等差数列及其通项公式-PPT课件
2．等差数列的通项公式 公式 an＝a1＋(n－1)d 也可以用以下方法(叠加法)导出：
a2－a1＝d
a3－a2＝d a4－a3＝d
…
(n－1 个)
an－an－1＝d
• 将以上n－1个等式两边分别相加，可得an－ a1＝(n－1)d，移项得通项公式an＝a1＋(n－ 1)d.“叠加法”是推导给出形如an＋1－an＝ f(n)(n∈N*)递推公式的数列的通项公式的一 种重要方法．
不是
（4）1，2，3，5，7，9，11，13 不是
通项公式的推导
问an=?
设 所a一以2a-a2有个=1=a：等d1+,a差d3-,数a2=列d{,aa4n-}a的3=首d通,以项…过用d是的观aa1系1察与,公数：d差有a表2是什，示d么出,a则3特来，有点；a：4？a都1与可
aaa234===aaaaa34123==+++aa…ddd11++=, =23（dd(,,aa11++2dd))++dd==aa11++3d2d
解：根据所给数列，可得等差数列的通项公式为
an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7.
若 52＝2n－7，解得 n＝529∉N*，
所以 52 不是该数列的项．
而 2n＋7＝2(n＋7)－7(n∈N*)，
所以 2n＋7 是该数列的项，是第 n＋7 项．
• 题型二 等差中项及其应用
• 【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a，b， c使这五个数成等差数列，求此数列．
an＋1－an＝d，或an－an－1＝d(n≥2)都成立； • (3)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，表明d≠0时，an
是关于n的一次函数．
• 2．如果已知等差数列的某两项，常把这两项都用 首项和公差表示，这样可以求出首项和公差以及通 项公式.
你还记得吗??
一:什么是数列?什么是数列的项? 按一定次序排成的一列数叫数列.数列中 的每一个数都叫做这个数列的项.
• 【答案】9
【解析】3 与 15 的等差中项是3＋215＝9.
课堂讲练互动
要点阐释
• 1．等差数列的定义 • (1)注意定义中“同一常数”这一要求， 这一
要求可理解为：每一项与前一项的差是常数 且是同一常数，否则这个数列不能称为等差 数列．
• (2)注意定义中“从第2项起”这一要求，这
一要求可理解为：首先是因为首项没有“前 一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项 起，而是从第3项起，每一项与前一项的差是 同一个常数(即an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)， 那么这个数列不是等差数列，但可以说这个 数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个等差 数列．
• 由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以 看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出 通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量 中，只要知道其中任意三个量，就可以求出 另一个量．
3．等差中项及等差数列的判定 判断一个数列为等差数列的常见方法有： (1)定义法：an＋1－an＝d (常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)中项公式法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项法：an 为 n 的一次函数⇔{an}为等差数列． 如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么 A 叫做 x 和 y 的 等差中项． 显然，如果 A 是 x 和 y 的等差中项，那么 A＝x＋2 y.
(1)证明：bn＋1－bn＝an＋11－2－an－1 2＝4－a14n－2－an－1 2＝ 2aan－n 2－an－1 2＝2aann－－22＝12.
又 b1＝a1－1 2＝12， ∴数列{bn}是首项为12、公差为12的等差数列．
(2)解：由(1)知 bn＝12＋(n－1)×12＝12n. ∵bn＝an－1 2，∴an＝b1n＋2＝2n＋2.
(3)等差中项经常作为数列题目中的题设或结论出现，所以 要引起重视．
典例剖析
• 题型一 等差数列的通项公式 • 【例1】 已知递减等差数列{an}的前三项和为
18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式， 并判断－34是该数列的项吗？ • 思路点拨：求等差数列的通项公式即求首项 a1和公差d，结合已知条件列方程求解．
解：依题意，得aa11·＋a2a·a23＋＝a63＝ 6，18， ∴a31a·1＋a1＋3dd＝·1a81，＋2d＝66， 解得ad1＝＝－115， 或ad1＝＝51.， ∵数列{an}是递减等差数列，∴d<0.
• 故取a1＝11，d＝－5. • ∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16.
• 思路点拨：可以求出通项公式，也可以利用 等差中项直接求出各项．
• 解：解法一：设a1＝－1，a5＝7， • ∴7＝－1＋(5－1)d，即d＝2.
