概率论与数理统计(东北师范大学离线作业)
概率论与数理统计练习题练习题及参考答案(东师)
《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2N 的样本，则ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设 ＜＜x x |， 20|＜x x A ， 31|＜x x B ，则B A 表示 10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 5．对于任意两个事件B A 、，必有 B A B A ；6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)( Y D X D ，则4)( Y X D ；9．（√）设总体)1,(~ N X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X是 的无偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示为C AB 2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDXp 1: 3． ,,,0,1)(其他b x a a b x f 是 均匀 分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)( A P ，5.0)( B P ，4.0)( C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则 a )()(Y D X D ； 6．设随机变量X 的概率分布为则12 X 的概率分布为222)(21x e7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)( Y E a X E ，则 )(XY E )()(y f x f Y X8．设1 与2 是未知参数 的两个 0.99 估计，且对任意的 满足)()(21 D D ，则称1 比2有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2 N 抽得的简单随机样本，已知202，现检验假设0 ：H ，则当222121)()(n n Y D X D时，0)( X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平 （10 ），则犯第一类错误的概率是 .三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)( A P ，事件B 的概率6.0)( B P ，条件概率8.0)|( A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
概率论与数理统计-东北师范大学考试及答案
《 概率论与数理统计》练习题一一、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布； 错2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；错 3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； 错4．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立； 错 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；错6．设A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A 为“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； 对7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 对 8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ； 错9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量； 错10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量之间是否存在某种相关关系。
