二阶电路 RLC串联电路零输入响应
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
例8-3 图8-3所示电路，C=1F，L=1/4H，R=1；uC(0)= –1V， iL(0)= 0；t≥0时uoc(t)=0。试求iL(t)，t≥0。
( ) 解：电路固有频率为
s1, 2 = –
R 2L
R
2
–
1
2L
LC
=–2
电路属于临界阻尼状态。
iL(t) = K1e –2 t + K2te –2 t A，t≥0
O 0.5
t
图8-8 临界阻尼时的零输入响应iL(t)
电路分析基础——第二部分：第八章 目录
第八章 二 阶 电 路
1 LC电路中的正弦震荡
2 RLC电路的零输入响应 ——过阻尼情况
3 RLC电路的零输入响应 ——临界阻尼情况
4 RLC电路的零输入响应 ——欠阻尼情况
5 直流RLC串联电路的完全响应
6 GCL并联电路的分析
7 一般二阶电路
电路分析基础——第二部分：8-3
duC dt
=
– uC(0)2Cte – t + iL(0)(1–t)e – t A t≥0
（8-31）
电路分析基础——第二部分：8-3
2/3
从(8-30)和(8-31)两式可知：电路电路响应仍然是非震荡性的，但 如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 < 4L/C，则响应将为震荡性。 因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近震荡状态，称为临 界阻尼(critically damped)情况。
iL(0) = K1 = 0
i’L(0) = s1K1 + K2 = –2K1 + K2 di 又根据KVL，可得 uL(0)+uC(0)+uR(0)=L dt
(完成)二阶电路响应的三种状态轨迹及其特点
实验二二阶电路响应的三种（欠阻尼、过阻尼及临界阻尼）状态轨迹及其特点一、实验目的1、熟练掌握二阶电路微分方程的列写及求解过程；2、掌握RLC 二阶电路零输入响应及电路的过阻尼、临界阻尼和欠阻尼状态；3、学会利用MULTISIM 仿真软件熟练分析电路，尤其是电路中各电压电流的变化波形。
二、实验原理用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件。
二阶电路微分方程式一个含有二次微分的方程，由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。
分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，并利用初始条件求解得到电路的响应。
二阶方程一般都为齐次方程。
齐次方程的通解一般分为三种情况：（RLC 串联时）1、 21S S ≠ 为两个不等的实根（称过阻尼状态）t S t S h e A e A f 211121+= 此时，CL R 2>，二阶电路为过阻尼状态。
2、 σ==21S S 为相等实根（称临界状态）t h e A A f σ)21+=（ 此时，CL R 2=，二阶电路为临界状态。
3、 ωσj S ±-=21、为共轭复根（称欠阻尼状态）t h e t f σβω-+=)sin( 此时CL R 2<，二阶电路为欠阻尼状态。
这三个状态在二阶电路中式一个重要的数据，它决定了电路中电流电压关系以及电流电压波形。
三、实验内容电路中开关S 闭合已久。
t=0时将S 打开，并测量。
1、欠阻尼状态（R=10Ω,C=10mF,L=50mH ）如图所示，为欠阻尼状态时的二阶电路图。
波形图展示了欠阻尼状态下的C U 和L U 波形(橙色线条为电容电压衰减波形，红色线条为电感电压衰减波形)。
2、临界阻尼（R=10Ω,C=10mF,L=0.25mH ）如图所示，为临界状态的二阶电路图。
图展示了临界状态下的C U 的波形。
波形图展示了临界状态下的C U 和L U 波形。
3、过阻尼状态（R=10Ω,C=1mF,L=1mH ）如图所示，为过阻尼状态下的二阶电路图。
二阶电路分析
第九章
二阶电路分析
由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 分析二阶电路的方法仍然是建立二阶微分方程，
(9 5)
式中的两个常数K1，K2由初始条件iL(0)和uc(0) 确定。
uC (0) K1 K 2
对式(9－5)求导，再令t=0得到
(9 6)ห้องสมุดไป่ตู้
duC ( t ) dt
t 0
i L ( 0) K 1 s1 K 2 s2 C
(9 7)
求解以上两个方程，可以得到
1 K1 ＝ s2 －s1 1 K2 ＝ s1 －s 2 iL ( 0) s2 uC (0) C iL ( 0) s1 uC (0) C
uC ( t ) e 3t [ K 1 cos 4t K 2 sin( 4t ) ]
iL(0)=0.28A得到以下两个方程
uC (0) K 1 duC ( t ) dt
t 0
( t 0)
利用电容电压的初始值uC(0)=3V和电感电流的初始值
3 K 1 4 K 2
i L ( 0) 7 C
电 容 电 压 的 零 输 入 响 应 波 形
i2 (t) =ε( t)*[(
.690
)* exp ( -.500
t)]cos(
4.97
t +66.08 )
iL (t ) 0.69e0.5t cos(4.97t 66.08 )(t )A
(优选)二阶电路的零输入响应零状态响应及全响应.
