质心系(精心整理)
m1 m2
m1r12 m1 m2
;
的角动量
为： LC
LC r1' p1'r2' p2'
m2r12
u
m1r12
(
u)
m1 m2
r12
u
m1 m2
与一u个的位质矢点为的角r12动，量动相量同为
*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
mn an
mn
d vn dt
Fn
fn2
fn3
fnn
质心运动定理
对于内力 f12 f21 0, , fin fni 0,
miai
Fi
ac
miai mi
ac
Fi 质心m运i
Fi
于两部分之和： 相对于质心的内动能（固有动能）。
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。20
（m1r1
m2r2 ) vC
rC
(m1
m2 )vC
r L
r L'
r rC
(m1
m2
r )vC
质心定义
质心相对L系的角动量
相对质心的角动量
外部角动量（轨道角动量）
内部角动量（自旋角动量）
14
相对于L系的外部角动量，就好象这系统
的全部质量都集中在质心上一样。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 n个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri m1rm 1 i m2r2
mnrn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心运动定理
M
动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
3. 动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0）， 则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒
C系 rCC
mi riC
i
0
m
rC '
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC
mi viC
i
0
m
vC
'
i
mi vi ' 0 代撇
m
12
2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在质L心系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
r (m1 m2 )vC
r rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
dLC dt
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
质心的加速度为
ac
d vc dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m1a1
m2a2
m1 m2
d v1 d t d v2 dt
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2n
在L系中：
v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
r1 ' rC2 '
m2
y'
y
v2 v2' vC
18
在L系中：
v1
v1'
vC
v2
v2
'
vC
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
1 2
m1(
v'1
vC
)2
1 2
1 2 (m1
m2 )vC2
22
孤立系统
选C参照系用带撇量表示：质心动能碰撞前后不变
m1v'10 m2v'20 m1v'1m2v'2 0
1 2
(m10v'120 m20v'220
)
Q
1 2
(m1
m12 m2
)v'12
Ek内
1 2
u02
1 2
0 u02
r M
r
M
' C
r rC
r F外
r
M
' C
rr ri ' Fi
i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
15
Q
r M
r
M
' C
rrC
r F外
Q
r L
r L'C
rrC
(m1
m2 )vr C
M
dL
dt
vr
r
r
dL dt
dL 'C dt
drC dt
r L
r L'
rrC
(m1
m2
)vr C
3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。
以两 个质点的系统为例M
ri
r1
F1
r2
F2
ri 'rC
M r1'F1 r2'F2 rC (F1 F2 )
Q
1 2
v'1
u2
m2 m1 m2
u
当0＝ 时，反应前后质心动能不变，真正有用的能
量是相对动能，所以为提高能量使用率，应减少质心
的动能，采用两个质点对撞。如正、负电子对撞机见
陆果书上pp79 23
例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量
v1 v1' vC v2 v2' vC
一、质心系
质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系一般是非惯性系，引入惯性力， 在处理二体系统时为惯性系，讨论天体运动及碰撞等问题 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 — 在质心系中考察质点系的运动。
