多元函数积分学练习题
(0, 0) 到 (1, 1) 的一段。
4．证明曲线积分 (x 2y)dx ydy 在半平面 D {(x, y) | x y 0}上与路径无关，
L (x y)2
并计算 (2,1) (x 2 y)dx ydy ，这里积分路径不与直线 y x 相交。
(1, 2)
D
（4） x2 y 2 dxdy ，其中 D 是由抛物线 x2 y2 1与曲线 r 1 cos 所围闭
D
区域中右面的一个；
（5） (x2 y 2 x)dxdy ，其中 D 是由椭圆 x2 y 2 1所围的闭区域；
D
a2 b2
（6） y e(xy)2 dxdy ，其中 D 是由直线 x y 1，y 0 ，x 0 所围的闭区域； D x y
x2 y2
（3） (x z)dxdydz ，其中 是由 z x2 y2 与 z 1 x2 y2 所围闭区域；
（4）
1 x2 y 2 z 2 dxdydz ，其中 是由 x2 y 2 z 2 1所围闭区域；
a2 b2 c2
x2 y2 z 2 3a2 的公共部分（ a 0 ）。
4 ． 计 算 三 重 积 分
xyzdxdydz
，其中 为球体 x2 y2 z2 z2
x 0 ， y 0 ， z 0 的部分（ a 0 ）。
§3 重积分的应用
（ a, b, c 0 ）；
（7）
dxdydz
dxdydz ，其中 是由 x2 y2 z 2 1所围闭区域。
x2 y 2 (z 2)2
3．计算三重积分 (x y z)2 dxdydz ，其中 为抛物体 2az x2 y2 与球体
求该曲线绕 y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积；
（ 3 ） 求 曲 面 x2 y2 2az 包 含 在 柱 面 (x2 y2 )2 2a2 xy 内 的 那 部 分 面 积 （ a 0 ）。
3．设一物体所占的区域由曲面 az x2 y2 和 z 2a x2 y2 所围成（ a 0 ）， 其密度为常数 1。 （1） 求该物体的重心； （2） 求该物体关于 z 轴的转动惯量。
3．若悬链线的一段
y
a 2
e
x a
x
e a
（ 0
x
a ）上每一点的密度与该点的纵坐
标成反比，且在点 (0, a) 处的密度等于 p ，求该曲线段的质量。
4．在力场 F(x, y, z) yzi zxj xyk 的作用下，一质点由原点沿直线运动到椭球
面 x2 y 2 z 2 1上的点 M (,, ) ，问 M 在该椭球面的何处时，F 所作的功最 a2 b2 c2
(x y)2
5．设
D
{(x,
y)
|
y
0} ，问微分形式
ydx xdy 3x2 2xy 3y 2
L
一卦限部分的边界曲线，自 z 轴的正方向看为逆时针方向；
（4） ( y z)dx (z x)dy (x y)dz ，其中 L 为球面 x2 y2 z 2 a2 （ a 0 ）
L
与平面 y x tan （ 0 ）的交线，自 x 轴的正方向看为逆时针方向。 2
上侧；
（3） e z4 (x2 y 2 )dxdy ，其中 为锥面 z x2 y 2 与两平面 z 1， z 3 所
围立体的表面，定向取外侧；
（4） x2dydz y2dzdx (x a)dxdy ， 为上半球面 z c R2 (x a)2 ( y b)2
多元函数积分学练习题
§1 二重积分
1．计算二重积分
a(x) b( y) dxdy ，其中 是连续函数， a ，b 为常数。
x2y2r2 (x) ( y)
2．设一元函数
f
在 [a,
b]
上连续，证明
b a
f
(
x)dx
2
(b a)
b
[
f
(
x)]2
dx
f (ax by cz)dS 2
1
f (u
a2 b2 c2 )du 。
1
5．计算下列第二类曲面积分：
（1） xdydz ydzdx zdxdy ，其中 为锥面 z x2 y2 被平面 z h 所截的有
限部分的外侧；
（2） xzdydz yzdzdx z 2dxdy ，其中 为上半球面 z R2 x2 y2 ，定向为
a2 b2 c2
（5） (x2 y 2 )dxdydz ，其中 是由 x2 y2 2z 与 z 2 所围闭区域；
（6） (x2 y2 z 2 )dxdydz ，其中 是由 z 2 x2 y 2 与平面 z c 所围闭区域
c2 a2 b2
为常数。
2．求锥面 x2 y2 z2 包含在柱面 x2 y2 R2 （ R 0 ）内的部分的面积。
3．设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 ： x2 y2 z 2 a2（ a 0 ）上，问 R 取何值时球面 S 在定球面 内部的部分面积最大？ 4．设一元函数 f 连续， 为球面 x2 y2 z 2 1。证明
|
，其中
L
是以
A(1,
0)
，
B(0,
1)
，
C(1,
0)
，
D(0,
1)
为顶点的正
方形的边界，定向取逆时针方向；
（2）
L
x2
xy y2
( ydx
xdy) ，其中
L 为双扭线 r 2
a2
cos2
的右面的一半，定向
取逆时针方向；
（3） ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz ，其中 L 为球面 x2 y2 z 2 1在第
dy
y
sin z
dz 。
0 0 0 (1 z)2
2．计算下列三重积分：
（1） (x y z)dxdydz ，其中 是由平面 x y z 1以及三个坐标平面所围
闭区域；
（2）
e z dxdydz ，其中 是由 z x2 y 2 ， z 1和 z 2 所围闭区域；
y2 b2
z2 c2
所围立体（ a,b,c 0 ）。
2．求下列曲面的面积：
（1）求曲面 x2 y2 a2 被两平面 x z 0 ， x z 0 所截的在 x 0 ， y 0 部 分的面积（ a 0 ）； （2）设一平面曲线的方程为
y 1 (x2 2 ln x) ，1 x 4 ， 4
L x2 y2 z2
从 0 到 2 的一段弧；
（4） zds ，其中 L 为曲面 x2 y2 z 2 和 y 2 ax（ a 0 ）的交线上自 O(0, 0, 0) L
到 A(a, a, a 2) 的一段。
2．计算下列第二类曲线积分：
（1）
L
|
dx x|
dy |y
x
（1） e y dxdy ，其中 D 是由抛物线 y2 x ，直线 x 0 ， y 1所围的闭区域；
D
（2）计算
D
sin( x
y)
dxdy
，其中
D
为直线
x
0，
y
0和
x
y
2
所围的闭区
域；
（3） ydxdy ，其中 D 是圆 x2 y2 ax 与 x2 y2 ay 的公共部分（ a 0 ）；
4．求均匀椭球体
(
x,
y,
z)
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
关于三个坐标平面的转动惯量。
5．求高为 h ，顶角为 2 的均匀圆锥体对位于它的顶点的质点的引力，这里设圆 锥体的密度为常数 ，质点的质量为 1。
§4 两类曲线积分
1．计算下列第一类曲线积分：
（1） | y | ds ，其中 L (x, y)
t3
7．求曲线 (x2 y2 )2 a(x3 3xy 2 ) 所围图形的面积（ a 0 ）。
8．求曲面
x a
2 2
y2 b2
2
z c
1 与平面 z
0 所围立体的体积（ a, b,
c
0 ）。
§2 三重积分
1．适当交换积分次序，计算
1
dx
x
L
弧 y 2ax x2 ，方向自 (2a, 0) 到 (0, 0) ；
（3）
L
xdy ydx 4x2 y2
，其中
L 是圆周 (x
1) 2
y2
4 ，定向为逆时针方向；
3.计算曲线积分 (x2 1 e y sin x)dy e y cos xdx ，其中 L 是抛物线 y x2 从点
（7） xydxdy ，其中 D 是由抛物线 y x2 ， y 1 x2 ， x y 2 ， x 1 y 2 所围的
D
4
4
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(三)-2(总分：106.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：10，分数：23.00)1.二元函数z=(1+2x) 3y，则______（分数：1.00）A.3y(1+2x)3y-1B.6y(1+2x)3y-1 √C.(1+2x)3yln(1+2x)D.6y(1+2x)3y解析：2.设z=cos(x 3 y 2 )，则______（分数：1.00）A.2x3ysin(x3y2)B.-3x2y2sin(x3y2)C.-2x3ysin(x3y2) √D.3x2y2sin(x3y2)解析：3.z=5 xy，则______（分数：1.00）A.50B.25C.50ln5 √D.25ln5解析：4.已知f(xy，x+y)=x 3 +y 3，则______（分数：1.00）A.3y2-3x-3y √B.3y2+3x+3yC.3x2-3x-3yD.3x2+3x+3y解析：5.设z=(lny) x，则dz等于______A．B．C．(lny) x ln(lny)dx+(lny) x-1 dyD．（分数：1.00）A.C.D. √解析：6.函数z=x 2 +y 3在点(1，-1)处的全微分dz| (1，-1)等于______（分数：1.00）A.2dx-3dyB.2dx+3dy √C.dx+dyD.dx-dy解析：7.设f(x，y)为二元连续函数，，则积分区域可以表示为______A．B．C．D．（分数：7.00）A.B. √C.D.解析：8.设f(x，y)为连续函数，二次积分交换积分次序后等于______A．B．C．D．（分数：8.00）A. √B.C.D.解析：9.设区域D={(x，y)|1≤x 2 +y 2≤4}，则在极坐标中，二重积可表示为______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C. √D.10.设D由x轴、y轴及直线x+y=1围成，则等于______ A．B．C．D．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.函数 1．（分数：2.00）解析：{(x，y)|y≥x，x 2 +y 2＜1且x 2 +y 2≠0}12.设，则．（分数：2.00）13.设f(x，y)= 1．（分数：2.00）解析：x 2 y14.设函数z=x 2 +ye x，则．（分数：2.00）解析：2x+ye x15.设，则．（分数：2.00）16.设z=y 2x，则．（分数：2.00）解析：2x·y 2x-117.设函数z=xy+x 3，则．（分数：2.00）解析：y+3x 2 +x18.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）19.