哥德巴赫猜想研究(六)
素数定理 设 a 为任意实数
( x)
x x ， x ln x a ln x
(2.6)
( x) 表示不超过 x 的素数的个数，其中 a 为常数。上述公式是著名
的素数定理，其证明参见数论书籍[2]。素数定理实际上就是把不规 则的非连续函数表达式（2.2） ，在特定条件下用一个连续函数表达 式表达了出来，为用连续函数估算 ( x) 的值提供了便利。
又因为
x ( x ) v ( n ) ，设 b x , t 2 ，而 n 1
t
1 为可微分的连续函数， ln(2 x n)
对（3.12）运用 Abel 恒等式则有
5
2x 1 D(2x) v(n)v(2x n) 2 v(n) n1 bnx ln(2x n)
Abel 恒等式 设 a(n) 是一算术函数，其和函数
A( x) a (n)
(2.7)
再设 1 y x ， f (t ) 是区间
y n x
y, x
n x
a ( n) f ( n)
上的连续可微函数，则有
x
A( x) f ( x) A( y ) f ( y ) A(t ) f / (t )dt
（1.3）
其中 N p1 p2 , t 2 为正实数，从而证明了 Goldbach 猜想。
&2 定义 1 函数
引理
1 v(n) 0 其中 n 0,1,2,3..... 为自然整数
定义 2 函数
n 为素数 其他
（2.1）
(k ) v(n)
n 1
k
(2.2)
其中 n 0,1,2,3..... 为自然整数。这个等式的含义是非常清楚的，即在不 大于 k 的自然数中，所含素数的个数为 ( k ) 个。 显然： v( n) (n) ( n 1) (2.3) 定义 3 函数
（3.14）
因为
x
1
(t )
dt
ln(2 x t ) 2 x t
2
0
所以有
x x 1 , x ,t 2 D(2x) 2 2 ln x t ln x ln 2x x t t 设 D ( N ) D (2 x) ，则有：
n 1 x n b
b 1
x
2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1)
n b x 2x n 2x n 1 2 v ( n) n b ln(2 x n ) ln(2 x n 1) x 2x n 2 x n cn 2 v ( n) n b ln(2 x n ) ln(2 x n ) x cn 2 v ( n) n b ln(2 x n ) x 1 2 v ( n) , b n b ln(2 x n )
4
D (2 x ) v ( n )v (2 x n )
n 1
2x
2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1)
n 1
x
2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1) 2 v ( n ) (2 x n ) (2 x n 1)
文献： [1] 潘承洞 潘承彪《素数定理的初等证明》上海科学技术出版社 1988 年 [2] 潘承洞 潘承彪《歌德巴赫猜想》 科学出版社 1984 年 [3] 王元 《歌德巴赫猜想研究》 黑龙江教育出版社 1987 年
7
2
)
p ｜ Ｎ p2
p 1 p 2
(1.2)
其中 D( N ) 是指表示满足 N p1 p2 的素数对 ( p1 , p2 ) 的数目， p 为素 数，这就是 Hardy-Littlewood 猜想[1]，已有的大量的经验数据强 有力地支持该猜想。如果 Hardy-Littlewood 猜想成立，则哥德巴赫 猜想。80 多年过去了，人们对 D(N)虽进行了大量的研究，但仍未能
n 1
由于 (k ) 是非连续函数，并且只在特定条件下有渐进表达式，因此 我们只能在特定条件下求上述方程的解。由素数定理（2.3）知， 当
k 时，有渐进式 (k )
k k k ，我们设定当 k b 时 (k ) ln k ln k a ln k
，
其中 b 可以为充分大，则有
D (2 k ) v ( n ) v (2 k n )
n )
n 1
k
n k 1
2k
v ( n ) v (2 k n ) 2 D ( k )
(2.5)
（2.5）式一个很有用的公式，在以后的证明中要用到。 显然 （2.4）是整个证明过程中的核心公式，因为只要证明 D ( k ) 1 实际 上就证明 Goldbach 猜想。
1
获得 D(N)下界大于 0 的一般算式， 因此证明 Hardy-Littlewood 猜想 就成了证明哥德巴赫猜想的一个强有力的研究方向。本人的研究证 明，在 N 充分大时有：
1 N ，N D(N ) 1 ln 2 N ln t 2t 1 ln ( N / 2 )
6
N N t D(N ) 2 N N ln ( N / 2 ) ln ln N 2t 2t N 1 1 2 ln ( N / 2 ) t ln N / 2 1 ln t ln N 2 ln N / 2 2 N 1 1 2 ln t ln ( 2 1 / t ) ln ( N / 2 ) t 1 1 ln N / 2 ln ( N / 2 ) N 1 1 2 ln N 2 t 1 ln t ln N / 2 N ,t 2
当 b , x 时有
x n x t
v(n) ln(2 x n)
x
1
ln x
2
x x du 1 (u) 2 / x t x x ln(2 x u) 2 x u t ln ln 2 x t t
1 2 v(n) x ln(2x n) nx
t
（3.13）
2(x)
x 1 1 du x 2 2 (u) 2 x t / ln x t ln 2x x ln(2x u) 2x u t
1 t
（3.17）
其中
N
ln( N / 2)
2
N
ln N
2
， 1
ln(2 1/ t ) 2 ln( N / 2)
至此，定理证毕。
作者联系方式：电 子 邮 件：sfwxxx@ 电 话 0906-2133128 0906-2125212
歌德巴赫猜想的一个证明方法
苏法王
摘 要： 本文对哥德巴赫猜想证明的一个均值估值方法进行了讨论， 证明歌德巴赫猜想在特殊情况下成立，只提供一个证明思路，并不 具有普遍意义，希望研究者注意。 关键词：素数表达 数学猜想 特殊函数 数学方法
歌德巴赫猜想：1724 年，德国中学数学教师歌德巴赫发现，每 一个不小于 6 的偶数都是两个素数之和，由于这个结论没有得到证 明，所以这个猜想被称之为歌德巴赫猜想。
（3.15）
N N 2t , N , t 2 （3.16） D( N ) 2 2 2 ln( N / 2) ln N ln N N 2t 2t
简化（3.16） ，则有
（3.10）
其中 N p1 p2 , t 2 为正实数。 证明：结合（2.5） （2.3）得知：
D (2k )
2k
v (n )v (2 k n )
n 1
2k
v ( n ) ( 2 k n ) ( 2 k n 1)
k
（3.11）
u 1
2 v ( n ) ( 2 k n ) ( 2 k n 1)
D ( k ) v ( n ) v (2 k n )
n 1
k
(2.4)
其中 n 0,1,2,3..... 为自然整数。这个等式的含义也是十分非常清楚的， 即在不大于 2k 的自然数中， n ， 2k n 同时为素数的个数。 D (k ) 是 指表示满足 2k p1 p2 的素数对 ( p1 , p2 ) 的数目，具有计算和记数功 能，比如
&1
引言
1923 年， 英国数学家 Hardy 和 Littlewood 运用其发明的 “圆法” 对哥德巴赫猜想给出了一个猜测的渐近公式，对大偶数 N 应该有
D( N ) 2 ( N ) N ，N ln 2 N
(1.1)
其中
2 ( N ) 2 (1
p2
1 (1 p )
y
(2.8)
特别的,取 y=1,则有
3
y n x
a ( n) f ( n)
x / 1
A( x) f ( x) A(t ) f (t )dt
(2.9)
具体证明参考[3]
& 3 定理 当 N 充分大时有：
定理的证明
N 1 ， N , D (N ) 1 N )2 ( l n ln t t 2 1 ln ( N / 2 )
