勾股定理专题训练折叠问题PPT课件
纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8 AD,点D落在BC边上的点F处,
㎝。现将直角边AC沿直线AD折 已知AB=8CM,BC=10CM,求
叠，使它落在斜边A突B破上重，点且：学与生动手1.折CF叠、观2.E察C，.
AE重合，求CD的长．将变已换知中量的折和叠未A知找量到通相过等图的形线
D
A
段转换到 一个直角三角形中。
顶点B与学教生师顶小适点组当合引D重作导，，合也然在就后是各一通抒起过己辅见,助，EF为折 痕。AB线=构3,造B直C角=9三,角试形求得到：等以线段E代F为边
长正方换个形。直的将角已三面知角积量形和中？未利知用量勾转股E 化定到理一找
到解决问题的A 突破点。通过这道
D
小组题问合让题作学，生加知深道学用生方对程勾思股想定来理1解 和0 决转
.
4
说教学目标
(1)知识与技能
理解折叠问题的实质，建立方程思想，找 到解决的突破口。
(2)过程与方法
经历观察、比较折叠的过程，在讨论类比中 探索勾股定理解决折叠问题。
(3)情感态度与价值观
锻炼学生的应用能力，感受数学带来的乐趣。体现 数学与生活的紧密联系。
.
5
说教学重难点
教学重点
探究折叠前后图形的变化及元素的对应关系。
人教版八年级数学下册 《勾股定理专题训练-折叠问题》
.
1
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思
四
教学程序
三 教、学法分析
二
学情分析
一
教材分析
.
2
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18章内容，是在掌握勾股 定理及逆定理的基础上对勾股定理的应用之一。教材注重培养 学生的动手操作能力和分析问题的能力。通过分析，使学生获 得较为直观的印象,了解勾股定理在实际生活中的广泛应用。折 叠问题在中考中的应用也日趋突出。（举例）
课堂小结：归纳折叠问题的解题步骤： （1）标（已知、未知量） （2）设（未知数） （3）找（找直角三角形） （4）换（转换） （5）列（方程）
.
15
板书设计：
勾股定理（折叠问题）
解题步板骤书：的设（计1让）学标生（对本已节知课、的重未点知量） 一目了然，（以2提）高设学（生的未记知忆数效率），
从而更好的（达3到）本找节（课的找教直学角目标三。角形）
.
3
说学情
八年级的学生已经具备了一定的几何知识基础。从心理和生理特征都比 较喜欢较为直观且能吸引他们的内容。在本节内容之前，学生已经能准确 的理解勾股定理及逆定理的内容，同时也具备了建立数学模型的能力。但 学生探究问题的能力还是有限，对生活中的实际问题与勾股定理的联系还 不明确，特别是用方程的思想解决数学问题还有困难，自主学习能力也有 待于加强。
成直角三角A形，利用勾股定理解决问题，
培养学生空间想像5 能力。使教学A 内容充满5
C
趣味性和吸引力，使学3 生在轻松愉悦的学
习氛围中理解了用勾1股定理解决际问题的
方法，体现了数学源于生活，并用于生活。
12
B
B
.
14
学后反思：
学生通过自我评价及形成性评价逐渐养成了正确的价 值观和科学的学习观，同时也养成了良好的反思习惯。
E
D
C
（4）换（转换）
F
（5）列（方程）
A
B
.
16
今
日 课本P39习题第12 作 题、第13题。
业
.
17
说教学反思：
本节课由情景创设激发学生学习兴趣，再解决问题的过程 中弄清楚问题的本质，借助运动、变化的直观现象，在边演示、 边思考的过程中推进对知识的理解。
本节课的亮点是题型设计的有梯度，由易到难。并且能将 本章知识点汇集到一起。使学生有综合性的练习。不足之处是 学生在折叠问题中不能快速的锁定直角三角形，应用定理解决 实际问题还应多练，我的教学没有彻底放开和新的课程理念的 要求存在着差距，在教学时没有照应到所有学生。
教学难点
在现实情境中捕捉折叠三角形和四边形，构造直角三角形， 在实际问题中学会运用勾股定理转化为方程的思想来解决问 题。
.
6
说教法、学法
1、教法
根据本课内容特点和八年级学生思维活动特点，我采用了合作探究教 学法，逐步渗透教学法和师生共研相结合的方法。
2、学法
新课改提倡以学生发展为本，引导学生主动探究新知，合作交流，体 现学习的自主性，从不同层次发掘学生的创新精神。
.
