高三文科数学专题学习：统计
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即点(4，5.25)， 于是有 5.25＝0.95×4＋a^，由此解得a^＝1.45.
答案 B
(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随 机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身 高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的 为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.得以下 2×2列联表：
x2
c
d c＋d
总计 a＋c b＋d n
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
P(K2 k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P(K2 k0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.636 7.879 10.828
高个 非高个
总计
大脚
5
2
7
非大脚 1
12
13
总计
6
14
20
则在犯错误的概率不超过___0_.0_1___的前提下认为人的 脚的大小与身高之间有关系.
(附：
)
解析 由题意得 K2＝20×6×51×4×127－×11×322≈8.802>6.635. 而K2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超 过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系.
s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
4.变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，
n
y2)，…，(xn，yn)，通过求 Q＝ (yi－a－bxi)2 最小时，
i＝1
得到线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^ 的方法叫做最小二乘法.
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样 方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编 号 ， 则 抽 取 的 42 人 中 ， 编 号 落 入 区 间 [481,720] 的 人 数 为
()
A.11
B.1wk.baidu.com C.13 D.14
思维启迪
系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽
取号码的间隔相同；
解析
由
840 42
＝20，即每20人抽取1人，
所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为 7202－0480＝22400 ＝12.
答案 B
(2)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取 的人数为150，那么该学校的教师人数是___2_0_0___.
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横 坐标
中位数 将处数的数在据平据最(均或按中数最大间)中小位间依置两次的个排一数列个据，把面坐频积标率相分等布的直分方 界图线划与分x轴左交右点两的个横
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底 边中点的横坐标之和
(2)方差：s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]. 标准差：
直线方程 ： yˆ bx a 叫做回归直线方程．
n
n
( xi x)( yi y)
xi yi n xy
其中
b
i 1
n
( xi x)2
i 1
i1 n
xi2 n x 2
.
i 1
回归直线
a y b x.
过样本点中
x
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
心( x ， y)；
思维启迪 分层抽样最重要的是各层的比例.
解析 本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x， 所以3126000＝160－x 150，所以 x＝200.
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿 者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组 区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左 到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是 根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20人，
2.常用的统计图表
(1)频率分布直方图
频率 ①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频 组率 距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
相应的直线叫做回归直线，对这两个变量所进行的统计分
析叫做线性回归分析．
5.独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y， 其样本频数列联表是
y1
x1
a
y2
总计 K 2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
b
a＋b 其中n a b c d为样本容量。
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
()
思维启迪 根据第一组与第二组
的人数和对应频率估计
样本总数，然后利用第
三组的频率和无疗效人
数计算；
A.6
B.8 C.12 D.18
解析 志愿者的总人数为0.16＋200.24×1＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12. 答案 C
1．随机抽样方法 简单随机抽样（抽签法与随机数表法）、系统抽样、分层抽 样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且 是不放回抽样． [问题 1] 某社区现有 480 个住户，其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户，其他为高收入家庭．在建设幸福 社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了 6 户， 则该社区本次抽取的总户数为________．
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗
粒物，如图是根据某地某日早7点至
晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的 数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎
叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A.甲
B.乙
思维启迪
C.甲乙相等
D.无法确定 直接根据公式计算方差.
解析 x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋ 0.066 ＋ 0.071 ＋ 0.073 ＋ 0.073 ＋ 0.084 ＋ 0.086 ＋ 0.097)÷12≈0.068 9，
y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且y^＝
0.95x＋a^，则a^等于( )
A.1.30 B.1.45 C.1.65
D.1.80
解析 依题意得， x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4， y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25； 又直线y^＝0.95x＋a^必过样本点中心( x ， y )，
专题七 概率与统计
第 2讲 统计与统计案例
1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统
计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会
在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.
考 情
2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，
解 重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点
读
处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．
课后作业
完成《步步高》课本 必做题目 P46 例1、变式1；例2、变式2；P47例3、变式3； P48真题感悟1、2；押题1、2、3、4
x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋ 0.069 ＋ 0.079 ＋ 0.087 ＋ 0.092 ＋ 0.094 ＋ 0.096)÷12≈0.067 5，
s2＝ 1 [(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋ 12
(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.
s2＝
1 12
[(0.041－0.067
5)2＋(0.042－0.067
5)2＋…＋
(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地.
答案 A
热点三 统计案例
变式训练3 (1)已知x、y取值如下表：
思维启迪 回归直线
过样本点中
x 0 1 4 5 6 8 心( x ， y)；
答案 B
(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随 机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身 高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的 为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.得以下 2×2列联表：
x2
c
d c＋d
总计 a＋c b＋d n
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
P(K2 k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706
P(K2 k0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 5.024 6.636 7.879 10.828
高个 非高个
总计
大脚
5
2
7
非大脚 1
12
13
总计
6
14
20
则在犯错误的概率不超过___0_.0_1___的前提下认为人的 脚的大小与身高之间有关系.