设D：-1≤x≤0，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：120.设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则．（分数：2.00）解析：(e-1) 221.设D：0≤x≤1，0≤y≤2，则．（分数：2.00）解析：2ln2三、解答题(总题数：29，分数：61.00)22.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()23.求下列函数的偏导数或全微分．设二元函数z=tan(xy 2 )，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()24.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()25.求下列函数的偏导数或全微分．设，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：，．26.求下列函数的二阶偏导数．设z=xy 2 +x 3 y，求（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()27.求下列函数的二阶偏导数．设z=(x+y)e xy，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()28.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x+y 2 +z 2 =2z所确定，求．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()29.求下列隐函数的偏导数或全微分．设z=f(x，y)由方程x 2 +z 2 =2ye z所确定，求dz．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()30.求函数f(x，y)=2x 4 -8x+y 2的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-631.求函数f(x，y)=2xy-x 2 -2y 2 -x+y的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()32.求函数f(x，y)=x 4 +y 4 -4(x-y)+1的极值．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-533.求函数f(x，y)=x 3 -y 3 +3x 2 +3y 2 -9x的极值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：极小值为-5，极大值为3134.求函数f(x，y)=xy在约束条件x+y=1的可能极值点．（分数：4.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：首先构造拉格朗日函数F(x，y，λ)=xy+λ(x+y-1)，求出F的所有一阶偏导数并令其等于零，得联立方程组解得．所以为可能的极值点．35.从斜边长为a的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设直角三角形的两条直角边的长分为x，y则求周长函数为S=x+y+a在满足约束条件x 2+y 2=a 2下的最大值点．F(x，y，λ)=(x+y+a)+λ(x 2 +y 2 -a 2 )，解得x= ，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有所求，即当直角三角形为等腰直角三角形，即两直角边的边长各为时，周长最大，且最大周长为．36.在所有对角线为（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：设长、宽、高分为x，y，z，体积V=xyz，对角线d 2 =x 2 +y 2 +z 2，求函数V=xyz在约束条件d 2 =x 2 +y 2 +z 2下的极大值，作拉格朗日函数F(x，y，λ)=xyz+λ(x 2 +y 2 +z 2 -d 2 )，解得，此时只有惟一的驻点，根据实际问题必有最大值，即当长、宽、高各为2时，体积最大，且最大体积V=8．37.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()38.改变积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()39.交换二重积分（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()40.交换二重积分（分数：2.00）正确答案：()41.求D是由曲线x=y 2 +1，直线x=0，y=0与y=1所围成的区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()42.计算二重积分D是由直线y=x，y=x-1，y=0及y=1围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()43.计算二重积分D是由曲线y=x 2与y=x围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()44.计算二重积分D是由直线y=x，x=0，y=π围成的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()45.计算二重积分D是由x 2 +y 2≤1围成．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()46.求D是由y=x，y=0，x 2 +y 2 =1在第一象限的区域．（分数：2.00）正确答案：()47.计算D是由x 2 +y 2≤4，x≥0，y≥0所确定的平面区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()48.计算D是由曲线x 2 +y 2 =2，y=x及y轴所围成的在第一象限的闭区域．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()49.计算（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()50.设f(x)在[0，1]上连续，证明．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证明：交换二次积分次序，积分区域为Y-型域D：0≤y≤1，0≤x≤ ，转化为X-型域D：0≤x≤1，x 2≤y≤1，则。
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷9(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若函数z=f(x，y)满足且f(x，1)=x+2，又fy’(x，1)=x+1，则f(x,y)等于A．y2+(x一1)y一2．B．y+(x+1)y+2．C．y2+(x一1)y+2．D．y2+(x+1)y2．正确答案：C 涉及知识点：多元函数微积分学2．已知(axy2一y3cosx)dx+(1+bsinx+3x2y2)dy是某一函数的全微分，则a，b取值分别为A．一2和2．B．2和一2．C．一3和3．D．3和一3．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学3．设f(x，y)在(0，0)点连续，且则A．点(0，0)不是f(x，y)的极值点．B．点(0，0)是f(x，y)的极大值点．C．点(0，0)是f(x，y)的极小值点．D．根据所给条件无法判断(0，0)点是否为f(x，y)的极值点．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学4．设区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，x≥0，y≥0)，f(x)为D上正值连续函数，a，b为常数，则A．abπ．B．C．(a+b)π．D．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微积分学5．设f(x)为连续函数，，则F’(2)等于A．2f(2)B．f(2)C．一f(2)D．0正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学6．设则A．I1＜I2＜I3．B．I2＜I3＜I1．C．I3＜I1＜I2．D．I3＜I2＜I1．正确答案：B 涉及知识点：多元函数微积分学7．设0＜a＜1，区域D由x轴，y轴，直线x+y=a及x+y=1所围成，且A．J＜K＜J．B．K＜J＜I．C．I＜J＜K．D．J＜I＜K．正确答案：D 涉及知识点：多元函数微积分学填空题8．设x=e-x一f(x一2y)，且当y=0时，z=x2，则=__________.正确答案：一e-x+e-(x-2y)+2(x－2y) 涉及知识点：多元函数微积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一分类真题多元函数积分学
考研数学一分类真题多元函数积分学(总分：51.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：21，分数：21.00)1.设L为取正向的圆周x2+y2=9______.（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：-18π．）解析：解由格林公式可知原式=[*] D：[*] 本题主要考查格林公式．2.向量场u(x，y，z)=xy2i+ye z j+xln(1+z2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2．）解析：解由散度计算公式 [*]其中u=Pi+Qj+Rk 得[*] 本题主要考查散度计算公式．3.设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：π．）解析：解1 下半圆周[*]的参数方程为[*]，π≤t≤2。
