不等式2检测
2024年新教材高考数学考点过关检测2不等式的性质与基本不等式含解析
考点过关检测2 不等式的性质与基本不等式一、单项选择题1．设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则( ) A ．ac ＞bc B ．a 3＞b 3C ．a 2＞b 2D.1a <1b2．已知a ∈R ，p ＝a 2－4a ＋5，q ＝(a －2)2，则p 与q 的大小关系为( ) A ．p ≤q B ．p ≥q C ．p ＜q D ．p ＞q3．[2024·北京101中学模拟]下列结论正确的是( ) A ．若ac <bc ，则a <b B ．若a >b ，c <0，则ac <bc C ．若a 2<b 2，则a <b D ．若a <b ，则a >b4．[2024·湖北九师联盟]下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x ＋4e －xD ．y ＝x 2＋1＋2x 2＋15．[2024·河北石家庄二中月考]下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，则a 2>b 2 C ．若a <b <0，则a 2<ab <b 2D ．若a <b <0，则1a >1b6．[2024·福建连城一中月考]已知x >0，y >0，若x ＋y ＝1，则1xy的最小值为( )A ．4B.14C ．2D.127．[2024·福建龙岩模拟]已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则3aba ＋4b的最大值为( )A.310B.38C.928D.138．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，6)B ．(－∞，6]C ．(－∞，8]D ．(－∞，8) 二、多项选择题9．[2024·山东日照模拟]若0＜a ＜b ＜c ，则下列结论正确的是( ) A ．ln a ＜ln b B ．b 2＜a 2C.1c －a <1c －bD.(12)a <(12)a10．[2024·河北石家庄一中月考]以下结论正确的是( ) A ．x 2＋1x2≥2B.x 2＋3＋1x 2＋3的最小值为2C ．若a 2＋2b 2＝1，则1a 2＋1b2≥3＋2 2D ．若a ＋b ＝1，则1a ＋1b≥411．[2024·山东广饶一中月考]已知关于a >0，b >0且a ＋b ＝2.下列不等式正确的是( )A ．若a >b ，则c 2a <c 2bB ．若a >b ，则1a －1>1b －1C ．a 2＋b 2>2 D.1a ＋1b≥212．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则x ＋1xy可能取的值有( ) A ．9B ．10C ．11D ．12 三、填空题13．已知a ≠b ，则a 2－ab 与ba －b 2的大小关系为________．(用“<”连接) 14．直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(2,3)，则a ＋b 的最小值为________．15．[2024·江苏高邮月考]已知一个矩形的周长为16cm ，则矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为________．16．[2024·辽宁沈阳模拟]已知正数x 、y 满意xy 2(x ＋6y )＝1，当x ＝________时，x ＋3y 取得最小值，最小值是________．考点过关检测2 不等式的性质与基本不等式1．答案：B解析：当c ＞0时，ac ＞bc ，当c ＝0时，ac ＝bc ，当c ＜0时，ac ＜bc ，解除A ；由a ＞b 得a 3＞b 3，B 正确；当a ＞b ≥0时，a 2＞b 2，当0≥a ＞b 时，a 2＜b 2，解除C ；当a ＞b ，ab ＜0时，有1a ＞1b，解除D ，故选B.2．答案：D解析：p －q ＝a 2－4a ＋5－(a －2)2＝1＞0，所以p ＞q ，故选D. 3．答案：B解析：对于A ，当c <0时，若ac <bc ，则a >b ，故选项A 错误；对于B ，若a >b ，c <0，则ac <bc ，故选项B 正确；对于C ，当a ＝2，b ＝－3时，满意a 2<b 2，但是a >b ，故选项C 错误；对于D ，若a <b ，则0<a <b ，选项D 错误．4．答案：C解析：对于A ，当x <0时，y ＝x ＋4x<0，故A 项不符合题意．对于B ，当0<x <π时，0<sin x ≤1，所以y ＝sin x ＋4sin x≥5.故B 项不符合题意．对于C ，由于e x>0，所以依据基本不等式可以得出y ＝e x＋4e －x ≥2e x·4e －x＝4，当且仅当e x＝2时取得最小值4，故C 项符合题意．对于D ，由于x 2＋1>0，所以依据基本不等式可以得出y ＝x 2＋1＋2x 2＋1≥22，当且仅当x 2＝±1时取得最小值22，故D 项不符合题意．5．答案：D解析：对于A ，当c ＝0时，ac 2＝bc 2，所以不是真命题；对于B ，当a ＝0，b ＝－2时，a >b ，但a 2<b 2，所以不是真命题；对于C ，当a ＝－4，b ＝－1时，a <b <0，a 2>ab >b 2，所以不是真命题；对于D ，若a <b <0，则1a >1b，所以是真命题．6．答案：A解析：因为x >0，y >0，x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝14，当且仅当x ＝y ＝12时取等号，则1xy≥4，即最小值为4.7．答案：D解析：由a >0，b >0，可得3ab a ＋4b ＝3a ＋4b ab ＝34a ＋1b，又由a ＋b ＝1，可得4a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝5＋4b a ＋ab≥5＋24b a ×a b ＝9，当且仅当4b a ＝a b 时，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以34a ＋1b≤39＝13，即3ab a ＋4b 的最大值为13. 8．答案：D解析：x ＋2y ＝(x ＋2y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y ＝4＋4y x ＋x y≥4＋24＝8.所以x ＋2y ＞m 恒成立，只需(x ＋2y )min ＞m .所以m ＜8.9．答案：AC解析：由于0＜a ＜b ＜c ，ln a ＜ln b ，故A 正确；由于0＜a ＜b ＜c ，所以b 2－a 2＝(a ＋b )(b －a )＞0，故B 错误；1c －a －1c －b ＝c －b －c －a c －a c －b ＝a －bc －a c －b<0，故C 正确；由于0＜a ＜b ＜c ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故D 错误． 10．答案：AC 解析：x 2＋1x2≥2x 2·1x 2＝2，当且仅当x 2＝1时等号成立，故A 正确；x 2＋3＋1x 2＋3≥2x 2＋3·1x 2＋3＝2，当且仅当x 2＋3＝1时等号成立，但x 2＋3≥3≠1，故B 错误；1a 2＋1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2(a 2＋2b 2)＝3＋2b 2a 2＋a 2b 2≥3＋22，当且仅当a 2＝2－1，b 2＝2－22时等号成立，故C 正确；当a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋a b ＋ba≥4，但a ＋b ＝1，不肯定a ＞0，b ＞0，故D 错误．11．答案：BD解析：对于A ，当c ＝0时，不等式明显不成立，故A 错误；对于B ，∵a >b 且a ＋b ＝2， ∴a >1且b <1，∴a －1>0且b －1<0，∴1a －1>1b －1，故B 正确；对于C ，∵a 2＋b22＝a 2＋b 2＋a 2＋b 24≥a 2＋b 2＋2ab 4＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，∴a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故C 错误；对于D ，∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b2＝1，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2＝a 2b ＋b2a＋1≥2a 2b ·b2a＋1＝2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立，故D 正确．12．答案：BCD解析：因为x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， 所以x ＋1xy ＝x ＋2x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋1x (2x ＋y )＝6x y ＋yx ＋5≥26x y ·yx＋5＝26＋5，当且仅当6x y＝yx，即y ＝6x 时取等号.5＋26≈9.9，所以可能取值10、11、12.13．答案：ba －b 2<a 2－ab解析：依题意，因a ≠b ，则ba －b 2－(a 2－ab )＝－(a 2－2ab ＋b 2)＝－(a －b )2<0， 所以ba －b 2<a 2－ab . 14．答案：5＋2 6解析：由题意，2a ＋3b＝1，且a >0，b >0，故a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝5＋2b a ＋3a b≥5＋22b a ×3a b ＝5＋26，当且仅当2b a ＝3ab，即a ＝6＋2，b ＝6＋3时等号成立．15．答案：32π解析：设矩形的长与宽分别为a ，b ，则2a ＋2b ＝16，即a ＋b ＝8，所以8≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≤16，则旋转形成的圆柱的侧面积为π·2ab ≤2π×16＝32π.所以矩形绕它的一条边旋转一周形成的圆柱的侧面积最大值为32π. 16．答案：6－ 36解析：由xy 2(x ＋6y )＝1，可得x (x ＋6y )＝1y2，故(x ＋3y )2＝x 2＋6xy ＋9y 2＝x (x ＋6y )＋9y 2＝1y2＋9y 2≥21y 2×9y 2＝6，当且仅当1y 2＝9y 2即y ＝33时，等号成立．此时x ＋3y 取得最小值6，x ＝6－3y ＝6－ 3.。
中职数学第二章不等式检测题
1中职数学第二章不等式测验题一、选择题(每小题5分,共50分) 1、如果a>3，那么（ ）；A. 3<a-2B. 3<a+2C. –a>-3D. a>5 2、不等式x 2+x-6<0的解集（ ）A.（2,3）B.（-3,2）C.(-∞,2)D. (-∞,-3)∪(2,+∞)3.一元一次不等式x+1>2的解集（ ） A (1,+∞) B (2,+∞) C [2,+∞) D [1,+∞)4.绝对值不等式∣x ∣-2≤0解集（ ）A 、 (2,+∞)B 、 (-2,2)C 、 [-2,2]D 、(-∞,2) ∪(2,+∞)5、下面4个式子中正确的是（ ）A 、3a >2aB 、3+ a >2 +aC 、3+ a>3- aD 、3/ a>2/ a6、不等式︱x-1︱<3的解集（ ）A 、[-2,4]B 、(-2,4)C 、 (-∞,2) ∪(4,+∞)D 、R 7、不等式x(x-2）>0的解集为（ ）A 、 (2,+∞)B 、 (0,2)C 、 [0,2]D 、(-∞,0) ∪(2,+∞)8、3︱x-2︱-2≥7A 、[5,+∞)B 、 (-∞,-1]C 、 [-1,5]D 、(-∞,-1] ∪[5,+∞)9、下列命题中正确的是（ ）A.若ac>0,则a>0且c>0 B .若2ac >2bc 则a>b C .若a-b>0 ,则ab>0 D .若a>b 则ab>0 10、不等式（2-x)(3-x)<0的解集为（ ）A (-∞,2) ∪(3,+∞)B (-∞,2] ∪[3,+∞)C (2,3)D [2,3]二．填空题(每空5分,共50分)1如果a>b, 则 b+2 , -2a -2b, 3a 3b2、设x-2<7, 则x<3、不等式x 2+x+3>0的解集 。
不等式及不等式组2
不等式及不等式组练习二 姓名:一.选择题:1.a 是非负数应表示为( ) A.a>0 B.a ≤0 C.a<0 D.a ≥02.若a<b,则下列不等式成立的是( ) A.a-b>0 B.a+b<0; C.ac<bc D.-a>-b3.下列各式对于任意数a 都能成立的是( ) A.7a>6a; B.a>-a; C.1154a a <; D.3-a<4-a 4.下列各数中不是不等式32≤-x 的解的是（ ）A 、3 B 、4 C 、5 D 、65.满足不等式3x+3≥2x+5及x+9≤2x+5的解集是( ) A.x ≥2 B.x ≥4; C.无解 D.x 为任意数6.设x 为一整数,且满足不等式-2x+3<4x-1及3x-2<-x+3,则x 等于( ) A.0 B.1 C.2 D.37.下列说法中错误的是( ) A.2不是不等式x+3<5的解; B.不等式x+1<1有无数多个解C.不等式x+3≥6的解集是x=3;D.不等式x+1<4的正数解是1,28.下列变形错误的是( )A.若ab>bc,则a>c;B.若a+b>b+c,则a>cC.若a>b,则a-c>b-c;D.若a>b,则c-a>c-b 9.x 与5的差不小于4，列不等式得（ ）A 、4)5(<-xB 、4)5(>-xC 、4)5(≤-xD 、4)5(≥-x11.不等式143-≥-x 的解集是（ ）A 、1≥x B 、1≤x C 、21-≥x D 、21-≤x 12.不等式组⎩⎨⎧><43x x 的解集是（ ）A 、3>x B 、4<x C 、43<<x D 、无解 13.不等式3432->+x x 的正整数解是（ ）A.0，1，2 B.1，2 C.1，2，3 D.0，1，2，314.不等式组⎩⎨⎧≤-<+xx x 2601的解集是（ ）A.1-<x B.6-≤x C.16-<≤-x D.12<≤-x15.不等式组⎩⎨⎧≥-<-3462x x 的解集是（ ）A. 3-<x B. 1≥x C.13≤<-x D.无解 16.不等式组⎩⎨⎧>-<312x a x 无解，则（ ）A.2<a B.2≤a C.1>a D.1≥a 17.如果不等式()22m x m ->-的解集为1x <，那么( )A ．2m ≠B ．2m >C ．2m <D ．m 为任意有理数18.如果方程()a b x a b -=-有惟一解1x =-，则( ) A ．a b = B ．a b ≠ C ．a b > D ．a b <19.不等式组31027x x +>⎧⎨<⎩的整数解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 20.已知a=x+2，b=x-1,且a>3>b ，则x 的取值范围是( ) A ．x>1 B ．x<4 C ．x>1或x<4 D ．1<x<4二.填空题:1.若关于x 的方程(1-m)x=1-2x 的解是负数,那么m 的取值范围是______.2.若关于x 的方程5x-2a=x-4的解在2和10之间(不包括2和10), 则a 应满足条件_______.3.对于二元一次方程21x y +=,当x>1时,y 的取值范围是_________.4.已知方程3(x-2a)+2=x-a+1的解适合不等式2(x-5)>8a,则a_______.5.已知-1<x<0,则x 、x 2、1x三者的大小关系是 ;不等式026≥-x 的解集是 . 6.x 的3倍与4的差是非负数，列不等式是 ;7.不等式435->-x 的正整数解是10.若不等式()327m x -<的解集为13x >-，则m 的值为______.不等式123x <的解集是______; 11.若不等式组121x m x m ≤+⎧⎨>-⎩无解，则m 的取值范围是______.12.不等式组⎪⎩⎪⎨⎧->->+1313x x 的整数解是 。
人教版初中数学七年级数学下册第五单元《不等式与不等式组》检测(有答案解析)(2)
