第4章 多样本的非参数检验
严格地讲，
1 H= 2 S
R j − n j ( N + 1) / 2 ∑ n 其中 S 2 = ( Rij − R ) 2 ∑ ∑1 N − 1 i =1 j = ni k 1 = Rij 2 − NR 2 ∑∑ N − 1 i =1 j =1
如果没有打结，则有 1 N ( N + 1)(2 N + 1) N ( N + 1) 2 S2 = − N −1 6 4 ＝ N(N +1) 12
(N − k )H F= (k − 1)( N − 1 − H )
检验步骤： 检验步骤：
(1)建立假设
H 0 : F1 ( x) = F2 ( x) = ... = Fk ( x) 对所有的x
H1 : Fj (x)中至少有两个不相等 ( j = 1,2,...,k)
如果偏重于考察位置参数，则所建立的假设是：
k
H 1 : M j中至少有两个不相等 ( j = 1,2,..., k )
注意：备择假设对于 时不存在单侧备择的配对， 注意：备择假设对于k>2时不存在单侧备择的配对， 时不存在单侧备择的配对 来说， 因为对于 Mj ( j =1,2,...,k) 来说，有k!=k*(k-1)*…*3*2*1 种不同的有序排列，不便于进行检验。 种不同的有序排列，不便于进行检验。
4.1.2 应用
例 为检验4种训练方式的有效性是否存在显著 为检验 种训练方式的有效性是否存在显著 差异，将报名的30名运动员随机地分为 名运动员随机地分为4组 差异，将报名的 名运动员随机地分为 组 运动员的条件基本相同）， ），分别接受不同 （运动员的条件基本相同），分别接受不同 的培训。训练一段时间后， 的培训。训练一段时间后，按规定的要求进 行测试，测试成绩如下表所示： 行测试，测试成绩如下表所示：
1 + 2 + ... + N N ( N + 1) N + 1 = = N 2N 2
个观察值的第j个样本来说 个样本来说， 对于含有 n j个观察值的第 个样本来说，等级总和 若以Rj表示第 表示第j个样本的实际等 的期望值是 nj (N +1)/ 2 ，若以 表示第 个样本的实际等 级总和， 就表示k个样本中第 个样本中第j个样本等 级总和，则 Rj − n j (N +1) / 2 就表示 个样本中第 个样本等 级总和与其均值的偏差。 级总和与其均值的偏差。 如果H 为真， 如果 0为真，所有样本数据混合排列成一个单一 的随机样本，等级即秩次应该在k个样本之间均匀地 的随机样本，等级即秩次应该在 个样本之间均匀地 分布，各组中Rj的平均值差别不大 的平均值差别不大， 分布，各组中Rj的平均值差别不大，即各样本实际的 等级总和即秩次和Rj与期望等级总和 等级总和即秩次和 与期望等级总和 n j (N +1) / 2 之间的 偏差应很小。 偏差应很小。
Kruskal-Wallis检验定义的统计量就是建立 检验定义的统计量就是建立 在实际等级总和Rj与期望等级总和 在实际等级总和 与期望等级总和 nj (N +1) / 2 的 偏差的基础之上的。它定义为H， 偏差的基础之上的。它定义为 ，计算公式 为：
SSA H= MST
SSA ：处理间离差平方和 MST ：总均方离差平方和
重 复
为检验零假设， 为检验零假设，我们需要构造一个检验统计 量。方法是将所有数据按从小到大的顺序合并成 一个单一的样本， 一个单一的样本，其大小 N = n1 + n2 +...+ nk 。将每 一个观察值给出一个等级即评秩，秩为整数， 一个观察值给出一个等级即评秩，秩为整数，从 1到N。对于 个观察值来说，平均等级是 个观察值来说， 到 。对于N个观察值来说
H的一般计算公式
R j − n j ( N + 1) / 2 12 H = ∑ N ( N + 1) j =1 nj
k
[
]
2
H的简易计算公式
12 2 H= − 3(N +1) ~ χα (k −1) ∑n N(N +1) j=1 j
k
R2 j
在小样本的情况下，已知（n1,n2,n3)和显著 性水平 α ，Kruskal-Wallis检验统计量Ｈ的 临界值可通过查表得到。 2 χα (k −1) 。 在大样本情况下，Ｈ服从 参照方差分析的Ｆ统计量服从Ｆ(k-1,N-k).