哥德巴赫 庞加莱猜想
哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可分为两个猜想（前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想，后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想）：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
考虑把偶数表示为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。
把命题"每一个大偶数可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"，那么哥氏猜想就是要证明"1+1"成立。
1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任何一个大偶数都可表示成一个素数与另一个素因子不超过2个的数之和"。
这个问题是德国数学家哥德巴赫（C．Goldbach，1690-1764）于1742年6月7日在给大数学家欧拉的信中提出的，所以被称作哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)。
同年6月30日，欧拉在回信中认为这个猜想可能是真的，但他无法证明。
现在，哥德巴赫猜想的一般提法是：每个大于等于6的偶数，都可表示为两个奇素数之和；每个大于等于9的奇数，都可表示为三个奇素数之和。
其实，后一个命题就是前一个命题的推论。
哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。
1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想百科名片哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想（Goldbach Conjecture）大致可以分为两个猜想(前者称"强"或"二重哥德巴赫猜想,后者称"弱"或"三重哥德巴赫猜想)：1.每个不小于6的偶数都可以表示为两个奇素数之和；2.每个不小于9的奇数都可以表示为三个奇素数之和。
目录[隐藏]哥德巴赫介绍来源【小史】【意义】[编辑本段]哥德巴赫介绍哥德巴赫（Goldbach ]C.，1690.3.18~1764.11.20）是德国数学家；出生于格奥尼格斯别尔格（现名加里宁城）；曾在英国牛津大学学习；原学法学，由于在欧洲各国访问期间结识了贝努利家族,所以对数学研究产生了兴趣；曾担任中学教师。
1725年，到了俄国，同年被选为彼得堡科学院院士；1725年~1740年担任彼得堡科学院会议秘书；1742年，移居莫斯科，并在俄国外交部任职。
[编辑本段]来源1729年~1764年，哥德巴赫与欧拉保持了长达三十五年的书信往来。
在1742年6月7日给欧拉的信中，哥德巴赫提出了一个命题。
他写道："我的问题是这样的：随便取某一个奇数，比如77，可以把它写成三个素数之和：77=53+17+7；再任取一个奇数，比如461，461=449+7+5，也是三个素数之和，461还可以写成257+199+ 5，仍然是三个素数之和。
这样，我发现：任何大于7的奇数都是三个素数之和。
但这怎样证明呢？虽然做过的每一次试验都得到了上述结果，但是不可能把所有的奇数都拿来检验，需要的是一般的证明，而不是个别的检验。
"欧拉回信说：“这个命题看来是正确的".但是他也给不出严格的证明。
同时欧拉又提出了另一个命题：任何一个大于6的偶数都是两个素数之和，但是这个命题他也没能给予证明。
不难看出，哥德巴赫的命题是欧拉命题的推论。
事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4。
数学思想与文化智慧树知到答案章节测试2023年中国海洋大学
第一章测试1.数学起源于人类早期的生产活动，为中国古代六艺之一，数学也被古希腊学者视为哲学的起点。
A:是B:否答案:A2.数学和哲学都具有高度的抽象性和严密的逻辑性。
数学是研究事物的量及其关系的具体规律，哲学则是研究自然、社会和思维的普遍规律，可以说哲学与数学是共性与个性、普遍与特殊的关系。
A:是B:否答案:A3.一位数学家不懂得哲学和辩证法，那么他在数学上也能取得巨大成就。
A:否B:是答案:A4.研究和比较不同作家的文学作品的文体风格，至今还没有任何高等数学的工具可以借助。
A:是B:否答案:B5.__________年是联合国宣布的“世界数学年”。
联合国教科文组织指出：纯粹数学与应用数学是理解世界及其发展的一把主要钥匙。
A:2012B:2008C:2000D:1991答案:C第二章测试1.随着科学技术的迅猛发展，数学的地位日益提高，这是因为当今科学技术发展的一个重要特点是高度的、全面的定量化，定量化实际上就是数学化。
人们把数学看成是与自然科学、社会科学并列的一门科学，称为数学科学。
A:是B:否答案:A2.古希腊数学以几何定理的演绎推理为特征，具有公理化的模式。
A:是B:否答案:A3.“哥德巴赫猜想”是对的，不必再猜了，因为你举不出一个反例来。
A:否B:是答案:A4.“一门科学,只有在其中成功地使用了数学,才算真正发展了。
”这是________的名言。
A:费尔巴哈B:拉奥C:恩格斯D:马克思答案:D5.初等数学时期的主要贡献不包括__________A:沙皇俄国时期的数学B:欧洲文艺复兴时代的数学C:古希腊数学D:中世纪的东西方数学答案:A第三章测试1.公理化方法最早出现在大约公元前3世纪，古希腊的欧几里得总结了古代积累起来的几何学和逻辑学的丰富资料，以三段论法为逻辑依据，在历史上提出了第一个公理系统。
A:是B:否答案:B2.一个公理系统是否科学，它的基础在逻辑上是否完善、合理，要看它是否满足三条，这三条不包括以下哪条。
哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想哥德巴赫本来是普鲁士派往俄罗斯的一位公使。
后来，他成了一名数学家。
哥德巴赫和费尔马一样，很喜欢和别人通信讨论数学问题。
不过，他在数学上的成就和声望，远远不如费尔马，有的人甚至认为他不是数学家。
其实，有资料说，他是彼得堡科学院院士。
哥德巴赫与另一名彼得堡科学院院士、著名数学家欧拉经常通信。
他们有15年以上的通信历史，经常讨论的是数学问题。
1742年6月7日，哥德巴赫写信告诉欧拉，说他想冒险发表一个猜想：“大于5的任何数是三个素数的和。
”这里要顺便交待一句，有一个时期，人们把1看成是特殊的素数；后来，才像今天这样，把1与素数严格区别开来。
同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中说，他认为：“每一个偶数都是两个素数之和，虽然我还不能证明它，但我确信这个论断是完全正确的。
”这就是著名的哥德巴赫猜想．后来，它被归纳为：命题甲：每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和；命题乙：每一个大于或者等于9个奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
这就是今天我们所说的哥德巴赫猜想，实际上，应该是哥德奇巴赫——欧拉猜想。
