初中数学九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆练习新版湘教版0918199.docx
湘教版九年级下册数学 第2章 过不共线三点作圆
11.如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC 的外部，连接BE，AE，AD，下列叙述正确的是( ) A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心 B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心 C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心 D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
9．【中考·临沂】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平 分线交AD于点E.
(1)求证：DE＝DB；
证明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∵∠DBC＝∠CAD，∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE， ∴∠DBE＝∠DEB，∴DE＝DB.
湘点作圆
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新知笔记 1 不在同一直线上 2 外心；垂直平分线
1D 2B 3 (2，0)
4B
5A
答案显示
6B 7A 8 40 9 见习题 10 A
11 B
12 D
13 25 8
14 见习题
15 见习题
答案显示
1.____不__在__同__一__直__线__上____的三个点确定一个圆．
15．已知AD是△ABC的高，△ABC外接圆的半径为R. (1)当△ABC为锐角三角形时，如图，求证：AB·AC＝2R·AD；
证明：如图①所示， 连接AO并延长交⊙O于点E，连接CE， ∵∠B与∠E是 所对的圆周角，∴∠B＝∠E. ∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，
A︵C ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，
2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与
九下第2章圆2-4过不共线三点作圆习题新版湘教版
5，∴BC＝5. ∵∠BCM＝60°，∴∠MBC＝30°，∴CM＝
12BC＝52，∴BM＝5 2 3，AM＝AC－CM＝121，∴AB＝
AM2＋BM2＝
1212＋5
2
32＝7.故选
B.
【答案】B
8 [2023·包头]如图，⊙O是锐角三角形ABC的外接圆，
OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为点D，E，
如图②所示，过点 A 作 AE⊥BC 于点 D，交⊙O 于点 E，连 接 OB，易证 AE 必过点 O.∵AB＝AC，BC＝6，⊙O 的半径 为 5，∴BO＝5，BD＝DC＝3，∴DO＝
52－32＝4，∴AD＝5－4＝1，∴AB＝ AD2＋BD2＝ 12＋32＝ 10. 综上，AB 的长为 3 10或 10.
【答案】C
5 如图，在4×4的网格图中，A，B，C是三个格点，其 中每个小正方形的边长都为1，△ABC的外心可能是 () A．点M B．点N C．点P D．点Q
【点拨】 由题图可知，△ABC 是锐角三角形，∴△ABC 的外心
只能在其内部，由此排除 A 选项和 B 选项；连接 BP，CP， 由勾股定理得 BP＝CP＝ 2≠PA，∴排除 C 选项．故选 D.
2.4 过不共线三点作圆
1 确定一个圆的条件是( D ) A．已知圆心 B．已知半径 C．过两个已知点 D．过一个三角形的三个顶点
2 [2023·江西]如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P 在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的 个数为( )
A．3个 C．5个
B．4个 D．6个
【点拨】 根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆，可知
F，连接DE，EF，FD．若DE＋DF＝6.5，△ABC的
湘教版九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆
整合方法
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径． 解：连接CD，如图所示．
整合方法
由(1)知B︵D＝C︵D，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°， ∴BC 是直径，∴∠BDC＝90°， ∴BC＝ BD2＋CD2＝4 2， ∴△ABC 的外接圆的半径＝12×4 2＝2 2.
夯实基础
11．【中考·龙东】若点 O 是等腰三角形 ABC 的外心，且∠ BOC＝60°，底边 BC＝2，则△ ABC 的面积为( ) A．2＋ 3 B．2 3 3 C．2＋ 3或 2－ 3 D．4＋2 3或 2－ 3
夯实基础
【点拨】由题意可得，存在两种情况，当△ABC为 钝角三角形时，如图中的△A1BC， 当△ABC为锐角三角形时， 如图中的△A2BC. 连接A1A2，交BC于D.
A．6 B．5
C．4
D．3
夯实基础
9．【2020·荆州】如图，在 6×6 的正方形网格中，每个小正
方形的边长都是 1，点 A，B，C 均在网格交点上，⊙O
是△ ABC 的外接圆，则 cos∠BAC 的值为( B )
A.
5 5
C.12
B.2 5 5
D.
3 2
夯实基础
*10.【中考·广元】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且 AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝ 60°，⊙O的半径为6，则点P到
整合方法
13．【2020·凉山州】如图，⊙O的半径为R，其内接锐 角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是 a，b，c.
