七年级数学角的度量1-(2)
新人教版初中数学七年级上学期《角》知识点讲解及例题解析
《角》知识讲解及例题解析【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的互换；2. 借助三角尺画一些特殊角，掌握角大小的比较方法；3．会利用角平分线的意义进行有关表示或计算；4. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB ＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．2.角的和、差运算如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．3.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示．（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”．（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向．（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角，能画出多少个小于180°的角，试一一画出来．【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°，45°，60°，90°这样4个不相等的角，利用这些角进行一次和差，可得小于180°的所有角．【答案与解析】解：除了可以画30°，45°，60°，90°外，还可画15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的七个度数的角，画法如图所示．【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角，分别是：30°，45°，60°，90°，15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°．举一反三：【变式】下列说法中，正确的是（）A．两条射线组成的图形叫做角B．有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C．角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D．角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C．类型二、角度制的换算2. 计算下列各题：(1)152°49′12″+20.18°； (2)82°-36°42′15″；(3)35°36′47″×9； (4)41°37′÷3．【答案与解析】解：(1)解法一：∵ 20.18°＝20°10′48″即：152°49′12″+20.18°＝173°．解法二：∵ 152°49′12″＝152.82°，∴ 152.82°+20.18°＝173°．即：152°49′12″+20.18°＝173°．(2)将82°化为81°59′60″，则∴ 82°-36°42′15″＝45°17′45″．423″＝7′3″， 324′+7′＝5°31′，∴ 35°36′47″×9＝320°31′3″．∴ 41°37′÷3=13°52′20″．【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后进行计算；在进行乘法运算时，往往先把度、分、秒分别乘以倍数，将结果满60″进1′，满60′进1°；对于除法运算则是从度开始除，将余数化为分和以前的分数相加再除，将余数再化成秒和以前的秒数相加再除，若除不尽往往四舍五入．举一反三：【变式】计算：(1)23°45′36″+66°14′24″；(2)180°-98°24′30″；(3)15°50′42″×3； (4)88°14′48″÷4．【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″＝90°；(2)180°-98°24′30″＝81°35′30″；(3)15°50′42″×3＝47°32′6″；(4)88°14′48″÷4＝22°3′42″．类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板．(1)用叠合法比较∠1，∠α，∠2的大小；(2)量出图中各角的度数，并把图中的6个角从小到大排列，然后用“＜”或“＝”连接．【答案与解析】解：(1)如图所示，把两块三角板叠在一起，可得∠1＞∠α，用同样的方法，可得∠α＜∠2．所以∠2＝∠1＞∠α．(2)用量角器量出图中各个角的度数，分别是∠1＝∠2＝45°，∠3＝90°，∠α＝30°，∠β＝60°，∠γ＝90°，把它们从小到大排列，有∠α＜∠1＝∠2＜∠β＜∠3＝∠γ．【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种：①先将两个角的顶点与顶点重合，一条边与一条边重合再比较．②先量出每个角的度数，然后按它们的度数来比较．举一反三：【变式】如图，∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线，OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析，得到一个关系式是∠MON＝12（∠BON－∠AON），你认为这个同学得到的关系式正确吗？若正确，请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解：正确，理由如下：∵∠AOB的平分线OM，∴∠AOM＝∠MOB又∵∠MON＝∠AOM－∠AON=∠MOB－∠AON=(∠BON－∠MON) －∠AON 即有∠MON＝∠BON－∠MON －∠AON∴ 2∠MON＝∠BON－∠AON∴∠MON＝12（∠BON－∠AON）4. 如图，∠AOB=90°，∠AOC=30°，且OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，（1）求∠MON的度数；（2）若∠AOB=α其他条件不变，求∠MON的度数；（3）若∠AOC=β（β为锐角）其他条件不变，求∠MON的度数；（4）从上面结果中看出有什么规律？