第9章 静电场中的导体和电介质 (参考答案)

U O U q U q U Q q

q q Qq 4 0 r 4 0 a 4 0 b

q 1 1 1 ( ) 4 0 8. 真空中一点电荷q， 在它的附近放入一原不带电的 金属球，球心与点电荷相距为a.(1) 求此金属球的电势； (2)若使金属球接地，它上面的电荷是多少？
代入串联电容器等效电容公式
C
2 π 0 r1 r 2 l R R r 2 ln r1 ln 2 R1 R
结果与解法一同. 11 如图所示， 一平行板电容器两极板相距为 d ， 面积为 S ，其中放有一层厚为 t 的电介质，相对介电 常数为 r ， 介质两边都是空气.设两极板间电位差为
R
U
R1
2 π
0

R2 r1 r
dr
2π
R 0

r 2r
dr
R 1 R 1 ( ln ln 2 ) 2 π 0 r1 R1 r 2 R
由电容定义，此电容器电容为
C Q U
l R 1 R 1 ( ln ln 2 ) 2 π 0 r1 R1 r 2 R
E0
D 0
E
代入（1）式，有
D 0 r
U
D D D t (d t ) t (d t ) 0 0 r 0 r
介质中的电场强度 E ，电位移矢量 D 和极化强度 P 分别为
D U0 d t t r U 0 r r d (1 r )t
O
导体是等势体，选择金属球的球心计算其电势， 有
q d q U O U q ,o U O 4 π 0 a q 4 π 0 R
式中 d q 为球面上感应电荷元，它们到球心距离相同，而由电荷守恒 d q 0 .
q
故金属球电势，即球心电势为 U U O
U0 d/2 UC d/2 B Q A C
5 已知一平行板电容器，极板面积为 S，两板间隔为 d，其中充满空气。当两 极板上加电压 U 时， 忽略边缘效应， 两极板间的相互作用力 F＝_____________。
1
0 SU 2 2 答案： 2d
6. 一平行板电容器， 充电后切断电源， 然后使两极板间充满相对介电常量为
d
r
解题过程
（1）介质中的电场强度 E ，电位移矢量 D 和极化强度 P ：
设空气中的场强为 E0 ，根据 U , E 之间的关系，有 U E 0 x E t E 0 (d x t ) E0 (d t ) Et （ 1）
由高斯定理可知，在两板间 D 处处相等. E 与 D 之间的关系为
3
场能量各是多少？ 参考答案： E
Q 4πε 0 r 2 Q Q ba dr 2 a 4πε r 4 πε ab 0 0
b
U E dr
a
b
Q
4πε 0Uab ba
所以
E
Uab (b a ) r 2
要使内球表面附近的电场强度最小 （ r a ） ，必须满足
5
U ，略去边缘效应. 试求：
（1）介质中的电场强度 E ，电位移矢量 D 和极化强度 P ； （2）极板上的电量 Q ； （3）极板和介质间隙中的场强 E 0 ； （4）电容 C.
参考解答 解题分析 已知两极板间电位差为 U ，
x
t
根据 U , E 之间的关系可求得场强 E ，其余各 量可逐项求出

