八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷(Word版 含解析)
八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷（Word版含解析）
一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）
1．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，
（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．
（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．
（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】
【分析】
（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；
（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．
【详解】
（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，
∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.
∵MD=ME，
∴∠MAD=∠MAE，
∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，
即∠BAM=∠CAM.
在△ABM和△ACM中，
AB=AC，
∠BAM=∠CAM，
AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（SAS），
∴MB=MC.
（2）MB=MC．
理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.
∵CE∥BD，
∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.
∵M是ED的中点，
∴MD=ME.
在△MCE和△MFD中，
∠MCE=∠MFD，
∠MEC=∠MDF，
MD=ME，
∴△MCE≌△MFD（AAS）.
∴MF=MC.
∴在△MFB和△MCG中，
MF=MC，
∠FMB=∠CMG，
BM=MG，
∴△MFB≌△MCG（SAS）.
∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，
∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.
∴∠GCB=90°.
在△FBC和△GCB中，
FB=GC，
∠FBC=∠GCB，
BC=CB，
∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.
∴MB=1
2GB=
1
2
FC=MC.
（3）MB=MC还成立．
如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.
∵CE∥BD，
∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.
又∵M是DE的中点，
∴MD=ME.
在△MDB和△MEF中，
∠MDB=∠MEF，
∠MBD=∠MFE，
MD=ME，
∴△MDB≌△MEF（AAS），
∴MB=MF.
∵CE∥BD，
∴∠FCM=∠BGM.
在△FCM和△BGM中，
CM=MG，
∠CMF=∠GMB，
MF=MB，
∴△FCM≌△BGM（SAS）.
∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.
∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.
在△CFB和△BGC中，
CF=BG，
∠FCB=∠GBC，
CB=BC，
∴△CFB≌△BGC（SAS）.
∴BF=CG.
∴MC=1
2CG=
1
2
BF=MB．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．
2．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：
（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；
（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．
（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°
【解析】
【分析】
（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.
【详解】
解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，
∴∠ABD=∠BAD，
∴△ABD为等腰三角形，
∴∠BDC=72°=∠C，
∴△BCD为等腰三角形；
（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：
（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：
①当分割的直线过顶点B时，
【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；
【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点
此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；
【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况
△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，
∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；
△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，
∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；
△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°
∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；
②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；
③当分割三角形的直线过点A时，
此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，
最大角的值为132°；
综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.
【点睛】
本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.
3．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且
AD=AE，连接DE．
⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；
⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；
⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设
∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可
得到结论． 【详解】
解： (1)∵∠B=∠C=35°， ∴∠BAC=110° ， ∵∠BAD=80°, ∴∠DAE=30°， ∵AD=AE ，
∴∠ADE=∠AED=75°，
∴∠CDE=∠AED-∠C=75°?35°=40°； (2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18° ， ∴∠E=75°?18°=57°， ∴∠ADE=∠AED=57°， ∴∠ADC=39°,
∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75° ， ∴∠BAD=36°.
（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β ①如图1，当点D 在点B 的左侧时，∠ADC=x°﹣α
∴y x y x ααβ=+??=-+?
①②
-②得，2α﹣β=0， ∴2α=β；
②如图2，当点D 在线段BC 上时，∠ADC=y°+α
∴+y x y x ααβ=+??=+?
①②
-①得，α=β﹣α， ∴2α=β；
③如图3，当点D 在点C 右侧时，∠ADC=y°﹣α ∴180180y x y x αβα-++=??
++=?①
②
-①得，2α﹣β=0， ∴2α=β．
综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
4．如果一个三角形能被一条线段割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，ABC ?是等腰锐角三角形，()AB AC AB BC =>，若ABC ∠的角平分线
BD 交AC 于点D ，且BD 是ABC ?的一条特异线，则BDC ∠= 度．
（2）如图2，ABC ?中，2B C ∠=∠，线段AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于点E ，求证：AE 是ABC ?的一条特异线；
（3）如图3，若ABC ?是特异三角形，30A ∠=，B 为钝角，不写过程，直接写出所有可能的B 的度数．
【答案】（1）72；（2）证明见解析；（3）∠B 度数为：135°、112.5°或140°. 【解析】 【分析】
（1）根据等腰三角形性质得出∠C=∠ABC=∠BDC=2∠A ，据此进一步利用三角形内角和定理列出方程求解即可；
（2）通过证明△ABE 与△AEC 为等腰三角形求解即可；
（3）根据题意分当BD 为特异线、AD 为特异线以及CD 为特异线三种情况分类讨论即可. 【详解】 （1）∵AB=AC ， ∴∠ABC=∠C ， ∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
∠ABC，
∵BD是△ABC的一条特异线，
∴△ABD与△BCD为等腰三角形，
∴AD=BD=BC，
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，
设∠A=x，则∠C=∠ABC=∠BDC=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即：x+2x+2x=180°，
∴x=36°，
∴∠BDC=72°，
故答案为：72；
（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△EAC为等腰三角形，
∴∠EAC=∠C，
∴∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∵∠B=2∠C，
∴∠AEB=∠B，
∴△EAB为等腰三角形，
∴AE是△ABC的一条特异线；
（3）
如图3，当BD是特异线时，
如果AB=BD=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=120°+15°=135°；
如果AD=AC，DB=DC，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=75°+37.5°=112.5°；
如果AD=DB，DC=DB，则∠ABC=∠ABD+∠DBC=30°+60°=90°，不符合题意，舍去；
如图4，当AD是特异线时，AB=BD，AD=DC，
则：∠ABC=180°?20°?20°=140°；
当CD为特异线时，不符合题意；
综上所述，∠B度数为：135°、112.5°或140°.