8
质心参照系 1 质心系是零动量参照系 2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系
Ek
1 2
m1v'12
1 2
m2 v'22
1 2
(m1
m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12
1 2
m2
v'22
质点系相对于质心系 的动能叫做内动能。
19
在L系中： Ek Ek内
i
1 2
mi
v
2 C
相对于质心的 内部运动
质心的平动运动
*例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等
9
§ 质心参照系
1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组 矢成 量的 分质 别点 为系r1O，, r每2O 个....质..r点nO相；对其于质任心一相点对O于的O位点置的
定义为：
rCO
mi riO
i
;
m
其中m为质心系的总质量，m mi
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
17
4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相对 于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在 质心L系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
在 质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及'、v其2'、 x vC' 0
m1r12 m1 m2
;
的角动量
为： LC
LC r1' p1'r2' p2'
m2r12
u
m1r12
(
u)
m1 m2
r12
u
m1 m2
与一u个的位质矢点为的角r12动，量动相量同为
*计算一个氢原子的角动量时必须用电子—质子系统
mn an
mn
d vn dt
Fn
fn2
fn3
fnn
质心运动定理
对于内力 f12 f21 0, , fin fni 0,
miai
Fi
ac
miai mi
ac
Fi 质心m运i
Fi
于两部分之和： 相对于质心的内动能（固有动能）。
质心平动动能（轨道动能） 。
*一个体系的内能就是指：
内能=质点系各质点 相对于质心的内动能 +质点间相互作用的内势能
*在惯性系中机械能守恒定律的形式在质心系中仍
然成立(质心相对质心的速度为零）。无论质心系 是惯性系还是非惯性系。（证明从略）
所以在质心系中分析问题方便。见刚体力学。20
（m1r1
m2r2 ) vC
rC
(m1
m2 )vC
r L
r L'
r rC
(m1
m2
r )vC
质心定义
质心相对L系的角动量
相对质心的角动量
外部角动量（轨道角动量）
内部角动量（自旋角动量）
14
相对于L系的外部角动量，就好象这系统
的全部质量都集中在质心上一样。
2. 质心运动定理
设有一个质点系，由 n个质点组成，它的质心
的位矢是：
rc
mi ri m1rm 1 i m2r2
mnrn
m1 m2 mn
质心的速度为
vc
d rc dt
mi
d ri dt
mi
mi vi mi
质心运动定理
M
动定理
Fi Mac
表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力 作用在物体的什么位置上，质心的运动就象是物体 的质量全部都集中于此，而且所有外力也都集中作 用其上的一个质点的运动一样。
3. 动量守恒定律
如果系统所受的外力之和为零（即 Fi 0）， 则系统的总动量保持不变。这个结论叫做动量守恒
C系 rCC
mi riC
i
0
m
rC '
mi ri '
i
0代撇
m
C系
vCC
mi viC
i
0
m
vC
'
i
mi vi ' 0 代撇
m
12
2 质点系相对于实验室参照系(L系)的角动量与它相 对于质心参照系(C系)的角动量之间的关系
以两个质点的系统为例
在质L心系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
r (m1 m2 )vC
r rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
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0
rC
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MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
质心的加速度为
ac
d vc dt
mi
d vi dt
mi
mi ai mi
由牛顿第二定律得
m1a1
m2a2
m1 m2
d v1 d t d v2 dt
F1 f12 f13 f1n
F2 f22 f23 f2n
在L系中：
v1 v1' vC
z' z m1
rC
x'
O
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m2
y'
y
v2 v2' vC
18
在L系中：
v1
v1'
vC
v2
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vC
