圆幂的定理
圆定理证明
圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2 (该结论为欧拉公式)所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P 引两条割线与圆分别交于A、B;C、D, 则有PA ·PB=PC ·PD。
统一归纳：过任意不在圆上的一点P 引两条直线L1、L2,L1 与圆交于A、B(可重合，即切线),L2 与圆交于C、D(可重合),则有PA ·PB=PC ·PD。
相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
(经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等)相交弦说明几何语言：若弦AB 、CD 交于点P则PA ·PB=PC ·PD (相交弦定理)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB 是直径，CD 垂直AB 于点P, 则PC^2=PA ·PB (相交弦定理推论)相交弦定理CADPo°B⊙O中，AB、CD 为弦，交于PPA ·PB=PC·PD连结AC、BD,证：△APC△DPB切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
是圆幂定理的一种。
几何语言：∵PT 切⊙O于点T,PBA 是⊙O的割线∴PT 的平方=PA ·PB (切割线定理)推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，P BA,PDC 是⊙O的割线∴PD·PC=PA ·PB (切割线定理推论)(割线定理)由上可知：PTA2 (平方)=PA ·PB=PC ·PD证明切割线定理证明：设ABP 是⊙O的一条割线，PT 是⊙O的一条切线，切点为T, 则PT^2=PA ·PB证明：连接AT,BT∵∠PTB=∠PAT (弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBTO△PTA (两角对应相等，两三角形相似)则PB:PT=PT:AP即：PT^2=PB ·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴
数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴一、圆幂的定义：在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂.圆幂定理：（1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -；（3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0.二、根轴及其性质 1.根轴的定义：对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.2.根轴的性质：（1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线.（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？三、例题例1 如图，设I 和O 分别是ABC ∆的内心和外心，r 和R 分别是ABC ∆的内切圆和外接圆的半径，过I 作ABC ∆的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =；（2）2AI IK Rr ⋅=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式）例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ，又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ，求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 .例1K例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的1O 与2O 相交于M ，N 两点，且1O ，2O 分别与O 内切于S ，T 两点，S ，N ，T三点共线，求证：OM MN ⊥.四、练习题1.点D ，E 为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，分别以BE ，CD 为直径的圆1O 与2O 交于点M ，N .求证：ABC ∆的垂心H 在直线MN 上.1.C例32. （第36届IMO ）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆1O ，2O 交于点X ，Y ，直线XY 交BC 于点Z .若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与交圆1O 于点C 及M ，直线BP 与交圆2O 于点B 及N . 求证：（1）B ，M ，N ，C 四点共圆； （2）A ，M ，N ，D 四点共圆； （3）AM ，DN ，XY 共点.3. （第40届IMO 国家队选拔题）凸四边形ABCD 的四边满足AB AD CB CD +=+，圆O 分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点.求证：存在另一个过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切的圆'O .2.3.BD。
