第二章流变学的基本概念
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第2章 流变学的基本概念
u x u y u , 和 z x y z
分别表示各坐标 轴方向上的单位 伸长，即变形对 各坐标的变化率。
无穷小位移梯度张量
2.3.2 应变张量
根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张 量可分解为两部分：
1 u x u z （ + ） 2 z x 1 u y u z （ + ） y 2 z y u z 1 u z u y （ + ） 2 y z z 1 u x u y 1 u x u z 0 （ ） （ ） 2 y x 2 z x 1 u y u x u y 1 u y u z ） （ ） （ =E+W 2 x y y 2 z y 1 u u u z 1 u z u y x z （ ） （ ） 2 x z 2 y z z u x x du 1 u y u x （ + ） ds 2 x y 1 u u （ z + x） 2 x z 1 u x u y （ + ） 2 y x u y
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P 11 T P P21 P 31 P 12 P22 P32 P P 13 11 P23 P21 P P33 31
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
分别表示各坐标 轴方向上的单位 伸长，即变形对 各坐标的变化率。
无穷小位移梯度张量
2.3.2 应变张量
根据矩阵运算法则，无穷小位移梯度张 量可分解为两部分：
1 u x u z （ + ） 2 z x 1 u y u z （ + ） y 2 z y u z 1 u z u y （ + ） 2 y z z 1 u x u y 1 u x u z 0 （ ） （ ） 2 y x 2 z x 1 u y u x u y 1 u y u z ） （ ） （ =E+W 2 x y y 2 z y 1 u u u z 1 u z u y x z （ ） （ ） 2 x z 2 y z z u x x du 1 u y u x （ + ） ds 2 x y 1 u u （ z + x） 2 x z 1 u x u y （ + ） 2 y x u y
2.2.3.2 张量的代数运算
1）张量相等 在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
2）张量的加减 按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P 11 T P P21 P 31 P 12 P22 P32 P P 13 11 P23 P21 P P33 31
第2章 流变学的基本概念
主要内容
2.1 流体形变的基本类型
2.2 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 2.3 应力张量和应变张量 2.4 本构方程和材料函数
流变学的基本概念2
利用包轴现象可以设计出一种 圆盘挤出机，熔融的物料从加 料口加入，在 旋转流动中沿轴 爬升，而后从轴心处的排料口 排除 ，如左图所示。其优点在 于，制造方便。性能稳定，可 以用作 橡胶加工螺杆挤出机 的 喂料装置，可以提高混合效果 和基础挤出稳定性 。
(2) 剪切变稀现象 (shear thinning)
椭圆管道
锥形口模
? 牛顿流体旋转时的次级流动是离心力造 成的。
? 高分子液体的次级流动方向往往与牛顿 型流体相反，是由粘弹力和惯性力综合 形成的。这种反常的次级流动在流道与 模具设计中十分重要。
(7) 孔压误差和弯流压差
测量流体内压力时， 若压力传感器端面安 装得低于流道壁面， 形成凹槽，则测得的 高分子液体的内压力 将低于压力传感器端 ? 面安装得与流道壁面 相平时测得的压力， 如下图中有ph ? p，这 ? 种压力测量误差称孔 压误差。
牛顿流体
非牛顿流体
法向应力Biblioteka 出口收缩出口胀大挤出胀大现象
?挤出胀大现象产生的原因：其产生的原因也被归结为高分子熔体具有
弹性记忆能力所致，当高分子流体被迫挤出时即想恢复它原来的状态，从而
出现胀大。 当熔体进入口模时，收到强烈的拉伸和剪切形变，其中 拉伸形变属弹性形变，这些形变在口模中只有部分得到松弛，剩余 部分在挤出口模后发生弹性恢复，从而出现挤出胀大现象。