Ek
1 2
m1v12
1 2
m2
v
2 2
1 2
m1(
v'1
vC
)2
1 2
1 2 (m1
m2 )vC2
22
孤立系统
选C参照系用带撇量表示：质心动能碰撞前后不变
m1v'10 m2v'20 m1v'1m2v'2 0
1 2
(m10v'120 m20v'220
)
Q
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(m1
m12 m2
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Ek内
1 2
u02
1 2
0 u02
r M
r
M
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M
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i
外力对质心的转矩
合外力作用在 质心上对 O的转矩
15
Q
r M
r
M
' C
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Q
r L
r L'C
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(m1
m2 )vr C
M
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vr
r
r
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dL 'C dt
drC dt
r L
r L'
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(m1
m2
)vr C
3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该
质点系内部角动量的关系。
以两 个质点的系统为例M
ri
r1
F1
r2
F2
ri 'rC
M r1'F1 r2'F2 rC (F1 F2 )
Q
1 2
v'1
u2
m2 m1 m2
u
当0＝ 时，反应前后质心动能不变，真正有用的能
量是相对动能，所以为提高能量使用率，应减少质心
的动能，采用两个质点对撞。如正、负电子对撞机见
陆果书上pp79 23
例2：求两个质点系统相对于质心的动量和角动量
v1 v1' vC v2 v2' vC
一、质心系
质心系是固结在质心上的平动参考系。 质心系一般是非惯性系，引入惯性力， 在处理二体系统时为惯性系，讨论天体运动及碰撞等问题 质点系的复杂运动通常可分解为： 质点系整体随质心的运动； 各质点相对于质心的运动 — 在质心系中考察质点系的运动。
8
质心参照系 1 质心系是零动量参照系 2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 3 相对于一质点系的质心的外力(转) 矩与该 质点系内部角动量的关系。 4 质点系统相对于L系、C系的动能间的关系
Ek
1 2
m1v'12
1 2
m2 v'22
1 2
(m1
m2
)v
2 C
def
Ek内
1 2
m1v'12
1 2
m2
v'22
质点系相对于质心系 的动能叫做内动能。
19
在L系中： Ek Ek内
i
1 2
mi
v
2 C
相对于质心的 内部运动
质心的平动运动
*例如抛一手榴弹，它相对于地面的总能量等
9
§ 质心参照系
1 质心系是零动量参照系
考虑由质量分别为m1、m2、… mn 的N个质点
组 矢成 量的 分质 别点 为系r1O，, r每2O 个....质..r点nO相；对其于质任心一相点对O于的O位点置的
定义为：
rCO
mi riO
i
;
m
其中m为质心系的总质量，m mi
的合力矩恒为零。所以不论质心系是否为惯性系， 只受到重力的质点系角动量守恒。
下面的学习中请注意这点。
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4 质点系统相对于实验室参照系(L系)的动能与它相对 于质心参照系(C系)的动能（内动能）之间的关系
以两个质点的系统为例
在 质心L系的中速质度点分m别1、为mv2及1、v其2、vC
在 质 心C系的中速质度点分m别1、为mv21及'、v其2'、 x vC' 0
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3-4 质心
rc
rdm
r
O
dm
dm
2
xdm xC dm
,
ydm yC dm
,
zdm zC dm
注意： 1.质心的坐标值与坐标系的选取有关；
2.质量分布均匀、形状对称的实物，质心
位于其几何中心处； 3.不太大的实物，质心与重心相重合； 4. 质点到质心的距离之比与其质量成反比； 5. 质心可以不在物体之内。
x1
l
O
Hale Waihona Puke xc xcx2' x2
S
S
x
开始时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM
终了时，系统质心位置
mx1 Mx2 xc mM ml S 解得 mM
第3章动量与角动量
M ( x2 x2 ' ) m( x1 ' x1 ) S lS Ml s lS mM
i
画系统 受力图
iX
0
PX 0
MVX mx 0
x VX X
是m相对于小车的速度
m VX X M m
12
第3章动量与角动量
m VX X M m
t 0 X