1 LC
0
— 谐振角频率
ω0
ω
δ
02 2 — 固有振荡角频率
关系： 0 sin 0 cos p1 j 0 cos j0 sin 0e j p2 j 0 cos j0 sin 0e j
p1 j 0e j p2 j 0e j
uC
U0 p2
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
(t=0)
R
Li + uL - +
C -uC
uC
U0 p2
p1
(
p2e
p1t
p1e p2t )
i C duC U0
(e p1t e p2t )
dt ( p2 p1)L
uC U0
iC
p2U 0 e p1t p2 p1
uL
L
di dt
U0 p2 p1
0
1 LC
二阶以上电路存在
谐 振： s 0
3） R 2 L 两个相等负实根 R 2 L 临界电阻
C
C
p1
p2
R 2L
代入初值，解得：
uC ( A1 A2t)e t
波形与过阻尼情况类似
A1 U0，A2 U0 uC U0 (1 t)e t
U0 uc
i
i C duC U0 te t dt L
2L
02 2
若R=0，则
0 0
2
δ
p1,2 j0
Li
t = 0 + uL – –
uc
C uC
i
t
+
uC
uL
U
0
二阶电路分析——LC震荡的推导
二阶电路分析——LC 震荡的推导如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得 0=-+C L R u u u按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dtdu Ci C-= dtdu RCRi u CC -== 22dtu d LC dt diL u C L -==将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为022=++C CC u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为012=++RCp LCp其特征根为20222,1122ωαα-±-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p 式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。
1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。
特征根为2022,1ω-±-=a a p微分方程的通解为()tp t p C e A e A t u 2121+= （9.11）其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由式(9.11) 可得()21A A t u C +=对式(9.12)求导，可得+=0t 时刻()t u C 对t 的导数的初始值为()()()Ci p A p A dt t du u t C C+=+-=+=='+0022110联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。
根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指 数规律衰减的，为非振荡性质。
()t u C 的波形如图9. 17所示。
（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根， 称为临界阻尼情况。
特征根为a p p -==21微分方程的通解为()()at C e t A A t u -+=21其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。
电路第十四章 二阶电路
iR
L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:P1, 2Fra bibliotek R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t U s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Ae t cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
0
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1 LC
i
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Ae t cos(d t ) I s
二阶电路分析——LC震荡的推导
二阶电路分析——LC 震荡的推导如图9.16所示，RLC 串联电路零输入响应的数学分析依KVL ，得 0=-+C L R u u u按图9.16中标定的电压，电流参考方向有 dtdu Ci C-= dtdu RCRi u CC -== 22dtu d LC dt diL u C L -==将以上各式代入KVL 方程，便可以得出以 C u 为响应变量的微分方程，为022=++C CC u dt du RC dt u d LC ()0≥T （9.10）式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为012=++RCp LCp其特征根为20222,1122ωαα-±-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=LC L R L R p 式中：L R 2/=α称为衰减系数；LC /10=ω称为固有振荡角频率。
1.几种不同情况的讨论(1)当(R/2L)2>1/LC 时，1p 、2p 为不相等的负实根，称为过阻尼情况。
特征根为2022,1ω-±-=a a p微分方程的通解为()tp t p C e A e A t u 2121+= （9.11）其中待定常数1A 、2A 由初始条件来确定，其方法是：当+=0t 时刻，则由式(9.11) 可得()21A A t u C +=对式(9.12)求导，可得+=0t 时刻()t u C 对t 的导数的初始值为()()()Ci p A p A dt t du u t C C+=+-=+=='+0022110联立求解式(9.12)和式(9.13)，便可以解出1A 、2A 。
根据式(9.11)可知，零输入响应()t u C 是随时间按指 数规律衰减的，为非振荡性质。
()t u C 的波形如图9. 17所示。
（2）.当()LC L R /12/2=时， 1p 、2p 为相等的负实根， 称为临界阻尼情况。
特征根为a p p -==21微分方程的通解为()()at C e t A A t u -+=21其中常数1A 、2A 由初始条件()+0C u 和()+'0C u 来确定。
第七章 二阶电路
ω0 = ωd =
ω 02 − α
称为衰减谐振角频率
uC ( t ) = e −αt [ K 1 cos( ωd t ) + K 2 sin( ωd t )] = Ke −αt cos( ωd t + ϕ )
8
能量转换 0<ωt<β uC(t)减小，i (t)增大 减小， 减小 增大
C + R L C
β< ωt < π-β β
π-β < ωt < π β
增大， 增大 uC(t)减小，i (t)减小 |uC |增大，i 减小 减小， 减小 减小
+ R L C + R L
U0 uC 0
β
i
ω0 U 0 e −δ t ω
π π+β β 2π-β πβ 2π π