?实验表明，高分子浓溶液和熔体都具有这种性 质，因而能产生稳定的 连续拉伸形变，具有良好 的纺丝和成膜能力。
(6) 各种次级流动
研究表明，高分子液体 在均匀压力梯度下通过 非圆形管道流动时，往 往在主要的纯轴向流动 上，附加出现局部区域 性的环流，称为次级流 动，或二次流动，在通 过截面有变化的流道时 ，有时也发生类似的现 象，甚至更复杂的还有 三次，四次流动。
(2) 剪切变稀现象 (shear thinning)
椭圆管道
锥形口模
? 牛顿流体旋转时的次级流动是离心力造 成的。
? 高分子液体的次级流动方向往往与牛顿 型流体相反，是由粘弹力和惯性力综合 形成的。这种反常的次级流动在流道与 模具设计中十分重要。
(7) 孔压误差和弯流压差
测量流体内压力时， 若压力传感器端面安 装得低于流道壁面， 形成凹槽，则测得的 高分子液体的内压力 将低于压力传感器端 ? 面安装得与流道壁面 相平时测得的压力， 如下图中有ph ? p，这 ? 种压力测量误差称孔 压误差。
牛顿流体
非牛顿流体
法向应力Biblioteka 出口收缩出口胀大挤出胀大现象
?挤出胀大现象产生的原因：其产生的原因也被归结为高分子熔体具有
弹性记忆能力所致，当高分子流体被迫挤出时即想恢复它原来的状态，从而
出现胀大。 当熔体进入口模时，收到强烈的拉伸和剪切形变，其中 拉伸形变属弹性形变，这些形变在口模中只有部分得到松弛，剩余 部分在挤出口模后发生弹性恢复，从而出现挤出胀大现象。
?实验表明，高分子浓溶液和熔体都具有这种性 质，因而能产生稳定的 连续拉伸形变，具有良好 的纺丝和成膜能力。
(6) 各种次级流动
研究表明，高分子液体 在均匀压力梯度下通过 非圆形管道流动时，往 往在主要的纯轴向流动 上，附加出现局部区域 性的环流，称为次级流 动，或二次流动，在通 过截面有变化的流道时 ，有时也发生类似的现 象，甚至更复杂的还有 三次，四次流动。
流变学(二)
Polymer Rheology
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 一、张量的初步概念 1、张量的定义
BUCT
在场中某一点处，由于作用面方位不同而取得不同量 值的物理量称为张量，它既有大小，又有方向，还和 作用面的方位有关。 张量分量数目由阶数定，即： 张量分量数目=3n （数量30 、矢量31 、二阶张量32 ）
Polymer Rheology
BUCT
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 二、应力的概念 1、作用在材料上的力
BUCT
r 体积力（远程力）：重力、磁力等 单位：[力]∕[长度Δ ]2T
表面力（近程力）：摩擦力、压力等 Kgf/cm2
2=Pa N/m ΔA
2、内力与应力
r ΔT r σ = lim ΔAc → 0 ΔA c
II ε =
BUCT
εx
1 γ yx 2
εx
1 III ε = γ yx 2 1 γ zx 2
Polymer Rheology
1 1 γ xy εy γ yz εx 2 2 + + 1 1 εy γ zy εz γ zx 2 2 1 1 γ xy γ xz 2 2 1 εy γ yz = ε 1 • ε 2 • ε 3 2 1 γ zy εz 2
τ 12 σ 22 − σ m τ 32
⎤ τ 23 ⎥ ⎥ σ 33 − σ m ⎥ ⎦
τ 13
应力张量
球应力张量
偏斜应力张量
1 σ m = (σ 11 + σ 22 + σ 33 ) 3
Polymer Rheology
第一章：流变学的基本概念
第二节 对应力的描述 五、应力张量的特殊形式 1、静压张量
第二章 流变学的基本概念
1. 简单实验
材料是均匀的，各向同性的， 而材料被施加的应力及发生的应变 也是均匀和各向同性的，即应力、 应变与坐标及其方向无关。
1.1 应变
1.1.1 各向同性的压缩和膨胀
y
c
x
b` b a c` a` 各向同性膨胀
z
a`=aα b`=bα c`=c α α-伸缩比
1
a`a b`b c`c 1 a b c 1
变化规律。
log
A t B a C
A：t 随 ↑ 而↑,
支化聚合物。如支化PE
B：t 与 无关: 聚合度低的线性高物:POM、PA-66 C：t 随 ↑而↓,
logŕ
高聚合度PP
拉伸流动中会发生链缠结, 拉伸黏度降低, 同时链伸展并沿 流动方向取向,分子间相互作用增加,流动阻力增加,伸展黏 度变大.拉伸黏度取决于这两个因素哪一个占优势.