t m X VX dt 0 X dt 0 M m t
M ydm 0 Rsin πR Rd 2 R yc M M π
π
dm
O
x
xc 0
几何对称性
说明 (1) 弯曲铁丝的质心并不在铁丝上；
(2) 质心位置只决定于质点系的质量和质量分布情况，与 其他因素无关。
第3章动量与角动量 6
质心系
质心系前面我们回顾了Newton 定律以及由它导出的一些重要的推论，主要有由于Newton 定律只在惯性系中才是成立的，因此作为其推论，这些定理的成立的前提当然也要求所涉及的量都是相对于某个惯性系测量或计算出的。
但是，存在一个可能是非惯性系的特殊参考系，这些推论在其中也都是成立的，其中一些，譬如动量定理，其形式来的还要更加简单。
这个特殊的参考系就是质心系，也就是以质心为原点并随质心一起平动的参考系。
如果我们用表示粒子在某个惯性系中的位矢，而a r K a a r ′K 则表示它在质心系中的位矢，它们之间有如下关系：CM a r R r a ′=+K K K (1) 在质心系中质心当然始终是位于原点的，因此0a a am r ′=∑K (2)另一方面，体系的总动量就是质心的动量，因此，体系在质心系中的总动量就该为零。
当然，上式两边对时间求微商也就得到了同样的结论。
， 0a a a a a ad p m r m r dt ′′==∑∑K K ′=K (3) 这个方程其地位就相当于在一般惯性系中的质心运动定理。
利用这些关系，你会发现描述体系状态的那些量——如角动量以及动能——都可以表示为两部分之和：一部分描述质心的运动，另一部分则描述体系相对于质心的运动。
如角动量()()CM CM CM CM CM a a a a a a a a a a a aa a a a a L L r p R r m R r R m R r m r R m r a′′==×=+×+⎛⎞′′=×+×⎜⎟⎝⎠′+×∑∑∑∑∑∑K K K K K K K K K K K K K K a a a m r ′+∑K CM R ⎛⎞×⎜⎟⎜⎟⎝⎠K (4) 其中第一项正是质心的角动量，而最后一项则是体系相对于质心的角动量： CM CM CM , a a aL R P L r m ar ′′=×=×′∑K K K K K K (5) 而中间两项则显然是等于零的，因此CM L L L ′=+K K K (6) 角动量变化的原因，即力矩，也可以作类似的分解，一部分对质心的运动负责，另一部分则负责相对于质心的运动：()CM CM CM CM CM with and a a a a a a a a a a aa a a aa r F R r F R F r F R F r F ττττττ′==×=+×′=×+×′′=+=×=×∑∑∑∑∑∑K K K K KK K K K K K ′K K K K K K K K (7)由于总的外力，第一项正是质心角动量的变化率，而我们又知道CMF MP =K K Lτ=K K ，由此L τ′′=K K (8) 即不管质心系是否是惯性参考系（也就是说，不管体系是否受到外力的作用），在质心系中角动量定理依然成立。
质心
例:已知半圆环质量为M,半径为R 已知半圆环质量为M,半径为R M,半径为 它的质心位置? 求:它的质心位置? 建立坐标系如图, 解:建立坐标系如图 由对称性 x = 0
c
M 线密度 λ = πR
M dm = Rdθ πR
y = R sin θ
πபைடு நூலகம்
0
取dl → dm=λdl dl=Rdθ θ
M ∫ ydm = ∫ R sin θ π R Rdθ = yc = M M π R R 2R = ( cos θ ) = (1 + 1) = 0 π π π
§三 质心 质心运动定理 §1 质心 §2 质心参考系 §3 质心运动定理
高速闪光灯拍摄的扳手在光滑桌面上作运动的情况
§1
质心
运动员跳水
投掷手榴弹
水平上抛三角板
p = ∑ mi vi = mvc 其中 m = ∑ mi = m1 + m2 + 为质点系的总质量
若令系统总动量 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点C 的运动. 质点系的整体运动可以等效为一个假想质点 的运动.
y
设小球质量为 0,则质量和质心坐标分别为: 小球质量为m 则质量和质心坐标分别为: 质量为 大球: 大球: m1 = 64m0 , x1 = 0 , y1 = 0 小球: 小球:m3 = m0 , x3 = R / 2, y3 = R / 4 系统的总质量为 m = m + m2 + m3 = 57m0 1 中球: 中球: m2
drc vc = dt
vc
如何确定这个 点的位置? 点的位置?
∑ =
dri mi vi ∑ mi dt = = m m
dri vi = dt
§2.6 质心坐标系与实验室坐标系
V’1 θC m1，V1 m2 M2， V2
V
m 1 ， v1
θr m2 v’2 L----系
V’2
C----系
在质心系：
由
v1 ' sin r V1 ' sin C
m1V1 m2V2 0 m1V1 m2V2
v1 ' cos r V V1 ' cos C
§2.6 质心坐标系与实验室坐标系 一、碰撞问题 自然界中存在大量微观和宏观的碰撞和散射现象，属 于两体问题。 实验室坐标系(L)：与地球固连，为实验工作者常用。 质心系(C)：与质心固连，随质心一起运动，为理论工作 m1 者常用。
m1 m2 θr
r θC m2
研究方法：二体化为单体问题（理论上）,θC 由计 算得到；实验测量(单体问题), θr 由实验测得.
