2019秋高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法课件新人教A版选修4_5
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高中数学第二章证明不等式的基本方法2.1比较法课件新人教A版选修4_5
因为 cos2������
cos������-sin������
=
cos2������-sin2������ cos������-sin������
=cos θ+sin θ=
2sin
������
+
π 4
,
又 θ∈
0,
π 4
,所以 θ+π4 ∈
π 4
,
π 2
.
所以
sin
������
+
π 4
∈
2 2
,1
,
所以
2sin
������
+
π 4
∈(1,
2),
即cocso������s-2si������n������>1,故 cos 2θ>cos θ-sin θ.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟作商比较法证明不等式的一般步骤 1.作商,将不等式左右两边的式子进行作商. 2.变形,化简商式到最简形式. 3.判断,判断商与1的大小关系. 4.得出结论. 注意:不能忽视判断左右两边的式子的符号.
1
2
3
4
证明： ������
������+1
−
������+������ ������+������+1
=
������(������+������+1)-(������+1)(������+������) (������+1)(������+������+1)
=(������+1)(-������������+������+1),
5.3 证明不等式的基本方法 课件(人教A版选修4-5)
第二讲证明不等式的基本方法(一)
引入
思考一
方法综合
课堂练习
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
第二讲证明不等式的基本方法(一)
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知 道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、 基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解 集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面， 我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法. 思考一： 已知 a , b 是正数，且 a b ，求证： a 3 b3 a 2b ab2
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
∴a b aa b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
∴ a 3 ab2 b3 ba 2 2a 2b 2ab2 ,∴ a 3 b3 a 2b ab2
引入
思考一
方法综合
课堂练习
作业:课本 P 习题 2.2 第 1、2、3 题. 26
第二讲证明不等式的基本方法(一)
前面已经学习了一些证明不等式的方法，我们知 道，关于数的大小的基本事实、不等式的基本性质、 基本不等式以及绝对值不等式 x ≤ a 和 x ≥ a 的解 集的规律等，都可以作为证明不等式的依据.下面， 我们来进一步学习体会证明不等式的基本方法. 思考一： 已知 a , b 是正数，且 a b ，求证： a 3 b3 a 2b ab2
课外练习: 1.若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x 2 )2 . 2.非负实数 x1、x2，且 x1+x2≤1， 求证： 1 x1 1 x2 ≥ 1 x1 x2 1 3.已知 a , b 是不相等正数,且 a3 b3 a2 b2 ,
∴a b aa b ,∴ a b 0 , (a b)2 >0
∴ (a3 b3 ) (a2b ab2 ) >0,∴ a 3 b3 a 2b ab2
注：比较法是证明不等式的基本方法，也是 最重要的方法,另外， 有时还可作商比较(如课本 第 22 页例 3).
= (a b)(lg a lg b) ∵ a b 与 lg a lg b 同号，∴ (a b)(lg a lg b) >0
(a lg a b lg b) (b lg a a lg b) 0 a lg a b lg b b lg a a lg b,
∴ a 3 ab2 b3 ba 2 2a 2b 2ab2 ,∴ a 3 b3 a 2b ab2
高中数学 第二讲：证明不等式的基本方法课件 新人教A版选修4
只要证 a2 ab b2 ab ,只要证 a2 2ab b2 0 . ∵ a b 0,∴ (a b)2 0 即 a2 2ab b2 0 得证.
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
y
x
2
第十二页，编辑于星期五：十点 三十九分。
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有 一个不小于 1 .
2
分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ， 2
观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤| f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | < 1 +2× 1 + 1 =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。
A2. ab2 B.ab C.2ab D .2ab
5.设 Pa2b25,Q 2a ba24a,若 PQ ,则实 a,b
满足的 _ ab _ 1条 或 _a_ b 件 _ 2 _为 __
6.若0ab1,Plo1ga2b,Q12(lo1galo1gb),
2
2
2
Mlo1g(ab),则P,Q,M的大小关 Q_>_系 P_>M_是 ______
( 2 ) 在分式中放大或缩小分
子或分母 ;
( 3 ) 应用基本不等式进行放
注：分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不 明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径. 另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这 样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通! （如课本第 24 页例 3）
y
x
2
第十二页，编辑于星期五：十点 三十九分。
已知 f ( x) x2 px q ，求证：| f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中至少有 一个不小于 1 .