第四章 多样本非参数检验
在参数统计中，检验 个样本是否来自完全相 在参数统计中，检验n个样本是否来自完全相 同的总体，采用方差分析或F检验 检验。 同的总体，采用方差分析或 检验。 运用F检验的假定条件是 检验的假定条件是： 运用 检验的假定条件是： 1，样本是从服从正态分布的总体中独立抽 ， 选的； 选的； 2，总体具有相同的方差； ，总体具有相同的方差； 3，数据的测量层次至少是定距尺度。 ，数据的测量层次至少是定距尺度。 当被用来分析的数据不符合这些假定条件， 当被用来分析的数据不符合这些假定条件， 或研究者不希望做这些假设， 或研究者不希望做这些假设，以便增加结论 的普遍性时，不宜采用参数统计的方法， 的普遍性时，不宜采用参数统计的方法，而 必须用非参数方法。 必须用非参数方法。
训练方式A 训练方式 训练方式B 训练方式 训练方式C 训练方式 训练方式D 训练方式
60 75 62 76 73 98 86 72 52 68 82 74 64 87 61 85 78 66 70 59 69 79 63 58 65 71 84 77 80 89
试问4种训练方式的有效性是否存在显著差异（ 试问 种训练方式的有效性是否存在显著差异（a=0.05）? 种训练方式的有效性是否存在显著差异 ）
严格地讲， 其中
)/2 SSA 1 k Rj −nj (N+1 1 k = 2∑ = 2 ∑nj (Rj −R)]2 H= [ M S j=1 ST nj S j=1
2
1 k ni S = MST = ( Rij − R )2 ∑∑ N − 1 i =1 j =1
2
1 k ni 2 = Rij − NR 2 ∑∑ N − 1 i =1 j =1 如果没有打结，则有 1 N ( N + 1)(2 N + 1) N ( N + 1) 2 S 2 = MST = − N −1 6 4 N(N +1) ＝ 12
4.1 Kruskal-Wallis检验 检验
Kruskal-Wallis检验译为克拉夏尔 检验译为克拉夏尔检验译为克拉夏尔 瓦里斯检验，简称克氏检验。 瓦里斯检验，简称克氏检验。它是 1952年由 年由Kruskal和Wallis两人提 年由 和 两人提 出的，是两个独立样本Mann出的，是两个独立样本 Whitney-Wilcoxon检验的一种推广。 检验的一种推广。 检验的一种推广
解：（1）建立假设 ：（ ）
H0 : M1 = M 2 = M 3 = M 4
H 1 : M j中至少有两个不相等 j = 1,2,3,4) (
组间方差和组内方差
组间离差平方和
SSA = ∑m(xi − x)
i =1 r 2
组内离差平方和
SSE = ∑∑(xij − xi )2
i =1 j =1 r m
组间方差
组内方差
SSA M = SA r −1
受因素A和 受因素 和 随 机 因素的影响
SSE MSE = n−r
只受随机 因素的影响
多样本的非参数检验方法 Kruskal-Wallis检验（K个独立样本） 检验（ 个独立样本 个独立样本） 检验 2 检验（ 个独立样本 个独立样本） 多样本的 χ 检验（K个独立样本） Friedman检验（K个相关样本） 检验（ 个相关样本 个相关样本） 检验 Cochran Q检验（K个相关样本） 检验（ 个相关样本 个相关样本） 检验
（2）计算检验统计量 ）计算检验统计量H （3）作出决策。 ）作出决策。 2 数据支持H 不能拒绝H 当 H < xα时， 数据支持 0，不能拒绝 0； 2 当H ≥ xα 时， 数据不支持H0，拒绝H0。 数据不支持 拒绝 Refernces: Kruskal,W.H. and Wallis,W.A. (1952). Use of ranks in one-criterion variance analysis. J.Amer. Statist. Assoc.,47,583621.