t df / ds
df 为作用在表面上无限小面积ds上的力。在简单 实验中由于力是均匀的。 应力——材料单位面积受到的表面力作用
t f /s
1.2.1 应力的分量表示法和应力张量
应力的性质：应力的大小；方向；作用面。 应力的分量第1个下标表示作用面，第2个下 标表示应力的方向。 作用力的方向与作用面垂直，被称为应力的 法向分量, txx、 tyy 、 tzz。 作用力的方向与作用面平行，被称为应力的 切向分量，txy、 tyx 、 tzx、txz、tzy、tyz。
微晶的存在 起到交联的 作用
结晶性线形聚合物的拉伸模量与温度的关系 其形状与无定型聚合物类似，其区别是坪台区较宽，
且平台处的模量较高.
3.5 模量的分子量依赖性
低温时粘弹性主要决定于大分 子链的小链段的运动，而与大 分子链本身的尺寸基本上无关 。在高温时的粘弹性则涉及到 较大链段的复杂运动，以解开 缠绕并最后大分子链间相互滑 移 ，所以分子量对拉伸模量的 影响主要在高弹态和粘流态
第二章 流变学的基本概念
D、简单剪切 设流体的应力状态为，只有剪切分量ζxy 是常数，而 其它剪切分量为0，即在y=常数的平面上沿x方向受 到剪应力，按照应力对称原则，在x=常数的平面上 沿y方向也有剪切应力存在。如右图1.7所示。 此时应力可表示为
0 xy yx 0 0 0
第二章:流变学的基本概念
在流变学中讨论变形时,要研究变形时应力与
应变的关系,遵从胡克定律;讨论流动时,要研 究应力与应变速率的关系,遵从牛顿定律.下面 我们就从简单实验着手,讨论一些基本物理量.
2.1基本物理量
一、张量分析基础 1、张量概念 a、标量：只有大小，如温度、时间 b、矢量：既有大小又有方向，如位移、速度、 加速度、力 如空间坐标中，线段长度用OP表示，方向用 3 箭头表示，记为 OP a
二、应力及应力张量 1、应力的表示 物体在外力作用会产生流动和变形，但物体同时为抵抗 流动和变形，物体内部产生相应的应力。应力定义为材料 内部单位面积上的响应力，单位为Pa。
F lim s 0 s
2、应力张量 应力作用在材料的哪个面上.也是一个考虑的因素之一.因为 同样大小和方向的应用,如果作用面不同,材料也会发生不同 的变形所以应力也是一个张量. 由大小,方向及方向面的三 个因素决定.
偏应力张量的重要特征是对角线之和等于0。
应变 1.2.1 各向同性的压缩与膨胀(书10页)
1.2
a a b b c c a b c
.2.2
拉伸与单向压缩
l l l b b c c b c
ε为长度的分数增量,δ为侧边长的 分数减量.两者均称为应变.
