高考数学专题八 第1讲

第1讲　函数与方程思想、数形结合思想数学思想解读1.函数与方程思想的实质就是用联系和变化的观点，描述两个量之间的依赖关系，刻画数量之间的本质特征，在提出数学问题时，抛开一些非数学特征，抽象出数量特征，建立明确的函数关系，并运用函数的知识和方法解决问题.有时需要根据已知量和未知量之间的制约关系，列出方程(组)，进而通过解方程(组)求得未知量.函数与方程思想是相互联系，相互为用的.2.数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确.热点一　函数与方程思想应用1　求解不等式、函数零点的问题【例1】(1)(2017·衡阳市联考)设0<a<1，e为自然对数的底数，则a，a e，e a－1的大小关系为( )A.e a－1<a<a eB.a e<a<e a－1C.a e<e a－1<aD.a<e a－1<a e(2)(2017·衡水中学质检)设f(x)是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x(13)x＋4)＝f(x)，且当x∈[－2，0]时，f(x)＝－6.若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－log a(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是________.解析　(1)设f(x)＝e x－x－1，x>0，则f′(x)＝e x－1，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(0)＝0，f(x)>0，∴e x－1>x，即e a－1>a.又y＝a x(0<a<1)在R上是减函数，得a>a e，从而e a－1>a>a e.(2)由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，(13)x因为当x∈[－2，0]时，f(x)＝－6.所以若x∈[0，2]，有－x∈[－2，0]，(13)－x则f(－x)＝－6＝3x－6，因为f(x)是偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝3x－6，x∈[0，2]，由f(x)－log a(x＋2)＝0得f(x)＝log a(x＋2)，作出函数f(x) 的图象如图.当a>1时，要使方程f(x)－log a(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)＝log a(x＋2)有3个不同的交点，则满足{g（2）<f（2），g（6）>f（6），)即{log a4<3，log a8>3，)3434解得<a<2，故a的取值范围是(，2).34答案　(1)B　(2)(，2)探究提高　1.第(1)题构造函数，转化为判定函数值的大小，利用函数的单调性与不等式的性质求解.2.函数方程思想求解方程的根或图象交点问题(1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题，应用函数思想把方程根的问题转化为函数零点问题.(2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数解决.【训练1】 (1)设函数f (x )＝－cos x ，则方程f (x )＝所有实根的和为( )x 2π4A.0B.π4C.D.π23π2(2)(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析　(1)由f (x )＝－cos x ＝，得－＝cos x ，x 2π4x 2π4令y ＝－，y ＝cos x .x 2π4在同一坐标系内作出两函数图象，易知两图象只有一个交点.(π2，0)∴方程f (x )＝的实根之和为.π4π2(2)由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋，1x∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，联立消去y 得ax 2＋ax ＋2＝0.{y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，)依题意，Δ＝a 2－8a ＝0，∴a ＝8(a ＝0舍去).答案　(1)C (2)8应用2　函数与方程思想在数列中的应用【例2】 (2017·深圳调研)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＋a 4＝14，且a 1，a 2，a 7成等比数列.(1)求{a n }的通项公式a n 与前n 项和公式S n ；(2)令b n ＝，若{b n }是等差数列，求数列的前n 项和T n 的最小值.S n n ＋k{1b n b n ＋1}解　(1)a 1＋a 4＝2a 1＋3d ＝14，由a 1，a 2，a 7成等比数列得a 1(a 1＋6d )＝(a 1＋d )2，整理得d 2＝4a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝4a 1，由d ＝4a 1与2a 1＋3d ＝14联立，解得a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3，S n ＝＝2n 2－n .n （1＋4n －3）2(2)由(1)知b n ＝，∵{b n }为等差数列，2n 2－nn ＋k ∴2b 2＝b 1＋b 3，代入可解得k ＝－或k ＝0，12当k ＝－时，b n ＝2n ，则＝，121b n b n ＋114(1n －1n ＋1)∴T n ＝＝，14(11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)n 4（n ＋1）又y ＝＝在(0，＋∞)上是增函数，x 4（x ＋1）14(1＋1x)∴当n ＝1时，T n 有最小值.18当k ＝0时，b n ＝2n －1，则＝＝，1b n b n ＋11（2n －1）（2n ＋1）12(12n －1－12n ＋1)∴T n ＝＝.12(11－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)n 2n ＋1又y ＝＝在(0，＋∞)上是增函数，x 2x ＋112＋1x ∴当n ＝1时，T n 取到最小值.13综上，当k ＝－时，T n 的最小值为；1218当k ＝0时，T n 的最小值为.13探究提高　1.本题完美体现函数与方程思想的应用，第(2)问利用裂项相消求T n ，构造函数，利用单调性求T n 的最小值.2.数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公式与前n 项和公式即为相应的解析式，因此在解决数列最值(范围)问题的方法如下：(1)由其表达式判断单调性，求出最值；(2)由表达式不易判断单调性时，借助a n＋1－a n 的正负判断其单调性.【训练2】 已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列.(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝＋＋…＋，若1S n ＋11S n ＋21S 2n对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值.