如果k（ ） 如果 （>2）个样本是按某种或者某些条件 匹配的，那么k个样本称为相关的 个样本称为相关的， 匹配的，那么 个样本称为相关的，否则为独 立的。 个相关和独立样本的差别与两个相 立的。K个相关和独立样本的差别与两个相 关和独立样本之间的差别类似。 关和独立样本之间的差别类似。 多样本的问题是统计中最常见的一类问题。 多样本的问题是统计中最常见的一类问题。 主要涉及如何检验n种不同方法 种不同方法、 主要涉及如何检验 种不同方法、决策或试 验条件（称为处理） 验条件（称为处理）所产生的结果是否一样 等问题，可以使用Kruskal-Wallis秩和检验、 秩和检验、 等问题，可以使用 秩和检验 卡方检验、正态记分检验、 卡方检验、正态记分检验、JonkheereTerpstra检验、Cochran Q检验、Friedman 检验、 检验、 检验 检验 检验等非参数检验方法。 检验等非参数检验方法。本章仅介绍其中的 最常用、重要的检验方法。 最常用、重要的检验方法。
(1)建立假设 建立假设
H 0 : F1 ( x) = F2 ( x) = ... = Fk ( x) 对所有的x
H1 : Fj (x)中至少有两个不相等 ( j = 1,2,...,k)
如果偏重于考察位置参数，则所建立的假设是： 如果偏重于考察位置参数，则所建立的假设是：
spss非参数检验K多个独立样本检验KruskalWallis检验案例解析
spss-非参数检验-K多个独立样本检验
(Kruskal-Wallis检验)案例解析Kruskal-Wallis检验，也称为KW检验，是一种非参数检验方法，用于比较两个或多个独立样本的中位数是否相等。
它利用秩（等级）来进行统计分析，而不是直接使用原始数据。
假设有一个关于人们在不同饮料中的品尝体验的数据集。
数据集中包含了人们在红酒、白酒和啤酒中品尝的感受，包括甜度、酸度、苦度等。
现在想要比较这三种饮料在甜度方面的中位数是否有显著差异。
首先，对每种饮料的甜度进行排序，得到每个人的秩。
然后，将每个人的秩平均分到他们所对应的饮料中，得到每个饮料的平均秩。
接着，对这些平均秩进行比较。
如果红酒、白酒和啤酒的平均秩存在显著差异，则说明这三种饮料在甜度方面的中位数存在显著差异。
如果平均秩没有显著差异，则说明这三种饮料在甜度方面的中位数没有显著差异。
下面是一个具体的案例数据：
根据上述数据，我们可以计算出每种饮料的平均秩：
红酒： (2+1)/2 = 1.5
白酒： (4+3)/2 = 3.5
啤酒： (6+5)/2 = 5.5
然后对这些平均秩进行比较。
由于红酒的平均秩最小，白酒的平均秩次之，啤酒的平均秩最大，因此可以得出结论：这三种饮料在甜度方面的中位数存在显著差异，其中啤酒的甜度最高，白酒次之，红酒最低。
需要注意的是，KW检验的前提假设是各个样本是独立同分布的，且样本容量足够大。
如果样本不满足这些条件，可能会导致检验结果出现偏差。
此外，KW检验只能告诉我们是否存在显著差异，但不能告诉我们差异的具体原因。
如果想要了解更多信息，需要进行后续的统计分析。
多样本比较方差分析与非参数方法的公式整理
多样本比较方差分析与非参数方法的公式整理方差分析是一种常用的统计方法，用于比较多个样本之间的平均值差异。
在实际应用中，我们常常需要比较多个样本的方差，以确定它们之间是否存在显著的差异。
本文将介绍多样本比较方差分析的公式整理，并对非参数方法进行概述。
一、多样本比较方差分析多样本比较方差分析是一种常用的统计方法，用于比较多个样本的方差是否存在显著差异。
通常情况下，我们希望通过方差分析来确定样本所属的总体是否有明显的差异。
方差分析的基本假设是各组样本都来自于具有相同方差的总体，也就是说，样本之间的差异只是由于随机误差引起的。
我们可以使用方差分析来检验各组均值之间是否存在显著差异，进而判断它们所属的总体是否有明显不同。
多样本比较方差分析的公式如下所示：H0：各组均值之间没有显著差异H1：各组均值之间存在显著差异计算公式为：F = (SSB / (m-1)) / (SSE / (n-m))其中，SSB表示因组别引起的平方和，m表示组别的个数；SSE表示由于误差引起的平方和，n表示总样本数。