18
.
11
变式1
变式2：
如图，小颍同学折叠一个 如图，在矩形ABCD中，
直角三角形的纸片，使A与 BC=8，CD=4，将矩形沿BD
B重合，折痕为DE，若已 折叠，点C落在C′处，求：
知AC=10cm，BC=6cm,你 重叠部分△BED的面积
能求出CE的长吗？
C’
D
B
AE
D
A
E
B
C
.
12
质疑导学
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使
化思想的理解与应用。
B 教师适当引导
HF
C
G
.
13
学习检测
台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B
立点足去于吃学可生口的的认食知物基.请础你来想选一择想身，边这的只素蚂材蚁从A点
进出行发教，学沿，着将台立阶体面图爬形到转B点化，为最平短面线图路形是构多少？
E
最终运用本章学习的勾股定
E
理求得线段的长度，做到用
数形结合来解决几何问题。
第8题图
CＤ
BB
F
C
.
10
画龙点睛
解题步骤:
1、标已知，标问题，明确目标在 哪个 直 角三角形中，设适当的未知数x。
2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示） 转换到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
.
7
说教学过程
教学流程图
学 后反思
学习 检测
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质 疑导学
合作学习
自学展示
.
8
自学展示
荷花问题 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
0.5 2
x
x+0.5
.
9
合作学习
折叠三角形
折叠四边形
例1、如图，一块直角三角形的 例2：折叠矩形ABCD的一边
合集下载
人教版.勾股定理()-折叠问题课件
【练习】如图, 把长方形纸片ABCD沿EF折叠, 使点B落在 边AD上的点B′处, 点A落在点A′处． (1) 求证：B′E=BF； (2) 设AE=a, AB=b, BF=c. 试猜想a, b, c之间的一种关系, 并 给予证明．
b aa c b
c
【练习】长方形ABCD如图折叠, AB=3, BC=9.
•
6.另外，木质材料受温度、湿度的影 响比较 大，榫 卯同质 同构的 链接方 式使得 连接的 两端共 同收缩 或舒张 ，整体 结构更 加牢固 。而铁 钉等金 属构件 与木质 材料在 同样的 热力感 应下， 因膨胀 系数的 不同， 从而在 连接处 引起松 动，影 响整体 的使用 寿命。
•
7.家具的主体建构中所占比例较大。 建筑中 的木构 是梁柱 系统， 家具中 的木构 是框架 系统， 两个结 构系统 之间同 样都靠 榫卯来 连接， 构造原 理相同 。根据 建筑物 体积、 材质、 用途等 方面的 不同， 榫卯呈 现出不 同的连 接构建 方式。
A
6
6E x
4
C x Ｄ D 8-x B
8
1 如图在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点 A,C的坐标分别为（10，0）（0，4），点D是OA 的中点，点P在BC上运动，当△ODP是等腰三角形 时，点P的坐标为_________.
C
P
B
O
D
A
2 在四边形ABCD中 ∠BAC=900 ，对角线AC,BD交 于点E, ∠BAC=900,∠CED=450,∠DCE=300 ,
DE=√2,BE=2√2，求CD的长和四边形ABCD的面积。
A B
D E
F
C
一辆卡车装满货物后，能否通过如图所示的工 厂门（上方为半圆）？卡车高3.0m，宽1.6m。 请说明你的理由。
勾股定理在折叠问题中的应用讲PPT课件
.
3
C D
B
E
A
E
A
A
E
DD
F
B
F
C
C
A
.
B D
EC
CA
B
B
D E FC
4
项目一、折叠 直角三角形
例 1： 如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=8cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
B
D
A
E
C
.
5
练习：如图，有一张直角三角形纸片，两直 角边AC=6cm，BC=8cm, 现将直角边沿直 线AD折叠，使点C落在斜边AB上的点E， 求CD的长.
E
A
D
B
（D）
F
C
（C）
.
8
❖2、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线AC 折叠，点B落在点E处，EC与AD相交于点 F.若AB=6，BC=8，
❖求:
（1）△FAC是等腰三角形
（2）求CF的长
A
E FD
（3）求△FAC的周长和面积.
.
B
9C
这节课你有哪些收获？
1、折叠的实质：轴对称． 2、选择合适的直角三角形利用勾 股定理列方程解决折叠问题．
.
