人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版

人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word 版

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．取一副三角板按图()1拼接，固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=，将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ，图()2所示．试问：

()1当a 为多少时，能使得图()2中//AB CD ？说出理由，

()2连接BD ，假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ，当00)45(a ≤≤时，探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况，并给出你的证明．

【答案】（1）15°；（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105，证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=，即可求出a ；

（2）DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?,由FEM CAM C ∠=∠+∠，30C ∠=?， EFM BDC DBM ∠=∠+∠， 45M ∠=?，即可利用三角形内角和求出答案.

【详解】

()1当a 为15时，//AB CD ，

理由：由图()2，若//AB CD ，则30BAC C ∠=∠=，

453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-?=?，

所以，当a 为15时，//AB CD ．

注意：学生可能会出现两种解法：

第一种：把//AB CD 当做条件求出a 为15，

第二种：把a 为15当做条件证出//AB CD ，

这两种解法都是正确的．

()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105?

证明： ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=?,

30FEM CAM ∴∠=∠+?,

EFM BDC DBM ∠=∠+∠,

DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,

180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=?,

3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+?+?=?,

1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=?--=?,

所以，DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变，是105.

【点睛】

此题考查旋转的性质，平行线的性质，三角形的外角定理，三角形的内角和，（2）中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.

2．（1）已知△ABC 是等腰三角形，其底边是BC,点D 在线段AB 上，E 是直线BC 上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A 等于60°（如图①）.求证：EB=AD ；

（2）若将（1）中的“点D 在线段AB 上”改为“点D 在线段AB 的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

试题分析：（1）作DF∥BC 交AC 于F ，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC 是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF 是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF ，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD ，由AAS 证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论；

（2）作DF∥BC 交AC 的延长线于F ，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF ，即可得出结论.

试题解析：（1）证明：如图，作DF ∥BC 交AC 于F ，

则△ADF 为等边三角形

∴AD=DF ，又∵ ∠DEC=∠DCB ，

∠DEC+∠EDB=60°，

∠DCB+∠DCF=60° ，

∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD ，

在△DEB 和△CDF 中，

120EBD DFC EDB DCF DE CD ，，

∠=∠=???∠=∠??=?

∴△DEB

≌△CDF ，

∴BD=DF ，

∴BE=AD .

(2). EB=AD 成立；

理由如下：作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ，如图所示：

同（1）得：AD=DF ，∠FDC=∠ECD ，∠FDC=∠DEC ，ED=CD ，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴△DBE ≌△CFD

（AAS ），

∴EB=DF ，

∴EB=AD.

点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.

3．如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB ，AC=BD=9cm，点P在线段AB上以3 cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1（s），△ACP与△BPQ 是否全等？说明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其他条件不变．若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△ACP与△BPQ全等.（3）在图2的基础上延长AC，BD交于点E，使C，D分别是AE，BE中点，若点Q以（2）中的运动速度从点B出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△ABE三边运动，求出经过多长时间点P与点Q第一次相遇．

【答案】（1）△ACP≌△BPQ，理由见解析；线段PC与线段PQ垂直（2）1或

3

2

（3）9s 【解析】

【分析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

（3）因为V Q＜V P，只能是点P追上点Q，即点P比点Q多走PB+BQ的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

【详解】

（1）当t=1时，AP=BQ=3，BP=AC=9，

又∵∠A=∠B=90°，

在△ACP与△BPQ中，

AP BQ

A B

AC BP

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ACP≌△BPQ（SAS），

∴∠ACP=∠BPQ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°，

∠CPQ=90°，

则线段PC与线段PQ垂直.

（2）设点Q的运动速度x,

①若△ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，

912t t xt =-??=?

， 解得31t x =??=?

， ②若△ACP ≌△BPQ ，则AC=BQ ，AP=BP ，

912xt t t

=??=-? 解得632t x =???=??

， 综上所述，存在31t x =??=?或632t x =???=??

使得△ACP 与△BPQ 全等. （3）因为V Q ＜V P ，只能是点P 追上点Q ，即点P 比点Q 多走PB+BQ 的路程，

设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，

∵AC=BD=9cm ，C ，D 分别是AE ，BD 的中点；

∴EB=EA=18cm.

当V Q =1时，

依题意得3x=x+2×9，

解得x=9；

当V Q =32

时， 依题意得3x=

32x+2×9， 解得x=12.

故经过9秒或12秒时P 与Q 第一次相遇.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元一次方程的性质与运算.

