材料力学第三章扭转
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材料力学 第03章 扭转
sin 2 , cos 2
由此可知：
sin 2 , cos 2
(1) 单元体的四个侧面( = 0°和 = 90°)上切 应力的绝对值最大； (2) =-45°和 =+45°截面上切应力为零，而 正应力的绝对值最大；
[例5-1]图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50 马力，从 动轮B、C、D输出功率分别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马 力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
NA 50 M A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 M B M C 7024 7024 351 m N n 300 NC 20 M D 7024 7024 468N m n 300
第3章
扭
转
§3.1
一、定义 二、工程实例 三、两个名词
概
述
一、定义
Me Me
扭转变形 ——在一对大小相等、转向相反的外力偶矩
作用下，杆的各横截面产生相对转动的
变形形式，简称扭转。
二、工程实例
1、螺丝刀杆工作时受扭。
Me
主动力偶
阻抗力偶
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。
3、机器中的传动轴工作时受扭。
公式的使用条件：
1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：
2 A
I p d A (2π d )
2
d 2 0
O
2 π(
4
d /2
4
)
0
πd 4 32
d
d A 2π d
材料力学第三章 扭转
n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算 内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2
材料力学：第三章扭转强度
解：
A
TA
Ip
1000 0.015 0.044 (1 0.54 )
63.66MPa32max来自T Wt1000
0.043 (1 0.54 )
84.88MPa
16
min
max
10 20
42.44 MPa
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上 的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
解：
mA
7024
NA n
7024 50 300
1170 N m
mB
mC
7024
NB n
7024 15 300
351 N m
mD
7024 NC n
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16 倍？
max
T Wt
T
d3
16
Tl Tl
GIp
d4
G
32
例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿45＿ 螺＿旋＿ 面上 发生断裂，其破坏是由 最大拉 应力引起的。 在图上画出破坏的截面。
例：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截 面轴，受扭矩T=1kN·m作用，计算横截面上A 点的切应力及横截面上的最大和最小切应力。
7024 20 468 N m 300
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
mA 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
材料力学-第三章扭转
3、物理方程 mA a mA a AC 2GI p GI p
BC
2 mB a GI p
4 解得： m A 7 T 3 mB T 7
AB AC BC 0
例：由实心杆 1 和空心杆 2 组成的组合轴，受扭矩 T， 两者之间无相对滑动，求各点切应力。 T 解: 设实心杆和空心杆承担的扭矩分别为 G 2 Ip 2 M n 1 、 M n2 。 R2
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
圆轴扭转的强度条件
max