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．
（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．
（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并
延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝2
3
DC？请求出点C的坐标；
（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．
【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .
【解析】
【分析】
（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；
（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点 F ．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答． 【详解】
解：（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ， ∵∠BAO ＝60°， ∴∠ABO ＝30°， ∴AB ＝2OA ＝6，
∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°， ∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，
∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°， ∴DB ＝DC ， 在△OBD 和△HCD 中，
==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠??
=??∠∠?
∴△OBD ≌△HCD （ASA ）， ∴OB ＝HC ， 在△AOB 和△FHC 中，
==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠??
=??∠∠?
∴△AOB ≌△FHC （ASA ）， ∴CF=AB=6， 故答案为6；
（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形， ∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°， ∴∠ABC ＝∠DBQ ， 在△CBA 和△QBD 中，
BA BD ABC
DBQ BC BQ =??
∠=∠??=?
∴△CBA ≌△QBD （SAS ）， ∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°， ∴∠PDO ＝60°， ∴PD ＝2DO ＝6， ∵PD ＝
2
3
DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12， ∴点 C 的坐标为（12，0）；
（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ． 由（2）得，△AEP ≌△ADB ， ∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°， ∴∠OEF ＝60°， ∴OF ＝OA ＝3，
∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小， ∴OP ＝
12OF ＝32
则OP 的最小值为
3
2
．
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
6．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为
()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且
10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,
.
（1）点A 的坐标为___________；
（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；
（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7
,03?? ???
；（3）425
【解析】 【分析】
（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG
OPG ，利用点A ，A '关于直线
OE 对称点，根据对称性，可证
'
OPG EAO ，可得'
8OP OA ，82AP
，
设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222
2BP BE EP AP AE
解之即可． 【详解】
解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，
∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：
2
2
2
2
1068AO
AB BO ，
∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BP
AB 时，如图一所示：
OP BP BO，∴1064∴P点的坐标是()4,0；
=时，如图二所示：当AP AB
OP BO
∴6
∴P点的坐标是()6,0；
=时，如图三所示：当AP BP
设OP x =，则有6AP x
∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2
2
2
86
x x
解之得：73
x =
∴P 点的坐标是
7
,03
； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：
连接'OA ，
∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，
∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA
OGP
∴
EAG
OPG ，
∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'
8OA OA ，'EA
EA
∴'
FAO FAO
，'
FAE FAE
∴
'
EAG
EAO
则有：'OPG EAO
∴'
AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，
∴2222
8882AP
AO OP ，
设BE x =，则有6AE x ，
根据勾股定理，有：
22
222BP BE EP AP AE 即：2
2
2
2
68
82
10
x x
解之得：42
5
BE x
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
7．已知△ABC ．
（1）在图①中用直尺和圆规作出B 的平分线和BC 边的垂直平分线交于点O （保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下，若点D 、E 分别是边BC 和AB 上的点，且CD BE =，连接
OD OE 、求证：OD OE =；
（3）如图②，在（1）的条件下，点E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且△BEF 的周长等于BC 边的长，试探究ABC ∠与EOF ∠的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）ABC ∠与EOF ∠的数量关系是
2180ABC EOF ∠+∠=，理由见解析.
【解析】 【分析】
（1）利用基本作图作∠ABC 的平分线；利用基本作图作BC 的垂直平分线，即可完成； （2）如图，设BC 的垂直平分线交BC 于G ，作OH ⊥AB 于H ，
用角平分线的性质证明OH=OG ，BH=BG ，继而证明EH =DG ，然后可证明OEH ODG ???,于是可得到OE=OD ；
（3）作OH ⊥AB 于H ，OG ⊥CB 于G ，在CB 上取CD=BE ，利用(2)得到 CD=BE ，
OEH ODG ???，OE=OD ，EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,可证明
EOD HOG ∠=∠,故有180ABC EOD ∠+∠=,由△BEF 的周长=BC 可得到DF=EF,于是可证明OEF OGF ???,所以有EOF DOF ∠=∠,然后可得到ABC ∠与EOF ∠的数量关系.
【详解】
解：（1）如图，就是所要求作的图形；
（2）如图，设BC的垂直平分线交BC于
G，作OH⊥AB于H，
∵BO平分∠ABC，OH⊥AB，OG垂直平分BC，
∴OH=OG，CG=BG，
∵OB=OB,
∴OBH OBG
???,
∴BH=BG，
∵BE=CD，
∴EH=BH-BE=BG-CD=CG-CD=DG，
在OEH
?和ODG
?中,
90
OH OG
OHE OGD
EH DG
=
?