圆幂定理
圆中的比例线段根轴相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相等.切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.上述三个定理统称为圆幂定理，它们的发现距今已有两千多年的历史，它们有下面的同一形式：圆幂定理过一定点作两条直线与圆相交，则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等，即它们的积为定值.这里切线可以看作割线的特殊情形，切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为d，圆半径为r，则这个定值为|d2-r2|.当定点在圆内时，d2-r2<0，|d2-r2|等于过定点的最小弦的一半的平方；当定点在圆上时，d2-r2=0；当定点在圆外时，d2-r2>0，d2-r2等于从定点向圆所引切线长的平方.特别地，我们把d2-r2称为定点对于圆的幂.一般地我们有如下结论：到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线；如果此二圆相交，那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线．这条直线称为两圆的“根轴”．对于根轴我们有如下结论：三个圆两两的根轴如果不互相平行，那么它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．练习：1．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若PB＝1，PD＝3，则BCAD的值为________．2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN与⊙O相切，切点为A，∠MAB＝35°，则∠D＝________.3．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，E为BD的中点，⊙O 的弦AD与BE的延长线相交于点C，若AB＝18，BC＝12，则AD＝_____4．如图，过点D作圆的切线切于B点，作割线交圆于A，C两点，其中BD＝3，AD＝4，AB＝2，则BC＝________.5如图，半径为2的⊙O 中，∠AOB ＝90°，D 为OB 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ，则线段DE 的长为________．6.如图所示，P A 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过点O 的割线，P A ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和⊙O 分别交于点D 和E ，则AD ·AE 的值为__________．例1. 在ΔABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，ΔAMC 的外接圆交BC于N ，若AC =12AB ，求证：BN =2AM .例2 ⊙O 与⊙O '外切于点P ，一条外公切线分别切两圆于点A 、B ，AC 为⊙O 的直径，从C 引⊙O '的切线CT ，切点为T ．求证：CT =AB ．例3. AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高,∠B 的平分线交AD于M ,交AC 于N .求证：AB 2－AN 2＝BM ·BN .O AB C M N AP O'O B C T E A N C D BF M 1 2 3 4 5例4. 已知AB 切⊙O 于B ，M 为AB 的中点，过M 作⊙O 的割线MD 交⊙O 于C 、D 两点，连AC 并延长交⊙O 于E ，连AD 交⊙O 于F .求证：EF ∥AB .例5.（I ）已知四边形PQRS 是圆内接四边形，∠PSR ＝90°，过点Q 作PR 、PS 的垂线，垂足分别为点H 、K .(1)求证：Q 、H 、K 、P 四点共圆；(2)求证：QT ＝TS .（II ）如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H .求证：(1)C ，D ，F ，E 四点共圆；(2)GH 2＝CE ·GF .例6. 如图,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长AB 和DC 相交于E ,延长AB 和DC 相交于E ,延长AD 和BC 相交于F ,EP 和FQ 分别切⊙O 于P 、Q .求证：EP 2＋FQ 2＝EF 2.O E F D A B C M A O QP C B G FE D例7. 如图所示，P A 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是⊙O 的一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE =2，CD =1，求DE 的长.例8．