一、选择题1．关于x 的方程3a x -=的解是非负数，那么a 满足的条件是（ ）A ．3a >B ．3a ≤C ．3a <D ．3a ≥ 2．已知点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，则a 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）．A ．B ．C ．D ．3．不等式()31x -≤5x -的正整数解有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．在数轴上表示不等式2（1﹣x ）＜4的解集，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ）A ．a b ->-B ．11a b < C ．2a b b +> D ．2a ab >6．不等式组3114x x +>⎧⎨-≤⎩的最小整数解是（ ）A ．5B ．0C ．-1D ．-27．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．8．不等式组10840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为( )A ．B ．C ．D ． 9．若关于x 的不等式组0722x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有3个，则m 的取值范围是（ ）A ．5＜m ＜6B ．5＜m ≤6C ．5≤m ≤6D ．6＜m ≤710．不等式组36030x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．11．若关于x 的不等式组132(2)x a x x ≥-⎧⎨≤+⎩仅有四个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤≤ B ．12a ≤< C ．12a <≤ D ．12a << 12．下列命题是假命题的是（ ）．A ．两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行B ．在实数7.5-15327-，π-，22中，有3个有理数，2个无理数 C ．在平面直角坐标系中，点(21,7)P a a -+在x 轴上，则点P 的坐标为(7,0)-D ．不等式组513(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和为7 二、填空题13．a b ≥，1a -+_____1b -+14．若||1(2)3m m x --=是关于x 的一元一次方程，则m 的值是___________． 15．已知点()6,29P m m --关于x 轴对称的点在第三象限，则m 的整数解是______． 16．当前我国的新冠疫情虽然有所控制，但防控仍不可掉以轻心，为做好秋季防疫工作，王老师带现金6820元为年级采购了额温枪和消毒酒精两种防疫物品，额温枪每个125元，消毒酒精每瓶55元，购买后剩余100元、10元、1元的钞票若干张（10元钞票和1元钞票剩余数量均不超过9张，且采购额温枪的数量大于消毒酒精的数量）.若把购买两种防疫物品的数量交换，剩余的100元和10元的钞票张数恰好相反，但1元钞票的张数不变，则购买消毒酒精的数量为__________________瓶．17．已知关于x 的不等式组0,10x a x +>⎧⎨->⎩的整数解共有3个，则a 的取值范围是___________． 18．关于x 的不等式组0821x m x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则m 的取值范围是______． 19．若不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，则m 的取值范围是__________．20．方程组24x y k x y +=⎧⎨-=⎩的解满足1x >，1y <，k 的取值范围是：__________.三、解答题21．解不等式（或组）：（1）2934x x++≤ （2）()47512432x x x x ⎧-<-⎪⎨->-⎪⎩22．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．A 型B 型 价格（万元/）15 12 月污水处理能力（吨/月） 250 200（1）该企业有哪几种购买方案？（2）哪种方案更省钱？并说明理由．23．某校计划安排初三年级全体师生参观黄石矿博园．现有36座和48座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过了30人；已知36座客车每辆租金400元，48座客车每辆租金480元．（1）该校初三年级共有师生多少人参观黄石矿博园？（2）请你帮该校设计一种最省钱的租车方案．24．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．（1）()4521x x +≤+（2）()1113125y y y +<--25．定义一种新运算“a b ⊗”的含义为：当a b ≥时，a b a b ⊗=+；当a b <时，a b a b ⊗=-．例如：32325⊗=+=，()()22224-⊗=--=-．（1）填空：()21-⊗=________；（2）如果()()3x 732x 2-⊗-=，求x 的值．26．受疫情影响，口罩价格不断走高.3月20日当天口罩的价格是年初的1.5倍；3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元.（1）那么3月20日当天口罩的价格为每盒多少元？（2）3月20日，按照（1）中的口罩价格，某售卖点共卖出1000盒口罩.3月21日，政府决定投入储备口罩并规定其销售价在3月20日的基础上下调0.7%a 出售.该售卖点按规定价出售一批储备口罩和非储备口罩，该售卖点的非储备口罩仍按3月20日的价格出售，3月21日当天的两种口罩总销量比3月20日增加了20%，且储备口罩的销量占总销量的56，两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了1%10a ，求a 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】求出方程的解，根据已知得出a-3≥0，求出即可．【详解】解：解方程a-x=3得：x=a-3，∵方程的解是非负数，∴a-3≥0，解得：a≥3，故选：D ．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次不等式，解一元一次方程的应用，关键是得出一个关于a 的不等式．2．C解析：C【分析】根据点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，可得点P 在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a 的取值范围.【详解】解：∵点()3,2P a a --关于原点对称的点在第四象限，∴点()3,2P a a --在第二象限，∴3020a a -<⎧⎨->⎩， 解得：2a <．则a 的取值范围在数轴上表示正确的是：．故选C ．【点睛】本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P 的坐标所在的象限.3．B解析：B【分析】直接利用一元一次不等式的解法分析得出答案．【详解】解：3（x-1）≤5-x3x-3≤5-x ，则4x≤8，解得：x≤2，故不等式3（x-1）≤5-x 的正整数解有：1，2共2个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式是解题的关键．4．A解析：A【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得不等式解集，然后得出在数轴上表示不等式的解集． 2(1– x )＜4去括号得：2﹣2ｘ＜4移项得：2x ＞﹣2，系数化为1得：x ＞﹣1，故选A ．“点睛”本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．5．C解析：C【分析】由基本不等式a ＞b ，根据不等式的性质，逐一判断．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴-a ＜-b ，故本选项不符合题意；B 、∵a ＞b ，∴当a 与b 同号时有11a b ，当a 与b 异号时，有11a b＞，故本选项不符合题意；C 、∵a ＞b ，∴a+b ＞2b ，故本选项符合题意；D 、∵a ＞b ，且a ＞0时，∴a 2＞ab ，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．6．C解析：C【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，写出这个不等式组的最小整数解即可．【详解】解：3114x x +>⎧⎨-≤⎩①②解不等式①得 x ＞-2，解不等式②得 x≤5，所以不等式组的解集为-2＜x≤4，所以，这个不等式组的最小整数解是-1，故选C ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．7．B解析：B【分析】由点()121M m m --，在第四象限,可得出关于m 的一元一次不等式组,解不等式组即可得出m 的取值范围,再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：由点()121M m m --，在第四象限，得1-2010m m >⎧⎨-<⎩， ∴0.51m m <⎧⎨<⎩即不等式组的解集为：0.5m <，在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】此题考查了象限及点的坐标的有关性质、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，需要综合掌握其性质8．A解析：A【分析】先对不等式组进行化简，找出它们的公共部分，然后在数轴上分别表示出x 的取值范围．【详解】解：不等式组10840x x ->⎧⎨-≤⎩①②由①得，x >1，由②得，x ⩾2， 故不等式组的解集为：x ⩾2， 在数轴上可表示为：故选：A.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，注意在数轴上表示解集时，空心圈和实心圈的区别.9．B解析：B【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，利用取解集的方法表示出不等式组的解集，根据解集中整数解有3个，即可得到m 的范围．【详解】解不等式x ﹣m ＜0，得：x ＜m ，解不等式7﹣2x ≤2，得：x ≥52，因为不等式组有解，所以不等式组的解集为52≤x＜m，因为不等式组的整数解有3个，所以不等式组的整数解为3、4、5，所以5＜m≤6．故选：B．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，表示出不等式组的解集，根据题意找出整数解是解本题的关键．10．C解析：C【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【详解】36030xx+>⎧⎨-≤⎩①②，解①得：2x>-，解②得：3x≤，在数轴上表示如图所示：不等式组的解集为23x-<≤．故选：C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．C解析：C【分析】先解含参的不等式组，根据不等式组仅有四个整数解得到关于a的不等式组，求解即可．【详解】解：132(2)x ax x≥-⎧⎨≤+⎩①②，解不等式①，得1x a≥-，解不等式②，得：4x≤，∵不等式组仅有四个整数解，∴011a<-≤，解得12a<≤，故选：C ．【点睛】本题考查解不等式组，根据解集的情况得到关于a 的不等式组是解题的关键．12．C解析：C【分析】根据平行线的判定、无理数、平面直角坐标系和不等式组的解判断即可．【详解】解：A 、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么内错角的角平分线互相平行，是真命题；B 、在实数7.5-，π-，2中，有3个有理数，2个无理数，是真命题；C 、在平面直角坐标系中，点P （2a-1，a+7）在x 轴上，a+7=0，a=-7，则点P 的坐标为（-15，0），原命题是假命题；D 、不等式组513(1)131722x x x x ->+⎧⎪⎨-≤-⎪⎩的所有整数解的和为7，是真命题； 故选：C ．【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．二、填空题13．≤【分析】根据不等式的性质判断即可【详解】∵a≥b ∴-a≤-b ∴-a+1≤-b+1故答案为≤【点睛】本题考查不等式的性质需要特别注意不等式两边同时乘除一个负数不等号要变号解析：≤【分析】根据不等式的性质判断即可.【详解】∵a≥b∴-a≤-b∴ -a+1≤-b+1故答案为≤.【点睛】本题考查不等式的性质，需要特别注意不等式两边同时乘除一个负数不等号要变号.14．-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可【详解】解：∵∴解得m=-2故答案为-2【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成 解析：-2【分析】根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组求解即可．【详解】解：∵||1(2)3m m x --= ∴2011m m -≠⎧⎨-=⎩，解得m=-2． 故答案为-2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义和不等式组的解法，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程组成为解答本题的关键．15．5【分析】利用平面直角坐标系中点的坐标特点得出m 的取值范围【详解】解：∵点P(m ﹣62m ﹣9)关于x 轴的对称点在第三象限∴点P 在第二象限∴m ﹣6<0且2m ﹣9>0解得：<m<6∴m 的取值范围是<m<解析：5【分析】利用平面直角坐标系中点的坐标特点得出m 的取值范围．【详解】解：∵点P (m ﹣6，2m ﹣9)关于x 轴的对称点在第三象限，∴点P 在第二象限，∴m ﹣6<0且2m ﹣9>0， 解得：92<m<6， ∴m 的取值范围是92<m<6， ∴m 的整数解为5；故答案为 5．【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-），要注意先判断出点P 在第二象限．16．30【分析】设额温枪的数量为消毒酒精的数量为剩余100元钞票的数量为a10元为b 根据题意列出方程组然后分别代入可能的a 和b 即可求得【详解】解：∵题中所有的钱数（68201255510010）均是0或解析：30【分析】设额温枪的数量为x ，消毒酒精的数量为y ，剩余100元钞票的数量为a ，10元为b ，根据题意列出方程组，然后分别代入可能的a 和b ，即可求得．【详解】解：∵题中所有的钱数（6820,125,55,100,10）均是0或5结尾，且1元钞票的数量不超过9张∴1元钞票的数量是5设额温枪的数量为x ，消毒酒精的数量为y ，剩余100元钞票的数量为a ，10元为b 根据题意得()()682012555100105682012555100105x y a b y x b a ⎧-+=++⎪⎨-+=++⎪⎩两式子相减可整理得：97x y b a -=- ∵9b ≤∴9x y -=，7b a -=∴b a -有三种情况①b=7，a=0②b=8，a=1③b=9，a=2将三种情况分别代入上述方程组计算得情况①和②算出x 和y 不是整数，不符合题意情况③情况符合题意：=39x 和=30y ，且39＞30，符合题意故购买的消毒酒精的数量为30瓶故答案为：30【点睛】本题考查四元一次方程组与不等式的应用，找出题中数量关系，列出方程组，并整体得出两个未知数的方程是解题的关键，要注意钞票张数是整数． 17．2＜a≤3【分析】先求出每个不等式的解集再求出不等式组的解集根据整数解共有3个即可得出关于a 的不等式组求解即可【详解】解：解不等式①得：x-a 解不等式②得：x ＜1∴不等式组的解集为-a ＜x ＜1∵不等解析：2＜a≤3．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，根据整数解共有3个即可得出关于a 的不等式组，求解即可．【详解】解：0,10x a x +>⎧⎨->⎩①②， 解不等式①得：x >-a ，解不等式②得：x ＜1，∴不等式组的解集为-a ＜x ＜1，∵不等式组的整数解共有3个，即-2，-1，0，∴-3≤-a ＜-2，∴2＜a≤3，故答案是：2＜a≤3．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据不等式组的整数解和已知得出关于a 的不等式组．18．0＜m≤1【分析】不等式组整理后表示出不等式组的解集由不等式组有3个整数解确定出m 的范围即可【详解】解：不等式组整理得：解得：由不等式组有3个整数解即整数解为123则m 的取值范围是0＜m≤1故答案为解析：0＜m≤1【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，由不等式组有3个整数解，确定出m 的范围即可．【详解】 解：不等式组整理得：72x m x ≥⎧⎪⎨<⎪⎩， 解得：72m x ≤<， 由不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3，则m 的取值范围是0＜m≤1．故答案为：0＜m≤1．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．19．【分析】首先通过解不等式得出的解集和的解集然后根据题意建立一个关于m 的不等式从而确定m 的范围即可【详解】解得解得∵不等式的解集中的每一个值都能使关于的不等式成立解得【点睛】本题主要考查不等式的解集掌 解析：35m <- 【分析】首先通过解不等式得出25123x x +-≤-的解集和3(1)552()x x m x -+>++的解集，然后根据题意建立一个关于m 的不等式，从而确定m 的范围即可．【详解】 25123x x +-≤-， 解得45x ≤． 3(1)552()x x m x -+>++， 解得12m x -<． ∵不等式25123x x +-≤-的解集中x 的每一个值，都能使关于x 的不等式3(1)552()x x m x -+>++成立，1425m -∴>， 解得35m <-． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，掌握解不等式的方法是解题的关键．20．【分析】先求出方程组的解再得出关于k 的不等式组求出不等式组的解集即可【详解】解：解方程组得：∵关于xy 的方程组的解满足∴解得：-1＜k ＜3故答案为-1＜k ＜3【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一解析：13k -<<【分析】先求出方程组的解，再得出关于k 的不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：解方程组得：22x k y k +⎧⎨-⎩＝＝， ∵关于xy 的方程组24x y k x y +⎧⎨-⎩＝＝的解满足1x >，1y <， ∴2121k k +⎧⎨-⎩＞＜， 解得：-1＜k ＜3，故答案为-1＜k ＜3．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于k 的不等式组是解此题的关键．三、解答题21．（1）12x ≤；（2）6x >【分析】（1）解一元一次不等式，先去分母，然后移项，合并同类项，最后系数化1求解； （2）先分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：（1）2934x x ++≤ 去分母，得：4243108x x ++≤移项，得：4310824x x +≤-合并同类项，得：784x ≤系数化1，得：12x ≤∴不等式的解集为x≤12（2）()47512432x x x x ⎧-<-⎪⎨->-⎪⎩①② 解不等式①，得：2x >-解不等式②，得：6x >∴不等式组的解集为6x >．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．22．