2
分析：设 | f (1) |,| f (2) |,| f (3) | 中没有一个大于或等于 1 ， 2
观察： f (1) 1 p q, f (2) 4 2 p q, f (3) 9 3 p q 得： f (1) 2 f (2) f (3) 2 所以 2= | f (1) 2 f (2) f (3) | ≤| f (1) | 2 | f (2) | | f (3) | < 1 +2× 1 + 1 =2 这是不可能的，矛盾表明原结论成立。
A2. ab2 B.ab C.2ab D .2ab
5.设 Pa2b25,Q 2a ba24a,若 PQ ,则实 a,b
满足的 _ ab _ 1条 或 _a_ b 件 _ 2 _为 __
6.若0ab1,Plo1ga2b,Q12(lo1galo1gb),
2
2
2
Mlo1g(ab),则P,Q,M的大小关 Q_>_系 P_>M_是 ______
( 2 ) 在分式中放大或缩小分
子或分母 ;
( 3 ) 应用基本不等式进行放
2019_2020学年高中数学第2讲证明不等式的基本方法章末复习课课件新人教A版选修4_5
∵a，b，c 为三角形的三条边，于是 a＋b>c，
∴
c 1＋c
<
a＋b 1＋a＋b
＝
a 1＋a＋b
＋
b 1＋a＋b
<
a 1＋a
＋
b 1＋b
，
即
c 1＋c
<1＋a a＋1＋b b，
同理1＋b b<1＋a a＋1＋c c，1＋a a<1＋b b＋1＋c c，
∴以1＋a a，1＋b b，1＋c c为边可以构成一个三角形．
【例 2】 已知实数 x，y，z 不全为零，求证： x2＋xy＋y2＋ y2＋yz＋z2＋ z2＋zx＋x2＞32(x＋y＋z)．
[自主解答] 因为 x2＋xy＋y2＝
x＋2y2＋34y2
≥
x＋2y2＝x＋2y≥x＋2y，
同理可证： y2＋yz＋z2≥y＋2z， x2＋xz＋z2≥z＋2x.
[自主解答] 设 a，b，c 都不大于 0， 则 a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0， 由题设知，a＋b＋c ＝x2－2y＋2π＋y2－2z＋π3＋z2－2x＋π6 ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， ∴a＋b＋c＞0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
综合法、分析法证明不等式
分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综 合法是“由因导果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立 统一的两种方法，一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往 往不易入手．因此通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证 明，所以分析法和综合法可结合使用．
令 t＝da，则 1＝(1－t)(1＋t)3， 且(1＋t)6＝(1＋2t)4－12＜t＜1，t≠0， 化简得 t3＋2t2－2＝0(*)，且 t2＝t＋1. 将 t2＝t＋1 代入(*)式，得 t(t＋1)＋2(t＋1)－2＝t2＋3t＝t＋1＋3t ＝4t＋1＝0，则 t＝－14. 显然 t＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立，因此不 存在 a1，d，使得 a1，a22，a33，a44依次构成等比数列．
证明不等式的基本方法知识归纳课件人教A选修
教学ppt
1
考情分析
从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查 比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要 涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中 档题．
教学ppt
2
在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适 的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间 的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至 少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必 要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法 等技巧简化对问题的表述和证明．
以 h′(x)<0.
因此 h(x)在(1,3)内是递减函数，又由 h(1)＝0，得 h(x)<0.
于是当 1<x<3 时，f(x)<9xx＋－51. 教学ppt
7
法二：记 h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，
则当 1<x<3 时，
由(1)得 h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9
<32(x－1)＋(x＋5)(1x＋21 x)－9
不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出
所要证明的不等式成立．
综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑
推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点
的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用
时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等
号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等
式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．
教学ppt
13
[例2] 已知a，b，c为△ABC的三条边，求证： a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)
[证明] 设 a，b 两边的夹角为 θ，则由余弦定理： cos θ＝a2＋2ba2b－c2 ∵因为 0<θ<π， ∴cos θ<1. ∴a2＋2ba2b－c2<1.
1
考情分析
从近两年的高考试题来看，不等式的证明主要考查 比较法与综合法，而比较法多用作差比较，综合法主要 涉及基本不等式与不等式的性质，题目难度不大，属中 档题．
教学ppt
2
在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适 的方法与技巧进行证明．如果已知条件与待证结论之间 的联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至 少”“至多”“恒成立”等方式给出，可考虑用反证法．在必 要的情况下，可能还需要使用换元法、放缩法、构造法 等技巧简化对问题的表述和证明．
以 h′(x)<0.
因此 h(x)在(1,3)内是递减函数，又由 h(1)＝0，得 h(x)<0.