第二章 流变学的基本概念
l′＝l
b′＝b c′＝c V/V0＝2Biblioteka ＝1＋ <<1
＝1－ <<1
l l l
为长度的分数增量 为侧边的分数减量
5
b b c c b c
体积的分数变化
△V/V＝[(1＋)(1－)2-1]
由于<<1，<<1，故
△V/V≈－2
拉伸时，>1，<1，>0，>0， 压缩时，<1，>1，<0，<0，即长度缩小，截面增大
△V/V＝3－1＝（1＋）3－1＝3＋32＋3
由于<<1
△V/V≈3
△V/V是边长的分数变化的3倍
各向同性膨胀是均匀的变形（Homogeneous）。物体内 任何体积单元都变化3倍，当然物体不一定是立方柱体
4
2.2.2 拉伸和单向压缩 （Extension and uniaxial expension）
特点 材料均匀、各向同性，材料被施加的应力及发生的应变也 是均匀和各向同性，即应力、应变与坐标及其方向无关
2
2.2 应变（Strain）
2.2.1 各向同性的压缩和膨胀 （Isotropic compression and expansion）
a′＝a b′＝b
比 更常见 和更常用
c′＝c
a b c 称为伸缩比（Stretch ratio） >1，膨胀， a b c <1，压缩, 3表示体积的变化
a a b b c c <<1 ，>0，膨胀，<0，压缩 1 3 a b c
体积变化量△V/V0，V0是原始体积，△V是体积之变化量
b′＝b c′＝c V/V0＝2Biblioteka ＝1＋ <<1
＝1－ <<1
l l l
为长度的分数增量 为侧边的分数减量
5
b b c c b c
体积的分数变化
△V/V＝[(1＋)(1－)2-1]
由于<<1，<<1，故
△V/V≈－2
拉伸时，>1，<1，>0，>0， 压缩时，<1，>1，<0，<0，即长度缩小，截面增大
△V/V＝3－1＝（1＋）3－1＝3＋32＋3
由于<<1
△V/V≈3
△V/V是边长的分数变化的3倍
各向同性膨胀是均匀的变形（Homogeneous）。物体内 任何体积单元都变化3倍，当然物体不一定是立方柱体
4
2.2.2 拉伸和单向压缩 （Extension and uniaxial expension）
特点 材料均匀、各向同性，材料被施加的应力及发生的应变也 是均匀和各向同性，即应力、应变与坐标及其方向无关
2
2.2 应变（Strain）
2.2.1 各向同性的压缩和膨胀 （Isotropic compression and expansion）
a′＝a b′＝b
比 更常见 和更常用
c′＝c
a b c 称为伸缩比（Stretch ratio） >1，膨胀， a b c <1，压缩, 3表示体积的变化
a a b b c c <<1 ，>0，膨胀，<0，压缩 1 3 a b c
体积变化量△V/V0，V0是原始体积，△V是体积之变化量
第二章 流变学的基本概念03
第二不变量
& & &i j
& & & & & & & & & & & & = exx exx + exy e yx + exz ezx + e yx exy + e yy e yy + e yz ezy & & & & & & + ezxexz + ezy e yz + ezz ezz
A0
u y u x u z exx = = e yy = = ezz = =ε x y z 1 u x u y exy = e yx = y + x = exz = ezx = e yz = ezy = 0 2
简单剪切simple shear
A0
F θ
F
1 u x u y 1 = γ exy = e yx = + y 2 2 x
v x v y & & = γ& exy = e yx = + y x
& = 2γ& 2 I2
2.4 本构方程和材料函数
连续性方程 运动方程 能量方程
本构方程 材料函数
作业
1. 何为应变张量？ 2. 何为应变速率张量？ 3. 推导三类基本类型流体的应变张量？
Strain (应变 应变) 应变
Shear strain
剪切应变
dx γ= dy
F
dx v+dv v A dy F
Shear rate
切变速率
dγ dv γ& = = dt dy
第二章 流变学基本概念
剪切应变变形
应变 =
位移 间隙
剪切应变通常简称为应变 应变没有单位。因此人们采用 ‘% strain’ 或 ‘millistrain’ 采用应变的原因是它与几何形状无关
剪切应力
施加在单位面积上的力称为剪切应力
力 面积
=
N m2
1 N/m2 = 1 Pa
粘性流动
如果立方体是粘性液体，当我们施加一个力时，我们就 得到一个恒定的流动而不是一个形变 这个流动能够描述为应变随时间变化的函数关系
第三不变量:
2.4本构方程
本构方程又称流变状态方程，是联系应力张量和应变张量或应变 速率张量之间的关系方程，而联系的系数通常是材料常数，如粘 度、模量等. 从理论上讲：建立流体的本构方程是流变学最重要的任务，是将 计算方法引入流变学的关键。寻找合适的本构方程至今仍然是流 变学领域研究的一个热点。 从工程上讲：它是高分子加工过程复杂流动问题的工程分析基础。
单元表面作用力
图2-4中δS 是截面积，δF是作用力，v为法向单位矢量。P点应力σ的定义
2.3.1 应力张量
力：F 三个相互垂直面 力分解：F1， F2， F3 引入微元面和dS
得应力：T1，T2，T3
符号说明：