?
∠=∠=
?
?=
?
,
∴OEH ODG
???,
∴OE=OD．
（3）ABC
∠与EOF
∠的数量关系是2180
ABC EOF
∠+∠=，理由如下；如图 ，作OH⊥AB于H，OG⊥CB于G，在CB上取CD=BE，
由(2)可知，因为 CD=BE ，所以OEH ODG ???且OE=OD ， ∴EOH DOG ∠=∠,180ABC HOG ∠+∠=,
∴EOD EOG DOG EOG EOH HOG ∠=∠+∠=∠+∠=∠, ∴180ABC EOD ∠+∠=,
∵△BEF 的周长=BE+BF+EF=CD+BF+EF=BC ∴DF=EF,
在△OEF 和△OGF 中,
OE OD EF FD OF OF =??
=??=?
, ∴OEF OGF ???, ∴EOF DOF ∠=∠, ∴2EOD EOF ∠=∠, ∴2180ABC EOF ∠+∠=. 【点睛】
本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质，还考查了基本作图．熟练掌握相关性质作出辅助线是解题关键，属综合性较强的题目，有一定的难度，需要有较强的解题能力.
8．如图所示，已知ABC ?中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动. （1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？ （2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ?？
（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ?，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？
【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动
10
3
秒后，可得到等边三角形AMN ?；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ?，此时M 、N 运动的时间为40
3
秒． 【解析】 【分析】
（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ?+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①，
1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图
②，假设AMN ?是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ?是等边三角形，再证
ACM ?≌ABN ?（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、
N 运动的时间y 秒时，AMN ?是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由
CM NB =，得10302y y -=-；
【详解】
解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,
1102x x ?+=
解得：10x =
（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ?，如图①
1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-
∵三角形AMN ?是等边三角形 ∴102t t =- 解得103
t =
∴点M 、N 运动
10
3
秒后，可得到等边三角形AMN ?. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形， 由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处， 如图②，假设AMN ?是等腰三角形， ∴AN AM =， ∴AMN ANM ∠=∠，
八年级数学轴对称图形单元测试题
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 9. 八年级数学轴对称图形单元测试题 、选择题(每题 3分，共30分) 下列命题中：①两个全等三角形合在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是 底边上的中线；③等边三角形一边上的高就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看着 是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形 A . 1 个 B . 2 个 C . 下列图形中：①平行四边形；②有一个角是 形.其中是轴对称图形有( )个 A . 1 个 B . 2 个 C . .正确的说法有( )个 3个 D . 4个 30。的直角三角形；③长方形；④等腰三 角 已知/ AOB = 30 °,点P 在/ AOB 的内部，P 与P 关于OA 对称，P ?与P 关于OB 对称, 则厶P 1OP 2是 A .含30。角的直角三角形； C .等边三角形 如图：等边三角形 / APE 的度数是 A . 45 ° C . 60 ° 等腰梯形两底长为 的底角是( ) A . 45 ° B .顶角是30的等腰三角形; D .等腰直角三角形? AB C 中，B D = C E , AD 与BE 相交于点P ,则 ( ) 4cm 和 10cm , 度? B . 55 ° D . 75 ° 面积为21cm 2，则 这个梯形较小 D B . 30 ° D . 90 ° 已知点P 在线段AB 的中垂线上， A . PA+PB > QA+QB 占 八 、、 C . 60 ° Q 在线段AB 的中垂线外，则 B . PA+PB v QA+QB D .不能确定 D . PA+PB = QA+QB 已知△ ABC 与厶A 1B 1C 1关于直线 MN 对称，且 BC 与B 1C 1交与直线 MN 上一点 0, 则 ( A .点O 是BC 的中点 C .线段OA 与OA 1关于直线 D .以上都不对 如图：已知/ AOP= / BOP=15 PD 丄 OA , A . 4 C . 2 B .点O 是B 1 C 1的中点 MN 对称 若 PC=4，贝U PD= B . 3 D . 1 ,PC // OA , ( ) / AOB 的平分线上一点 P 到OA 的距离 为5, Q 是OB 上任一点，则 ( ) A . PQ > 5 B . PQ> 5 C . PQ v 5 D . PQ<5 10 .等腰三角形的周长为 15cm ，其中一边长为3cm . A . 3cm 或 5cm B . 3cm 或 7cm C . 3cm A D 则该等腰三角形的底长为 D . 5cm 二、填空题(每空 3分，共18分) 11 .已知点P (1, a )与Q (b , 2)关于x 轴成轴对称，又有点 Q (b , 2)与点M (m , n ) 关于y 轴成轴对称，则 m — n 的值为 _______________________ 。
八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习(word解析版)
八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习（word解析版） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM．