以O 为圆心的圆通过⊿ABC 的两个顶点A 、C ，且与AB 、BC 两边分别相交于K 、N 两点，⊿ABC 和⊿KBN 的两外接圆交于B 、M 两点．证明：∠OMB 为直角．例9 AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．P AA B D E FM 1 2 3 4 O P Q1.13 2.125° 3.14 4.325.355 6.(1)利用∠PHQ＝∠PKQ＝90°；(2)先证∠HKS＝∠QSP，TS＝TK，再证TS＝QT.证明(1)∵∠PHQ＝∠PKQ＝90°，∴Q、H、K、P四点共圆．(2)∵Q、H、K、P四点共圆，∴∠HKS＝∠HQP，①∵∠PSR＝90°，∴PR为圆的直径，∴∠PQR＝90°，∠QRH＝∠HQP，②而∠QSP＝∠QRH，③由①②③得，∠QSP＝∠HKS，TS＝TK，又∠SKQ＝90°，∵∠SQK＝∠TKQ，∴QT＝TK，∴QT＝TS. （2）证明(1)如图，连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵AG⊥FG，∴∠AGE＝90°.又∠EAG＝∠BAC，∴∠ABC＝∠AEG.又∠FDC＝∠ABC，∴∠FDC＝∠AEG.∴∠FDC＋∠CEF＝180°.∴C，D，F，E四点共圆．(2)∵GH为⊙O的切线，GCD为割线，∴GH2＝GC·GD.由C，D，F，E四点共圆，得∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF.∴△GCE∽△GFD.∴GCGF＝GEGD，即GC·GD＝GE·GF.∴CH2＝GE·GF.。
圆幂定理
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交， 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 =d 条线段的乘积为定值 O P − r . （等于点P到圆心的距离与半径的平方差 等于点 到圆心的距离与半径的平方差 的绝对值） 的绝对值）
2 2
已知： 是 的直径CB的延长线上的一点 已知：P是⊙O的直径 的延长线上的一点， 的直径 的延长线上的一点， PA和⊙O相切于 ，若PA＝15，PB＝5。 相切于A， 和 相切于 ＝ ， ＝ 。 的值；（ （1）求tan∠ABC的值；（ ）弦AD使 ） ∠ 的值；（2） 使 的长。 ∠BAD＝∠P，求AD的长。 ＝ ， 的长
圆幂定理
我们把圆的切线上某一点与切点之间 的线段的长叫做这点到圆的切线长 这点到圆的切线长。 的线段的长叫做这点到圆的切线长。
A
O·
P
B
切线与切线长的区别与联系： 切线与切线长的区别与联系： （1）切线是一条与圆相切的直线； 切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。 （2）切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长。
A
O P B D C
E
证明：（1）连结AB
A
O P B D C
∵PA切⊙O于A,∴∠PAB＝∠AEB
E
∴PA＝PD （2）由切割线定理,
又PA＝PD，PC＝2PD 由相交弦定理， BD·DC＝AD·DE
已知在Rt△ 已知在 △ABC中，∠C＝90°，∠A的外 中 ＝ ° 的外 角平分线交BC的延长线于 的延长线于D交 角平分线交 的延长线于 交△ABC的外接 的外接 圆O于E，DF切⊙O于F， 于 ， 切 于 ， 求证： 求证： AB ⋅ AC＝DF －DA 。
A
圆幂定理
圆幂定理廖述美 知识要点相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等. 即若弦AB 、CD 交于点P ，则PA·PB=PC·PD . 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段的比例中项.即若PT 切⊙O 于点T ，PAB 是⊙O 的割线，则PT2=PA·PB割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.即若割线AB 、CD 与⊙O 分别交于A 、B 、C 、D ，则PA·PB=PC·PD .圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理统称圆幂定理. 经典例题例1. 如图，⊙O 和⊙O ′都经过点A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q ，M ，交AB的延长线于N.求证：2PN NM NQ =∙例2.如图，两个以O 为圆心的同心圆，AB 切大圆于B ，AC 切小圆于C ，交大圆于D ，E ，AB ＝12，AO ＝20，AD ＝8， 求两圆的半径.例3.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A，B是大圆上任意两点，过A，B作小圆的割线AXY和BPQ.求证：AX·AY=BP·BQ破题分析相交弦定理练习1：如图，圆中两条弦AB,CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4，PC=14PD,求CD的长。