当然，如果(甲)成立，则(乙)必成立．这是因为2n+1=2(n-1)+3而(甲)成立，有两个奇素数p1，p2，使2(n-1)=p1+p2．再把奇素数3记为p3，则奇数N奇=2n+1=p1+p2+p3．因偶数2(n-1)≥6，故奇数2n+1≥9．(*)这就指明了：若(甲)成立，则(乙)成立；但若(乙)成立，则反推不出(甲)成立．这说明(甲)命题是最本质的．整个19世纪结束时，哥德巴赫猜想的研究没有任何进展．有人作了具体的验证，得到6=3+3，8=3+5，…，18=11+7，…，一直算到33×106(三千三百万)以内的偶数都是对的，而相应的奇数也有同样的结论．问题是较大的偶数怎么样？1900年，希尔伯特(Hilbert)在第二届国际数学会上发表了著名的二十三个难题中，哥德巴赫问题被列为第八个问题的一部分．由于问题艰难，有的数学家散布悲观的论调．1912年，德国数学家朗道(Landau)在国际数学会的报告中说：“即使要证明下面较弱的命题：任何大于4的正整数，都能表成C个素数之和(C 为某常数)，这也是现代数学力所不能及的．”1921年，英国数学家哈代(Hardy)在一次数学会上也谈到：“哥德巴赫猜想，可能是没有解决的数学问题中最困难的一个．”就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候，那些勇于探索真理的人们，并没有被困难所吓倒，而是一步一个脚印地努力拼搏，从前人研究所走过的道路上去挖掘与发现解决哥德巴赫猜想可能取得成果的潜在思想，开始从不同的方向取得了为以后证明提供基础的重大突破．这就是：1920年前后，英国数学家哈代、李特伍德(Littlewood)和印度数学家拉马努扬(Ramanu-jan)所提出的“圆法”；1920年前后，挪威数学家布龙(Brun)所提出的“筛法”；以及1930年前后，苏联数学家史尼尔里曼(Schnirelmann)所提出的“密率”．在不到50年的时间里，沿着这三个方向对哥德巴赫猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数论和其他一些数学分支的发展．迄今得到的最好结果是：(1)1937年，苏联数学家维诺格拉托夫(Vinogradov)证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数的和；(2)1966年我国数学家陈景润证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不超过两个素数的乘积之和．这是两个十分杰出的成就．求解的思路人们遇到一些困难的理论问题时，往往有两种方式去进行求解：一是直接地去求证本题的结论，即把诸如(*)这类式子理解为一个方程式，当p1，p2，p3限制在素数范围内时，解答个数I(依赖于N)是否大于零呢？这就引出了对I进行估算的问题——猜想(乙)；二是将问题削弱一点，然后逐步逼近而力争解决——猜想(甲)．最早对I(N)进行研究的是英国的哈代及李特伍德，他们采用分析方法引进“圆法”来研究数论，他们利用“圆法”及一个未经证实的猜测——黎曼猜测证明了任一充分大的奇数都是三素数之和．因此，人们常称：这两位教授有战斗之功，无胜利之果．(有战斗之功指吹响了向哥德巴赫问题冲锋的进军号，无胜利之果是指证明过程中使用了一个未经证明的“猜想”．)1937年，苏联数学家维诺格拉托夫利用“圆法”及他自己创造的“三角和法”基本上证明了问题(乙)．巴雷德金(Borozdkin)算过，当奇数(此数共4008600位)大约400万位时，就能表示成三个奇素数之和，换句话说，除掉适合于的有限多个奇数外，命题(乙)都成立．但目前已知最大素数为 M756839=2756839-1共227832位，它比小得多，可见小于维氏常数的一切奇数是否满足命题(乙)，还没有办法验证，所以说是基本上证明了命题(乙)．尽管如此，维氏的结果仍是十分杰出的．在维诺格拉托夫的重要工作之后，我国数学家华罗庚在1938年证明了下面重要的定理：几乎全体偶数都能表示成两个素数之和，即N偶=p1+p2k(p1，p2为素数，k≥1为自然数)．由于研究哥德巴赫问题的方法一般需要数论中很复杂而深入的知识，下面只对“圆法”和“筛法”的基本思想作简要说明．(1)圆法对于哥德巴赫猜想来说，圆法的思想是这样的：设m为整数，因为积分所以哥德巴赫方程N偶=p′+p″，p′，p″∈P(P为素数集合)(3．2)的解数I(N偶)可表为积分其中S(α，N)=∑e(αp)，(e(x)=e2πix)(3．4)而S(α，N)称为素变数的三角和．所谓哥德巴赫猜想(甲)就是要证：对于所有的偶数N偶≥6，都有I(N偶)＞0．所谓哥德巴赫猜想(乙)就是要研究积分如果对任何N奇≥9均有T(N奇)＞0，就是猜想(乙)成立，即(*)成立．要证T(N奇)＞0(或I(N偶)＞0，确实是件很困难的事，因为我们对被积函数中的三角和S(α，N)=∑e(αp)的性质很不熟悉．如果性质搞清楚了，其积分的值也就求出来了．那它有什么性质呢？他们猜测有如下性质：当α在[0，1]上跑过时，在分母“较小”的既约分数“附近”时，S(α，N)就取“较大”的值；当α在分母“较大”的既约分数“附近”时， S(α，N)就取“较小”的值．这样我们就可把积分区间分为两部分，其中一部分，是积分的主要项，要计算出来；另一部分，是积分的次要项，相对前一部分，可忽略不计．如何实现上述想法？下面再作简要说明．设Q，τ为二整数，1≤Q≤τ≤N考虑法莱(Ferey)数列以及易证，满足条件时，所有的小区间E(q，a)是两两不相交的．我们称E1为基本区间，E2为余区间．如果一个既约分数的分母不超过Q，我们就说它的分母是“较小”的，否则就说是“较大”的．如果两个点之间的距离不超过，τ-1，我们就说它们是“较近”的．显然，当α∈E1时，它就和一分母“较小”的既约分数“接近”；当α∈E2时，可以证明，它一定和一分母“较大”一区间对原积分的数值并无影响．这样一种区间的分割称为法莱分割．那么有其中“圆法”就是要计算I1(N偶)、T1(N奇),且证明它们为I(N偶),T(N奇)的主要项,而I2(N偶),T2(N奇)分别为次要项．如果不加任何条件限制，难以计算I(N偶)，T(N奇)的渐近式．这样一来，先把问题范围缩小，加上一些前提条件，得到带有假设性的结果，然后再考虑如何取消这个前提条件得到满意结果，这也是我们很自然的想法．1923年，哈代、李特伍德他们在广义黎曼(Riemann)猜想成立的前提下证明其结论．这里所谓黎曼猜想，是指黎曼ζ-函数他们证明了：对于充分大的奇数，一定可以表为三个奇素数之和，且有渐近公式对于偶数又怎样呢？他们猜测有哈代、李特伍德所创造的“圆法”为人们攻克哥德巴赫猜想指明了一个有成功希望的研究方法．后来，1937年苏联数学家维诺格拉托夫在“圆法”的基础上，再加上他独创的“三角和的方法”，去掉了广义弱型黎曼猜想前提证明了：每一个充分大的奇数都是三个奇素数之和，且有渐近式(3．8)成立．他的这一结果称为哥德巴赫—维诺格拉托夫定理——三素数定理．1941年，我国数学家华罗庚对维氏“三角和方法”作了非常深刻的研究和改进，并对维氏定理作了重要推广，他证明了：每一个充分大的奇数N奇，都可表为三个奇素数的k次方的和：N奇=p1k+p2k+p3k(k为任意正整数)当k=1时，就是维式定理．这里还应提到一点，1977年，我国著名数学家潘承洞的弟弟潘承彪教授，对维氏定理给出了一个十分简化的证法(原来的证明很繁难)．(2)筛法在提出“圆法”的同时，为了研究哥德巴赫猜想(甲)，对“筛法”的研究也开展起来．要解决猜想(甲)实在太困难，人们想用逐次逼近的方法一步一步地突破．先将偶数N写成两个自然数之和N偶=n1+n2而n1与n2里的素因数个数记为a与b，简记为{a，b}或写成{a+b}．这样的问题也可以说是“殆素数问题”，即问：是否每一个充分大的偶数都可以表示成两个殆素数之和？所谓“殆素数”就是指素因数的个数很少，其中a是一个不超过a个素因子的数，b是一个不超过b个素因子的数．如果能证明对于每一个偶数N，总有a=b=1，也即有{1+1}结果的话，那么哥德巴赫猜想就成立了．到目前为止，对研究关于偶数的哥德巴赫猜想最为有效且获得最好结果的方法正是“筛法”．那么，“筛法”是怎样与“哥德巴赫猜想(甲)”联系起来的呢？大家知道“筛法”是寻求素数的一个古老的方法．这个方法是两千多年前古希腊学者爱拉托士散纳(Eratosthenes)创造的，称为爱拉托士散纳筛法．我们的素数表基本上按此法编制的．例如，我们用此法编1-100间的素数表如下：100以内的合数一定能被10以下的某一素数即2，3，5，7之一整除．因此，我们依次把能被2除尽的数、能被3除尽的数、能被5除尽的数、能被7除尽的数都划去，留下的正好是10到100之间的所有素数，这样就得到从1—100间的素数为2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个素数．