（1）有3种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备；第二种是购买4台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备；第三种是购买5台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；（2）购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备更省钱【分析】（1）设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号（10﹣x ）台，由不等量关系购买A 型号的费用+购买B 型号的费用≤136；A 型号每月处理的污水总量+B 型号每月处理的污水总量≥2150，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．【详解】设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号（10﹣x ）台，根据题意，得1512(10)136250200(10)2150x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩， 解这个不等式组，得：1353x ≤≤．∵x 是整数，∴x=3或x=4或x=5．当x=3时，10﹣x=7；当x=4时，10﹣x=6；当x=5时，10-x=5．答：有3种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备； 第二种是购买4台A 型污水处理设备，6台B 型污水处理设备；第三种是购买5台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；（2）当x=3时，购买资金为15×3+12×7=129（万元），当x=4时，购买资金为15×4+12×6=132（万元），当x=5时，购买资金为15×5+12×5=135（万元）．因为135＞132>129，所以应购污水处理设备A 型号3台，B 型号7台．答：购买3台A 型污水处理设备，7台B 型污水处理设备更省钱．【点睛】此题考查方案类不等式组的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意，根据题意列得不等式组是解题的关键．23．（1）180，（2）租36座车1辆，48座3辆最省钱．【分析】（1）设租36座的车x 辆，则租48座的客车（x ﹣1）辆．根据不等关系：租48座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，列不等式组即可．（2）根据（1）中求得的人数，进一步计算不同方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可．【详解】解：（1）设租36座的车x 辆． 据题意得：3648(2)303648(2)48x x x x --⎧⎨--⎩＞＜， 解得：1124x x ⎧⎪⎨⎪⎩＜＞．∴不等式组的解集为4112x ＜＜． ∵x 是整数，∴x ＝5．36×5＝180（人），答：该校初三年级共有师生180人参观黄石矿博园．（2）设租36座车m 辆，租48座车n 辆，根据题意得，36m+48n≥180，∵m 、n 为非负整数，方案①：租36座车5辆，费用为：5×400＝2000元；方案②：租36座车4辆，48座至少1辆，最低费用为：4×400+480＝2080元； 方案③：租36座车3辆，48座至少2辆，最低费用为：3×400+2×480＝2160元； 方案④：租36座车2辆，48座至少3辆，最低费用为：2×400+3×480＝2240元； 方案⑤：租36座车1辆，48座至少3辆，最低费用为：1×400+3×480＝1840元； 方案⑥：租48座车4辆，费用为：4×480＝1920元；∴选择方案⑤：租36座车1辆，48座3辆最省钱．【点睛】本题考查了不等式组的应用和方案选择问题，正确设未知数，准确把握不等关系，列出不等式或不等式组，是解决问题的关键．24．（1）32x ≤-，数轴见解析；（2）y >5，数轴见解析 【分析】先对不等式进行求解，求出解集，然后在数轴上表示出解集即可．【详解】解：（1）∵()4521x x +≤+，即4225x x -≤-， 即32x ≤-， ∴不等式的解集为：32x ≤-；（2）()1113125y y y +<-- 即133522y y y +-<-， 即33102y -<-， 故5y >， 故不等式的解集为：5y >．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的解法，解此类题目经常用到数轴，注意x 或y 是否取得到，若取得到则为实心否则为空心．25．（1）-3；（2）x 6=．【分析】（1）根据新定义列式计算即可；（2）根据新定义分两种情况列方程求解即可．【详解】解：()121-<，∴()21213-⊗=--=-故答案为：3-()2①当3x 732x -≥-时，即x≥2()()3x 732x 2-⊗-=即3x 732x 2-+-=x 6=.②当3x 732x -<-时，即x<2()()3x 732x 2-⊗-=即()3x 732x 2---=125x =（不合题意，舍去） x 6.∴=【点睛】本题主要考察了新定义的计算，解一元一次方程以及有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和有理数的混合运算法则．26．（1）3月20日当天口罩的价格为每盒36元.（2）a 的最大值为25．【分析】（1）可设年初口罩的价格为每盒x 元，则3月20日当天口罩的价格为每盒1.5x 元，根据3月20日当天，王老师购买4盒口罩比年初多花了48元列出方程即可求解； （2）根据两种口罩销售的总金额比3月20日至少提高了1%10a ，列出不等式即可求解． 【详解】解：（1）设年初口罩的价格为每盒x 元，则3月20日当天口罩的价格为每盒1.5x 元，依题意有4 1.5448x x ⨯-=，解得24x = ，1.5 1.52436x =⨯=.∴3月20日当天口罩的价格为每盒36元.（2）1000×（1+20%）=1200（盒），5120010006⨯==1000（盒）， 1200-1000=200（盒），依题意有()13620010003610.7%1000361%10a a ⎛⎫⨯+⨯-≥⨯+ ⎪⎝⎭， 解得a≤25．故a 的最大值为25．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．。
第九章不等式与不等式组(二)单元测试卷2021-2022学年人教版数学七年级下册
2021-2022学年度初中数学七年级下册不等式与不等式组模拟试题（二）一、单选题1．﹣（﹣a ）和﹣b 在数轴上表示的点如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．﹣a ＜1B ．b ﹣a ＞0C ．a ＋1＞0D ．﹣a ﹣b ＜0 2．某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，则该市气温t （℃）的变化范围是（ ）A ．t ＞33B ．t ≤24C ．24＜t ＜33D ．24≤t ≤33 3．若关于x 的分式方程2x x -+1＝22ax x --有整数解，且关于y 的不等式组2(1)15210y a y y -+-≤⎧⎨+<⎩恰有2个整数解，则所有满足条件的整数a 的值之积是（ ） A ．0 B ．24 C ．﹣72 D ．12 4．为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗（注：饭碗的大小形状都一样，下同）摞起来的高度为15cm ，9只饭碗摞起来的高度为20cm ，李老师家的碗橱每格的高度为31cm ，则里面一摞碗最多只能放（ ）A ．16只B ．15只C ．14只D ．13只 5．设[x ）表示大于x 的最小整数，如[3）=4，[-1.2）=-1，下列结论：℃[0）=0；℃[x ）-x 的最小值是0；℃[x ）-x 的最大值是1；℃存在实数x ，使[x ）-x =0.5成立，其中正确的是（ ）A ．℃℃B ．℃℃C ．℃℃℃D ．℃℃℃6．已知关于x 的不等式组420102x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有4个整数解，则a 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜a ＜﹣12 B ．﹣1≤a ≤﹣12 C ．﹣1＜a ≤﹣12 D ．﹣1≤a ＜﹣12 7．下列说法正确的个数是（ ）（1）一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；（2）当0a ≠时，a 总是大于0；（3）若mn =0，则m 、n 中必有一个数为0；（4）如果0a ≥那么5a -一定有最小值-5．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 9．若10a -<<，则有（ ）A ．1a a >B ．33a a <C ．2a a ->D ．32a a <- 10．一群女生住若干间宿舍，若每间住4人，剩下16人无处住；若每间住6人，有一间宿舍住人但不足4人，那么这群女生的人数是（ ）A ．52B ．56C ．60或56D ．60二、填空题11．若0622x k x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，则k 的取值范围是________． 12．已知关于x 的不等式组223x x x m ⎧->+⎨≥⎩只有两个整数解，则实数m 的取值范围是 __________．13．若点P 为数轴上一个定点，点M 为数轴上一点将M ，P 两点的距离记为MP ．给出如下定义：若MP 小于或等于k ，则称点M 为点P 的k 可达点．例如：点O 为原点，点A 表示的数是1，则O ，A 两点的距离为1，1＜2，即点A 可称为点O 的2可达点．（1）如图，点B 1，B 2，B 3中，___是点A 的2可达点；（2）若点C 为数轴上一个动点，℃若点C 表示的数为﹣1，点C 为点A 的k 可达点，请写出一个符合条件的k 值 ___； ℃若点C 表示的数为m ，点C 为点A 的2可达点，m 的取值范围为 ___；（3）若m ≠0，动点C 表示的数是m ，动点D 表示的数是2m ，点C ，D 及它们之间的每一个点都是点A 的3可达点，写出m 的取值范围 ___．14．有一根长22cm 的金属棒，将其截成x 根3cm 长的小段和y 根5cm 长的小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则x ＋y ＝__．15．某学校举办“创文知识”竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小聪要想得分不低于140分，他至少要答对多少道题？如果设小聪答对a 题，则他答错或不答的题数为()20a -题，根据题意列不等式：___________． 16．为了迎接“母亲节”的到来，枣庄市购物中心超市准备开展打折促销活动，现在有某件商品进价200元，标价320元出售，商场规定打折销售后利润率不能少于20%，那么这种商品最多打______折．17．不超过数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[x ]例如，[3.4]=3，[-2.1]=-3则满足关系式[37]6x +=5的x 的整数值有________ 18．如果不等式组320x x m ->⎧⎨≥⎩有解，则m 的取值范围是______． 三、解答题19．西大附中为打造“书香校园”，计划在校内组建中、小型两类图书角共30个，已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本，人文类书籍50本，组建一个小型图书角需科技类书籍30本，人文类书籍60本．目前学校用于组建图书角的科技类书籍不超过1900本，人文类书籍不超过1620本．(1)符合题意的组建方案有几种？请你帮学校设计出来．(2)若组建一个中型图书角的费用是860元，小型图书角的费用是570元，试说明（1）中哪种方案费用最低，最低费用是多少元？20．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集：(1)x －7＞26(2)3x ＜2x ＋121．解下列不等式组32122x x x +>⎧⎪⎨≤⎪⎩． 22．某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x 个，需要长方形纸板________________张，正方形纸板_____________张（请用含有x的式子）（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．23．“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？24．解下列不等式：(1)2x﹣1＜﹣6；(2)145 23--<x x；(3)解不等式组：3(2)41213x xxx--≥⎧⎪+⎨>-⎪⎩，并在数轴上表示它的解集．参考答案：1．B【详解】解：﹣（﹣a ）＝a ，由数轴可得a ＜﹣1＜﹣b ＜0，℃a ＜﹣1，℃﹣a ＞1，故A 选项判断错误，不合题意；℃﹣b ＜0，℃b ＞0，b ﹣a ＞0，故B 正确，符合题意；℃a ＜﹣1，℃a +1＜0，故C 判断错误，不合题意；℃a ＜﹣b ，℃a +b ＜0，℃﹣a ﹣b ＞0，故D 判断错误，不合题意．故选：B ．2．D【详解】由题意，某市最高气温是33℃，最低气温是24℃，说明其它时间的气温介于两者之间， ℃该市气温t （℃）的变化范围是：24≤t ≤33；故选：D ．3．D【详解】先解分式方程，再解一元一次不等式组，进而确定a 的取值．解：℃2x x -+1＝22ax x --， ℃x +x ﹣2＝2﹣ax ．℃2x +ax ＝2+2．℃（2+a ）x ＝4．℃x ＝42a+ ． ℃关于x 的分式方程2x x -+1＝22ax x --有整数解， ℃2+a ＝±1或±2或±4且42a +≠2． ℃a ＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6．℃2（y ﹣1）+a ﹣1≤5y ，℃2y ﹣2+a ﹣1≤5y ．℃2y ﹣5y ≤1﹣a +2．℃﹣3y ≤3﹣a ．℃y ≥﹣1+3a ． ℃2y +1＜0，℃2y ＜﹣1．℃y ＜12-． ℃﹣1+3a ≤y ＜12-． ℃关于y 的不等式组2(1)15210y a y y -+-≤⎧⎨+<⎩恰有2个整数解， ℃﹣3＜﹣1+3a ≤﹣2． ℃﹣6＜a ≤﹣3．又℃a ＝﹣1或﹣3或﹣4或2或﹣6，℃a ＝﹣3或﹣4．℃所有满足条件的整数a 的值之积是﹣3×（﹣4）＝12．故选：D ．4．B【详解】解：设碗底的高度为xcm ，碗身的高度为ycm ，由题意得：615920x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：535x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 设李老师一摞碗能放a 只碗，由题意得：5+53a ≤31， 解得：a ≤7815.65=， 则一摞碗最多只能放15只，故选：B ．5．B【详解】解：由题意可知：℃[x ）表示大于x 的最小整数，℃设[x ）＝n ，则n －1≤x ＜n ，℃[x ）－1≤x ＜[x ），℃0＜[x ）－x ≤1，℃℃[0)1=，故℃错误；℃[)x x -可无限接近0，但取不到0，无最小值，故℃错误；℃[)x x -的最大值是1，当x 为整数时，故℃正确；℃存在实数x ，使[)0.5x x -=成立，比如x =1.5，故℃正确，故选：B ．6．D【详解】解：解不等式组得：22x x a ≤⎧⎨>⎩， ℃该不等式组恰有4个整数解，℃－2≤2a ＜－1，解得：﹣1≤a ＜﹣12，故选：D ．7．D【详解】℃一个数绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远,℃（1）正确； ℃a ≥0，℃当0a ≠时，a 总是大于0，℃（2）正确；℃mn =0，℃m =0或n =0，℃（3）正确；℃5055a -≥-≥-，℃5a -一定有最小值-5℃（4）正确；故选D ．8．C【详解】 解：解方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩得：213322x a y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，℃关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥， ℃213a +≥322a --， 解得：a ≥-1813， ℃关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ℃7323a --≤<-， 解得-2≤a ＜1， ℃1813-≤a ＜1， ℃符合条件的整数a 的值有：-1，0，共2个，故选：C ．9．C【详解】 解：采用特殊取值法，取12a =-， 则12a=-，由122-<-，A 选项错误； 33111111,,282888⎛⎫⎛⎫-=-=->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 选项错误； 2111111,,222424⎛⎫⎛⎫--=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确； 由1184->-知321122⎛⎫⎛⎫->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，D 选项错误； 故选：C ．10．B【详解】解:设有x 间宿舍，则有6（x -1）＜4x +16＜6（x -1）+4，整理得()()61416416614x x x x ⎧-+⎪⎨+-+⎪⎩＜①＜②， 解不等式℃得11x ＜，解不等式℃得9x ＞，℃不等式组的解集为911x ＜＜，℃x =10，当x =10时4×10+16=56人，故选择B ．11．21k -<≤-【详解】解：0622x k x -≥⎧⎨->-⎩①②由℃得：,x k ≥由℃得：x ＜4,k x ∴≤＜4,622x k x -≥⎧⎨->-⎩的整数解共有5个，∴ 不等式组的整数解为：3,2,1,0,1,-∴ 21k -<≤-故答案为：21k -<≤-12．