化学过程、神经网络系统等多个动态系统中常出现的问题之一。
众所周知,时间延迟问题的发生有可能使得一些系统的性能发生变化,甚至对系统本身的稳定性产生负面效果。
因此,对时滞系统进行稳定性分析,了解时间延迟问题对系统运行的影响,已经成为了一个重要的研究课题。
从过去到现在的很多年里,特别在时滞系统中,对于稳定性问题的研究,引起了研究者的重视,也获得了很多有价值的研究方法和成就。
本文首先基于时滞分解方法,对一类线性时滞系统,开始进行稳定性分析;其次再对一类线性时滞系统进行鲁棒H_∞控制器的设计;最后基于T-S模型,对一类非线性时滞系统,同时使用时滞分解方法,开始进行稳定性分析以及鲁棒H_∞控制器的设计。
本文研究的内容,将通过下面几点展开:(1)首先针对时滞系统的数学模型,在充分利用时滞和时滞导数信息的基础上,利用时滞分解方法,构建一个合适的Lyapunov-Krasovskii型泛函,并将Lyapunov-Krasovskii型泛函整体的一部分,作正定的判定,结合Jensen不等式和凸组合原理,开始对一类线性时滞系统,展开稳定性分析。
并考虑到在实际的问题中,系统参数的不确定性,对一类含有参数不确定性的线性时滞系统进行分析,并开始对其展开鲁棒稳定性的研究。
最终,经过数例中文献的对比,以及Simulink工具的仿真,证实了所使用方法有一定的成效。
(2)其次考虑到实际系统中可能受到外界的干扰,对一类线性时滞系统的H_∞性能进行分析。
接着考虑到在外部扰动下,对含有参数不确定性的线性时滞系统,开始展开鲁棒H_∞性能的分析,并设计出一类含有参数不确定性的线性时滞系统鲁棒H_∞控制器。
最终,经过Simulink工具的仿真,证实了所给鲁棒H_∞控制器的实用性。
(3)在前面研究的基础上,考虑到非线性系统的情况,基于T-S模糊模型将非线性系统通过局部线性化表示,首先通过T-S模糊控制模型,对一类非线性时滞系统展开研究,并开始H_∞性能的分析,再对不确定T-S模糊非线性时滞系统展开研究,并开始鲁棒H_∞性能的分析,再对不确定T-S模糊非线性时滞系统,开始展开鲁棒H_∞控制器的设计。
不确定中立型时滞系统的鲁棒稳定性
２ｘ （） ＋ （） ＋ （ ｈ ＋ — ） ］ Ｉ ￡ＭＩ ｚ 一 ） 三 （ ｈ Ｍ４ ｘ ［ （）一ＣＸ ｔ ）一 （）一 ｘ ｔ ｈ ］＝ ， Ｘｔ （ ～ｈ Ａｘ ｔ Ｂ （ — ） ０
借 助文献 ［ ］ 造 的 Ｌ ａ ｕ ｏ ７构 ｙｐ ｎ ｖ泛 函 ， 推 导 出一 个 来 新 的稳定 充分 条件 ，并 由其 得 到 的结 论 与 现有 的一
茨 ． 顿 （ ｅ ｎｚＮ ｗ ｏ ） 式 和 自由权 矩 阵 ，给 出 牛 Ｌｉ ｉ ｅｔ 公 ｂ — ｎ 了新 的稳定 充分 条件 ， 得 出 的结 论 比现 有 的成 果 且 更 具有 较小 的保 守性 ． 本 文在 文献 ［ ］ ７ 的基 础 上 ，引 入 一 个 自由权 矩
阵：
定 判别 标准 ， 要 求其 特 尔维 茨 （ ｕｗｔ） 阵 ， 计算 方 面 Ｈ ｒｉ 矩 ｚ 在
较 为 困难 ； 文献 ［ ］ 过 构 造 Ｌ ａ ｕ ｏ ５通 ｙ ｐ ｎ ｖ泛 函 ，引入
线 性矩 阵不 等式 方法 （ Ｍ ） 给 出时滞 独 立 的稳 定 Ｌ Ｉ来 充 分条 件 ， 其结 论容 易被 凸优 化算 法验 证 ； 文献 ［－ ５ ６ 都 是 以线 性 矩 阵 不 等 式 形 式 给 出 时 滞 独 立 的充 ］ 分 条件 ，在 ［ －］ ５６ 的基 础 上 ，文 献 ［ ］ 入 莱 布 尼 ７引
第２ ５卷 第 ４期 ２０ ０ ８年 １ ２月
广 东工 业大学 学报
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ａ ｇ ｏ ｇ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＧｕ ｎ ｄ ｎ ｉｅ ｓｔ ｏ ｃ ｎ ｌｇ ｙ
Ｖｏ ． ． １２５ Ｎｏ ４ Ｄｅ ｅ ｂ ｒ２ ８ ｃ ｍ ｅ ００
区间中立型非线性定常大系统的鲁棒稳定性
中 图分 类 号 ： Ｐ３ Ｔ １ 文献标识码 ： Ａ