则[*]△解2 由于下半圆周上的点(x，y)也满足x2+y2=1，则[*]本题主要考查平面上第一型线积分的计算．4.______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：显然按本题所给累次积分次序无法积分，因为积分[*]积不出来．所以应交换累次积分次序．解交换累次积分次序得 [*] 本题主要考查二重积分的计算．5.div(gradu)=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解 [*] 由于[*] 知[*] 由对称性可知[*] 故 [*] 本题主要考查梯度和散度的计算公式．6.设区域D为x2+y2≤R2．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 利用极坐标进行计算[*] △解2 由对称性可知[*] 则 [*] [*] 本题主要考查二重积分的计算方法．7.设l是椭圆，其周长记为a．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：12a．）解析：解椭圆l的方程可改写为 3x2+4y2=12将上式代入积分得[*]由于xy是x的奇函数，曲线l关于y轴对称，则[*]而 [*]则 [*]本题主要考查一型线积分计算的方法和技巧．8.设，则．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．解 [*] 则 [*]）解析：本题主要考查梯度和散度计算．9.．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解先画积分域草图(见图2.9)，由此可知 [*] [*] 本题主要考查累次积分交换次序．此类问题首先要画出积分域的草图，然后再来交换次序．10.设L为正向圆周x2+y2=2的值为______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 圆周x2+y2=2的参数方程为[*]，则[*]解2 补线用格林公式，如图补线段[*]和[*]，则[*][*]本题主要考查平面二型线积分的计算．11.设Ω是由锥面与半球面围成的空间区域，∑是Ω．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：解由高斯公式得 [*] 本题主要考查高斯公式及三重积分在球坐标下的计算．12.设∑是锥面(0≤z≤1)的下侧，则（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：2π．）解析：解补平面[*]，取上侧则[*] 本题主要考查补面用高斯公式计算第二型面积分的方法．13.设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：本题是一个第一型面积分计算问题．积分曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1由8块平面构成，若用直接法计算该面积分显然很不方便，这里应特别注意被积函数的奇偶性和积分曲面的对称性．解由于x关于变量x是奇函数，而积分曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1关于yOz面对称，则[*]由于｜y｜关于变量x，y，z都是偶函数，而曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1关于三个坐标面xOy面，yOz 面，zOx面都对称，则[*]其中∑1为∑在第一卦限内的部分，即：x+y+z=1，(x≥0，y≥0，z≥0)计算[*]有以下三种方法：方法一化为二重积分[*]方法二利用对称性[*]方法三利用形心计算公式[*](S为∑1的面积)=[*]故[*]本题主要考查利用函数奇偶性、曲面的对称性计算第一型面积分的方法．14.设曲面∑是的上侧，则．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：4π．）解析：根据本题的特点，补面用高斯公式计算本题中的面积分．解令S'为xOy面上圆x2+y2≤4的下侧，则原式[*]本题王要考查计算二型面积分一种常用方法：补面用高斯公式．15.设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解1 利用直角坐标系下的“先二后一”．[*] 解2 由对称性知[*] 本题主要考查三重积分的计算．16.已知曲线L：y=x2(0≤x≤)．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解[*] 本题主要考查第一型线积分的计算．17.已知曲线L的方程为y=1-｜x｜(x∈[-1，1])，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：0．）解析：[*] [*] 解2 补线用格林公式．补x轴上的线段[*]，则 [*] 本题主要考查平面上对坐标线积分计算．18.设Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1)，则Ω．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解 [*] 本题主要考查形心计算公式和三重积分的计算．19.设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：π）解析：解1 记平面z=x+y包含在柱面x2+y2=1内的部分上侧为S，其法线向量为n={-1，-1，1}其方向余弦为[*]由斯托克斯公式得 [*]原式=[*]解2 柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线的参数方程为x=cost，y=sint，z=cost+sint，则[*]解3 化空间线积分为平面线积分，然后用格林公式，将z=x+y代入原式得[*]其中C为圆x2+y2=1沿逆时针方向，则[*][*]本题主要考查空间线积分的计算，显然解3方便．20.设∑={(x，y，z)｜x+y+z=1．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]．）解析：解 [*] 其中D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤1}，故 [*] 本题主要考查第一类面积分的计算．21.设L是柱面x2+y2=1与平面y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，=______．（分数：1.00）填空项1:__________________ （正确答案：π）解析：解1 柱面x2+y2=1与平面y+z=0的交线的参数方程为[*](0≤t≤2π)则[*]解2 由斯托克斯公式得[*]其中∑为平面y+z=0包含在柱面x2+y2=1之内部分的上侧，[*]解3 将空间线积分化为平面线积分用格林公式，由y+z=0得，z=-y，代入积分[*]得[*](其中C为单位圆x2+y2=1沿逆时针方向)=[*](格林公式)本题主要考查沿空间封闭曲线的第二型曲线积分的计算．二、{{B}}选择题{{/B}}(总题数：9，分数：9.00)22.设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则 ______ A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：本题要利用函数的奇偶性和区域的对称性．解1 由于C选项中的被积函数f(x，y，z)=z既是x的偶函数，也是y的偶函数，而积分域Ω1既关于yoz 坐标面前后对称，又关于xoz坐标面左右对称，则[*]解2 用排除法．由于f(x，y，z)=x是x的奇函数，Ω1关于yoz坐标面前后对称，则[*]．而在Ω2内x＞0，有[*]，则A不正确；B和D均不正确，所以应选C．本题主要考查在三重积分计算中被积函数奇偶性和积分域对称性的应用．23.设D是xoy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，等于A．．C． D．0．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：此类问题一般都要利用被积函数的奇偶性及积分域的对称性，因此首先画积分域的草图．解如图所示，△OAB所围区域记为D2，△OBC所围区域记为D3．[*]由于xy关于x是奇函数，积分域D2关于y轴对称，则[*]同理[*]从而[*]又cosxsiny是y的奇函数．D3关于x轴对称，则[*]又cosxsiny是x的偶函数，D2关于y轴对称，则[*]从而有[*]故 [*]本题主要考查二重积分计算中区域对称性和函数奇偶性的应用．24.设S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有 ______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：本题主要考查被积函数奇偶性和积分域对称性在重积分中的应用．解1 由于C选项中等式左端积分的被积函数z既是x的偶函数，也是y，的偶函数，而积分域S既关于yOz 平面对称，又关于xOz平面对称，则[*]，又在S1上，x和z具有轮换对称性，则[*]，故应选C．解2 由于x是x的奇函数，曲面S关于yoz平面对称则 [*]，同理[*]而 [*] (由于在S1内x＞0)，且[*]．故A，B，D均不正确，应选C．本题主要考查被积函数奇偶性和积分域的对称性在第一型面积分计算中的应用．25.设f(x)为连续函数，F'(2)等于 ______∙ A.2f(2)．∙ B.f(2)．∙ C.-f(2)．∙ D.0．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：解1 交换累次积分次序得[*] f'(t)=(t-1)f(t)，F'(2)=f(2)，故应选B．解2 排除法令f(x)≡1，则[*] F'(t)=2t-1-t=t-1 F'(2)=1 则A，C，D均不正确，故应选B．解3 利用分部积分法F(t)[*] 则[*] 故应选B．本题主要考查二重积分的累次积分交换次序的和变上限求导．26.设f(x，y)为连续函数，则等于 A．． B．． C．． D（分数：1.00）A.B.C. √D.解析：解由于[*]的积分域如图所示． [*] 则 [*]故应选C．本题主要考查累次积分定限．27.设曲线L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，Γ为L 上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是 ______A．． B．．C．． D．（分数：1.00）A.B. √C.D.