32m -<-【详解】解：当2x 时，223x x ->+，13x ∴<-，13x ∴<-；当2x >时，223x x ->+，5x ∴-＞，∴不等式的解为13m x ≤<-，不等式组|2|23x x x m ->+⎧⎨⎩只有两个整数解，∴两个整数解为1-和2-，32m ∴-<-，故答案为：32m -<-．13． 2B 、3B ##B 3、B 2 3 13m -≤≤ 12m -≤≤【详解】解：（1）由题意知：1>2B A 2，2<2B A 2，3<2B A 2，℃2B 、3B 是点A 的2可达点，故填：2B 、3B ；（2）℃当点C 表示的数为﹣1时，=2CA ≤k ，故k ＝3，故填：3；℃当点C 表示的数为m 时，=1CA m -≤2，解得：13m -≤≤，故填：13m -≤≤；（3）由题意知：=1CA m -，21DA m =-， 即：13m -≤，213m -≤，解得：12m -≤≤，故填：12m -≤≤．14．6【详解】℃一根长22cm 的金属棒，将其截成x 根3cm 长的小段和y 根5cm 长的小段， ℃3x +5y ≤22， ℃2253y x -≤， ℃2250y -≥，且y 为正整数，℃y 的值可以为1、2、3、4，当y ＝1时，x≤173，则x ＝5，此时，所剩的废料是：22﹣5﹣3×5＝2cm ， 当y ＝2时，x≤4，则x ＝4，此时，所剩的废料是：22﹣2×5﹣4×3＝0cm ，当y ＝3时，x≤73，则x ＝2，此时，所剩的废料是：22﹣3×5﹣2×3＝1cm ， 当y ＝4时，x≤23，则x ＝0（舍去）， ℃废料最少的是：x ＝4，y ＝2，℃x ＋y ＝6，故答案为：615．()10520140a a --≥【详解】解：根据题意，得10a −5（20−a ）≥140．故答案是：10a −5（20−a ）≥140．16．七五【详解】解：设这种商品可以按x 折销售，则售价为320×0.1x ，那么利润为320×0.1x -200，所以相应的关系式为320×0.1x -200≥200×20%，解得：x ≥7.5．℃这种商品最多可以按7.5折销售．故答案为：七五．17．8，9.【详解】解：因为原方程即为[37]6x +=5, 所以5≤376x +<6， 所以37563766x x +⎧≥⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：232933x ≤<， 因为x 是整数，所以x =8， 9，故答案为：8，9.18．32m <【详解】 解：320x x m ->⎧⎨≥⎩， 解不等式320x ->，解得32x <， 因为不等式组320x x m->⎧⎨≥⎩有解， 所以32m x ≤<， 所以32m <. 故答案为：32m <.19．(1)共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个．(2)方案1费用最低，最低费用是22320元(1)解：设组建中型图书角x 个，则组建小型图书角(30)x -个，依题意得：()()80303019005060301620x x x x ⎧+-≤⎪⎨+-≤⎪⎩， 解得：1820x ≤≤，又∵x 为整数，∴x 可以取18，19，20，∴共有3种组建方案，方案1：组建中型图书角18个，小型图书角12个；方案2：组建中型图书角19个，小型图书角11个；方案3：组建中型图书角20个，小型图书角10个；(2)选择方案1的费用为：860185701222320⨯+⨯=（元)；选择方案2的费用为：860195701122610⨯+⨯=（元)；选择方案3的费用为：860205701022900⨯+⨯=（元)．223202*********<<，∴方案1费用最低，最低费用是22320元．20．(1)x ＞33，见解析(2)x ＜1，见解析【详解】（1）根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变，所以：x －7＋7＞26＋7，x ＞33．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：（2）3x ＜2x ＋1；解:（2）根据不等式的性质1，不等式两边减2x ，不等号的方向不变，所以：3x －2x ＜2x ＋1－2x ，x ＜1．这个不等式的解集在数轴上的表示如图：21．14x -<≤【详解】解：解不等式3x +2>x 得：x >-1， 解不等式122x ≤，得：4x ≤， 则不等式组的解集为：14x -<≤．22．（1）长方形纸板用了（x +300）张，正方形纸板用了（200﹣x ）张；（2）共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；（3）293或298 【详解】解：（1）设生产竖式纸盒x 个，则生产横式纸盒（100﹣x ）个，则长方形纸板用了43(100)300x x x +-=+张，正方形纸板用了2(100)200x x x +-=-张 ℃长方形纸板用了（x +300）张，正方形纸板用了（200﹣x ）张．（2）依题意，得：300340200162x x +≤⎧⎨-≤⎩， 解得：3840x ≤≤． ℃x 为整数，℃x ＝38，39，40，℃共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．（3）设可以生产竖式纸盒m 个，横式纸盒1622m -个，由此可得，m 为偶数，依题意，得：43(81)2m a m =+-∵290300a << ∴43(8129030)02m m +-<< ∴18.822.8x ≤≤∴20m =或22m =∴293a =或298a =答：a 的值为293或298．23．(1)政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元(2)共有3种方案(1)设政府对划线新增一个停车位补贴x 元，对建设改造新增一个停车位补贴y 元，依题意得：4380002500x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：{x =500y =2000． 答：政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元．(2)设老旧小区划线新增m 个停车位，则建设改造新增(100)m -个停车位，依题意得：()100 1.55002000100143000m mm m -⎧⎨+-⎩，解得：3840m ．又m 为整数，m ∴可以为38，39，40，∴老旧小区新增停车位共有3种方案．24．(1)x ＜﹣2.5(2)x ＞1.4(3)x ≤1，在数轴上表示它的解集见解析(1)解：移项得：2x ＜﹣6+1，合并得：2x ＜﹣5，解得：x ＜﹣2.5；(2)解：去分母得：3（x ﹣1）＜2（4x ﹣5），去括号得：3x ﹣3＜8x ﹣10，移项得：3x ﹣8x ＜﹣10+3，合并得：﹣5x ＜﹣7，解得：x ＞1.4；(3) 解：3(2)41213x x xx --≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②由℃得：x ≤1，由℃得：x ＜4，解得：x ≤1．。
《不等式》水平测试二
《不等式》水平测试二一、选择题1．函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如右图），其定义域是[)(]1001-U ，，，则不等式()()1f x f x -->-的解集是（ ）Ａ．{}110x x x -≠，且|≤≤ Ｂ．{}10x x -<|≤ Ｃ．11012x x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，或|≤≤ Ｄ．11012x x x ⎧⎫-<-<⎨⎬⎩⎭，或|≤≤ Ｄ2．已知20350x y x y ⎧-⎪⎨-+⎪⎩，，≤≥则22x y +-的最大值等于（ ） Ａ．1Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．4Ｂ 3．若不等式220x ax +->在区间[15]，上有解，则a 的取值范围是（ ） Ａ．235⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞ Ｂ．2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， Ｃ．(1)+，∞ Ｄ．235⎛⎤-- ⎥⎝⎦，∞ Ａ 4．关于x 的方程122x a a +=-只有正实数解，则a 的取值范围是（ ） Ａ．122a <<Ｂ．12a -<< Ｃ．2a >或1a <- Ｄ．以上均错 Ａ 5．若[]x 表示不超过x 的最大整数．例如：[5.4]5=，[ 5.5]6-=-，则不等式2[]5[]60x x -+≤的解集为（ ）Ａ．[23]， Ｂ．[)24， Ｃ．(]13， Ｄ．(14)，Ｂ6．设a b c ，，是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） Ａ．a b a c b c --+-≤ Ｂ．2211a a a a++≥ Ｃ．12a b a b -+-≥Ｃ二、填空题7．已知实数a b ，满足等式1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列五个关系式中：①0b a <<；②0a b <<；③0a b <<；④0b a <<；⑤a b =，不可能成立的关系式是 ．③④8．已知点()P x y ，满足条件305x y y ⎧--⎪⎨⎪⎩，，≤≤≤则2x y +的最大值为 ． 159．已知m n p ，，均为正数，且222m n p +=，则m n p+的最大值为 ．10．已知2040250x y x y x y ⎧-+⎪+-⎨⎪--⎩，，，≥≥≤则211y z x +=+的取值范围是 ． 3742⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 11．已知a b c >>，若不等式11k a b b c a c+>---恒成立，则实数k 的取值范围是 ． 4k <12．汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油耗油量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有函数关系：21(50)5(0150)2500g v v =-+<<．“汽油的使用率最高”为汽车行驶1千米汽油的平均消耗量最小（单位：L/km ），则汽油的使用率最高时，汽车速度为 （km/h ）．三、解答题13．已知0a >，131322b a c b a b ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，比较a b c ，，的大小．当a a b c >>；当a a b c ==；当0a <a c b <<．14．已知函数2()x f x ax b=+（其中a b ，为常数），且方程()120f x x -+=有两个实根1234x x ==，．（1）求a b ，的值；（2）设1k >，解关于x 的不等式(1)()2k x k f x x+-<-． （1）12a b =-⎧⎨=⎩，； （2）当12k <<时，不等式的解集为{}|12x x k x <<>或；当2k =时，不等式的解集为{}|122x x x <<>或；当2k >时，不等式的解集为{}|12x x x k <<>或．15．在一次征兵体检中，要查清众多应征者是否携带某种传染病毒，查明需通过一项成本高、耗时多的血液化验，根据医学统计知，带有该病毒的人所占比例很小，因而采取一种叫“群试”的方法：把从每年应征者身上抽取的血液分成两份，一份保存备用，另一份分组混合在一起；混合的每组化验一次，若化验合格，则整组的应征者合格；若化验不合格，说明这组人中有带病毒者，进而再用备用血逐个查明，若该市有10000名应征者，假设带病毒者占千分之二点五，每化验一次需花费30元．问：平均分成多少组时，群试较逐个化验节省的费用最多．平均分成500组进行群试，较逐个化验节省的费用最多．。
2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2基本不等式提升训练新人教A版必修第一册
基本不等式基础过关练题组一 对基本不等式的理解1.若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√aa C.1a +1a >√aaD.a a +a a≥22.不等式(x -2y )+1a -2a ≥2成立的前提条件为 ( ) A.x ≥2y B.x >2y C.x ≤2y D.x <2y3.(2020山东德州夏津一中高一月考)不等式9a -2+(x -2)≥6(其中x >2)中等号成立的条件是 ( ) A.x =5 B.x =-3C.x =3 D.x =-54.(2020浙江杭州高一月考)下列不等式一定成立的是 ( ) A.3x +12a≥√6 B.3x 2+12a 2≥√6C.3(x 2+1)+12(a 2+1)≥√6D.3(x 2-1)+12(a 2-1)≥√6题组二 利用基本不等式比较大小5.(多选)(2021辽宁葫芦岛高一质量检测)已知两个不等正数a ,b 满足a +b =1,则下列说法正确的是 ( ) A.ab <14 B.1a +1a<4C.√a +√a <√2D.a 2+b 2>126.若0<a <b ,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.b >a +a 2>a >√aa B.b >√aa >a +a 2>aC.b >a +a 2>√aa >aD.b >a >a +a 2>√aa7.小W 从A 地到B 地和从B 地到A 地的速度分别为m 和n (m >n ),其全程的平均速度为v ,则 ( ) A.a +a 2<v <m B.n <v <√aaC.√aa <v <a +a 2D.v =a +a 28.若a >b >c ,则a -a 2与√(a -a )(a -a )的大小关系是 .9.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价a +a 2%,若p ,q >0,且p ≠q ,则提价多的方案是 .题组三 利用基本不等式求最值10.已知实数x ,y >0,则x +y +4a +1a 的最小值为 ( ) A.4√2 B.6 C.2√10 D.3√611.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y =x +4a -1(x >1),则函数的最小值等于 ( )A.4√2B.4√2+1C.5D.912.(2021宁夏大学附属中学高二上期中)若-2<x <0,则函数y =-x (x +2)的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.513.已知a >b >0,则a 2+16a (a -a )的最小值为 ( ) A.8 B.8√2 C.16D.16√214.若正数x ,y 满足x +4y -xy =0,则当x +y 取得最小值时,x 的值为 ( )A.9B.8C.6D.315.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知正实数x ,y 满足x +y =1,则1a +1a的最小值是 .16.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)已知a >0,b >0,且4a +b =1,求ab 的最大值; (2)已知x <54,求4x -2+14a -5的最大值.题组四 利用基本不等式证明不等式17.(2021福建三明第一中学高一上月考)已知a ,b 均为正实数,求证:a 2b 2+a 2+b 2≥ab (a +b +1).18.(2021安徽六安城南中学高二上开学考试)已知a ,b ,c 是三个不全相等的正数. 求证:a +a -a a +a +a -a a +a +a -aa>3.19.设x >0,求证:x +22a +1≥32.题组五 利用基本不等式解决实际问题20.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m 2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是 ( ) A.4.6m B.4.8m C.5mD.5.2m21.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()A.20mB.50mC.10√10mD.100m22.某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是()A.14B.4C.18D.82.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)已知a >0,b >0,a +b =1,则a 2+4a +a 2+4a 的最小值为 ()A.6B.8C.15D.173.(2021河北辛集中学高一上月考,)已知a >0,b >0,a +b =4ab ,则a +b 的最小值为 ( )A.12 B.1 C.2 D.44.(2020河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x ,y 满足x 2+a 22=1,则x √1+a 2的最大值为( )A.32 B.3√22C.34D.3√245.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a ,b 满足a 2+4b 2+1aa =4,则a = ,b = .6.(2020河北唐山第一中学高一下月考,)已知x >0,则a 2+3a +6a +1的最小值是.7.(2020湖北麻城一中高一月考,)已知a ,b ∈R,且a >b >0,a +b =1,则a 2+2b 2的最小值为 ,4a -a +12a的最小值为 . 8.(2021江苏苏州高一期末,)已知a ,b 均为正实数且ab +a +3b =9,则a +3b 的最小值为 .9.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知x >0,y >0,4x 2+y 2+xy =1,求:(1)4x 2+y 2的最小值; (2)2x +y 的最大值.题组二 利用基本不等式证明不等式 10.()已知a ,b为正数,求证:1a +4a ≥2(√2+1)22a +a.11.