东北师大附属中学高三一轮导学案：椭圆及其标准方程B
吉林省东北师范大学附属中学高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程教案 新人教A版选修21
吉林省东北师范大学附属中学2014-2015学年高中数学 2.2.1椭圆及其标准方程教案 新人教A 版选修2-1◆◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=．（ii ）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理． 设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义． 类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．（iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上， 则22222591104464a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩． 例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？分析：点P 在圆224x y +=上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点M 是点P 的伴随点，因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点M 的轨迹方程． 引申：设定点()6,2A ，P 是椭圆221259x y +=上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22111259x y +=，∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=；④伴随轨迹表示的范围． 例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程． 分析：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．解法剖析：设点(),M x y ，则()55AM y k x x =≠-+，()55BM y k x x =≠-； 代入点M 的集合有4559y y x x ⨯=-+-，化简即可得点M 的轨迹方程．引申：如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ⨯=，且0k <，试求动点C 的轨迹方程．引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k 值在变化时，线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．◆ 情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．。
东北师大附属中学高三第一轮复习教案参数方程
一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。
y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。
圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。
y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数 的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处， 离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。
北师大选修学案高中数学椭圆及其标准方程
3.1.1椭圆及其标准方程
学习目标
1.使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程．
2.通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法解决几何问题的能力。
3.通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力．
学习重点
重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
学习难点：
椭圆的标准方程的推导，椭圆的定义中常数加以限制的原因．
1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？
问题2：圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的探索？
取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点(如图2-13)，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动一周，观察画出的图形．
一．椭圆的定义：
思考：这里的常数有什么限制吗？
二．椭圆标准方程的推导
1．标准方程的推导
(1)建立坐标系，(2)设点 (3)列式（4）化简椭圆的标准方程：
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）两个焦点的坐标分别是（—3，0）（3，0），椭圆上一点P与两交点的距离的和等于8.
（2）两个焦点的坐标分别是（0，—4）（4，0），并且椭圆经过点（3，—5）。
3.求下列方程表示的椭圆的焦点坐标
（1）
1
24
36
2
2
=
+
y
x
；（2）24
3
82
2=
+y
x
4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
5. 平面内两定点的距离是8，写出到这两定点的距离的和是10的点的轨迹的方程．。
12东北师大附属中学高三第一轮复习导学案函数与方程教
函数与方程A一、知识梳理：（阅读教材必修1第85页—第94页）1、方程的根与函数的零点(1)零点:对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以方程f(x)=0有实根⟺函数y=f(x)的图象与x轴有交点⟺函数y=f(x)有零点。
（2）、函数的零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（3）、零点存在唯一性定理：如果单调函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)∙f(b)<0那么，y=f(x)在区间（a，b）内有零点，即存在唯一c∈（a，b），使得f(c)=0，这个C 也就是方程f(x)=0的实数根。
（4）、零点的存在定理说明：①求在闭间内连续，满足条件时，在开区间内函数有零点；②条件的函数在区间（a，b）内的零点至少一个；③间[a，b]上连续函数，不满足f(a)∙f(b)<0，这个函数在（a，b）内也有可能有零点，因些在区间[a，b]上连续函数，f(a)∙f(b)<0是函数在（a，b）内有零点的充分不必要条件。
2、用二分法求方程的近似解（1）、二分法定义：对于区间[a，b]连续不断且f(a)∙f(b)<0的函数y=f(x)通过不断把区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法。
（2）、给定精确度（ε）用二分法求函数f(x)的零点近似值步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)∙f(b)<0，给定精确度（ε）；②求区间（a，b）的中点c；③计算f(c)（I）若f(c)=0，则c就是函数的零点；（II）若f(a)∙f(c)<0，则令b=c，（此时零点x0∈（a，c））；（III）若f(b)∙f(c)<0，则令a=c，（此时零点x0∈（c，b））；④判断是否达到精确度ε，若|a-b|<ε，则得到零点的近似值a（或b），否则重复②--④步骤。
47东北师大附属中学高三第一轮复习导学案-圆的方程B
圆的方程(学案)B一、知识梳理 1.圆的方程（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得（x +2D ）2+（y +2E ）2=4422F E D -+.当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－2D ，－2E），半径r =21FE D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0） a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ），当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程（4-4选讲内容） ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF=0， 仅当（A D ）2+（A E ）2－4·AF＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. （θ为参数）. ① （θ为参数）. ②故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. 二、题型探究[题型探究一]圆的标准方程1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是A.－1<t <71 B.－1<t <21 C.－71<t <1 D .1<t <2 2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是A.｜a ｜＜1B.a ＜131C.｜a ｜＜51 D .｜a ｜＜131 3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点B.当a =r 时，圆与y 轴相切C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b <r 时，圆与x 轴相交4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2=1，则a 的坐标为____________.5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________. [题型探究二]圆的方程的应用：【例1】 （2003年春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程.