Txx 、 Tyy 、 Tzz 它们分别垂直于 x 、 y 、 z 轴垂直 的平面上称为法向应力分量。 Txy 、 Tyz 、 Txz 、 Tzx 、 Tyz 、 Tzy 均为某一平面上 平行的切应力方向， 第一个下标表示该分量作
Force, F
Constant velocity, v化速率称为剪切应变速率 （shear strain rate）或剪切速率（SHEAR RATE ）
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第二章 流变学的基本概念
制造学院
课程内容
流体形变的基本类型 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 应力张量和应变张量 本构方程和材料函数
流体形变的基本类型
流体所有的流变现象都是力学行为
流动变形时
应力与应变 应力与应变
速率
流体形变的基本类型
Ⅰ.拉伸和单向膨胀
流体元在拉伸方向的长度增加而在另外两个 方向上的长度则缩短。
11 12 13 11 12 13
21
22
23
•
22
23
31 32 33 • • 33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1B1
A2 B1
A3B1
A1B2 A2 B2 A3 B2
A1B3
A2
B3
A3B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。
0
Tyy
0
0 0 Tzz
应力张量和应变张量
③简单剪切
在实验中，应力与作用面平行。 总力矩为：
dL Tyxdxdydz Txydxdydz
为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必 须施加相应的另一个剪切应力。
0 Txy 0 T Tyx 0 0
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1
当i j时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力
应力张量和应变张量
简单流变实验中的应力张量
①拉伸实验 在矩形断面上施加一个与端面垂直的力。
Txx 0 0
T
0
0 0
0 0 0
应力张量和应变张量
②各向同性压缩
应力矢量总是与分隔面垂直，且在某给定点 上的大小与分割面方向无关。
应力张量和应变张量
当S 0时，比值F S 趋于一个确定的极限dF dS
极限向量可写为： T dF dS
极限向量T 称为面力，或称为应Байду номын сангаас向量， 即代表作用在面上的单位面积的力；
应力张量和应变张量
Ⅰ.应力张量
在笛卡尔坐标系中，可以将某点的作用力分 解在该点附近的三个互相垂直的微分面上，微分 面的方向与选择的坐标方向相同。将各个面的分 力除以微体积元对应的表面积，得到相关的应力， 再沿坐标方向进行分解，得到的分量形式为:
简单剪切形变示意图
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
标量、矢量和张量是用数学方法处理流 体流动与变形时，常用的物理量。
1）标量 在选定了测量单位后，仅有数值大小决定的物理量。 2）矢量 同上条件，由数值大小和空间决定的物理量。 3）张量 是矢量的推广，是在一点处不同方向上有不同量值 的物理量。
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
简单拉伸示意图
流体形变的基本类型
Ⅱ.各向同性的压缩和膨胀
在各向同性膨胀中，任何形状的流体元都变 为几何形状相似但尺寸变大的流体元。
各向同性膨胀实验示意图
流体形变的基本类型
Ⅲ.简单剪切和简单剪切流
在简单剪切实验中，流体元的顶面相对于底 面发生位移，而高度保持不变，使得原来与底面 垂直的一边在变形后与其原来位置构成一定的角 度。可以用 来表示
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）张量相等
在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
5）张量的加减
按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
6）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P11 P12 P13 P11 P12 P13
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
T 称为应力张量，而Tij则称为应力张量分量。
应力张量和应变张量
通常将应力张量分解为两部分：
⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； ⑵张量的各向同性部分；
T -P Tij -Pij ij
应力张量和应变张量
称为单位张量，可定义为以下形式：
Tn nP
流体静止时（完全流体无论何时）内部的 接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力 也称为流体静压力。
应力张量和应变张量
在各向同性压缩实验中，应力在任何方向 都与作用面垂直且大小相同。即在笛卡尔坐标 中：
Txx Tyy Tzz P
剪切应力分量均为零，则应力张量为：