Mn D Mn I p 2 Wp
Wp
2I p D
Mn
D 3 D 3 Wp 1 4 抗扭截面系数Wp : W p 16 16
强度条件：
Mn max Wp
例 已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm [ ] 60MPa, T = 1.5 kNm
Mn d
3
圆形优于矩形
Aa
= 0.208
3
a
3
4
3
d 0.886 d
2
Mn
a
2
Mn 0.208 0.886 d
b
6.913
材料力学第3章扭转
试问：纵向截面里的切应力是由什么内力平衡的？
§3.8 薄壁杆件的自由扭转
薄壁杆件：杆件的壁厚远小于截面的其它尺寸。 开口薄壁杆件：杆件的截面中线是不封闭的折线或曲
线，例如：工字钢、槽钢等。 闭口薄壁杆件：杆件的截面中线是封闭的折线或曲线，
例如：封闭的异型钢管。
一、开口薄壁杆的自由扭转
＝ Tl
GI t
变形特点：截面发生绕杆轴线的相对转动 本章主要研究圆截面等直杆的扭转
§3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
功率： P(kW) 角速度：ω 外力偶矩：Me
P = Meω
转速：n(r/min)
2n/ 60
Me
1000 P＝9549
P n
(N
m)
内力偶矩：扭矩 T 求法：截面法
符号规则： 右手螺旋法则 与外法线同向“ + ” 与外法线反向“－”
max
T max
It
It
1 3
hi
3 i
二、闭口薄壁杆的自由扭转
max
T
2 min
TlS
4G 2
其中：ω截面为中线所围的面积
S 截面为中线的长度
闭口薄壁杆的应力分布：
例： 截面为圆环形的开口和闭口薄壁杆件如图所 示，设两杆具有相同平均半径 r 和壁厚δ，试 比较两者的扭转强度和刚度。
开＝3 r 闭 开＝3( r )2 闭
8FD3n Gd 4
C
ห้องสมุดไป่ตู้
Gd 4 8D3n
F C
§3.7 矩形截面杆扭转的概念
1) 翘曲
变形后杆的横截面不再保持为平面的现象。
2) 自由扭转和约束扭转
自由扭转：翘曲不受限制的扭转。 各截面翘曲程度相同，纵向纤维无伸缩， 所以，无正应力，仅有切应力。
材料力学第3章扭转
τ ρ = Gγ ρ
=G
ρdϕ
dx
22
C)静力平衡关系 C)静力平衡关系
T = ∫ A dA ⋅ τ ρ ⋅ ρ
2 dϕ = ∫ A Gρ dA dx
τ ρ = Gγ ρ
=G
dA
ρdϕ
dx
ρ
O
=G
dϕ ∫ A ρ 2dA dx
令
dϕ T = GI p dx
dϕ T = dx GIp
I p = ∫ A ρ 2dA
由公式
Pk/n
11
§3-2、外力偶矩 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩 (2)计算扭矩
(3) 扭矩图
12
§3-3、纯剪切
1、薄壁圆筒扭转：壁厚 、薄壁圆筒扭转：
t≤
1 r0 10
为平均半径） （r0：为平均半径）
A）观察实验： ）观察实验：
实验前： 实验前： ①绘纵向线，圆周线； 绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m。 。
16
纯剪切的概念： 纯剪切的概念：
当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 当单元体的侧面上只有剪应力而无正应力时， 就称为纯剪切。 就称为纯剪切。
3、剪应变与扭转角
设轴长为L，半径为R 设轴长为L 半径为R Φ称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 称为扭转角，是用来表示轴变形的量； 且的剪应变 γ Φ的关系如下： 与 的关系如下：
∑ mz = 0
a dy
γ τ´
dx
τ´
b
τ ⋅ t ⋅ dxdy = τ ′ ⋅ t ⋅ dxdy
故
τ
c z
τ
d t
τ =τ′
上式称为剪应力互等定理。 上式称为剪应力互等定理。 为剪应力互等定理
第三章扭转
T=Fs×r
材料力学
0
Fs=2 r
0
扭转/圆轴扭转时的应力
一.圆轴扭转时的应力分布规律
T
T
材料力学
扭转/圆轴扭转时的应力
1. 单元格的变化
A
B
C
A B
C
D
D
现象一： 方格的左右两边发生相对错动
横截面上存在切应力
方格的左右两边距离没有发生改变 现象二：
材料力学
横截面上没有正应力
2. 半径的变化
材料力学
扭转/纯剪切
§3.3 纯剪切
材料力学
相关概念
纯剪切：单元体各个面上只承受切应力而没有正应力。