【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.三、方法提升：1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.2.求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程.3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题. 四、反思感悟1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－2D ，－2E），当D 2+E 2－4F <0时，无轨迹.4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 五、课时作业：1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则A.D +E =0B. B.D +F =0C.E +F =0D. D +E +F =02.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有A.1条B.2条C.3条 D .4条3.（2005年黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________.4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________.5.（2005年启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足OP ·=0.（1）求m 的值；（2）求直线PQ 的方程.6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.培养能力7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求（1）xy的最大值和最小值； （2）y －x 的最小值；（3）x 2+y 2的最大值和最小值.8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2（2，4）与圆的位置关系.（理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程.探究创新9.（2013年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程.拓展题例10、 圆x 2+y 2=1内有一定点A （21，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.11、如图，过原点的动直线交圆x2+（y－1）2=1于点Q，在直线OQ上取点P，使P 到直线y=2的距离等于|PQ|，求动直线绕原点转一周时P点的轨迹方程.。
东北师大附属中学高三一轮导学案：不等式选讲(3)【B】
不等式选讲（2）（学案）B一、 基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x例2、解关于x 的不等式 )20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++例4、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥(3)不等式的证明方法：分析法、综合法 例1、b a ,都是正数。
求证：.2≥+abb a例2、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.bam b m a >++（4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅x xxf k f 对任意x ∈R 恒成立，2．已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。
高中数学新北师大版精品教案《椭圆及其标准方程》
椭圆及其标准方程一、教学目标：1．知识与技能目标：（1）掌握椭圆定义和标准方程（2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题2．过程与方法目标：（1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力（2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法3．情感态度与价值观目标：（1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣（2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识二、教学重点、难点：1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。
2．难点：椭圆标准方程的推导。
三、教材与教法分析（一）、教材、学习者特征分析：本节课是圆锥曲线的第一课时。
它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。
因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。
（二）、教学方法和教学策略分析：探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。
以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。
充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。
让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题。
四、教具：多媒体直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板第一课时五、教学过程新课引入2021年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。
这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。
“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。
高三北师大版数学(理)一轮导学案 9.5 椭圆
学案51椭圆导学目标: 1。
了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2。
掌握椭圆的定义，几何图形、标准方程及其简单几何性质．自主梳理1．椭圆的概念在平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2｜)的点的轨迹叫做________．这两定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{M||MF1｜＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a〉0，c>0，且a,c为常数：（1)若________，则集合P为椭圆；(2）若________，则集合P为线段;（3）若________,则集合P为空集．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋错误!＝1(a〉b〉0）错误!＋错误!＝1(a〉b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1（－a，0),A2（a,0)B1（0，－b)，B2(0,b)A1（0，－a)，A2（0,a）B1（－b,0)，B2(b, 0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距｜F1F2｜＝2c离心率e＝错误!∈(0,1)a，b，cc2＝a2－b2的关系自我检测1．已知△ABC的顶点B、C在椭圆错误!＋y2＝1上,顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）A．2错误!B．6 C．4错误!D．122．(2011·揭阳调研）“m>n〉0”是方程“mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y轴上,则α的取值范围是（)A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!4．椭圆错误!＋错误!＝1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上,那么｜PF1｜是|PF2｜的（）A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍5．（2011·开封模拟）椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，那么k等于（)A．－1 B．1 C。
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东北师大附属中学高三一轮导学案：椭圆及其标准方程B
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椭圆及其标准方程(学案)B 一、 知识梳理：
1. 椭圆的定义
定义的理解:当2a=2c 时, ; 当2a<2c 时,
2.椭圆的标准方程:焦点在x 轴上的标准方程: + =1(a>b>0)．焦点在y 轴上的标
准方程: + =1(a>b>0)
两种方程可用统一形式表示:A + B =1 (A>0,B>0且A B) ,当A<B 时,焦点在 轴
上,当A>B 时,焦点在 轴上; 对椭圆的两种标准方程，都有()0>>b a ，焦点都
在长轴上，且a 、b 、c 始终满足2
22b a c -=
3.椭圆焦点所在的轴的判定方法:在标准方程中,只要看分母大小,如果大于的分
母,则椭圆的焦点在x 轴上,反之,焦点在y 上.