Ｔｈ ｂ ｓ ａ ｉｉｙ ｏ ｎ ｅ ｖ ｌＮｅ ｔ ａ ｐｅ Ｎｏ ｉ ｅ ｒ Ｔｉ ｅ ｉ ｖ ｒａ ｅ Ｒｏ ｕ ｔＳｔ ｂ ｌｔ ｆＩ ｔ ｒ ａ ｕ ｒ ｌＴｙ ｎｌｎ ａ ｍ —ｎ ａ ｉｎｔ
青 岛农业大学学报（ 自然科学版 ） ２ （ ） ３９— ２ ，０ ８ ５ ４ ： １ ３ ３２ ０ ＪｕｎｌｆＱｎｄ ｏＡ ｒ ｕｔ ａ ｎｖｒｔ Ｎ ｔ ａ ｃ ｎｅ ｏ， ｉ ａ ｇｉ ｌ ｒｌ ｉ ｓｙ（ ａｕ ｌ ｉ ｃ ） ＇ ｏ ａ ｇ ｃ ｕ Ｕ ｅｉ ｒ Ｓｅ 文章编号 ：１７ ６ ４—１８ （ ０ ８ ０ ０ １ ０ ４ Ｘ ２ ０ ）４— ３ ９— ５
近 年来 ， 随着 控 制理 论研 究 的不 断 深入 ， 型 复杂 系统 的研究 也取 得 了重大 的发 展 ．ＬｕＹ ｎｑｎ… 等 大 ｉ ｏｇｉｇ 研究 了多 组多滞 后大 系统 的稳定性 问题 ．吴方 向 ＿等研 究 了动态 区 间系统 的鲁 棒稳 定性 ．而 毛维 杰 研 究 ２ 了区间矩 阵 的二 次稳定 性 问题．虽然 对 区间系统 和 大 系统 的研究 已经 取 得 了不 少成 果 ， 是对 中立 型 大系 但 统的研究却很少［ ． ４ 可是在现实生活的许多实际问题 中， ］ 普遍存在着滞后 中立型的数学模型 ， 研究这类系 统 的分析 与综合 问题 具有非 常重要 的实际意 义．本文 采用 不带滞 后 的控制 系统 与带有 滞 后 的控 制 系统 的等 价性 方法 ， 究多 组多滞 后 区间 中立型非 线性 定常 大系统 的鲁 棒稳定 性 问题 ， 到 了系统 一致 渐近 稳定 的充 研 得 分条件 ．
几类不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析及H∞控制器设计的开题报告
几类不确定时滞系统的鲁棒稳定性分析及H∞控制器设计的开题报告一、研究背景及研究意义在实际工程控制中，存在着许多具有时滞特性的控制系统。
在这些系统中，时滞可能由于测量和控制信号的延迟、工艺反应时间、传输时间等多种因素引起。
时滞会导致系统的稳定性受到威胁，使得控制过程变得不稳定或无法满足稳定性要求。
因此，时滞控制问题一直是控制理论和实际工程控制技术中的热门话题。
针对时滞系统的鲁棒稳定性分析及H∞控制器设计是解决时滞控制问题的常用方法之一。
鲁棒稳定性分析和H∞控制器设计能够有效地解决时滞对系统稳定性产生的影响，保证系统的鲁棒稳定性和控制性能。
因此，该问题的研究具有重要的理论和工程应用价值。
二、研究内容1. 分析时滞系统的数学模型和稳定性条件时滞系统的设计和控制需要了解其数学模型和稳定性条件，因此本文将首先介绍时滞系统的数学模型和稳定性分析方法，并分析时滞对系统稳定性的影响。
2. 研究时滞系统的鲁棒稳定性问题在分析时滞系统的数学模型和稳定性条件的基础上，本文将对时滞系统的鲁棒稳定性问题展开深入研究。
具体地，我们将通过H∞控制方法解决时滞系统的鲁棒稳定性问题，并提出相应的分析方法和控制策略。
3. 探讨H∞控制器的设计和仿真在研究时滞系统的鲁棒稳定性问题的基础上，本文将进一步探讨H∞控制器的设计和仿真。
具体地，我们将采用Matlab/Simulink等工具对时滞系统进行仿真，并验证设计的H∞控制器的性能和鲁棒性。
三、研究方法及进度安排本文将采用文献资料查阅、理论分析、模型建立、仿真验证等多种方法进行研究。
具体进度安排如下：1. 第一阶段（1-2周）：收集相关文献资料，对时滞系统的鲁棒稳定性问题进行梳理和分析，确定研究思路和研究内容。
2. 第二阶段（2-4周）：建立时滞系统的数学模型和稳定性条件，分析时滞对系统稳定性的影响，研究时滞系统的鲁棒稳定性问题。
3. 第三阶段（4-6周）：设计H∞控制器，利用Matlab/Simulink等软件进行仿真验证，分析控制器的性能和鲁棒性。
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时滞系统的鲁棒稳定性分析X吴方向 周宗锡 史忠科 戴冠中(西北工业大学自动控制系・西安,710021)摘 要 研究时滞系统的时滞独立稳定性和时滞相关稳定性问题。
基于Bar balet 引理,得到了一类检验线性时滞系统稳定性的简单条件。
进一步研究了一类含非线性不确定性时滞系统的鲁棒稳定性问题。
数值例子表明,所得到的结果比已有结果的保守性小。