对 二、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发生而C 不发生”用C B A 、、表示2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则EXDX3．是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,,0,1)(其他b x a a b x f4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =73.0 ；5．设随机变量X 的概率分布为则a 6．设随机变量X 的概率分布为7．若随机变量X 与Y 相互独立，2)(,)(==Y E a X E ，则)(XY E8．设1θ 与2θ 是未知参数θθ满足)()(21θθ D D <，则称1θ 比2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σμN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0μμ=：H 00)(σμ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性水平α（10<<α），则犯第一类错误的概三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
2020年春季《概率论与数理统计》离线考核奥鹏东师参考答案
《概率论与数理统计》
2020年春季奥鹏东北师大考核试题标准答案
试读1页答案在最后
满分100分
一、计算题（每题10分，共70分）
1、已知随机事件 的概率 ，事件 的概率 ，条件概率 ，试求事件 的概率 。
解：
因为 ， ，所以
。
进而可得 。
2、设随机变量 ，且 ，试求 ， 。
解：
因为随机变量 ，所以
5、若随机变量 在区间[0，1]上服从均匀分布，试求它的标准差 。
解：因为随机变量 在区间[0，1]上服从均匀分布，所以它的方差具有形式如下：
；
进而开根号可得它的标准差 ；
6、已知 ，试求 。
解：利用均值的性质可得 ；
又因为 ，所以 ；
代入上式可以求得 。
7、设 ， 是取自正态总体 的一个容量为2的样本。试判断下列三个估计量是否为 的无偏估计量： ， ， 并指出其中哪一个方差较小。
，
由此可得 ，解得 ， ；
3、已知连续型随机变量 ，试求它的密度函数 。
解：因为随机变量 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：
；
进而，将 代入上述表达式可得所求的密度函数为：
；
4、已知随机变量 的概率密度为 ，试求（1）常数 ；（2） 。
解：（1）由于
即 2A=1，A= ，所总体 的样本，所以 。
又因为 ，
，
，
所以三个估计量都是 的无偏估计；又因为
，
，
，
所以 的方差最小。
二、证明题（共30分）
设二维连续型随机向量 的联合密度函数为
证明: 与 相互独立。
证明：由二维连续型随机向量 的联合密度函数为
可得两个边缘密度函数分别为：
地大21春《概率论与数理统计》在线作业二【标准答案】
地大《概率论与数理统计》在线作业二-0010试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 25 道试题,共 100 分)1.如果有试验E：投掷一枚硬币，重复试验1000次，观察正面出现的次数。
试判别下列最有可能出现的结果为( )A.正面出现的次数为591次B.正面出现的频率为0.5C.正面出现的频数为0.5D.正面出现的次数为700次答案:B2.A.AB.BC.CD.D答案:C3.A.AB.BC.CD.D答案:C4.设有12台独立运转的机器，在一小时内每台机器停车的概率都是0.1，则机器停车的台数不超过2的概率是（）A.0.8891B.0.7732C.0.6477D.0.5846答案:A5.参数估计分为( ）和区间估计A.矩法估计B.似然估计C.点估计D.总体估计答案:C6.进行n重伯努利试验，X为n次试验中成功的次数，若已知EX＝12.8，DX=2.56 则n=（）A.6B.8C.16D.24答案:C7.A.AB.BC.CD.D答案:D8.如果随机变量X和Y满足D（X+Y）=D（X-Y），则下列式子正确的是（）。
A.X与Y相互独立B.X与Y不相关C.DY=0D.DX*DY=0答案:B9.炮弹爆炸时产生大、中、小三块弹片。
大、中、小三块弹片打中某距离的装甲车的概率分别等于0.1，0.2，0.4。
当大、中、小三块弹片打中装甲车时其打穿装甲车的概率分别为0.9，0.5，0.01。
今有一装甲车被一块炮弹弹片打穿（在上述距离），则装甲车是被大弹片打穿的概率是（）A.0.761B.0.647C.0.845D.0.464答案:D10.有一袋麦种，其中一等的占80%，二等的占18%，三等的占2%，已知一、二、三等麦种的发芽率分别为0.8，0.2，0.1，现从袋中任取一粒麦种，则它发芽的概率为（）。
A.0.9B.0.678C.0.497D.0.1答案:B11.A.AB.BC.CD.D答案:C12.掷一颗骰子的实验，观察出现的点数：事件A表示“奇数点”；B表示“小于5的偶数点”，则B-A为（）。
东北大学远程教育14秋学期《概率论》在线作业1完整答案
东北⼤学远程教育14秋学期《概率论》在线作业1完整答案《概率论》在线作业1试卷总分：100 测试时间：--单选题判断题⼀、单选题（共 15 道试题，共 75 分。