单元体：是指围绕受力物体内一点截取一边长为无限小 的正立方体，以表示几何上的一点。
材料力学
扭转/纯剪切
一.薄壁圆筒扭转时的切应力
纯剪切的变形规律通过薄壁圆筒的纯扭转进 行研究。 受扭前，在薄壁圆筒的表面上用圆周线和 纵向线画成方格。
扭转/圆轴扭转时的变形
两横截面间相对扭转角的计算：
=TL/GIP
T：扭矩；
L：两横截面间的距离； G：切变模量； IP：极惯性矩。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
=TL/GIP
GIP越大，则越小。 GIP称为抗扭刚度。
材料力学
扭转/圆轴扭转时的变形
`=/L
`：单位长度扭转角（rad/m）。
思路：
最大扭矩
最大切应力
max
校核强度
相等
强度相同，则两轴的最大切应力 求出实心轴直径
材料力学
两轴面积比即为重量比
扭转/圆轴扭转时的应力
计算Wt:
3 Wt=D
材料力学第3章扭转总结
5 圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wt
πd 4 实心圆截面： I P 32
πd 3 Wt 16
πD4 空心圆截面： I （ 4） 1 P 32
πd 3 Wt （ 4） 1 16
6. 强度条件
max [ ]
对于等直圆轴亦即
Tmax [ ] Wt
7. 刚度条件 等直圆杆在扭转时的刚度条件：
圆周扭转时切应力分布特点：
T
max
Tr r Ip
max
d
圆周扭转时切应力分布特点：在横截面的同一半径 r 的圆周上各点处的切应力r 均相同，其值 与r 成正比，
其方向垂直于半径。
横截面周边上各点处(r r)切应力最大。
即单元体的两个相互垂直的面上，与该两个面的交线 垂直的切应力 和 数值相等，且均指向(或背离)该两个 面的交线——切应力互等定理。
Tmax
180 [ ] GI p
l
Ti li *若为阶梯扭矩、阶梯截面 GI i 1 pi
总结
1 扭转外力特点：
垂直轴线的平面内受一对大小相等、转向相反 力偶作用
变形特点： 杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动
外力矩计算
{M e }Nm
{P}kw 9.55 10 {n} r
3
min
2 扭转时内力：扭矩
扭矩(torque)－－其力偶作用面与横截面平行
Me
T(+) T
T(-)
3
材料力学 第三章 扭 转
T2
T1
d
T3
Mx1=0.5kN· m
Mx2 =0.32kN· m lAB=300mm G=80GPa d=50mm
B
T2
φAB
lAB
A T1
lAC d φAC
C T3
B
lAB
A
lAC
C
M x1l AB j AB = GI P 500 0.3 = 9 80 10 0.054 32
r O
Mx
几何分析
变 形 应变分布
物理关系
应力分布
平面假定 静力学方程
应力公式
1. 变形几何关系
周线
a b c d
T
周线
a c d
γ
T
φ
b
纵线
dx
纵线
dx
a
c
a
γ
c c' d d'
b
d
b
（1）变形后所有圆周线的大小、形状和间距均不变，绕杆轴线相对转动。 （2）所有的纵线都转过了同一角度g。
T
周线
A
dρ
ρ o
ρ2dA
∫ 0ρ2·2πρdρ =
π d = 32
4
d/2
d
3 Ip π d Wp = r = 16
2. 空心圆截面
π D 4 - π d 4 π D 4(1-α4) Ip= 32 32 = 32 α=d/D
ρ o
dρ
π D3 Wp = 16 (1-α4)
d D
3.薄壁圆环截面
I P = 2r0
故该轴满足切应力强度要求。
二、刚度计算 等直圆杆扭转的刚度条件为
θ max = Mxmax ≤[θ] GI
材料力学-第三章
21
第三章 扭转
3.5 圆轴扭转强度计算
22
扭转失效与扭转极限应力
扭转屈服应力：s 扭转强度极限：b 扭转强度极限：b 扭转屈服应力（s ）和扭转强度极限（b ），统 称为材料的扭转极限应力u。
23
圆轴扭转强度条件
材料的扭转许用应力为：
u
n
n为安全系数。
强度条件为：
max
（2) 若将轮1与轮2的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
（3) 若将轮1与轮3的位置对调，试求轴内的最大扭矩。
33
提高圆轴扭转时强度和刚度的措施
• 提高轴的转速 • 合理布局主动轮和被动轮的位置 • 采用空心轴 • 选用优质材料，提高剪切模量
34