八年级上册数学几何部分
八年级上册数学几何部分——三角形全章复习 知识点一：1.三角形的定义：由不在同一条_____上的三条线段___________组成的图形叫做三角形． 2.三角形的分类（1）按边分类： ????????不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形__________ ______________（2）按角分类： 3.三角形三边间的关系定理：三角形任意两边之和________第三边．任意两边之差_____第三边。 即已知三角形两边的长，可以确定第三边的取值范围：设三角形的两边的长为a 、b ，则第三边的长c 的取值范围是_______________________． 基础知识训练练习1．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A ．3cm ，12cm ，8cm B ．6cm ，8cm ，15cm C ．2.5cm ，3cm ，5cm D ．6.3cm ，6.3cm ，12.6cm 【变式1】四条线段的长分别是2cm 、4cm 、6cm 、7cm 以其中三条线段为边可构成__个三角形. 【变式2】已知三角形的两边长分别4cm 和9cm ，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ） A ．13cm B ．6cm C ．5cm D ．4cm 练习2．若三角形的两边长分别是2和7，则第三边长c 的取值范围是___________． 【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6，则周长L 的取值范围是（ ） A ．6 案例二：人教版教材第七册《搭石》（第二课时） 【案例信息】 案例名称：人教版教材第七册《搭石》（第二课时） 授课教师：张媛媛 【教学设计】 一、教学设计 1 、教学目标 ▲赏析语言。感受叠词的节奏美和蕴含的情感；赏析全文质朴的文风与搭石、乡亲们朴实民风的关系。 ▲感受作者的选材之妙，并学会运用。 2 、教学设计 第一模块：梳理脉络 默读课文回顾关于搭石的几个场景。 第二模块：体会“语言之妙” 。 ①精美叠词的妙用 出示“协调有序走搭石”一段文字，体会叠词的节奏美和传达的情感。 ②朴实文风的妙用 用词语试着概括其他场景的语言风格。（朴实）思考原因：朴实的搭石，朴实的乡亲们，唯有这样朴实的语言才符合他们的本色。读课文，体会质朴语言中的深情。 第三模块：体会“选材之妙” 读各个场景，思考每个场景发生的事情是否是偶然的，个别的现象。总结作者选择的所有的事情都是乡亲们看来理所当然的平常事，但是其中却蕴含着美好的情感。 第四模块：练习应用 回忆自己身边的平常事及事中蕴含的真情。说一说，然后写一个小片段。集体交流。 第五模块：总结升华 齐读课文最后一段，总结这篇文章的作者刘章先生写下此文的用意：他用文字传达给我们的不仅仅是美好，更提醒我们岁月在变，生活在变，但是有一种东西永远不变，那就是所有质朴纯真的情意。 【教学反思】 这是第二课时的教学，第一课时是带领学生深入地感知内容，感受情感，这一课时的重点则放在作者的表达方面。本课时的教学目标设定为赏析语言和学习运用两个方面，目标更加明确和细化。通过进一步深入地解读教材，发现“一行人走搭石”这一段在写作上的特点鲜明突出，但并不能代表全文的写作风格。通过细致揣摩，我发现这一段的用意是用精美的词句体现搭石“看得见”的美，但其他更多的场景在写法上、文风上，却是以淳朴、朴素的语言来表现看不见的美。因为搭石朴实无华，默默无闻，因为乡亲们朴实无华、默默无闻，所以这样无需雕琢的搭石、这样淳朴的乡亲们，唯有用朴实的语言来描写才最恰当。基于此，我的教学设计的理念之一便是引领学生学会赏析作者的语言风格。另外，在本文的选材上也通过举一反三引导孩子们明白作者选材的用意，并在此基础上进行拓展，与生活对接，搜寻记忆中的平凡小事和其中蕴含的真情意。整堂课在问题的设计上我进行了深入地思考，使之紧紧围绕作者的写作方法和特点。 授课结束，回顾整个过程中学生的表现，并通过和学生的课后交流，发现学生们习惯了关注课文的内容，对作者的表达方法却较少关注，这是因为我们在平时的教学中重“内容”而轻“表达”的结果。内容的东西往往是显而易见的，而表达确是需要反复研读，揣摩和思量的，如果我们能从每篇课文中和学生一起学习作者的表达方法、写作特点，长期熏修，那学生的语文素养一定会随着每一篇课文的学习而得到提高。 人教版八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．如图，在ABC △中，已知AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE AC =，延长BE交AC于点F，求证：AF EF =． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】 延长 AD到点G，使得AD DG =，连接BG，结合D是BC的中点，易证△ADC和 △GDB全等，利用全等三角形性质以及等量代换，得到△AEF中的两个角相等，再根据等角对等边证得AE=EF. 【详解】 如图，延长AD到点G，延长AD到点G，使得AD DG =，连接BG． ∵AD是BC边上的中线， ∴DC DB =． 在ADC和GDB △中， AD DG ADC GDB DC DB = ? ? ∠=∠ ? ?= ? （对顶角相等）， ∴ADC≌GDB △（SAS）． ∴CAD G ∠=∠，BG AC =． 又BE AC =， ∴BE BG =． ∴BED G ∠=∠． ∵BED AEF ∠=∠ ∴AEF CAD ∠=∠，即AEF FAE ∠=∠ ∴AF EF =． 【点睛】 本题考查的是全等三角形的判定与性质，根据题意构造全等三角形是解答本题的关键. 2．（1）如图①，D 是等边△ABC 的边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边，在BC 上方作等边△DCF ，连接AF ，你能发现AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明你发现的结论； （2）如图②，当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明； （3）Ⅰ.如图③，当动点D 在等边△ABC 边BA 上运动时（点D 与B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方和下方分别作等边△DCF 和等边△DCF ′，连接AF ，BF ′，探究AF ，BF ′与AB 有何数量关系？并证明你的探究的结论； Ⅱ．如图④，当动点D 在等边△ABC 的边BA 的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 【答案】（1）AF =BD ，理由见解析；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF +BF ′=AB ，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由见解析． 【解析】 【分析】 （1）由等边三角形的性质得BC =AC ，∠BCA =60°，DC =CF ，∠DCF =60°，从而得∠BCD =∠ACF ，根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论； （2）根据SAS 证明△BCD ≌△ACF ，进而即可得到结论； （3）Ⅰ．