关键词 时滞系统,时滞独立稳定性,时滞相关稳定性,鲁棒稳定性分类号 O 1751 引 言 近年来,关于时滞系统的稳定性问题,经过许多学者的努力已取得了丰硕的成果[1—8]。
根据所研究的稳定性是否与时滞大小有关,可以分为时滞独立稳定性问题[1—4]和时滞相关稳定性问题[5—8]。
在这些研究中,一类是追求时滞独立稳定的充分必要条件,或者保证时滞相关稳定的最大滞后的精确估计,这导致了应用时计算复杂性等许多困难;另一类是寻求简单的充分条件,这又导致了一定的保守性。
本文从工程实用的角度出发,给出了一类简单的检验时滞系统稳定性的判据,并进一步研究了一类含非线性不确定性时滞系统的鲁棒稳定性。
同已有的一些结果相比,本文得到的结果保守性较小。
2 时滞独立稳定性分析 在本文的推导中,需要下列Barbalet 引理:引理1(Barbalet 引理)[9] 如果可导函数f (t )当t →+∞时有一个有限的极限值,而且f (t )的导数f a 是一致连续的,则当t →+∞时f a →0。
考虑下述线性多变量时滞系统x a (t )=A x (t )+A 1x (t -S ), t ≥t 0x (t )=U (t ), t 0-S ≤t ≤t 0(1)这里,x ∈R n 为状态向量,A ,A 1∈R n ×n 为状态矩阵,S >0为时间滞后,U (t )(t 0-S ≤t ≤t 0)为初始条件,它绝对可积。
对于系统(1)的状态,由文献[10]有d +ûx (t )û/d t ≤L (A )ûx (t )û+‖A 1‖ûx (t -S )û(2)这里,ûõû和‖õ‖分别为向量范数和与之相容的矩阵范数,L (A )为在矩阵范数‖õ‖下A的测度。
对不等式约束方程(2)两边从t 0到t (t ≥t 0)积分,得第14卷 增刊V ol.14 Suppl. 控 制 与 决 策CON T ROL A N D D ECI SI ON 1999年11月 N o v.1999X 国家自然科学基金(69774010)和西北工业大学“双新”计划基金资助课题 1999-04-17收稿,1999-06-09修回ûx (t )û-ûx (t 0)û≤∫tt[L (A )ûx (s )û+‖A 1‖ûx (s -S )û]d s , P t ≥t 0(3)由于∫t tûx (s -S )ûd s =∫t -St 0-S ûx (s )ûd s ≤∫t0t 0-SûU (s )ûd s +∫t tûx (s )ûd s (4)将式(4)代入式(3)得ûx (t )û+∫tt-[L (A )+‖A 1‖]ûx (s )ûd s ≤∫t0t 0-S‖A 1‖ûU (s )ûd s +ûx (t 0)û=M 1, P t ≥t 0(5)显然,常数M 1>0。
因此有如下结论:定理1 系统(1)是时滞独立稳定的,如果L (A )+‖A 1‖<0(6) 证明 如果式(6)成立,则由式(5)有ûx (t )û≤M 1, ∫tt 0ûx (s )ûd s ≤-M 1/[L (A )+‖A 1‖]>0, P t ≥t 0即可导函数∫t tûx (s )ûd s 当t →+∞时有一个有限的极限值,而且∫t tûx (s )ûd s 的导数ûx (s )û是一致连续有界的。
因此由引理1,当t →+∞时ûx (s )û→0,即系统(1)是时滞独立稳定的。
例1 考虑下述方程描述的系统[3]x a (t )=-400-3x (t )+a1102x (t -S )这里a 是一个不确定参数。
试确定a 的范围,使该系统是时滞独立稳定的。
Hmamed 利用[1]和[2]的结果得到,当ûa û< 1.3110时该系统是时滞独立稳定的;而利用[3]的结果得到,当ûa û< 1.3592时该系统是时滞独立稳定的。
我们应用定理1来研究这一问题。
取矩阵的范数为行范数(或称为∞-范数),则计算得L (A )=-3,‖A 1‖∞=2a 。
因此由定理1,当ûa û< 1.5时该系统是时滞独立稳定的。
通过比较可知,如能灵活运用矩阵的范数,则本文的结果保守性较小。
事实上,本节得到的结果是使该系统时滞独立稳定的a 的最大界,因为当a ≥1.5时,A +A 1不是渐近稳定的,由文献[4]知,该系统不是时滞独立渐近稳定的。