在这里，2，3，5，7这四个数好像组成了一个“筛子”，凡是能被这“筛子”中的一个数除尽的数就要被“筛”掉，而不能被除尽的数就留下．通过这个“筛”，筛出10—100间的素数．在一般情况下，“筛子”可由满足一定条件的有限个素数组成，我们记作B．被“筛”选的对象可以是一个由有限多个整数组成的数列，我们记作A．如果把数列A经过“筛子”B筛选后所留下的数列记作C，那么简单地说，“筛法”就是用来估计数列C中整数个数多少的一种方法．随着数学的发展，“筛法”也得到了发展，特别是对猜想(甲)的研究，“筛法”理论及应用比以前更加深刻与广泛．因此，我们用现代数学语言来描述它：A表示一个满足一定条件的由有限多个整数组成的集合(元素可重复)，B表示一个满足一定条件的无限多个不同的素数组成的集合，z≥2为任一正数．令我们以S(A，B，z)表示集合A中所有与P(z)互素的元素的个数，即这里P(z)就起到一个“筛子”的作用，凡是和它不互素的都被“筛掉”，而与它互素的数都留下．所谓“筛法”的含义也正是如此．“筛子”的大小是与集合B与z有关．z愈大，筛子就愈大，被筛掉的数就愈多．S(A，B，z)是集合A经过筛子P(z)筛选后所剩下的元素的个数．我们称S(A，B，z)为筛函数．显然，使用“筛法”对筛函数必须深刻理解．因此，研究筛函数的性质、作用及计算成为最基本的任务，其中最重要的就是估计筛函数S(A，B，z)的上界和正的下界．如果你想用筛法解决数论某一问题，首先必须把归结的问题与筛函数建立联系．现在是用筛法去研究猜想{a，b}，那么筛函数与{a，b}的内在联系如下：设N为一大偶数，取集合A=A(N)＝{n(N-n)，1≤n≤N}那么显然证明了{a，a}，这里那么我们就相应地得到了一个大偶数表为二个素数因子个数不超过a个的数之和的表法个数的上界．如果我们取集合C=C(N)={N-p、p≤N}能证明么也就相应地得到了偶数表为一个素数与一个素因子不超过a个数之和的表法的上界．从上面所述，命题{a，b}和求筛函数的上界和正下界紧密相关．同“圆法”一样，也要计算主项和估计余项，并证明相对于主项来说余项是可以忽略的．在证明以上命题{a，b}时，余项的估计是初等的，比较简单的．1920年前后，挪威数学家布龙(Brun)对古典筛法作了改进，用新的筛法证明了命题{9，9}，开辟了用“筛法”研究猜想(甲)及其他数论问题的新途径．1950年前后，谢尔伯格(Selberg)对古典筛法又作了改进，他利用求二次型极值方法创造了新的筛法，它比布龙方法更简单且结果又好．接着，1941年库恩(Kuhn)也提出“加权筛法”……．之后便是接二连三的改进工作．特别是我国一些年轻数学家，成功地应用“筛法”及“三角和方法”相结合的新解析数论方法，在50年代到60年代期间，作出了一系列重要的改进：首先是王元1957年在黎曼假设下证得{1，5}成立；不需任何假设证得{1，5}应归功于1962年潘承洞所发表的成果，这个结果第一次定量地而且是低纪录地向{1，1}挺进． 1963年，1965年相继出现了{1，4}，{1，3}的重要成就．此时，在估计余项上出现了Bombieri－Vinogradov定理所不能克服的困难，即证明下面一类新的均值定理：1966年，我国年轻数学家陈景润由于他提出了新的加权筛法，证明了命题{1，2}．1973年发表了他的很有创造性的命题{1，2}的全部证明，立即在国际数学界引起强烈反响，公认是一个十分杰出的结果，是筛法理论的卓越应用．到目前为止还是世界领先的成果．关于这方面的研究进展情况如下表所示：正确认识“猜想”的研究人们对“猜想”一般有两种看法：一是认为研究它没什么实用价值，何必大书特书？二是前几年经过作家徐迟写陈景润同志刻苦钻研，努力攀登“哥德巴赫猜想”研究的高峰的动人事迹后，“猜想”变得家喻户晓．每个中国人为此感到骄傲与自豪，这证明中国人的智力并不比外国人差，大长中国人的志气．在我国大、中、小学里曾掀起一股“数学热潮”．但他们之中，有的认为不需要什么高深数学，企图用初等数论的方法解决这类世界难题．第一种看法是片面的，一个数学问题的解决，其意义应分两方面考察．不但要看它的实际意义，也要看它的理论价值．我们在这一章的开始就引用了华罗庚教授的话：“通过研究创造深刻的方法对硬分析有用．”这里硬分析指的是精密精细的估计．前面我们已经讲到，由于研究它所产生的“圆法”、“筛法”及某些指数和的估计方法大大推动数论及邻近学科的发展；并通过对此问题的研究达到深刻掌握解析数论方法，也是培养这方面人才的好途径．第二种想法是好的，但还需要严谨的科学态度．正如陈景润教授所指出的：“首先需要学习许多非常高深的数论论文，还要经过多年刻苦钻研，然后才有可能从事这方面的研究工作．我认为在最近几十年，关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是不可能只用初等数论方法而得到证明的．”从上面所列的表中看到，我国年轻数学家所取得的巨大成就，每个中国人感到由衷的高兴．我们进一步要问：他们如何能取得这样的成就呢？一方面是他们不畏劳苦、努力拼搏的精神，另一方面也是老一辈数学家华罗庚、闵嗣鹤等对他们精心培育和从严要求的结果．他们每一个都具备了雄厚的高等数学基础知识和熟练的运算技巧．他们形成了一个互相学习，要求上进的战斗集体．这里我摘录几段华罗庚的学生回忆往事的真实记录：“即使对最好的学生，华罗庚也从不放松要求．当时年轻人一听到走廊里响起华所长的皮鞋声，心里就有些发紧，因为所长随时可能推门进来“考”上几个问题，闹不好就会“挂黑板”，走麦城．严师出高徒，学生们因此普遍培养出一丝不苟的过硬功夫，日后都成为我国数学界的栋梁之才．”“……有句成语叫‘班门弄斧’，华罗庚却反其意而用之，提倡‘弄斧必到班门’，号召青年人用高标准要求自己．”(中国科学院数学研究所学术委员会主任、研究员陆汝钤)这里还特别值得一提的是，被数学界传为佳话的是闵嗣鹤教授对陈景润的热情支持与指导，学生对老师虚心请教的动人故事：“1966年春，《科学通报》第十七卷第九期(5月15日出版)上发表了陈景润的著名论文——《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数乘积之和》——的简报．陈景润一拿到这期通报，首先想到的是他的闵老师，他在杂志的封面上恭恭敬敬地写上了：敬爱的闵老师：非常感谢您对学生的长期指导，特别是对本文的指导．学生陈景润敬礼1966．5．19．并立即跑去送给最关心、最支持他的老师．他们之间的联系大约始于1963年，陈景润经常去先生家请教，热烈讨论问题，师生之间亲密无间，使陈获益匪浅．尤其是先生正直的为人，严谨的学风，不分亲疏乐于助人的精神，使陈景润对他十分钦佩和无比信任．陈景润不断地改进和简化他的定理的证明，于1972年寒假送去了他自己数年心血的结晶——厚厚的一叠原稿，请他最信任的老师审阅．当时先生的身体已经很不好了，原来想好好休息一下，但他知道陈的论文是一项极重要的工作，如果对了，将是对解析数论的一个历史性的重大贡献．因此，他放弃了休息，不顾劳累与经常发作的心脏病，逐步地细心校阅．当他最后判定陈的证明是正确的时，高兴极了，他看到在激烈的竞争中，新中国自己培养出来的年轻数学家，在解析数论的一个最重要的问题——哥德巴赫猜想的研究上终于又一次夺回了世界领先地位．陈景润的著名文章终于在1973年的《中国科学》上全文发表了．然而，先生又冷静而正确地指出：“要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路．”(《闵嗣鹤论文选集》序，迟宗陶，严士健，潘承洞，邵品琮，李忠，潘承彪．)正如上面闵先生所指出的：“要最终解决哥德巴赫猜想还要走很长的一段路．”最后这句话意味深长，他是对陈景润讲的，也是对青年们讲的，希望寄托在青年人身上．人们对哥德巴赫猜想的研究，真是呕心沥血为之奋斗了两个世纪，还差一步之远，但也是最艰难的一步．在人类即将跨入21世纪的时候，希望我国青年特别是有志攻克这一科学堡垒的青年，努力从“严”打好高、初等数学基础，不畏劳苦努力拼搏，才可能有希望达到光辉的顶点．。
世界七大难题
难题一：哥德巴赫猜想提出者：哥德巴赫提出时间：1742年研究进展：尚未破解内容表述：命题A每一个大于或者等于6的偶数，都可以表示为两个奇素数的和。