• ∴所求的数列为－1,1,3,5,7.
解法二：∵－1，a，b，c,7 成等差数列， ∴b 是－1 与 7 的等差中项． ∴b＝－12＋7＝3. 又 a 是－1 与 3 的等差中项，∴a＝－12＋3＝1. 又 c 是 3 与 7 的等差中项，∴c＝3＋2 7＝5. ∴该数列为－1,1,3,5,7.
预习测评
• 1．等差数列a－2d，a，a＋2d，…的通项公 式是( )
• A．an＝a＋(n－1)d • C．an＝a＋2(n－2)d • 【答案】C
B. an＝a＋(n－3)d D．an＝a＋2nd
• 【解析】an＝(a－2d)＋(n－1)·2d＝a＋2(n－ 2)d.
• 2．△ABC中，三内角A，B，C成等差数列，则角B等于 ()
方法点评：在等差数列{an}中，由定义有 an＋1－an＝an－an －1(n≥2，n∈N*)，即 an＝an＋1＋2 an－1，从而由等差中项的定义知 等差数列从第 2 项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中 项．
• 2．若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中 项为5，求m和n的等差中项．
• 错因分析：以特殊代替一般，用验证几个特 例作为证明是不正确的，必须用定义或与定 义等价的命题来证明．
• 正解：因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，所以an ＋1－an＝[10＋(n＋1)lg 2]－(10＋nlg 2)＝lg 2(常数)．
• 所以数列{an}为等差数列． • 纠错心得：要说明一个数列为等差数列，必
• A．30° B. 60° • C．90° D．120° • 【答案】B • 3．等差数列1,3,5,7，…的通项公式是________． • 【答案】an＝2n－1 • 【解析】因为a1＝1，公差d＝3－1＝2， • 所以其通项公式为an＝1＋(n－1)×2，即an＝2n－1.
• 4．3与15的等差中项是________．
从第二项起每一项与它前一项的差都等于3
• (3)70 , 60 , 50 , 40 , 30 , 20 , 10
从第二项起每一项与它前一项的差都等于-10
等差数列的定义
一般地，如果一个数列 a1,a2,a3 ，为…什，么a？n…？
为什 么？？
从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一
个常数d，
a2
不是同一常数， • ∴数列{an}不是等差数列．
• 误区解密 对等差数列的定义理解不透彻
• 【例4】 若数列{an}的通项公式为an＝10＋lg 2n，试说明数列{an}为等差数列．
• 错解：因为an＝10＋lg 2n＝10＋nlg 2，所以a1 ＝10＋lg 2，a2＝10＋2lg 2，a3＝10＋3lg 2，…，所以a2－a1＝lg 2，a3－a2＝lg 2，…， 故数列{an}为等差数列．
2.2等差数列及其 通项公式
等差数列
自学导引
• 1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都
等于同一个常数，那么这个数列就叫做_等___差____数列，这 个常数叫做等差数列的_公___差____，公差通常用字母d表
示．
• 2．若三个数a，A，b构成等差数列，则A叫做a与b的
等__差___中___项______，并且A＝___a_＋2__b________.
• ∴等差数列{an}的通项公式为an＝－5n＋16.
• 令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10. • ∴－34是数列{an}的第10项． • 方法点评：关于a1，an，n，d之间的运算称
为基本量的运算，这是等差数列中最简单、 最重要、必须熟练掌握的知识．
• 1．已知数列－5，－3，－1,1，…是等差数 列，判断52,2n＋7(n∈N*)是否为该数列的某 项？若是，是第几项？
方法点评：判断一个数列是否是等差数列的常用方法有： (1)an＋1－an＝d(d 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列； (2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列； (3)an＝kn＋b(k，b 为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列． 但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例 即可．
• 2．如何理解等差数列的自然语言与符号语言 的关系？
• 【答案】若数列{an}已知首项a1且满足an－an －1＝d(n∈N*，n≥2，d为常数)或an＋1－an＝ d(n∈N*，d为常数)，则数列{an}为等差数 列．
• 可见，等差数列的意义用符号语言表示，即 a1＝a，an＝an－1＋d(n≥2)，其本质是等差数 列的递推公式．
特别提示：(1)在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项(有 穷等差数列的末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项，即 2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)A＝x＋2 y是 x，A，y 成等差数列的充要条件，因此两个 数的等差中项就是这两个数的算术平均数，可以用它来判断或 证明三个数成等差数列．
• 3．若等差数列的首项为a1，公差为d，则其通项an＝
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人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1， 在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究
沪教版(上海)数学高二上册-等差数列及其通项公式_2教学PPT课件
d=2 d=-3 d=5 d=0
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。
(1)1,4,7,10；
(2)15,12,10,8,6；
(3)3,3,3,3,3
(4) - 8，- 6
小结：判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断：
即 an+1-an是不是同一个常数？
教学内容分析
学生学情分析
发现新知 形成概念
教学目标设置 教学策略分析
教学过程设计
由特殊到一般
教学内容分析
学生学情分析
教学目标设置
教学策略分析
教学过程设计
探索发现 提炼公式
通过具体数列的通项公式，归纳得出等差数列的通项公式，体 会从特殊到一般的数学思想方法.培养观察、归纳的能力,同时在 小组讨论中培养团结协作的精神.