切割线定理2：两圆相交于A,B两点，P为两圆公共弦AB上任一点,从P引两圆的切线PC,PD,求证PC=PD3：E 是圆内两弦AB 和CD 的交点，直线EF//CB,交AD 的延长线于F,切圆于G 求证(1) EFA DFE (2)EF=FG基础题1．如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是半圆的三等分点，则∠C ＋∠E ＋∠D ＝( )A ．135°B ．110°C ．145°D ．120° 2．如图2，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么( )A ．∠BAD ＋∠CAD ＝90°B ．∠BAD ＞∠CADC ．∠BAD ＝∠CADD ．∠BAD ＜∠CAD3、如图3，PAB 、PC 分别是圆O 的割线和切线（C 为切点），若3PA AB ==，则PC 的长为A ．62B ．6C ．32D ．3（如图1） （如图2） （如图3）ABC OP4、 如图4，已知⊙O 的直径5AB =，C 为圆周上一点，4=BC ，过点C 作⊙O 的切线l ，过点A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则CD =___________．5、如图5，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于,B C 两点，3,1PA PB ==， 则圆O 的半径为 ，C ∠=6、如图6，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.（如图4） （如图5） （如图6）7．如图7，AB 是⊙O 的直径，CB 切⊙O 与B ，CD 切⊙O 与D ，交BA 的延长线于E ．若AB ＝3，ED ＝2，则BC 的长为______．8. 如图8，AB 是O ⊙的直径，弦CD AB ⊥，垂足为E ，P 是BA 延长线上的点，连结PC交O ⊙于F ，如果713P F F C ==，，且::2:4:P A A E E B =，那么CD 的长是 ．9. 如图9，BC 是半圆O ⊙的直径，EF BC ⊥于点F ，5BFFC=．已知点A 在CE 的延长线上，AB 与半圆交于D ，且82AB AE ==，，则AD 的长为_____________．O F EDCBAPABCDEFO（如图7） （如图8） （如图9）AB PCO ·PCBA D EO lOAD CB10．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，(Ⅰ)求∠AOD的度数；(Ⅱ)若AO＝8 cm，DO＝6 cm，求OE的长．11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)若BD＝5，DC＝3，求AC的长．12．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD ⊥AB 于E ，连结AC 、OC 、BC ．(1)求证：∠ACO ＝∠BCD ；(2)若BE ＝2，CD ＝8，求AB 和AC 的长．提高题1、如图1:PA 切O 于点A ，4PA =，PBC 过圆心O ，且与圆相交于B 、C 两点，:1:2AB AC =，则O 的半径为 ．2、如图2，在圆内接四边形ABCD 中, 对角线, AC BD 相交于点E ．已知23BC CD ==，2AE EC =，30CBD ∠=，则CAB ∠= ，AC 的长是 ．3、如图3，过⊙O 外一点A 作一条直线与⊙O 交于C ，D 两点，AB 切⊙O 于B ，弦MN 过CD 的中点P ．已知AC =4，AB =6，则MP ·NP = ．（如图1） （如图2） （如图3）C D M NOBAP BCOAP4、如图，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径,M为OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E，且EM>MC.连接DE，DE＝15,求EM的长．5.如图所示，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P.(1)求证：AD∥EC；(2)若AD是⊙O2的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．挑战极限1．如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC，PD，PE分别是圆的切线，C，D，E是切点，若∠CED=x°，∠ECD=y°，⊙B的半径为R，则⋂DE的长度是（）(题目进行过改编)A．()9090Rx-πB．()9090Ry-πC．()180180Rx-πD．()180180Ry-π2．（2012武汉中考题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是．考点：切线的性质；坐标与图形性质；勾股定理；锐角三角函数的定义。
圆幂定理切割线定理
圆幂定理切割线定理圆幂定理圆幂定理是解决圆与直线之间关系的重要工具。
它描述了一个点到圆的两条切线段的乘积等于该点到圆心距离的平方减去圆半径的平方。
定义设有一个圆O，其半径为r，圆心为C。
假设有一条直线L穿过点P，并且与圆O相交于点A和B。
则点P到直线L的两条切线段PA和PB 满足以下公式：PA × PB = (PC² - r²)其中，PA和PB分别表示点P到A和B的距离，PC表示点P到C的距离。
证明首先，我们可以通过勾股定理得出三角形OPC中OC² = OP² + PC²。
然后，我们可以使用相似三角形OPA和OPB来证明这个公式。