(M1 M 2 )U M1v1 M 2v2
（ 1）
以 (M1 M 2 ) 质点组作为研究对象，爆炸过程中能量 守恒：
1 1 1 2 2 2 ( M 1 M 2 )U M 1v1 M 2 v2 E 2 2 2
（ 2）
联立（1）（2）求解得：
v1 U 2 EM 2 (M1 M 2 )M1
2 EM1 v2 U (M1 M 2 )M 2
所以落地时水平距离之差 S
V s s1 s2 v1t v2t v1 v2 g V 1 1 2E ( ) g M1 M1
二、θC与θr 的关系
设 : m1 , v1
m2 v1 m1相对质心的速度 V1 v1 V m1 m2 m1v1 m2 相对质心的速度 V2 0 V m1 m2 m1 v’1 m
质心参考系
r
' i
rc
(mi
' i
mivc
)
Lo L' Lc
r
' i
mi
' i
rc
mi
' i
mi
r
' i
c
rc
mic
4
第3章动量与角动量
质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心
处的一个质点对于参考点O的角动量。它反映了整个质
点系绕参考点的旋转运动。 质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。与质心 运动无关。它只代表系统的内禀性质 。
mi Fi
质点系整体随质心的运动；
ri ri
各质点相对于质心的运动
ri rC r'i
vi vC v'i
rC
×
C
c
xO
y
(mii ) ( mi )c ( mi )rc (miri )
可得
C 是质心兼质心
mii 0 坐标系原点
miri 0 ，
2
第3章动量与角动量
二、质心系的基本特征
LO LC L
LC rC MvC rC P
L r'i miv'i
3
第3章动量与角动量
质心系中的角动量
z i mi Fi
ri ri
rC
×
C
c
xO
y
对O点 对质心 C 对O
Lo ri (mii )
L ri(mii )
LC rC ( mi )C
可得
Lo ri (mii )
P
rC
dP dt
ri Fi 0 rC Fi
3-3 质心 质心运动定律
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点: r 连续分布的质点 r = c
∫
r rdm m
质点系的 动
：
v v P = m vC
质心运动定律
dv v ex vd C v F =m = maC t
13
v m ri i
m
m
v r2
rc
c v
v r1 m1
o
mi r r rc = ∑ ri m i
z
x
mi m : 总质量， 权重 m
r r 即：质心位矢 rc 是各质点位矢 ri
的加权平均。 的加权平均。
3
质心在直角系的计算公式 r r r r r N ∑ m r ri = xi i + yi j + zi k r i =1 i i rc = N u N r r N r M r r r ∑ mi xi i + ∑ mi yi j + ∑ mi yi k r i =1 i =1 rc = xc i + yc j + zc k = i =1 m
xc =
∑
N
i =1
m i xi m
z
r r1
m1
m2
yc =
∑ ∑
N
i =1
m i yi m
O x
r r2
r r c
C (xc, yc, zc )
r mN rN
y
zc =
i =1
m i zi m
4
离散质点系： 离散质点系：
v rC =
∑
n
i =1
v m i ri m
连续分布的质点 r rc =
质心系(精心整理)
r (m1 m2 )vC
r rC
dpC dt
drC dt
(m1
MC rC
m2
)vC
F外
dLC dt
0
rC
rC
dpC
dt
dpC dt
rC F外
MC
dLC dt
角动量 定理在质心系中也成立。 而不论质心系是否为惯性系。
1. 质心
Y
质点系的质量
中心，简称质心。
具有长度的量纲，
描述与质点系有
C
关的某一空间点
的位置。
O
X
抛手榴弹的过程
质心运动反映了质点系的整体运动趋势。
注意：