解析：解如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，[*][*]=1-1=0故应选B．本题主要考查线积分的计算.28.如图，正方形被其对角线划分为四个区域D k(k=1，2，3，4)，，则= ______∙ A.I1．∙ B.I2．∙ C.I3．∙ D.I4．（分数：1.00）A. √B.C.D.解析：解由于D2，D4关于x轴对称，而被积函数ycosx是关于Y的奇函数，所以，I2=I4=0．在D1内ycosx ＞0，而在D3内ycosx＜0，则I1＞0，I3＜0，故应选A．本题主要考查利用被积函数的奇偶性和积分域的对称性化简，计算二重积分．29.设L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：x2+2y2=2，L42x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线．，2，3，4)，则max{I1，I2，I3，I4}= ______∙ A.I1．∙ B.I2．∙ C.I3．∙ D.I4．（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：由格林公式得[*]其中D i为L i围成的平面域(i=1，2，3，4)显然，在D1和D4上1-x2-[*]≥0，D4[*]D1，则0＜I1＜I4又I2＜I4，I3＜I4，则max{I1，I2，I3，I4}=I4[*]本题主要考查格林公式及二重积分的性质(不等式性质)．30.设f(x，y)是连续函数，则=______. A． B． C． D（分数：1.00）A.B.C.D. √解析：解累次积分[*]所对应的二重积分的积分域如图， [*] [*] [*] 故应选D．本题主要考查二重积分的累次积分交换次序及直角坐标下累次积分化为极坐标下累次积分的方法．三、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：5，分数：21.00)设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d). ．（分数：2.00）(1).证明曲线积分I与路径L无关；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证因为 [*] 在上半平面内处处成立，所以在上半平面内曲线积分I与路径无关．)解析：(2).当ab=cd时，求I的值．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解1 由于I与路径无关，故可取积分路径L为由点(a，b)到点(c，b)再到(c，d)的折线段，所以[*] 当ab=cd时，[*]，由此得[*] 解2 [*] 设F(x)是f(x)的一个原函数，则[*] 所以当ab=cd时，F(cd)-F(ab)=0，由此得 [*])解析：本题主要考查Ⅱ型线积分与路径无关的条件及Ⅱ型线积分计算．已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：（分数：2.00）1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明同一条闭曲线上两个Ⅱ型线积分相等．一般有两种方法：一种是将等式两边的线积分都化为定积分，证明所得两个定积分相等；另一种是将等式两边闭曲线上的线积分用格林公式化为二重积分，证明所得的两个二重积分相等．证一个闭曲线上的Ⅱ型线积分大于一个常数．应先用格林公式将闭曲线上的Ⅱ型线积分化为二重积分．然后证明所得二重积分大于右端常数．证1 左端=[*] 右端=[*] 所以[*] 证2 由格林公式得 [*] 因为D关于y=x对称，所以 [*])解析：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：本题主要考查格林公式，Ⅱ型线积分化为累次积分及二重积分中对称性的运用．设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}，（分数：4.00）(1).讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题中出现了变域上的二重积分[*]和变域上的三重积分[*]z2)dv，此时一般都是将变域上的重积分化为累次积分，从而进一步化为变上限定积分再作处理．解由于F(t)=[*]则 [*]由上式可知，当t∈(0，+∞)时，F'(t)＞0，故F(t)在(0，+∞)上单调增．)解析：(2).证明当t＞0时，F(t) 1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证由于 [*] 要证明t＞0时，F(t)＞[*]，只需证明t＞0时，[*] 即 [*] 令 [*] 则 [*] 故[*]在(0，+∞)上单调增加．又[*]在t=0处连续，[*]，则当t＞0时，[*]＞0，故，当t＞0时，F(t)＞[*].)解析：本题主要考查函数单调性的判定，函数不等式的证明，变上限求导，二重积分中的极坐标变换和三重积分中球坐标的变换．(3).z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：本题主要考查利用高斯公式计算二型面积分的补面方法的运用，及柱坐标下三重积分计算．(4).设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数．计算二重积分．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(解1 [*]解2 记D1={(x，y)｜x2+y2<1，x≥0，y≥0)D2=((x，y)｜1≤x2+y2≤[*]，x≥0，y≥0}则有[1+x2+y2]=1，(x，y)∈D1[1+x2+y2]=2，(x，y)∈D2于是[*])解析：本题主要考查二重积分在极坐标下的计算．设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线的值恒为同一常数．（分数：10.00）(1).证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C 1.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(证如图，设C是半平面x＞0内的任一分段光滑简单闭曲线，在C上任意取定两点M，N，作围绕原点的闭曲线[*]，同时得到另一围绕原点的闭曲线[*]． [*] 根据题设可知 [*] 根据第二类曲线积分的性质，利用上式可得 [*] [*])解析：(2). 1.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(解设[*]，P，Q在单连通区域x＞0内具有一阶连续偏导数．曲线积分[*]在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有[*]．[*]比较①、②两式的右端，得[*]由③得[*]=-y2+c，将[*]代入④得2y2-4cy2=2y5，所以c=0，从而[*]=-y2．)解析：本题主要考查第Ⅱ型线积分的计算及线积分与路径无关的条件．(3).设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0)，计算二重积分（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(解1 [*]所以I=I1+I1=[*]．解2 I1同上．由于D关于x轴对称，且函数[*]是y的奇函数，所以[*]．故I=I1+I1=[*]．)解析：本题主要考查二重积分的计算．(4).设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L，都有（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________正确答案：(由于本题要证明平面闭曲线上第二型线积分[*]，因此，应考虑格林公式．证由格林公式知，对D内的任意有向简单闭曲线L，[*]的充分必要条件是：对任意(x，y)∈D，有[*]由于对任意的(x，y)∈D及t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)两边对t求导，得[*]令t=1，得[*]即 [*]所以 [*])解析：本题主要考查格林公式和多元函数微分法．(5).计算曲面积分其中∑为曲面z=1-x2(0≤z≤1)的上侧．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(本题是一个非封闭曲面上第二型面积分的计算问题，显然直接法不方便，应补面用高斯公式．解补xOy面上的平面[*]，其法线方向与z轴负方向相同，∑与S1围成的区域记为Ω，则[*](先二后一))解析：本题主要考查计算第二型面积分中一种常用的方法：补面用高斯公式．本题中出现的三重积分[*]用直角坐标下先二后一的方法计算比较方便．(6).L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段.（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解法1 [*]解法2 取L1为x轴上从点(π，0)到点(0，0)的一段，D是由L与L1围成的区域．[*])解析：本题主要考查计算平面二型线积分的方法．(7).2x2+2y2+z2=4的外侧．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解设∑1为单位球面x2+y2+z2=1的外侧，则[*]根据高斯公式[*]所以I=4π．)解析：本题主要考查高斯公式及第二型面积分的计算．(8).设P为椭球面S：x2+y2+z2-yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并，其中三是椭球面S位于曲线C上方的部分．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解椭球面S上点P(x，y，z)处的法向量是n={2x，2y-z，2z-y)点P处的切平面与xOy面垂直的充要条件是n·k=0(k={0，0，1})即2z-y=0．所以点P的轨迹C的方程为[*]，即[*]取D={(x，y)｜x2+[*]≤1}，记∑的方程为z=z(x，y)，(x，y)∈D，由于[*]所以 [*])解析：本题主要考查曲面的切平面和第一型面积分计算.(9).