2015-2016-上海理工大学高数A1-期中考试 - 答案
2015年-2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(上海卷)
高考衣食住用行衣：高考前这段时间，提醒同学们出门一定要看天气，否则淋雨感冒，就会影响考场发挥。
穿着自己习惯的衣服，可以让人在紧张时产生亲切感和安全感，并能有效防止不良情绪产生。
食：清淡的饮食最适合考试，切忌吃太油腻或者刺激性强的食物。
如果可能的话，每天吃一两个水果，补充维生素。
另外，进考场前一定要少喝水！住：考前休息很重要。
好好休息并不意味着很早就要上床睡觉，根据以往考生的经验，太早上床反而容易失眠。
考前按照你平时习惯的时间上床休息就可以了，但最迟不要超过十点半。
用：出门考试之前，一定要检查文具包。
看看答题的工具是否准备齐全，应该带的证件是否都在，不要到了考场才想起来有什么工具没带，或者什么工具用着不顺手。
行：看考场的时候同学们要多留心，要仔细了解自己住的地方到考场可以坐哪些路线的公交车？有几种方式可以到达？大概要花多长时间？去考场的路上有没有修路堵车的情况？考试当天，应该保证至少提前20分钟到达考场。
2015年高考上海卷理数试题解析（精编版）（解析版）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =I ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =I 【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31zz i +=+，其中i为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】45、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】26、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 【答案】3π 【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【解析】设13,(0)x t t -=>，则2222log (5)log (2)254(2)0t t t t -=-+⇒-=-> 21430,5333112x t t t t x x -⇒-+=>⇒=⇒=⇒-=⇒=【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】1209、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】3y x =±【解析】由题意得：1C ：223,(0)x y λλ-=≠，设(,)Q x y ，则(,2)P x y ，所以2234x y λ-=，即2C 的渐近线方程为3y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】411、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C = 【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E = （元）．【答案】0.2【解析】赌金的分布列为1ξ1 2 3 4 5P15 15 15 15 15所以11(12345)35E ξ=++++=奖金的分布列为2ξ 1.4 2.8 4.2 5.6P25425C=253310C=25215C=251110C=所以223111.4(1234)2.8510510Eξ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯=12ξξE-E=0.2【考点定位】数学期望13、已知函数()sinf x x=．若存在1x，2x，⋅⋅⋅，mx满足1206mx x xπ≤<<⋅⋅⋅<≤，且()()()()()()1223112n nf x f x f x f x f x f x--+-+⋅⋅⋅+-=（2m≥，m*∈N），则m的最小值为．【答案】8【解析】因为()sinf x x=，所以()()max min()()2m nf x f x f x f x-≤-=，因此要使得满足条件()()()()()()1223112n nf x f x f x f x f x f x--+-+⋅⋅⋅+-=的m最小，须取123456783579110,,,,,,,6,222222x x x x x x x xπππππππ========即8.m=【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形CAB中，1tan2A=，D为边CB上的点，D∆AB与CD∆A的面积分别为2和4．过D 作D E⊥AB于E，DF C⊥A于F，则D DFE⋅=u u u r u u u r．【答案】1615-【解析】由题意得：1sin sin24125255A A AB AC A AB AC=⋅⋅=+⇒⋅=，又112,43222125AB DE AC DF AB DE AC DF DE DF ⋅=⋅=⇒⋅⨯⋅=⇒⋅=,因为DEAF 四点共圆，因此D DF E⋅=u u u r u u u r 16cos()()151255DE DF A π⋅⋅-=⨯-=- 【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A 3353 C ．112 D ．132【答案】D【解析】133313(cos sin )(43)()3322OB OA i i i ππ=⋅+=⋅=+u u u r u u u r ，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根 【考点定位】不等式性质18、设(),n n n x y P 是直线21n x y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nn ny x →∞-=-（ ）A ．1-B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
上海理工大附中高三数学上学期第一次月考试卷 理(含解
2015-2016学年上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一．填空题1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为．2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为．3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是．4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）= ．5．设a∈{﹣2，﹣ }，已知幂函数y=x a为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为．6．函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为．7．不等式≥1的解集为．8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为．9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是．10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为．11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是．12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是．13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log x，则不等式f（x）≤2的解集是．14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}= ．二．选择题15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（）A．仅充分条件B．仅必要条件C．充要条件 D．非充分非必要条件16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（）A．B．C．D．17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数 f （x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①②③C．①③④D．①②③④三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若 B=C，求a的值．21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．（1）求侧棱AA1的长．（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2（1）将y表示成x的函数，并求定义域；（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．23．设f（x）=为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．24．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．2015-2016学年上海理工大附中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．填空题1．集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，若A∩B=A，则a的取值范围为a≥3．【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；集合．【分析】由A与B的交集为A，得到A为B的子集，根据A与B，求出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|1≤x≤3}，B={x|x≤a}，且A∩B=A，∴A⊆B，则a的取值范围为a≥3，故答案为：a≥3．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．所有棱长都相等的正三棱锥的侧棱和底面所成角的大小为arccos．【考点】直线与平面所成的角．【专题】空间角．【分析】由所有棱长都相等的正三棱锥，令S在底面ABC上的投影为O，则O为正三角形ABC的中心，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，根据等边三角形的性质，求出AO后，解三角形SAO，即可求出答案．【解答】解：∵三棱锥S﹣ABC为正三棱锥，∴S在底面ABC上的投影为ABC的中心O连接SO，AO，则∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角设AB=AC=BC=SA=SB=SC=3∴AO=，在Rt△SAO中，cos∠SAO==∴∠SAO=arcc os．故答案为：arccos．【点评】本题考查的知识点是直线与平面所成角，其中根据正三棱锥的几何牲，构造出∠SAO即为侧棱SA与底面ABC所成角，是解答本题的关键．3．kx2﹣kx+2＞0恒成立，则k的取值范围是[0，8）．【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】讨论k是否为0，当k不等于0时，根据判别式与系数的关系得到不等式恒成立的等价条件．【解答】解：①k=0时，不等式为2＞0恒成立，故满足题意；②k≠0时，x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，等价于，解得0＜k＜8；综上x∈R时，kx2﹣kx+2＞0恒成立，k的取值范围是0≤k＜8；故答案为：[0，8）．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立时求参数范围；首先要考虑二次项系数是否为0，然后根据判别式与系数的关系得到关于k的不等式解之．4．已知函数f（x）=log2（x2+1）（x≤0），则f﹣1（2）= ﹣．【考点】反函数．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是：原函数的定义域是反函数的值域，只要会这个概念解题较简单，也可以直接求出反函数，再求值！【解答】解：f（x）=log2（x2+1）（x≤0），要求f﹣1（2）的值，可以使log2（x2+1）=2，即22=x2+1，解得x=或x=﹣，由x≤0，得出x=﹣f﹣1（2）=﹣【点评】此题提供的解法是最优解，学生还可以根据反函数的定义，求出反函数再代入求值也可以，但是要求注意原函数的定义域！5．设a∈{﹣2，﹣ }，已知幂函数y=x a为偶函数，且在（0，+∞）上递减，则a的所有可能取值为﹣2，．【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】先判断偶函数的幂函数，然后判断函数在（0，+∞）上递减的幂函数即可．【解答】解：a∈{﹣2，﹣ }，幂函数y=x a为偶函数，所以a∈{﹣2，，2}，即y=x﹣2，y=x2，y=x，在（0，+∞）上递减，有y=x﹣2，y=x，所以a的可能值为：﹣2，．故答案为：﹣2，．【点评】本题考查幂函数的基本性质，函数必须满足两个条件，是解题的关键．6．函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为或．【考点】指数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）=，解得a的值．当0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）=，解得a的值，综合可得结论．【解答】解：由题意可得：∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，∴f（2）﹣f（1）=a2﹣a=，解得a=0（舍去），或a=．∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，∴f（1）﹣f（2）=a﹣a2=，解得a=0（舍去），或a=．综上可得，a=，或 a=．【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．7．不等式≥1的解集为{x|} ．【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由已知得，从而得到或，由此能求出不等式≥1的解集．【解答】解：∵≥1，∴﹣1=，∴或，解得．∴不等式≥1的解集为{x|}．故答案为：{x|}．【点评】本题考查不等式的解法，是基础题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．8．已知不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣3] ．