解　(1)∵a 1＝2，a ＝a 2(a 4＋1)，23又∵{a n }是正项等差数列，故d ≥0，∴(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，∴数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)∵S n ＝n (n ＋1)，则＝＝－.1S n 1n （n ＋1）1n 1n ＋1∴b n ＝＋＋…＋1S n ＋11S n ＋21S 2n＝＋＋…＋(1n ＋1－1n ＋2)(1n ＋2－1n ＋3)(12n －12n ＋1)＝－＝＝.1n ＋112n ＋1n2n 2＋3n ＋112n ＋1n＋3令f (x )＝2x ＋(x ≥1)，则f ′(x )＝2－>0恒成立，1x 1x2∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴当x ＝1时，f (x )min ＝f (1)＝3，(b n )max ＝.16要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则须使k ≥(b n )max ＝，16∴实数k 的最小值为.16应用3　函数与方程思想在几何问题中的应用【例3】 设椭圆中心在坐标原点，A (2，0)，B (0，1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点.(1)若＝6，求k 的值；ED → DF →(2)求四边形AEBF 面积的最大值.解　(1)依题意得椭圆的方程为＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方x 24程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0).如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2，且x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝.①21＋4k 2由＝6知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)，ED → DF →得x 0＝(6x 2＋x 1)＝x 2＝；17571071＋4k 2由D 在AB 上知x 0＋2kx 0＝2，得x 0＝.所以＝，21＋2k 21＋2k 1071＋4k 2化简得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝或k ＝.2338(2)根据点到直线的距离公式和①式知，点E ，F 到AB 的距离分别为h 1＝＝，|x 1＋2kx 1－2|52（1＋2k ＋1＋4k 2）5（1＋4k 2）h 2＝＝.|x 2＋2kx 2－2|52（1＋2k －1＋4k 2）5（1＋4k 2）又|AB |＝＝，22＋125所以四边形AEBF 的面积为S ＝|AB |(h 1＋h 2)12＝··＝1254（1＋2k ）5（1＋4k 2）2（1＋2k ）1＋4k 2＝2＝2≤2，1＋4k 2＋4k 1＋4k 21＋41k＋4k 2当且仅当4k 2＝1(k ＞0)，即当k ＝时，上式取等号.12所以S 的最大值为2.2即四边形AEBF 面积的最大值为2.2探究提高　几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长最值(范围)问题的基本方法.【训练3】 (1)(2017·平顶山一模)过双曲线－＝1(a >0，b >0)的右焦点F 作直x 2a 2y 2b2线y ＝－x 的垂线，垂足为A ，交双曲线左支于B 点，若＝2，则该双曲线b a FB → FA →的离心率为( )A.B.2C.D.357(2)已知正四棱锥的体积为，则正四棱锥的侧棱长的最小值为________.323解析　(1)设F (c ，0)，则直线AB 的方程为y ＝(x －c )代入双曲线渐近线方程yab ＝－x 得A .b a (a 2c ，－ab c)由＝2，可得B ，把B 点坐标代入－＝1，得FB → FA →(2a 2－c 2c ，－2ab c)x 2a 2y 2b 2－＝1.∴c 2＝5a 2，（2a 2－c 2）2a 2c 24a 2c2所以离心率e ＝＝.c a5(2)如图所示，设正四棱锥的底面边长为a ，高为h .则该正四棱锥的体积V ＝a 2h ＝，13323故a 2h ＝32，即a 2＝.32h则其侧棱长为l ＝＝.(2a 2)2＋h 216h ＋h 2令f (h )＝＋h 2，则f ′(h )＝－＋2h ＝，16h 16h 22h 3－16h 2令f ′(h )＝0，解得h ＝2.显然当h ∈(0，2)时，f ′(h )<0，f (h )单调递减；当h ∈(2，＋∞)时，f ′(h )>0，f (h )单调递增.所以当h ＝2时，f (h )取得最小值f (2)＝＋22＝12，162故其侧棱长的最小值l ＝＝2.123答案　(1)C (2)23热点二　数形结合思想应用1　讨论函数的零点或方程的根【例4】　(1)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________.(2)(2016·山东卷)已知函数f (x )＝{|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，)其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.解析　(1)由f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得|2x －2|＝b 有两个不等的实根，从而可得函数y ＝|2x －2|的图象与函数y ＝b 的图象有两个交点，如图所示.结合函数的图象，可得0＜b ＜2.(2)作出f (x )的图象如图所示.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝(x －m )2＋4m －m 2.∴要使方程f (x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ，即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3.答案　(1)(0，2)　(2)(3，＋∞)探究提高　1.本题利用数形结合思想，将函数零点或方程的根的情况转化为两函数图象交点问题.2.探究方程解的问题应注意两点：(1)讨论方程的解(或函数的零点)一般可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性，否则会得到错解.(2)正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则，不要刻意去用数形结合.【训练4】 (2017·乐山二模)若函数f (x )满足f (x －1)＝，当x ∈[－1，0]1f （x ）－1时，f (x )＝x ，若在区间[－1，1)上，g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点，则实数m 的取值范围为________.解析　∵x ∈[－1，0]时，f (x )＝x .∴当x ∈(0，1)时，－1<x －1<0，∴f (x －1)＝x －1，从而x －1＝.1f （x ）－1因此，x ∈(0，1)时，f (x )＝＋1，1x －1作出函数f (x )在[－1，1)上的图象，如图所示.