已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)：0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解1 因为f(1，y)=0，f(x，1)=0，所以[*]．从而[*] 解2 [*] 这里用到了条件f(1，y)=0，f(x，1)=0，并由此有[*]．)解析：本题主要考查二重积分的计算和偏导数的概念．(10).已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段．计．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解取L1为有向线段．x=0，y从2到0；由L与L1围成的平面区域记为D．根据格林公式，得[*])解析：本题主要考查第二类平面线积分的计算方法．本题所用方法是一种最常用的方法，补线用格林公式设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，x=2所围成的立体为Ω．（分数：3.00）(1).求曲面∑的方程；（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线L的方程为[*]，写成参数式为[*](t为参数).设(x，y，z)为曲面∑上的任一点，则[*]所以曲面∑的方程为x2+y2-2z2+2z=1．)解析：(2).求Ω的形心坐标．（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设Ω的形心坐标为[*]，根据对称性，得[*]．[*]其中D z={(x，y)｜x2+y2≤2z2-2z+1}．所以[*]所以 [*]故Ω的形心坐标为(0，0，[*]).)解析：本题主要考查空问直线绕z轴旋转所得旋转面的方程，空间体形心的计算及三重积分的计算．(3).设∑为曲面z=x2+y2(z≤1)的上侧，计算曲面积分（分数：1.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(解设S为平面z=1包含在曲面z=x2+y2之内部分的下侧，则[*]注意到Ω关于yOz面和zOx面都对称，则[*](柱坐标)[*]则 I=-4π)解析：本题主要考查二型面积法的计算、高斯公式及三重积分的计算．。
微积分II(甲)多元函数积分学练习
微积分II （甲）多元函数积分学练习题一、二重积分 １.计算二重积分22d Dx yσ⎰⎰，其中D 是由1,,2y x y x x ===所围成的闭区域． ２.计算二重积分Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线2y y x ==、和2y x =所围成的闭区域．３. 作出积分区域的图形,交换积分次序,计算10dy ⎰.４．计算二重积分2,{(,)1,02}Dy xd D x y x y σ-=≤≤≤⎰⎰５.用极坐标计算Dσ⎰⎰，其中D 为{}22(,)|4,0,0x y x y x y +≤≥≥．６. 设D 为闭区域22{(,)|2}x y x y y +≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．７. 设D 为闭区域22{(,)|2,}x y x y x y x +≤≤，将二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰化为极坐标下的累次积分．8. 利用二重积分计算由曲面22z x y =+和平面1z =所围成的立体的体积. 9.求由三个坐标面和平面1=+y x 及抛物面z y x -=+622所围立体的体积． 10．求由()π≤≤=x x y 0sin 与0=y 所围的均质薄板的质量中心．二、三重积分 11. 求xydV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为1x y +=,1z =与三个坐标面所围成的三棱柱体．12. 求()⎰⎰⎰Ω+++dV z y x 311，其中Ω为三个坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体． 13．计算下列三重积分⎰⎰⎰Ω+dV y x z 22 ，其中Ω由22z x y =+及平面1z =围成． 14. 计算,⎰⎰⎰ΩzdV 其中Ω是由球面4222=++z y x与抛物面z y x 322=+所围成(在抛物面内的那一部分)的闭区域． 15．计算()d V z y x⎰⎰⎰Ω++222，其中Ω是球体1222≤++z y x ．16. 计算球体22222a z y x ≤++在锥面22y x z +=上方部分Ω的体积．17．求由曲面)0(2222>=++a az z y x 及222z y x =+（含有z 轴部分）所围成空间的体积．18. 立体Ω是圆柱面122=+y x 内部, 平面2=z 下方, 抛物面221y x z --=上方部分, 其上任一点的密度与它到z 轴之距离成正比(比例系数为K )， 求Ω的质量m ．三、曲线积分19． 计算⎰Γxdl ，其中 Γ是由x y =和2x y = 围成的区域的整个边界。
高等数学(下)多元函数微积分试题
x2 y2 0 x2 y2 0
,则在点（0，0）处（
）
（B）连续但偏导数不存在； （D）不连续且偏导数不存在。
2
多元函数微积分
6、设平面区域 D： ( x 2) ( y 1) 1，若 I 1
2 2
( x y)
D
2
d ， I 2 ( x y)3 d 则有（
D
） （A）
I1 I 2 ； （B） I1 I 2 ；
7、设 z x ，结论正确的是（
y2
（C） I 1 I 2 ； ）
（D）不能比较。
2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z 2z （A） （B） （C） （D） 0； 0； 0； 0。 xy yx xy yx xy yx xy yx
( xy cos x cos y)dxdy (
D
)
(D) 0 。
cos x sin ydxdy
D1
；
(B) 2
xydxdy
D1
； (C) 4
xydxdy ；
D1
19、下列命题正确的是（
）
(A) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在该点处连续； (B) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处可微，则 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 存在； (C) 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处 f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ) 都存在，则 f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续； （D） 若 z f ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处的二阶偏导数都存在， 则 f x ( x, y), f y ( x, y) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续。 20、下列论述正确的是（ ）
考研数学三(多元函数微积分学)模拟试卷18(题后含答案及解析)
考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷18(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设f(x，y)=则f(x,y)在点(0，0)处( )A．两个偏导数都不存在。
B．两个偏导数存在但不可微。
C．偏导数连续。
D．可微但偏导数不连续。
正确答案：B解析：由偏导数定义，有fx＇(0，0)==0，由对称性知fy＇(0，0)=0，而上式极限不存在。
事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微，故选B。
知识模块：多元函数微积分学2．已知f(x，y)=，则( )A．f＇x(0，0),f＇y(0，0)都存在。
B．f＇x(0，0)不存在f＇y(0，0)存在。
C．f＇x(0，0)不存在,f＇y(0，0)不存在。
D．f＇x(0，0),f＇y(0，0)都不存在。
正确答案：B解析：由于故fx＇(0，0)不存在。
fy＇(0，0)==0，所以fy＇(0，0)存在，故选B。
知识模块：多元函数微积分学3．已知f＇x(x0，y0)存在，则=( )A．f＇x(x0，y0)。
B．0。
C．2f＇x(x0，y0)。
D．f＇x(x0，y0)。
正确答案：C解析：由题意=fx＇(x0，y0)+fx＇(x0，y0)=2fx＇(x0，y0)，故选C。
知识模块：多元函数微积分学4．设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，Δz是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处( )A．Δz=dz。
B．Δz=f＇x(x0，y0))Δx+f＇y(x0，y0)Δy。
C．Δz=f＇x(x0，y0)dx+f＇y(x0，y0)dy。
D．Δz=dz+o(p)。
正确答案：D解析：由于z=f(x，y)在点(x0,y0)处可微，则Δz=fx＇(x0，y0)Δx+fy＇(x0，y0)Δy+o(p)=dz+o(p)，故选D。
知识模块：多元函数微积分学5．设=0，则f(x，y)在点(0，0)处( )A．不连续。
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)_真题-无答案