于是当 1<x<3 时，f(x)<9xx＋－51. 教学ppt
7
法二：记 h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，
则当 1<x<3 时，
由(1)得 h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9
<32(x－1)＋(x＋5)(1x＋21 x)－9
不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导出
所要证明的不等式成立．
综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑
推证的基本理论．证明时要注意的是：作为依据和出发点
的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用
时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等
号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等
式中“当且仅当……时，取等号”的理由要理解掌握．
教学ppt
13
[例2] 已知a，b，c为△ABC的三条边，求证： a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)
[证明] 设 a，b 两边的夹角为 θ，则由余弦定理： cos θ＝a2＋2ba2b－c2 ∵因为 0<θ<π， ∴cos θ<1. ∴a2＋2ba2b－c2<1.
高考数学总复习 第2讲 证明不等式的基本方法课件 理 新人教A版选修45
第2讲 证明不等式的基本方法
第一页，共45页。
不同寻常的一本书，不可不读哟！
第二页，共45页。
1.了解证明不等式的基本方法(fāngfǎ)：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定 函数的极值.
第三页，共45页。
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用， 以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述(xùshù)、表达整个 证明过程．
第三十页，共45页。
证法二 (分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0， 即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0， 也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(*) ∵a≥b>0，∴a－b≥0. 又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0. (*)式显然(xiǎnrán)成立，故原不等式成立.
所以a2＋b2＋c2≥3(abc)23，
①
1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，
②
所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)－23.
故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
第二十六页，共45页。
又3(abc)23＋9(abc)－23≥2 27＝6 3，
③
所以原不等式成立．
a·1a＋
2b·
1＋ 2b
3c·13c)2＝9.所以不等式得证．
第三十四页，共45页。
柯西不等式的一般结构为(a12＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋… ＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在使用柯西不等式时，关键 是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式 子，为方便使用柯西不等式，有时常将 a 变形为 1×a 的形 式．
第一页，共45页。
不同寻常的一本书，不可不读哟！
第二页，共45页。
1.了解证明不等式的基本方法(fāngfǎ)：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定 函数的极值.
第三页，共45页。
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用， 以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述(xùshù)、表达整个 证明过程．
第三十页，共45页。
证法二 (分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0， 即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0， 也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(*) ∵a≥b>0，∴a－b≥0. 又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0. (*)式显然(xiǎnrán)成立，故原不等式成立.
所以a2＋b2＋c2≥3(abc)23，
①
1a＋1b＋1c≥3(abc)－13，
②
所以1a＋1b＋1c2≥9(abc)－23.
故a2＋b2＋c2＋1a＋1b＋1c2≥3(abc)23＋9(abc)－23.
第二十六页，共45页。
又3(abc)23＋9(abc)－23≥2 27＝6 3，
③
所以原不等式成立．
a·1a＋
2b·
1＋ 2b
3c·13c)2＝9.所以不等式得证．
第三十四页，共45页。
柯西不等式的一般结构为(a12＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋… ＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在使用柯西不等式时，关键 是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式 子，为方便使用柯西不等式，有时常将 a 变形为 1×a 的形 式．
第二讲 证明不等式的基本方法 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
b 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 ＝(ax ＋by －2xy)＋(by ＋ c z －2yz)＋( c z ＋a x －2zx) ＝( x)2≥0. b＋c 2 c＋a 2 a＋b 2 ∴ a x ＋ b y ＋ c z ≥2(xy＋yz＋zx)成立. b a x－ a 2 b y) ＋( c b y－ b 2 c z) ＋( a c z－ c a
a＋b c a b ∴ ＜ ＝ ＋ 1＋c 1＋a＋b 1＋a＋b 1＋a＋b a b ＜ ＋ ， 1＋a 1＋b c a b 即 ＜ ＋ ， 1＋c 1＋a 1＋b b a c 同理： ＜ ＋ ， 1＋b 1＋a 1＋c a b c ＜ ＋ . 1＋a 1＋b 1＋c a b c ∴以 ， ， 为边可以构成一个三角形． 1＋a 1＋b 1＋c
－2，分别代入 A、B、C、D 中，知 A、B、D 均错． 答案：C
二、填空题