4.椭圆的几何性质
对于椭圆 + =1(a>b>0) (1) 范围:由标准方程+ =1(a>b>0)可知,|x| a , |y|b,说明椭圆位于直线
x=y=所围成的矩形内;
(2) 对称性: 椭圆+ =1(a>b>0) 关于直线x 轴,y 轴,及原点对称;
(3) 顶点:, 是椭圆与x 轴的两个交点,
,是椭圆与y 轴的两个交点.线段、分别叫椭圆的长轴与短轴，它们的长分别是
2a ，2b ；a ，b 分别叫椭圆的半长轴长与半短轴长。
(4)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比值e=叫椭圆的离心率，范围：（0，1），越
接近于0越圆，越拉近于1越扁，常用=1-；椭圆上点到焦点和直线x=的距离之比等于离心率，由此可以求出椭圆上的点到相应的焦点的距离（焦半径）|p|=a+e |p|=a-e
(5)椭圆的参数方程：椭圆+ =1(a>b>0)的参数方程为：（）为
参数
(6)二次曲线的弦长公式：
整理得到x的方程：
整理得到y的方程：
二、题型探究
探究一：椭圆的标准方程（求椭圆方程常用方法：待定系数法）
例1:求适合下列条件的椭圆的标准方程
（1）、两个焦点坐标分别为（-4，0）、（4，0），椭圆上的点P到两个焦点的距离之和为10；
（2）、椭圆经过两点A（-1.5,-2.5），B()
（3）、椭圆+ =1 的离心率为 .
探究二：椭圆的几何性质
例2：已知,为椭圆+ =1(a>b>0)的左、右焦点，过作椭圆的弦AB，若
的周长为16，|A |、||、| A|成等差数列，求椭圆的方程。
探究三：直线与椭圆
例3：已知,分别为椭圆+ =1(a>b>0)的左、右焦点，过斜率为1的直线a
与椭圆交于A，B 两点，且|A|、||、| B|成等差数列，
（1）、求椭圆的离心率；
（2）、设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求椭圆的方程。
三、方法提升
（1）、熟练掌握椭圆的标准方程，特别是a，b，c，e四个数值的换算关系；（2）、掌握椭圆的定义、几何性质，通过运算得到的椭圆特殊结论要留下深刻印象；（3）、为简化运算，处理交点问题时，常采用“设而不求”的办法，一般是设出交点后，再用韦达定理处理，这种方法在处理直线与圆锥曲线的位置关系中极为重要。
四、反思感悟
五、课时作业
一、选择题
1、与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是（）
(A)
2、椭圆的两个焦点和短轴两个顶点，是一个含60°角的菱形的四个顶点，则椭圆的离心率为（ ） (A)21 (B)23 (C)33 (D)2
1或23 3、椭圆13
62
2=+y x 中,F 1、F 2为左、右焦点,A 为短轴一端点,弦AB 过左焦点F 1,则∆ABF 2的面积为（ ）
（A ）3 （B ）2
33 （C ）34 （D ）4 4、方程m
y x ++16m -252
2=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）(A)-16<m<25 (B)-16<m<
29 (C)29<m<25 (D)m>2
9
5、已知椭圆x y m
22
51+=的离心率e=105，则m 的值为（ ） (A)3 (B)3或253 (C)15 (D)15或53
15 6、椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的 （ ）
(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)
32倍 7、椭圆ax 2＋by 2＋ab=0(a<b<0)的焦点坐标为（ ）
(A)(0，±a b -) (B)(±a b -，0)
(C)(0，±b a -) (D)(±b a -，0)
8、椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 （ ）
(A)2)D (25
)C (22
)B (23
9、从椭圆短轴的一个端点看两焦点的视角是1200,则这个椭圆的离心率e= （ ）
A)23 (B)21 (C)33 (D)31 10、曲线19y 25x 22=+与曲线1m
9y m 25x 2
2=-+-(m<9)一定有（ ） (A)相等的长轴长 (B)相等的焦距 (C)相等的离心率 (D)相同的准线
二、填空题
11.(1)中心在原点，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为0.6的椭圆的方程为____ ____；
(2)对称轴是坐标轴,离心率等于32
，且过点(2，0)的椭圆的方程是____ ___ 12.(1)短轴长为6，且过点(1，4)的椭圆标准方程是 ____ _____ ；
(2)顶点(-6，0)，(6，0)过点(3，3)的椭圆方程是_______ ___
13.已知椭圆x a y a
22
22+=1的焦距为4，则这个椭圆的焦点在_____轴上，坐标是____ 14.已知椭圆x m y 2241+=的离率为12
，则m=
三、解答题
15、求椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的内接矩形面积的最大值.
16．已知圆2
2y x +＝１，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段ＰＰ′，求线段Ｐ
Ｐ′的中点M 的轨迹.
17．△ABC 的两个顶点坐标分别是B(0，6)和C(0，-6)，另两边AB 、AC 的斜率的乘积是-
94，求顶点A 的轨迹方程.
18．已知椭圆的焦点是)0,1(),0,1(21F F ,Ｐ为椭圆上一点，且||21F F 是||1PF 和||2PF 的等差中项.
(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠21F PF ＝120°，求21tan PF F .。