【思路点拨】（1）要求∠MON，即求∠COM﹣∠CON，再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得；（2）和（3）均根据（1）的计算方法进行推导即可．（4）根据（2）和（3）中的结论进行总结．【答案与解析】解：（1）∵∠AOB=90°，∠AOC=30°，∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=60°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°．（2）∵∠AOB=α，∠AOC=30°，∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=+15°，∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=．（3）∵∠AOB=90°，∠AOC=β，∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC∴∠COM=45°+，∠CON=．∴∠MON=∠COM ﹣∠CON=45°． （4）从上面的结果中，发现：∠MON 的大小只和∠AOB 得大小有关，与∠A0C 的大小无关．【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系，根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系．举一反三：【变式】如图，已知O 是直线AC 上一点，OD 平分∠AOB ，OE 在∠BOC 内，且∠BOE ＝12∠EOC ，∠DOE ＝70°，求∠EOC 的度数.【答案】解：设∠EOC=x °，则∠BOE ＝12∠EOC ＝12x °，根据题意可得：1180127022x xx --+= ，解得： 80x = .∠EOC ＝2∠BOE ＝80°. 类型四、方位角5.已知小岛A 位于基地O 的东南方向，货船B 位于基地O 的北偏东50°方向，那么∠AOB 的度数等于 ． 【答案】85°． 【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°， ∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°， 故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A ，B 的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键． 类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻，时针与分针成一条直线? 【答案与解析】解：设7时x 分钟，时针与分针成一条直线，由题意得：16302x x -=，5511x =． 答：7时5511分钟时针与分针成一条直线．【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动，在不同时刻，两针之间形成一定的角度．如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则： ① 分针的速度为36060＝6°/分；②时针的速度为3060°分＝0.5°/分． 故分针速度是时针速度的12倍． 举一反三：【变式】某人下午6点多外出购物，表上的时针和分针的夹角恰为110°，下午7点前回家时，发现表上的时针和分针的夹角又是110°，试算出此人外出用了多长时间? 【答案】解：设此人外出用了x 分钟，则分针转了6x 度，时针转了0.5x 度．根据题意得：6x-0.5x ＝110×2，解之得x ＝40． 答：此人外出购物用了40分钟的时间．。
人教版初一数学角的度量1(新编201911)
执教 甘尚化
（1）角的符号是“∠ ”,注意：不要写成“ < ”
（2）角的表示法：
A
）α
O
B
∠AOB或∠ O
∠α
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1（ ∠1
1.如图，能把∠α记作∠O吗？ ∠α还可以怎么表示？
A
α ）β
O
B C
2.在上图中共有几个角？分别把他们读出来。
1. 有公共 端点 的两条 射线 组成的图形 叫做角。
2.某火车站的钟楼上装有一电子报时钟，在 钟面的边界上，每分钟的刻度处都装有一只 小彩灯。晚上九时三十五二十秒时，时针与 分针所夹的角α内装有多少只小彩灯。
3.如图，以O为顶点的角有几个，请分别把他们
读出来。
E
D
C
解：共有10个角，
分别是：
B
∠AOB，∠AOC，
∠AOD，∠AOE，
O
∠BOC，∠BOD，
A
∠BOE，∠COD，
∠COE，∠DOE。
B
C
·O
A D
射线 OA绕点O 旋转，当终点位置OC和起始 位置 OA 成一直线时，所成的角叫做平角;继续旋转， 回到起始位置 OA 时，所成的角叫做周角。
3.判断题
（1）直线是一个平角
（） ×
（2）如图（1），点P不在∠AOB的内部 （ ×）
A O
A
P
D
· · B
· B
EC
（3）如图（2）， ∠ABC与∠DBE是同一个角(√ ）
4.画直线AB，在AB上任取一点O，画射线OC、OD，
这时图中共有几个小于平角的角？分别用三个 大写字母表示出来。
1.一天24小时中，时钟的时针与分针共组成 多少次平角？多少次周角？
人教版数学七年级上册4.3《角》角的度量》教学设计2
人教版数学七年级上册4.3《角》角的度量》教学设计2一. 教材分析《角》是人教版数学七年级上册4.3节的内容，主要讲述了角的度量。
本节课是在学生已经掌握了角的概念和分类的基础上进行的，旨在让学生了解角的度量方法，学会用度、分、秒表示角的大小，并能够进行角的计算和转换。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，对于角的概念和分类已经有了一定的了解。