易证△BCD ≌△ACF （SAS ），△BCF ′≌△ACD （SAS ），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF ′≌△ACD ，结合AF =BD ，即可得到结论． 【详解】 （1）结论：AF =BD ，理由如下： 如图1中，∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠BCA =60°， 同理知，DC =CF ，∠DCF =60°， ∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ， 2013八年级上学期数学几何复习 【图形的剪拼】 1.如图，有边长为1、3的两个连接的正方形纸片，用两刀裁剪成三块，然后拼成 一个正方形，如何拼？ 2.如图，有一张长为5 ，宽为3的矩形纸片ABCD，要通过适当的剪拼，得到 一个与之面积相等的正方形 （1）正方形的边长为____________.（结果保留根号） （2）现要求只能用两条裁剪线，请你设计出一种裁剪的方法，在图中画出裁 剪线，并简要说明剪拼过程_____________. （天津市中考题）【三角形】 1.在△ABC中，∠ACB=90°，直线MN经过点C且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E （1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE （2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE （3）当直线MN绕点C旋转到图③的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系并证明。 2.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0），以OA为边在第四象限做 等边△AOB，点C为x轴正半轴一动点（OC > 2），连接BC，以BC为边在第 四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E． （1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论； （2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点 E的坐标；若有变化，请说明理由． 3.如图，△ABC中AB=AC，∠ABC=36°，D、C为BC上的点，且 ∠BAD=∠DAE=∠EAC，则图中的等腰三角形有（）个。 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点． （1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD； （2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； （3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式 （4）当x的值为多少事，S△DEF能最大化？ 图一图二 5.M为△ABC中BC中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN，已知AB=10， BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN （2）求△ABC周长 6.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，DA=DB，CD为直角边作等腰直角 三角形CDE，∠DCE=90° （1）求证：△ACD≌△BCE （2）若AC=3cm，则BE = ________ cm . 7.已知：△ABC为等边三角形，ED=EC，探究AE与DB的大小关系 D C B A 第14题 八年级数学《轴对称》单元测试题 选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分） 1. 下列几何图形中，是轴对称图形且对称轴条数大于1的有（ ） 长方形； ⑵正方形； ⑶圆； ⑷三角形； ⑸线段； ⑹射线； ⑺直线. A 3个 B 4个 C 5个 D 6个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个图形都有对称轴 B.两个全等三角形一定关于某直线对称 C.若△ABC 与△DEF 成轴对称，则△ABC ≌△DEF D.点A ，点B 在直线L 两旁，且AB 与直线L 交于点O ，若AO ＝BO ，则点A 与点B 关于直线L 对称 3.如图所示是一只停泊在平静水面的小船，它的“倒影”应是图中的（ ） 4.在平面直角坐标系中，有点A （2，－1），点A 关于y 轴的对称点是（ ） A.（－2，－1） B.（－2，1） C.（2，1） D.（1，－2） 5.已知点A 的坐标为（1，4），则点A 关于x 轴对称的点的纵坐标为（ ） B. －1 C. 4 A. 1 D. －4 6.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（ ） A.过顶点的直线 B.底边上的高 C.底边的中线 D.顶角平分线所在的直线. 7.已知点A （－2，1）与点B 关于直线x ＝1成轴对称，则点B 的坐标为（ ） A.（4，1） B.（4，－1） C.（－4，1） D.（－4，－1） 8.已知点P （1，a ）与Q （b ，2）关于x 轴成轴对称，又有点Q （b ，2）与 点M （m ，n ）关于y 轴成轴对称，则m －n 的值为（ ） A 3 B.－3 C. 1 D. －1 9.等腰三角形的一个内角是50°，则另外两个角的度数分别为（ ） A.65°，65° B.50°，80° C.65°，65°或50°，80° D.50°，50° 10.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A. 30° B. 150° C. 30°或150° D.12° 11.等腰三角形底边长为6cm ，一腰上的中线把周长分成两部分的差为2cm ，则腰长为（ ） A. 4cm B. 8cm C. 4cm 或8cm D. 以上都不对 12.已知∠AOB ＝30°，点P 在∠AOB 的内部，点P1和点P 关于OA 对称，点P2和点P 关于OB 对称，则P1、O 、P2三点构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 13.等边三角形是轴对称图形，它有 条对称轴. 14.如图，如果△A1B1C1与△ABC 关于y 轴对称，那么点A 的对应点A1的坐标为 15.是某时刻在镜子中看到准确时钟的情况，则实际时间是 . 16.＝30°，点P 在OA 上，且OP ＝2，点P 关于直线OB 的对称点是Q ，则＝ . PQ 17.30°，腰长是4cm ，则三角形的面积为 . 18.点1，2）关于直线y ＝1对称的点的坐标是 ；关于直线x ＝1对称的的坐标是 . 19.三角形三内角度数之比为1∶2∶3，最大边长是8cm ，则最小边的长 八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（﹣2，1）． （1）请运用所学数学知识构造图形求出AB的长； （2）若Rt△ABC中，点C在坐标轴上，请在备用图1中画出图形，找出所有的点C后不用计算写出你能写出的点C的坐标； （3）在x轴上是否存在点P，使PA=PB且PA+PB最小？