切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段 通用版

切线长定理 弦切角和圆有关的比例线段一. 本周教学内容：切线长定理、弦切角和圆有关的比例线段1. 切线长的概念：在经过圆外一点的切线上这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

3. 弦切角的概念：顶点在圆上，一边和圆相交，一边和圆相切的角叫做弦切角。

4. 弦切角定理：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。

5. 弦切角定理的推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等。

6. 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

7. 相交弦定理的推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

8. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

9. 切割线定理的推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

二. 重点、难点：重点是和圆有关的比例线段，难点是运用和圆有关的比例线段分析问题和解决问题。

易错点分析：1. 要注意切线和切线长，这是两个不同的概念，前者是直线，后者是线段的长。

2. 注意弦切角与圆心角、圆周角的区别与联系，它们的空间位置不同，但在度数上有很密切的联系。

另外弦切角的三个条件缺一不可。

弦切角与切线有着密切的联系，做题时，遇到弦切角找到切点要连结半径，这样就有垂直的关系。

3. 相交弦定理、切割线定理及它们的推论，它们的结论都是线段的等积式，而不是比例式，它们可用来解关于计算和证明的题目。

等积式中的各线段要记牢，不要记混。

【例题分析】例1. 求证：圆外切四边形的两组对边的和相等。

A FB G ED H C已知：四边形ABCD 为⊙O 的外切四边形，E 、F 、G 、H 分别为切点。

求证：AB ＋CD ＝AD ＋BC 证明： AE AF O E F 、为⊙的切线，且切点为、∴====∴+++=++++=+AE AF BF BG DE DH CH CGAF FB DH CH AE BG DE CGAB CD AD BC，同理，，即例2. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 、BF 为⊙O 的切线，CF 切⊙O 于D ，DE AB ⊥于E ，交BC 于G ，求证：DG ＝EGF分析：因为AC//DE//BF ，所以可考虑成比例的线段来证明线段相等。

由于CA 、CD 是⊙O 的切线，DF 、FB 为⊙O 的切线，所以CA ＝CD ，FD ＝FB ，这就为证明DG ＝EG 提供了条件。

证明： AB 为⊙Ｏ的直径，且CA 、FB 为⊙O 的切线∴⊥⊥⊥∴∴==∴==∴=∴=AC AB FB AB DE AB AC DE FBBGE BCA GE AC BE AC BGBC CDG CFB DG BF CD CF DF CF BGCBGE AC DF CF GE DF AC CF ，，又∽，且∽， ////∆∆∆∆ 又、、均为⊙的切线，， AC CF BF O AC CD DF BF DG BF CD CF AC CF GEDFEG DG∴==∴===∴=例3. 如图，AB 为⊙O 的直径，过B 点作⊙O 的切线BC ，OC 交⊙O 于E 点，AE 的延长线交BC 于D 点，(1)求证：CE CD CB 2=⋅，(2)若AB ＝BC ＝2，求CE 、CD 的长。

分析：要证CE CD CB 2=⋅，即要证∆∆CED CBE ∽ 证明：(1)连结BE BC 为⊙O 的切线∴∠=∠=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴∴==⋅∴∠=︒=====∴=-=-=⋅∴==-=-A CBE OA OE A AEOOEA DEC CED CBECED CBE CE CD CBCECE CD CBBC O AB ABD OB OE AB BC OC CE OC OE CE CD CBCD CE CB 又，，∽，即解：为⊙的切线，为直径，，由勾股定理 ∆∆2222290121255151235()()例4. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，若CD 切⊙O 于D ，BE 切⊙O 于B 交CD 于E ，且CE ＝2DE 。