）V 1. 设X为随机变量，D(10X)=10，则D（X）= 正确答案：AA.1/10B. 1C. 10D. 100满分：5 分2. 设X与Y独⽴，且EX=EY=0，DX=DY=1，E(X+2Y)2=(正确答案：C )A. 2B. 3C. 5D. 6满分：5 分3. 已知随机变量X服从正态分布N（2，22）且Y=aX+b服从标准正态分布，则（正确答案：C）A. a = 2 , b = -2B. a = -2 , b = -1C. a = 1/2 , b = -1D. a = 1/2 , b = 1满分：5 分4. 从⼀副扑克牌中连抽2张，则两张牌均为红⾊的概率：正确答案：AA. 25|102B. 26|102C. 24|102D. 27|102满分：5 分5. 设表⽰10次独⽴重复射击命中次数，每次命中的概率为0.4，则E（X2）=正确答案：AA. 18.4B. 16.4C. 12D. 16满分：5 分6. 下⾯哪⼀个结论是错误的？正确答案：AA. 指数分布的期望与⽅差相同；B. 泊松分布的期望与⽅差相同；C. 不是所有的随机变量都存在数学期望；D. 标准正态分布的随机变量落在区间(-2,2)⾥的概率⽐0.5⼤。
满分：5 分7. 设DX = 4，DY = 1，ρXY=0.6，则D(2X-2Y) =正确答案：CA. 40B. 34C. 25.6D. 17,.6满分：5 分8. 设盒中有10个⽊质球，6个玻璃球，玻璃球有2个为红⾊，4个为蓝⾊；⽊质球有3 个为红⾊，7个为蓝⾊，现从盒中任取⼀球，⽤A表⽰“取到蓝⾊球”；B表⽰“取到玻璃球“。
则P(B|A)=正确答案：DA. 3/5B. 4/7C. 3/8D. 4/11满分：5 分9.设X~(2,9),且P(X>C)=P(XA. 1B. 2C. 3D. 4满分：5 分10. 设X服从均匀分布，使得概率P（1.5＜X＜3.4）达到最⼤的X的分布是：正确答案：AA. U(1,2)；B. U(3,4)；C. U(5,6)；D. U(7,8)。
东北师范大学 离线作业 概率论与数理统计
离线作业考核《概率论与数理统计》满分100分一、计算题（每题10分，共70分）1、已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
解：因为P(A)=0.5, P(B 丨A)=0.8, 所以P(AB)= P(A)P(B 丨A)=0.4.进而可得P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)= 0.7.2、设随机变量),(~p n B ξ，且28.1)(,6.1)(==X D X E ，试求n ，p 。
解:因为随机变量ξ~ B(n,p)，所以E(X)=np ，D(X)=np(1-p)，由此可得np=1.6, np(1-p)=1.28， 解得n=8，p=0.2;3、已知连续型随机变量)2,3(~-N X ，试求它的密度函数)(x f 。
E(3X-2)=44、已知随机变量X 的概率密度为+∞<<∞-=-x Ae x p x ,)(，试求（1）常数A ；（2）{}10<<X P 。
答：（1）44或45 （2） 0.9785、若随机变量X 在区间[0，1]上服从均匀分布，试求它的标准差DX 。
解：因为随机变量X 在区间[0，1]上服从均匀分布，所以它的方差具有形式如下：12112)01(12)()(22=-=-=a b X D ；进而开根号可得它的标准差=DX 63。
又如，当随机变量X 服从区间[1，5]上的均匀分布，则2)(EX DX 的值可以如下计算：因为3)(=X E ，34)(=X D ，所以274)(2=EX DX ； 再如，设随机变量X 与Y 相互独立，且4)(,3)(==Y D X D ，则(4)16D X Y D X D Y -=+=67。
6、已知3)(,1)(=-=X D X E ，试求)]2(3[2-X E 。
解：已知3)(,1)(=-=X D X E ，则)]2(3[2-X E 可如下计算：利用均值的性质可得6)(3)]2(3[22-=-X E X E ； 又因为22))(()()(X E X D X E +=，所以4)1(3)(22=-+=X E ；代入上面式子可以求得6)]2(3[2=-X E 。
北交《概率论与数理统计》在线作业一【标准答案】
北交《概率论与数理统计》在线作业一-0002试卷总分:100 得分:100一、单选题 (共 30 道试题,共 75 分)1.全国国营工业企业构成一个（）总体A.有限B.无限C.一般D.一致答案:A2.某门课只有通过口试及笔试两种考试方可结业。
某学生通过口试的概率为80%，通过笔试的概率为65%。
至少通过两者之一的概率为75%，问该学生这门课结业的可能性为（）A.0.6B.0.7C.0.3D.0.5答案:B3.一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。
从袋中取球两次，每次随机地取一只。