(附：
)
解析 由题意得 K2＝20×6×51×4×127－×11×322≈8.802>6.635. 而K2>6.635的概率约为0.01，所以在犯错误的概率不超 过0.01的前提下认为人的脚的大小与身高之间有关系.
s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
4.变量的相关性与最小二乘法 (1)相关关系的概念、正相关和负相关、相关系数.
(2)最小二乘法：对于给定的一组样本数据(x1，y1)，(x2，
n
y2)，…，(xn，yn)，通过求 Q＝ (yi－a－bxi)2 最小时，
i＝1
得到线性回归方程y^ ＝b^ x＋a^ 的方法叫做最小二乘法.
热点一 抽样方法
例1 (1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样 方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编 号 ， 则 抽 取 的 42 人 中 ， 编 号 落 入 区 间 [481,720] 的 人 数 为
()
A.11
B.1wk.baidu.com C.13 D.14
思维启迪
系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽
取号码的间隔相同；
解析
由
840 42
＝20，即每20人抽取1人，
所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为 7202－0480＝22400 ＝12.
答案 B
(2)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所 有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取 的人数为150，那么该学校的教师人数是___2_0_0___.
样本数据
频率分布直方图
众数
出现次数最多的数据
取最高的小长方形底边中点的横 坐标
中位数 将处数的数在据平据最(均或按中数最大间)中小位间依置两次的个排一数列个据，把面坐频积标率相分等布的直分方 界图线划与分x轴左交右点两的个横
平均数
样本数据的算术平均数
每个小矩形的面积乘以小矩形底 边中点的横坐标之和
(2)方差：s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]. 标准差：
直线方程 ： yˆ bx a 叫做回归直线方程．
n
n
( xi x)( yi y)
xi yi n xy
其中
b
i 1
n
( xi x)2
i 1
i1 n
xi2 n x 2
.
i 1
回归直线
a y b x.
过样本点中
x
1 n
n i 1
xi , y
1 n
n i 1
yi
心( x ， y)；
思维启迪 分层抽样最重要的是各层的比例.
解析 本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x， 所以3126000＝160－x 150，所以 x＝200.
热点二 用样本估计总体
例2 (1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿 者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组 区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左 到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是 根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20人，
2.常用的统计图表
(1)频率分布直方图
频率 ①小长方形的面积＝组距×组距＝频率；
②各小长方形的面积之和等于1；
③小长方形的高＝频 组率 距，所有小长方形的高的和为组1距.
(2)茎叶图
在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好.
3.用样本的数字特征估计总体的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征
相应的直线叫做回归直线，对这两个变量所进行的统计分
析叫做线性回归分析．
5.独立性检验
对于取值分别是{x1，x2}和{y1，y2}的分类变量X和Y， 其样本频数列联表是
y1
x1
a
y2
总计 K 2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
b
a＋b 其中n a b c d为样本容量。
第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
()
思维启迪 根据第一组与第二组
的人数和对应频率估计
样本总数，然后利用第
三组的频率和无疗效人
数计算；
A.6
B.8 C.12 D.18
解析 志愿者的总人数为0.16＋200.24×1＝50，
所以第三组人数为50×0.36＝18， 有疗效的人数为18－6＝12. 答案 C
1．随机抽样方法 简单随机抽样（抽签法与随机数表法）、系统抽样、分层抽 样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且 是不放回抽样． [问题 1] 某社区现有 480 个住户，其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户，其他为高收入家庭．在建设幸福 社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了 6 户， 则该社区本次抽取的总户数为________．
(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗
粒物，如图是根据某地某日早7点至
晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的 数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎
叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )
A.甲
B.乙
思维启迪
C.甲乙相等
D.无法确定 直接根据公式计算方差.
解析 x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋ 0.066 ＋ 0.071 ＋ 0.073 ＋ 0.073 ＋ 0.084 ＋ 0.086 ＋ 0.097)÷12≈0.068 9，
y 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3
从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且y^＝
0.95x＋a^，则a^等于( )
A.1.30 B.1.45 C.1.65
D.1.80
解析 依题意得， x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4， y ＝16(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25； 又直线y^＝0.95x＋a^必过样本点中心( x ， y )，
专题七 概率与统计
第 2讲 统计与统计案例
1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统
计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会
在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.
考 情
2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，
解 重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点
读
处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．
课后作业
完成《步步高》课本 必做题目 P46 例1、变式1；例2、变式2；P47例3、变式3； P48真题感悟1、2；押题1、2、3、4
x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋ 0.069 ＋ 0.079 ＋ 0.087 ＋ 0.092 ＋ 0.094 ＋ 0.096)÷12≈0.067 5，
s2＝ 1 [(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋ 12
(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.
s2＝
1 12
[(0.041－0.067
5)2＋(0.042－0.067
5)2＋…＋
(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.
所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地.
答案 A
热点三 统计案例
变式训练3 (1)已知x、y取值如下表：
思维启迪 回归直线
过样本点中
x 0 1 4 5 6 8 心( x ， y)；