专升本高等数学(一)-多元函数微积分学(一)(总分93,考试时间90分钟)一、填空题1. 求下列函数的定义域.．2. 求下列函数的定义域.u=ln(x2-y-1)．3. 求下列函数的定义域.．4. 求下列函数的定义域.．5. 设，则=______．6. 设，则=______．7. 设，则=______．8. 设，则=______．9. 设函数，则=______，=______．10. 设函数，则=______．11. 函数z=ln(1+x2-y2)的全微分dz=______．12. 函数z=x2-2xy+y2的全微分=______．13. =______．14. 若积分区域D是由x=0，x=1，y=0，y=1围成的矩形区域，则=______15. 交换二次积分次序=______．16. 设区域D={(x，y)|x2+y2≤4}，则=______．17. 平面上一块半径为2的圆形薄板，其密度函数为1，则这块薄板的质量为______．二、解答题求下列各函数对x，y的偏导数：1. z=ex2+y；2. ；3. z=ln(ln x+ln y)；4. ；5. z=sin(x+2y)+2xy；6. z=(xy)μ(其中μ为非零常数)．求下列函数的二阶偏导数：7. z=sin xy；8. z=ln(x2+xy+y2)．9. 设函数z=ln(1-x+y)+x2y，求．10. 设z=x2y-xy2，x=ucos v，y＝usinv，求．11. 设z＝arctan xy，y=ex，求．12. 设，x=u-2v，y=2u+v，求．13. 设z=(2x+y)(2x+y)，求．14. 设z=f(x2+y2，exy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求．15. 设，其中φ有连续偏导数，证明．求下列各式确定的隐函数y=f(x)的导数：16. cos y-ex+2xy=0；17. ．求下列各式确定的隐函数z=f(x，y)的偏导数：18. x2+y2+z2-3xyz=0；19. ．20. 设z=arctan(xy)+2x2+y，求dz．求下列各函数的全微分dz：21. ；22. z=ln(3x-2y+3)；23. z=exy(x2+y2)；24. z=arctan xy；25. z=xe-xy+sin(xy)；26. z=sin(x+y)-x2+y2．27. 设，求28. 设z=f(2x+3y，exy)，其中f(u，v)有连续偏导数，求dz．29. 设z=z(x，y)是由方程yz+x2+z=0确定，求dz．30. 设z=f(x，y)，由方程x2+y2+z2-4z=0确定，求在点(1，-)；(，0)；(0，)处的全微分．31. 设z=f(x，y)由方程cos2x+cos2y=1+cos2z所确定，求dz．求下列函数的极值与极值点．32. f(x，y)=4x+2y-x2-y2；33. f(x，y)=e2x(x+y2+2y)；34. f(x，y)=y3-x2+6x-12y+5．求下列条件极值．35. 做一个体积为V的无盖的圆柱形桶，试问当桶的高和底面半径各是多少时，可使圆桶所用的材料最省．36. 设生产某种产品的数量Q与所用两种原料A，B的数量x，y间有关系式Q=Q(x，y)=0.005x2y，欲用150元购买原料，已知A，B原料的单价分别为1元，2元，问购进两种原料各多少时，可使生产的产品数量最多?37. 计算二重积分，其中D是由直线y=-1，y=1，x=1及x=2围成的平面区域．38. 计算二重积分，其中D是由曲线y=x2及y=x所围成的平面区域．39. ，其中D是由直线y=x，y=1及y轴所围成的平面区域．40. ，其中D是由直线x=2，y=x及双曲线xy=1所围成的平面区域．41. ，其中D是由直线y=0，，x=2所围成的平面区域．42. ，其中D是由直线y=x，y=2x，x=2，x=4所围成的平面区域．43. 求，其中D是由直线y=x，y轴，y=1所围成的平面区域．44. 将二重积分化为二次积分，其中D是由直线x+y=1，x-y=1，x=0所围成的平面区域．交换下列二次积分次序．45.46. (a＞0为常数)47. 计算二重积分试将下列直角坐标系下的二重积分化为极坐标系下的二重积分48.49.计算下列二重积分：50. ，其中D为x2+y2≤a2，x≥0，y≥0所围成的区域；51. ，其中D为x2+y2≤1，x≥0所围成的区域；52. ，其中D为x2+y2≤4，x2+y2≥1，y≤x，y≥0所围成的区域；53. ，其中D为由x2+y2≤R2，x≥0，y≥0所围成的区域；54. ，其中D为以x2+y2=2x为边界的上半圆域．55. 利用重积分求由平面和三个坐标平面所围成的立体的体积(其中a＞0，b＞0，c＞0)．56. 利用二重积分求由曲线y=x2与y2=x所围成的面积．57. 求由柱面x2+y2=a2，z=0及平面x+y+z=a所围成的立体的体积．58. 设有平面三角形薄片，其边界线可由方程x=0，y=x及y=1表示，薄片上的点(x，y)处的密度ρ(x，y)=x2+y2，求该三角形薄片的质量．59. 设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求该薄片的质量．60. 设f(x)在[0，1]上连续，证明61. ，其中D为x2+(y-1)2≤1与x+y≤2所围成的区域．(提示：此题应在直角坐标系下求，先对x积分，积分区域要分块．)。
考研数学一分类真题多元函数积分学_真题-无答案
考研数学一分类真题多元函数积分学(总分51,考试时间90分钟)一、填空题1. 设L为取正向的圆周x2+y2=9，则曲线积的值是______.2. 向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+z2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=______．3. 设平面曲线L为下半圆周，则曲线积分=______．4. 积分的值等于______．5. 设数量场，则div(gradu)=______．6. 设区域D为x2+y2≤R2，则=______．7. 设l是椭圆，其周长记为a，则=______．8. 设，则=______．9. 交换二次积分的积分次序：=______．10. 设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分的值为______．11. 设Ω是由锥面与半球面围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则=______．12. 设∑是锥面(0≤z≤1)的下侧，则=______.13. 设曲面∑：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=______．14. 设曲面∑是的上侧，则=______．15. 设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1)，则=______．16. 已知曲线L：y=x2(0≤x≤)，则=______．17. 已知曲线L的方程为y=1-｜x｜(x∈[-1，1])，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分=______．18. 设Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1)，则Ω的形心的竖坐标=______．19. 设L是柱面x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分=______．20. 设∑={(x，y，z)｜x+y+z=1，x≥0，y≥0，z≥0}，则=______．21. 设L是柱面x2+y2=1与平面y+z=0的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分=______．二、选择题1. 设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则______A．．B．．C．．D．．2. 设D是xoy平面上以(1，1)，(-1，1)和(-1，-1)为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限的部分，则等于A．．C．．D．0．3. 设S：x2+y2+z2=a2 (z≥0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有______A．．B．．C．．D．．4. 设f(x)为连续函数，F(t)=，则F'(2)等于______A.2f(2)． B.f(2)． C.-f(2)． D.0．5. 设f(x，y)为连续函数，则等于A．．B．．C．．D．．6. 设曲线L：f(x，y)=1(f(x，y)具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M和第Ⅳ象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是______ A．．B．．C．．D．．7. 如图，正方形被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)，，则= ______A.I1．B.I2．C.I3．D.I4．8. 设L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：x2+2y2=2，L42x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线．记(i=1，2，3，4)，则max{I1，I2，I3，I4}= ______A.I1． B.I2． C.I3． D.I4．9. 设f(x，y)是连续函数，则=______. A．B．C．D．三、解答题设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d). 记．1. 证明曲线积分I与路径L无关；2. 当ab=cd时，求I的值．已知平面区域D={(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：3. ；4. ．设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)｜x2+y2≤t2}，5. 讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．6. 证明当t＞0时，F(t)＞．7. 计算曲面积分其中∑是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧．8. 设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数．计算二重积分．设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数．9. 证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有；10. 求函数的表达式．11. 设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0)，计算二重积分12. 设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t-2f(x，y)．证明：对D内的任意分段光滑的有向简单闭线L，都有13. 计算曲面积分其中∑为曲面z=1-x2-(0≤z≤1)的上侧．14. 计算曲线积分，其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段.15. 计算曲面积分，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧．16. 设P为椭球面S：x2+y2+z2-yz=1上的动点，若S在点P处的切平面与xOy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分，其中三是椭球面S位于曲线C上方的部分．17. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)：0，，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1)，计算二重积分，．18. 已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段．计算曲线积分．设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面∑．∑与平面z=0，x=2所围成的立体为Ω．19. 求曲面∑的方程；20. 求Ω的形心坐标．21. 设∑为曲面z=x2+y2(z≤1)的上侧，计算曲面积分。