命题B每一个大于或者等于9的奇数，都可以表示为三个奇素数的和。
1742年，德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出了这两个问题。
它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。
实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法，因为每个大于7的奇数显然可以表示为一个大于4的偶数与3的和。
1937年，苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为3个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。
但是第一个问题至今仍未解决。
由于问题实在太困难了，数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为m、n的两个自然数之和，简记为“m+n”。
1920年，挪威数学家布龙证明了“9+9”；以后的20几年里，数学家们又陆续证明了“7+7”，“6+6”，“5+5”，“4+4”，“1+c”，其中c是常数。
1956年，中国数学家王元证明了“3+4”，随后又证明了“3+3”，“2+3”。
60年代前半期，中外数学家将命题推进到“1+3”。
1966年，中国数学家陈景润证明了“1+2”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。
陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉，不仅仅是因为“陈氏定理”使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位。
难题二：费马大定理提出者：费马提出时间：1637年研究进展：于1995年被成功证明内容表述：xn＋yn＝zn在n是大于2的自然数时没有正整数解（这里xn、yn、zn表示x的n次方、y的n次方、z的n 次方）。
在360多年前的某一天，当费马阅读古希腊名著《算术》时，突然心血来潮在书页的空白处，写下这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数，一个四次幂分成两个四次幂，或者一般地将一个高於二次幂的数分成两个相同次幂，这是不可能的。
国家自然科学奖一等奖历年获奖项目
国家自然科学奖一等奖历年获奖项目国家自然科学奖一等奖历年获奖项目来源：张浩千的日志深夜工作的一个坏处是容易空虚寂寞冷，偶然间翻网页发现这么一个列表。
总的来说，一等奖项目分为两种：1，看完不明觉厉；2，看完扑通跪地。
此外，这个列表中有很多值得一说的信息，比如2009年一等奖获奖项目《中国植物志》的整理编撰花了整整80年，是世界上目前最大的植物志，耗去4代中国植物学家的青春；再比如说林徽因，是1987年自然科学基金一等奖的获奖者之一，将其随意定性为”绿茶婊“的网友们是不是真的就以为林徽因就只会写写小清新呢？国家自然科学奖一等奖历年获奖项目（公开部分）1956年（当时为中国科学院科学奖金）1、典型域上的多元复变数函数论完成人：华罗庚（中国科学院数学研究所）2、示性类及示嵌类的研究完成人：吴文俊（中国科学院数学研究所）3、工程控制论完成人：钱学森（中国科学院力学研究所）这三个人得奖其实一点都不意外吧=。
=...1982年1、人工全合成牛胰岛素研究完成人：钮经义、龚岳亭、邹承鲁、杜雨苍（中国科学院上海生物化学研究所），季爱雪、邢其毅（北京大学），汪猷、徐杰诚（中国科学院上海有机化学研究所）窝看到了邢大本的作者...另外，听老师说当时北大的很多本科生也参与了这项研究，在北京郊区一个废旧厂房改造的实验所工作，很多人因为条件艰苦染了肺结核。
想想自己现在的条件，怎么着也不比美国中上的state college差，却各种讲究抱怨，不得不说自己太娇气了...敬佩科研先辈们的精神。
2、大庆油田发现过程中的地球科学工作完成人：李四光、黄汲清、谢家荣、韩景行、朱大绶、吕华、王懋基、朱夏、关士聪等（地质部），张文昭、杨继良、钟其权、翁文波、余伯良、邱中僵、田在艺、胡韩元、赵声振、李德生等（石油部），张文佑、侯德封、顾功叙、顾知微（中国科学院）这个也没的说吧...3、配位场理论研究完成人：唐敖庆（吉林大学）及其研究集体：孙家钟（吉林大学）、邓从豪（山东大学）、张乾二（厦门大学）、江元生（吉林大学）、鄢国森（四川大学）、戴树珊（云南大学）、刘若庄（北京师范大学）、赵景愚（中国科学院长春光学与精密机械研究所）、古正（四川大学）、李伯符（吉林大学）唐敖庆和江元生这俩哥们得了两次一等奖...这是第一次。
1.哥德巴赫猜想(共35张)
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以后，科学家们就试图采用缩小包围 圈的办法，从（9十9）开始(kāishǐ)，逐步减少 每个数里所含质数因子的个数，直到最后使 每个数里都是一个质数为止，以此方法来证 明“哥德巴赫猜想”。
陈景润调到数学研究所以 后，数学研究取得长足进步，
在许多著名数学问题，如“圆 内整点问题”、“华林问题”等 都取得了重要(zhò ngyà o)成果。 陈景润开始研究“哥德巴赫猜 想”，准备摘取数学皇冠上 更大、更光彩夺目的明珠。
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1966年5月，一颗耀眼的新星闪烁于全球数学界的上 空——陈景润宣布证明了哥德巴赫猜想中的1+2；离最终目的
1911年梅利指出，从4到9000000之 间绝大多数偶数都是两素数(sù shù)之和，仅 有14个数情况不明．后来更有人一直验 算到了三亿三千万之内所有偶数，猜想 都是正确的．
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从此(cóngcǐ)，哥德巴赫猜想成了一道世 界有名的难题。
有人称它为“皇冠上的明珠”，是数学 上的一座高峰。
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后来由昆被派到陈景润的病房当值班医生。斗转星移，彼此产生了爱
情，他们在组织的帮助下结婚了。从此这位被称为“痴人”和“怪人”的数
字家陈景润有了一个温暖的家了。
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幸福家庭
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巨星 的陨落 (jùxīng)
► 1984年4月27日，陈景润在横过马路时 ，被一辆急驶而来的自行车撞倒，后脑着地 ，酿成意外的重伤。雪上加霜，身体本来就 不大好的陈景润，受到了几乎致命的创伤。 不久，诱发了帕金森氏综合症。 1996年3月19日，著名数学家陈景润因 病长期住院，经抢救无效逝世，终年63岁。
数学文化智慧树知到答案章节测试2023年中国石油大学(华东)
绪论单元测试1.吴文俊主编的《中国数学史大系》总共有（）卷。
A:6B:7C:8D:5答案:C2.数学的特点有哪些（）A:知识的积累性B:应用的广泛性C:推理的严密性D:概念的抽象性答案:ABCD3.曾经编写过数学史或数学家传记的有（）A:李俨B:罗士林C:阮元D:钱宝琮答案:ABCD4.以下是古人计数的方式有（）A:图书记载B:屈指计数C:结绳计数D:电脑计数答案:BC5.《现代汉语词典》中关于文化的定义是：“人类在社会历史发展过程中所创造的物质财富和精神财富的总和。
”（）A:对B:错答案:A第一章测试1.勾股定理最早出现在那部著作中A:《算数书》B:《九章算术》C:《周髀算经》D:《缀书》答案:C2.魏晋数学家时期，临淄布衣数学家（）的《九章算术注》使得中国古代数学有了系统的理论体系。