6
项目二、折叠长方形
例2：如图所示，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在
BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求CE的
长。 A
8
B
解：根据折叠可知，△AFE≌△ADE，
10
D
∴AF=AD=10cm，EF=ED， AB=8 cm，EF＋EC=DC=8cm，
∴在Rt△ABF中
专题训练二--利用勾股定理解决折叠问题(共13张PPT)
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子
华东师大版八年级数学上册第14章勾股定理折叠问题中的勾股定理课件
A
D
B
G
EC
概括：找出图中的直角三角形，用勾股定理求出 未知边。 怎么求EF？做垂线，构造直角三角形。
总结：怎么应用勾股定理解决折叠问题？
1.抓住折叠前后的图形是全等形，找出图 中的直角三角形（可做垂线段构造直角三角 形）。
2.设未知数，找等量关系，根据直角三角形 的三边关系列方程（组）。
课堂练习：
折叠问题中的勾股定理
引入：
勾股定理反应的是直角三角形三边 的关系。应用勾股定理由已知边求出 未知边。
这节课应用勾股定理来解决折叠中 的诸多问题
请按下列要求折叠矩形纸片ABCD 并画出折叠后的几何图形
• 1：把矩形边AB折在边AD上。 • 2：把矩形ABCD边AB 折在对角线AC上。 • 3：把矩形ABCD沿对角线AC对折。 • 4: 使矩形的顶点B恰好与点D重合。
Ｄ１Ｅ的长。 （３）求四边形ＡＢＣＥ的面积。
Ａ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｄ１
Ｃ
AB=AB1=CD=BE=6, B1D=EC=2,
A
B1
D
AE2=AB2+BE2 =62+62=72
AE= 72
B
E
C
问题2：边AB落在AC上，你能提出哪 些问题？你能求出哪些线段长？
A
提示：ΔABE折叠到哪？AB折 在何处？
Dபைடு நூலகம்B1
∠B折在何处？图中又产生哪
些直角三角形？
B
C
E
思考：在哪个直角三角形中，有已知边，且 未知边之间有数量关系，可利用勾股定理求 出未知边呢？
ｘ２＋４２=（８－ｘ）２
得ｘ=３．
∴ＤＢ=５
课后作业：
１，如图，在长方形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＢ= １２，ＢＣ=５，点Ｅ在ＡＢ上将ΔＡＤＥ沿 ＤＥ折叠，使点Ａ落在对角线ＢＤ上的点Ａ１ 处，则ＡＥ的长为多少？
专题：勾股定理折叠问题 PPT课件
∴Rt△EAD和Rt△EB′D ∴B′D=AD=6． 分析：当∠BFE=∠EFD，点B′在FD上时，根据三角形的 三边关系，此时B′D的值最小，易证△AED≌△B′ED， B′D=AD=6． 点评：本题主要考查了折叠的性质、全等三角形的判定与
性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时， B′D的值最小，是解决问题的关键．
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值 范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B′在何位置时， B′D的值最小，是解决问题的关键．
（Ⅱ）若折叠后点B落在边OA上的点为B′，设OB′=x， OC=y，试写出y关于x的函数解析式，并确定y的取值 范围；
如图（2），折叠后点B落在OA边上的点为B′连接B′C，B′D， 则△B′CD≌△BCD， 由题设OB′=x，OC=y， 则B′C=BC=OB-OC=4-y， 在Rt△B′OC中，由勾股定理， 得B′C2=OC2+OB′2，
3、某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动. 活动情境：
如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点 F处， FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P． 所得结论：
当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）： 甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm； 乙：△FDM的周长为16 cm； 丙：EG=BF. 你的任务：
5、动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
勾股定理在折叠问题中的应用ppt课件
（3）若AB＝8，BC＝4，则重叠部分的面积
为6
解．题策略2：重结果——“叠”．4
2、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8cm，把
矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，
AE交DC于点F，若 AF 25 cm ，则AD的
长为（ ）
4
A．4cm B．5cm
C．6cm D．7cm
E
D
C
F
A
B
5
1.Rt△ABC中,∠C=900,沿AD折叠, 使AC与AE重合,若AC=6,BC=8, 求△BDE的面积。
勾股定理在 折 叠 问 题中的应用
1
试一试
如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的 点F处，已知AB=8cm，AD=10cm，求EC的长。
A
10
D 心得：先标等量，再构造方程。
折叠问题中构造方程的方法：
8
10
E
8-x x
B
6 F 4 C 把条件集中到一个Rt△中，根
据勾股定理得方程。
2
1．如图，将一平行四边形纸片沿AE折叠， 再沿EF折叠，使点E,C`,B`在同一直线上，
则 AEF
解题策略1：重过程——“折”．
3
例１．如图，△ACE是将矩形纸片ABCD沿对角 线AC折叠后得到的，（1）图中（包括是线和虚 线在内）共有全等三角形（C ）
A．2对
B．３对
C．４对
D．５对
F
（2）若∠BAC＝α，则
∠ACE等于（ B ）
A．2α
B．90°－α
C．180°－2α D．180°－3α
对称性
重结果 叠
精 髓
利用方程思想
11
折叠问题
勾股定理在折叠问题应用课件
（3）请谈一谈我们解决这个问题的思路和方法。