例3-8：图示圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向载荷F作用。 所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋升角α很小（例如小于5º ）的 弹簧。设弹簧的平均直径D，弹簧丝的直径d，试分析弹簧 丝横截面上的应力并建立相应的强度条件。
第三章 扭转
3.1 扭转的概念
1
扭转的概念
以横截面绕轴 线作相对旋转为 主要特征的变形 形式，称为扭转。
2
受力特点： 变形特点：
受到垂直于构件轴线的外力偶 矩的作用。
构件的轴线保持不变，各横截面绕 轴线相对转动 截面间绕轴线的相对角位移，称为扭转角
使杆发生扭转变形的外力偶，称为扭力偶，其矩 称为扭力偶矩。 凡是以扭转为主要变形的直杆，称为轴。
公式的适用条件：以平面假设为基础；适用胡克定律。
18
圆轴截面的极惯性矩和抗扭截面模量
IP
d4
32
WP
d3
16
19
空心圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
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内力分量
轴力FN 应力分布规律
F F L L N N EA EA 正应力均匀分布
点或截面的线位移
TL GI P
位移
T 应力分布规律 GI P 切应力与距圆心 距离成正比分布
应力分量
应力分量
截面的角位移 刚度条件
FN A
强度条件
FN EA
T 1800 GI P
I 1 Wt h 2 t 3 (3 26b)
δ
表3-1 矩形截面杆在纯扭转时的系数α、β、γ
h/b
α β γ
1.0
0.208 0.141 1.000
1.2
1.5
2.0
2.5
3.0
4.0
6.0
8.0
10.0
∞
0.333 0.333 0.743
0.219 0.231 0.246 0.256 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743
作业：习题，3-16、3-17、3-19
2015年10月3日
V ε V vε dVρ A v ε ldAρ
3）W=Vε
d 2 0
128F 2 D2 2 nD 2 d 2 8 G d
4 F 2 D3 n G d4
8F D3n 64F R3 n F 4 F 2 D3n 4 4 Gd G d4 2 Gd
2、簧杆横截面上的应力
与剪力Q对应的剪应力τ1 按实用计算公式，可认为τ1在 横截面上均匀分布，故 τ1
Q 4F 1 A d2
F
FD T T 2
Q
D/2
d
Q
QF
与扭矩T对应的最大剪应力τ2max
2 max
T Wt 8FD
τ2max
T
d3
d
横截面上剪应力的最大值τmax
τ max τ1 τ 2 max d
4F
2
8 FD
d3
8 FD d ( 1) 3 d 2D
当d远小于D时，可不考虑剪力影响，故由扭矩引起 的最大剪应力为
max
8FD
d3
由于弹簧杆是曲杆，当弹簧曲率较大即d与D的比值不 太小时，按上式计算的剪应力最大值存在较大误差； 同时，假定剪力引起的剪应力在横截面上均匀分布， 这也存在误差。
3.13
一圆形截面杆和矩形截面杆受到相同扭矩
60mm×20mm，试比较这两种杆的最大切应力。
T 16T 16 400 103 3 31.9MPa 3 WP d 40
例题 T=400Nm作用，圆杆直径d=40mm，矩形截面为
解： 圆杆: max
A
d2
4
1260mm2
本节只讨论矩形及狭长矩形截面的的等直自由扭转时
的情形 3. 矩形截面杆的自由扭转
矩形截面扭转时，横截面切应 力如图所示，边缘上各点的切 应力形成与边界相切的顺流.
max
整个横截面上的最大切应力 发生在长边的中点. max
短边中点的切应力是短边上 的最大切应力，且
h T
b
max 因数γ可由表3-1查得。
1 Wt hb 2 Wt hb 2 I t hb3 3
1 3 I t hb 3
h
狭长矩形截面上切应力的分布情况见图 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切
其数值除在靠近顶点处以外均相等.
狭长矩形截面的 It 和 Wt，为与一般矩形区 分，将狭长矩形的短边b改写为δ
1 I t h 3 3 (3 26a)
§6 等直圆杆扭转时的应变能
等直圆杆扭转变形时，由于各横截面上的扭矩可能不 同，且横截面各点处的切应力随该点到圆心的距离而 变化，因此，欲计算杆内积蓄的应变能，需先计算杆 y 内任一点处的应变能密度。