4．如图，在ABC ?中，90C ∠=?，4cm AC BC ==，点D 是斜边AB 的中点．点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动，点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动，规定当点E 到终点C 时停止运动．设运动的时间为x 秒，连接DE 、DF ．

（1）填空：ABC S ?=______2cm ；

（2）当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时，求证：DE DF =；

（3）若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动，在点E 、点F 运动过程中，如果存在某个时间x ，使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍，请你求出时间x 的值．

【答案】（1）8;(2)见解析；（3）

45或4. 【解析】

【分析】

（1）直接可求△ABC 的面积；

（2）连接CD ，根据等腰直角三角形的性质可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD ，且BE=CF ，即可证△CDF ≌△BDE ，可得DE=DF ；

（3）分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论，根据题意列出方程可求x 的值．

【详解】

解：（1）∵S △ABC =

12?AC×BC ∴S △ABC =12

×4×4=8（cm 2） 故答案为：8

（2）如图：连接CD

∵AC=BC ，D 是AB 中点

∴CD 平分∠ACB

又∵∠ACB=90°

∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°

∴CD=BD

依题意得：BE=CF

∴在△CDF与△BDE中

BE CF

B DCA

BD CD

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△CDF≌△BDE（SAS）

∴DE=DF

（3）如图：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°

∴△ADN≌△BDM（AAS）

∴DN=DM

当S△ADF=2S△BDE．

∴

1

2

×AF×DN=2×

1

2

×BE×DM

∴|4-3x|=2x

∴x1=4，x2=

4

5

综上所述：x=

4

5

或4

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象，全等三角形的性质和判定，利用分类思想解决问题是本题的关键．

5．已知4

AB cm

=，3

AC BD cm

==.点P在AB上以1/

cm s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为()

t s．

（1）如图①，AC AB

⊥，BD AB

⊥，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当1

t=时，ACP

△与BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图②，将图①中的“AC AB

⊥，BD AB

⊥”为改“60

CAB DBA

∠=∠=?”，其他条件不变．设点Q的运动速度为/

xcm s，是否存在实数x，使得ACP

△与BPQ

全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）全等，PC 与PQ 垂直；（2）存在，11t x =??=?或232t x =???=??

【解析】

【分析】

（1）利用SAS 证得△ACP ≌△BPQ ，得出∠ACP=∠BPQ ，进一步得出

∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；

（2）由△ACP ≌△BPQ ，分两种情况：①AC=BP ，AP=BQ ，②AC=BQ ，AP=BP ，建立方程组求得答案即可．

【详解】

解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，

又∠A=∠B=90°，

在△ACP 和△BPQ 中，

AP BQ A B AC BP =??∠=∠??=?

，

∴△ACP ≌△BPQ （SAS ）．

∴∠ACP=∠BPQ ，

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．

∴∠CPQ=90°，

即线段PC 与线段PQ 垂直．

（2）①若△ACP ≌△BPQ ，

则AC=BP ，AP=BQ ，

34t t xt =-??=?

， 解得11t x =??=?

， ②若△ACP ≌△BQP ，

则AC=BQ ，AP=BP ，

3

4

xt

t t

=

?

?

=-

?

，

解得

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

，

综上所述，存在

1

1

t

x

=

?

?

=

?

或

2

3

2

t

x

=

?

?

?

=

??

使得△ACP与△BPQ全等．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．

6．如图①，在ABC中，90

BAC

∠=?，AB AC

=，AE是过A点的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD AE

⊥于D，CE AE

⊥于E.

（1）求证：BD DE CE

=+.

（2）若将直线AE绕点A旋转到图②的位置时（BD CE

<），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明.

【答案】（1）见解析；（2）BD=DE-CE，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为AE=AD+DE，所以BD=DE+CE；

（2）根据已知利用AAS判定△ABD≌△CAE从而得到BD=AE，AD=CE，因为

AD+AE=BD+CE，所以BD=DE-CE．

【详解】

解：（1）∵∠BAC=90°，BD⊥AE，CE⊥AE，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∵∠ABD+∠BAE=90°，∠CAE+∠BAE=90°

∴∠ABD=∠CAE，

∵AB=AC，

在△ABD和△CAE中，

BDA AEC

ABD CAE

AB AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△ABD ≌△CAE （AAS ），

∴BD=AE ，AD=CE ，

∵AE=AD+DE ，

∴BD=DE+CE ；

（2）BD 与DE 、CE 的数量关系是BD=DE-CE ，理由如下：

∵∠BAC=90°，BD ⊥AE ，CE ⊥AE ，

∴∠BDA=∠AEC=90°，

∴∠ABD+∠DAB=∠DAB+∠CAE ，

∴∠ABD=∠CAE ，

∵AB=AC ，

在△ABD 和△CAE 中，

BDA AEC ABD CAE AB AC ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ABD ≌△CAE （AAS ），