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边
AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求
CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
8
解题步骤
1、标出已知量和未知量。 2、利用折叠的性质，找出相等的量。 3、设出未知数，将已知边和未知边（用含x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表 示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
长方形中的折叠
例2：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边 的点F处，AE为折痕。已知AB=CD=8cm， BC=AD=10cm，求EC的长。
A
10
D
心得：先标已知量和未知量，再
找出相等的量，设出未知数把条
8
B
10 6
10
E
8-x ？x
F 4C
件集中到一个Rt△中，根据勾股 定理得方程。
如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将
矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部
分△BFD的面积。
解：42+x2=(8- A
8
D
x)2 X=3 8-X=5
8-x
4
B S△BFD=5×4÷2=10
； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。
结束寄语
“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。” 同学们，愿你们在数学的王国里 遨游的更远、更广！祝你们学习 更上一层楼！
腰屯中学：信红霞
动手操作
思考: 折纸过程中你发现了什么？
探究一：折叠三角形问题
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，
如图，一块直角三角形的纸片，两直角边
AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD
折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求
CD的长．
A
6
6E x
4
x 8-x C
Ｄ D
第8题图
B
8
解题步骤
1、标出已知量和未知量。 2、利用折叠的性质，找出相等的量。 3、设出未知数，将已知边和未知边（用含x 的代数式表示）转化到同一直角三角形中表 示出来。 4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
长方形中的折叠
例2：如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边 的点F处，AE为折痕。已知AB=CD=8cm， BC=AD=10cm，求EC的长。
A
10
D
心得：先标已知量和未知量，再
找出相等的量，设出未知数把条
8
B
10 6
10
E
8-x ？x
F 4C
件集中到一个Rt△中，根据勾股 定理得方程。
如图，在矩形ABCD中，BC=8，CD=4，将
矩形沿BD折叠，点A落在A′处，求重叠部
分△BFD的面积。
解：42+x2=(8- A
8
D
x)2 X=3 8-X=5
8-x
4
B S△BFD=5×4÷2=10
； 3、设未知，利用勾股定理，列方程； 4、解方程，得解。
结束寄语
“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。” 同学们，愿你们在数学的王国里 遨游的更远、更广！祝你们学习 更上一层楼！
腰屯中学：信红霞
动手操作
思考: 折纸过程中你发现了什么？
探究一：折叠三角形问题
如图，小颖同学折叠一个直角三角形的纸片，
专题：勾股定理折叠问题 PPT课件
的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC 20cm宽，AB 16cm
的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落
在BC边上的F处，…… 请你根据①②步骤解答下列问题：
（1）找出图中∠FEC的余角；
A
D
（2）计算EC的长．
E
B
FC
３．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，现将A、
二、矩形的折叠
１．如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD， 再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1， 求AG。
D
C
• A´
AG
B
2.为了向建国六十周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的
庆祝活动，八年级（3）班开展了手工制作竞赛，每个同学都
在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品
5、动ห้องสมุดไป่ตู้操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3,AD=5.如图所示，折叠纸片，
使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的
端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E
在BC边上可移动的最大距离为
.
BE
C
P
A
QD
6、把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点恰好重合落 在AD边上的点P处（如图二），已知∠MPN=90°，PM=3， PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为_______。
C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，
①求DF的长；
②求重叠部分△AEF的面积；
③求折痕EF的长。
Ｄ´
④着色部分的面积为多少？ Ａ
ＦＤ
ＢＥ
Ｃ