因为OA和OB是切线，所以∠OPA = ∠OPB = 90°。
同时，因为OA=OB=r，所以三角形OAB是等腰三角形。
因此，在三角形OPA中，我们可以使用勾股定理得出：PA² = OP² - OA²= OP² - r²同样，在三角形OPB中，我们可以使用勾股定理得出：PB² = OP² - OB²= OP² - r²将这两个等式相乘，得到：PA × PB = (OP² - r²) × (OP² - r²)= (OP² - r²)²= PC² - r²因此，圆幂定理得证。
应用圆幂定理在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
以下是其中的一些例子：- 在几何学中，圆幂定理可以用来解决关于切线、割线和弦的问题。
- 在物理学中，圆幂定理可以用来计算光线通过透镜或曲面镜时的焦距。
- 在工程学中，圆幂定理可以用来设计机械零件和建筑结构。
切割线定理切割线定理是解决两个相交圆之间关系的重要工具。
它描述了两个相交圆之间的切割线段长度乘积等于该点到两个圆心距离之差的平方。
圆幂定理逆定理
圆幂定理逆定理
圆幂定理是一个经典的几何定理，它描述了一个点和圆之间的关系。
具体而言，如果一个点P在圆的外部，则它到圆的两个切点的距离的乘积等于它到圆心的距离的平方减去圆的半径的平方。
如果一个点P在圆的内部，则圆的半径的平方减去它到圆心的距离的平方等于它到圆的两个切点的距离的乘积。
圆幂定理的逆定理是指，如果给定一个点P和两条相交的直线AB和CD，使得AP·BP=CP·DP，则这个点P在由ABCD组成的圆上。
这个定理的证明可以通过构造圆心角相等来完成。
圆幂定理和它的逆定理在几何证明中经常被使用，它们可以帮助我们解决很多和圆相关的问题。
在学习几何知识的过程中，深入理解这些定理的含义和证明方法是非常重要的。
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高中数学-圆幂定理(教师版)
补充内容：圆幂定理一、圆幂定理及其逆定理：（1）割线定理：设过圆O 外一点P 的两直线分别与圆O 交于点B A ,和D C ,，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（2）相交弦定理：圆O 的两条弦CD AB ,相交于点P ，则PD PC PB P A ⋅=⋅，反之过点P 的两直线上四点D C B A ,,,满足PD PC PB P A ⋅=⋅，则D C B A ,,,四点共圆（3）切割线定理：设直线P A 与圆切于点T ，过点P 的直线交圆于C B ,两点，则PBP A PT ⋅=2证明：（1）连接BC AD ,，由圆的性质D B ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（2）连接BC AD ,，则C A ∠=∠，B D ∠=∠，所以P AD ∆∽PCB ∆所以⇒=PBPDPC P A PD PC PB P A ⋅=⋅（3）连接TB TA ,，则PBT PTA ∠=∠，所以PTA ∆∽PBT ∆所以⇒=PTP APB PT PB P A PT ⋅=2二、圆幂定理的应用例1.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且2=OP ，弦BD AC ,均过点P ，则下列说法正确的是A.0)(=⋅+DB OB ODB.PC P A ⋅为定值C.OC OA ⋅的取值范围为]0,2[-D.当BD AC ⊥时，CD AB ⋅为定值解析：连接OP OD OC OB OA ,,,,，直线OP 交圆O 于F E ,，设BD 的中点S ，则BD OS ⊥02)(=⋅=⋅+DB OS DB OB OD ，A 正确；由相交弦定理得PF PE PC P A PC P A ⋅-=⋅-=⋅242)()(22-=-=-=+⋅--=R OP OP R OP R ，B 正确；取AC 的中点M ，则OCOA ⋅42)4(4122222-=--=-=OM OM OM AC OM ，又OPOM ≤≤0即]2,0[∈OM ，所以OC OA ⋅]0,4[-∈，所以C 错误；当BD AC ⊥时，)()(PC PD P A PB CD AB -⋅-=⋅4)4(222-=--=⋅-=⋅-⋅-=⋅+⋅=OP PF PE PC P A PD PB PC P A PD PB ，D 正确例2.在平面直角坐标系xOy 中，设直线2+-=x y 与圆)0(222>=+r r y x 交于B A ,两点，O 为坐标原点，若圆上一点C 满足OB OA OC 4345+=，则=r （）A.22 B.5C.3D.10r ===，设θ2=∠AOB ，则将OB OA OC 4345+=平方得θ2cos 3092516163016916252222222r r r r OB OA OB OA OC ++=⇒⋅++=432cos -=⇒θ55cos 531cos 22=⇒-=-⇒θθ，所以圆心到直线2+-=x y 的距离为θcos 22r =10552==⇒=⇒r r ，故选D例3.