5．设α、β为锐角，且M＝sin(α＋β)，N＝sinα＋ sinβ，则M、N的大小关系是________． 解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ<sinα＋sinβ. 答案：M<N
a＋b a b 6．设 a＞0，b＞0，M＝ ，N＝ ＋ ，则 M 与 N a＋b＋2 a＋2 b＋2 的大小关系是________．
[例 2]
设 f(x)＝3ax2＋2bx＋c， a＋b＋c＝0， f(1) 若 f(0)·
＞0，求证： (1)方程 f(x)＝0 有实根； b (2)－2＜a＜－1； (3)设 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 3 2 则 ≤|x1－x2|＜ . 3 3
[证明]
(1)当 a＝0，b＝－c，
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知 的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导 出所要证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻
a＋b c a b ∴ ＜ ＝ ＋ 1＋c 1＋a＋b 1＋a＋b 1＋a＋b a b ＜ ＋ ， 1＋a 1＋b c a b 即 ＜ ＋ ， 1＋c 1＋a 1＋b b a c 同理： ＜ ＋ ， 1＋b 1＋a 1＋c a b c ＜ ＋ . 1＋a 1＋b 1＋c a b c ∴以 ， ， 为边可以构成一个三角形． 1＋a 1＋b 1＋c
－2，分别代入 A、B、C、D 中，知 A、B、D 均错． 答案：C
二、填空题
5．设α、β为锐角，且M＝sin(α＋β)，N＝sinα＋ sinβ，则M、N的大小关系是________． 解析：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ<sinα＋sinβ. 答案：M<N
a＋b a b 6．设 a＞0，b＞0，M＝ ，N＝ ＋ ，则 M 与 N a＋b＋2 a＋2 b＋2 的大小关系是________．
[例 2]
设 f(x)＝3ax2＋2bx＋c， a＋b＋c＝0， f(1) 若 f(0)·
＞0，求证： (1)方程 f(x)＝0 有实根； b (2)－2＜a＜－1； (3)设 x1，x2 是方程 f(x)＝0 的两个实根， 3 2 则 ≤|x1－x2|＜ . 3 3
[证明]
(1)当 a＝0，b＝－c，
综合法证明不等式的思维方向是“顺推”，即由已知 的不等式出发，逐步推出其必要条件(由因导果)，最后推导 出所要证明的不等式成立． 综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻
人教版高中数学选修4-5课件：2.1比较法
第二讲 证明不等式的基本方法 一比较法
【自主预习】 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两 种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明
a<b,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作 a-b<0
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式 的变形不彻底而引起的.
【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,,所以b-a=a2-a+1= (a 1)2 3＞0.
所以b>a,故c≥b>a.
24
ab
ab 2 .
2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=
a 2a b2bc2c a b bc cacab
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉 刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间 颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分 别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的 总费用(单位:元)是( )
类型二 作商比较法
【自主预习】 比较法的定义 比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两 种.
(1)作差比较法:要证明a>b,只要证明_a_-_b_>_0_;要证明
a<b,只要证明______.这种证明不等式的方法,叫做作 a-b<0
差比较法.
(2)作商比较法:若a>0,b>0,要证明a>b,只要证明
【失误案例】
分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案. 提示:错误的根本原因是应用不等式的性质,或对差式 的变形不彻底而引起的.
【解析】由②c-b=(a-2)2≥0,,所以b-a=a2-a+1= (a 1)2 3＞0.
所以b>a,故c≥b>a.
24
ab
ab 2 .
2.将典例中的条件改为“a>b>c>0”,求证:
a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.
【证明】由a>b>c>0,得ab+cbc+aca+b>0,a2ab2bc2c>0.
所证不等式左边除以右边,得
=aa-baa-cbb-cbb-acc-acc-b=
a 2a b2bc2c a b bc cacab
【变式训练】1.(2015·浙江高考)有三个房间需要粉 刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间 颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分 别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费用(单位: 元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的 总费用(单位:元)是( )
类型二 作商比较法
高中数学 第二讲 证明不等式的基本方法复习课件 新人
难点突破
题型二、综合法、分析法证明不等式
分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导 果”逐步推导出不等式成立的必要条件，两者是对立统一的两种方法，一般来 说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手．因此通常用分析法探 索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用．
第二讲证明不等式的基本方法复习
学习目标
掌握不等式证明的基本方法——直接法和间接法
知识梳理
①作差法 ②综合法 ③执果索因 ④放缩法 ⑤间接证明
难点突破
题型一、比较法证明不等式
比较法证明不等式的依据是：不等式的意义及实数大小与运算的关系．其 主要步骤是：作差——恒等变形——判断差值的符号——结论．其中， 变形是证明推理中的关键，变形的目的在于判断差的符号．
只要证明lg
1 a·lg
b≥4.(*)
难点突破
由 a＞1，b＞1，故 lg a＞0，lg b＞0，
所以 0＜lg a·lg
b≤lg
a＋lg 2
b2＝122＝14，
即(*)式成立．所以，原不等式 logac＋logbc≥4lg c 得证.