但是，对于角的度量方法和相关计算，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作和思考，来理解和掌握角的度量方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角的度量方法，学会用度、分、秒表示角的大小，并能够进行角的计算和转换。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的问题解决能力和合作能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心。
四. 教学重难点1.教学重点：角的度量方法，度、分、秒的换算。
2.教学难点：角的计算和转换。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和模型，让学生直观地理解角的度量。
2.引导发现法：引导学生通过观察、操作、思考，自主发现角的度量方法和换算规律。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作，共同解决问题。
六. 教学准备1.教具：角的模型、量角器、挂图等。
2.学具：学生尺子、练习本等。
3.教学课件：角的度量相关动画和图片。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个生活中的实例，如钟表的时针和分针所形成的角度，引出角的度量。
提问：我们如何来表示这个角的大小呢？2.呈现（10分钟）讲解角的度量方法，用量角器来度量角的大小。
通过动画演示，让学生直观地了解量角器的使用方法。
引导学生发现，一个圆周角是360°，一个直角是90°，一个平角是180°。
3.操练（10分钟）让学生分组进行实践操作，用量角器度量不同大小的角，并记录下来。
人教版七年级数学上册4.3.1角角的度量说课稿
课后作业布置如下：
1.完成课后习题：布置一些角度量相关的习题，巩固所学知识。
2.观察生活中的角：让学生观察生活中的角，记录下来并尝试用所学知识进行测量。
3.预习下节课内容：提前预习下节课的知识点，为新课的学习做好准备。
作业的目的是巩固所学知识，培养学生的独立思考能力，以及激发学生对数学学习的兴趣。通过完成作业，学生可以更好地掌握角的度量方法，并学会将所学知识应用于实际生活。
五、板书设计与教学反思
（一）板书设计
我的板书设计将采用结构化的布局，主要内容分为三部分：角的度量单位、量角器的使用方法和角的度量应用。板书风格简洁明了，关键词突出，辅以图形和符号加强直观性。
1.板书的布局：左侧列出角的度量单位，中间展示量角器的使用步骤，右侧举例说明角的度量在实际中的应用。
2.板书的作用：通过板书，学生可以直观地看到本节课的知识框架，有助于他们把握知识结构和学习重点。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.让学生回顾本节课所学内容，总结角的度量的关键点。
2.让学生分享自己在巩固练习中的心得体会，以及解决问题的方法。
3.对学生的表现给予肯定和鼓励，针对不足之处提出改进建议。
4.组织学生互相评价，学会欣赏他人的优点，互相学习。
3.反思和改进措施：根据学生的反馈和作业情况，调整教学策略，如增加小组讨论时间，提供更多实际操作的机会，以及强化量角器使用的训练。同时，将鼓励学生在生活中发现角的度量实例，增强学习兴趣和实际应用能力。
2.多媒体资源：PPT、教学视频、动态角图等，通过图文并茂、生动形象的展示，帮助学生理解抽象的概念；
3.技术工具：交互式电子白板、几何画板等，实现动态演示，提高学生的学习兴趣。
2.5 角和角的度量 课件(共27张PPT)冀教版七年级数学上册
角度的换算
角
定义
表示方法
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
(1) 将 14.28°用度、分、秒表示；
高级单位化低级单位乘 60.
知3－练
感悟新知
解： 先把 18″化成分， 18″= () ′× 18 = 0 .3′，5 7′+ 0 . 3′= 5 7 . 3′.再把 57 . 3′化为度， 57.3′= () °× 57 . 3 = 0 . 955 ° ，所以 45 ° 57′ 18″= 45 . 955 ° ．
B
感悟新知
知3－讲
知识点
角的度量与单位换算
3
1. 度量角的方法 度量角的工具是量角器，用量角器(图 2.5-4)量角的步骤：(1) 对中(角的顶点对准量角器的中心)；(2) 重合(角的一条边与量角器的零度刻度线重合)；(3) 读数(读出角的另一条边所指向的度数) .
感悟新知
知3－讲
2. 角的度量单位 度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360 等分，每一份就是 1 度的角，记作 1 ° ；把 1 度的角 60 等分，每一份叫作 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60等分，每一份叫作 1 秒的角，记作 1″ .
“动”态的观点
角可以看作是一条射线绕着其端点从一个位置旋 转到另一个位置所形成的图形
起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边
感悟新知
知1－讲
特别解读1. 构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线 .2. 角的大小与所画边的长短无关，只与构成角的 两边张开的幅度有关.3. 平角的两边成一条直线，但不能说平角就是一条直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是一条射线 .4. 在不特别说明的情况下，初中阶段我们说的角都是小于平角的角.
湘教版七年级上册数学第4章 图形的认识 角的度量及计算
1
1
60
60
感悟新知
知2－讲
常用的角的度量单位：把一个周角分为360等份，每 一等份叫做1度，记做1°；把1°的角分成60等份， 每一等份叫做1分，记做1'；再把1'的角分成60等份， 每一等份叫做1秒，记做1".即1°=60'，1'=60"，1'= ()°，1"=() '.