(1)求证：sina A＝sinb B＝sinc C＝2R. 证明：作直径 BE，连接CE， 如图所示．
整合方法
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A， ∴sin A＝sin E＝BBEC＝2aR，∴sina A＝2R. 同理可得sin∠bABC＝2R，sin∠cACB＝2R， ∴sina A＝sin∠bABC＝sin∠cACB＝2R.
2018_2019学年九年级数学下册第2章圆2.4过不共线三点作圆练习新版湘教版
2.4 过不共线三点作圆知|识|目|标1．通过回顾线段的垂直平分线的作法，理解过不在同一直线上的三点作圆．2．通过类比圆内接四边形的有关概念，理解三角形的外接圆及圆内接三角形的概念.目标一过平面内的点作圆例1 教材补充例题如图2－4－1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意三个点，能画圆的个数是( )图2－4－1A．1 B．2 C．3 D．4【归纳总结】确定一个圆的条件：(1)过平面内任一点，可以作无数个圆；(2)过平面内两点，可以作无数个圆，这些圆的圆心都在连接这两点的线段的垂直平分线上；(3)过不在同一直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．注意：过在同一直线上的三点不能作圆，因为连接其中任意两点所得的线段的垂直平分线互相平行，它们不能构成圆心．目标二理解三角形的外接圆例2 教材补充例题已知等腰三角形ABC，如图2－4－2.(1)用直尺和圆规作△ABC的外接圆；(2)设△ABC的外接圆的圆心为O，若∠BOC＝128°，求∠BAC的度数．图2－4－2【归纳总结】三角形外心的“三点必知”：(1)三角形的外心是三边垂直平分线的交点；(2)三角形的外心与三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在其内部；直角三角形的外心在其斜边中点处；钝角三角形的外心在其外部．例3 教材补充例题小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图2－4－3所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是( )图2－4－3A ．第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块【归纳总结】确定三角形外接圆的两个条件：(1)圆心的位置；(2)半径．已知一段弧寻找这段弧所在圆的圆心时，我们需在这段弧上任取两条弦，再分别作这两条弦的垂直平分线，其交点便是所求圆的圆心．知识点一 过不在同一直线上的三个点作圆不在同一直线上的三点确定一个圆．[点拨] (1)“不在同一直线上”是构成圆的基本条件．(2)“确定”即“有且只有”，表示存在过三点的圆且只有唯一的圆．知识点二 三角形的外接圆与外心经过三角形各顶点的圆叫作这个三角形的外接圆，外接圆的圆心叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作这个圆的内接三角形，三角形的外心是它的____________________的交点．[说明] (1)三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，我们在画图时只要画出两边的中垂线，交点就是该三角形的外心；(2)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；(3)锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形外部，直角三角形的外心在斜边中点处．．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝8，△ABC 外接圆的半径为5，求AB 的长．图2－4－4解：如图2－4－4，连接OB ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则AD 垂直平分BC ，∴BD ＝12BC ＝4. 在Rt △OBD 中，OD ＝OB 2－BD 2＝52－42＝3，∴AD ＝AO ＋OD ＝5＋3＝8.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝82＋42＝4 5.以上解答是否完整？若不完整，请进行补充．教师详解详析【目标突破】例1 C例2 解：(1)如图所示．(2)如图，在优弧BC 上任取一点D ∵∠BOC ＝128°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝64°， ∴∠BAC ＝180°－∠BDC ＝116°.例3 A备选目标 三角形的外接圆、外心的综合应用例 如图①，△ABC 内接于⊙O ，AD 为边BC 上的高．(1)若AB ＝6，AC ＝4，AD ＝3，求⊙O 的直径AE ；(2)若AB ＋AC ＝10，AD ＝4，求⊙O 的直径AE 的最大值，并指出此时边AB 的长．[解析] (1)需要找到AB ，AC ，AD ，AE 之间的数量关系，连接BE ，则∠ABE ＝90°＝∠ADC ，∠E ＝∠C(同弧所对的圆周角相等)，所以△ABE ∽△ADC ，可得AB ∶AD ＝AE ∶AC ，进而求出AE 即可；(2)根据已知得出AC ＝10－AB 的长，利用(1)的结论，将AE 转化为关于AB 的二次函数，最值可求．解：(1)如图②，连接BE.∵AE 是⊙O 的直径，AD ⊥BC ，∴∠ABE ＝90°＝∠ADC.又∵∠E ＝∠C ，∴△ABE ∽△ADC ，∴AB AD ＝AE AC， ∴AE ＝AC·AB AD ＝4×63＝8. (2)∵AB ＋AC ＝10，∴AC ＝10－AB.设AB ＝x ，AE ＝y ，∵AD ＝4，由(1)中AB AD ＝AE AC，得y ＝x （10－x ）4＝－x 24＋52x ＝－14(x －5)2＋254， ∴⊙O 的直径AE 的最大值为254，此时边AB 的长为5. [归纳总结] 解决这类综合题，大都需要借助垂径定理，圆心角、弦、弧关系定理及圆周角定理及其推论，并利用三角形全等或相似来解决，有时还要结合函数来求最大值或最小值．【总结反思】[小结] 知识点二 三条边的垂直平分线[反思] 不完整．补充：若△ABC 是锐角三角形，则AB ＝4 5；若△ABC 是钝角三角形，如图所示，连接OA ，OB ，OA 交BC 于点D.此时AD ＝OA －OD ＝5－3＝2.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝22＋42＝2 5.∴AB 的长为2 5或4 5.。