∴BD=AE ，AD=CE ，

∴AD+AE=BD+CE ，

∵DE=BD+CE ，

∴BD=DE-CE ．

【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS ，SAS ，AAS ，HL 等．这种类型的题目经常考到，要注意掌握．

7．如图（1），在ABC 中，90A ∠=?，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=?．

（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；

（2）若ABC 的面积为7，求四边形AEDF 的面积；

（3）如图（2），如果点E 运动到AB 的延长线上时，点F 在射线CA 上且保持

90EDF ∠=?，DEF 还是等腰直角三角形吗．请说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；

（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；

（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.

【详解】

解：（1）证明：如图①，连接AD.

∵∠BAC=90?,AB=AC,点D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC，AD=BD，

∴∠1=∠B=45°，

∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4，

在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，

∴△BDE≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴ΔDEF为等腰直角三角形.

（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，

又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，

∴∠3=∠5，

∴△ADE≌△CDF，

∴S四边形AEDF=S?ADF+S?ADE=S?BDE+S?CDF，

∴ S?ABC=2 S四边形AEDF,

∴S四边形AEDF=3.5 .

（3）是.如图②，连接AD.

∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，

∴AD⊥BC,AD=BD ，

∴∠1=45°，

∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，

∴∠DAF=∠DBE ，

∵∠EDF=90°，

∴∠3+∠4=90°，

又∵∠2+∠3=90°，

∴∠2=∠4,

在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,

∴△BDE ≌△ADF(ASA),

∴DE=DF,

又∵∠EDF=90°，

∴△DEF 为等腰直角三角形.

【点睛】

本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

8．在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，且60,ADB E ∠=?是射线DA 上一动点(不与点D 重合，且DA DB ≠)，在射线DB 上截取DF DE =，连接EF ．

()1当点E 在线段AD 上时，

①若点E 与点A 重合时，请说明线段BF DC =；

②如图2，若点E 不与点A 重合，请说明BF DC AE =+；

()2当点E 在线段DA 的延长线上()DE DB >时，用等式表示线段,,AE BF CD 之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)．

【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）BF ＝AE-CD

【解析】

【分析】

（1）①根据等边对等角，求到B C ∠=∠，再由含有60°角的等腰三角形是等边三角形得到ADF ?是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到

120

AFB ADC

∠=∠=?，推出ABF ACD

??

≌，根据全等三角形的性质即可得出结论；

②过点A做AG∥EF交BC于点G，由△DEF为等边三角形得到DA＝DG，再推出AE＝GF，根据线段的和差即可整理出结论；

（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论．

【详解】

（1）①证明：AB AC

=

B C

∴∠=∠

,60

DF DE ADB

=∠=?，且E与A重合，

ADF

∴?是等边三角形

60

ADF AFD

∴∠=∠=?

120

AFB ADC

∴∠=∠=?

在ABF

?和ACD

?中

AFB ADC

B C

AB AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

ABF ACD

∴??

≌

BF DC

∴=

②如图2，过点A做AG∥EF交BC于点G，

∵∠ADB＝60°DE＝DF

∴△DEF为等边三角形

∵AG∥EF

∴∠DAG＝∠DEF＝60°，∠AGD＝∠EFD＝60°

∴∠DAG＝∠AGD

∴DA＝DG

∴DA－DE＝DG－DF，即AE＝GF

由①易证△AGB≌△ADC

∴BG＝CD

∴BF＝BG＋GF＝CD＋AE

（2）如图3，和（1）中②相同，过点A做AG∥EF交BC于点G，

由（1）可知，AE=GF，DC=BG，

∴+=+==

BF CD BF BG GF AE

=-．

故BF AE CD

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

9．探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图

（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：

①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△ABC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．

②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE 的度数．

【答案】（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由见解析；（2）①50；②∠DCE＝85°．【解析】

【分析】

（1）首先连接AD并延长至点F，然后根据外角的性质，即可判断出∠BDC＝

∠BAC+∠B+∠C；

（2）①由（1）可得∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X，然后根据∠A＝40°，∠X＝90°，即可求

解；

（3）②由∠A＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADE+∠AEB的值，然后根据∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC，求出∠DCE的度数即可.