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用；集合．【分析】先解出不等式组的解集，再由题设中的包含关系得出参数a的不等式组解出其范围．【解答】解：由即，解得，2＜x＜3．不等式2x2+ax﹣9＜0相应的函数图象开口向上，令f（x）=2x2+ax﹣9，故欲使不等式组的解集是关于x的不等式2x2+ax﹣9＜0解集的一个子集，只需，即有即，解得，a≤﹣3．故答案为：（﹣∞，﹣3]【点评】本题考查一元二次不等式的解法以及已知一元二次不等式的解集求参数，综合考查了一元二次函数的图象与性质．9．方程|lgx|+x﹣3=0实数解的个数是 2 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】计算题．【分析】方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，结合图象得出结论．【解答】解：方程|lgx|+x﹣3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3﹣x的交点的个数为2，故答案为 2．【点评】本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为6cm的扇形，则此圆锥的体积为cm3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为，半径为6cm的扇形，可知圆锥的母线长，底面周长即扇形的弧长，由此可以求圆锥的底面的半径r，求出底面圆的面积，求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积．【解答】解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为半径为6cm的扇形∴圆锥的母线长为l=6，底面周长即扇形的弧长为×6=8π，∴底面圆的半径r=4，可得底面圆的面积为π×r2=16π又圆锥的高h===2故圆锥的体积为V=×8π×2=，（cm3）．故答案为： cm3．【点评】本题考查弧长公式及旋转体的体积公式，解答此类问题关键是求相关几何量的数据，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力．11．设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈（0，1），，则函数f（x）在（1，2）上的解析式是y=．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），由已知表达式可求得f（2﹣x），再由f（x）为周期为2的偶函数，可得f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x），从而得到答案．【解答】解：设x∈（1，2），则x﹣2∈（﹣1，0），2﹣x∈（0，1），所以f（2﹣x）==，又f（x）为周期为2的偶函数，所以f（x）=f（x﹣2）=f（2﹣x）=，即y=，故答案为：y=．【点评】本题考查函数解析式的求解及函数的周期性、奇偶性，考查学生灵活运用所学知识解决问题的能力，属中档题．12．如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是π．【考点】球面距离及相关计算．【专题】计算题．【分析】欲求B、C两点的球面距离，即要求出球心角∠BOC，将其置于三角形BOC中解决．【解答】解答：解：∵AC是小圆的直径．所以过球心O作小圆的垂线，垂足O’是AC的中点．O’C=，AC=3，∴BC=3，即BC=OB=OC．∴，则B、C两点的球面距离=．故答案为：π．【点评】点评：高考中时常出现与球有关的题目的考查，这类题目具有一定的难度．在球的问题解答时，有时若能通过构造加以转化，往往能化难为易，方便简洁．解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．13．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log x，则不等式f（x）≤2的解集是{x|﹣4≤x≤0，或x≥} ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据奇函数的性质即可得到结论．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，此时满足不等式f（x）≤2，此时x=0，当x＞0时，由f（x）=log x≤2，解得x≥，当x＜0，﹣x＞0，则f（﹣x）=log（﹣x）=﹣f（x），解得f（x）=﹣log（﹣x），x＜0，此时由﹣log（﹣x）≤2，即log（﹣x）≥﹣2解得﹣x≤4，即﹣4≤x＜0，综上﹣4≤x≤0，或x≥综上不等式的解集为{x|﹣4≤x≤0，或x≥}，故答案为：{x|﹣4≤x≤0，或x≥}【点评】本题主要考查不等式的求解，根据减函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键．14．试用列举法表示集合M={x|x∈R，x＞﹣1且∈Z}= {2﹣，2+，1，，2， } ．【考点】集合的表示法．【专题】集合．【分析】根据基本不等式，可求出∈（0，]，解方程求出满足条件的x值，可得答案．【解答】解：∵x＞﹣1，∴≥2，∴=∈（0，]，若∈Z，则=1，或=2，或=3，解得：x=2﹣，或x=2+，或x=1，或x=，或x=2，或x=，故M={2﹣，2+，1，，2， }，故答案为：{2﹣，2+，1，，2， }【点评】本题考查的知识点是集合表示法，基本不等式，是集合和不等式的综合应用，难度中档．二．选择题15．“f（0）=0”是“函数f（x）是奇函数”的（）A．仅充分条件B．仅必要条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】探究型．【分析】函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义．得到既不充分又不必要条件．【解答】解：函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数是一个奇函数也不一定使得在x=0处的函数值等于0，有的函数在x=0处没有意义，故前者不能推出后者，后者也不能推出前者，故选D．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．从空间一点出发的三条射线PA，PB，PC均成60°角，则二面角B﹣PA﹣C的大小为（）A．B．C．D．【考点】二面角的平面角及求法．【专题】计算题；数形结合；函数思想；转化思想；空间角．【分析】取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE，运用题目的条件得出∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，△BEC中，BE=CE=，BC=2，运用余弦定理求解即可．【解答】解：取PA=PB=PC=2，PE=1，连接BE，CE∵∠BPE=∠CPE=60°，∴△PBE≌△PCE，∴BE=CE，根据余弦定理得出：BE=CE=，∴根据勾股定理判断出BE⊥PE，CE⊥PE，∠BEC为二面角B﹣PA﹣C的平面角，∵△BEC中，BE=CE=，BC=2，∴cos∠BEC==，∠BEC=．故选：B．【点评】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中求出二面角的平面角转化为三角形中求解是解答本题的关键．17．设定义域为R的函数f（x）=，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，则b+c值为（）A．0 B．1 C．﹣1 D．不能确定【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】作函数f（x）=的图象，从而可得方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，从而解得．【解答】解：作函数f（x）=的图象，∵关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个不同的实数解，∴方程x2+bx+c=0有2个不同的实数解1，x1，∴1+x1=﹣b，1•x1=c，故b+c=﹣1﹣x1+x1=﹣1，故选：C．【点评】本题考查了函数方程的转化思想和数形结合的思想应用及根与系数的关系应用，属于中档题．18．某同学在研究函数f（x）=（x∈R）时，分别给出下面几个结论：①等式f（﹣x）+f（x）=0在x∈R时恒成立；②函数 f （x）的值域为（﹣1，1）；③若x1≠x2，则一定有f （x1）≠f （x2）；④函数g（x）=f（x）﹣x在R上有三个零点．其中正确结论的序号是（）A．①② B．①②③C．①③④D．①②③④【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解．【解答】解：易知函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣f（x），故函数为奇函数．故①正确；当x＞0时，f（x）==，该函数在（0，+∞）上递增，且x→0时，f（x）→0；当x→+∞时，f（x）→1．结合奇偶性，作出f（x）的图象如下：易知函数的值域是（﹣1，1），故②正确；结合函数为定义域内的增函数，所以③正确；又x≥0时，g（x）=f（x）﹣x=，令f（x）﹣x=0得x=0，故此时g（x）只有一个零点0，g（x）显然是奇函数，故该函数只有一个零点，所以④错误．故正确的命题是①②③．故选B【点评】本题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用．三、解答题（10分+12分+12分+12分+16分+16分，共78分）19．已知a，b∈R，求证：a2﹣ab+b2≥0．【考点】不等式的证明．【专题】综合法；不等式的解法及应用；推理和证明．【分析】运用配方法可得，a2﹣ab+b2=（a﹣）2+b2，再由非负数的思想，即可得证．【解答】证明：a2﹣ab+b2=a2﹣ab+b2+b2=（a﹣）2+b2，由（a﹣）2≥0， b2≥0，可得（a﹣）2+b2≥0，当a=b=0时，取得等号．即有a2﹣ab+b2≥0．【点评】本题考查不等式的证明，注意运用配方的思想方法，以及非负数的概念，属于基础题．20．设A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），B={y|y=x+1，x∈A}．C={y|y=x2，x∈A}，若 B=C，求a的值．【考点】集合的相等．【专题】计算题；分类讨论；定义法；集合．【分析】先求出集合B，C，需要分类讨论，再根据集合相等即可求出a的值．【解答】解：∵A={x|﹣1≤x≤a}，（a＞﹣1），∴B={y|y=x+1，x∈A}=[0，a+1]，当﹣1＜a≤1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，1]，∵B=C，∴a+1=1，解得a=0；当a＞1时，C={y|y=x2，x∈A}=[0，a2]，∵B=C，∴a+1=a2，解得a=（舍去），a=；综上所述a的值为0，或．【点评】本题考查了集合相等的应用问题，也考查了解方程的应用问题，是基础题目．21．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，异面直线A1B与B1C1所成角的大小为．（1）求侧棱AA1的长．（2）求A1B与平面A1ACC1所成角的大小（结果用反三角函数表示）．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【专题】计算题；数形结合；函数思想；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）设AA1=a，求侧棱AA1的长，需要找到与它有关的方程，由题设条件及图形知，∴∠A1BC 就是异面直线A1B与B1C1所成的角，由于此角余弦值已知，且△A1BC的边A1B，A1C的长度都可以用侧棱AA1的长度a表示出来，由此可以利用余弦定理建立关于AA1的方程．（2）作出直线与平面所成角，利用三角形的解法求解角的大小即可．【解答】解：（1）∵B1C1∥BC，∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，…设AA1=a，则在△A1BC中，A1B=A1C=，BC=2，…于是cos∠A1BC==，…解得a=4．…．所以，侧棱AA1的长为4．…（2）做BO⊥AC于O，连结A1O，几何体是正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长为2，可知AO=1，BO=，并且BO⊥AA1，BO⊥平面A1ACC1，A1B与平面A1ACC1所成角就是∠BA1O，A1O==，A1B与平面A1ACC1所成角的大小为θ，tanθ===，θ=arctan．…【点评】本题考查空间的距离求法，直线与平面所成角的求法，此类题求解时，技巧是转换角度，且点所对的多边形的面积易求，若这些条件不满足，则此法不好用，学习一种典型题的解法，要注意它的适用范围，适时总结．22．某单位用铁丝制作如图所示框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：米）的矩形，上部是一个半圆形，要求框架所围成的总面积为8m2（1）将y表示成x的函数，并求定义域；（2）问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001m）．【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）通过对xy+•π•=8变形、计算即得结论；（2）通过（1）可知框架用料l=（2+）x+，进而利用基本不等式计算即得结论．【解答】解：（1）依题意，xy+•π•=8，整理得：y==﹣•x，定义域为：0＜x＜；（2）由（1）可知框架用料l=2x+2y+•2π•=2x+2（﹣•x）+•x=（2+）x+≥2=4，当且仅当（2+）x=，即x=时取等号，此时x≈2.397m，y=﹣=≈2.397m，故当x=y≈2.397m时用料最省．【点评】本题考查函数模型的选择与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．23．设f（x）=为奇函数，a为常数．（1）求a的值；并判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（2）若对于区间（3，4）上的每一个x的值，不等式f（x）＞恒成立，求实数m的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可求得a值，根据单调性的定义及复合函数单调性的判定方法可判断f（x）的单调性；（2）不等式f（x）＞恒成立，等价于f（x）﹣＞m恒成立，构造函数g（x）=f（x）﹣，x∈（3，4），转化为求函数g（x）在（3，4）上的最值问题即可解决．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴定义域关于原点对称，由，得（x﹣1）（1﹣ax）＞0．令（x﹣1）（1﹣ax）=0，得x1=1，x2=，∴ =﹣1，解得a=﹣1．