九年级数学下册第二章2.4过不共线三点作圆练习新版湘教版
2.4 过不共线三点作圆基础题知识点1 过不共线三点作圆1．下列条件中，可以画出唯一一个圆的是(C)A．已知圆心B．已知半径C．已知不在同一直线上的三点D．已知直径2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是(B)A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块3．(教材P63练习T2变式)某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．(不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹)解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点即为圆心．知识点2 三角形的外接圆、外心4．三角形的外心是(B)A．三角形三角平分线交点B．三角形三条边的垂直平分线的交点C．三角形三条高的交点D．三角形三条中线的交点5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是(B)A．40°B．50°C．60°D．100°6．若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是(A)A．5 B．4 C．3 D．27．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是(D)A．(2，3)B．(3，2)C．(1，3)D．(3，1)8．如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？解：画图略，由作图可知：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心是斜边上的中点，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部．易错点 概念不清9．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中正确的是②．(填序号) 中档题10．(内江中考)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠AOB＝60°，AB ＝AC ＝2，则弦BC 的长为(C) A. 3B ．3C ．2 3D ．411．(2017·陕西)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，∠C＝30°，⊙O 的半径为5.若点P 是⊙O 上的一点，在△ABP 中，PB ＝AB ，则PA 的长为(D) A ．5B.532C ．5 2D ．5 312．(2018·临沂)如图，在△ABC 中，∠A＝60°，BC ＝5 cm ，能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸313．在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．(1)点A ，B ，C 能确定一个圆吗？说明理由；(2)如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置； (3)写出圆心P 的坐标，并求出⊙P 的半径．解：(1)点A ，B ，C 能确定一个圆，理由是点A ，B ，C 不在同一条直线上． (2)如图．(3)由AB 的垂直平分线，BC 的垂直平分线的交点，得圆心P 的坐标是(2，0)． 半径的长为42＋22＝2 5.14．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)若△AB C 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)略．(2)∵∠BAC＝90°，AB ＝8米，AC ＝6米， ∴BC＝10米，△ABC 外接圆的半径为5米． ∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米． 综合题15．阅读材料，解答问题：命题：如图1，在锐角△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，△ABC 的外接圆半径为R ，则a sinA ＝bsinB ＝csinC＝2R.证明：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接DB ，则∠D＝∠A.∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DBC＝90°.在Rt△DBC 中，sin∠D＝BC DC ＝a 2R ，所以sinA ＝a 2R ，即a sinA ＝2R ，同理，b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R ，asinA ＝b sinB ＝csinC＝2R. 请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题： (1)前面阅读材料中省略了“b sinB ＝2R ，c sinC ＝2R”的证明过程，请你把“b sinB＝2R”的证明过程补写出来；(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题，如图2，已知在锐角△ABC 中，BC ＝3，CA ＝2，∠A＝60°，求△ABC 的外接圆半径R 及∠C.图1 图2解：(1)证明：连接AD ，则∠ABC＝∠ADC. ∵CD 是⊙O 的直径， ∴∠DAC＝90°.在Rt△DAC 中，sin∠ADC＝AC DC ＝b2R .∴sin∠ABC＝b 2R ，即bsinB ＝2R.(2)由命题结论知，BC sinA ＝ACsinB ，∴3sin60°＝2sinB.∴sinB＝22. ∵BC＞CA ，∴∠A＞∠B.∴∠B＝45°.∴∠C＝75°. 由3sin60°＝2R ，得R ＝1.。
