让思维之花在课堂中绽放
让思维之花在课堂绽放——用特征根法求数列通项的教学案例
主要 问题 ： 于二 阶常 系数 线形 齐 次递 推数 列 ｛ ｝ 对 ａ： ｎ
。 ＋
师： 观察 前两 个 问题 的结 果 ， 怎 样 的共 性 ？ 有
生 ： 项公 式 都具 有 同样 的结 构 ， 通 即 。３ ｘ ２２ Ｘ ．
ｇ 其 中Ｐ，为 常数 ， ｑ ） （ ｇ Ｎ＿５０ ，
去 ， 学 生 感 受 知 识 发 生 、 展 的脉 络 ， 而 能 更 深 刻 地 认 识 和 让 发 从
理解 数 学 对 象．利 用 特 征根 法 来 递 推 数列 通 项 公 式 是 参 加 高 中
数 学 联 赛 的学 生 应 该 掌 握 的方 法 ．为 了使 师 生 之 间 互 动 能 产 生 出有 “ ” 思维 链 ， 痕 的 笔者 以问题 链 的形式 进 行 教 学 ， 学 生 能从 让
导 意 义 和 深 远 影 响 ．波 利 亚 在 该 著 作 中给 了 一 些 教 学 的 规 则— — 教 师 十 诫 ． 且 详 细 地 阐述 了这 些 重 要 的 教 学 规 则 的 作 并
注 ： 两个 等 比数 列 是 怎 样 寻求 的 ． 可 以适 当 展 开．实 际 这 也
上 ， 们可 以类 比于 求一 阶线 性 递 归 数 列‰ 我 （ ｎ∈Ｎ 的 方 ）
只需 要调 整 前 面 的系 数 即可 ， 也就 是 说通 项 是３ ， ２ 的线 性组 合．
教 学研究＞ 备课参 考
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用特征根法求数列通项的教学案例
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杨 元 麟
江 苏常 州 高级 中 学
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让“思维之花”在课堂上绽放
丰 富深 刻 的感 受 ，可 以 引 导 学 生 联 想 ，领 略 江南 美 妙 春 光 。江
繁 多 的 因 素 组 成 ，但 在 这 诸 多 智 力 因 素
中 ，居 于核 心 地 位 的是 思 维 能 力 。 因 此 ，
是 至 关 重要 的 。那 么 ，在 语 文教 学 中 ，如
愉 快 的 情 绪 ，从 而 集 中注 意 力 ，积 极 思 维 。 这 就 要 求 教 师 想 ”
书思 考 的基 础 上 ，通 过 教 师 的 指 点 ．围绕 如员 之 间安 思 维 上学 丁 晓 萍 自己的 思 维 融 人 他 人 思维 ● 江 苏 省 成 皋 市 在 定 小 的合 作 过 程 ，即把
会 读 书 。 这 一 要 求 突 出 强 调 了 阅读 中 积 学 提 供 了 “ 吐 ” 的 舞 台 ，让 他 们 活 跃 在 课 堂 教 学 的 全 过 程 ” 倾
是由智力和各 种特殊能力等 因素构成 的。
时 而 赞 赏 ，时 而 鼓 励 ，做 好 学 生 的 引 导 者 ，让 学 生 自 己 “ 驾
三 、激 发 兴 趣 。激活 思 维
种 个性 心 理 特 征 。 据 心理 家 们 研 究 ：能 力 驭 ”思 维 。 其 中智 力据 核 心 地 位 ，而智 力 又 是 由异 常 布鲁 纳 指 出 ： “ 生 一 旦 对 所 学 知 识 产 生兴 趣 ，就 会 产 生 学