()若a>b,且ab=2,求证:a2+a2a-a≥4.12.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a +1a+1aa≥8;(2)(1+1a )(1+1a)≥9.13.()(1)已知a,b,c∈R,求证:√a2+a2+√a2+a2+√a2+a2≥√2(a+b+c);(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:a2a +a21-a≥(a+b)2.题组三基本不等式在实际问题中的应用14.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x,则()A.x=a+a2B.x=√aaC.x>a+a2D.x<a+a215.(2020湖北宜昌高三期末,)某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=12x2-300x+80000,为使每吨的平均处理成本最低,则该厂每月的处理量应为()A.300吨B.400吨C.500吨D.600吨16.(2021山东菏泽第一中学等六校高一上联考,)欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为m2.17.(2021四川绵阳南山中学高三上开学考试,)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x=3-2a+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.18.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(InternetofThings,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?答案全解全析基础过关练1.D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴aa >0,aa>0,∴aa+aa≥2√aa·aa=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.2.B 因为不等式成立的前提条件是x -2y 和1a -2a均为正数,所以x -2y >0,即x >2y ,故选B .3.A 当x >2时,9a -2+(x -2)≥2√9a -2·(a -2)=6,等号成立的条件是9a -2=x -2,即(x -2)2=9,解得x =5(x =-1舍去).故选A .4.B 对于A,x 可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x 2+12a 2≥√6,当且仅当3x 2=12a 2,即x 4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x 2+1)=12(a 2+1)时,(a 2+1)2=16,x 无解,不成立;对于D,x 2-1可能是负数,不成立.故选B .5.ACD A.因为a ,b 为两个不等正数,所以√aa <a +a 2=12,可得ab <14,故选项A 正确;B.因为1a +1a =a +aaa =1aa,所以由选项A 可知,1aa>4,故选项B 不正确;C.因为(√a +√a )2=a +b +2√aa =1+2√aa ,所以由选项A 可知选项C 正确; D.因为a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ,所以由选项A 可知,a 2+b 2=1-2ab >12,故选项D 正确.6.C ∵0<a <b ,∴2b >a +b ,∴b >a +a 2>√aa .∵b >a >0,∴ab >a 2,∴√aa >a. 故b >a +a 2>√aa >a.7.B 设从A 地到B 地的路程为s ,小W 从A 地到B 地和从B 地到A 地所用的时间分别为t 1,t 2,则t 1=aa ,t 2=aa ,其全程的平均速度为v =2aa 1+a 2=2aaa +aa=2aaa +a.∵m >n >0,∴v =2aaa +a <2√aa=√aa ,v -n =2aaa +a -n =2aa -aa -a 2a +a=a (a -a )a +a>0,∴n <v <√aa . 故选B . 8.答案a -a 2≥√(a -a )(a -a )解析 因为a >b >c ,所以a -a 2=(a -a )+(a -a )2≥√(a -a )(a -a ),当且仅当a -b =b -c ,即2b =a +c 时,等号成立.9.答案 乙解析 不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为(1+a +a 2%)2,易知√(1+a %)(1+a %)≤1+a %+1+a %2=1+a %+a %2,当且仅当1+p%=1+q%,即p =q 时等号成立,又p ≠q ,故(1+p%)(1+q%)<(1+a +a 2%)2,所以提价多的方案是乙.10.B ∵x ,y >0,∴x +y +4a +1a≥2√a ·4a+2√a ·1a=4+2=6,当且仅当x =4a且y =1a,即x =2,y =1时等号成立.故选B .11.C 因为x >1,所以y =x +4a -1=(x -1)+4a -1+1≥2√(a -1)·4a -1+1=5,当且仅当x -1=4a -1,即x =3时,等号成立.故选C . 12.A ∵-2<x <0,∴-x >0,x +2>0,∴y =-x (x +2)≤(-a +a +22)2=1,当且仅当-x =x +2,即x =-1时等号成立. 故选A .规律总结 1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,缺一不可.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分,消元或配凑因式.13.C ∵a >b >0,∴由基本不等式的变形可得b (a -b )≤(a +a -a 2)2=a 24,∴a 2+16a (a -a )≥a 2+16a 24=a 2+64a 2≥2√a 2×64a 2=16,当且仅当{a -a =a ,a 2=64a2,即{a =2√2,a =√2时,等号成立.误区警示 利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致,如本题中第一次利用基本不等式取等号的条件为b =a -b ,第二次利用基本不等式取等号的条件为a 2=64a 2,故最终的最值应该是在这两个条件下共同取得的. 14.C ∵x >0,y >0,x +4y =xy ,∴4a +1a =1, ∴x +y =(x +y )(4a +1a )=5+a a +4a a ≥5+2√a a ·4aa=9,当且仅当x =2y 时,等号成立,此时{a =2a ,a +4a =aa ,解得{a =6,a =3.故选C . 15.答案 4解析 由题意可得,1a +1a =a +a a+a +aa=2+a a +aa ≥2+2√aa ·aa =4, 当且仅当x =y =12时等号成立.16.解析 (1)∵1=4a +b ≥2√4aa =4√aa ,∴√aa ≤14,∴ab ≤116,当且仅当4a =b ,即a =18,b =12时取等号, 故ab 的最大值为116.(2)∵x <54,∴5-4x >0, ∴4x -2+14a -5=-(5-4a +15-4a)+3≤-2√(5-4a )×15-4a +3=1, 当且仅当5-4x =15-4a ,即x =1时,等号成立,故4x -2+14a -5的最大值为1. 17.证明 由基本不等式得a 2b 2+a 2≥2a 2b ,a 2b 2+b 2≥2ab 2,b 2+a 2≥2ab , 三式相加得2a 2b 2+2a 2+2b 2≥2a 2b +2ab 2+2ab =2ab (a +b +1). 所以a 2b 2+a 2+b 2≥ab (a +b +1).18.证明 ∵a ,b ,c 是三个不全相等的正数,∴三个不等式a a +a a≥2,a a +a a≥2,a a +a a≥2的等号不能同时成立, 则a a +a a +a a +a a +a a +aa >6, ∴(aa +aa -1)+(aa +aa -1)+a a +aa-1>3,即a +a -a a +a +a -a a +a +a -aa>3. 19.证明 因为x >0,所以x +12>0,所以x +22a +1=x +1a +12=x +12+1a +12-12≥2√(a +12)·1a +12-12=32,当且仅当x +12=1a +12,即x =12时,等号成立.故x >0时,x +22a +1≥32.20.C 设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则12xy =1,即xy =2. 周长l =x +y +√a 2+a 2≥2√aa +√2aa =2√2+2≈4.83(m), 当且仅当x =y 时等号成立.结合实际问题,可知选C . 21.B 设BC =x m,则CD =1000am,所以a 矩形a 1a 1a 1a 1=(x +10)(1000a+4)=1040+4x +10000a≥1040+2√4a ·10000a=1440,当且仅当4x =10000a,即x =50时,等号成立,所以当BC 的长度为50m 时,整个项目占地面积最小.故选B . 22.解析 设楼房每平方米的平均综合费用为y 元. 依题意得y =s +8000×100004000a=50x +20000a+3000(x ≥12,x ∈N *).因为50x +20000a+3000≥2×√50a ·20000a+3000=5000,当且仅当50x =20000a,即x =20时,等号成立,所以当x =20时,y 取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.能力提升练1.C 由题意得,xy =12×2xy ≤12×(2a +a 2)2=12×(12)2=18,当且仅当2x =y ,即x =14,y =12时等号成立,所以xy 的最大值是18.故选C . 2.D易得a 2+4a +a 2+4a =a +b +4a +4a =1+4(a +a )aa =1+4aa.又ab ≤(a +a 2)2=14,∴1aa ≥4,∴1+4aa ≥17,∴a 2+4a+a 2+4a ≥17,当且仅当a =b =12时取等号.故选D .3.B ∵a +b =4ab ,a >0,b >0,∴等式两边同除以ab ,得1a +1a =4, ∴a +b =(a +b )·14(1a +1a )=12+14(a a +aa ) ≥12+14×2√a a ·a a =12+12=1, 当且仅当a a =a a ,即a =b =12时取等号.故选B . 4.D ∵正数x ,y 满足x 2+a 22=1,∴2x 2+y 2=2, ∴x √1+a 2=√22×√2x ×√1+a 2≤√22×(√2a )2+(√1+a 2)22=√22×2a 2+a 2+12=3√24,当且仅当{2a 2+a 2=2,√2a =√1+a 2,即{a =√32,a =√22时取等号,∴x √1+a 2的最大值为3√24.5.答案 1;12解析 a 2+4b 2+1aa =(a -2b )2+4ab +1aa ≥(a -2b )2+2√4aa ·1aa =(a -2b )2+4,当且仅当a -2b =0且4ab =1aa ,即a =1,b =12时,等号成立,所以a =1,b =12. 6.答案 5解析 ∵x >0,∴x +1>1,∴a 2+3a +6a +1=(a +1)2+(a +1)+4a +1=x +1+1+4a +1≥2√(a +1)·4a +1+1=5, 当且仅当x +1=4a +1,即x =1时,等号成立, ∴a 2+3a +6a +1的最小值是5.7.答案 23;9解析 因为a +b =1,所以a =1-b ,因为a >b >0,所以0<b <12.所以a 2+2b 2=(1-b )2+2b 2=3b 2-2b +1=3(a -13)2+23,所以当b =13时,a 2+2b 2有最小值且最小值为23. 易得4a -a +12a =41-2a +12a ,故4a -a +12a =(41-2a +12a )(1-2b +2b )=5+8a1-2a +1-2a 2a ≥5+2√8a 1-2a ·1-2a 2a=5+4=9,当且仅当8a1-2a =1-2a 2a,即b =16时等号成立,故4a -a +12a 的最小值为9.8.答案 6解析 ∵ab +a +3b =9,∴a =9-3aa +1,由题意可知,a =9-3aa +1>0,故0<b <3, ∵a +3b =9-3aa +1+3b =12-3(a +1)a +1+3b =12a +1+3(b +1)-6≥2√12a +1×3(a +1)-6=6,当且仅当12a +1=3(b +1),即{a =3,a =1时取等号.方法点睛 求含多个字母的代数式的最值,常见的方法有消元法、基本不等式法等.应用消元法时要注意变元范围的传递.应用基本不等式法时,需遵循“一正、二定、三相等”的原则,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要将给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.9.解析 (1)∵4x 2+y 2≥2·2x ·y =4xy ,∴xy ≤4a 2+a 24,当且仅当2x =y 时等号成立,又4x 2+y 2+xy =1,∴1=4x 2+y 2+xy ≤4x 2+y 2+4a 2+a 24,∴4x 2+y 2≥45,当且仅当x =√1010,y =√105时等号成立, ∴4x 2+y 2的最小值是45.(2)由4x 2+y 2+xy =1,得(2x +y )2-1=3xy. 又∵2xy ≤(2a +a )24,当且仅当2x =y 时等号成立,∴(2x +y )2-1≤32×(2a +a )24,解得(2x +y )2≤85,∴2x +y ≤2√105.当且仅当x =√1010,y =√105时等号成立, ∴2x +y 的最大值是2√105.10.证明 因为a >0,b >0,所以(2a +b )(1a +4a )=6+a a +8a a ≥6+2√a a ·8aa=6+4√2=2(√2+1)2(当且仅当b =2√2a 时,等号成立).因为2a +b >0, 所以1a +4a ≥2(√2+1)22a +a.11.证明a 2+a 2a -a =(a -a )2+2aa a -a =(a -a )2+4a -a =(a -b )+4a -a ≥2√(a -a )·4a -a=4,当且仅当a =1+√3,b =-1+√3或a =1-√3,b =-1-√3时等号成立.所以a 2+a 2a -a≥4. 12.证明 (1)∵a +b =1,a >0,b >0, ∴1a +1a +1aa =1a +1a +a +aaa =2(1a +1a ), 1a +1a=a +a a +a +a a=2+a a +a a ≥2+2=4,当且仅当a =b =12时等号成立,∴1a +1a +1aa ≥8.(2)证法一:∵a >0,b >0,a +b =1, ∴1+1a =1+a +a a =2+aa, 同理,1+1a =2+aa ,∴(1+1a )(1+1a )=(2+a a )(2+aa)=5+2(a a +a a )≥5+4=9,当且仅当a =b =12时等号成立, ∴(1+1a )(1+1a)≥9. 证法二:(1+1a )(1+1a )=1+1a +1a +1aa . 由(1)知,1a +1a +1aa≥8,故(1+1a )(1+1a )=1+1a +1a +1aa ≥9,当且仅当a =b =12时,等号成立. 13.证明 (1)∵a +a 2≤√a2+a 22,∴√a 2+a 2≥√2=√22(a +b )(当且仅当a =b 时,等号成立).同理,√a 2+a 2≥√22(b +c )(当且仅当b =c 时,等号成立),√a 2+a 2≥√22(a +c )(当且仅当a =c 时,等号成立).三式相加得√a 2+a 2+√a 2+a 2+√a 2+a 2≥√22(a +b )+√22(b +c )+√22(a +c )=√2(a +b +c )(当且仅当a =b =c 时,等号成立). (2)∵0<x <1,∴1-x >0. 又∵a >0,b >0,∴不等式左边=(x +1-x )(a 2a+a 21-a )=a 2+b 2+a 1-a ·b 2+1-a a ·a 2≥a 2+b 2+2√a 1-a ·a 2·1-a a·a 2=a 2+b 2+2ab =(a +b )2=右边当且仅当a1-a ·b 2=1-aa·a 2,即x =aa +a 时,等号成立.故a 2a +a 21-a≥(a +b )2. 14.D 由题意可得a (1+p )(1+q )=a (1+x )2,即(1+p )(1+q )=(1+x )2. 易得(1+p )(1+q )≤(1+a +1+a 2)2,当且仅当p =q 时取等号,∵p ≠q ,∴(1+p )(1+q )<(1+a +1+a 2)2,则1+x <2+a +a2=1+a +a 2,即x <a +a 2.故选D .15.B 设每吨的平均处理成本为s 元, 由题意可得s =a a =12a 2-300a +80000a=a 2+80000a -300,其中300≤x ≤600.由基本不等式可得a 2+80000a -300≥2√a 2·80000a-300=400-300=100, 当且仅当a 2=80000a,即x =400时,每吨的平均处理成本最低.故选B .16.答案 400解析 如图,设矩形花园的一边DE 的长为x (x >0)m,邻边长为y (y >0)m,则矩形花园的面积为xy m 2,∵花园是矩形,∴△ADE 与△ABC 相似, ∴aa aa =aaaa ,又∵AG =BC =40, ∴AF =DE =x ,FG =y ,∴x +y =40.由基本不等式可得x +y ≥2√aa ,则xy ≤400,当且仅当x =y =20时,等号成立,故矩形花园的面积的最大值为400m 2. 17.答案 37.5解析 由题意,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x =3-2a +1, 即t =23-a-1(1<x <3),设月利润为y 万元,则y =(48+a 2a )x -32x -3-t =16x -a 2-3=16x -13-a +12-3 =45.5-[16(3-a )+13-a ]≤45.5-2√16=37.5, 当且仅当16(3-x )=13-a ,即x =114时取等号, 故该公司的最大月利润为37.5万元. 18.解析 设y 1=aa +1(k ≠0),y 2=mx (m ≠0),其中x >0.当x =9时,y 1=a9+1=2,y 2=9m =7.2, 解得k =20,m =0.8, 所以y 1=20a +1,y 2=0.8x ,设两项费用之和为z (单位:万元), 则z =y 1+y 2=20a +1+0.8x =20a +1+0.8(x +1)-0.8 ≥2√20a +1·0.8(a +1)-0.8=7.2.=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,当且仅当20a+1所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.解题模板已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意验证基本不等式成立的三个条件.。