分析：设举行奥运会的年份构 成数列{an} 由题意可得 a15 1952 ,公差d 4
（1）求a1 (2)2008是数列中的第几项？
（3）2050是否为数列中的项？
通过本节课的学习，你有哪些收获？
发现新知 形成概念 具备一定的理性分析能力和概括能力 引导学生回顾整堂课的构建，知识的脉络，期盼学生逐步养成整理知识、提炼思想方法的习惯.
教学内容分析
学生学情分析
教学目标设置
教学策略分析
教学过程设计
课堂小结 提升素养
引导学生回顾整堂课的构建，知识的脉络，期盼学生逐步养成 整理知识、提炼思想方法的习惯.
作业1目的是巩固本节课所学知识,作业2则希望在此基础上能 够进一步思考、探究更多有关等差数列的性质或结论，为下节课 的学习打下基础； 作业3则旨在培养学生“用数学的眼光观察世 界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”的习惯.
等差数列的概念及通项公式-PPT
【探究】已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p、q是 常数，且p不为0，那么这个数列是否一定是等差数列？若 是，其首项与公差分别是什么？
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d
解：取数列中的任意相邻两项an1与an , n N . an pn q, an1 p(n 1) q, n N .
an1 an p(n 1) q pn q p,n N . 它是一个与n无关的常数。所以{an }是等差数列。
8
7 6
a 4, n N . n
5
y பைடு நூலகம்4, x R.
4
● ● ● ● ●●● ● ● ●
3 2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
等差数列的图象为相应直线上的点。
1.等差数列的通项公式是什么类型的函数？其图像什么样？
从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于 n 的一次函数(d≠0 时) 或常数函数(d=0 时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点
22 1，23， 2
23 1，24， 2
24 1，25， 2
25 1，26 2
观察：以上数列有什么共同特点？
对于每个数列而言,从第 2项起，每一项与前一项的 差都等于同一常数。
一、等差数列的概念
一般地说，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
∴等差数列的通项公式是:an=a1+(n-1)d n∈N*
通 项 公
∵{an}是等差数列，则有
a2 a1 d
累加法
式
a3 a2 d
的 证
a4 a3 d
当n=1时,上式两边 都等于a1
明
…
an an1 d
【数学】2.2 等差数列及其通项公式 课件1
所以等差数列的通项公式是： an=a1+(n-1)d（n∈N*）
…
等差数列的通项公式推导2（叠加）
a2 a1 d
a4 a3 d an1 an2 d
an an1 d
叠加得
a3 a2 d
an a1 (n 1)d
an a1 (n 1)d
…
若p=q呢?