二、非参数方法除了上述介绍的多样本比较方差分析，还存在一种非参数方法，用于比较多个样本的位置参数差异。
与方差分析不同，非参数方法对于数据的分布不作要求，更加灵活。
下面列举一些常用的非参数方法：1. Mann-Whitney U检验Mann-Whitney U检验是一种用于比较两个独立样本的非参数方法。
它的基本思想是将两个样本的所有观测值进行合并，然后对合并后的观测值进行排序，并计算两个样本的秩和。
通过比较秩和的大小，可以得出两个样本的位置差异是否显著。
2. Kruskal-Wallis H检验Kruskal-Wallis H检验是一种用于比较多个独立样本的非参数方法。
它的基本思想是将所有样本的观测值进行合并，然后对合并后的观测值进行排序，并计算各组的秩和。
通过比较秩和的大小，可以得出各组样本的位置差异是否显著。
3. Friedman检验Friedman检验是一种用于比较多个相关样本的非参数方法。
多个样本的非参数检验的两两比较
多个样本的非参数检验的两两比拟[SAS]2022-02-23 17:26:31由于各个样本的总体呈偏态分布或方差不齐,无法使用方差分析中的两两比拟，检验其总体分布是否一样，常用的非参数秩和检验方法是Kruskal-Wallis 法,在SAS 软件中实现的过程步有以下三种方法: NPAR1 WAY 过程、FREQ过程以及RAN K 和ANOVA 两过程的结合，而样本间两两比拟那么可以通过RAN K 和ANOVA 两过程的结合,采用MEANS 语句来实现，即先对原始数据进展排序，求相应的秩次，然后对秩进展参数的多重比拟。
调用FREQ 过程产生的第二个CMH统计量〞row mean scores differ〞(Kruskal-Wallis结果)、NPAR1 WAY 过程产生的卡方统计量以及ANOVA 过程产生的R-Square 与υ总(总自由度)之积,即为Kruskal-Wallis 检验结果。
本文种ANOVA 过程步中的MEANS 规定采用LSD 法进展两两比拟，也可使用其他方法。
data sample ;do group = 1 to 3 ;input x @@;output ;end ;cards ;9.8 0.6 0.4 10.2 1.2 1.9 10.6 2.0 2.2 13.02.4 2.5 14.03.1 2.8 14.8 4.1 3.1 15.6 5.03.7 15.6 5.9 3.9 21.6 7.44.6 24.0 13.6 7.0;proc freq ;tables group*x/ scores = rank cmh2 noprint;run;proc npar1way wilcoxon;class group;var x;run;proc rank data =sample out = a ;var x;ranks r;proc anova;class group ;model r = group ;means group/ lsd snk ;run;quit;成组设计的等级资料或频数表资料多个样本及其两两比拟这种类型的资料为成组设计的等级资料或频数表资料,但频数表资料时各个样本的总体呈偏态分布或方差不齐,检验其总体分布是否一样，常用的非参数秩和检验方法也是Kruskal-Wallis 法,在SAS 软件中实现的过程步同上,程序略有差异。
SPSS操作：多个相关样本的非参数检验（CochransQ检验）
SPSS操作：多个相关样本的⾮参数检验（CochransQ检验）点击Settings→Customize tests，勾选Cochran's Q (k samples)。
点击Define Success，在Cochran's Q: Define Success对话框中，点击Combine values into success category，在Success框中填⼊1（这⾥是“成功”对应的编码，本例中即为通过体能测试，“Passed”对应的是1，所以这⾥填“1”）。
点击OK→Run，输出结果。