采用不放回抽样的方式，取到的两只球中至少有一只是白球的概率（）A.4/9B.1/15C.14/15D.5/9答案:C4.一个工人照看三台机床，在一小时内，甲、乙、丙三台机床需要人看管的概率分别是0.8,0.9和0.85，求在一小时内没有一台机床需要照看的概率（）A.0.997B.0.003C.0.338D.0.662答案:B5.三人独立破译一密码，他们能单独译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,则此密码被译出的概率是A.2/5B.3/4C.1/5D.3/5答案:D6.已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.2,则P（B|A）=________.B.2/3C.1/2D.3/8答案:B7.同时抛掷3枚均匀的硬币，则恰好有两枚正面朝向上的概率为（）。
A.0.5B.0.125C.0.25D.0.375答案:D8.事件A与B互为对立事件，则P(A+B)＝A.0B.2C.0.5D.1答案:D9.一台设备由10个独立工作折元件组成，每一个元件在时间T发生故障的概率为0.05。
设不发生故障的元件数为随即变量X,则借助于契比雪夫不等式来估计X和它的数学期望的离差小于2的概率为（）A.0.43B.0.64C.0.88D.0.1答案:C10.投掷n枚骰子，则出现的点数之和的数学期望是A.5n/2B.3n/2C.2nD.7n/2答案:D11.炮弹爆炸时产生大、中、小三块弹片。
概率论与数理统计练习题练习题及参考答案（东师）
概率论与数理统计练习题练习题及参考答案（东师）《概率论与数理统计》练习题⼀⼀、判断正误，在括号内打√或×1．n X X X ,,,21 是取⾃总体),(2σµN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是)0,(x F ；3．（√）设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表⽰{}10|＜＜x x ； 4．若事件A 与B 互斥，则A 与B ⼀定相互独⽴； 5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；6．设A 表⽰事件“甲种产品畅销，⼄种产品滞销”，则其对⽴事件A 为“甲种产品滞销或⼄种产品畅销”； 7．（√）B A 、为两个事件，则A B A AB = ； 8．（√）已知随机变量X 与Y 相互独⽴，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；9．（√）设总体)1,(~µN X ， 1X ,2X ,3X 是来⾃于总体的样本，则321636161?X X X ++=µ是µ的⽆偏估计量；10．（√）回归分析可以帮助我们判断⼀个随机变量和另⼀个普通变量之间是否存在某种相关关系。
⼆、填空题1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 和B 都发⽣⽽C 不发⽣”⽤C B A 、、表⽰为C AB 2．设随机变量X 服从⼆项分布),(p n B ，则=EXDXp -1: 3．≤≤-=,,,0,1)(其他b x a a b x f 是均匀分布的密度函数；4．若事件C B A 、、相互独⽴，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则)(C B A P =分布函数； 5．设随机变量X 的概率分布为则=a )()(Y D X D +； 6．设随机变量X 的概率分布为则12+X 的概率分布为222)(21σµπσ--x e7．若随机变量X 与Y 相互独⽴，2)(,)(==Y E a X E ，则=)(XY E )()(y f x f Y X ?8．设1θ与2θ是未知参数θ的两个 0.99 估计，且对任意的θ满⾜)()(21θθ D D <，则称1θ⽐2θ有效；9．设n X X X ,,,21 是从正态总体),(2σµN 抽得的简单随机样本，已知202σσ=，现检验假设0µµ=：H ，则当222121)()(n n Y D X D σσ+=+时，0)(σµ-X n 服从)1,0(N ；10．在对总体参数的假设检验中，若给定显著性⽔平α（10<<α），则犯第⼀类错误的概率是α.三、计算题1.已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求事件B A 的概率)(B A P 。
概率论与数理统计课外大作业2参考答案