2 π 0 r1 r 2 l R R r 2 ln r1 ln 2 R1 R
此情况可看成两个柱形电容器的串联，由柱形电容器电容公式
解法二
C1
2 π 0 r1 l 2 π 0 r 2 l ， C2 R R ln ln 2 R1 R
1 1 1 ，得电容 C 为 C C1 C 2
dE 0 da
b 4U 此时 E 2 b 1 1 4 ab 2 We CU 2 U 2 bU 2 2 2 ba a
10. 一圆柱形电容器两个金属筒状电极的半径分别是 R1 和 R2，长度为 l；两 电极之间填充两层同轴圆筒状各向同性电介质，其分界面半径为 R；两介质的相 对电容率分别为 εr1，εr2，不计边缘效应，求此柱形电容器的电容.
r 的各向同性均匀电介质。 此时两极板间的电场强度是原来的______倍； 电场能
量是原来的_______倍。
1 答案： r ； 1 r
二、计算题
7. 如图所示，一内半径为 a、外半径为 b 的金属球壳，带有 电荷 Q，在球壳空腔内距离球心 r 处有一点电荷 q。设无限远处 为电势零点，试求：(1) 球壳内外表面上的电荷。(2) 球心 O 点 处，由球壳内表面上电荷产生的电势。(3) 球心 O 点处的总电势。
参考解答 解题分析 本题的解法有两个，一是设电极带电，求出电极之间的电势差， 由电容定义求解；二是由电容器的串联计算. 解题过程 解法一
设内电极单位长度带电量为 η，由于电极及电介质分布具有相同轴对称，不 计边缘效应，其电场亦应为轴对称，且方向沿径向. 如图所示，作位于介质内部 的同轴圆柱形闭合面为高斯面，由 D 的高斯定理，有 εr1 R1 εr r
Ⅰ Ⅱ 2 Ⅲ
2 如图所示，将一负电荷从无穷远处移到一个不带电的导 体 附 近 ， 则 导 体 内 的 电 场 强 度 _______ ， 导 体 的 电 势 ______________。(填增大、不变、减小) 答案：不变 ； 减小
3 平行板电容器充电后与电源断开，若用绝缘手柄将两板极间距慢慢拉开。 在拉大的过程中，电量、场强、电势差、电容和电场能量这几个物理量中增大的 是_______________。 答案：电势差、电场能量 4. 一平行板电容器，极板面积为 S，相距为 d. 若 B 板接地，且保持 A 板的电势 UA＝U0 不变。如 图， 把一块面积相同的带有电荷为 Q 的导体薄板 C 平行地插入两板中间，则导体薄板 C 的电势 UC＝ ______________。 答案： U 0 / 2 Qd / 4 0 S
（3）极板和介质间隙中的场强 E 0 ：
E0 D U Ur 0 d t t r d (1 r )t r
（4）电容 C :
C
Q S 0 r U r d (1 r )t
7
第 9 章 静电场中的导体和电介质 (参考答案)
一、填空题 1. 如图所示, 两块“无限大”的带电平行平板，其电荷面 密度分别为 ( > 0 )及 2.试写出各区域的电场强度. Ⅰ区 E 的大小 ，方向 . Ⅱ区 E 的大小 ，方向 . Ⅲ区 E 的大小 ，方向 . 答案： / (2 0 ) ，向左； 3 / (2 0 ) ，向左； / (2 0 ) ，向右
q . 4 π 0a
(2) 接地后金属球电势为零，由(1)中的解可知，有
U q ,O UO UO
q q 0 4 π 0 R 4 π 0a
因此金属球上的感应电总量为
q
R q a
感应电荷的符号与 q 相反，绝对值小于 q 值.
9 图示一球形电容器，在外球壳的半径 b 及内外导体间的电 势差 U 维持恒定的条件下，内球半径 a 为多大时才能使内球表面 附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大小和相应的电
Q r a qO b
参考解答：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电 荷 q+Q (2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离 O 点
U q
dq
4 0 a

的距离都是 a，所以由这些电荷在 O 点产生的电势为：
q 4 0 a
(3) 球心 O 点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷 q 在 O 点产生的电势的代数和
6
E
D U 0 r r d (1 r )t U 0 ( r 1) r d (1 r )t
P 0 ( r 1) E
（2）极板上的电量 Q ： 如图所示，作一柱形高斯面，由高斯定理可得
0 D
Q 0 S DS U0S d t t r U 0 r S r d (1 r )t
+Q
y
R O
－Q
x
参考解答 解题分析 在点电荷旁的金属球将感应带电， 由静电 平衡条件可知，欲使金属球内处处电场强度为零，感应电荷在金属球面上分布一 定不均匀. 利用静电平衡时，整个金属球是等势体的性质，可在金属球上选择一 合适的场点计算其电势以求解. 解题过程 (1)金属球的电势由点电荷和感应电荷共同决定，因为静电平衡下 dq' q a R
h R
D d S D 2 π rh ηh
S
求得
D 2πr
4
l
R R2
由 D 0 r E ，可得两层介质中的电场强度分别为
R1 r R ， E1 R r R2 ， E2
2 π 0 r 1 r 2 π 0 r 2 r
电容器两电极之间的电势差为