质心的位矢与参考系的选取有关。
刚体的质心相对自身位置确定不变。
质量均匀的规则物体的质心在几何中心。
质心与重心不一样，物体尺寸不十分大时， 质 心与重心位置重合。
mi
riO
riC
c
i
每一个位矢
riO
，动量可写为
mi viO：
o
rCO
riO riC rCO (1)
mi viO
mi viC
mi vCO
(2)
10
因在riC为 质、v质 心iC 心 系表相 中示对 质的于 心第质的i个心速质的度点位也相矢恒对恒为于为零质零心vC，CC的即0位rCC矢和0,速所度以。
rCC
mi riC
i
0
m
vCC
mi viC
08-质心系
第三章
动力学
§3.5 质心参照系
5.1 质心系是零动量参照系 5.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 系 系 5.3 相对于一质点系的质心的外力 转) 矩与该质点 相对于一质点系的质心的外力(转 系内部角动量的关系。 系内部角动量的关系。 5.4 质点系统相对于 系、C系的动能间的关系 质点系统相对于L系 系
ɺ ɺ ∴m r '+m r '= 0 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 ∴E = m v ' + m v2' + (m +m )vC k 1 1 2 1 2 2 2 2 de f 质点系相对于质心系 1 1 2 2 E内 ≡ mv ' + m v ' k 1 1 2 2 的动能叫做内动能。 的动能叫做内动能。 2 2 12
r = C
∑mr
i
i i
m
; 不代撇
C系 r C = 系 C
∑mr '
i i
i
m
=0
r '= C
∑mr '
i i i
m
= 0代撇
C系 v = 系 C C
∑mv '
i i i
m
=0
vC'=
∑mv '
i i i
m
= 0代撇
5
5.2 质点系相对于实验室参照系 系)的角动量与它 质点系相对于实验室参照系(L系 的角动量与它 相对于质心参照系(C系 的角动量之间的关系 相对于质心参照系 系)的角动量之间的关系
zm 1
C x' r ' m 2 O 2
r C
r' 1
动力学
§3.5 质心参照系
5.1 质心系是零动量参照系 5.2 质点系相对于 L系 、C系的角动量之间的关系 系 系 5.3 相对于一质点系的质心的外力 转) 矩与该质点 相对于一质点系的质心的外力(转 系内部角动量的关系。 系内部角动量的关系。 5.4 质点系统相对于 系、C系的动能间的关系 质点系统相对于L系 系
ɺ ɺ ∴m r '+m r '= 0 1 1 2 2
1 1 1 2 2 2 ∴E = m v ' + m v2' + (m +m )vC k 1 1 2 1 2 2 2 2 de f 质点系相对于质心系 1 1 2 2 E内 ≡ mv ' + m v ' k 1 1 2 2 的动能叫做内动能。 的动能叫做内动能。 2 2 12
r = C
∑mr
i
i i
m
; 不代撇
C系 r C = 系 C
∑mr '
i i
i
m
=0
r '= C
∑mr '
i i i
m
= 0代撇
C系 v = 系 C C
∑mv '
i i i
m
=0
vC'=
∑mv '
i i i
m
= 0代撇
5
5.2 质点系相对于实验室参照系 系)的角动量与它 质点系相对于实验室参照系(L系 的角动量与它 相对于质心参照系(C系 的角动量之间的关系 相对于质心参照系 系)的角动量之间的关系
zm 1
C x' r ' m 2 O 2
r C
r' 1
06质心
d A d A （内力成对出现） 内非 内非
18
S
mi
Fi
S′
×
d A外 Fi d ri
vC
O
ri ri′ O′ rO′
·
vo′= vC
Fi d ri Fi d rO d A外 ( Fi ) d rC
d A外 d EkC
· ·
m220
两质点系统在其 总是具有 质心系中， 等值、反向的动量。
12
§6.3 质心系中的角动量定理
一.质心系中的角动量 i F i O 是惯性系中的一个定点 z mi C 是质心兼质心坐标系原点 ri ri C C 对质心 L ri ( miv ) i