若存在，就求出点P的坐标；若不存在，请简要说明理由（在备用图2中画出示意图）． 【答案】（1）AB=52）C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）；（3）不存在这样的点P． 【解析】 【分析】 （1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D，利用勾股定理即可得出AB； （2）分别以A，B，C为直角顶点作图，然后直接得出符合条件的点的坐标即可； （3）作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB，作B关于x轴的对称点B′，连结AB′，即x轴上使得PA+PB最小的点，观察作图即可得出答案． 【详解】 解：（1）如图，连结AB，作B关于y轴的对称点D， 由已知可得，BD=4，AD=2．∴在Rt△ABD中，AB=5 （2）如图，①以A为直角顶点，过A作l1⊥AB交x轴于C1，交y轴于C2． ②以B为直角顶点，过B作l2⊥AB交x轴于C3，交y轴于C4． ③以C为直角顶点，以AB为直径作圆交坐标轴于C5、C6、C7．（用三角板画找出也可）由图可知，C2（0,7），C4（0，-4），C5（-1,0）、C6（1,0）． （3）不存在这样的点P． 作AB的垂直平分线l3，则l3上的点满足PA=PB， 作B关于x轴的对称点B′，连结AB′， 由图可以看出两线交于第一象限． ∴不存在这样的点P． 【点睛】 本题考查了勾股定理，构造直角三角形，中垂线和轴对称--路径最短问题的综合作图分析，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题． 2．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容.2．线段垂直平分线.我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB，将线段AB沿直线MN对称，我们发现PA与PB完全重合，由此即有：线段垂直平分线的性质定理线段垂直平分线上的点到线段的距离相等．已知：如图，MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA＝PB．分析：图中有两个直角三角形APC和BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证明PA＝PB． 与三角形有关的角 一、本节学习指导 本节知识点比较多要熟练掌握知识点：1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题；４．学会添加辅助线构造基本图形解决问题． 二、知识要点 １、三角形内角 （１）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°． 表示为：在△ABC中，有∠A+∠B+∠C=180°． 由三角形内角和定理可得： ①直角三角形的两个锐角互余. ②有两个角互余是三角形是直角三角形. （２）作用： 在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角；已经知道了三角形的内角和等于180°，但要注意的是在解决实际问题时，这一点是不会在已知中说出，往往要把它作为隐含的条件来用． 三角形内角和定理证明方法很多，定理的证明需要添加辅助线，通过辅助线将角转移和集中，把隐含的条件显现出来． 如几种常见的证明思路： 思路1：如图1所示，延长BC到E，作CD∥AB． 因为AB∥CD（已知）， 所以∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）． 又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义）， 所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）． 思路2：如图2所示，在BC边上任取一点D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于点F． 因为DF∥AC（已作）， 所以∠1=∠C（两直线平行，同位角相等）， ∠2=∠DEC（两直线平行，内错角相等）． 因为DE∥AB（已作）． 所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（两直线平行，同位角相等）． 所以∠A=∠2（等量代换）． 又∠1+∠2+∠3=180°（平角定义）， 18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形 的底角的度为 . 19.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM= . 20.如图，在等边△ABC 中，D 为AB 上一点，连接CD ，在CD 上取一 点E,∠BEC=120°，连接BE,若CD= 314,BE=2,△ACD 的面积为33 14 ， 则△BCE 的面积为 . 24.已知:如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，BD⊥AD，垂足为D ， 过D 作DE∥AC，交AB 于E ， （1） 求证：AE=ED （2） 若AB=5，求线段DE 的长． E D C B A （第19题图） （第20题图） P N M O 25．已知:如图, △ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,AD ⊥BC,AE 平分∠BAD 交BC 于点E, (1) 求证:AB=CE (2) 点M 在AB 上，BM=2DE ，连接MC 交AD 于点N ，若DN=1，求AB 的长 27．已知：在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点, △ABC 的顶点A(-2,0),点B 、C 分别在 x 轴正半轴上和y 轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°， （1）求点B 的坐标 （2）动点E 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿BC 向终点C 运动，设点E 的运动时间为t 秒，△ABE 的面积为S ，求S 与t 的关系式 （3）在（2）的条件下，点E 出发的同时，动点F 从点C 出发以每秒1个单位的速度，沿 CO 向终点O 运动，点F 停止时，点E 也随之停止。连接EF ，以EF 为边在EF 的上方作等边△EFH ，连接CH ，当点C （0，23），CH=3时，求t 的值 E D C B A N M E D C B A y x O B A C y x O B A C 第十二章《轴对称》测试题 班级： 姓名 成绩： 一、选择题（每题3分，共30分） 1.如图，下列图形中，轴对称图形的个数是（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 2.下列图形中对称轴最多的是（ ） A.圆 B.正方形 C.等腰三角形 D.长方形 3. 等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm 4. 