多元函数积分学100题
多元函数积分学100题（附答案）一．计算下列二重积分1. (1)Dx y d σ--⎰⎰，其中:0,0,1D x y x y ≥≥+≤；2.22Dyd xyσ+⎰⎰，其中2:,1D y x y y ≤≤≤≤；3. xyDxe d σ⎰⎰ ，其中1:2,12D y x x≤≤≤≤；4. x yDed σ+⎰⎰，其中:1D x y +≤；5. Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由1y x =-及226y x =+所围成的闭区域；6. (2)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22y x =及21y x =+所围成的闭区域；7.2sin Dy d σ⎰⎰，其中D 是由0,1x y ==及y x =所围成的闭区域；8．3(3)Dx y d σ+⎰⎰，其中D 是由22,4y x y x ==及1y =所围成的闭区域； 9.Dσ⎰⎰，其中2:D x y ≤≤10. 1Dx d y σ+⎰⎰，其中D 是由21,2y x y x =+=及0x =所围成的闭区域；11. 2Dy x d σ-⎰⎰，其中:01,01D x y ≤≤≤≤；12. Dxy d σ⎰⎰，其中222:D x y a +≤；13. 22x yDed σ+⎰⎰，其中22:4D x y +≤；14.22ln(1)Dx y d σ++⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；15.arctanDy d xσ⎰⎰，其中D 是由22224,1,x y x y +=+=及0,y y x ==围成的第一象限内的闭区域；16. Dσ⎰⎰，其中22:D x y Rx +≤；17. 2214Dx y d σ+-⎰⎰，其中22:1D x y +≤；18. Dσ⎰⎰，其中22:D x y x +≤；19. Dσ⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥；20. 22Dx y d σ⎰⎰，其中D 是由两条双曲线1,2,xy xy ==及,4y x y x ==围成的第一象限内的闭区域；21. 2222()Dx y d abσ+⎰⎰，其中2222:1x y D ab+≤；22. 222yxdx edy -⎰⎰； 23. 66cos yx dy dx xππ⎰⎰；24. 设D 是以点(0,0),(1,2),(2,1)O A B 为顶点的三角形区域，求Dxdxdy ⎰⎰；25. 设212,0(,)0x yx y x f x y ⎧≤≤≤≤=⎨⎩，其他.，求(,)Df x y dxdy ⎰⎰，其中22:2D x y x +≥；26. Dσ⎰⎰，其中D是由0)y a a =-+>及y x =-所围成的闭区域；27. 221()2[1]x y Dy xedxdy ++⎰⎰，其中D 是直线,1y x y ==-及1x =围成的闭区域；28. 22()22sin()x y Dex y dxdy π-+-+⎰⎰，其中22:D x y π+≤；29. )Dy d σ⎰⎰，其中D 是由圆224x y +=及22(1)1x y ++=所围成的平面区域；30. Dydxdy ⎰⎰，其中D是由曲线x =及2,0,2x y y =-==所围成的平面区域；二． 计算下列三重积分31. 2(1)d x y z υΩ+++⎰⎰⎰，其中Ω是由1x y z ++=和三个坐标平面所围成的空间闭区域；32. xyzd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由1,,,0x y x z y z ====所围成的空间闭区域；33. 23xy z d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由,1,,0z xy y y x z ====所围成的空间闭区域；34. ||z e d υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；35. 222222ln(1)1z x y z d x y zυ++++++⎰⎰⎰，其中Ω：2221x y z ++≤；36. ()x z d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由z z ==所围成的立体区域；37. 22xye d υ--Ω⎰⎰⎰，其中Ω：221,01x y z +≤≤≤；38. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由22,z x y z =+=39. x y zΩ++⎰⎰⎰，其中Ω是由2221x y z ++≤所围成的第一象限内的闭区域；40. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：22212,0,0x y z x y ≤++≤≥≥；41. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由0,3,0y z z y ====所围成的空间闭区域；42. zd υΩ⎰⎰⎰，其中Ω：2222222(),x y z a a x y z ++-≤+≤；43. υΩ⎰⎰⎰，其中Ω是由球面222x y z z ++=所围成的空间闭区域；44. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22225()4x y z +=及平面5z =所围成的空间闭区域；45. 22()x y d υΩ+⎰⎰⎰，其中Ω：0,0a b z <≤≤≥；三．重积分的应用46. 求球面2222x y z ++=与抛物面22z x y =+所围立体的体积； 47. 求球面2222x y z a ++=被柱面22x y ax +=所截那部分面积；48. 平面薄片所占的区域D 由抛物线2y x =及直线y x =围成，面密度2(,)x y x y μ=，求质心坐标； 49. 设球体Ω：2222x y z Rz ++≤各点处的密度等于该点到原点的距离的平方，求该球体的质心； 50. 设均匀平面薄片所占区域D 由抛物线29,22y x x ==围成，求转动惯量,x y I I .四、计算下列曲线积分51. Lxyds ⎰，其中L 是22y x =从原点到点(2,2)A 的一段弧；52. Lyds ⎰，其中L 是y x =-上从1x =-到1x =的一段弧；53. Lxds ⎰，其中L 是直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； 54. 22()x y ds +⎰，其中L 是摆线(cos sin ),(sin cos ),02x a t t t y a t t t t π=+=-≤≤；55. 2Ly ds ⎰，其中L 为摆线的一拱：(sin ),(1cos ),02x a t t y a t t π=-=-≤≤；56. 2221ds x y zΓ++⎰，其中Γ是曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上从0t =到2t =的一段弧；57. 2x yzds Γ⎰，其中Γ是折线A B C D ,其中(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)A B C D ；58. 22()Lx y dx -⎰, 其中L 是抛物线2y x =上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；59. Lxydx ⎰，其中L 是圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）；60. Lydx xdy +⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应于0t =到2t π=的一段弧；61. 22()()Lx y dx x y dyx y+--+⎰，其中L 为圆周222(0)x y a a +=>（按逆时针方向绕行）；62. 2x dx zdy ydz Γ+-⎰， Γ是曲线,cos ,sin x k y a z a θθθ===上对应于0θ=到θπ=的一段弧；63. (1)xdx ydy x y dz Γ+++-⎰，其中Γ是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线；64. dx dy ydz Γ-+⎰ ，其中Γ是有向闭折线段A B C A ，其中(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C ；65. ()()Lx y dx y x dy ++-⎰，其中L 是曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；66. (24)(536)Lx y dx y x dy -+++-⎰ ，其中L 为三顶点(0,0),(3,0),(3,2)的三角形正向边界；67. 222(cos 2sin )(sin 2)xxLx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰ ，L 为正向星形线222333(0)x y a a +=>；68. 