O″ C
质心坐标为：
O′
r
xCO
·
d
r
x
挖空
d r 0 xC R 2 r 2
2
d
R / r
d
2
1
6
§6.2 质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）
一. 质心运动定理 z
C×
c c i
vC
行星运行周期的平方与圆轨道半径的立方成正比。
解：设 太阳 ms，行星 m，m绕ms轨道半径a，相对速率v，
ms m ms m ms m v2 以太阳为参照系，对行星牛二： G 2 a a 2 a 周期与速度关系 T v 4 2 2 3
周期T。两体问题。化成单体问题，折合质量。
§6.5 两体问题
两物体在相互作用下的运动问题称两体问题， 如： 粒子被原子核散射，行星绕太阳运动等。 这类问题可简化为单体问题处理。 m1 设质点间的作用力为中心力， f1 r 2 m2 d r1 r1 ˆ m1 f ( r )r （1） 2 dt f2 r2 2 d r2 ˆ m2 f ( r )r （2） O dt2 惯性系中的固定点
18
S
mi
Fi
S′
×
d A外 Fi d ri
vC
O
ri ri′ O′ rO′
·
vo′= vC
Fi d ri Fi d rO d A外 ( Fi ) d rC
d A外 d EkC
· ·
m220
两质点系统在其 总是具有 质心系中， 等值、反向的动量。
12
§6.3 质心系中的角动量定理
一.质心系中的角动量 i F i O 是惯性系中的一个定点 z mi C 是质心兼质心坐标系原点 ri ri C C 对质心 L ri ( miv ) i
O″ C
质心坐标为：
O′
r
xCO
·
d
r
x
挖空
d r 0 xC R 2 r 2
2
d
R / r
d
2
1
6
§6.2 质心运动定理 （theorem of motion of center of mass）
一. 质心运动定理 z
C×
c c i
vC
行星运行周期的平方与圆轨道半径的立方成正比。
解：设 太阳 ms，行星 m，m绕ms轨道半径a，相对速率v，
ms m ms m ms m v2 以太阳为参照系，对行星牛二： G 2 a a 2 a 周期与速度关系 T v 4 2 2 3
周期T。两体问题。化成单体问题，折合质量。
§6.5 两体问题
两物体在相互作用下的运动问题称两体问题， 如： 粒子被原子核散射，行星绕太阳运动等。 这类问题可简化为单体问题处理。 m1 设质点间的作用力为中心力， f1 r 2 m2 d r1 r1 ˆ m1 f ( r )r （1） 2 dt f2 r2 2 d r2 ˆ m2 f ( r )r （2） O dt2 惯性系中的固定点
质点系的质心
o惯性系r j
mj fj
2、过程中包括的质点不变
二、 质心（center of mass）
质点系的质心，是一个以质量为权重取平均
的特殊点。
1、质心的位置
NN
rc
m i ri
i1 N
mi
m i ri
i1
M
i1
质点系 mi
ri c质心
rc
o
上式的分量形式:
xc
mi xi
i
M
mi yi
mivix 常量
i
miviy 常量
i
miviz 常量
i
if Fix 0
i
if Fiy 0
i
if Fiz 0
i
（4）反冲运动中的动量守恒
（5）动量守恒律在近代物理学中的意义
物理学家对动量守恒定律具有充分信心。
20世纪初发现原子核
的衰变
实验表明，这个过程 能量不守恒 动量不守恒
三、动量守恒定律
i
i
合外力的冲量
= 质点系动量的增量。
与内力无关。
二、动量守恒定律
若质点系 Fi 0
则 P
i
mivi con. s
i
即：若质点系所受合外力
为零，其动量守恒。
讨论：
（1）内力不会影响系统的总动量 ，但可使系统内的动量一个质点 转移到另一个质点。
（2）动量守恒律是牛顿第二、三 定律的直接结果；是空间平移不 变性的物理表现。
三、能量守恒定律
对于一个不受外界作用的 孤立系统，无论其内部经历任 何变化，该系统所有能量的总 和不变。能量只能从一种形式 转化为另一种形式，或从系统 内一个物体传给另一个物体。