A:刘徽B:赵爽C:祖冲之D:商高答案:A3.公元五世纪南北朝时期，数学家（）计算出了保持领先世界1000多年的高精度圆周率（在3.1415926和3.1415827之间）A:赵爽B:刘徽C:商高D:祖冲之答案:D4.李冶创造的布列方程求代数方程解的代数方法称为（）A:天元术B:增乘开方法C:垛积术D:四元术答案:A5.下面不属于中国传统数学起源的传说的是( )A:河图B:勾股定理C:洛书D:八卦答案:B6.我国古代关于求解一次同余式组的解法被西方称作“中国剩余地理”，这一方法的首创者是（）A:李冶B:杨辉C:秦九韶D:朱世杰答案:C7.中国最早系统研究纵横图（也称幻方）的数学家是南宋数学家（）A:杨辉B:李冶C:秦九韶D:朱世杰答案:A8.标志中国古代数学高峰的数学著作是哪部？作者是谁？（）A:《测圆海镜》李冶B:《四元玉鉴》朱世杰C:《详解九章算法》杨辉D:《数书九章》秦九韶答案:B9.明朝时的数学家程大位，在其著作（）中系统介绍了珠算的法则和应用，并编写了很多数学名题的口诀。
A:《算法统宗》B:《算数书》C:《算学宝鉴》D:《四元玉鉴》答案:A10.在数学上翻译了古希腊数学家欧几里德的《几何原本》的两位数学家分别是（）A:徐光启、李善兰B:徐光启、梅文鼎C:王文素、梅文鼎D:王文素、李善兰答案:A第二章测试1.古希腊第一位也是全世界第一位伟大的女数学家是（）A:索菲亚B:苏菲.姬曼C:希帕蒂亚D:班昭答案:C2.发现不可公度量的是（）A:智人学派B:毕达哥拉斯学派C:柏拉图学派D:爱奥尼亚学派答案:B3.古希腊数学源头之一古巴比伦美索不达米亚数学使用的数进制是多少？文字是什么文字？（）A:10、甲骨文B:60、楔形C:60、象形D:10、楔形答案:B4.下面不是完全数的是（）A:496B:28C:6D:228答案:B5.古埃及使用的是（）文字。
2019届高三数学(理)复习题：模块六概率与统计第19讲 概率、统计、统计案例Word版含答案
第19讲概率、统计、统计案例1.[2018·全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是()A.B.C.D.[试做]命题角度古典概型①求古典概型概率的方法:直接法:将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率,再运用互斥事件概率的加法公式计算.间接法:先求事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求概率,即运用逆向思维(正难则反),特别是对“至多”“至少”型题目,用间接法求解更简便.②易错点:当事件A,B为互斥事件时,有P(A+B)=P(A)+P(B),否则P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).2.(1)[2018·全国卷Ⅰ]如图M6-19-1所示,来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则()图M6-19-1A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p3(2)[2017·全国卷Ⅰ]如图M6-19-2所示,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图,正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是()图M6-19-2A. B.C. D.[试做]命题角度几何概型①利用几何概型概率公式求解.②处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化,将某一事件所包含的事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等表示出来,如把这两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本事件就构成了平面上一个区域,进而转化为面积的度量来解决.③易错点:利用几何概型的概率公式时,不要忽视事件是否等可能.3.[2018·全国卷Ⅲ]某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= () A.0.7 B.0.6C.0.4D.0.3[试做]命题角度n次独立重复试验的期望与方差关键一:确定n的值;关键二:利用方差公式D(X)=np(1-p)求解.小题1用样本估计总体1 (1)某机构为了解“跑团”每月跑步的平均里程,收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位:km)的数据,得到如图M6-19-3所示的折线图.图M6-19-3根据折线图,下列结论正确的是()A.月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B.月跑步平均里程逐月增加C.月跑步平均里程的峰值出现在9月份D.1月至5月的月跑步的平均里程相对于6月至11月,波动性较小,变化比较平稳(2)为了了解一批产品的长度(单位:mm)情况,现抽取容量为400的样本进行检测,如图M6-19-4所示是检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在[25,30)的为一等品,在[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为.图M6-19-4[听课笔记]【考场点拨】用频率分布直方图估计总体的数字特征应注意以下几点:(1)频率分布直方图的纵轴是,而不是频率;(2)在频率分布直方图中每个小长方形的面积才是相应区间的频率,在应用和作频率分布直方图时要注意;(3)最高的小长方形底边中点的横坐标是众数;(4)平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数;(5)频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和是中位数.【自我检测】1.甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图M6-19-5所示,甲、乙两组数据的平均数分别为,,标准差分别为σ甲,σ乙,则()图M6-19-5A.<,σ甲<σ乙B.<,σ甲>σ乙C.>,σ甲<σ乙D.>,σ甲>σ乙2.从某中学甲、乙两班中各随机抽取10名同学,测量他们的身高(单位:cm),所得数据用茎叶图表示,如图M6-19-6,由此可估计甲、乙两班同学的身高情况,则下列结论正确的是()图M6-19-6A.甲班同学身高的方差较大B.甲班同学身高的平均值较大C.甲班同学身高的中位数较大D.甲班同学身高在175 cm以上的人数较多3.已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,则()A.=4,s2<2B.=4,s2>2C.>4,s2<2D.>4,s2>24.为了解某校一次期中考试数学成绩的情况,抽取100位学生的数学成绩(单位:分),得到如图M6-19-7所示的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则估计该次考试数学成绩的中位数是()图M6-19-7A.71.5B.71.8C.72D.75小题2变量间的相关关系、统计案例2 (1)随着国家“二孩政策”的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机附表:841 6.635由K2=算得,K的观测值k=≈9.616,参照附表,得到的正确结论是()A.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”B.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”(2)某公司在对一种新产品进行合理定价前,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数由表中数据,求得线性回归方程为=-4x+,当产品的销量为76件时,产品的单价大致为元.