令u（x）==1+，设任意x1＜x2，且x1，x2∈（1，+∞），则u（x1）﹣u（x2）=，∵1＜x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，∴u（x1）﹣u（x2）＞0，即u（x1）＞u（x2）．∴u（x）=1+（x＞1）是减函数，又为减函数，∴f（x）=在（1，+∞）上为增函数．（2）由题意知﹣＞m，x∈（3，4）时恒成立，令g（x）=﹣，x∈（3，4），由（1）知在[3，4]上为增函数，又﹣在（3，4）上也是增函数，故g（x）在（3，4）上为增函数，∴g（x）的最小值为g（3）=﹣=﹣，∴m≤﹣，故实数m的范围是（﹣∞，﹣]．【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性及函数恒成立问题，奇偶性、单调性问题常用定义解决，而函数恒成立问题则常转化为最值问题处理．24．已知函数f（x），（x∈D），若同时满足以下条件：①f（x）在D上单调递减或单调递增②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]，那么称f（x）（x∈D）为闭函数．（1）求闭函数f（x）=﹣x3符合条件②的区间[a，b]；（2）判断函数y=2x+lgx是不是闭函数？若是请找出区间[a，b]；若不是请说明理由；（3）若y=k+是闭函数，求实数k的取值范围．【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．【专题】新定义；数形结合．【分析】（1）由y=﹣x3在R上单减，可得，可求a，b（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知即，结合对数函数的单调性可判断（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，可求（2）取特值说明即可，不是闭函数．（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，结合函数的图象可求【解答】解：（1）∵y=﹣x3在R上单减，所以区间[a，b]满足解得a=﹣1，b=1（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数（3）易知y=k+在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程x=k+至少有两个不同的解即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．∴得，即所求．另解：（1）易知函数f（x）=﹣x3是减函数，则有，解得，（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则即∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个根，所以，函数y=2x+lgx是不是闭函（3）由函数f（x）=k+是闭函数，易知函数是增函数，则在区间[a，b]上函数的值域也是[a，b]，说明函数f（x）图象与直线y=x有两个不同交点，令k+则有k=x﹣=，（令t=），如图则直线若有两个交点，则有k．【点评】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，方程的解与函数的交点的相互转化关系的应用，综合应用了函数的知识及数形结合思想、转化思想．。
上海高一下学期期中考试数学试卷有答案
上海⾼⼀下学期期中考试数学试卷有答案上海市理⼯⼤学附属⾼⼀下学期期中考试数学试卷满分：100分完成时间：90分钟⼀、填空题（本⼤题共12⼩题，每⼩题3分，满分36分）1．由02010sin ,02010cos <>可知，2010弧度的⾓为第______________象限的⾓. 2．若⾓α的终边经过点)3,(x P ，且1 cos 2α=-，则=x ． 3．函数lg2xy x=-的定义域为． 4．设函数)1(1)(2>-=x x x f 的反函数为)(1x f-，则=--)2(1f________________．5．满⾜⽅程931=-x 的x 的值为_______________________．6．把ααsin 3cos +化为)20,0)(sin(πα<<>+A A 的形式即为_______________．7．已知a =2log 3，则18log 32⽤a 表⽰为．8．函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为___________． 9．化简：()()()=--+--+??+ααπαπαπsin sin sin 2cos _______________． 10．若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a =____________________． 11．已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为．12．已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满⾜：(1)(2)(3)f f f f n k =，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有_______________个⼆、选择题（本⼤题共4⼩题，每⼩题3分，满分12分） 13．“21c o s=α”是“3πα=”的……………………………………………………（） (A) 充分⾮必要条件 (B) 必要⾮充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件14．若把?1000化成360(k Z,9090)k αα??+∈-?<（A ）?8 （B ）?-8 （C ）?80 （D ）?-8015．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则………………………………（） A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 16．函数ln 1xy ex =--的图像⼤致是…………………………………………………( )三、解答题（本⼤题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分）解⽅程：22log (95)log (32)2x x-=-+18．（本题满分8分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分）（1）已知tan 2α=-，求224sin 3cos αα+的值.（2）已知,αβ为锐⾓，sin 5α=，cos 10β=，求αβ-的值.20．（本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第（3）题6分）某同学在⼀次研究性学习中发现，以下五个式⼦的值都等于同⼀个常数：①??-?+?17cos 13sin 17cos 13sin 22；②??-?+?15cos 15sin 15cos 15sin 22；③??-?+?12cos 18sin 12cos 18sin 22；④??--?+?-48cos )18sin(48cos )18(sin 22；⑤??--?+?-55cos )25sin(55cos )25(sin 22.(1) 利⽤计算器求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，请你写出⼀个三⾓恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况；（3）证明你写出的三⾓恒等式.21．（第⼀⼩题2分，第⼆⼩题4分，第三⼩题5分，第四⼩题3分，满分14分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并⽤定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2013年第⼆学期期中考试⾼⼀数学试卷参考答案与评分意见⼀、填空题1．四； 2． 3．(0,2)； 4．3； 5．3-或3； 6．)6sin(2πα+；7．25a a+； 8．()2,1-； 9．2sin α； 10．8； 11．()1,3； 12 2．⼆、选择题13．B ； 14．D ； 15．C ； 16．D ．三、解答题17．（本题满分8分）解：954(32)xx-=-————————2分 ()234330x x-?+=———————2分 313x x==或301x x ∴==或——————————2分经检验0x =是增根，舍去—————1分∴原⽅程的解是1x =————————1分18．（本题满分8分）解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分两边平⽅得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<cos 0sin αα∴>>----------------------------------------------1分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα??+=-=-∴=-=---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------1分（不同解法相应给分）19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分）解：（1）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分 =224tan 32tan 1αα+--------+分 1915=---------分（2）因为α为锐⾓，sin α=，所以cos α==，--------------- 1分由β为锐⾓，cos 10β=，⼜sin 10β==， --------------- 1分所以sin()=sin cos cos sin αβαβαβ--=510510=-=2-，---------------2分因为,αβ为锐⾓，所以22ππαβ-<-<，所以4παβ-=-. ---------------1分20．（本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第(3)题6分）解：(1) 43……………………………………2分 (2)43)30cos(sin )30(cos sin 22=-?--?+αααα. ……………………………………4分（3）证明:)30cos(sin )30(cos sin 22αααα-?--?+22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+?+?-?+? ……2分2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++--……2分22333sin cos 444αα=+=．………………………………………………………………2分 21．（第⼀⼩题2分，第⼆⼩题4分，第三⼩题5分，第四⼩题3分，满分14分）解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==--------------1分对定义域内的任意x 恒成⽴ ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------1分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=?=?=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------2分（3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞--------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------2分所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分（其他⽅法证明适当给分）（4）123x a a <<-∴> ()()1,2 f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,l o g 1,410,232a a f a aa a a -∴-==-+=∴+-即化简得分。
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----<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>------<<本文为word格式，下载后方便编辑修改，也可以直接使用>>----2015-2016年上海市理工大附中高一上学期期末数学试卷一、填空题：（每题4分，共40分）1．（4.00分）已知全集，A={x|x﹣m=0}，如果∁U A=，则m=．2．（4.00分）若函数f（x）=3x﹣1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）=．3．（4.00分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=．4．（4.00分）已知0＜x＜1，则的最大值是．5．（4.00分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点．6．（4.00分）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=．7．（4.00分）函数的值域为．8．（4.00分）函数的单调递增区间为．9．（4.00分）设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为．10．（4.00分）已知函数，若方程f（x）+x=0有且仅有两个解，则实数a的取值范围是．二、选择题：（每题3分，共12分）11．（3.00分）“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件12．（3.00分）下列幂函数中，定义域是R且又是奇函数的是（）A．B．C．D．13．（3.00分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．14．（3.00分）若x0是方程的解，则x0属于区间（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）三、解答题：15．（8.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a 的取值范围．16．（8.00分）判断函数在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．17．（8.00分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣＜2．18．（10.00分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．19．（14.00分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）=．