3.4 不符合假设4的“精确”Cochran's Q检验当不符合假设4时，需要使⽤“精确”Cochran's Q检验。
在主界⾯点击Analyze→Nonparametric Tests→Legacy Dialogs→K Related Samples，出现Tests for Several Related Samples对话框。
将变量initial_fitness_test、month3_fitness_test和final_fitness_test选⼊Test Variables框中。
在Test Type 下⽅去掉Friedman，然后勾选Cochran's Q。
（如果数据符合假设4，则此时点击OK，结果与3.3部分的操作结果⼀致）点击Exact，在Exact Tests对话框中，点击Exact，点击Continue→OK。
3.5 “精确”Cochran's Q检验后的两两⽐较对于符合假设4的Cochran's Q检验（3.3部分），事后的两两⽐较将在结果解释部分展⽰（4.2部分）。
对于不符合假设4的“精确”Cochran's Q检验（3.4部分）事后的两两⽐较，可采⽤经Bonferroni法校正的多重McNemar检验。
在主界⾯点击Analyze→Nonparametric Tests→Legacy Dialogs→2 Related Samples。
多样本尺度参数的非参数检验
多样本尺度参数的非参数检验在统计学中，尺度参数是描述数据分布形状和范围的统计量。
常见的尺度参数包括标准差、方差和范围等。
非参数检验是一种统计推断方法，它不依赖于数据的分布形式，而是依赖于数据的排序和顺序。
多样本尺度参数的非参数检验是指在多个样本之间进行尺度参数的比较和检验，而不需要对数据的分布形式进行假设。
多样本尺度参数的非参数检验可以用于比较多个数据集的变异程度，检验它们之间是否存在显著差异。
在医学研究中，可以用多样本尺度参数的非参数检验来比较不同治疗组之间的疗效差异；在生态学研究中，可以用多样本尺度参数的非参数检验来比较不同生境条件下的物种多样性差异等。
在进行多样本尺度参数的非参数检验时，需要先对数据进行排序，然后采用适当的统计方法进行检验。
常见的多样本尺度参数的非参数检验方法包括Kruskal-Wallis检验、Friedman检验和Page趋势检验等。
下面将分别介绍这些方法的原理和应用。
Kruskal-Wallis检验是一种用于比较三个以上独立样本的尺度参数的非参数检验方法。
它是基于秩和统计量的一种拓展，用于检验多个样本之间是否存在显著差异。
Kruskal-Wallis检验的原假设是所有样本的总体分布相同，备择假设是至少有一对样本的总体分布不同。
在进行Kruskal-Wallis检验时，首先需要计算每个样本的秩和，然后用秩和统计量进行检验。
Page趋势检验是一种用于比较三个以上有序样本的尺度参数的非参数检验方法。
它是用于检验有序样本之间是否存在趋势的方法，例如时间序列数据或者剂量-响应数据。
Page趋势检验的原假设是有序样本之间不存在趋势，备择假设是有序样本之间存在趋势。
在进行Page趋势检验时，需要首先对有序样本进行秩次转换，然后再计算秩和统计量进行检验。
除了上述介绍的三种常见的多样本尺度参数的非参数检验方法，还有一些其他方法也可以用于比较多个样本之间的尺度参数差异，例如Mood检验、median检验等。
非参数检验
非参数检验非参数检验是一种统计方法，用于比较两组或多组数据的差异或关联性，它并不依赖于数据的分布假设。
相比于参数检验，非参数检验通常更为灵活，可应用于各种数据类型和样本量，尤其在数据不满足正态分布的情况下表现优势。
本文旨在介绍非参数检验的基本原理、应用领域以及常见方法。
首先，非参数检验的基本原理是依赖于样本中的秩次，即将原始数据转化为秩次数据进行统计分析。
秩次是数据在全体中的相对位置，将数据转化为秩次可以消除异常值对统计结果的影响，并使数据的分布不再成为限制因素。
非参数检验的应用领域广泛，包括但不限于以下几个方面。
一、假设检验非参数检验可用于假设检验，比如检验两组样本的中位数是否存在差异。