难点突破
题型三、反证法证明不等式
本课小结
比较法证明不等式 综合法、分析法证明不等式 反证法证明不等式
随堂检测
1．若实数 a，b 满足1a＋2b＝ ab，则 ab 的最小值为( C )
A. 2
B．2
C．2 2
D.4
【解析】 由a1＋b2＝ ab知 a>0，b>0，所以 ab＝1a＋2b≥2 a2b，即 ab≥2 2，
1a＝2b， 当且仅当1a＋2b＝ ab，
即 a＝4 2，b＝24 2时取“＝”，所以 ab 的最小值为 2 2.
高中数学 第2讲 证明不等式的基本方法 第2课时 综合法课件 新人教A版选修4
【例 1】 已知 a>0，a>0,c>0 且互不相等，求证：bac＋cba
＋acb＞a＋b＋C．
【解题探究】 不等式中 a，b，c 为对称的且两边都是和 式，所以从基本不等式入手，再根据不等式的可加性导出证明 的结论．
【解析】因为 a>0，a>0,c>0 且互不相等，
所以bac＋cba＞2 bac·cba＝2C．
【答案】a2＋b2 【解析】取 a＝13，b＝23，则 a2＋b2＝59，2ab＝49， 因为 0＜a＜b，所以 a2＋b2＞a2＋ab＝a(a＋b)＝a， a2＋b2＞2ab，a2＋b2＞a＋2b2＝12.所以最大的是 a2＋b2.
4．已知 a>0，a>0,c>0 且 a＋b＋c＝1，求a＋1a＋b＋1b＋
【解题探究】 要证不等式左边是积的结构，且条件是和 x＋y＋z 为定值 1，所以可通过基本不等式将和转化为积．
【解析】∵x＋y＋z＝1， ∴(1－x)(1－y)(1－z)＝(y＋z)(z＋x)(x＋y)． 又∵x>0，y>0,z>0,∴(y＋z)(z＋x)(x＋y)≤y＋z＋z＋3 x＋x＋y3 ＝[2x＋2y7＋z]3＝287， 当且仅当 x＝y＝z＝13时取等号． 故(1－x)(－ab－ac－bc ＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc) ＝12[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]≥0， 则 a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当 a＝b＝c 取得等号)．
和式与积式的转化
【例 2】 若 x>0，y>0,z>0 且 x＋y＋z＝1，求证：(1－x)(1 －y)(1－z)≤287.
b＋12≤2.
∴a＋b≥2 ab，即 ab≤14，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
＋acb＞a＋b＋C．
【解题探究】 不等式中 a，b，c 为对称的且两边都是和 式，所以从基本不等式入手，再根据不等式的可加性导出证明 的结论．
【解析】因为 a>0，a>0,c>0 且互不相等，
所以bac＋cba＞2 bac·cba＝2C．
【答案】a2＋b2 【解析】取 a＝13，b＝23，则 a2＋b2＝59，2ab＝49， 因为 0＜a＜b，所以 a2＋b2＞a2＋ab＝a(a＋b)＝a， a2＋b2＞2ab，a2＋b2＞a＋2b2＝12.所以最大的是 a2＋b2.
4．已知 a>0，a>0,c>0 且 a＋b＋c＝1，求a＋1a＋b＋1b＋
【解题探究】 要证不等式左边是积的结构，且条件是和 x＋y＋z 为定值 1，所以可通过基本不等式将和转化为积．
【解析】∵x＋y＋z＝1， ∴(1－x)(1－y)(1－z)＝(y＋z)(z＋x)(x＋y)． 又∵x>0，y>0,z>0,∴(y＋z)(z＋x)(x＋y)≤y＋z＋z＋3 x＋x＋y3 ＝[2x＋2y7＋z]3＝287， 当且仅当 x＝y＝z＝13时取等号． 故(1－x)(－ab－ac－bc ＝12(2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc) ＝12[(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2]≥0， 则 a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc(当且仅当 a＝b＝c 取得等号)．
和式与积式的转化
【例 2】 若 x>0，y>0,z>0 且 x＋y＋z＝1，求证：(1－x)(1 －y)(1－z)≤287.
b＋12≤2.