（设该生物出生时t=0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．2015-2016年上海市理工大附中高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题4分，共40分）1．（4.00分）已知全集，A={x|x﹣m=0}，如果∁U A=，则m= 2．【解答】解：由A中的方程解得：x=m，即A={m}，∵全集U={0，1，2}，∁U A={0，1}，∴A={2}，则m=2．故答案为：22．（4.00分）若函数f（x）=3x﹣1的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（1）=log32．【解答】解：∵f（x）=3x﹣1的反函数为f﹣1（x），∴在函数f（x）=3x﹣1中，取f（x）=1，求得x值，即可得到f﹣1（1）．由3x﹣1=1，得3x=2，∴x=log32．故答案为：log32．3．（4.00分）设f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，则f（1）=﹣3．【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），∵当x≤0时，f（x）=2x2﹣x，∴f（﹣1）=2+1=3，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣3．故答案为：﹣3．4．（4.00分）已知0＜x＜1，则的最大值是．【解答】解：∵0＜x＜1，∴=．当且仅当时取等号．故的最大值是．故答案为．5．（4.00分）若函数f（x）的图象经过（0，1）点，则函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．【解答】解：∵函数f（x）的图象经过（0，1）点，∴f（0）=1．∴f（﹣3+3）=1，即函数f（x+3）的图象经过点（﹣3，1）．∴函数f（x+3）的反函数的图象必经过点（1，﹣3）．故答案为：（1，﹣3）．6．（4.00分）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）=2．【解答】解：∵函数f（x）=lgx，f（ab）=lg（ab）=1，f（a2）+f（b2）=lga2+lgb2=lg（ab）2=2lg（ab）=2．故答案为：2．7．（4.00分）函数的值域为[6，+∞）．【解答】解：由x﹣3≥0，得x≥3．又函数为定义域内的增函数，∴≥6．即函数的值域为[6，+∞）．故答案为：[6，+∞）．8．（4.00分）函数的单调递增区间为（﹣∞，0）．【解答】解：；∴x＜0时，y=2x单调递增；即原函数的单调递增区间为（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．9．（4.00分）设a是实数．若函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣1|是定义在R上的奇函数，但不是偶函数，则函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕．【解答】解：由题意得f（﹣x）=﹣f（x），即：|﹣x+a|﹣|﹣x﹣1|=﹣|x+a|+|x ﹣1|∴a=1或﹣1．a=﹣1，f（x）=0是偶函数不对，a=1时，分情况讨论可得，，所以函数f（x）的递增区间为〔﹣1，1〕故答案为〔﹣1，1〕10．（4.00分）已知函数，若方程f（x）+x=0有且仅有两个解，则实数a的取值范围是a＜2．【解答】解：我们先研究g（x）=，①当x≥0时，f（x）=2x﹣2，②当﹣1≤x＜0时，0≤x+1＜1，g（x）=g（x+1）=2（x+1）﹣2．当﹣2≤x＜﹣1时，0≤x+2＜1，g（x）=g（x+2）=2（x+2）﹣2．故x＜0时，f（x）是周期函数，如图，此时函数g（x）与y=﹣x的图象恰有一个交点因为函数，的图象是由g（x）=向上平移2﹣a个单位．若方程f（x）+x=0有且只有两个不相等的实数根，则2﹣a＞0，即a＜2故答案为：a＜2．二、选择题：（每题3分，共12分）11．（3.00分）“x＞3”是“|x﹣3|＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：当x＞3时，|x﹣3|＞0一定成立当|x﹣3|＞0时，x≠3∴x＞3是|x﹣3|＞0充分不必要条件故选：A．12．（3.00分）下列幂函数中，定义域是R且又是奇函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：=定义域[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．=定义域为（﹣∞，+∞），为偶函数，不满足条件．=的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不满足条件．=的定义域为（﹣∞，+∞），为奇函数，满足条件．故选：D．13．（3.00分）若a和b均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：当a=1，b=﹣1时，选项A、B、C中的不等式都不成立，只有D成立，故选：D．14．（3.00分）若x0是方程的解，则x0属于区间（）A．（，1）B．（，）C．（，）D．（0，）【解答】解：∵，，∴x0属于区间（，）．故选：C．三、解答题：15．（8.00分）设集合A={x||x﹣a|＜2}，，若A⊆B．求实数a 的取值范围．【解答】解：解|x﹣a|＜2得：a﹣2＜x＜a+2．∴集合A=（a﹣2，a+2）解得：﹣2＜x＜3∵A⊆B，∴．16．（8.00分）判断函数在区间（0，1）上的单调性，并用定义证明．【解答】解：f（x）=在区间（0，1）上是减函数．证明：设0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=．∵0＜x1＜x2＜1，∴x22﹣x12＞0，（x12+1）（x22+1）＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）=在区间（0，1）上是减函数．17．（8.00分）若f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值；（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣＜2．【解答】解：（1）解：（1）令x=y=1，则有f（1）=f（1）﹣f（1）=0；∴f（1）=0（2）令x=1则所以因为f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，则解得18．（10.00分）已知函数f（x）=|x﹣1|，g（x）=﹣x2+6x﹣5．（1）若g（x）≥f（x），求实数x的取值范围；（2）求g（x）﹣f（x）的最大值．【解答】解：（1）当x≥1时，f（x）=x﹣1；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥x﹣1；整理，得（x﹣1）（x﹣4）≤0，解得x∈[1，4]；当x＜1时，f（x）=1﹣x；∵g（x）≥f（x），∴﹣x2+6x﹣5≥1﹣x，整理，得（x﹣1）（x﹣6）≤0，解得x∈[1，6]，又，∴x∈∅；综上，x的取值范围是[1，4]．（2）由（1）知，g（x）﹣f（x）的最大值在[1，4]上取得，∴g（x）﹣f（x）=（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣1）=﹣+≤，∴当x=时，g（x）﹣f（x）取到最大值是．19．（14.00分）某种海洋生物身体的长度f（t）（单位：米）与生长年限t（单位：年）满足如下的函数关系：f（t）=．（设该生物出生时t=0）（1）需经过多少时间，该生物的身长超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，求t0（t0∈N*）的值．【解答】解：（1）由题意，f（t）≥8，即≥8，化简可得，，即2﹣t+4≤2﹣2，解得t≥6，故该生物6年后身长可达到或超过8米；（2）设出生后第t0年，该生物长得最快，则有f（t0）﹣f（t0﹣1）=﹣=（t0≥1），令u=，则u∈（0，8]，令g（u）===，当且仅当2u=，即u=，=，t0=4.5时取“=”，又∵t0∈N*，∴t0的值可能为4或5，∵f（4）﹣f（3）=f（5）﹣f（4）=，∴所求的年份为第4年和第5年，两年内各生长了米．附赠：数学考试技巧一、心理准备细心+认真=成功！1、知己知彼，百战百胜。
上海理工大附中2015-2016学年高一下学期3月月考数学试卷 含解析
2015—2016学年上海理工大附中高一（下）3月月考数学试卷一、填空题：(每题4分）1．地球赤道的半径为6370km，则赤道上1弧度角所对的圆弧长为．2．函数y=的定义域为：．3．已知f（x）=,则= ．4．和﹣终边相同的角为．5．函数的值域是．6．已知f（x）=｜log3x|，若f（a）＞f（2），则a的取值范围是．7．已知cosα=且﹣＜α＜0，则的值为．8．设α是第二象限角，且,则是第象限角．9．已知函数y=log a x（a＞0且a≠1），当x∈［3，9］时,函数的最小值比最大值小1，则a= ．10．已知sinαcosα=，且＜α＜,则cosα﹣sinα的值是．11．函数y=log a（x+3）﹣1(a＞0且a≠1)的图象恒过定点A，则点A坐标为．12．函数y=log（﹣x2+6x﹣5)的单调递减区间为．13．方程：log2（x2﹣3)=log2（6x﹣10）﹣1的解为．14．方程（）x=｜x2﹣4x+3|的解的个数为．二、解答题:（8分+8分+8分+8分+12分)15．解方程：log（9x﹣1﹣5）=log（3x﹣1﹣2）﹣2．16．证明:=cscα﹣secα．17．已知tanα=3,求下列各式的值：(1);（2)sin2α+sinαcosα+3cos2α18．函数f（x)=log a（a x﹣1）(0＜a＜1）(1)求f（x)的定义域；（2）讨论函数f(x）的单调性；（3）解方程f（2x）=f﹣1（x)．19．已知定义域为R的函数是奇函数（1）求a值；（2)判断并证明该函数在定义域R上的单调性;（3）若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k)＜0恒成立，求实数k的取值范围；（4）设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f(﹣2x+1）有零点,求实数b的取值范围．2015—2016学年上海理工大附中高一（下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题:（每题4分）1．地球赤道的半径为6370km，则赤道上1弧度角所对的圆弧长为6370km ．【考点】弧长公式．【分析】直接利用弧长公式得答案．【解答】解：由题意，R=6370,α=1rad,由弧长公式可得,赤道上1弧度角所对的圆弧长为Rα=6370×1=6370（km)．故答案为:6370km．2．函数y=的定义域为：[1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数的解析式，二次根式的被开方数大于或等于0,且对数的真数大于0,列出不等式求出解集即可．【解答】解：∵函数y=,∴lg（2x﹣1）≥0，即2x﹣1≥1，解得x≥1，∴函数y的定义域为[1，+∞）．故答案为:［1,+∞)．3．已知f(x）=，则= ﹣1 ．【考点】反函数．【分析】欲求则,根据互为反函数的两个函数之间的关系知，只要求出使得f(x)=，成立的x的值即可．【解答】解：设f（x）=，即得：x=﹣1，则=﹣1，故答案为：﹣1．4．和﹣终边相同的角为．【考点】终边相同的角．【分析】直接写出与﹣终边相同的角得答案．【解答】解：与﹣终边相同的角为：．故答案为：．5．函数的值域是{﹣1，3} ．【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【分析】本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号,对于四个象限，因为三角函数值的符号不同，需要按照四种不同的情况进行讨论，得到结果．【解答】解：由题意知本题需要对于角所在的象限讨论，确定符号,当角x在第一象限时，y=1+1+1=3，当角在第二象限时,y=1﹣1﹣1=﹣1,当角在第三象限时，y=﹣1﹣1+1=﹣1，当角在第四象限时，y=﹣1+1﹣1=﹣1．故答案为:｛﹣1，3｝6．已知f（x）=|log3x|，若f（a）＞f(2)，则a的取值范围是．【考点】对数函数的值域与最值；对数函数的图象与性质；对数函数的单调性与特殊点．【分析】由已知中函数f（x）=|log3x|，我们可以判断出函数的单调性，进而根据对数的性质，解不等式f（a）＞f(2)，得到a的取值范围即可得到答案．【解答】解：∵f（x）=|log3x|,∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增若f（a）＞f（2），则0＜a＜,或a＞2，∴满足条件的a的取值范围为故答案为：7．已知cosα=且﹣＜α＜0,则的值为﹣．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数关系，求出sinα=﹣,利用诱导公式化简,再代入计算，可得结论．【解答】解：∵cosα=且﹣＜α＜0，∴sinα=﹣，∴===﹣．故答案为﹣．8．设α是第二象限角，且,则是第三象限角．【考点】三角函数值的符号．【分析】由α的范围判断的范围,再由进一步确定所在的象限．【解答】解：∵α是第二象限角,∴是第一或三象限角，∵，∴，即是第三象限角．故答案为：三．9．已知函数y=log a x(a＞0且a≠1),当x∈[3，9]时，函数的最小值比最大值小1，则a= 3或．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用对数函数的图象和性质可知，对数函数的单调性与底数a有关，分类讨论即可解决问题．【解答】解：当a＞1时，函数y=log a x(a＞0且a≠1）是增函数，f(3）是最小值，即f(3）=log a3,f（9）是最大值，即f（9）=log a9．由题意，最小值比最大值小1，∴解得:a=3当1＞a＞0时,函数y=log a x（a＞0且a≠1）是减函数，f（9)是最小值，即f（3）=log a9,f(3）是最大值,即f（3)=log a3．由题意，最小值比最大值小1，∴解得：a=故填：3或．10．已知sinαcosα=，且＜α＜，则cosα﹣s inα的值是﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】求出（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=，再判断cosα＜sinα，得出答案．【解答】解：∵sinαcosα=，∴（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=，∵＜α＜，∴cosα＜sinα，∴cosα﹣sinα=﹣．11．函数y=log a(x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，则点A坐标为（﹣2，﹣1）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意令x+3=1，解得x=﹣2,再代入函数解析式求出y的值为﹣1，故所求的定点是（﹣2,﹣1）．