常见的方法有Wilcoxon符号秩检验、Mann-Whitney U检验等。
在实际应用中，如果数据的分布无法满足正态分布假设，非参数检验则是一种理想的选择。
二、相关性分析非参数检验可用于判断两个变量之间的关联性。
常见的方法有Spearman秩相关系数检验、Kendall秩相关系数检验等。
这些方法的核心思想是将原始数据转化为秩次数据，通过秩次数据之间的比较来判断两个变量之间是否存在显著相关。
三、分组比较非参数检验可用于比较多个样本之间的差异。
常见的方法有Kruskal-Wallis检验、Friedman检验等。
这些方法可用于比较三个以上的样本组之间的差异，而不依赖于数据的分布假设。
在实际应用中，非参数检验需要注意以下几个问题。
一、样本容量非参数检验对样本容量的要求相对较低，适用于小样本和大样本。
然而，在样本容量较小的情况下，非参数检验可能会产生较大的误差，因此应根据实际情况选择合适的方法。
二、数据类型非参数检验可应用于各种数据类型，包括连续型数据和离散型数据。
但对于有序分类数据、定序数据和名义数据，非参数检验相较于参数检验有更好的适用性。
三、分布假设非参数检验不需要对数据的分布做出假设，这使得它更加灵活。
但是，如果数据满足正态分布假设，参数检验也是一种较为有效的选择。
非参数检验
非参数检验的优点：
①适用范围广，不论样本来自的 总体分布形式如何，都可适用；
②某些非参数检验方法计算简便， 研究者在急需获得初步统计结果时可 采用；
的总体分布不同。 α=0.05
2．混合编秩
依据两组数值由小到大编秩，结果 见上表。
3．求秩和并确定检验统计量T
把两组秩次分别相加求出两组的秩 和值，R1=315.5，R2=149.5。因乳 酸钙组样本含量较小，故 T=R2=149.5。
4．确定P值和作出推断结论 以较小样本含量为n1，n1=14, n2n1=2，查附表6，两样本比较秩和检验 用T界值表（双侧）。
当n1>20或（n2-n1）>10时，附表6 中查不到P值，则可采用正态近似法求u 值来确定P值，其公式如下：
u T n1(N 1) / 2 0.5 n1n2(N 1) 12
上式中T为检验统计量值，n1、n2 分别为两样本含量，N=n1+n2，0.5这 连续性校正数。上式为无相同秩次时使 用或作为相同秩次较少时的近似值。当 两样本相同秩次较多（超过总样本数的 25%）时，应按下式进行校正，u经校 正后可略增大，P值则相应减小。
式中，Ri为各组的秩和，ni为各组 样本含量，N为总样本含量。
当各组相同秩次较多时，可对H值进 行校正，按下式求值。
Hc H c
C 1
(t
3 j
t
j
)
(N3 N)
4．确定P值和作出推断结论
当组数K=3，每组样本含量ni≤5时， 可查附表7（H界值表）得到P值。若 k>3或ni>5时，H值的分布近似于自 由度为k-1的χ2分布，此时可查附表 4χ2界值表得到P值。最后按P值作出 推断结论。
spss-非参数检验-K多个独立样本检验(-K
spss-非参数检验-K多个独立样本检验（ Kruskal-Wallis检验）案例解析最近经常失眠，好痛苦啊！大家有什么好的解决失眠的方法吗？希望知道的能够告诉我，谢谢啦，今天和大家一起探讨和分下一下SPSS-非参数检验--K个独立样本检验（ Kruskal-Wallis检验）。
还是以SPSS教程为例：假设：HO: 不同地区的儿童，身高分布是相同的H1：不同地区的儿童，身高分布是不同的不同地区儿童身高样本数据如下所示：提示：此样本数为4个（北京，上海，成都，广州）每个样本的样本量（观察数）都为5个即：K=4>3 n=5, 此时如果样本逐渐增大，呈现出自由度为K-1的平方的分布，（即指：卡方检验）点击“分析”——非参数检验——旧对话框——K个独立样本检验，进入如下界面：将“周岁儿童身高”变量拖入右侧“检验变量列表”内，将“城市（CS)变量” 拖入“分组变量”内，点击“定义范围” 输入“最小值”和“最大值”（这里的变量类型必须为“数字型”）如果不是数字型，必须要先定义或者重新编码。