[听课笔记]【考场点拨】(1)回归直线一定过样本点的中心(,).(2)随机变量K2的观测值k越大,说明“两个变量有关系”的可能性越大.【自我检测】1.某中学的兴趣小组将在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图M6-19-8所示,则下列说法错误的是()①②图M6-19-8A.沸点与海拔高度呈正相关B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强A.a=45,c=15B.a=40,c=20C.a=35,c=25D.a=30,c=301若y关于x的回归方程为=1.3x-1,则m=.小题3古典概型与几何概型3 (1)已知甲袋中有1个黄球和1个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球.现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为()A.B.C.D.(2)如图M6-19-9,E,F,G,H是平面四边形ABCD各边的中点,若在平面四边形ABCD内任取一点,则该点取自阴影部分的概率是()图M6-19-9A.B.C.D.[听课笔记]【考场点拨】求解概率题的几个失分点:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)古典概型问题中如涉及“至多”“至少”等事件的概率计算时,没有转化为求其对立事件的概率,来简化运算;(3)几何概型中,基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(4)利用概率公式时,忽视验证事件是否等可能导致错误.【自我检测】1.为了弘扬我国优秀传统文化,某中学广播站在中国传统节日:春节,元宵节,清明节,端午节,中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵,那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.72.如图M6-19-10,半径为R的圆O内有四个半径相等的小圆,其圆心分别为A,B,C,D,这四个小圆都与圆O内切,且相邻两小圆外切,图M6-19-10则在圆O内任取一点,该点恰好取自阴影部分的概率为()A.12-8B.6-4C.9-6D.3-23.已知M是半径为R的圆上的一个定点,在圆上等可能地任取一点N,连接MN,则弦MN的长度超过R的概率是()A.B.C.D.4.连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子,观察向上的点数,则事件“点数之积是3的倍数”的概率为.小题4条件概率、相互独立事件与独立重复试验4 (1)从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球,摸到红球、白球和黄球的概率分别为,,.若从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回,连续摸3次,则记下的颜色中有红有白但没有黄的概率为()A.B.C.D.(2),其中A的各位数字中,a1=1,a k(k=2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为.若启动一次出现的数字为A=10101,则称这次试验成功,若成功一次得2分,失败一次得-1分,则100次重复试验的总得分X的方差为.[听课笔记]【考场点拨】求相互独立事件同时发生的概率的方法:(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积;(2)正面计算较复杂或难以入手时,可从其对立事件入手计算.特别提醒:利用独立重复试验的概率公式计算概率时,其计算量往往很大,计算时要小心谨慎,以确保计算的正确.【自我检测】1.某电视台“夏日水上闯关”节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.7,0.6,只有通过前一关才能进入下一关,且是否通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.56B.0.336C.0.32D.0.2242.据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19.现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为()A.B.C.D.0.193.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若P(ξ≥1)=,则P(η≥2)的值为()A.B.C.D.4.设随机变量X~B,则P(X=3)=.第19讲概率、统计、统计案例典型真题研析1.C[解析] 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中任取两个有种取法,其中和为30的有3种,即(7,23),(11,19),(13,17),所以所求概率P==.2.(1)A(2)B[解析] (1)设AB=a,AC=b,BC=c,则a2+b2=c2.记△ABC的面积为S1,黑色部分的面积为S2,则S2=π+π+ab-π=π(a2+b2-c2)+ab=ab=S1.根据几何概型的概率计算公式可知p1=p2.(2)根据对称性,图中黑色部分、白色部分的面积相等.设正方形的边长为2,则正方形的面积为4,图中圆的面积为π,故黑色部分的面积为,所以所求的概率为=.3.B[解析] 由DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.由P(X=4)=p4(1-p)6<P(X=6)=p6(1-p)4,可知p>0.5,故p=0.6.故选B.考点考法探究小题1例1(1)D(2)100[解析] (1)由折线图知,月跑步平均里程的中位数为5月份对应的里程数,月跑步平均里程不是逐月增加的,月跑步平均里程的峰值出现在10月份,故A,B,C中结论不正确,故选D.(2)由题意得,三等品的频率为(0.012 5+0.025 0+0.012 5)×5=0.25,∴样本中三等品的件数为400×0.25=100.【自我检测】1.C[解析] 由图可知,甲同学的平均成绩高于乙同学,且甲同学的成绩更稳定,即>,σ甲<σ乙,故选C.2.A[解析] 观察茎叶图可知甲班同学身高的数据波动大,所以甲班同学身高的方差较大,A中结论正确;甲班同学身高的平均值为=169.2,乙班同学身高的平均值为=171,所以乙班同学身高的平均值较大,B中结论错误;甲班同学身高的中位数为=168,乙班同学身高的中位数为=171.5,所以乙班同学身高的中位数较大,C中结论错误;甲班同学身高在175 cm以上的有3人,乙班同学身高在175 cm以上的有4人,所以乙班同学身高在175 cm以上的人数较多,D中结论错误.故选A.3.A[解析] ∵某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为,方差为s2,∴==4,s2==<2,故选A.4.C[解析] 由题,0.04+10a+0.3+0.4+0.1+10a=1,得a=0.008.因为成绩在[40,50),[50,60),[60,70)的频率之和为0.04+0.08+0.3=0.42,所以中位数位于区间[70,80)内,由=0.2,得中位数约为70+0.2×10=72.故选C.小题2例2(1)B(2)7.5[解析] (1)根据K2的观测值k=≈9.616>6.635,可得有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”,或在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”,所以选B.