高二数学同步检测二 不等式的证明
高二数学同步检测二 不等式的证明第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.若t∈(0,1］,则t+t2有最小值( ) A.22 B.3 C.-22 D.不存在答案:B解析:因为t ＞0,t2＞0, 所以t+t 2≥2tt 2∙ =22. 当且仅当t=t 2,即t=2时,取“=”. 但由题设条件t∈(0,1),所以22不是该函数的最小值.又函数y=t+t2在t∈(0,1］上是减函数, 所以t+t 2的最小值为1+12=3. 2.若p=a+21-a (a ＞2),q=2422-+-a a ,则( ) A.p ＞q B.p ＜qC.p≥qD.p≤q答案:A解析:p=a+21-a =(a-2)+21-a +2≥4, 而-a 2+4a-2=-(a-2)2+2＜2,∴q＜4.∴p＞q.3.设x+3y-2=0，则函数z=3x +27y +3的最小值是( ) A.332 B.3+22 C.6 D.9答案:D解析:∵3x ＞0,27y ＞0,∴z=3x +27y +3≥2y x 273∙+3=2y x 33++3=223+3=9(当且仅当3x =27y ，即x=3y 时取“=”). 4.若a ＞0,a 2-2ab+c 2=0,bc ＞a 2，则( )A.a ＞b ＞cB.b ＞c ＞aC.c ＞b ＞aD.b ＞a ＞c答案:B解析:2ab=a 2+c 2≥2ac,∵a＞0,∴b＞c(当b=c 时得b=c=a ，与bc ＞a 2矛盾).又bc ＞a 2=2ab-c 2，∴bc -ab ＞ab-c 2＞ac-c 2，即(c-a)(b+c)＞0.又bc ＞a 2＞0,∴b、c 同号，且2ab=a 2+c 2＞0.∴b＞c ＞0.∴c＞a. 5.若a ＞b ＞1,P=b a lg lg ∙,Ｑ=21(lga+lgb),R=lg(2b a +),则( )A.R ＜P ＜ＱB.P ＜Ｑ＜RC.Ｑ＜P ＜RD.P ＜R ＜Ｑ答案:B解析:a ＞b ＞＞0,lgb ＞0.1(lg lg )21lg()lg (lg lg )22Q a b Pa bR a b Q⎧=+>=⎪⎪⎨+⎪=>=+=⎪⎩⇒R ＞Q ＞P.6.已知a ＞0,b ＞0,且a+b=1,则下列各式中恒成立的是( ) A.ab 1≥21 B.b a 11+≥4 C.ab ≥21 D.221b a +≤21答案:B解析:∵a＞0,b21. ∴ab≤41,ab 1≥4. 由b a 11+=11+++=+++b aa bb ba a ba ≥4,故B 正确.7.下列判断正确的是( )A.函数y=x+x 1的最小值是2B.函数y=sinx+x sin 4的最小值是4C.函数y=x+11-x (x ＞1)的最小值是3D.函数y=2322++x x 的最小值是2答案:C解析:函数y=x+x1不存在最大值、最小值; 函数y=sinx+x sin 4,当sinx=-1时,取最小值-5; 函数y=x+11-x =(x-1)+ 11-x +1(x ＞1)≥211)1(-∙-x x +1=3. 当且仅当x-1=11-x ,即x=2时,取“＝”； y=21221)2(23222222+++=+++=++x x x x x x . 令t=22+x (t≥2).则y=t+t 1(t≥2). 由函数在［2,+∞)上为增函数,所以y min =223212=+. 8.已知h ＞0，设甲：两实数a 、b 满足｜a-b ｜＜2h;乙：两实数a 、b 满足｜a-1｜＜h 且｜b-1｜＜h,则( )A.甲是乙的充分但不必要条件B.甲是乙的必要但不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件答案:B解析:①由|a-1|＜h,|b-1|＜h,可得到|a-b|=|(a-1)-(b-1)|≤|a -1|+|b-1|＜2h,即乙⇒甲;②如图.a 与b 之间的距离小于2h,但不一定满足|a-1|＜h 且|b-1|＜h,即甲乙.由①②可知,选B.9.两次购买同一种物品,可以有两种不同的策略.第一种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量一定;第二种是不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数一定.若两次购买这种物品时价格不相同,则两种策略中比较经济的情况为( )A.第一种策略经济B.第二种策略经济C.两种策略同样经济D.不能判断答案:B解析:(1)按第一种策略购物,设第一次购物时价格为p 1,购n(kg),第二次购物时价格为p 2,仍购n(kg).按这种策略购物时两次购物的平均价格为222121p p n n p n p +=+. (2)若按第二种策略购物,第一次花m 元钱,能购1p m (kg)物品,第二次仍花m 元钱,能购2p m (kg)物品,两次购物的平均价格为21211122p p p m p m m+=+. 比较两次购物的平均价格=+-+21211122p p p p 2212121212121212122()4()22()2()p p p p p p p p p p p p p p p p ++---==+++＞0(∵p 1≠p 2), ∴第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格.因而,用第二种策略比较经济.10.不等式ac c b b a -+-+-λ11＜0在满足a ＞b ＞c 时恒成立,则λ的取值范围是( ) A.(-∞,0］ B.(-∞,1］C.(-∞,4］D.(4,+∞)答案:D解析:c a -λ＞cb b a -+-11,∵a -c ＞0， ∴λ＞c b b a b a c b c b c a b a c a --++--+=--+--11＞4. 第Ⅱ卷(非选择题 共60分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)11.lg6·lg8与(lg7)2的大小关系是__________.答案:lg6·lg8＜(lg7)2解析:由lg6·lg8≤(28lg 6lg +)2=(248lg )2＜(249lg )2=(27lg 2)2=(lg7)2.所以lg6·lg8＜(lg7)2. 12.若|x|＜1,|y|＜1,则xy+1与x+y 的大小关系是_________.答案:xy+1＞x+y解析:xy+1-x-y=x(y-1)+(1-y)=(y-1)(x-1).∵|x|＜1,|y|＜1,∴(y -1)(x-1)＞0,即xy+1＞x+y.13.如图,已知在正方形ABCD 中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a 、b,则正方形ABCD 的面积为S 1=________,4个直角三角形面积的和为S 2=________,则S 1_______S 2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a 、b 的式子表示),并且当a______b 时,直角三角形变为________时,S 1=S 2.答案:a 2+b 2 2ab≥a 2+b 2≥2ab = 等腰直角三角形解析:因为直角三角形的直角边长为a 、b,所以正方形的边长为22b a +.而4个直角三角形的面积和为2ab,由图形可知a 2+b 2≥2ab. 当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b 时,正方形EFGH 缩为一个点,这时有a 2+b 2=2ab.14.已知两个正实数x 、y 满足x+y=4,则使不等式yx 41+≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________. 答案:(-∞,49) 解析:∵(x+y)·(14x y +)=5+yx x y 4+≥9, 当且仅当yx x y 4=,即x=34,y=38时,取“=”. 又∵x+y=4，∴(y x 41+)min =49. ∴m≤49,即(-∞,49］. 三、解答题(本大题共5小题,共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分8分)求证:a b ba+≥b a + (a ＞0,b ＞0). 证法一:(分析法)要证a bb a+≥b a +，只要证a a +b b ≥a b +b a ， 即证33b a +≥)(b a ab +.需证(a +b )(a-ab +b)≥)(b a ab +，即a-ab +b≥ab ，也就是要证a+b≥2ab 成立.a+b≥2ab 显然成立，∴原不等式成立.证法二:(综合法)∵a、b 为正实数， ∴a+b≥2ab . 又b b a+≥2a , ①a ba +≥2b ， ②①+②得a ba b b a+++≥b a 22+， 即a bb a+≥b a +成立.证法三:(作差比较法) (.))(())(()()()()(2abb a b a ab b a b a a a b b b a a a b b b ab a a b b a-+=--=-+-=-+-=+-+∵a、b 为正实数， ∴b a +＞0,ab ＞0,(b a -)2≥0. 于是有abb a b a 2))((-+≥0. ∴a bb a+≥b a +. 16.(本小题满分8分)已知a ＞b ＞0,求证:a b a 8)(2-＜ab b a -+2＜bb a 8)(2-. 证明:要证原不等式,只需证a b a 4)(2-＜a+b-2ab ＜bb a 4)(2- ⇔2)2(a ba -＜(b a -)2＜(b b a 2-)2 a ba 2-⇔＜b a -＜b ba 2- ⇔aba 2+＜1＜b b a 2+ a b+⇔1＜2＜ba+1a b ⇔＜1＜b a ab ⇔＜1＜b a . (*) 由题设知不等式(*)成立,以上过程可逆,原不等式成立.17.(本小题满分9分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(km/h)之间的函数关系为y=160039202++v v v (v ＞0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(精确到0.1千辆/时)(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?解:(1)依题意,y=)1600(3920vv ++≤83920160023920=+, 当且仅当v=v1600,即v=40时,上式等号成立. 所以y max =83920≈11.1(千辆/时). (2)由条件得160039202++v v v ＞10, 整理得v 2-89v+1 600＜0,即(v-25)(v-64)＜0.解得25＜v ＜64.答:当v=40 km/h 时,车流量最大,最大车流量约为11.1千辆/时.如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时,则汽车的平均速度应大于25 km/h 且小于64 km/h.18.(本小题满分9分)某食品厂定期购买面粉.已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元.(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由.解:(1)设该厂应每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x+6(x-1)+…+6×2+6×1］=9x(x+1).设平均每天所支付的总费用为y 1元，则y 1=x 1［9x(x+1)+900］+6×1 800=x 900 +9x+10 809≥2x x9900∙+10 809=10 989. 当且仅当9x=x 900,x=10时取等号, 即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉.设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则 y 2=x 1［9x(x+1)+900］+6×1 800×0.90=x900+9x+9 729(x≥35).令f(x)=x+x100(x≥35),x 2＞x 1≥35,则 f(x 1)-f(x 2)=(x 1+1100x )-(x 2+2100x )=212112)100)((x x x x x x --. ∵x 2＞x 1≥35, ∴x 2-x 1＞0,x 1x 2＞0,100-x 1x 2＜0.∴f(x 1)-f(x 2)＜0,f(x 1)＜f(x 2)，即f(x)=x+x100，当x≥35时为增函数. ∴当x=35时，f(x)有最小值，此时y 2＜10 989.∴该厂应接受此优惠条件.19.(本小题满分10分)若a 、b∈R ,α、β是方程x 2+ax+b=0的两根,且|a|+|b|＜1.求证:|α|＜1且|β|＜1. 证明:由韦达定理,得⎩⎨⎧=-=+.,b a αββα ∵|a|+|b|=|α+β|+|αβ|＜1,∴|α+β|＜1-|αβ|.∵|α+β|≥|α|-|β|,∴|α|-|β|＜1-|αβ|,即|α|(1+|β|)＜1+|β|.∵1+|β|＞0,∴|α|＜1.同理,可证|β|＜1.考后评价____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》检测题(包含答案解析)(2)
一、选择题1．已知x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若34z x y =-的最大值为9，则m 的值为（ ） A ．32-B ．28-C ．2D ．32．已知实数,x y 满足条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．0B ．3C ．4D ．53．已知a b >，不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，且0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．224．若,x y 满足条件11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y =-+的最大值为（ ）A ．1B ．12-C ．2D ．-55．已知正项等比数列{}n a 中979a a =，若存在两项m a 、n a ，使2127m n a a a =，则116m n+的最小值为（ ） A ．5 B ．215C ．516D ．6546．若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩，表示的区域有公共点，则a 的取值范围为（ ） A ．[]2,4B ．42,2⎡⎤⎣⎦C ．(][)1,24,⋃+∞D ．([)41,22,⎤⋃+∞⎦7．不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，则a+b 的值是（ ） A ．10B ．﹣10C ．14D ．﹣148．函数()21f x nx x =+- (0,)bx a b a R +>∈的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A．BC ．1D ．29．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．910．已知函数()3x f x -=，对任意的1x ，2x ，且12x x <，则下列四个结论中，不一定正确的是（ ）A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭11．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<12．已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，则b a 的值为（ ） A ．-64B ．-36C ．36D ．64二、填空题13．已知0a >，0b >，182+1a b +=，则2a b +的最小值为__________． 14．已知圆1C ：()224x a y ++=和圆2C ：()2221x y b +-=（,a b ∈R ，且0ab ≠），若两圆外切，则2222a b a b+的最小值为______.15．已知0x >，0y >，且212+=x y ，若2322+≥-x y m m 恒成立，则实数m 的取值范围_______．16．已知正实数,x y 满足 20x y xy +-=,则2x y +的最小值为 ,y 的取值范围是 ．17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23ABC π∠=，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且2BD =，则3a c +的最小值为___________. 18．已知0a >，0b >，若a ，1，b 依次成等差数列，则41a b+的最小值为________． 19．已知函数()21f x x x =-+，若在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立，则实数m 的取值范围是___________.20．若函数32()1f x x x mx =+++是R 上的增函数，则实数m 的取值范围是__________.三、解答题21．已知函数2()()f x x ax a R =-∈. （1）若2a =，求不等式()3f x ≥的解集；（2）若[1,)x ∈+∞时，2()2f x x ≥--恒成立，求a 的取值范围.22．