22()(sin )Lx y dx x y dy --+⎰，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；69. 222()Lydx xdy x y -+⎰，其中L 是圆周22(1)2x y -+=，方向为逆时针方向；70. 证明(2,1)423(1,0)(23)(4)xy y dx x xy dy -++-⎰与路径无关，并计算其值；71. 验证22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++-是某个函数(,)u x y 的全微分，并求(,)u x y ； 72. 解全微分方程(2)0yye dx xe y dy +-=； 73. 设曲线积分2()Lxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关，其中()x ϕ具有连续导数，且(0)0ϕ=，试计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值；74. 设Γ是曲线23,,x t y t z t ===上从0t =到1t =的一段弧，把对坐标的第二型曲线积分Pdx Q dy Rdz Γ++⎰化为对弧长的第一型曲线积分；75. 把对坐标的第二型曲线积分LP d x Q d y+⎰化为对弧长的第一型曲线积分，其中L 为圆周y =(0,0)到点(1,1)的一段弧；五、计算下列曲面积分76. 4(2)3z x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为平面1234x y z ++=在第一卦限中的部分；77. 2(22)z xy x x dS ∑+--⎰⎰，其中∑为平面226x y z ++=在第一卦限中的部分；78. ()x y z dS ∑++⎰⎰，其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分；79. ()xy yz zx dS ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =222x y ax +=所截得的部分；80. 22()x y dS ∑+⎰⎰，其中∑为锥面z =及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面；81. ()x y dydz ∑+⎰⎰，∑是以原点为中心，边长为2a 的正方体,,x a y a z a ≤≤≤的整个表面的外侧；82.2z dxdy ∑⎰⎰，其中∑是上半球面z =22(0)x y ax a +=>之外部分的外侧；83. 2()z x dydz xdxdy ∑+-⎰⎰，∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧；84.[(,,)][2(,,)][(,,)]f x y z x dydz f x y z y dzdx f x y z z dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑是平面1x y z -+=在第四卦限部分的上侧；85. 22()x y dzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为锥面z =1z =所截下在第一卦限部分的下侧；86. 化第二型曲面积分(,,)(,,)(,,)P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ∑++⎰⎰为第一型曲面积分，其中∑是平面平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧；六、高斯公式和斯托克斯公式87. 222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为平面0,,0,,0,x x a y y a z z a ======所围立体表面的外侧；88. 333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰ ，其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧；89. 2232()(2)xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰ ，其中∑为上半球体0z ≤≤的外侧；90. xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰ ， ∑是介于平面0,3z z ==之间的圆柱体229x y +≤的表面的外侧；91. 24xzdydz y dzdx yzdxdy ∑-+⎰⎰ ，其中∑为平面0,1,0,1,0,1x x y y z z ======所围立体表面的外侧；92. 求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量；93. 323232()()()x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰，其中∑为上半球面z =的上侧；94. ydx zdy xdz Γ++⎰，其中Γ为圆周2222,x y z a ++=0x y z ++=，若从x 轴的正向看去，取逆时针方向；95. ()()()y z dx z x dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ为椭圆222x y a +=，1(0,0)x z a b ab+=>>，若从x轴的正向看去，取逆时针方向； 96. ABC Azdx xdy ydz ++⎰，其中A B C A 是以(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C 为顶点的三角形边界曲线，它的正向与这个三角形所在平面上侧的法向量之间符合右手法则；97. 223ydx xdy z dz Γ+-⎰ ，其中Γ为圆周2229x y z ++=，0z =，若从z 轴的正向看去，取逆时针98.()()()z y dx x z dy x y dz Γ-+-+-⎰，其中Γ是曲线221,x y +=2x y z -+=，若从z 轴的正向看去，取顺时针方向；99. 求向量场32()()3x z x yz xy =-++-A i j k沿闭曲线Γ（从z 轴的正向看取逆时针方向）的环流量，其中Γ为圆周20z z =-=；100. 求向量场(23)(3)(2)x y x z y x =-+-+-A i j k的旋度.参考答案： 1. 16， 2.1ln 2122-， 3.421(2)2e e e --， 4. 1e e-，5. 36， 6.3215，7. 1cos 12-， 8. 25， 9. 655， 10.91ln 3ln 282--， 11.1130， 12.42a， 13. 4(1)e π-，14.(2ln 21)4π-，15. 2364π，16. 34()33Rπ-，17. 516π，18. 815，19.284ππ-，20.7ln 23，21.2abπ ，22.41(1)2e--，23. 12，24.32，25.4920，26. 221()162a π-，27. 23-， 28.(1)2e ππ+，29. 16(32)9π-，30. 42π-， 31. 3ln 24-， 32.148， 33.1312， 34. 2π，35. 0， 36.8π，37. 1(1)e π--，38.712π， 39.1cos 12π-， 40.21)15π-， 41. 8， 42. 476a π， 43.10π，44. 8π，45.554()15b a π-， 46.76π ，47. 22(2)a π-，48. 3535(,)4854 ，49. 5(0,0,)4R ，50.7296,57. 51. 1315+， 52. 53. 11)12， 54. 2322(21)a ππ+，55.325615a ，2)2e --, 57. 9, 58.5615-, 59. 312a π-, 60. 0, 61. 2π-，62. 33213k a ππ-， 63. 13， 64.12， 65.323，66. 12, 67. 0, 68.17sin 246-, 69. π-,70. 5, 71. 22cos sin x y y x C ++，72. 2yxe y C -=， 73.12， 74. Γ⎰，75. (1)]Lx Q ds +-⎰，76. , 77. 274-, 78. 22()a a h π-, 79.4,80.12+, 81. 38a ， 82.41132a π， 83. 4π， 84.12，85. 146π-，86. 32()555P Q dS ∑++⎰⎰,87. 43a , 88.5125a π, 89.525a π, 90. 81π, 91.32， 92. 108π， 93.52920a π， 94. 2a ，95. 2()a a b π-+ ，96. 32, 97. 9π, 98. 2π-, 99. 12π, 100. 246=++rot A i j k.。
清华大学多元函数微积分题库
=
．
8．（2008j）设函数 z = z(x，y) 由方程 z + e z + 2xy = 5 确定，则 dz (1，2，0) =
．
9．（2004gj）由方程 xyz + x 2 + y 2 + z 2 = 2 所确定的函数 z = z(x，y) 在点 (1, 0, -1) 处
的全微分 dz (1,0,-1) =
．（
2007g
）
曲
线
L：îíì3xx2
2 +2 + y2
y2 +
- 2z -1= 0, z2 - 4y - 2z
+
2
=
0
在
点
M
(1，1，2)
处
的
切线
方
程
为
．
19．（2011g）椭球面 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 1上平行于平面 x - y + 2z = 0 的切平面方程为
与
．
二、单项选择题
．
10 ．（ 2006gj ） 设 函 数 z = z(x，y) 由 方 程 z - x - y + xe z-x- y = 2 所 z = z(x，y) 由方程 2 y = z - e2x-3z 所确定，则 3 ¶z + ¶z =
．
¶x ¶y
r 12 ．（ 2002g ） 函 数 z = x 2 - xy + y 2 在 点 (-1，1) 处 沿 方 向 l =
（B） 函数 u(x，y) 的最大值点与最小值点都在区域 D 的边界上；
（C） 函数 u(x，y) 的最大值点在区域 D 的内部，最小值点在区域 D 的边界上；