感悟新知
2．两个锐角的和() D A．一定是锐角B．一定是直角 C．一定是钝角D．可能是锐角、直角或钝角
知1－练
分析：两个锐角的和有多种情况，如20°+30°=50°， 和为锐角；30°与60°的和为直角；70°与 80°的和为150°是钝角．故选D.
感悟新知
知识点 2 角的度量及换算
知2－导
我们知道，可以用“度”(1度等于周角的)来1度量角.
1
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60
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感悟新知
知2－讲
要点精析 常用的角的度量单位为度、分、秒，这种角的度量 制叫做角度制，除角度制外，角的度量制以后还要 学弧度制、密位制等.
感悟新知
例2 用度、分、秒表示54.26°. 解：54.26°=54°+0.26°. 又0.26°=0.26×60'=15.6'=15'+0.6'， 而0.6'=0.6×60"=36"， 因此，54.26°=54°15'36".
2.如果一个角的度数是另两个角的度敦的差，那么这个角 就叫做另两个角的羞.
七年级角的度量单位知识点
七年级角的度量单位知识点角的度量单位知识点
在数学中，我们经常会碰到角的概念。
角是指由两条线段或者射线或者直线围成的一部分平面，它是平面上一个重要的几何图形。
接下来，我们将详细探讨角的度量单位的知识点。
1. 角度的概念
角度是表示一个角的大小的单位。
通常情况下，我们用度或弧度来表示一个角的大小。
2. 角度的度量方式
我们通过使用量角器来度量角度。
具体步骤如下：
1）将量角器的一条边与射线（或直线）重合。
2）将量角器的另一条边与另一条射线（或直线）重合。
3）读取量角器上的角度数值即为所求角度。
3. 角的度量单位
角可以用角度或者弧度来度量，它们是度量角度大小的两种不
同单位。
3.1 角度
角度是常用的度量角度大小的单位。
通常情况下使用的符号是“°”。
一个圆占据的角度是360度。
3.2 弧度
弧度也是度量角度大小的单位。
它是圆周长的一部分所对应的
角度大小，通常情况下使用符号“rad”来表示。
一个圆的弧度是2π。
4. 应用
角的度量单位在实际应用中存在广泛的应用，比如：
1）在地理学中，角度被用来测量地球上的经纬度。
2）在航海中，角度被用来确定航向。
3）在建筑设计中，角度被用来计算建筑物的倾角和斜度等。
总结
在数学中，角是一个重要的几何图形。
我们可以通过量角器来度量角度，并且角度和弧度是常用的度量角度的两种单位。
在实际应用中，角的度量单位经常被用来测量方向、角度和倾角等。
七年级数学---角的认识
角角：由一点引出两条射线形成的图形叫做角。
这两条射线叫做角的。
这一点叫做角的。
角也可看作是由一条射线绕它端点旋转而成的。
角的表示方法：（1）用三个大写英文字母表示；（2）用一个大写英文字母表示；（3）用阿拉伯数字表示；（4）用小写希腊字母表示。
角的度量单位：1度记作1º,1分记作1¹,1秒记作1¹¹.角的表示方法：①用三个大写字母表示:如∠AOB②用一个大写字母表示:如∠O（只适用单独一个角）③用弧线加数字来表示: 如∠1④用弧线加希腊字母来表示:如∠a角的度量单位的换算：1° = 1′ = 1周角= 1平角=平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角而小于平角的角叫做钝角.它们之间的关系是：1周角=2平角=4直角=360º1平角=2直角=180º 1直角=90º换算方法：（1）把高级单位转化为低级单位要乘进率；（2）把低级单位转化成高级单位要除以进率；（3）转化时必须逐级进行，越级转化容易出错。
角的平分线：余角和补角：余角：两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余，即其中一个角是另一个角的余角。
补角：两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，简称互补，即其中一个角是另一个的补角。
余角和补角的性质1、同角或等角的余角相等。
2、同角或等角的补角相等。
例1、把一个周角7等分,每一份是多少（精确到分）例2、19°36′= °56°37′= °38°15′和38.5°一样大吗？例3、⑴150°20′25″+ 11°39′35″⑵90°21′16″－26°10′6″⑶12°5′×6⑷16°18′÷3例4、如图：AOB是一条直线，∠AOC=900，∠D OE=900，写出∠AOD、∠C OD、∠AOC、∠AOB、∠B OD中某些角之间的两个等量关系。
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