若m n 2 p, 则有am an 2ap
例题分析
练习 .在等差数列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20
分析：由 a1+a20 =a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，
可得a1+a20=10
小结 ★掌握等差数列的通项公式，并能运用公 式解决一些简单的问题
an=a1+(n－1)d
★ 提高观察、归纳、猜想、推理等数学能力
等差数列的性质
1. {an}为等差数列 an+1- an=d an+1=an+d an= a1+(n-1) d an= kn + b（k、b为常数） 2. a、b、c成等差数列 b为a、c 的等差中项 ac b 2b= a+c
am an a1 (m 1)d a1 (n 1)d 2a1 (m n 2)d a p aq a1 ( p 1)d a1 (q 1)d
am an a p aq
2a1 ( p q 2)d mn pq
课堂练习
1.等差数列{an}的前三项依次为 a-6，2a -5，-3a +2， 则 a 等于（ B ) A . -1 B. 1 C .-2 D. 2 提示1: 2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6) 2. 在数列{an}中a1=1，an= an+1+4，则a10= -35 提示： d=an+1—an=4 3. 在等差数列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； d=2, (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q
【课件】等差数列的概念及通项公式课件-2022-2023学年高二下人教A(2019)选择性必修第二册
a
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
n= +(n-1)·
4
4
4
1
a2 020=4×2
020+1=506.
=
1
n+1,故其第
4
优化设计大本
(2)(方法1)这五个数构成的等差数列是{an},依题意知a1=-1,a5=7,设公差为
d,则-1+4d=7,解得d=2,所以其第2,3,4项即a,b,c的值分别为
a=a2=-1+2=1,b=a3=-1+4=3,c=a4=-1+6=5.
{an}不一定是等差数列，忽略了第1项.
×)
学习新知
问题5
你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
设数列an 的首项为 a1 ，公差为 d ，则由定义可得：
an 1 an d
学习新知
追问1
你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
an 1 an d
a2 a1 d
课前预习
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若某数列中的各项依次为16,32,48,64,80,96,112,128,…,320,则该数列为等
差数列.
( √ )
[解析] 该数列从第2项起每一项与它前一项的差都是16,是等差数列.
(2)若一个数列从第2项起每一项与它前一项的差都是常数,则这个数列一定
(方法2)依题意,得-1,a,b,c,7成等差数列,所以b是-1和7的等差中项,即
-1+7
b= 2 =3.同理,a
是-1 和 b 的等差中项,c 是 b 和 7 的等差中项,所以
-1+
3+7
a= 2 =1,c= 2 =5.故
等差数列(概念和通项公式)课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
∗
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
∗
又因为 = ( ∈ N ),所以+1 − =3( ∈ N ),且1
1
所以数列{}是等差数列,首项为 ,公差为3.
=
1
=
1
.
典例讲解
∗
−
例2、①已知数列{ }满足+ − = , ∈ ,且 = ,则 =_____.
∗
∗
复习引入
1.数列的定义：
按一定次序排列的一列数
2.数列的通项公式：
数列 的第项 与项数之间的函数关系式,
∗
即 = ∈ .
人教A版同步教材名师课件
等差数列
---概念和通项公式
学习目标
学习目标
理解等差数列的概念
掌握等差数列通项公式的求法
理解等差数列与一次函数的关系
核心素养
在等差数列通项公式中,有四个量,
, , , ,
知道其中的任意三个量,就可以求出另一个量,即知三求一 .
探究新知
等差数列的通项公式与一次函数有怎样的关系?
= + ( − ) = + − ,当 ≠ 时,是一次函数() = +
( − )( ∈ ),当 = 时的函数 = ().
实际上,等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项,
∗
即 = − + + (, ∈ , < ).
2.等差中项法判定等差数列
若数列{ }满足 = − + + ( ≥ ),则可判定数列{ }是等差数列.
变式训练
��
2.已知
解析 (2)∵ = −, = − − − = −,
苏教版数学必修五2《等差数列的概念及通项公式》ppt课件
aa11＋＋（（nm－－11））dd＝＝mn，，解得ad1＝＝－m1＋. n－1，
∴am＋n＝a1＋(m＋n－1)d＝m＋n－1－(m＋n－1)＝0.
栏 目
链
故选 B.
接
方法二 设 am＋n＝y，则由三点共线有mn－－mn＝（my＋－nm）－n
⇒y＝0.