已知函数()21f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≤的解集； （2）若()f x 的最小值是m ，且3m a b +=，求212a b +的最小值．23．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin A C b cB a c--=+.（1）求角A ；（2）若ABC 的外接圆半径为2，求ABC 周长的最大值. 24．已知关于x 的一元二次不等式2(3)30x m x m -++<． （Ⅰ）若不等式的解集为(2,3)-，求实数m 的值；（Ⅱ）若不等式的解集中恰有两个整数，求实数m 的取值范围． 25．已知函数()245y x x x R =-+∈.（1）求关于x 的不等式2y <的解集；（2）若不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 26．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（4a +1）x +4（a ∈R ）.（1）若关于x 的不等式f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，求实数a ，b 的值； （2）解关于x 的不等式f （x ）＞0.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】作出x ，y 满足约束条件20030x y x y m x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，再利用数形结合分析得()max 33439z m =⨯--=，解得参数即可. 【详解】作出x，y满足约束条件2030x yx y mx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图中阴影部分所示，由z＝3x-4y得344zy x=-，它表示斜率为34纵截距为4z-的一系列直线，当直线经过点A时，直线的纵截距4z-最小，z最大.由3x y mx+-=⎧⎨=⎩，解得A(3，m－3)，故()max33439z m=⨯--=，解得3m=.故选：D.【点睛】方法点睛：线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量,x y；（2）列出线性约束条件；（3）确定线性目标函数(,)z f x y=；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系()(y f x z=为参数).2．C解析：C【分析】画出满足条件的目标区域，将目标函数化为斜截式2y x z=-+，由直线方程可知，要使z 最大，则直线2y x z=-+的截距要最大，结合可行域可知当直线2y x z=-+过点A时截距最大，因此，解出A点坐标，代入目标函数，即可得到最大值.【详解】画出满足约束条件202035x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩的目标区域，如图所示:由2z x y =+,得2y x z =-+，要使z 最大，则直线2y x z =-+的截距要最大，由图可知,当直线2y x z =-+过点A 时截距最大，联立20350x y x y -=⎧⎨+-=⎩,解得(1,2)A ， 所以2z x y =+的最大值为：1224⨯+=， 故选:：C. 【点睛】方法点睛：求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.3．D解析：D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数，可得1ab =，将22a b a b+-化成2a b a b -+-，再结合基本不等式求解即可.【详解】解：因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩，又因为0x R ∃∈，使得20020ax x b ++=成立，所以440ab -≥，所以440ab -=，即0,0,1a b ab >>=，所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---，当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.4．A解析：A 【解析】作出不等式组11x y x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，如图，得到如图的ABC 及其内部，其中()()111,1,2,1,,22A B C ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，设2z x y =-+，将直线:2l z x y =-+进行平移，当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值，∴()=211=1Z -⨯--最大值，故选A.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5．A解析：A 【分析】根据条件可先求出数列的公比，再根据2127m n a a a =可得出5m n +=，利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中，2979a q a ==，所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==，所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=， 当且仅当16n mm n=，即4n m =时取等号，因为m 、n *N ∈，所以1m =，4n =， 所以116m n +的最小值为5. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，属于基础题.6．B解析：B 【分析】由约束条件作出可行域，再由指数函数的图象经过A ，B 两点求得a 值，则答案可求． 【详解】解：由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图：当1x =时，2y a =≤；当4x =时，42y a =≥，则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选：B ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．7．D解析：D【解析】试题分析：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax 2+bx+2=0的解为，把解代入方程求出a 、b 即可． 解：不等式ax 2+bx+2＞0的解集是即方程ax 2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2．考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．8．D解析：D 【分析】先求导数,根据导数几何意义得切线斜率,再根据基本不等式求最值. 【详解】111()2()22f x x b k f b b b x b b''=+-∴==+≥⋅= ,当且仅当1b =时取等号，因此切线斜率的最小值是2，选D. 【点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．D解析：D 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y xx y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．B解析：B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项，由指数幂的运算性质可判断A 、B ；由函数的单调性可判断C ；由基本不等式可判断D ；即可得解. 【详解】对于A ，1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=，故A 一定正确；对于B ，()12123x x f x x -=⋅，1212()()33x x f x f x --++=，()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立，故B 不一定正确；对于C ，因为()3xf x -=为减函数，故满足1212()[()()]0x x f x f x --<，故C 一定正确；对于D ，因为12x x <，所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=，故D 一定正确. 故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.11．A解析：A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===，且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增，所以b <a <c . 故选A.点睛：本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题，解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变量比较大小.12．D解析：D 【分析】先由不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-求出a 、b ，再求b a 【详解】∵不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-，∴23y ax bx a =--图像开口向下，即a <0,且23=0ax bx a --的两根为-4和1.∴12312034a b x x a a x x a ⎧⎪<⎪⎪+==-⎨⎪⎪-==-⎪⎩，解得：=26a b -⎧⎨=⎩∴()6=2=64b a -故选：D 【点睛】不等式的解集是用不等式对应的方程的根表示出来的.二、填空题13．8【解析】由题意可得：则的最小值为当且仅当时等号成立点睛：在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得若忽略了某个条件就会出解析：8 【解析】 由题意可得：()2111821211161102111029,a b a b a b a b b a ++⎛⎫⎡⎤=++⨯+ ⎪⎣⎦+⎝⎭+⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭⎛≥+ ⎝=则2a b +的最小值为918-=. 当且仅当3,52a b ==时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．14．1【分析】根据题意分析两圆的圆心与半径由两圆外切可得变形可得：据此可得结合基本不等式的性质分析可得答案【详解】解：根据题意圆其圆心为半径圆其圆心为半径若两圆外切则有变形可得：当且仅当时等号成立故的最解析：1 【分析】根据题意，分析两圆的圆心与半径，由两圆外切可得12||C C R r =+，变形可得：2249a b +=，据此可得22222211a b a b a b+=+，结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，圆221:()4C x a y ++=，其圆心1C 为(,0)a -，半径2r ，圆222:(2)1C x y b +-=其圆心2C 为(0,2)b ，半径1R =，若两圆外切，则有12||3C C R r =+=，变形可得：2249a b +=，2222222222222211111141(4)()(5)(521999a b a b a b a b a b a b b a +=+=++=+++=，当且仅当222a b =时等号成立，故2222a b a b+的最小值为1；故答案为：1．【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，涉及基本不等式的性质以及应用，属于中档题．15．【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92，再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当22y xx y=， 即32x y ==时等号成立，所以23922m m -≤，解得332m -≤≤.故答案为：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值，涉及到解一元二次不等式，是一道中档题.16．【解析】试题分析:因故又因为因故即所以故应填答案考点：基本不等式的运用【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知 解析：()8,1,+∞【解析】试题分析:因20x y xy +-=,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案.8,1y >.考点：基本不等式的运用．【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知20x y xy +-=,变形为,然后将其代入可得,最后达到获解之目的.关于的范围问题,则借助题设条件,推得,解之得.17．【分析】根据面积关系建立方程关系结合基本不等式1的代换进行求解即可【详解】如图所示则的面积为即∴∴当且仅当即时取等号所以a+3c 的最小值为8+4故答案为：8+4【点睛】本题考查基本不等式的应用考查三 解析：843+【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可. 【详解】如图所示，则ABC的面积为111sin1202sin 602sin 60222ac a c =⋅+⋅︒︒︒， 即22ac a c =+，∴1112a c +=. ∴3(3)a c a c +=+1132242(423)843c a a c a c ⎛⎫⎛⎫+⨯=⨯++≥+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.当且仅当33843c a a c a c ⎧=⎪⎨⎪+=+⎩即2232233a c ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩时取等号. 所以，a +3c 的最小值为8+43. 故答案为：8+43.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查三角形的面积公式和角平分线性质的应用，考查分析和计算能力，属于基础题.18．【分析】由a1b 依次成等差数列可得再利用乘1法及基本不等式计算即可求得答案【详解】且a1b 依次成等差数列当且仅当即取等号故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用涉及等差中项的定解析：92【分析】由a ，1，b 依次成等差数列，可得2a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算，即可求得答案．【详解】0a >，0b >，且a ，1，b 依次成等差数列， ∴2a b +=，∴()41141141941(52222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即43a =，23b =，取等号， 故14a b +的最小值为92． 故答案为：92． 【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．19．【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析：(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立，利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值，进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上，不等式()2f x x m >+恒成立， 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立，设()231g x x x =-+，只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值，因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当1x =时，()()min 11g x g ==-， 所以1m <-，所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为：(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数，考查了参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题.20．【分析】由题意知在上恒成立从而结合一元二次不等式恒成立问题可列出关于的不等式进而可求其取值范围【详解】解：由题意知知在上恒成立则只需解得故答案为:【点睛】本题考查了不等式恒成立问题考查了运用导数探究解析：1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】由题意知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，从而结合一元二次不等式恒成立问题，可列出关于m 的不等式，进而可求其取值范围. 【详解】解：由题意知，知2()320f x x x m '=++≥在R 上恒成立，则只需22430m ∆=-⨯⨯≤，解得13m ≥. 故答案为:1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了运用导数探究函数的单调性.一般地，由增函数可得导数不小于零，由减函数可得导数不大于零.