由变形的相对性，可设单元 体左侧不动，右侧面上的剪 力由零逐渐增加至τdydz，右 侧面因错动沿y方向的位移由 零逐渐增加至γdx，因此，剪 力做的功：
Tmax [ ] Wt
抗扭截面系数
Wt
Ip R
D 4 (1 4 )
32 D/2
D3
16
(1 4 )
圆扭转时的变形
刚度条件
Tmax 180 max [ ] GI p
强度和刚度校核 强度条件和刚度条件的应用 截面设计 许可载荷的确定 扭转变形能
因弹簧指数c = D/d= 2R/d= 2×59.5/14=8.5 故弹簧的曲度系数k =(4c-1)/(4c-4)+0.615/c=1.17 3）校核弹簧强度
8FD
8 2510 (2 0.0595 ) 1.17 325 MPa [ ] max k 3 3 d (0.014)
§7 等直非圆杆扭转时的应力和变形
1、等直非圆杆的特点 等直非圆杆，如3-15所示矩形截面 杆扭转后横截面将发生 翘曲 而不 再是平面。 平面假设不成立，以此为基础推出的 应力、变形公式不适用，应由弹性力 学方法求解。
图 3-15
2.非圆截面杆两种类型的扭转
1、自由扭转(纯扭转free torsion.)：杆件两端杆件两 端不受约束，横截面的翘曲不受任何限制。各横截 面的翘曲程度完全相同，横截面上只有切应力而无 正应力。 2、约束扭转(constraint torsion). ：扭矩沿杆长变化、 或杆件受到约束横截面的翘曲受到限制，不能自由 翘曲。各横截面 的翘曲程度不同，横截面上除切应 力外还有附加的正应力。
max
'
T GIt
T Wt
(3 22)
(3 23)
Wt hb 2
(3 24a)
max
I t hb3
(3 24b)
h
、 两系数可由表 3-1
查得。h、b分别为矩形截 面的长、短边尺寸。
max
T
b
4. 狭长矩形截面杆的自由扭转 当长边/短边>10时，α=β≈1/3
dz
dy
x
dx
z
单元体内剪力做的功： dW 1 dydz dx 1 dxdydz
y
2
2
dW dV
应变能密度
dz
单元体内所积 蓄的应变能
dy
1 dxdydz 1 dV v 2 dV 2 dxdydz
x
dx
等直圆杆扭转时的应变能
矩形杆:
max
T T Wt hb 2
h 3 b
查表得：Hale Waihona Puke 0.267 62.4MPa
A bh 1200mm2
矩形面积与圆形面积相近.但最大应力却增大了一倍,
且 h/b之值越大，切应力也越大，因此工程中应尽量 避免使用矩形截面杆作扭转杆件。
第三章 扭转 知识网络图
扭转的基本概念 外力偶矩的计算 圆截面等直杆 受力特点 变形特征
F W 2
2）弹簧的应变能 •簧杆横截面上半径为ρ处的剪应力为
ρ
T IP
T
ρ
16FD
d4
dAρ=2πρdρ
Aρ
•单位体积的应变能为
2 2 2 128 F D vε G 2 d8 2G
2 ρ
•弹簧应变能 设弹簧的有效圈数为n，则其长度l=nπD。 弹簧应变能
应变能
max
T WP
T IP
强度条件
max
FN 2 A max 1 FN L v V 2 EA 2
T 2L 1 max V v 2GI P 2
T W P max
已知力、力臂、或功率、转速求力偶矩 右手螺旋法则 控制面和突变关系 危险截面
扭矩的符号规定和扭矩图
薄壁圆筒扭转时的切应力
切应力互等定理
纯剪切 剪切胡克定律 解释不同的破坏现象 变形几何关系 圆扭转时的应力 物理关系
m 2 r 2 t
E G 2(1 )
强度条件
max
静力关系
1 T 2l u m 2 2GI p
注意两种条件并用
圆柱形密圈弹簧的应力与变形
簧丝杆截面上的的应力 弹簧的变形
64PR3 n Gd 4
max
8 PD d ( 1) d 3 2D
矩形截面杆扭转理论
矩形截面杆的扭转
T hb 2
Tl GIt
轴向拉压
扭 转 内力分量 变形公式 扭矩T
V
2
V
v dV v dAdx
T IP
l A
1 2
z
G
l T V dAdx I 2 G 2 G P l A
2
A
2 dA
T 2l 2GI P
V
T 2l 2GI P
若等直圆杆仅在两端受外力偶矩Me作用时 T=Me 则 又 则
【例】某弹簧平均半径R=59.5mm ，有效圈数n= 5，簧 丝直径d=14mm。材料的许用应力[τ]=350MPa，材料剪 切弹性模量G=80GPa。弹簧工作时总变形（含预压变 形）△=55mm，校核弹簧强度。 【解】1）求弹簧所受的压力F 4 4 9 Gd 8010 (0.014) 2510 N 0 . 055 F C 3 64 R 3n 64 (0.0595 ) 5 2）求弹簧的曲度系数k