《概率论与数理统计》作业（参考答案）班级 学号 姓名 得分 注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.1. 设1021,,,X X X 是来自总体)3.0,0(2N 的样本，求统计量∑=10129100i iX的分布（需说明理由）.解：因)1,0(~3.0/N X i ，)1(~)3.0(22χi X ，由可加性)10(~910010122=∑χi iX2. 设总体),3(~2σN X ，有n=9的样本，样本方差42=s ，求统计量2/)93(-X 的分布（需说明理由）.)8(~293t X - 3. 设总体)9,(~,)4,(~μμN Y N X ，有16,1121==n n 的两个独立样本，求统计量222149S S 的分布（需说明理由）. )1510~492221，F （S S 4. 4. 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<+=其他,010,)1(),;(x x x f θθθ，),,,(21n X X X 是来自该总体的一个样本，),,,(21n x x x 是相应的样本值，求（1）未知参数θ的矩估计量；（2）最大似然估计量.（（1）XX --=∧112θ;(2) 1ln 1--=∑=∧ni iXnθ班级 学号 姓名 得分 注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.5. 设),,(321X X X 是来自总体X 的样本，（1）证明：3211213161X X X ++=μ；3212525251X X X ++=μ；3213313131X X X ++=μ 是总体均值μ的无偏估计量；（2）说明哪一个估计较有效？（需说明理由）提示：（1）求)(1μE =++=)213161(321X X X E μ=++)(21)(31)(61321X E X E X E 同理求另外两个……………………….. （2）求)(1μD =++=)213161(321X X X D )(187)(41)(91)(361321X D X D X D X D =++同理求另外两个的方差，比较大小，小的较有效6. 设有一批胡椒粉，每袋净重X （单位：g ）服从正态分布，从中任取9袋，计算得样本均值21.12=x ，样本方差09.02=s ，求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间.(306.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t ) 参考答案（)44.12,98.11())1(2/=-±n t ns x α7. 设高速公路上汽车的速度服从正态分布，现对汽车的速度独立地做了6次测试，求得这6次测试的方差22)/(08.0s m s =，求汽车速度的方差2σ的置信度为0.9的置信区间. （488.9)5(205.0=χ，145.1)5(295.0=χ）参考答案（)3493.0,0422.0())1()1(,)1()1(22/1222/2≈-----n s n n s n ααχχ班级 学号 姓名 得分 注意：书写清楚、整洁；并有主要的解题过程.8. 甲、乙两位化验员各自独立地用相同的方法对某种聚合物的含氯量各作了10次测量，分别求得测定值的样本方差为6065.0,5419.02221==s s ，设测定值总体服从正态分布),(,),(222211σμσμN N ，试求方差比2221σσ的置信度为0.95的置信区间.（03.4)9,9(025.0=F ）参考答案（)6007.3,2217.0())1,1(,)1(1122/222112/2221≈---n n F s s n F s s αα9. 某糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为50公斤，每天开工后需检验一次打包机是否正常工作，某日开工后，测得9包重量，计算得样本均值82.49=x ，样本方差44.12=s ，假设每包的重量服从正态分布.在显著性水平为05.0=α下，打包机工作是否正常？（即检验假设：50:,50:10≠=μμH H ，306.2)8(025.0=t ，2622.2)9(025.0=t )解：由题意，需检验假设：50:,50:10≠=μμH H ；9=n拒绝域为：)1(/2/0->-n t ns x αμ；计算：)8(306.245.03/2.15082.49/025.00t ns x t =<=-=-=μ，不在拒绝域内，即可以认为打包机工作是正常的。
东北师范大学2018年秋《概率论与数理统计》
期末作业考核《概率论与数理统计》满分100分一、判断正误，在括号内打√或×（每题2分，共20分） （ × ）1．n X X X ,,,21 是取自总体),(2σμN 的样本，则∑==ni iXnX 11服从)1,0(N 分布；（ × ）2．设随机向量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其边缘分布函数)(x F X 是),(lim y x F y +∞→；（ √ ）3．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ； （ × ）4．若0)(=AB P ，则AB 一定是空集； （ × ）5．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ； （ × ）6．设C B A 、、表示3个事件，则C B A 表示“C B A 、、中不多于一个发生”； （ √）7．B A 、为两个事件，则A B A AB = ； （ √）8．已知随机变量X 与Y 相互独立，4)(,8)(==Y D X D ，则4)(=-Y X D ；（ √）9．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321636161ˆX X X ++=μ是μ的无偏估计量；（ √ ）10．回归分析可以帮助我们判断一个随机变量和另一个普通变量 之间是否存在某种相关关系。