对于一元二次不等式在R 上恒成立问题，如若()200ax bx c a ++≥≠在R 上恒成立，可得00a >⎧⎨∆≤⎩ ；若()200ax bx c a ++≤≠在R 上恒成立，可得00a <⎧⎨∆≤⎩. 三、解答题21．（1）{|1x x ≤-或3}x ≥；（2）(,4]-∞. 【解析】试题分析：（1）先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥，再根据不等号方向得不等式解集，（2）先化简不等式，并分离12a x x ⎛⎫≤+⎪⎝⎭，转化为求对应函数最值：()min a h x ≤，其中()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据基本不等式求()h x 最值，即得a 的取值范围. 试题（1）若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥（2）()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立，令()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立， 又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当1x x =即1x =等号成立，所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞.22．（1）[]23，-；（2）92． 【分析】（1）将()f x 解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得()5f x ≤时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出()f x 的最小值3m =，所以得1a b +=；再将212a b+构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值. 【详解】解：（1）21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩，()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩，解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤．故不等式()5f x ≤的解集为[]23，-. （2）由（1）可知3m =，则1a b +=，则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当23a =，13b =时，等号成立）． 故212a b +最小值为92． 【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型. 23．（1）3π；（2） 【分析】（1）正弦定理角化边可得a c b cb a c--=+，利用余弦定理，结合角A 的范围，即可得答案；（2）由（1）得3A π=，由正弦定理可得a 的值，利用余弦定理及均值不等式，即可求得b+c 的最大值，进而可得答案. 【详解】 （1）由sin sin sin A C b c B a c --=+及正弦定理得：a c b cb a c--=+，化简得222b c a bc +-=，∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又∵(0,)A π∈，∴3A π=.（2）∵ABC 的外接圆半径为2，3A π=，∴由正弦定理得324sinaR π==，解得a =∴由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，∴2222212()3()32b c b c bc b c bc b c +⎛⎫=+-=+-≥+- ⎪⎝⎭，∴b c +≤b c =时，等号成立， ∴ABC的周长的最大值为a b c ++=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、均值定理的应用，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.24．（Ⅰ）2m =-；（Ⅱ）[0,1)(5,6]⋃． 【分析】（1）根据不等式的解集为(2,3)-，得到关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3，代入方程求解即可.（2）将不等式2(3)30x m x m -++<，转化为()(3)0x m x --<，然后分3m <和3m >讨论求解. 【详解】（1）由题意可知，关于x 的一元二次方程2(3)30x m x m -++=的两根分别为2-、3， 则2(2)2(3)30m m -+++=， 整理得5100m +=， 解得2m =-；（2）不等式2(3)30x m x m -++<，即为()(3)0x m x --<．①当3m <时，原不等式的解集为(,3)m ， 则解集中的两个整数分别为1、2，此时01m ≤<；②当3m >时，原不等式的解集为(3,)m ，则解集中的两个整数分别为4、5，此时56m <≤．综上所述，实数m 的取值范围是[0,1)(5,6]⋃． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及应用，还考查了分类讨论求解问题的能力，属于中档题.25．（1）{|13}x x <<；（2）()24.，【分析】（1）利用一元二次不等式的解法求解即得；（2）根据不等式恒成立的意义，确定求函数245y x x =-+的最小值，并利用配方法求得最小值，将问题转化为解关于m 的简单的绝对值不等式，根据绝对值的意义即可求解. 【详解】(1)由2y <得2430x x -+<，即13x <<， 所以2y <的解集为{|13}x x <<；(2)不等式3y m >-对任意x R ∈恒成立3min m y ⇔-<， 由()224521y x x x =-+=-+得y 的最小值为1， 所以31m -<恒成立，即131m -<-<， 所以24m <<，所以实数m 的取值范围为()2,4. 【点睛】本题考查不含参数的一元二次不等式的求解；考查不等式在实数集上恒成立问题，涉及二次函数的最值和简单绝对值不等式的求解，属基础题，难度一般. 26．（1）-1,6；（2）答案见详解 【分析】（1）由f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}结合韦达定理即可求解参数a ，b 的值；（2）原式可因式分解为()()()14f x ax x =--，再分类讨论即可0,0,0a a a =<>，对0a >再细分为111,0,,,444a a a ⎛⎫⎛⎫=∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】（1）由f （x ）≥b 得()24140ax a x b -++-≥，因为f （x ）≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}，故满足4112a a ++=，412b a-⨯=，解得1,6a b =-=； （2）原式因式分解可得()()14f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当0a =时，()40f x x =-+>，解得(),4x ∈-∞；当0a <时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为1,4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； 当0a >时，()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， ①若14a =，即14a =，则()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为4x ≠；②若14a <，即14a >时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭；③若14a >，即104a <<时，解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数，分类讨论求解一元二次不等式，属于中档题.。
中职数学第2章《不等式》单元检测试题含答案【基础模块上册】
中职数学第二章《不等式》单元检测（满分100分，时间：90分钟）一.选择题（3分*10=30分）题号12345678910答案1.不等式-1≤x≤4用区间表示为:()A.(-1,4)B.(-1,4]C.[-1,4)D.[-1,4]2.若a<b，则不等式(x-a)(b-x)>0的解集补集是（）A.｛x丨a＜x＜b｝B.｛x丨x≤b或x≥a｝C.｛x丨x＜a或x＞b｝D.x丨x≥b或x≤a｝3.不等式x-3<0的解集是()x-2A．(2，3)B．(－∞，2)∪(3，+∞)C．(－2，-3)D．(－∞，－3)∪(-2，+∞)4.不等式x2-x-2<0的解集是()A．(－2，1)B．(－∞，－2)∪(1，+∞)C．(－1，2)D．(－∞，－1)∪(2，+∞)5.已知x>y,则下列式子中错误的是()A.y<xB.x-8>y-8C.5x>5yD.-3x>-3y6.若a＞b,c＞d，则（）A.a－c＞b－dB.a+c＞b+dC.a c＞bdD.a>bc d7.下列说法不正确的是（）A.若a>b,则ac2>bc2(c≠0)B.若a>b,则b<aC.若a>b则-a>-bD.若a>b,b>c,则a>c⎨8.不等式 ax 2 + bx + c < 0(a ≠ 0) 的解集是φ ，那么（）A. a < 0, ∆ > 0B. a < 0, ∆ ≥ 0C. a > 0, ∆ ≥ 0D. a > 0, ∆ ≤ 09.使“ a > b > 0 ”成立的充分不必要条件是（）A. a 2 > b 2 > 0B. 5a > 5bC. a - 1 > b - 1D. a - 3 > b - 310.若 0 < a < 1，则不等式 (a - x)( x - 1 ) > 0 的解集是（）aA. a < x < 1aB. 1 < x < aC. x < a 或x > 1a aD. x < 1 或x > aa二.填空题（4 分*8=32 分）11.不等式 2 x - 1 ≥ 1 的解集是______________x - 212.下列不等式(1)m-3>m-5,(2)5-m>3-m,(3)5m>3m,(4)5+m>5-m,正确的有___个13.不等式组 ⎧ x -1 > 0的解集为:________________；⎩ x - 2 < 014.不等式∣2x－1∣＜3 的解集是_____________________ ；15.已知方程 x 2 - 3x + m = 0 的一个根是 1，则另一个根是____m = ______；16.不等式 (m 2 - 2m - 3) x 2 - (m - 3) x - 1 < 0 的解集为 R ，则 m ∈；17.（x-3）2≤4 的解集是____________；18.不等式 3x - 4 < 2 的整数解的个数为__________。
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不等式知识检测二
一、精心选一选（每小题3分，共21分）
1．把不等式组210
x x -⎧⎨+<⎩，
≥0的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
2．下列不等式总成立的是（ ） Ａ．42a a >
Ｂ．20a >
Ｃ．2a a >
Ｄ．2
1
2
a -≤0
3．不等式组230350x x +>
⎧⎨-+>⎩
，
的整数解的个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
4．若方程组31
33x y k x y +==⎧⎨+=⎩
，的解x ，y 满足01x y <+<，则k 的取值范围是（ ）
Ａ．40k -<< Ｂ．10k -<< Ｃ．08k << Ｄ．4k >-
5．若不等式组841
x x x m +<-⎧⎨>⎩
，的解集为3x >，则m 的取值范围是（ ）
Ａ．3m ≥ Ｂ．3m = Ｃ．3m < Ｄ．3m ≤
6．已知关于x 的不等式组21x x x a <⎧⎪
>-⎨⎪<⎩
，，无解，则a 的取值范围是（ ） Ａ．1a ≤- Ｂ．12a -<< Ｃ．a ≥0 Ｄ．2a ≤
7．关于x 的不等式组23(3)1
324
x x x x a <-+⎧⎪
⎨+>+⎪⎩，有四个整数解，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．115
42
a -<-≤
Ｂ．11542a -<-≤Ｃ．115
42
a --≤≤
Ｄ．115
42
a -<<-
二细心填一填(每小题3分,共24分) 8．不等式
2
3
x -≤1的解集是___________． 9．不等式组431
12
3x x x x <+⎧⎪
-⎨⎪⎩，≥的解集是___________．
10．2x ≥的最小值是a ，6x -≤的最大值是b ，则a b +=___________．
11．生产某种产品，原需a 小时，现在由于提高了工效，可以节约时间8%至15%，若现在所需要的时间为b 小时，则_________b <<_________．
12．若不等式组x a x b <⎧⎨>⎩
，
的解集是空集，则a ，b 的大小关系是_________．
13．用10元钱买一包牛奶钱不足，打九折后钱又有剩余，如果牛奶的标价是整数元，那么标价是
__________元．
14．小亮准备用36元钱买笔和练习本，已知每去笔3.5元，每本练习本1.8元．他买了8本练习本，最多还可以买_________去笔． 三、解答题（共75分）
15．（本题7分）解不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧->+≤--1
3
214)2(3x x x x
16．（本题7分）已右关于x ，y 的方程组21
2x y x y m +=⎧⎨-=⎩
，．（1）求这个方程组的解；
（2）当m 取何值时，这个方程组的解x 大于1，y 不小于1-．
17. （本题9分）娃哈哈矿泉水每瓶售价1.2元，现甲、乙两家商场给出优惠政策：甲商场全部9折，乙商场20瓶以上的部分8折．若你是消费者，选哪家商场购买比较合算？ 18．（11分）我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售。
按计划，20
辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满。
根据下表提供的信息，解答以下问题：
（1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为
y ，用含x 的式子表示y ；
（2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于6辆，，如果你是水果老板，请你写出运送方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值
Ａ． Ｂ． Ｃ．
Ｄ．
不等式检测二参考答案及一、1．Ｂ 2．Ｄ
3．Ｃ 4．Ａ 5．Ｄ 6．Ａ
7．Ｂ
二、8．5x ≤
9．21x -<≤ 10．4-
11．85%a ，92%a
12．a b ≤
13．11 14．6
15．3
三、16. ⎪⎩⎪
⎨⎧->+≤--②①13
214)2(3x x x x
①的解集为x ≥1…………………………………（2分） ②的解集为x ＜4…………………………………（4分）
在数轴上表示为
17．（1）12
14
m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，；（2）15m <≤．
18．30只猴子和149个桃子，或者31只猴子和152个桃子．
19．当购买40瓶以上时，去乙商场比较划算；当购买40瓶时，甲、乙两商场都一样；当购买的矿泉水少于40瓶时，去甲商场比较划算． 20．400米800-米． 21．（1）5场；
（2）打满14场比赛最高能得17(148)335+-⨯=分； （3）在以后的比赛中这个球队至少要胜3场．
22．解：（1）由题意可知：装运C 种脐橙的车辆数为(20-x-y),据题意可列如下方程： 6x+5y+4(20-x-y)=100 解得y=-2x+20 ∴
y 与x 之间的函数关系式为：y=-2x+20 ·
························（3分）
（2）由题意可得如下不等式组：⎪⎩
⎪
⎨⎧≥--≥≥62066
y x y x
即⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+---≥+-≥6)202(2062026x x x x 解得6≤x ≤7
因为x 是正整数,所以x 的值可为6；7；共两个值，因而有两种安排方案。
方案一：6车装运A ，8车装运B ，6车装运C
方案二：7车装运A ，6车装运B ，7车装运C （9分）
（3）设利润为P ，据题可知： P=72x+80y+40(20-x-y),而y=-2x+20
∴P=-48x+1600 ∵-48＜0
∴P 随的增大而减小
∴当x=6时P 有最大值，此时P=1312
∴应采用第一种安排方案，最大利润为1312百元，即131200元。
··········（11分）
23. 答案（1）根据题意西红柿种了（24－x ）垄。
15x ＋30(24－x )≤540，解得：x ≥12。
∵x ≤14，且x 是正整数，∴x =12，13，14 。
共有三种种植方案，分别是：方案一：草莓种植12垄，西红柿种植12垄；方案二：草莓种植13垄，西红柿种植11垄；方案三：草莓种植14垄，西红柿种植10垄。
（2）解法一：方案一获得的利润：12×50×1.6＋12×160×1.1=3072（元），方案二获得的利润：13×50×1.6＋11×160×1.1=2976（元），方案三获得的利润：14×50×1.6＋10×160×1.1=2880（元）。
由计算知，种植西红柿和草莓各12垄，获得的利润最大，最大利润是3072元。
解法二：若草莓种了x 垄，设种植草莓和西红柿共可获得利润y 元，则y=1.6×59x ＋1.1×160(24－x )=－96x ＋4224。
∵k=－96＜0，∴y 随x 的增大而减小。
又∵12≤x ≤14，且x 是正整数，∴当x =12时，y 最大=3072（元）。