小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示，实际时间是（ ） A 、21：10 B 、10：21 C 、10：51 D 、12：01 5.下列说法中，正确的是（ ） A.关于某直线对称的两个三角形是全等三角形 B.全等三角形是关于某直线对称的 C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧 D.有一条公共边变得两个全等三角形关于公共边所在的直线对称 6. 、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2cm B ．4cm C ．6cm D ．8cm 7.已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（ ） A.80° B.20° C.80°或20° D.不能确定 8. 点M （1，2）关于x 轴对称的点的坐标为（ ）． A ．（－1，－2） B ．（－1，2） C ．（1，－2） D ．（2，－1） 9.如图，在已知△ABC 中，AB=AC ， BD=DC ，则下列结论中错误的是（ ） A.∠BAC=∠B B.∠1=∠2 C.AD ⊥BC D.∠B=∠C 10.到△ABC 的三个顶点距离相等到的点是( ) A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条高线的交点 D 三条边的垂直平分线的交点 二、填空题（每题4分，共36分） 1. 已知点A （x ，－4）与点B （3，y ）关于y 轴对称，那么x ＋y 的值为_______． 2.如果点P （4，-5）和点Q(a ，b)关于y 轴对称，则a =_____，b=____。 3.点(-2，1)点关于x 轴对称的点坐标为_ _；关于y 轴对称的点坐标为_ _。 4.等腰三角形中的一个角等于100°，则另外两个内角的度数分别为_ _。 5.已知△ABC 中∠ACB=90°，CD ⊥AB 于点D ，∠A=30°，BC=2cm ，则AD=__ __ 八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习（word版 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE． （1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）； （2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由； （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析 【解析】 【分析】 （1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF； （2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此 CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了； （3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出 EM=PN=1 2 AD，EC=MF= 1 2 AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结 1、已知如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，DE 垂直平分仙于D ，交BC 于E 点．求证：CE=2BE ． 2、如图，在直角坐标系xOy 中，直线y=kx+b 交x 轴正半轴于A(-1,0),交y 轴正半轴于B,C 是x 轴负半轴上一点，且CA= 4 3CO,△ABC 的面积为6。 （1）求C 点的坐标。 （2）求直线AB 的解析式。 （ 3、已知如图，射线CB ∥OA ，∠C=∠OAB=100 ,E 、F 在CB 上，且满足∠FOB=∠AOB ，OE 平分∠COF. （1）求∠EOB 的度数； （2）若平行移动AB ，那么∠OBC ∶∠OFC 的值是否随之变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值； 4．如图Ⅰ—8，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．求证：(1)AE ＝CD ；(2)若AC ＝12 cm ，求 A B C O x y F O E C B A BD 的长． 5、如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线 BG 于点G ，DE ⊥GF 交AB 于点E ，连接EG 。 （1）求证：BG=CF ；（2）请你判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明。 6．已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且B E A C ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的 中点，连结DH 与BE 相交于点G ． （1）求证：BF AC =； （2）求证：12 CE BF =； （3）CE 与BG 的大小关系如何？试证明你的结论 A F C D B G E 《轴对称图形》课后练习 1．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是() ①②③④ A．①②③B．②③④ C．③④① D．④①② 2．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A．有两个角相等的三角形 B．有一个角为45o的直角三角形 C．有一个内角为30o，一个内角为120o的三角形 D．有一个内角为30o的直角三角形 3．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( ) A．过顶点的直线 B．顶角的平分线 C．底边的垂直平分线 D．腰上的高 4．下列图形中，不是轴对称图形的是( ) A．角B．等边三角形 C．线段 D．不等边三角形 5．正五角星的对称轴的条数是( ) A．1条B．2条C．5条 D．10条 6．下列图形中有4条对称轴的是( ) A．平行四边形B．矩形 C．正方形D．菱形 7．下列说法中，正确的是( ) A．两个全等三角形组成一个轴对称图形 B．直角三角形一定是轴对称图形 C．轴对称图形是由两个图形组成的 D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形 8．如图，ΔABC和ΔA’B’C’关于直线对称，下列 结论中： ①ΔABC≌ΔA’B’C’； ②∠BAC’≌∠B’AC； ③l垂直平分CC’； ④直线BC和B’C’的交点不一定在l上，正确的有( ) A．4个B．3个 C．2个D．1个 9．如图，∠AOB内一点P，P1、P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2 = 5cm，则ΔPMN的周长是( ) A． 3cm B． 4cm C． 5cm D． 6cm 10．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（） 八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷（Word 版 含解析） 一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难） 1．