方法三 由 am＝n，an＝m 知，在直角坐标平面上的 A(m，n)、 B(n，m)两点关于直线 y＝x 对称，又∵A、B、C(m＋n，am＋n)是等 差数列中的项，∴A、B、C 在同一直线上且斜率为－1.∴mam＋＋nn－－mn＝
苏教版数学必修五
2．2.1 等差数列的概念及通项公式
情景导入
栏 目 链
接
相信同学们都听说过天才数学家高斯小时候计算1＋2＋3 ＋…＋100的故事，不过，这很可能是一个不真实的传说， 据对高斯素有研究的数学史家E.T.贝尔(E.T.Bell)考证，高斯 的老师布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：81 297＋81 495＋81 693＋…＋100 899.当布特纳刚写完这道题 时，高斯也算完了，并把答案写在了小石板上．你知道高 斯是如何计算的吗？
个常数叫做等差数列的公差．应当注意的是：
栏
(1)在定义中，之所以说“从第2项起”，首先是因为首项 没有“前一项”，其次是如果一个数列，不是从第2项起，
目 链 接
而是从第3项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数
(an＋1－an＝d，n∈N*，且n≥2)，那么这个数列不是等差数 列，但可以说这个数列从第2项起(即去掉第1项后)是一个
(7)下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋
栏 目
2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列．
等差数列的前n项求和公式ppt课件
则 2Sn nn 1
Sn
nn 1
2
4
推导
下面对等差数列前n项公式进行推导
设等差数列 a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.. 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n
颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1
将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
例2 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前
20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素
个数, 并求这些元素的和.
7
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项
2023新教材高中数学第4章数列等差数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册
得aa11＋ ＋1549dd＝ ＝82， 0，
解得a1＝6145， d＝145．
故a75＝a1＋74d＝1654＋74×145＝24．
法二
∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝
20－8 60－15
＝
4 15
，∴a75＝a60＋
(75－60)d＝20＋15×145＝24． 法三 已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b．由a15＝8，
ACD [由条件可知an＋1－an＝－3，∴该数列为等差数列，公差 为－3，这时an＝－3n＋30．∴a5＝－3×5＋30＝15，又由－3n＋30 ＝－3得n＝11，故ACD正确．]
3．在等差数列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，则a9＝( )
A．8
B．12
C．16
D．24
C [设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则由a2＝2，a5＝8，得 aa11＋ ＋d4＝ d＝2， 8， 解得a1＝0，d＝2，所以a9 ＝a1＋8d＝16．故选C．]
[跟进训练] 2．若等差数列的前三项分别为a,2a－1,3－a，求其第2 022项．
[解] 由等差中项公式可得2(2a－1)＝a＋(3－a)，解得a＝54，所
以首项为
5 4
，公差为
2×54－1
数列的通项公式为an＝
5 4
＋(n－1)×14＝14n＋1，故其第2 022项为a2 022＝14×2 022＋1＝1 0213．
(2)求数列{an}的通项公式． [解] 由(1)知bn＝12＋(n－1)×12＝n2． ∵bn＝an－1 2， ∴an＝b1n＋2＝2n＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝2n＋2．
2．(变条件)将本例中的条件“a1＝2，an＋1＝
等差数列的概念及通项公式ppt课件
1+2+3+···+100=?
高斯，(1777— 1855） 德国著 名数学家。
预习：等差数列的前n项和
生物普遍存在变异 人们根据自己需要
选择合乎要求的变异个体，淘汰其他 数代选择 所需变异被保存
微小变异变成显著变异
培育出新品种
实例：在经常刮大风的海岛上，无
翅或残翅的昆虫特别多
达尔文的自然选择学说如何解释 长颈鹿脖子为什么会变长？
yyrr Yy Rr
Y y 基因座位
一个特定基
r
R 因在染色体
上的位置
一对相对性状：有3种基因型，2种表现型
两对相对性状： 有9种基因型，4种表现型
那么n 对相对性状？ 3n
2n
生物通过变异(基因突变)产生新的基因,通过 基因重组和染色体变异产生新的基因型。
种群中普遍存在的 可遗传变异 是自然 选择的前提，也是生物进化的前提。
解：设an=a1+(n-1)d，则有
a1+4d=10
(1)
a1+11d=31
(2)
解得 a1 = -2 ，d = 3 an=-2+(n-1).3
=3n-5
题后点评
求通项公式的关键步骤：
求基本量a1和d ：根据已知条件列方程， 由此解出a1和d ，再代入通项公式。
像这样根据已知量和未知量之间的关系， 列出方程求解的思想方法，称方程思想。 这是数学中的常用思想方法之一。
解： ∵ a1=3 , d=2 ∴ an=a1+(n-1)d
=3+(n-1) ×2 =2n+1
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d 想一想
1、①1，8，15, 22, 29；