Txx 0 0
T
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)mi nj
t' ij
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
tmn
(x1,
x2
,
x3
) im
jn
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅲ.张量的运算
1）单位张量（克罗内克算子）
1 0 0
I
ij
0
1
0
0 0 1
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2）对称张量 张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
T1 (Txx ,Txy ,Txz ) T2 (Tyx ,Tyy ,Tyz ) T3 (Tzx ,Tzy ,Tzz )
第一个下标表示 该应力的作用面。
第二个下标表示 该应力的方向。
应力张量和应变张量
在笛卡尔坐标系中，只需在三个面上的应力
分量，就能完整描述材料的受力情况。可成以下 矩阵形式：
T TTxyxx
②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张 量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。
③如果某个张量方程在一个坐标系中能够成立， 那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一 定成立。
应力张量和应变张量
物体受力的类型：
1）外力 作用在物体上的非接触力，也称为长程力。 2）表面力 施加在物体外表面的接触力。 3）内部应力 是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体 表面的接触力，又称为近程力。
Ⅱ.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系：
标量： 矢量：
张量：
( x1
,
x2
,
x3
)
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fi
(x1,
x2
,
x3
)
Fk'
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)ki
Fi '
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fk
( x1 ,
x2
,
x3
)ik
tij
( x1 ,
x2
,
x3
)
t' m
T
P
P21
P22
P23
P21
P22
P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
7）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
8）张量与张量乘积
张量与张量单点积得一张量：
T P•Q
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅳ.张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等 于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。
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课程内容
流体形变的基本类型 标量、矢量和笛卡尔张量的定义 应力张量和应变张量 本构方程和材料函数
流体形变的基本类型
流体所有的流变现象都是力学行为
流动变形时
应力与应变 应力与应变
速率
流体形变的基本类型
Ⅰ.拉伸和单向膨胀
流体元在拉伸方向的长度增加而在另外两个 方向上的长度则缩短。
11 12 13 11 12 13
21
22
23
•
22
23
31 32 33 • • 33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
3）并矢张量
将矢量A和矢量B按以下形式排成数组：
A1B1
A2 B1
A3B1
A1B2 A2 B2 A3 B2
A1B3
A2
B3
A3B3
并矢张量或两矢量的矢并积是二阶张量的特 殊形式，数组内的各元素是矢量的分量之积。
0
Tyy
0
0 0 Tzz
应力张量和应变张量
③简单剪切
在实验中，应力与作用面平行。 总力矩为：
dL Tyxdxdydz Txydxdydz
为了保持平衡，在施加一个剪切应力的同时，必 须施加相应的另一个剪切应力。
0 Txy 0 T Tyx 0 0
1 0 0
= 0 1 0
0 0 1
当i j时，应力分量就是法向应力，其他分量称为剪切应力
应力张量和应变张量
简单流变实验中的应力张量
①拉伸实验 在矩形断面上施加一个与端面垂直的力。
Txx 0 0
T
0
0 0
0 0 0
应力张量和应变张量
②各向同性压缩
应力矢量总是与分隔面垂直，且在某给定点 上的大小与分割面方向无关。
应力张量和应变张量
当S 0时，比值F S 趋于一个确定的极限dF dS
极限向量可写为： T dF dS