【解答】解：令x+3=1，解得x=﹣2，则当x=﹣2时，函数y=log a（x+3）﹣1=﹣1，即函数图象恒过一个定点（﹣2，﹣1）．故答案为：（﹣2,﹣1）12．函数y=log（﹣x2+6x﹣5）的单调递减区间为（﹣1,3] ．【考点】复合函数的单调性．【分析】先求出函数的定义域，然后利用复合函数的单调性确定函数f（x)的单调递减区间．【解答】解：要使函数有意义，则﹣x2+6x﹣5＞0，解得x∈（1，5）,设t=﹣x2+6x﹣5，则函数在（﹣1，3］上单调递增,在［3，5）上单调递减．因为函数log t在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是（﹣1，3]．故答案为:（﹣1,3］．13．方程：log2(x2﹣3）=log2（6x﹣10）﹣1的解为 2 ．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用对数函数的基本运算法则直接求解,但要注意：对数的真数要大于0．【解答】解：由log2(x2﹣3)=log2(6x﹣10）﹣1⇒log2(x2﹣3）﹣log2(6x﹣10)=﹣1⇒∴x2﹣3=3x﹣5解得：x=1或x=2∵x2﹣3＞0,6x﹣10＞0∴x=2故答案为：2．14．方程（）x=|x2﹣4x+3|的解的个数为 5 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】做出y=（)x和y=｜x2﹣4x+3｜的函数图象，根据函数图象的交点个数判断．【解答】解:作出y=（）x和y=｜x2﹣4x+3｜的函数图象如图所示：∴y=（)x和y=｜x2﹣4x+3|的函数图象在（0，+∞）上有4个交点，在（﹣∞，0）上有1个交点，∴方程（）x=|x2﹣4x+3｜有5个解．故答案为：5．二、解答题：(8分+8分+8分+8分+12分）15．解方程：log（9x﹣1﹣5）=log（3x﹣1﹣2）﹣2．【考点】对数的运算性质．【分析】先根据对数的运算性质化简,再设3x﹣1=t，利用换元法即可求出方程的解．【解答】解:log（9x﹣1﹣5）=log（3x﹣1﹣2）﹣2=log （3x﹣1﹣2）﹣log=log4（3x﹣1﹣2),∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2)，设3x﹣1=t，则t2﹣4t+3=0,解得t=1或t=3，即3x﹣1=1,由于3x﹣1=t＞,故舍去，或3x﹣1=3，解x=216．证明：=cscα﹣secα．【考点】三角函数恒等式的证明．【分析】已知等式左右两边利用同角三角函数间基本关系化简，即可得证．【解答】证明：左边===，右边=﹣=，左边=右边，所以=cscα﹣secα．17．已知tanα=3，求下列各式的值：(1）;(2）sin2α+sinαcosα+3cos2α【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】(1）原式分子分母除以cosα,利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值;（2）原式分母看做“1"，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）∵tanα=3，∴原式===；（2）∵tanα=3，∴原式====．18．函数f（x）=log a（a x﹣1）(0＜a＜1）（1)求f（x）的定义域；（2）讨论函数f(x）的单调性；(3）解方程f(2x)=f﹣1（x）．【考点】对数函数的图象与性质；反函数．【分析】（1）对数函数的真数大于0,根据a的范围解不等式即可．（2）利用复合函数的单调性证明即可得答案．（3）求出反函数f﹣1（x），在求解方程．【解答】解：(1）由题意：a x﹣1＞0，故而：a x＞a0，∵0＜a＜1，∴x＜0故f(x）的定义域为（﹣∞，0）；（2)由（1）可知定义域为（﹣∞，0），∵0＜a＜1，∴f（x）=log a u是减函数．令u=a x﹣1,0＜a＜1，可知u=a x﹣1在区间（﹣∞，0)也是减函数，由复合函数的单调性可得：f(x）=log a（a x﹣1）在区间（﹣∞，0）是增函数，（3）由题意:f﹣1(x）=log a（a x+1)那么:f（2x）=f﹣1（x）,即log a（a2x﹣1）=log a（a x+1）可得：a2x﹣1=a x+1化简：（a x）2﹣a x﹣2=0因式分解：（a x+1）（a x﹣2）=0解得:a x=2，a x=﹣1（舍去）故而方程的解为x=log a2．19．已知定义域为R的函数是奇函数（1)求a值；（2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性;(3)若对任意的t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f(2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围；(4)设关于x的函数F（x）=f（4x﹣b）+f(﹣2x+1)有零点,求实数b的取值范围．【考点】指数函数的单调性与特殊点;奇偶性与单调性的综合．【分析】(1）根据奇函数当x=0时的函数值为0，列出方程求出a的值；（2）先判断出单调性，再利用函数单调性的定义法进行证明,即取值﹣作差﹣变形﹣判断符号﹣下结论;（3）利用函数的奇偶性将不等式转化为函数值比较大小，再由函数的单调性比较自变量的大小,列出不等式由二次函数恒成立进行求解；（4）根据函数解析式和函数零点的定义列出方程，再利用整体思想求出b的范围．【解答】解：（1）由题设，需，∴a=1，∴，经验证，f(x）为奇函数，∴a=1．(2)减函数证明：任取x1,x2∈R，x1＜x2，△x=x2﹣x1＞0，f（x2）﹣f（x1）=﹣=，∵x1＜x2 ∴0＜＜；∴﹣＜0,（1+）（1+)＞0∴f(x2）﹣f（x1）＜0∴该函数在定义域R 上是减函数．（3)由f（t2﹣2t）+f(2t2﹣k)＜0 得f(t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k），∵f(x）是奇函数，∴f（t2﹣2t）＜f（k﹣2t2）,由（2)知，f（x）是减函数∴原问题转化为t2﹣2t＞k﹣2t2,即3t2﹣2t﹣k＞0 对任意t∈R 恒成立,∴△=4+12k＜0，得即为所求．(4）原函数零点的问题等价于方程f（4x﹣b)+f（﹣2x+1）=0由(3）知,4x﹣b=2x+1,即方程b=4x﹣2x+1有解∴4x﹣2x+1=（2x)2﹣2×2x=（2x﹣1）2﹣1≥﹣1,∴当b ∈［﹣1，+∞) 时函数存在零点．2016年11月4日。
上海上海理工大学附属初级中学数学高一下期中测试
一、选择题1．(0分)[ID ：12425]设曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行，则a=（ ）A ．-4B ．14-C ．14D ．42．(0分)[ID ：12423]已知三棱锥D ABC -的外接球的表面积为128π，4,42AB BC AC ===，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（ ）A ．2732B ．10863+C ．1663+D ．3221663+ 3．(0分)[ID ：12408]已知两点()A 3,4-，()B 3,2，过点()P 1,0的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ．()1,1-B ．()(),11,∞∞--⋃+C ．[]1,1-D ．][(),11,∞∞--⋃+ 4．(0分)[ID ：12398]已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f 2b (log 5),c (2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 5．(0分)[ID ：12355]已知点A （1，2），B （3，1），则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A ．4x 2y 5+=B ．4x 2y 5-=C ．x 2y 5+=D ．x 2y 5-=6．(0分)[ID ：12351]已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π7．(0分)[ID ：12336]在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A ．23πB ．43π C ．53π D ．2π8．(0分)[ID ：12333]已知三条直线,,m n l ，三个平面,,αβγ，下列四个命题中，正确的是（ ）A ．||αγαββγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭B ．||m l l m ββ⎫⇒⊥⎬⊥⎭C ．||||||m m n n γγ⎫⇒⎬⎭D ．||m m n n γγ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ 9．(0分)[ID ：12371]若方程21424x kx k +-=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,12410．(0分)[ID ：12359]若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．16011．(0分)[ID ：12419]陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 12．(0分)[ID ：12415]已知ABC 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2AB =，4AC =，5BC =三棱锥O ABC -的体积为43，则球O 的表面积为（ ） A ．22π B ．743π C ．24π D ．36π 13．(0分)[ID ：12337]若圆的参数方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数），直线的参数方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数），则直线与圆的位置关系是（ ） A ．相交且过圆心 B ．相交但不过圆心 C ．相切 D ．相离14．(0分)[ID ：12335]已知平面αβ⊥且l αβ=，M 是平面α内一点，m ，n 是异于l 且不重合的两条直线，则下列说法中错误的是（ ）. A ．若//m α且//m β，则//m lB ．若m α⊥且n β⊥，则m n ⊥C ．若M m ∈且//m l ，则//m βD ．若M m ∈且m l ⊥，则m β⊥ 15．(0分)[ID ：12332]长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为( )A ．72πB ．56πC ．14πD ．64π二、填空题16．(0分)[ID ：12462]若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 .17．(0分)[ID ：12523]已知在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，CD AD ⊥，224AB AD CD ===，将直角梯形ABCD 沿AC 折叠，使平面BAC ⊥平面DAC ，则三棱锥D ABC -外接球的体积为__________．18．(0分)[ID ：12466]如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,//,2,1ABCD AD AB AB DC AD DC AP AB ⊥====，若E 为棱PC 上一点，满足BE AC ⊥，则PE EC=__________．19．(0分)[ID ：12446]底面边长为2的正三棱柱111ABC A B C -被不平行于底面的平面MNP 所截，其中3AM =，4BN =，5PC =，则多面体ABC MNP -体积为________20．(0分)[ID ：12443]已知B 与点()1,2,3A 关于点()0,1,2M -对称，则点B 的坐标是______．21．(0分)[ID ：12440]圆台的两个底面面积之比为4：9，母线与底面的夹角是60°，轴截面的面积为1803_____．22．(0分)[ID ：12498]函数2291041y x x x +-+_________.23．(0分)[ID ：12497]直线10x y --=与直线20x ay --=互相垂直，则a =__________．24．(0分)[ID ：12432]如图所示，二面角l αβ--为60,,A B 是棱l 上的两点，,AC BD 分别在半平面内,αβ，且AC l ⊥，，4,6,8AB AC BD ===，则CD 的长______．25．(0分)[ID ：12520]如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，90ABC ∠=，点D 为AC 的中点，将ABD △沿BD 折起到的位置，使PC PD =，连接PC ，得到三棱锥P BCD -，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.三、解答题26．(0分)[ID ：12608]如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ,,E F 是线段AB 上的两点,且DE AB ⊥,CF AB ⊥,12AB =,5AD =,42BC =,4DE =.现将△ADE ,△CFB 分别沿DE ,CF 折起,使两点,A B 重合于点G ,得到多面体CDEFG （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ;（2）求多面体CDEFG 的体积27．(0分)[ID ：12545]如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60,,ABC E F ∠=分别是,BC PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PAD ；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 3B AF C --的正切值．28．(0分)[ID ：12618]如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T(－1，1)在AD 边所在直线上．求：(1) AD 边所在直线的方程；(2) DC 边所在直线的方程．29．(0分)[ID ：12613]如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为4的正三角形，M ，N 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：平面AMN ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为30，试求三棱锥M ANC -的体积.30．