极 思维 的重 要 性 。并 且 “ 养 能 力 ，开 发 中 。在 此 过 程 中 ，教 师 的 “ 道授 业 解 惑 ”要 更 注 重 “ 惑 ” 培 传 解 ．
智 力 ” 是 各 门 学 科 所 追 求 的 目 的 。所 谓 在 学 生 小 组 合 作 时 ，教 师 要 穿 梭 其 中 ，时 而 倾 听 ，时 而 质 疑 ， ‘ 力” 能 ，就 是 人 完 成 某种 活动 所 必 须 的 一
让创新思维之花在课堂中绽放——高中数学教师提升课堂效率新探
发 学 生 的学 习 兴 趣 ， 让 他 们 体 会 身 边 的 数 学 ， 而激 发 学 也 从
生 的探 究 欲 望 和 学 好 数 学 的 内部 动 机 ． 现 “ 学 源 于 生 体 ｒ 数
活 ， 于 生 活 ， 于 生 活 ” 思 想． 生 兴 趣 盎 然 ， 无 倦 意 ， 寓 用 的 学 毫
于造 就 有 所 创新 、 所 发 现 的人 ， 不 是 简单 重 复 前 人 做 过 有 而 的事 情 ． 培 养 人 的 创 新 素 质 成 为 当代 教 育 的 核 心 任 务． ” 兴 趣 是 最 好 的 老 师 ， 设 学 生 感 兴 趣 的 情 境 能 激 发 学 生 积 极 创 的求 知 态 度 ， 学 从 问 题 开 始 ， 维 ｎ 疑 问 和 惊 奇 开 始 ， 教 思 在
蒯读教材， 师展示 概 念产 生 的背景 ， 长方 体 模 型和 图 教 如 形， 当学 生 找 出 两 条 既 不 平行 义 不 相 交 的直 线 时 ， 师 告 诉 教
学 生 像 这样 的两 条 直 线 就 叫 做 异 面 直 线 ， 着 提 出“ 么 是 接 什
异 面 直线 ” 问 题 ， 的 让学 生 相 互讨 论 ， 试 叙 述 ， 过 反 复修 尝 经 改 补 充 后 ， 出 简 明 、 确 、 谨 的 定 义 ： 我 们 把 不 在 任 何 给 准 严 “
教学 中可 设 计 一 个学 生不 易 回答 的悬 念 或 者 一 个 有 趣 的 故
不 时 闪 智 慧 的 火 化 ． 发 了学 生 的探 索 精 神 ， 动 了 学 生 激 调 的 主观 能 动 性 ， “ 我学 ” “ 要 学 ” 在 实 践 操 作 中 ， 变 要 为 我 ， 培
让思维之花尽情绽放——思想政治课教学中学生创新思维能力培养的几点尝试
果 只是让 学生 讨论传 统文 化 的作 用 ，势必 枯燥
乏味 ， 抑制 学 生的学 习兴趣 。而通 过猜 灯谜 、 书 法 表演 、 演奏乐 器等 学生 比较喜欢 的方 式 ， 就能
识 和创新 思维 能力 ，让 学生 的创新 思维 之 花在 思 想政 治课堂 绽放 呢？
一
还未满 １ 周 岁 ， 有参 加人 大代表 选举 的 亲身 ８ 没 体 验 ，因此不 可能 真正 了解 民主选举 几种 方式 的优 点 和局 限性 ，对 知识 的理解 也 只能停 留在
“ 测 ” 被告 知 ” 揣 和“ 的层 面上 。 为此 ， 我先组 织 了
创 设一个 轻松 和谐 的探究环 境 ，使孩 子在 愉快 的 自主活 动 中感受 传 统文化 的博大 精深 。
新 课程 思想政 治课 教学 中 ，我 们还 应 以情 动人 ， 使课 堂充满 人情 味 。 因为 我们教 育 的对 象
信心， 并焕发出内在的生命活力 。 例如， “ 在 多彩 的消 费” 一课 的活 动 中 ， 可让 学 生通 过 问 卷调 查 、 谈 ， 访 探究 “ 怎样 进 行合 理