3 时滞相关稳定性分析 对于(1)的状态,由文献[10]还可得到d +ûx (t )ûd t≤L (A +A 1)ûx (t )û+‖A 1A ‖∫tt -Sûx (s )ûd s +‖A 21‖∫tt -Sûx (s -S )ûd s(7)对不等式约束方程(7)两边从t 0到t (t ≥t 0)积分,得ûx (t )û-ûx (t 0)û≤∫t tL (A +A 1)ûx (s )ûd s +‖A 1A ‖∫t t∫ss -Sûx (u )ûd u d s +‖A 21‖∫t t∫ss -Sûx (u -S )ûd u d s , P t ≥t(8)第14卷 增刊吴方向等:时滞系统的鲁棒稳定性分析507进一步,通过交换积分次序,并利用式(4)则有∫t t 0∫s s -S ûx (u )ûd u d s ≤∫t t 0-S ∫s s -Sûx (u )ûd s d u =∫t 0t 0-SS ûU (s )ûd s +∫t tS ûx (s )ûd s (9)∫t t∫ss -S ûx (u -S )ûd u d s ≤∫t0t 0-S S ûU (s -S )ûd s +∫t0t 0-SS ûU (s )ûd s +∫t tS ûx (s )ûd s (10)将式(9)和(10)代入式(8),整理得ûx (t )û+∫tt-[L (A +A 1)+S (‖A A 1‖+‖A 21‖]ûx (s )ûd s ≤M 2P t ≥t 0这里M 2=∫t 0t-SS [‖A 21‖ûU (s -S )û+(‖A A 1‖+‖A 21‖)ûU (s )û]d s +ûx (t 0)û>0为常数。
再次利用引理1,我们有如下结论:定理2 系统(1)是时滞相关稳定的,如果L (A +A 1)<0,且S <C =-L (A +A 1)/[‖A 1A ‖+‖A 21‖](11)4 非线性时滞系统的鲁棒稳定性分析 本节考虑这样一类非线性时滞系统的鲁棒稳定性,即在系统中除时间滞后不确定之外,还有非线性摄动。
这种系统由如下方程描述x a (t )=A x (t )+A 1x (t -S )+$f (x (t ),x (t -S ),t ), t ≥t 0x (t )=U (t ), t 0-S ≤t ≤t 0(12)这里假设非线性不确定项满足û$f (x (t ),x (t -S ),t )û≤a ûx (t )û+a 1ûx (t -S )û(13)其中a 和a 1均为大于零的常数。
类似于前两节的讨论,可以得到在与矩阵范数‖õ‖相容的向量范数ûõû下,线性不确定时滞系统(12)的状态x (t )满足d +ûx (t )û/d t ≤[L (A )+a ]ûx (t )û+[‖A 1‖+a 1]ûx (t -S )û或者d +ûx (t )ûd t≤[L (A +A 1)+a +a 1]ûx (t )û+c∫t t -Sûx (s )ûd s +d ∫tt -Sûx (s -S )ûd s其中c =‖A A 1‖+a ‖A 1‖+a 1‖A ‖+aa 1,d =‖A 21‖+2a 1‖A 1‖+a 21因此有如下结论:定理3 系统(12)是时滞独立鲁棒稳定的,如果L (A )+a +‖A 1‖+a 1<0(14) 定理4 系统(12)是时滞相关鲁棒稳定的,如果L (A +A 1)<0,且(15)508控 制 与 决 策1999年 例2 考察线性不确定系统[5—8]x a (t )=(A +$A )x (t )+(A 1+$A 1)x (t -S )的鲁棒稳定性问题。
其中A =-200-1, $A =0.3cos t 000.2sin t A 1=-10-1-1, $A 1=0.2cos t 000.3sin t 在本例中,我们定义矩阵范数为‖M ‖=‖H M H -1‖1,P M ∈R n ×n 。
这里‖õ‖1为列范数(或称为1-范数),H =diag [1 E ],0<E <1。
在这个范数下,计算可得a =a 1=0.3,‖A ‖=2,‖A 1‖=1+E ,因此有L (A +A 1)=-2,c = 2.99+0.3E ,d = 1.69+ 2.6E +E 2。
将这些数据代入式(15),则有r =-L (A +A 1)+a +a 1c +d = 1.44.68+ 2.9E +E 2>0所以lim E →0+r =0.2991。