∴a＋b≥2 ab，即 ab≤14，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
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解：设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二 人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，
依题意有：t21m＋t21n＝s，2sm＋2sn＝t2.
所以t1＝m2＋s n，t2＝s（m2m＋nn），
所以t1－t2＝
2s m＋n
－
s（m＋n） 2mn
＝
s[42mmnn－（（mm＋＋nn））2]＝－2ms（n（m－m＋n）n）2 . 其中s，m，n都是正数，且m≠n，
2．作商比较法
(1)理论依据：当b＞0时，a＞b⇔
a b
＞1；a＜b⇔
a b
＜
1；a＝b⇔ab＝1.
(2)定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明
a b
＞1，
这种方法称为作商比较法．
温馨提示 使用作商比较法证明不等式a＞b时，一
定要注意b＞0这个前提条件．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
＝(b－a)(c－a)(c－b)， 因为a>b>c，所以b－a<0，c－a<0，c－b<0. 所以(b－a)(c－a)(c－b)<0. 所以bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
类型2 作商比较法证明不等式(自主研析)
a＋b
[典例2] 已知a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab) 2 .
所以t1－t2＜0，即t1＜t2， 从而知甲比乙先到达指定地点．
归纳升华 1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量 关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建 立数学模型是解应用题的关键． 2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数 的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以 判断．
[变式训练] 求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)． (2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. 证明：(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， 所以a2＋b2≥2(a－b－1)． (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)
所以c>b.所以c>b>a.
答案：c
类型1 用作差比较法证明不等式 [典例1] 已知a，b是互不相等的正数，n＞1，求证： an＋bn＞an－1b＋abn－1. 证明：(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)． 因为a，b∈(0，＋∞)，n＞1，n－1＞0，a≠b， 所以当a＞b时，an－1＞bn－1， 所以a－b＞0，an－1－bn－1＞0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.
Q P
＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋
1≥1.故Q≥P.
当且仅当a＝0时取等号．
答案：D
4.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则
() A．ω＞u
B．ω＜u
C．ω≥u
D．无法确定
解析：因为ω－u＝x2－xy＋y2＝
x－2y
2
＋
3y2 4
≥0，
所以ω≥u.
答案：C
5．已知0<x<1，a＝2
x
，b＝1＋x，c＝
1 1－x
，则其
中最大的是________．
解析：因为0<x<1，所以a>0，b>0，c>0.
又a2－b2＝(2 x)2－(1＋x)2＝－(1－x)2<0，
所以a2－b2<0.所以a<b.
又c－b＝1－1 x－(1＋x)＝1－x2x>0，
不成立．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．设a≠b，则a2＋3b2和2b(a＋b)的大小关系是
() A．a2＋3b2＞2b(a＋b) B．a2＋3b2≥2b(a＋b) C．a2＋3b2＜2b(a＋b) D．a2＋3b2≤2b(a＋b) 解析：(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－
[变式训练] 已知a≥1，利用作商比较法，求证：
a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 证明：右边＝
aa－＋1－a－a1＝
aa＋＋1＋a－a1＜1，
又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0.
所以原不等式成立．
类型 3 比较法的实际应用
[典例 3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一 地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速 度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
当a＜b时，an－1＜bn－1， 所以a－b＜0，an－1－bn－1＜0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即an＋bn＞an－1b＋abn－1. 因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.
归纳升华 1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分 解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 2．作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过 通分、有理化、配方、分解因式将差式变形为一个常 数、几个因式的积或一个分式等．以便与0比较大小．
a＋b
所以aabb≥(ab) 2 .
归纳升华 使用作商比较法证明不等式a＞b时，一定要注意b＞ 0这个前提条件，其一般的证明步骤为：(1)作商：将不 等式左右两边的式子进行作商．(2)变形：化简商式到最 简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断 商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论．
b)2， 因为a≠b， 所以(a－b)2＞0， 所以a2＋3b2＞2b(a＋b)． 答案：A
3．已知P＝
1 a2＋a＋1
，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的
大小关系是( )
A．P>0
B．P<Q
C．P≥Q
D．P≤Q
解析：P＝a2＋1a＋1＝a＋1212＋34>0，
Q＝a2－a＋1＝a－122＋34>0，
解析：对于(1)，当b＞0时，a＞b，两边同除以b，
所以
a b
＞1，所以(1)正确；对于(2)，当b＞0时，a＜b，两
边同除以b，所以
a b
＜1，所以(2)正确；对于(3)，当a＞
0，b＞0时，
a b
＞1，两边同乘以b，所以a＞b，所以(3)正
确；对于(4)，当a＞0，b＞0时成立，当a＜0，b＜0时，
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜． 当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租 车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元， 则P(x)＝10＋1.2x，Q(x)＝8＋1.4x， 因为P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)， 所以当x>10时，P(x)<Q(x)，此时选择起步价为10元的 出租车较为合适． 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较 为合适． 当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．
第二讲 证明不等式的基本方法
2．1 比较法
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
1．作差比较法 要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符 号： a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0.