份允许 ， 相信他们通过 自己的努力 ， 都能获得成 功。教师要将亲切 、信任的情感信息传递给学
生。 在探讨 问题 时 ， 允许学 生有思 考 的时 间和 要
空 间 。当学生 课堂上 出错 时 ，要 给 以宽容 和理
Hale Waihona Puke 解。 只有这样 ， 能使学 生在 心理放松 的情 况下 才
创 造一种 无拘无 束 的思维空 间 ，促进 学生 积极
让思维之花在小学数学课堂教学中绽放
数学新课改 ， 学习方法多样 ， 也充分激发 了学生 的个人 发 展 。在合作探究 中学生合作意识增强 了， 但过多的合作探究忽 视 了学生 的自主学习 。因为每一个学生都是一个独立 的个体 ， 因为他们的数学基础不同 ， 对知识 的接受能力也不 同， 如果过多 重视合作探究 ， 而忽略 自主探究 ， 有些学生则会 “ 浑水摸鱼” ， 在
跃了， 却忽视了培养学生数学思维意识。数学是一种思维体操 ， 需要静静地感 悟 ， 数学教学 的情景创设 ， 能有效调动学生兴趣 ，
多的情景创设 和合 作交流 ， 让学生停 留在表面形式。在情景创
形成 。让数学 回归本位 ， 就是要重视学生数学思维的培养 ， 让数 线段植树 ， 然后将知识拓展引申到在一片长方形地块植树 、 在 圆
学 习数学需要 一份 安静 的心境 ，“ 微分几何 之父 ” 、 著名数 在静中沉淀 、 升华 。 学大师陈省身一生 至简 ， 至静 ， 在 数学史上却成为世界数学界惟
浮躁 ， 难 以促进学生思维 的真正发展 。为此 ， 教师要返璞 归真 ，
数学的价值不在模仿 ，而在于创新。新课改下的数学教学 核心任务不仅局 限于数学知识 的传授 ， 更重要 的是学生数学思
回归数学本位 ， 情景 的创设仅仅是一个铺垫 ， 就像一场戏剧 ， 仅 学帮助学生构建数学模型 。低年级小学生处 于形象思维 为主 ，
然之心 ， 等待学生静思后 的思维 花开。这样数 学课 堂做 到动静
思维的 自我 内省。热闹的课堂学生的参与度提高了 ，但很多学 结合 、 张弛有道 ， 就像一段优美 的音乐 ， 有激情碰撞时的激越 ， 有 生变成 了数学课堂的匆匆过客 ， 走马观花 ， 蜻蜓点水 ， 流于形式 。 冷静分析热闹的背后 ， 我们的数学课堂缺少了学生静静的思考 ；
让“思维之花”在语文课堂中绽放
让“思维之花”在语文课堂中绽放作者：王以军来源：《读与写·教育教学版》2014年第10期摘要：作者认为在语文教学中，教师应该把对学生思维素质的培养放在首位，通过设疑诱问，激发学生思维，培养学生思维想象力。
让学生思路纵横，多种想法涌动、交汇，碰撞出思维的火花，才能较快地提高学生的语文水平。
关键词：思维想象语文水平中图分类号： G623.2 文献标识码： C 文章编号：1672-1578（2014）10-0221-01古代教育家孔子说过：“学而不思则惘，思而不学则殆”，这句话强调了思与学的密切联系。
思维作为智力的核心，是培养学生科学文化素质，促成良好心理素质的重要因素。
因此，在语文教学中，我们应该把对学生思维素质的培养放在首要地位，只有将学生的思维素质培养与听说读写训练结合起来，才能较快地提高学生的语文水平。
在语文教学中，如何点燃学生积极思维的火花呢？对此笔者根据平时的教学经验提出以下几点建议：1 以疑诱问，激发思维1.1凭借疑点，创设问题情境课文的题目、含义深刻的句子、与众不同的用词及标点、文中人物的特殊行为、奇特的自然现象、结构的安排、内容的选择等，都可以成为设境的凭据。