π-β β
ωt
−
ω0 U 0 e −δ t ω
s平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。 平面上负实轴上，响应按指数规律衰减。
3.在欠阻尼情况， 是共轭复数， 3.在欠阻尼情况，s1和s2是共轭复数，固有频率出现在s平面 情况 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡， 上的左半平面上，响应是振幅随时间衰减的正弦振荡，其振幅 随时间按指数规律衰减， 越大，衰减越快。 随时间按指数规律衰减，衰减系数 α 越大，衰减越快。衰减 振荡的角频率ω 越大，振荡周期越小，振荡越快。 振荡的角频率ωd 越大，振荡周期越小，振荡越快。 图中按Ke- 画出的虚线称为包络线， 图中按Ke-αt画出的虚线称为包络线，它限定了振幅的变化范 Ke 围。
11
是共轭虚数， 4.在无阻尼情况， 4.在无阻尼情况，s1和s2是共轭虚数，固有频率出现在s 情况 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减， 平面上的虚轴上，衰减系数为零，振幅不再衰减，形成角 频率为ω 的等幅振荡。 频率为ω0的等幅振荡。 显然，当固有频率的实部为正时，响应的振幅将随时间 显然，当固有频率的实部为正时， 增加，电路是不稳定的。由此可知， 增加，电路是不稳定的。由此可知，当一个电路的全部固 平面上的左半平面上时，电路是稳定的。 有频率均处于s平面上的左半平面上时，电路是稳定的。
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Is
(二阶常系数线性齐次微分方程)
u R
C
du dt
i
Is
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
Is
P2 1 P 1 0
RC
LC
(特征方程)
11
1
特征根:
P1,2
2RC
( 1 )2 1 （自然频率、固有频率） 2RC LC
1、单根：(过阻尼) 即 R 1 L
i
0
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1 LC
i
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
P2 1 P 1 0
RC
LC
(特征方程)
7
特征根:
P1,2
1 2RC
( 1 )2 1
2RC
LC
1、单根：(过阻尼) 即 R 1 L
2C
i Ae p1t B p2t
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt
3、共轭复根：(欠阻尼) 即
R1 2
L C
i Aet cos(dt )
（自然频率、固有频率）
1
2 RC
d 02 2
0
1 LC
8
二、零状态响应 t>0 ,由KCL,有
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1i LC
Is
(二阶常系数线性齐次微分方程)
u R
2C
i Ae p1t B p2t I s
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Aet cos(d t ) I s
1
2RC
d 02 2
0
1 LC
12
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt ) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
R2 L C
uc ( A Bt )pt
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L
C
uc Aet cos(dt )
（自然频率、固有频率）
R
2L
d 02 2
0
1 LC
2
14-2 RLC串联电路零状态响应
t<0 , K在2,电路稳定，有 uc (0 ) 0 i(0 ) 0
t0 , K在1，由KVL,有
2、重根：(临界阻尼) 即 R 1 L
2C
i ( A Bt ) pt I s
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 1 L 2C
i Aet cos(d t ) I s
1
2RC
d 02 2
0
1 LC
10
三、全响应 t>0 ,由KCL,有
d 2i dt 2
1 RC
di dt
1i LC
0
1 LC
4
14-3 RLC串联电路全响应
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
t<0 , K在2,有 uc (0 ) U0
i(0 ) I0 t0 , K在1，由KVL, 有
iR L di dt
uc
Us
又
i C duc
dt
可得
RC
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
0
P2 R P 1 0 L LC
uc (0 ) U s
duc (0 ) 0 dt
(特征方程)
1
特征根:
P1,2
R 2L
( R )2 1
2L
LC
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Aep1t B p2t
2、重根：(临界阻尼) 即
第十四章 二阶电路
14-1 RLC串联电路零输入响应
t<0 , K在1,电路稳定，有 uc (0 ) U s i(0 ) 0
t 0 , K在2，由KVL,有
iR
L di dt
uc
0
又 可得
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
0
(二阶常系数线性齐次微分方程)
i C duc dt
C
du dt
i
Is
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
i
Is
P2 1 P 1 0
RC
LC
(特征方程)
9
特征根:
1
P1,2
2RC
( 1 )2 1 （自然频率、固有频率） 2RC LC
1、单根：(过阻尼) 即 R 1 L
2C
i Ae p1t B p2t I s
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0
L
LC
(特征方程)
5
特征根:
P1, 2
R 2L
±
( R )2 2L
1 LC
（自然频率、固有频率）
1、单根：(过阻尼) 即 R 2 L
C
uc Ae p1t B p2t Us
2、重根：(临界阻尼) 即 R 2 L
C
uc ( A Bt ) pt Us
3、共轭复根：(欠阻尼) 即 R 2 L C
uc Aet cos(dt ) Us
R 2L
d 02 2
0
1 LC
演示实例
6
14-4 RLC并联电路分析
一、零输入响应
t>0 ,由KCL,有
u C du i 0 R dt
又 u L di dt
可得
L R
di dt
LC
d 2i dt 2
iR
L di dt
uc
Us
又 i C duc
dt
d 2uc dt 2
R L
duc dt
1 LC
uc
1 LC
U
s
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
可得
RC
duc dt
LC
d 2uc dt 2
uc
Us
P2 R P 1 0 L LC
(特征方程)
3
特征根:
P1, 2
R 2L
±
( R )2 2L