[变式训练] 某人乘出租车从A地到B地，有两种方 案．第一种方案：乘起步价为10元，每千米1.2元的出租 车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租 车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租 车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种 方案比较合适？
解：设从A地到B地的距离为m千米，起步价内行驶 的路程为a千米．
1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方 法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a＞b⇔ a－b＞0)，还有作商比较法 即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.
作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变 形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式 的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形 式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不 等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是： 作商、变形、判断商值与 1 的大小，适用于两边都是正值 的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值 与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点．
解：
aabb a＋b＝aa－2 b·bb－2 Βιβλιοθήκη ＝aba－2 b.（ab） 2
当a＝b时，aba－2 b＝1； 当a>b时，ab>1，a－2 b>0， 由指数函数的性质知aba－2 b＞1，
当a<b时，0<ab<1，a－2 b<0，
由指数函数的性质知aba－2 b>1.
依题意有：t21m＋t21n＝s，2sm＋2sn＝t2.
所以t1＝m2＋s n，t2＝s（m2m＋nn），
所以t1－t2＝
2s m＋n
－
s（m＋n） 2mn
＝
s[42mmnn－（（mm＋＋nn））2]＝－2ms（n（m－m＋n）n）2 . 其中s，m，n都是正数，且m≠n，
2．作商比较法
(1)理论依据：当b＞0时，a＞b⇔
a b
＞1；a＜b⇔
a b
＜
1；a＝b⇔ab＝1.
(2)定义：证明a＞b(b＞0)，只要转化为证明
a b
＞1，
这种方法称为作商比较法．
温馨提示 使用作商比较法证明不等式a＞b时，一
定要注意b＞0这个前提条件．
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)当b＞0时，a＞b⇔ab＞1.( ) (2)当b＞0时，a＜b⇔ab＜1.( ) (3)当a＞0，b＞0时，ab＞1⇔a＞b.( ) (4)当 ab＞0 时，ab＞1⇔a＞b.( )
＝(b－a)(c－a)(c－b)， 因为a>b>c，所以b－a<0，c－a<0，c－b<0. 所以(b－a)(c－a)(c－b)<0. 所以bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.
类型2 作商比较法证明不等式(自主研析)
a＋b
[典例2] 已知a，b∈R＋，求证：aabb≥(ab) 2 .
所以t1－t2＜0，即t1＜t2， 从而知甲比乙先到达指定地点．
归纳升华 1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量 关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建 立数学模型是解应用题的关键． 2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数 的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以 判断．
[变式训练] 求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)． (2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b. 证明：(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0， 所以a2＋b2≥2(a－b－1)． (2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)
所以c>b.所以c>b>a.
答案：c
类型1 用作差比较法证明不等式 [典例1] 已知a，b是互不相等的正数，n＞1，求证： an＋bn＞an－1b＋abn－1. 证明：(an＋bn)－(an－1b＋abn－1)＝(a－b)(an－1－bn－1)． 因为a，b∈(0，＋∞)，n＞1，n－1＞0，a≠b， 所以当a＞b时，an－1＞bn－1， 所以a－b＞0，an－1－bn－1＞0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0，即an＋bn＞an－1b＋abn－1.
Q P
＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝(a2)2＋a2＋
1≥1.故Q≥P.
当且仅当a＝0时取等号．
答案：D
4.若x，y∈R，记ω＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则
() A．ω＞u
B．ω＜u
C．ω≥u
D．无法确定
解析：因为ω－u＝x2－xy＋y2＝
x－2y
2
＋
3y2 4
≥0，
所以ω≥u.
答案：C
5．已知0<x<1，a＝2
x
，b＝1＋x，c＝
1 1－x
，则其
中最大的是________．
解析：因为0<x<1，所以a>0，b>0，c>0.
又a2－b2＝(2 x)2－(1＋x)2＝－(1－x)2<0，
所以a2－b2<0.所以a<b.