极限向量T 称为面力，或称为应Байду номын сангаас向量， 即代表作用在面上的单位面积的力；
应力张量和应变张量
Ⅰ.应力张量
在笛卡尔坐标系中，可以将某点的作用力分 解在该点附近的三个互相垂直的微分面上，微分 面的方向与选择的坐标方向相同。将各个面的分 力除以微体积元对应的表面积，得到相关的应力， 再沿坐标方向进行分解，得到的分量形式为:
简单剪切形变示意图
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
标量、矢量和张量是用数学方法处理流 体流动与变形时，常用的物理量。
1）标量 在选定了测量单位后，仅有数值大小决定的物理量。 2）矢量 同上条件，由数值大小和空间决定的物理量。 3）张量 是矢量的推广，是在一点处不同方向上有不同量值 的物理量。
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
简单拉伸示意图
流体形变的基本类型
Ⅱ.各向同性的压缩和膨胀
在各向同性膨胀中，任何形状的流体元都变 为几何形状相似但尺寸变大的流体元。
各向同性膨胀实验示意图
流体形变的基本类型
Ⅲ.简单剪切和简单剪切流
在简单剪切实验中，流体元的顶面相对于底 面发生位移，而高度保持不变，使得原来与底面 垂直的一边在变形后与其原来位置构成一定的角 度。可以用 来表示
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
4）张量相等
在同一坐标系中，如两张量的各个分量全部对 应相等，则两张量相等。
PQ
5）张量的加减
按矩阵方法，两张量对应分量相加减。
T PQ
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
6）张量与标量的乘（除）
即把张量的各个分量分别乘以标量
P11 P12 P13 P11 P12 P13
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
T 称为应力张量，而Tij则称为应力张量分量。
应力张量和应变张量
通常将应力张量分解为两部分：
⑴流体形变有关的动力学应力，偏应力张量； ⑵张量的各向同性部分；
T -P Tij -Pij ij
应力张量和应变张量
称为单位张量，可定义为以下形式：
Tn nP
流体静止时（完全流体无论何时）内部的 接触力就属于这种性质，因此各向同性的应力 也称为流体静压力。
应力张量和应变张量
在各向同性压缩实验中，应力在任何方向 都与作用面垂直且大小相同。即在笛卡尔坐标 中：
Txx Tyy Tzz P
剪切应力分量均为零，则应力张量为：
Txx 0 0
T
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)mi nj
t' ij
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
tmn
(x1,
x2
,
x3
) im
jn
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅲ.张量的运算
1）单位张量（克罗内克算子）
1 0 0
I
ij
0
1
0
0 0 1
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
2）对称张量 张量的分量满足 ij ji ，则称这样的张量为对称 张量。
T1 (Txx ,Txy ,Txz ) T2 (Tyx ,Tyy ,Tyz ) T3 (Tzx ,Tzy ,Tzz )
第一个下标表示 该应力的作用面。
第二个下标表示 该应力的方向。
应力张量和应变张量
在笛卡尔坐标系中，只需在三个面上的应力
分量，就能完整描述材料的受力情况。可成以下 矩阵形式：
T TTxyxx
②两个同阶笛卡尔儿张量的和或差仍是同阶张 量，于是同阶张量的任何线性组合仍是同阶张量。
③如果某个张量方程在一个坐标系中能够成立， 那么对于允许变换所能得到的所有坐标系，也一 定成立。
应力张量和应变张量
物体受力的类型：
1）外力 作用在物体上的非接触力，也称为长程力。 2）表面力 施加在物体外表面的接触力。 3）内部应力 是由毗邻的流体质点直接施加给所研究的微元体 表面的接触力，又称为近程力。
Ⅱ.数学定义
不同坐标变换，不同的集合满足不同转换关 系：
标量： 矢量：
张量：
( x1
,
x2
,
x3
)
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fi
(x1,
x2
,
x3
)
Fk'
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)ki
Fi '
(x' 1
,
x' 2
,
x' 3
)
Fk
( x1 ,
x2
,
x3
)ik
tij
( x1 ,
x2
,
x3
)
t' m
T
P
P21
P22
P23
P21
P22
P23
P31 P32 P33 P31 P32 P33
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
7）向量和张量的乘积
向量与张量点乘，其积均为一个矢量。
8）张量与张量乘积
张量与张量单点积得一张量：
T P•Q
标量、矢量和笛卡尔张量的定义
Ⅳ.张量的重要性
①在一个坐标系中，笛卡尔张量所有分量都等 于零，在所有笛卡尔坐标系中也为零。