二、填空题（每题3分，共30分）1．设C B A 、、是3个随机事件，则“三个事件都不发生”用C B A 、、表示为； 2．若事件C B A 、、相互独立，则)(C B A P =P （A ）+P （B ）＋P （C ）－P(AB) －P(BC) －P(AC)＋P(ABC)3．设离散型随机变量X 的概率分布为除了要求每个≥k p 0之外，这些k p 还应满足1p ＋2p ＋……＋ k p ＝1 ； 4．若随机变量X 服从区间[]π2,0上的均匀分布，则=)(X E π ；5．设随机变量X 的概率分布列为)0,2,1,0(!)(>===-λλλ； k e k k X P k，则=)(X D λ ；6．),(Y X 为二维随机向量，其协方差),cov(Y X 与相互系数XY ρ的关系为XY ρ7．已知3)(=X E ，5)(=X D ，则=+2)2(X E 30 ； 8．设离散型随机变量X 的概率分布为其分布函数为)(x F ，则=)3(F 1 ；9．设n X X X ,,,21 为总体),(~2σμN X 的一个简单随机样本，若方差2σ未知，则μ的)1(α-的置信区间为。
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期末作业考核
《概率论与数理统计》
满分100分
一、计算题（每题10分，共70分）
1、设)4,3(~2-N X ，试求X 的概率密度为)(x f 。
解：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式： e x f 22
2)(21
)(σμχσπ--=，+∞<<∞-x
进而，将43=-=σμ，代入上述表达式可得所求的概率密度为：
+∞<<-∞=+-x f e x ,241)(32)3(2
πχ
2、随机变量ξ的密度函数为⎩⎨
⎧∈=其他,0),0(,
2)(A x x x p ，其中A 为正的常数，试求A 。
解：依题意可得： 1)(=∞-∞+⎰dx x p
则：⎰⎰===∞-∞+120
)(2A xdx A dx x p 因为A>0，所以A=1
3、设随机变量ξ服从二项分布，即),(~p n B ξ，且3=ξE ，7
1=p ，试求n 。
解：依题意可得： 217
1333
=÷==∴==p n np E ）（ξ 4、已知一元线性回归直线方程为x a y
4ˆˆ+=，且3=x ，6=y ，试求a ˆ。
解：由题意可得 4ˆ=b 6346ˆˆ-=⨯-=-=∴x b y a
5、设随机变量X 与Y 相互独立，且4)(,3)(==Y D X D ，求)4(Y X D -。
解：因为随机变量X 与Y 相互独立，则：
D(X-4Y)=D(X)-D(4Y)=D(X)-16D(Y)=3-16×4=-61
6、设总体X 的概率密度为
⎩
⎨⎧<<+=,0,10,)1();(其它，x x x f θθθ 式中θ>－1是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，用最大似然估计法求θ的估计量。
解：似然函数为
10,)
1();(11<<+==∏∏==i n i n i i n i x x x f L θθ
似然方程为：
∏==++=n i i x n d L d 1
0ln 1)(log θθθ 解得：
)ln 1ˆ1∏=+-=n i i x n
（θ
即为θ最大似然估计值。
7、设n X X X ,,,21 是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，
其中0>σ未知。
已知估计量∑==n i i
X k 122
ˆσ是2σ的无偏估计量，试求常数k 。
解：
n k kn Ex k E x k i n i i n i 1ˆˆ2
212212=⇒=∑=⇒∑===σσσ 二、证明题（每题15分，共30分）
1．若事件A 与B 相互独立，则A 与B 也相互独立。
证明：[])()()()(1)()()()()(B P A P B P A P B P A P B P AB P B P B A P =-=-=-=）
（ 所以A 与B 相互独立
2．若事件B A ⊂，则)()(B P A P ≤。
证明： )()()()(B A P AB P B A AB P B P +=⋃=
事件B A ⊂,
)()(A P AB P =∴
)()()(B A P A P B P +=∴
0)(≥B A P
)()(B P A P ≤∴。