已知：在平面直角坐标系中，A 为x 轴负半轴上的点，B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?，若2OA =，4OB =，试求C 点的坐标； (2)如图2，若点A 的坐标为() 23,0-，点B 的坐标为()0,m -，点D 的纵坐标为n ，以 B 为顶点，BA 为腰作等腰Rt ABD ?.试问：当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不 变时，整式2253m n +-的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，E 为x 轴负半轴上的一点，且OB OE =，OF EB ⊥于点F ，以OB 为边作等边OBM ?，连接EM 交OF 于点N ，试探索：在线段EF 、EN 和MN 中，哪条线段等于EM 与ON 的差的一半？请你写出这个等量关系，并加以证明. 【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化，值为3-3）EN=1 2 (EM-ON)，证明见详解. 【解析】 【分析】 （1）作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?，由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标； （2）作DP ⊥OB 于点P ，可以证明AOB BPD ?，则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值，从而可以求出结论2253m n +-3- （3）作BH ⊥EB 于点B ，由条件可以得出 ∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?，则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1 2 (EM-ON). 【详解】 （1）如图（1）作CQ ⊥OA 于Q, 初二数学轴对称练习题 1．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小． （1）作出M点和N点． （2）求出M点和N点的坐标． 2．如图2，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线， 求证：BQ＋AQ＝AB＋BP． 图2 3．已知：如图3，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F. 求证：EF平分∠AEB． 图3 4．已知：如图4，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论． 图4 5．如图5，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角 （2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现请证明你的猜想． （3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系 图5 6．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．（1）求证：BC＝AE＋BE； （2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢试证明之． 图5 7．如图6，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE 并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF． （1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明； （2）求证：AF＝BD． 图6 8．已知：如图7，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______． 图7 9．（1）如图8，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小； 图8 （2）如图9，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 图9 人教版八年级上册数学【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷（解析版） 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．如图1，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90o，D、E 分别在 BC、AC 边上，连接 AD、BE 相 交于点 F，且∠CAD＝1 2 ∠ABE． (1)求证：BF＝AC； (2)如图2，连接 CF，若 EF＝EC，求∠CFD 的度数； (3)如图3，在⑵的条件下，若 AE＝3，求 BF 的长. 【答案】（1）答案见详解；（2）45°，（3）4. 【解析】 【分析】 （1）设∠CAD=x，则∠ABE=2x，∠BAF=90°-x，∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x，进而得到∠BAF =∠AFB，即可得到结论； (2)由∠AEB=90°-2x，进而得到∠EFC=（90°-2x）÷2=45°-x，由BF＝AB，可得： ∠EFD=∠BFA=90°-x，根据∠CFD=∠EFD-∠EFC，即可求解； (3)设EF＝EC=x，则AC=AE+EC=3+x，可得BE=BF+EF=3+x+x=3+2x，根据勾股定理列出方程，即可求解. 【详解】 （1）设∠CAD=x， ∵∠CAD＝1 2 ∠ABE，∠BAC＝90o， ∴∠ABE=2x，∠BAF=90°-x， ∵∠ABE+∠BAF+∠AFB=180°， ∴∠AFB=180°-2x-(90°-x)= 90°-x， ∴∠BAF =∠AFB， ∴BF＝AB； ∵AB＝AC， ∴BF＝AC； （2）由（1）可知：∠CAD=x，∠ABE=2x，∠BAC＝90o，∴∠AEB=90°-2x， ∵EF＝EC， ∴∠EFC=∠ECF， ∵∠EFC+∠ECF=∠AEB=90°-2x，八年级数学轴对称单元测试题
人教版八年级数学上册 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(解析版)
八年级上学期数学压轴几何题复习
八年级数学轴对称单元测试题及答案
八年级数学【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(解析版)
八年级上册数学《三角形》与三角形有关的角-知识点整
八年级上册数学几何难题突破
新人教版八年级数学《轴对称》单元测试题及答案
八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷专题练习(word版
初二数学(上册)几何题(提高)
初二八年级数学轴对称图形课后练习题(含答案)
八年级数学上册【几何模型三角形轴对称】试卷(Word版 含解析)
初二数学轴对称练习题
人教版八年级上册数学 【几何模型三角形轴对称】试卷测试卷(解析版)