如《自然之道》中“作者一行人明明是帮助小海龟脱离危险，为什么反而却害了小海龟？”再如《蝙蝠和雷达》中“蝙蝠为什么能在夜间随心所欲的飞行？”等通过疑点诱发问题，这样能很好的激发学生的思维。
1.2设疑创境，把握问题时机依据学生的认识规律，循序渐进地诱发学生的问题意识。
如教学《中彩那天》，课前审题引导质疑：谁中彩了？中了什么样的彩？中彩那天发生了什么事情？通读全文后布疑：父亲中了彩之后为什么还闷闷不乐？真是不可思议！这到底是怎么回事？激发问题矛盾，引导读文探究。
课中设疑，引导深入品析：“母亲让我仔细辨别两张彩票有什么不同”，这句话中“辨别”可以说成“辨认”吗？为什么？1.3寻找疑惑处，挑战问题从某种意义上说，文学作品永远是“半成品”，教师的讲解也是“半成品”。
让美丽的思维之花在数学课堂教学中绽放
中就应把 充分 的时 间和应对措施准备好 ，这样 才会把学生的思
维调动好 ， 引导好 ， 做到 临阵不乱 。
三、 讲 究 处 理 问 题 的 方 法
么这么简单 。由于小学 生数学思维 中本 就有合理 推理的特征 ，
当学生在教师 的引导下 得出与教材一致 的结论时 ， 教师再 问为 什么 ，只能使学生把过程重复一遍 ，而不能提高学生的思维水 平。 所 以要 注意 引导 的方法 。比如 ， 有时可从学生的思维起点 人 手 ，把握 思维发展 的各个层次逐步深入直至终结。有时学生的 思维会出现“ 卡壳 ” 现象 ， 此时让学 生适时地加 以疏导 、 点拨 ， 促 使学生思维转折 ， 并 以此为契 机促 进学生思维发 展 。还可 以采
火花的导火索 ， 则 能 有 效 地 促 进 学 生 的 思 维发 展 。
一
更能使学生看 到数学 的作用 ，也更能激发起学 生解决 问题 的信
心。
、
培 养 自主 探 索 的 学 习 习惯
３ ． 保 障足够 的学习时间 。 学生在 自主探究过程 中， 从发现 问 题， 提 出问题 ， 到解决 问题 需要一个过程 ， 一定 的时间。如果时 间没法保障 ， 有 的学 生可能才进人状 态 ， 有 的才想 了一部分 ， 有 的发现问题却没时 间思考 等 ， 使 这一教学步骤不能 落实到课堂 中， 成为一种形式 ， 来去匆匆 ， 走过场而 已。因此 ， 在课前 的预设
意见， 畅所欲言 。在课 堂上争论 ， 对于培养学 生创新思维 ， 激发 学生学 习兴趣 和求 知欲 ， 都是大有裨 益的 。课堂教 学过程是一 个不 断提出问题 ， 解决 问题的过程 ， 有效 的教学问题 ， 可 以促进 教学预设 的Ｊ Ｅ ａ Ｎ完成 ， 有助于学 习结果 的迁移 ， 拓宽学生思维 的 广度和深度 ， 促进 思维 活动直接指 向问题解决 ， 优化课堂教学过 力， 数学课堂要少一些说 教 ， 多一些 自主探究 ， 对 于学生 已经知 道 的知识 ， 应该充分让学 生说 ， 对于确切唯一 的教学结论 ， 就没
让语文课堂绽放思维之花
教 师 在 教 学 过 程 中 不 能 用 简 单 的 讲 解 代 替 学 生 的感
悟 和体 验 ． 仅 要 向学 生 传 授 知 识 ， 且 要 提供 情 境 、 不 而 思