【详解】

（1）如图，∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：

过点A、D作射线AF，

∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，

∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，

即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；

（2）①如图（2），∵∠X＝90°，

由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，

∵∠A＝40°，

∴∠ABX+∠ACX＝50°，

故答案为：50；

②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，

∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，

∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，

∴∠ADC＝1

2

∠ADB，∠AEC＝

1

2

∠AEB，

∴∠ADC+∠AEC＝1

(ADB AEB)

2

∠+∠＝45°，

∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角性质以及角平分线的定义的运用，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

10．如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB∥x轴，如图1，求t的值；

（2）设点A关于x轴的对称点为A′，连接A′B，在点P运动的过程中，∠OA′B的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠OA′B的度数，若改变，请说明理由．

（3）如图2，当t＝3时，坐标平面内有一点M（不与A重合）使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标．

【答案】（1）4；（2）∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45 ，理由见解析；（3）点M的坐标为（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）

【解析】

【分析】

（1）利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质，可证明△AOP为等腰直角三角形，从而求得答案；

（2）根据对称的性质得：PA＝PA'＝PB，由∠PAB+∠PBA＝90°，结合三角形内角和定理即可求得∠OA'B＝45°；

（3）分类讨论：分别讨论当△ABP≌△MBP、△ABP≌△MPB、△ABP≌△MPB时，点M的坐标的情况；过点M作x轴的垂线、过点B作y轴的垂线，利用等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质求得点M的坐标即可.

【详解】

（1）∵AB∥x轴，△APB为等腰直角三角形，

∴∠PAB＝∠PBA＝∠APO＝45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA＝OP＝4．

∴t＝4÷1＝4（秒），

故t的值为4．

（2）如图2，∠OA′B的度数不变，∠OA′B＝45°，

∵点A 关于x 轴的对称点为A ′，

∴PA ＝PA '，

又AP ＝PB ，

∴PA ＝PA '＝PB ，

∴∠PAA '＝∠PA 'A ，∠PBA '＝∠PA 'B ，

又∵∠PAB +∠PBA ＝90°，

∴∠PAA '+∠PA 'A +∠PA 'B +∠PBA '

＝180()PAB PBA ∠∠?-+

180=?-90°

=90°，

∴∠AA 'B ＝45°，

即∠OA 'B ＝45°；

（3）当t ＝3时，M 、P 、B 为顶点的三角形和△ABP 全等，

①如图3，若△ABP ≌△MBP ，

则AP ＝PM ，过点M 作MD ⊥OP 于点D ，

∵∠AOP ＝∠PDM ，∠APO ＝∠DPM ，

∴△AOP ≌△MDP （AAS ），

∴OA ＝DM ＝4，OP ＝PD ＝3，

∴M 的坐标为：（6，-4）．

②如图4，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，

过点M 作M E ⊥x 轴于点E ，过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，

∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，

∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB =

∵139023∠+∠=?=∠+∠，

∴12∠=∠

∴Rt AOP Rt PGB ?

∴34BG OP PG AO ====，

∵BG ⊥x 轴BF ，⊥y 轴

∴四边形BGOF 为矩形，

∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=

347BF OG OP PG ==+=+=

在Rt ABF 和Rt PME 中

∠BAF ＝45?+1∠，∠MPE ＝45?+2∠，

∴∠BAF ＝∠MPE

∵AB PM =

∴Rt ABF Rt PME ?

∴71ME BF PE AF ====，

∴M 的坐标为：（4，7），

③如图5，若△ABP ≌△MPB ，则AB PM =，

过点M 作M E ⊥x 轴于点D ，过点B 作BG ⊥x 轴于点E ，过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，

∵△APB 为等腰直角三角形，则△MPB 也为等腰直角三角形，

∴∠BAP ＝∠MPB=45?，PA PB =

∵139023∠+∠=?=∠+∠，

∴12∠=∠

∴Rt AOP Rt PEB ?

∴34BE OP PE AO ====，

∵BE ⊥x 轴BF ，⊥y 轴

∴四边形BEOF 为矩形，

∴3OP BG ==，则431AF OA OF =-=-=

347BF OE OP PE ==+=+=

在Rt ABF 和Rt PMD 中

∵BF ⊥y 轴

∴42∠=∠

∵42ABF PMD ∠∠∠+=∠+

∴ABF PMD ∠∠=

∵AB PM =

∴Rt ABF Rt PMD ?

∴17MD AF PD BF ====，

∴M 的坐标为：（10，﹣1）．

综合以上可得点M 的坐标为：（6，﹣4），（4，7），（10，﹣1）．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，第(3)小题要注意分类讨论，作此类型的题要结合图形，构建适当的辅助线，寻找相等的量才能得出结论．