(0分)[ID ：12540]已知圆C 的方程：22240x y x y m +--+=．（1）求m 的取值范围；（2）若圆C 与直线l ：240x y +-=相交于M ，N 两点，且45||MN =，求m 的值．【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．D4．B5．B6．C7．C8．D9．D10．D11．D12．C13．B14．D15．C二、填空题16．2π【解析】试题分析：设圆柱的底面半径为r高为h底面积为S体积为V则有2πr=2⇒r=1π故底面面积S=πr2=π×(1π)2=1π故圆柱的体积V=Sh=1π×2=2π考点：圆柱的体积17．【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥如图所示由条件可得在底面中取AB的中点OAC的中点E连OCOE则∵∴∵平面平面∴平面∴又∴∴∴点O为三棱锥外接球的球心球半径为2∴答案：点睛：（1）本题是一道关18．【解析】【分析】过作交于连接根据可得平面通过解三角形求得的值也即求得的值【详解】过作交于连接根据可得平面故由于所以由于所以在直角三角形中所以而故根据前面证得可得【点睛】本小题主要考查空间点位置的确定19．【解析】【分析】将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分相加求和即可【详解】如图将多面体分为四棱锥与三棱锥两部分其中四棱锥的高为为梯形则故多面体体积为故答案为：【点睛】本题主要考查了多面体体积的求解方法根据20．【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点坐标公式求结果【详解】设B则所以所以的坐标为【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标公式考查基本分析求解能力属基础题21．【解析】【分析】首先通过两个底面面积之比为得到半径比设出上底半径为下底半径为由因为母线与底面的夹角是得到母线长为高为就可以根据轴截面的面积解出代公式求出侧面积即可【详解】圆台的两个底面面积之比为则半22．【解析】【分析】将变形为设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点即可求出距离和的最小值；【详解】解：设则即轴上的一动点到的距离之和作点关于轴的对称点连接则即为距离和的最小值故答案为：【点睛】23．【解析】【分析】根据直线垂直的条件计算即可【详解】因为直线与直线互相垂直所以解得故填【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的条件属于中档题24．【解析】【分析】推导出两边平方可得的长【详解】二面角为是棱上的两点分别在半平面内且的长故答案为：【点睛】本题考查线段长的求法考查空间中线线线面面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力考查函数与方程25．【解析】【分析】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平面PCD求出三棱锥P﹣BDC的外接球半径R＝由此能求出该球的表面积【详解】由题意得该三棱锥的面PCD是边长为的正三角形且BD⊥平三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到函数在2x =时的导数，再由两直线平行与斜率的关系求得a 值．【详解】 解：由31x y x +=-，得()()2213411x x y x x ---=---'=， ∴2'|4x y ==-， 又曲线31x y x +=-在点25（，）处的切线与直线10ax y +-=平行， ∴4a -=-，即4a =．故选D ．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查两直线平行与斜率的关系，是中档题．2．D解析：D【解析】【分析】先求出球心O 到底面距离的最大值，从而可求顶点D 到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.【详解】设外接球的球心为O ，半径为R ，则24128R ππ=，故42R =设球心O 在底面上的投影为E ，因为OA OC OB ==，故E 为ABC ∆的外心. 因为4AB BC ==，42AC =222AC AB BC =+，故ABC ∆为直角三角形，故E 为AC 的中点，所以2226OE OA AE =-=，设D 到底面ABC 的距离为h ，则2642h OE R ≤+=+，所以三棱锥D ABC -的体积的最大值为()11322166442642323+⨯⨯⨯⨯+=. 故选：D.【点睛】几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆心．如果球心的位置不易确定，则可以把该几何体补成规则的几何体，便于球心位置和球的半径的确定． 3．D解析：D【解析】分析：根据两点间的斜率公式，利用数形结合即可求出直线斜率的取值范围．详解：∵点A （﹣3，4），B （3，2），过点P （1，0）的直线L 与线段AB 有公共点， ∴直线l 的斜率k≥k PB 或k≤k PA ，∵PA 的斜率为4031--- =﹣1，PB 的斜率为2031--=1， ∴直线l 的斜率k≥1或k≤﹣1，故选：D ．点睛：本题主要考查直线的斜率的求法，利用数形结合是解决本题的关键，比较基础．直线的倾斜角和斜率的变化是紧密相联的，tana=k,一般在分析角的变化引起斜率变化的过程时，是要画出正切的函数图像，再分析.4．B解析：B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.5．B解析：B【解析】【分析】【详解】因为线段AB 的垂直平分线上的点(),x y 到点A ，B 的距离相等，=．即：221244x x y y +-++- 229612x x y y =+-++-，化简得：425x y -=．故选B ．6．C解析：C【解析】【分析】的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为∴三棱锥的外接球体积为343π⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．7．C解析：C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积. 8．D解析：D【解析】试题分析：A.}r rααββ⊥⇒⊥不正确，以墙角为例，,αβ可能相交；B.}m l l m ββ⇒⊥⊥不正确，,l β有可能平行；C.}m r m n n r ⇒不正确，m,n 可能平行、相交、异面；故选D 。
上海理工大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷-Word版含解析
2014-2015学年上海理工大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（每题3分，共42分）1．（3分）若M=，用列举法表示集合M=．2．（3分）函数y=3+定义域为．3．（3分）若f（x）=x4，g（x）=，则f（x）•g（x）=．4．（3分）若f（x+1）=x2﹣5x+4，则f（x）=．5．（3分）“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的条件．6．（3分）若x≠1，则x+的范围是．7．（3分）若函数f（x）=，则f（5）=．8．（3分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，集合N={x|ax+1=0，a∈R}，且N⊆M，则实数a的值为．9．（3分）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是．10．（3分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．11．（3分）已知f（x）的定义域[1，2]，则f（x2﹣1）的定义域．12．（3分）已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）的解析式．13．（3分）已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是．14．（3分）若不等式f（x）≥0的解集为[2，4]，不等式g（x）≥0的解集为∅，则＞0的解集为．二、选择题：（每题3分，共12分）15．（3分）如果b＜a＜0，那么下列不等式错误的是（）A．c+b＜c+a B．a2＜b2C．b c2＜ac2D．＜16．（3分）满足条件{1，3，5}∪M={1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（）A．4个B．8个C．16个D．32个17．（3分）下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=C．y=+﹣2 D．y=（x2+1）2+218．（3分）已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．1C．0.5 D．2三、解答题：8分+8分+8分+10分+12分=46分19．（8分）（1）已知A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，求A∩B；（2）已知C={（x，y）|y=x2+1，x∈R}，D={（x，y）|y=x+1，x∈R}，求C∩D．20．（8分）设关于x的不等式x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式的解集为N．（1）当a=1时，求集合M；（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．21．（8分）设f（x）=是R上的奇函数（常数a，b∈R）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）最值．22．（10分）如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？23．（12分）设非空集合A={x|﹣1≤x≤m}，集合S={y|y=x+1，x∈A}，T={y|y=x2，x∈A}求使S=T成立的实数m的所有可能值．2014-2015学年上海理工大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（每题3分，共42分）1．（3分）若M=，用列举法表示集合M={﹣2，﹣1，0，3}．考点：集合的表示法．专题：集合．分析：由题意可知x+3是6的约数，然后分别确定6的约数，从而得到x的值．解答：解：∵∈N，x∈Z，∴x+3=1，2，3，6，∴x=﹣2，﹣1，0，3，故答案为：{﹣2，﹣1，0，3}．点评：本题主要考查了集合的表示法，考查了学生灵活转化题目条件的能力，是个基础题．2．（3分）函数y=3+定义域为[﹣5，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要使函数有意义，则需x+5≥0，解出即可得到定义域．解答：解：要使函数有意义，则需x+5≥0，解得，x≥﹣5，则定义域为[﹣5，+∞）．故答案为：[﹣5，+∞）．点评：本题考查函数的定义域的求法，注意偶次根式被开方式非负，属于基础题．3．（3分）若f（x）=x4，g（x）=，则f（x）•g（x）=x2，（x≠0）．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：把f（x）=x4，g（x）=代入求解，求出定义域即可．解答：解：∵f（x）=x4，g（x）=，x≠0∴f（x）•g（x）=x4•=x2，（x≠0）故答案为：x2，（x≠0）点评：本题考察了函数的概念，解析式的求解，属于容易题．4．（3分）若f（x+1）=x2﹣5x+4，则f（x）=x2﹣7x+10．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以利用换元法求出函数解析式，得到本题结论．解答：解：设x+1=t，则x=t﹣1，∵f（x+1）=x2﹣5x+4，∴f（t）=（t﹣1）2﹣5（t﹣1）+4=t2﹣7t+10，∴f（x）=x2﹣7x+10．故答案为：x2﹣7x+10．点评：本题考查了换元法求函数的式，本题难度不大，属于基础题．5．（3分）“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分不必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：若a＞2且b＞2，则根据不等式的性质可知a+b＞4且ab＞4成立．若a+b＞4且ab＞4，比如a=1，b=5时满足a+b＞4且ab＞4，但a＞2且b＞2不成立．故“a＞2且b＞2”是“a+b＞4且ab＞4”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键．6．（3分）若x≠1，则x+的范围是[﹣5，4]．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：变形利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：当x＞1时，x+=（x﹣1）++1+1=7，当且仅当x=4时取等号．当x＜1时，x+=﹣（1﹣x）﹣+1+1=﹣5，当且仅当x=﹣2时取等号．∴x+的范围是[﹣5，4]．故答案为：[﹣5，4]．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．7．（3分）若函数f（x）=，则f（5）=20．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题；函数的性质及应用．解答：解：由f（x）=得，f（5）=f（6）=f（7）=f（8）=f（9）=f（10）=2×10=20．故答案为：20．点评：本题考查了分段函数已知自变量求函数值，根据自变量的值代入分段函数求值即可，属于基础题．8．（3分）已知集合M={x|x2+x﹣6=0}，集合N={x|ax+1=0，a∈R}，且N⊆M，则实数a的值为0，﹣或﹣．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：先由集合M={x|x2+x﹣6=0}分别解出集合M最简单的形式，然后再根据N⊆M，求出k的值．解答：解：∵集合M={x|x2+x﹣6=0}，∴集合M={2，﹣3}，∵N⊆M，N={x|ax+1=0}，∴N=Φ，或N={2}，或N={﹣3}三种情况，当N=Φ时，可得a=0，此时N=Φ；当N={2}时，∵N={x|ax+1=0}，∴x=﹣=2，∴a=﹣，当N={﹣3}，x=﹣=3，∴a=﹣，∴a的可能值为0，﹣，或﹣，故答案为：0，﹣，或﹣．点评：此题考查集合子集的概念，用到分类讨论的思想，其中当N为空集，这一情况许多同学容易漏掉，要注意一下．9．（3分）已知x，y∈R*且+=1，则xy的最小值是8．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由x，y∈R*且+=1，可得（y＞2），代入并利用基本不等式即可得出．解答：解：∵x，y∈R*且+=1，∴（y＞2）∴xy=y==+4=8，当且仅当y=4（x=2）时取等号．