路 和 机 会 ： 师 生 对 话 的 形 式 下 ， 励 学 生 自由 思 考 ， 持 在 鼓 支 学 生 进 行 探 究 ，赞 扬 经 过 自 己 思 考 得 到 的 出 人 意 料 的 结 论 ， 励 学生 进行 发 散性 思维 和创 造性 思 维 ， 课 堂 教学 鼓 在 中优化 思 维过 程 ． 励 学 生独立 思 考 ， 引导 他们 的思维 鼓 并 从 表层 到深 层 ， 断深 化 ， 到一种 良好 的思维 状态 。 不 达
策 略 多 ． 冈此 有 利 于 批 评 一 分 析 性 、创 造 一 综 合 性 和 实
用一 情境 性学 生 的培 养 。
师 就 要 运 用 适 当 的 教 学 策略 ， 理 论 知 识 运 用 到 教 学 中 ， 把
并 充 分 发 挥 学 生 自主 学 习 的 积 极 性 本 文 作 者 结 合 教 学
最 为淋 漓尽 致之 时 。 ２动 情 在 点 睛 处 ． 此 ，把 动 情 之 点 选 在 作 品 的 高 潮
处 ， 能激 起学 生情 感 的波 澜 ， 能 调动 学 牛的 激情 。 最 最 由于文眼 是体 现 全篇 土 旨和意 境 的警策 之 高，因此 ‘ 教 师 抓 住 它 来 激 情 是 非 常 有 效 的 我 在 教 授 澳 大 利 作 家 泰 格 特 的 小 小 说 《 》 ，Ｐ＇ 说 的 结 尾 “ 看 到 的 是 ～ 窗 时 Ｃ， ＡＪ ， 他 一 堵墙 ” 为激 发学 生 激情 的 作 ・ 。 者 通 过 出 乎 意 料 而 人 点 作 寸
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让思维之花在课堂中绽放
作者：姜含嫣
来源：《速读·上旬》2020年第08期
◆摘要：让学生学会思维，是一个永恒的话题。
数学教学，作为思维活动的主阵地之一。
数学教师要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，要让学生学会数学的思维方式，让思维之花在课堂中绽放。
◆关键词：思维;思维可视化;课堂
前苏联教育学家苏霍姆林斯基说过：“真正的学校应当是一个积极思考的王国。
”让学生学会思维，是一个永恒的话题。
数学教学，作为思维活动的主阵地之一。
数学教师要培养学生“用数学的眼光去认识自己所生活的环境与社会”，要让学生学会数学的思维方式，并让学生在思维过程中相互接纳，以满足学生的不同需要，尽显学生的潜在能力，发挥课堂教学中的多种交互作用，让思维之花在课堂中绽放。
一、快思慢想，让思维理性深刻
努力养成学生主动思维的广度与深度，这是诸多数学家的一项共识，即认为数学学习的主要功能之一是有益于人们进行深刻的、长期性的思维活动。
但是，我们在现实中过分突出了学生即兴思维能力的培养，以致完全忽视了对思维的广度与深度的培养。
日本著名数学家、菲尔茨奖获得者广中平佑曾明确指出：“思考问题的态度有两种：从专业角度看，一种是花费较短时间的即时思考型，一种是较长时间的长期思考型。
所謂的思考能人，大概就是指能够根据思考的对象自由自在地分别使用这两种类型的思考态度的人。
但是，现在的教育环境不是一个充分培养长期思考型的环境。
没有进行长期思考性训练的人，是不会深刻思考问题的。
无论怎样训练即时性思考，也不会掌握前面谈过的智慧深度。
”现有考试制度下的数学学习特性，学生为获取较高分数，必须使用适当的演算法快速求得答案，机械反复的重复练习扼杀了创新思维火花的迸发，使得学生缺乏进行理性深刻的思维活动的时间与空间，学习方式较为被动。