(2)由表中数据得,=6.5,=80,∴=80+4×6.5=106,∴回归方程为=-4x+106.当y=76时,76=-4x+106,∴x=7.5.【自我检测】1.A[解析] 结合散点图可得,沸点与气压呈正相关,气压与海拔高度呈负相关,所以沸点与海拔高度呈负相关,且沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强.故选A.2.A[解析] 由题意易知,若|a-c|越大,则X与Y有关系的可能性越大,结合选项计算可得A选项符合题意.故选A.3.3.1[解析] 由题意得==2.5,代入到线性回归方程=1.3x-1,得=2.25.∴0.1+1.8+m+4=4×2.25=9,∴m=3.1.小题3例3(1)B(2)B[解析] (1)先从甲袋中取出1个球放入乙袋,再从乙袋中取出1个球的基本事件总数为=10,取出红球的基本事件总数为+=5,所以从乙袋中取出红球的概率P==.故选B.(2)连接AC,与HE,FG分别交于点M,N,如图所示,设点D到AC的距离为h,则S△ADC=AC·h,S四边形HGNM=HG××h=×AC·h,∴S四边形HGNM=S△ADC,∴S四边形HGFE=S四边形ABCD,∴所求概率是,故选B.【自我检测】1.D[解析] 春节和端午节至少有一个被选中的对立事件是春节和端午节都没有被选中,而春节和端午节都没有被选中的概率为=0.3,所以春节和端午节至少有一个被选中的概率为1-0.3=0.7.故选D.2.A[解析] 设小圆的半径为r,根据题意可知四边形ABDC为正方形,OA=r.由R-r=r,得r==(-1)R,所以大圆的面积为πR2,四个小圆的面积为4π(-1)2R2.由几何概型的概率计算公式可得,所求概率为=12-8.故选A.3.D[解析] 本题可利用几何概型求解.如图,O为圆心,NP为直径,且MO⊥NP.根据题意可得,该圆的周长为2πR,满足条件“弦MN的长度超过R”的点N所在的弧是,且其长度为πR,则弦MN的长度超过R的概率P=.故选D.4.[解析] 总事件数为6×6=36.当第1次掷骰子向上的点数为1,2,4,5时,满足条件的事件有(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(4,3),(4,6),(5,3),(5,6),共8个;当第1次掷骰子向上的点数为3,6时,满足条件的事件有2×6=12(个).所以所有满足条件的事件共20个,所求概率P==.小题4例4(1)C(2)[解析] (1)满足题意时,记下的颜色应是2个红1个白或者2个白1个红,据此可得,所求概率为××+××=.(2)启动一次出现数字为A=10101的概率P=×=.设100次独立重复试验中成功的次数为η,则η~B,∴D(η)=100××=.∵X=2η-1×(100-η)=3η-100,∴D(X)=D(3η-100)=9D(η)=.【自我检测】1.D[解析] 该选手只闯过前两关的概率为0.8×0.7×(1-0.6)=0.224,故选D.2.A[解析] 设事件A为连续熬夜48小时诱发心脏病,事件B为连续熬夜72小时诱发心脏病.由题意可知,P(A)=0.055,P(B)=0.19,则P()=0.945,P()=0.81,由条件概率计算公式可得,P(|)====.3.B[解析] 由P(ξ≥1)=,得p(1-p)+p2=2p-p2=,∴p=,∴P(η≥2)=p2(1-p)2+p3(1-p)+p4=6××+4××+=,故选B.4.[解析] 因为X~B,所以P(X=3)=××=.[备选理由] 例1主要考查条形图的识别以及应用;例2为高考试题,考查2×2列联表的应用;例3考查古典概型,需要在一定的排列组合计数的基础上完成;例4考查几何概型,涉及数学史,可以开拓学生的视野和应用意识;例5需要对所给的问题进行判断,属于二项分布问题,考查二项分布的方差.例1[配例1使用]下图是某企业在2008年—2017年企业产值的年增量(即当年产值比前一年产值增加的量)统计图(单位:万元),下列说法正确的是()A.2009年产值比2008年产值少B.从2011年到2015年,产值年增量逐年减少C.产值年增量的增量最大的是2017年D.2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低[解析] D由图,2009年产值比2008年产值多29 565万元,故A中说法错误;2013年的产值年增量大于2012年的,故B中说法错误;产值年增量的增量最大的不是2017年,故C中说法错误;因为增长率等于增长量除以上一年产值,由于上一年产值不确定,所以2016年的产值年增长率可能比2012年的产值年增长率低,故D中说法正确.故选D.例2[配例2使用] [2014·江西卷]某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系,随机抽查52名中学生,得到统计数据如表1至表4,则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1A.成绩B.C.智商D.阅读量[解析] D根据独立性检验计算可知,阅读量与性别有关联的可能性较大.例3[配例3使用]若20件产品中有16件一级品,4件二级品,从中任取2件,则这2件中至少有1件二级品的概率是()A.B.C.D.[解析] C由题意,从20件产品中任取2件的情况总数为=190,其中至少有1件二级品的情况数为+=70,由古典概型的概率计算公式可得所求概率为=,故选C.例4[配例3使用]中国古代三国时期的数学家赵爽,创作了一幅“勾股弦方图”,通过数形结合,给出了勾股定理的详细证明.如图所示,在“勾股弦方图”中,以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成,这一图形被称作“赵爽弦图”.若cos 2∠BAE=,则在正方形ABCD内随机取一点,该点恰好在正方形EFGH内的概率为() A.B.C.D.[解析] D如图可知,正方形EFGH的边长为a-b,正方形ABCD的边长为.由题意知cos 2∠BAE=2cos2∠BAE-1=2×-1=,得9a2=16b2,即a= b.∴所求概率为==.故选D.例5[配例4使用] [2017·全国卷Ⅱ]一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.[答案] 1.96[解析] X~B(100,0.02),故D(X)=100×0.02×0.98=1.96.。
语文园地六(6)
语文园地六(1)这儿真是个好(hǎo hào)地方，风景美，人也好(hǎo hào)客。
(2)我们干(ɡānɡàn)得热火朝天，把教室打扫得干(ɡānɡàn)干净净。
(3)这篇课文我重(ónɡònɡ)新看了一遍，用笔画出了重(ónɡònɡ)点。
(4)农民伯伯在田里播撒种(ǒnɡònɡ)子，耕种(ǒnɡònɡ)土地。
(5)那次洪水带来的灾难(nán nàn)，是他最难(nán nàn)忘的事。
(1)我和爸爸去郊游( )山里的泉水真清啊( )(2)妈妈常常激励我( )有志者事竟成( )(3)福建的特色小吃真多( )你最喜欢哪种呢( )(4)今天的天气这么好( )你难道不想出去走一走吗( )①志当存高远②有志不在年高③有志者事竟成(1)为了掩护干部和老乡，年仅十三岁的王二小献出了自己宝贵的生命，这真是“”啊！(2)陈景润经过多年的研究，终于了“哥德巴赫猜想”，这真是“”啊！孔子被小草划破手，发明了锯。
鲁班领导党和人民建立中华人民共和国。
毛泽东虎门销烟，民族英雄。
林则徐思想家、教育家，《论语》记载了他和弟子的言行。
7．照ào样yànɡ子，写ě句jù子。
例：周总理一手端着盛满清水的银碗，一手拿着柏树枝蘸了水。
(1)一手，一手。
例：傣族人民一边欢呼，一边向周总理泼水，祝福他健康长寿。
(2)一边，一边。
参考答案：语文园地六4．(1)，！(2)：“。
”(3)，？(4)，？5．(1)②(2)③6.孔子被小草划破手，发明了锯。
鲁班领导党和人民建立中华人民共和国。
毛泽东虎门销烟，民族英雄。
林则徐思想家、教育家，《论语》记载了他和弟子的言行。
7．(1)弟弟拿着苹果拿着饼干(2)妹妹唱歌跳舞。