又c－b＝1－1 x－(1＋x)＝1－x2x>0，
不成立．
答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．设a≠b，则a2＋3b2和2b(a＋b)的大小关系是
() A．a2＋3b2＞2b(a＋b) B．a2＋3b2≥2b(a＋b) C．a2＋3b2＜2b(a＋b) D．a2＋3b2≤2b(a＋b) 解析：(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－
[变式训练] 已知a≥1，利用作商比较法，求证：
a＋1－ a＜ a－ a－1.
左边 证明：右边＝
aa－＋1－a－a1＝
aa＋＋1＋a－a1＜1，
又 a＋1－ a＞0， a－ a－1＞0.
所以原不等式成立．
类型 3 比较法的实际应用
[典例 3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一 地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速 度 n 行走．如果 m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？
当a＜b时，an－1＜bn－1， 所以a－b＜0，an－1－bn－1＜0， 所以(a－b)(an－1－bn－1)＞0， 即an＋bn＞an－1b＋abn－1. 因此总有an＋bn＞an－1b＋abn－1.
归纳升华 1．作差比较法的一般步骤为：作差→变形(因式分 解或配方)→判断符号→下结论，有时需要分类讨论． 2．作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过 通分、有理化、配方、分解因式将差式变形为一个常 数、几个因式的积或一个分式等．以便与0比较大小．
a＋b
所以aabb≥(ab) 2 .
归纳升华 使用作商比较法证明不等式a＞b时，一定要注意b＞ 0这个前提条件，其一般的证明步骤为：(1)作商：将不 等式左右两边的式子进行作商．(2)变形：化简商式到最 简形式．(3)判断：判断商与1的大小关系，也就是判断 商大于1或小于1或等于1.(4)得出结论．
b)2， 因为a≠b， 所以(a－b)2＞0， 所以a2＋3b2＞2b(a＋b)． 答案：A
3．已知P＝
1 a2＋a＋1
，Q＝a2－a＋1，那么P，Q的
大小关系是( )
A．P>0
B．P<Q
C．P≥Q
D．P≤Q
解析：P＝a2＋1a＋1＝a＋1212＋34>0，
Q＝a2－a＋1＝a－122＋34>0，
解析：对于(1)，当b＞0时，a＞b，两边同除以b，
所以
a b
＞1，所以(1)正确；对于(2)，当b＞0时，a＜b，两
边同除以b，所以
a b
＜1，所以(2)正确；对于(3)，当a＞
0，b＞0时，
a b
＞1，两边同乘以b，所以a＞b，所以(3)正
确；对于(4)，当a＞0，b＞0时成立，当a＜0，b＜0时，
显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜． 当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租 车费用为P(x)元，乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元， 则P(x)＝10＋1.2x，Q(x)＝8＋1.4x， 因为P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)， 所以当x>10时，P(x)<Q(x)，此时选择起步价为10元的 出租车较为合适． 当x<10时，P(x)>Q(x)，此时选起步价为8元的出租车较 为合适． 当x＝10时，P(x)＝Q(x)，两种出租车任选，费用相同．
第二讲 证明不等式的基本方法
2．1 比较法
[学习目标] 1.理解用比较法证明不等式的一般方法 与步骤(重点)． 2.了解比较法分为作差比较法、作商比 较法． 3.会用比较法证明具体的不等式(重点、难点)．
1．作差比较法 要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符 号： a＞b⇔a－b＞0； a＝b⇔a－b＝0； a＜b⇔a－b＜0.
[变式训练] 某人乘出租车从A地到B地，有两种方 案．第一种方案：乘起步价为10元，每千米1.2元的出租 车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租 车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租 车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种 方案比较合适？
解：设从A地到B地的距离为m千米，起步价内行驶 的路程为a千米．
1．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方 法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用 a＞b⇔ a－b＞0)，还有作商比较法 即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1.
作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变 形是关键，目的在于能判断差的符号．为便于判断差式 的符号．通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形 式或平方和形式．多项式不等式、分式不等式或对数不 等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是： 作商、变形、判断商值与 1 的大小，适用于两边都是正值 的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值 与 1 的大小是用比较法证明不等式的难点．
解：
aabb a＋b＝aa－2 b·bb－2 Βιβλιοθήκη ＝aba－2 b.（ab） 2
当a＝b时，aba－2 b＝1； 当a>b时，ab>1，a－2 b>0， 由指数函数的性质知aba－2 b＞1，
当a<b时，0<ab<1，a－2 b<0，
由指数函数的性质知aba－2 b>1.