那么，我们如何帮助学生很好地学会理性深刻的思维呢？在教学中应当处理好快与慢、多与少、热闹与安静以及学生的独立思考与合作学习、积极交流之间的关系。
如果一节课的内容太多，承载的任务太重，学生上课时很忙碌，思维能力就很难得到提升，学习能力会越来越弱。
若课堂只聚焦几个核心问题，让学生深入思考，看上去学得少、学得慢，但思维的方式、方法丰富了，思维能力便能提高，且会越来越强。
人的思维专注进入心无旁骛的境界，便走向了潜心静思。
这也就如著名数学家陈省身先生所指出的：“数学是自己思考的产物。
首先要能够思考起来，用自己的见解和别人的见解交换，会有很好的效果。
但是，思考数学问题需要很
长时间。
我不知道中小学数学课堂是否能够提供很多的思考时间。
”这对传统教学观和传统教学方式是一大冲击，我们往往追求所谓“热闹”的课堂，学生对课堂、对学习怀有巨大的热情，学习主动性高，因此处理好课堂上“热闹”与“静思”的分寸，对学生思维的培养大有裨益。
我们要倡导“认真地想，静静地听，轻轻地说”这样一种学风，努力营造安静的课堂、思维的课堂、开放的课堂。
二、思维可视化，让数学核心素养扎根
思维可视化是指以图表等方式把原来不可见的思维结构、思维路径及方法呈现出来，使其清晰可见的过程。
思维可视化通常被视为组织和连接表象知识的有效工具，将某一主题的相应概念置于圆圈或方框之中，再用连线或箭头把各种概念与对应的命题连接，连线上注明概念之间的意义关系。
思维可视化可以帮助学生架构条理清晰、有机整合的知识网络，促进学生对知识结构的理解和掌握、相关概念的吸收和内化以及知识的迁移，进而有效发展学生的数学思考，培养其数学思维能力。
在现在信息网络非常发达的时代，人们吸收信息的容量是成倍增长的，面对这么多的信息量，人类的思维模式却没有达到接受自如的程度。
根据小学生的认知发展规律和数学学习规律，他们的思维都是从点状思维阶段开始，逐步向线性、网状、系统思维阶段发展。
思维可视化，要求我们在课堂教学中用图示的方式来表达思维过程。
在这个过程中，学生的数学思维逐步从零散走向联系，从碎片走向系统，从知识层深入到思维层，从而打通数学知识内在联系，实现系统化构建。
我们知道，数学课堂里总是存在两条线：一条是明线，像那些所谓的知识点（概念、公式、定理等）;一条是暗线，就是所谓的数学思想和方法。
部分数学教师非常重视前者而忽视后者。
比如：有些数学教师往往在出示问题后，看到学生没有“动静”，或者说出来的思路不在自己的“预设”之中，赶紧把最佳的路径草草地塞给学生，费尽心机地拽着学生跳过沟壑，少走弯路。
结果呢，往往一旦放手，学生仍然不能很好地解决问题。
其实不同的学生自己会寻找不同的解题路径，与其费尽心机让学生理解老师的方法，还不如尝试接纳学生个性化的思维，顺应学生的思维，在充分展示学生不同解题策略的基础上，和学生一起走在探索之路上，站在学生的角度巧妙引导，逐步实现教学策略的更优化。
思维可视化是教师有力的教学助手，通过思维可视化教师能够在学生们的视野里清晰地呈现知识的框架与结构，使教师更加有条理地进行教学。
在小学的数学教学中，通过合理地运用思维可视化的教学方式，使学生们具有正确的逻辑思维方式，提高学生们用图示进行表达的能力，不断促进学生大脑潜能的开发。
总之，通过思维可视化的合理使用，更好地找到解题的思路，有效提高学生的数学核心素养，提高教学质量和教学效果，使思维可视化成为促进学生学会学习的有效工具。
教会学生用数学的方式去思维，远远比数学知识本身的教学更有意义。