在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：322=+y x ，),2(m T ，若圆O 上存在以M 为中点的弦AB ，且MT AB 2=，则实数m 的取值范围是（）A.]0,2[- B.]2,0( C.]2,2[- D.)2,2(-解法1：设),(y x M ，连OM ，由垂径定理知AB OM ⊥⇒32222=+=+MT OM MB OM 42)2()1(3)()2(2222222m m y x m y x y x -=-++⇒=-+-++⇒，所以点M 在以)2,1(m D -为圆心，222m -为半径的圆上，又点M 为圆O 的弦AB 的中点，所以点M 在圆O 内，所以两圆内含，所以223)2()1(222m m --<+-0)1(22>+⇔m ，只需022>-m 解得22<<-m ，即实数m 的取值范围是]2,2[-，故选C解法2：因为M 为弦AB 的中点，且MT AB 2=，所以090=∠ATB ，过点T 作圆的切线TF TE ,，F E ,为切点，则只需090≥∠ETF 即可，所以045≥∠OTE ，所以OTE∠sin 6223≤⇒≥=OT OT ，所以642≤+m ，解得22≤≤-m ，故选C例4.在平面直角坐标系xOy 中，直线kx y =与圆C ：5)36()27(22=-+-y x 交于B A ,，则=⋅OB OA 解析：过点O 作圆C 的切线OT ，T 为切点，则由切割线定理得20205362722222=-+=-==⋅R OC OT OB OA 例5.在平面直角坐标系xOy 中，已知点)1,0(P 在圆C ：01422222=+-+-++m m y mx y x 内，若存在过点P 的直线交圆C 于B A ,两点，且PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍，则实数m 的取值范围为解析：圆C ：m y m x 4)1()(22=-++，圆心)1,(m -，半径为m r 2=，所以0>m 点P 在圆C 内40014212<<⇒<+-+-⇒m m m设AB 的中点为D ，t AP 2=，则t PD =，圆心到直线AB 的距离为d ，由PBC ∆的面积是P AC ∆的面积的2倍可知P A PB 2=，所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⇐⎪⎩⎪⎨⎧=+=+mt d mt d r P A CD CP PD CD 492222222222222849d m m =-⇒，因为220m d <≤，所以494849022<≤⇒<-≤m m m m 当94=m 时，C B A P ,,,四点共线，不能构成三角形，所以m 的取值范围为)4,94(例6.在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：3)()2(22=-++m y x ，若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且GO AB 2=，则实数m 的取值范围是解析：类例3，]2,2[-例7.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为23，21,F F 分别为椭圆E 的左右焦点，点P 在椭圆E 上，以线段21F F 为直径的圆经过点P ，线段P F 1与y 轴交于点B ，且611=⋅B F P F （1）求椭圆E 的方程（2）设动直线l 与椭圆E 交于N M ,两点，且0=⋅ON OM ，求证：动直线l 与圆5422=+y x 相切解析：（1）设椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x ，c F F 221=，因为211F PF O BF ∠=∠，2211π=∠=∠PF F BOF ，所以BO F 1∆∽P F F 21∆，所以P F O F F F B F 11211=21111F F O F B F P F ⋅=⋅⇒3622=⇒==c c ，所以1,2233==⇒==b a a e ，所以椭圆E ：1422=+y x （2）设OM 的倾斜角为θ，则)sin ,cos (θθOM OM M ，))90sin(),90cos((00±±θθON ON M ，又点N M ,在椭圆上，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=±+±=+22222202202222224cos 4sin 4sin 4cos 1)90(sin 4)90(cos 4sin 4cos ON OM ON ON OM OM θθθθθθθθ两式相加得4511541442222=+⇒=+=+ONOMONOM，设原点到直线MN 的距为d 由5421212222222=+=⇒=+=∆ONOM ON OM d ON OM d ON OM S OMN所以动直线l 与圆5422=+y x 相切。
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圆幂的定理
圆幂定理是几何学中的一条定理，它描述了一个点与一个圆之间的关系。
具体来说，圆幂定理说明了如果有一条直线通过一个点P，与一个圆相交于点M和点N，那么这个点P到圆的两个切线段PM和PN的长度的乘积等于点P到圆心O的距离的平方减去圆的半径的平方，即可以表示为PM * PN = PO^2 - r^2。
圆幂定理可以推广到两个圆相交的情况下，即如果有两个圆分别为圆A和圆B，并且它们相交于点M和点N，那么点M和点N到这两个圆心的线段的乘积等于这两个圆心到点M和点N的距离的乘积，即可以表示为MA * MB = NA * NB。
这个式子即为圆A关于圆B的圆幂定理。
圆幂定理有许多应用，其中一个重要的应用是求解圆的切线长度。
通过圆幂定理，可以求解出切线与切点之间的关系，进而解决与圆切线相关的几何问题。