因为g (x )＝f (x )－mx ＋m 有两个零点.∴y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x －1)在区间[－1，1)上有两个交点，又k AB ＝＝，由几何直观知0<m ≤.0－（－1）1－（－1）1212答案　(0，12]应用2　利用数形结合思想求最值、范围【例5】　(1)记实数x 1，x 2，…，x n 中最小数为min{x 1，x 2，…，x n }，则定义在区间[0，＋∞)上的函数f (x )＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }的最大值为( )A.5B.6C.8D.10(2)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m >0).若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A.7B.6C.5D.4解析　(1)在同一坐标系中作出三个函数y ＝x 2＋1，y ＝x ＋3，y ＝13－x 的图象如图：由图可知，在实数集R 上，min{x 2＋1，x ＋3，13－x }为y ＝x ＋3上A 点下方的射线，抛物线AB 之间的部分，线段BC ，与直线y ＝13－x 点C 下方的部分的组合图.显然，在区间[0，＋∞)上，在C 点时，y ＝min{x 2＋1，x ＋3，13－x }取得最大值.解方程组得点C (5，8).{y ＝x ＋3，y ＝13－x)所以f (x )max ＝8.(2)根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m .因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝|AB |＝m .12要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离.因为|OC |＝＝5，32＋42所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.答案　(1)C (2)B探究提高　1.第(1)题利用函数的图象求最值，避免分段函数的讨论；第(2)题利用几何直观，把m 的值转化为圆上的点到原点的距离.2.运用数形结合思想求解最值问题(1)对于几何图形中的动态问题，应分析各个变量的变化过程，找出其中的相互关系求解.(2)应用几何意义法解决问题需要熟悉常见的几何结构的代数形式，主要有：①比值——可考虑直线的斜率；②二元一次式——可考虑直线的截距；③根式分式——可考虑点到直线的距离；④根式——可考虑两点间的距离.【训练5】 (2017·九江十校联考)设A ，B 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且|AB |＝，3点P 在直线l ：3x ＋4y －12＝0上运动，则|＋|的最小值为( )PA → PB →A.3B.4C.D.175195解析　设AB 的中点为D ，则＋＝2，PA → PB → PD →∴当且仅当O ，D ，P 三点共线时，|＋|取得最小值，PA → PB →此时OP ⊥AB ，且OP ⊥l .∵圆心到直线的距离为＝，129＋16125|OD |＝＝，1－3412∴|＋|的最小值为2＝.PA → PB → (125－12)195答案　D应用3　数形结合求解不等式、参数问题【例6】　(1)(2015·全国Ⅱ卷)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ∈R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0，1)B.(－1，0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1，0)D.(0，1)∪(1，＋∞)(2)(2017·西安调研)已知变量x ，y 满足约束条件若z ＝2x －y {x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0，)的最大值为2，则实数m ＝( )A.－1B.－2C.1D.2解析　(1)设g (x )＝(x ≠0)，则g ′(x )＝.当x >0时，xf ′(x )－f (x )<0，f （x ）x xf ′（x ）－f （x ）x 2∴g ′(x )<0，∴g (x )在(0，＋∞)上为减函数，且g (1)＝f (1)＝－f (－1)＝0.∵f (x )为奇函数，∴g (x )为偶函数，∴g (x )的图象的示意图如图所示.当x >0时，由f (x )>0，得g (x )>0，由图知0<x <1，当x <0时，由f (x )>0，得g (x )<0，由图知x <－1，∴使得f (x )>0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).(2)将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 取最大值时，直线y ＝2x －z 在y 轴上的截距最小，故当m ≤时，不满足题意.12当m >时，作出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示12{x ＋2y ≥0，mx －y ≤0，x －2y ＋2≥0)(含边界).y ＝2x －z 过点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z ＝2x －y 取得最大值.易求点B ，(22m －1，2m 2m －1)∴最大值为z ＝2×－＝2，解得m ＝1.22m －12m2m －1答案　(1)A (2)C 探究提高　1.第(1)题利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f (－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x 的取值范围.2.求参数范围或解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化为数量关系解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答.【训练6】 (1)当x ∈(1，2)时，(x －1)2<log a x 恒成立，则实数a 的取值范围是________.(2)(2017·沈阳调研)已知实数x ，y 满足{y ≥0，x ＋y ≤0，2x ＋y ＋2≤0，)则z ＝log 2的取值范围是________.(y －1x －1＋32)解析　(1)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方.结合图象，a 的取值范围是(1，2].(2)作线性约束条件表示的可行域如图所示.令t ＝表示可行域内的点P (x ，y )与定点M (1，1)连线的斜率.y －1x －1易求点B (－1，0)，k MB ＝＝，且x ＋y ＝0的斜率为－1.1－01－（－1）12∴－1<t ≤，从而<＋≤2，故－1<z ≤1.1212y －1x －132答案　(1)(1，2]　(2)(－1，1]1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.。