∴xy的最小值是8．故答案为：8．点评：本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．10．（3分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣2，2]．考点：函数恒成立问题；二次函数的性质．专题：计算题．分析：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立，当a≠2时利用二次函数的性质列出a满足的条件并计算，最后两部分的合并即为所求范围．解答：解：当a﹣2=0，a=2时不等式即为﹣4＜0，对一切x∈R恒成立①当a≠2时，则须即∴﹣2＜a＜2 ②由①②得实数a的取值范围是（﹣2，2]故答案为：（﹣2，2]点评：本题考查不等式恒成立的参数取值范围，考查二次函数的性质．注意对二次项系数是否为0进行讨论．11．（3分）已知f（x）的定义域[1，2]，则f（x2﹣1）的定义域[，]∪[，]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：要求函数的定义域，就是求函数式x2﹣1中x的取值范围．解答：解：因为函数y=f（x）的定义域是[1，2]，所以函数f（x2﹣1）中1≤x2﹣1≤2，∴2≤x2≤3，即x∈[，]∪[，]f（x2﹣1）的定义域为[，]∪[，]故答案为：[，]∪[，]点评：本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．12．（3分）已知f（x）+2f（）=3x，求f（x）的解析式．考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：计算题．分析：由f（x）+2f（）=3x，用替换x得f（）+2f（x）=3×，解方程求得f（x）的解析式．解答：解：∵f（x）+2f（）=3x，用替换x得f（）+2f（x）=3×，⇒2f（）+4f（x）=6×解得：f（x）=．故答案为：．点评：本题考查求函数的解析式的方法，函数解析式等基本知识，用替换x得到一个新的关系式13．（3分）已知f（x）=则不等式xf（x）+x≤2的解集是{x|x≤1}．考点：其他不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：由题意，不等式求解必须分类讨论，分x≥0、x＜0时解答，最后求并集．解答：解：x≥0时，f（x）=1，xf（x）+x≤2⇔x≤1，∴0≤x≤1；当x＜0时，f（x）=0，xf（x）+x≤2⇔x≤2，∴x＜0．综上x≤1．故答案为：{x|x≤1}点评：本题利用分类讨论的数学思想解答不等式，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．14．（3分）若不等式f（x）≥0的解集为[2，4]，不等式g（x）≥0的解集为∅，则＞0的解集为（﹣∞，2）∪（4，+∞）．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：先由题意知：不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，2）∪（4，+∞），不等式g（x）＜0的解集是R，利用分类讨论思想求出不等式＞0的解集．解答：解：∵f（x）≥0的解集为[2，4]，不等式g（x）≥0的解集为∅，∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，2）∪（4，+∞），不等式g（x）＜0的解集是R，∵＞0，∴f（x）＞0且g（x）＞0，或f（x）＜0且g（x）＜0，∴＞0的解集为∅，或（﹣∞，2）∪（4，+∞），即为（﹣∞，2）∪（4，+∞），故答案为：（﹣∞，2）∪（4，+∞），点评：本题考查其它不等式﹣抽象不等式的解法，本题的求解可以类比补集的运算，辅助解题，属于基础题．二、选择题：（每题3分，共12分）15．（3分）如果b＜a＜0，那么下列不等式错误的是（）A．c+b＜c+a B．a2＜b2C．b c2＜ac2D．＜考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：A．由b＜a＜0，可得c+b＜a+c；B．由b＜a＜0，可得a2＜b2；C．c=0时，bc2=ac2；D．由b＜a＜0，可得．解答：解：A．∵b＜a＜0，∴c+b＜a+c，正确．B．∵b＜a＜0，∴a2＜b2，正确；C．c=0时，bc2=ac2，因此不正确；D．∵b＜a＜0，∴，正确．故选：C．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．16．（3分）满足条件{1，3，5}∪M={1，3，5，7，9}的所有集合M的个数是（）A．4个B．8个C．16个D．32个考点：并集及其运算．专题：集合．分析：根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．解答：解：∵{1，3，5}∪M={1，3，5，7，9}∴7∈M，且9∈M∴的集合M可能为{7，9}或{1，7，9}或{3，7，9}或{5，7，9}或{1，3，7，9}或{1，5，7，9}或{3，5，7，9}或{1，3，5，7，9}故选：B．点评：本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．17．（3分）下列函数中，最小值为2的是（）A．y=x+B．y=C．y=+﹣2 D．y=（x2+1）2+2考点：基本不等式．分析：利用基本不等式的性质即可判断出．解答：解：A．x＜0，最小值不可能是2；B．y==＞2，最小值不可能是2；C．y=+﹣2≥﹣2=2，当且仅当x=4时取等号．D．y=（x2+1）2+2≥1+2=3，最小值为3．故选：C．点评：本题考查了基本不等式的性质，使用时注意“一正二定三相等”的法则，属于基础题．18．（3分）已知函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且f（2）=4，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．1C．0.5 D．2考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：计算题．分析：令x=y=0，求出f（0）的值，令x=y=1，据f（2）=4，求出f（1），再由0=1+（﹣1），求f（﹣1）．解答：解：因为函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），所以f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0又f（1）+f（1）=f（1+1）=f（2）=4∴f（1）=2∴f（﹣1）+f（1）=f（﹣1+1）=f（0）=0∴f（﹣1）=﹣2；故选A．点评：依据函数特征，给自变量取特殊值，体现特殊值的解题思想．三、解答题：8分+8分+8分+10分+12分=46分19．（8分）（1）已知A={y|y=x2+1，x∈R}，B={y|y=x+1，x∈R}，求A∩B；（2）已知C={（x，y）|y=x2+1，x∈R}，D={（x，y）|y=x+1，x∈R}，求C∩D．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：（1）求出A与B中y的范围出A与B，找出两集合的交集即可；（2）联立C与D中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．解答：解：（1）由A中y=x2+1≥1，得到A=[1，+∞）；由B中y=x+1，得到y∈R，即B=R，则A∩B=[1，+∞）；（2）联立得：，解得：或，则C∩D={（0，1），（1，2）}．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题关键．20．（8分）设关于x的不等式x（x﹣a﹣1）＜0（a∈R）的解集为M，不等式的解集为N．（1）当a=1时，求集合M；（2）若M⊆N，求实数a的取值范围．考点：其他不等式的解法；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：（1）当a=1时，由已知得x（x﹣2）＜0，由此可得M；（2）由已知得N=[﹣1，3），对a分类讨论，利用M⊆N，即可确定a的取值范围是[﹣2，2]．解答：解：（1）当a=1时，由已知得x（x﹣2）＜0，所以0＜x＜2，所以M=（0，2）．…（3分）（2）由已知得N=[﹣1，3）．…（5分）①当a＜﹣1时，因为a+1＜0，所以M=（a+1，0）．因为M⊆N，所以﹣1≤a+1＜0，解得﹣2≤a＜﹣1 …（7分）②若a=﹣1时，M=∅，显然有M⊆N，所以a=﹣1成立…（8分）③若a＞﹣1时，因为a+1＞0，所以M=（0，a+1）．又N=[﹣1，3），因为M⊆N，所以0＜a+1≤3，解得﹣1＜a≤2 …（9分）综上所述，a的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）21．（8分）设f（x）=是R上的奇函数（常数a，b∈R）．（1）求a，b的值；（2）求f（x）最值．考点：函数的最值及其几何意义．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据f（x）=是R上的奇函数（常数a，b∈R）的定义可以判断a，b的值，（2）变形为当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）=，利用均值不等式求解可得．解答：解：（1）∵f（x）=是R上的奇函数（常数a，b∈R）．∴f（0）=0，即=0，a=0∴f（x）=，f（﹣x）=，∴bx=﹣bx，b=0，故a=0，b=0，（2）f（x）=，当x=0时，f（0）=0，当x≠0时，f（x）=，∵y=x+的值域为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），∴f（x）=的值域为[，]故f（x）最大值为，f（x）最小值为．点评：本题综合考察了函数的性质，在求解函数值域中的应用，属于中档题，容易忽略x=0．22．（10分）如图所示，某公园要在一块绿地的中央修建两个相同的矩形的池塘，每个面积为10000米2，池塘前方要留4米宽的走道，其余各方为2米宽的走道，问每个池塘的长宽各为多少米时占地总面积最少？考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：计算题．分析：池塘的长为x米时，宽为：米，占地总面积S：；求出S的最小值即可．解答：解：设池塘的长为x米时，占地总面积为S，则池塘的宽为：（米），；即：，，，；答：每个池塘的长为米，宽为米时，占地总面积最小．点评：本题考查了基本不等式a+b≥2（a＞0，b＞0）的应用，在应用基本不等式时，要注意不等式成立的条件．23．（12分）设非空集合A={x|﹣1≤x≤m}，集合S={y|y=x+1，x∈A}，T={y|y=x2，x∈A}求使S=T成立的实数m的所有可能值．考点：集合的相等．专题：计算题；函数的性质及应用；集合．分析：化简集合S，当S=T时，即y=x2取得最小值0，则m≥0，讨论当m≥1时，当0≤m＜1时，化简集合T，再由集合相等，即可得到所求值．解答：解：由于m≥﹣1，则S={y|y=x+1，x∈A}={y|0≤y≤m+1}，当S=T时，即y=x2取得最小值0，则m≥0，当x=﹣1时，x2=1；当x=m时，x2=m2．当m≥1时，T={y|y=x2，x∈A}={y|0≤y≤m2|，由S=T，得m2=m+1，解得，m=（负的舍去）；当0≤m＜1时，T={y|y=x2，x∈A}={y|0≤y≤1|，由S=T，得m+1=1，解得，m=0．综上，可得使S=T成立的实数m的所有可能值为：0，．点评：本题考查集合的化简和相等，考查二次函数的值域，考查运算能力，属于中档题和易错题．。
上海浦东区2015年度-2016年度学年度高一第二学期期中联考数学试题和规范标准答案
2016学年度上海市重点中学高一数学联考试题（满分100分 考试时间90分钟） 1．求值：52log 35________.+=2. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)_________.f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是_______________. 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第__________象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为 .6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是____________________. 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为 .8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭_______________.= 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x >的x 的取值范围是 .10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则____________.a = 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为 。
12. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan ____________.α=二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分） 13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ ）A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)baN a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+18.（每小题各4分，满分8分） 已知tan 2α=-，求下列各式的值. （1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+19. （本小题满分10分） 已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分） 已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）..21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2016学年度第二学期高一数学联考试题参考答案（满分100分 考试时间90分钟）一、填空题（本大题12小题，每小题3分，共36分） 1．求值：52log 35+= 752. 已知函数2()1(2)f x x x =-≤-，则1(4)f -=3. 与83π-终边相同的最小正角是43π 4. 已知sin cos 0αα<，则α是第_二或四__象限角. 5. 已知a =2log 3，则18log 32用a 表示为25a a+. 6. 若1log 14a<，则a 的取值范围是()10,1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭U 7. 函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为()2,1-8. 若53,42ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭=cos sin αα- 9. 设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(0,)x ∈+∞时，()lg ,f x x =则满足()0f x ≥的x 的取值范围是[][)1,01,-+∞U10、若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a = 8 11、已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为()1,312. 已知角α终边上一点(,4)P t -，若cos 5tα=，则tan α=4330433t t t ⎧-=⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩不存在二、选择题（本大题4小题，每小题3分，共12分）13. “1sin 2α=-”是“56πα=-”的（ B ） A .充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件14、若函数22log (43)y kx kx =++的定义域为R ，则k 的取值范围是 （ C ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛43,0 B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,0 C ． ⎪⎭⎫⎢⎣⎡43,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-∞,43]0,(Y15. 将2(0,1)ba N a a =>≠转化为对数形式，其中错误的是（ D ）.A 1log 2a b N = .B 2log a b N = .C log 2b a N = .D log 2a Nb =16. 已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满足：(1)(2)(3)()f f f f n k ⋅⋅⋅⋅=L ，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有（ B ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）4个 （D ）8个三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17.（本小题满分8分）解方程：22log (95)log (32)2x x-=-+解：954(32)xx-=-————————2分()234330x x -⋅+=———————2分313xx==或301x x ∴==或——————————2分 经检验0x =是增根，舍去—————1分 ∴原方程的解是1x =————————1分18.（每小题各4分，满分8分） 已知tan 2α=-，求下列各式的值.（1）4sin 3cos 2sin cos αααα+- （2）224sin 3cos αα+解：（1）原式=4tan 322tan 1αα+------分 （2）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分=12---------分 =224tan 31tan 1αα+--------+分 =1915---------分（不同解法相应给分） 19. （本小题满分10分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα- 解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分两边平方得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<Qcos 0sin αα∴>>----------------------------------------------2分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα⎧⎧+=-=-⎪⎪⎪⎪∴⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------2分（不同解法相应给分）20. （第一小题4分，第二小题6分，满分10分） 已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB （保留三角比）. 解：（1）设扇形的半径为r ，弧长为l ---------------------------1分281313232r l r r l l lr +=⎧==⎧⎧⎪⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎪⎩或-------------------------2分233αα∴==圆心角或----------------------------------1分（2）21112242442r l S lr r l +⎛⎫==⋅⋅≤⋅= ⎪⎝⎭-------------------2分当且仅当2r l =时，等号成立-------------------------------1分 max 2,4,4,r l S α∴===当时此时=2-------------------1分4sin1AB ∴=----------------------------------------------------2分 （其他方法相应给分）21. （第一小题4分，第二小题3分，第三小题6分，第四小题3分，满分16分） 已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值； （2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并用定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==----Q ----------2分 对定义域内的任意x 恒成立 ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即 解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------2分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=⇒=⇒=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------1分（3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞U --------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或 2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--Q 12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------3分 所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分（4）123x a a <<-∴>Q()()1,2f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,log 1,410,22a a f a a a a a -∴-==-+=∴=+-即化简得分。
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1 x sin x e x . (拆项后利用等价无穷小) lim x 0 ln(1 x 2 )
2 2 2
2
1 x sin x e x 1 x sin x 1 1 e x 1 x sin x 1 1 ex 解： lim lim lim lim x 0 x 0 x 0 x 0 x 2 ln(1 x 2 ) x2 x2
1 1 2 x sin x x 2 1 x lim 2 2 lim 2 lim 2 2 1 . x 0 x 0 x x 0 x 2 x
3. lim x x 1 . ( 1 利用重要极限或者洛必达法则)
x 1
1 x 2 1
1 2
解： lim x
x 1
证明： 令 f ( x) (1 x ) arctan x ln(1 x) ， 则 f ( x) 2 x arctan x 1 当 x 0 时， f ( x) 0 ， f ( x) 在 [0, ) 单调增加, 又 f (0) 0
则当 x 0 时， f ( x) 0 ，即 (1 x ) arctan x ln(1 x) 0 ，亦即 arctan x
x2 2 x x2 2 x 1 1 lim f ( x) lim lim lim ; 2 2 x 0 x 0 | x | ( x 4) x 0 x ( x 4) x 0 ( x 2) 2 lim f ( x) lim
当x
故当高 h
R 时，圆柱体体积最大.
2015--2016--A(1)期中----
3
2 2 2
2. 当 x 0 时， sin(sin x ) 是 x 的 3. 已知 f (0) 1 ， lim
h 0
f (h) f (3h) 2h
2
.
(导数定义)
4. 设函数 f ( x)
ax 1 1 在，且 f ( x) 在 ( 2, ) 上单调递增，则 a 的取值范围为 ( , ) . x2 2
d dt
y (d dx ) dx dt
4(t 1)
1 1 t
4(t 1) 2 .
三、(本题 12 分) 确定函数 f ( x )
x2 2x 的间断点，并指出类型. | x | ( x 2 4)
解：当 x 0 ， x 2 ， x 2 时，分母为零，为 f ( x) 的间断点.
x2 2x 1 1 lim f ( x) lim lim ， x 2 为 f ( x) 的可去间断点. x 2 x 2 | x | ( x 2 4) x 2 x 2 4
四、(本题 12 分) 证明：当 x 0 时， arctan x
2
ln(1 x) . 1 x2 1 x 2 x arctan x 1 x 1 x
6. 设
x ln(1 t )
2 y t 2t
，求
dy d 2 y ， . dx dx 2
dy dt dx dt
(参数方程求导)
解：
dx 2 dy dy 2t 2 ， , dt 1 t d t dx
2t 2
1 1 t
2(t 1) 2 ；
d2 y dx 2
解： y (e
sin x ln x
x sin x (cos x ln x
x
5. 设 e xy 1 0 确定函数 y f ( x) , 求 y (1) . 解：方程两边对 x 求导，有 e y xy 0 ，解得 y
x
ex y . 当 x 1 时， y e 1 . 故 y (1) 1 x
圆柱体体积 πr h π( R
2 2
当x
2R 3π 2R 时， f ( x) 0 ，唯一驻点； f ( x) x ， f ( ) 0 ， 2 3 3 2R 时， f ( x) 取极大值，也就是最大值. 3 2R 2 2 ， r R h4 3
2 3
3 4 1 1 1 1 2 x ； (4 1)e x x 2 x
1 x 4e x 0 00 3 x ， 当 x 0 时， f (0) lim f (0) lim lim x e 0 ，则 f (0) 0 0 x 0 x 0 x 0 x x 1 x 2 (4 x 1)e x , x 0 故 f ( x) 在 ( , ) 上可导，且 f ( x) . 0, x0 六、(本题 12 分) 求内接于半径为 R 的球内体积最大的圆柱体的半径和高.
( f ( x)
2a 1 1 0 , a , 注：不包含端点，因为端点处，为常函数) 2 ( x 2) 2
3 2 2
5. 函数 y x 3 x 6 x 的拐点为 (1, 4) . ( y 3 x 6 x 6 , y 6 x 6 ，注意拐点形式) 6. 曲线 y x e 在 x 0 处的切线方程为
sin x
arccos 1 2 x ，求 y . (幂指函数求导转化为指数函数)
) (arccos 1 2 x ) esin x ln x (cos x ln x sin x 1 . ) x 2 x(1 2 x) 2 sin x 1 ) x 1 (1 2 x) 2 1 2 x
x 0
x 0
x2 2 x x2 2 x 1 1 lim lim ; x 0 为 f ( x) 的跳跃间断点. 2 2 | x | ( x 4) x0 x ( x 4) x 0 x 2 2
x 2
lim f ( x) lim
x2 2 x 1 lim ， x 2 为 f ( x) 的无穷间断点. 2 x 2 | x | ( x 4) x 2 x2
4
(端点处连续可导必须利用定义)
1
又 f (0 ) lim f ( x) lim x e x 0 ， f (0) 0 ， f ( x) 0 ， f (0 ) lim
x 0 x 0 x 0
则 f ( x) 在 x 0 处连续, 进而 f ( x) 在 ( , ) 上连续. 当 x 0 时， f ( x) 0 ；当 x 0 时， f ( x) 4 x e x x e x
1
. 解：设圆柱体的半径为 r ，高为 h ，则 r h 2 R
2 2 2
1 2 π h )h πR 2 h h3 ， 0 h 2 R 4 4 π 3 3π 2 2 2 令 f ( x) πR x x (0 x 2 R ) ，则 f ( x) πR x ， 4 4
x
y 2x 1
. ( y 1 e ， y(0) 2 ，过点 (0,1) )
x
二、计算下列各题. (每小题 5 分，共 30 分)
x 2 sin
1.
lim
x 0
sin x
1 x . (等价无穷小，有界函数与无穷小乘积)
1 1 x 2 sin x lim x lim x sin 1 0 解： lim x 0 sin x x 0 x 0 x x x 2 sin
lim(1 x 1)
x 1
1 1 x 1 x 1
e
lim
1
x1 x 1
e 或 lim x
x 1
1 2
1 x 2 1
e
lim
ln x
x1 x 2 1
e
lim
1 x
x1 2 x
e2 .
1
2015--2016--A(1)期中----
1
4. 设 y x
2015/2016 学年第一学期 高等数学 A1(期中)课程考核试卷 A□、B□
一、填空题：(每空 3 分，共 18 分) 1. lim
cos n n 2n 1
0
.
2
( lim
1 0 ， cos n 有界，无穷小乘以有界函数为无穷小) n 2n 1
2
阶无穷小. ( x 0 ， sin(sin x ) sin x x )
2
ln(1 x) . 1 x2
2015--2016--A(1)期中----
2
1 x 4 e x , x 0, 五、(本题 16 分) 设 f ( x) 讨论 f ( x) 的连续性和可导性，并求 f ( x) . 0, x 0,
解： f ( x) 在 ( , 0) 和 (0, ) 上连续,