在“检验类型”下面选择“秩和检验”（ Kruskal-Wallis检验）点击确定运行结果如下所示：对结果进行分析如下：1：从“检验统计量a,b”表中可以看出：秩和统计量为：13.900自由度为：3=k-1=4-1下面来看看“秩和统计量”的计算过程，如下所示：假设“秩和统计量”为 kw 那么:其中：n+1/2 为全体样本的“秩平均” Ri./ni 为第i个样本的秩平均 Ri.代表第i个样本的秩和， ni代表第i个样本的观察数）最后得到的公式为：北京地区的“秩和”为：秩平均*观察数（N) = 14.4*5=72上海地区的“秩和”为：8.2*5=41成都地区的“秩和”为：15.8*5=79广州地区的“秩和”为：3.6*5=18接近13.90 （由于中间的计算，我采用四舍五入，丢弃了部分数值，所以，会有部分误差）2：“检验统计量a,b”表中可以看出：“渐进显著性为0.003，由于0.003<0.01 所以得出结论：H1：不同地区的儿童，身高分布是不同的秩和检验前面介绍的均数的区间估计及假设检验，都是要求个体变量值服从正态分布，或根据中心极限定理，当样本较大时，样本均数服从正态分布。
卡方检验与非参数检验
4.1 适合度检验
例 4.3 某批苹果进行保存实验，共60箱， 每箱10个，实验结束后检查每箱苹果的变 质情况，结果如下表，试检验苹果的变质 数是否服从二项分布？
4.1 适合度检验
设每个苹果变质的平均概率为p，变质数x 服从二项分布，即x~B(10,p)。p根据实际观 测值的平均数 p 估计：
4.1 适合度检验
③ DPS （1）输入数据与选择数据，点击菜单分类 数据统计→模型拟合优度检验：
4.1 适合度检验
③ DPS 立刻得到结果：
结果中卡方值为0.4700（即Pearson卡方值，对 应的p值为0.9254，大于0.05，说明实际观测值 与孟德尔理论分离比9:3:3:1无显著差异。
4.1 适合度检验
① Minitab 输入数据，点击菜单统计→表格→卡方 拟合优度检验（单变量）：
4.1 适合度检验
① Minitab 弹出对话框，将实际选择到观测计数后面， 颜色选择到类别名称（可选）后面。检验 下面选择按历史计数制定的比率，下拉条 选择输入列，将理论选择到按历史计数制 定的比率后面：
第四章 卡方检验与非参数检验
卡方（χ2）检验主要有三种类型：
第一是适合性检验，比较观测值与理论值 是否符合； 第二是独立性检验，比较两个或两个以上 的因子相互之间是独立还是相互有影响。
4.1 适合度检验
例4.1 有一鲤鱼遗传试验，以红色和青灰色 杂交，其F2代获得不同分离尾数，问观测 值是否符合孟德尔3:1遗传定律？
例 某实验室分别用乳胶凝集法和免疫荧光法对 58名可疑系统红斑狼疮患者血清中抗核抗体进行 测定，结果见表。问两种方法的检测结果有无差 别？
4.2.1.2 配对四格表资料的χ2检验
非参数检验
➢ 编秩：数据相等则取平均秩,
➢ 求秩和
➢ 计算检验统计量H值
H 12 N(N 1)
Ri2 3( N 1) ni
出生体重（kg）xij ABCD
相应秩次 Rij A BCD
2.7 2.9 3.3 3.5
3
4
7 11
2.4 3.2 3.6 3.6
2 5.5 12.5 12.5
2.2 3.2 3.4 3.7
χ 2 12
R
2 i
3(N1)
N(N1) ni
χ2
12 14(14 1)
152
4
152 3
37.52 4
37.52 3
3(14
1)
χ 2 9.375
χ
2 c
1
χ2
(t
3 j
t
j
)
n3 n
1
(23
9.375 2) (33 3) (23
143 14
2)
9.50
四、随机区组设计资料的秩和检验 （Friedman test）
正态近似法
如果n1或n2-n1超出附表的范围，可按下式 计算u值：
u | T n1(N 1) / 2 | 0.5 n1n2 (N 1) / 12
在相同秩次较多时，应用下式进行校正：
uC u / C
C 1
(t
3 j
t
j
)
/(N
3
N)
tj为第j组相同秩次的个数
频数表资料（或等级资料）两样本资料比较
xi (2) 86 71 77 68 91 72 77 91 70 71 88 87
12 对双胞胎兄弟心理测试结果
后出生者得分 差 值