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xx学校xx学年xx学期xx试卷
姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________
题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分
得分
一、xx题
（每空xx 分，共xx分）
试题1:
下列条件中，可以画出唯一一个圆的是( )
A．已知圆心
B．已知半径
C．已知不在同一直线上的三点
D．已知直径
试题2:
小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示．为配成与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的玻璃碎片应该是( )
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
试题3:
评卷人得分
某地出土一个明代残破圆形瓷盘，为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．(不要求写作法，证明和讨论，但要保留作图痕迹)
试题4:
三角形的外心是( )
A．三角形三角平分线交点
B．三角形三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
试题5:
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A的度数是( )
A．40°
B．50°
C．60°
D．100°
试题6:
若三角形的三边长分别为6，8，10，则此三角形的外接圆半径是( )
A．5 B．4 C．3 D．2
试题7:
如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(1，4)，(5，4)，(1，－2)，则△ABC外接圆的圆心坐标是( )
A．(2，3)
B．(3，2)
C．(1，3)
D．(3，1)
试题8:
如图，分别作出锐角三角形ABC、直角三角形ABC、钝角三角形ABC的外接圆，观察所画外接圆，探究三角形的外接圆的圆心与三角形的形状有什么关系？
试题9:
下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③三角形的外心到三角形三边的距离相等．其中正确的是．(填序号)
试题10:
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为()
A. B．3 C．2 D．4
试题11:
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为 )
A．5 B. C．5 D．5
试题12:
如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.
试题13:
在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(4，4)，C(6，2)．
(1)点A，B，C能确定一个圆吗？说明理由；
(2)如果能，用尺规作图的方法，作出过这三点的圆的位置；
(3)写出圆心P的坐标，并求出⊙P的半径．
试题14:
小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)若△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
试题15:
阅读材料，解答问题：
命题：如图1，在锐角△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，△ABC的外接圆半径为R，则＝＝＝2R.
证明：连接CO并延长交⊙O于点D，连接DB，则∠D＝∠A.∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°.在Rt△DBC中，sin∠D＝＝，所以sinA＝，即＝2R，同理，＝2R，＝2R，＝＝＝2R.
请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题：
(1)前面阅读材料中省略了“＝2R，＝2R”的证明过程，请你把“＝2R”的证明过程补写出来；
(2)直接运用阅读材料中命题的结论解题，如图2，已知在锐角△ABC中，BC＝，CA＝，∠A＝60°，求△ABC的外接圆半径R及∠C.
图1 图2
试题1答案:
C
试题2答案:
B
试题3答案:
解：在圆上取两个弦，根据垂径定理，垂直平分弦的直线一定过圆心，所以作出两弦的垂直平分线即可，两条垂直平分线的交点即为圆心．
试题4答案:
B
试题5答案:
B
试题6答案:
A
试题7答案:
D
试题8答案:
解：画图略，由作图可知：锐角三角形的外接圆的圆心在三角形内部，直角三角形外接圆的圆心是斜边上的中点，钝角三角形外接圆的圆心在三角形外部．
试题9答案:
②
试题10答案:
C
试题11答案:
D
试题12答案:
试题13答案:
解：(1)点A，B，C能确定一个圆，理由是点A，B，C不在同一条直线上．
(2)如图．
(3)由AB的垂直平分线，BC的垂直平分线的交点，得圆心P的坐标是(2，0)．半径的长为＝2.
试题14答案:
解：(1)略．
(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，
∴BC＝10米，△ABC外接圆的半径为5米．
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．
试题15答案:
解：(1)证明：连接AD，则∠ABC＝∠ADC.
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DAC＝90°.
在Rt△DAC中，sin∠ADC＝＝.
∴sin∠ABC＝，即＝2R.
(2)由命题结论知，＝，
∴＝.
∴sinB＝.
∵BC＞CA，
∴∠A＞∠B.∴∠B＝45°.∴∠C＝75°. 由＝2R，得R＝1.。