求证：AC CD =3证明： ED 、EB 都是⊙O 的切线 ∴==∴=∴∠︒∴∠=︒∴∠=︒=∴=∴==∴=∴=⋅∴=ED EBCE DE CE EB EB EBA EBC C tgC EBBCBC BEBC CECE CD BC CDCD CD CB CA AC CD22909030332233332，是切线，＝，，，是切线，例5. 如图，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点，AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，求B 点的坐标。

x解：连结OB ，过B 点作BC AE ⊥于C 点 AB 是切线，∴=⋅AB AD AE 2∴==∴=⋅+∴=∴==∴=∴⊥∴∠=︒⊥∴=⋅=⨯∴=∴==⋅∴=∴AB AD DE DE OB OD OA AB OB BA OBA BC OA OB OC OA OC OC CA BC OC CA BC B 12812810513905132513144136013251360132222，，，，是切线，，，，即，，，点坐标为，(8)()说明：此例是圆的知识与直角坐标系结合的问题，其中涉及到切割线定理、相似三角形、点的坐标等知识。

求点B 的坐标，就需要求点B 到x 轴、y 轴的距离，即OC 与BC 的长。

这就需要用切割线定理及相似三角形所提供的对应边成比例来提供等量关系。

【考点解析】例1. 如图，O 是已知线段AB 上一点，以OB 为半径的⊙O 交线段AB 于C ，以线段AO 为直径的半圆交⊙O 于点D ，过点B 作AB 的垂线与AD 的延长线交于点E 。

（1）求证：AE 切⊙O 于点D ；（2）若AC ＝2且AC 、AD 的长是关于x 的方程x kx 2450-+=的两根，求线段EB 的长； （3）当点O 位于线段AB 何处时，∆ODC 恰好是等边三角形？分析：因为D 点在⊙O 上，所以欲证AE 切⊙O 于点D ，只要证明过D 点的半径与AE 垂直就可以了。

连结OD ，因为OD 是⊙O 半径，∠ADO 是直径AO 所对的圆周角，所以∠=︒ADO 90，所以AE 切⊙O 于D 。

再由切割线定理和三角形相似就可以求出EB 的长。

如果O 点在AB 线段上靠近B 的三等分点处时，∆ODC 恰好为等边三角形。

（1）证明：连结OD ， AO 为直径，∴∠=︒ADO 90，D 为⊙O 上的点，∴OD 是⊙O 的半径∴AE 切⊙O 于点D ；（2）解： AC =2，AC 、AD 是所给方程的两根∴=245AD ∴=AD 25 由切割线定理：AD AC ABAB AD AC BC AB AC OD 2222521010284=⋅∴====-=-=∴=()在∆AOD 和∆AEB 中 ∠=∠A A ， 又 EB AB ⊥∴∠=∠=︒EBA ODA 90 ∴∆∆A O D AEB ∽∴=∴=⋅=⨯=OD BE ADABBE OD AB AD 4102545（3）答：当点O 位于线段AB 上靠近B 的三等分点处时，∆ODC 恰好为等边三角形。

点评：本题考查了切线的判定、切割线定理，相似三角形，一元二次方程根系关系等知识。

例2. 正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的弦，CF 切⊙O 于点E ，交AD 于F ，且切点E 在正方形的内部，AE 、BE 的长是方程x x m 230-+=的两个实根。

（1）当AB 是⊙O 的直径时（如图）<1>用含m 的代数式表示AB 的长； <2>求m 的值和AF 的长；（2）当AB 不是⊙O 的直径时，∆ABE 能否与以B 、C 、E 为顶点的三角形相似？请说明理由。

若相似，求AE AB +的长。

分析：连结AE 、BE ，因为AB 是⊙O 直径，所以∠AEB 是90︒角，在Rt ∆AEB 中由勾股定理，AB AE EB AE BE AE BE 22222=+=+-⋅()。

因为AE 、BE 是方程x x m 230-+=的两个实根，所以AE BE +=3，AE BE m ⋅=，即AB 可求。

设AF a =，由切线长定理和解直角三角形，作过F 与AB 平行的直线交BC 于M ，可得AF EF a ==，AB BC CE ===5，FC a CM a =+=-55，，FM =5。

解直角三角形FCM ，可得AF 。

解：（1） <1>AB m m =-<<92092()<2>m AE BE AF =⋅==254， （2）<1>当圆心O 在正方形ABCD 外时，∠>︒AEB 90，则∆AEB 是钝角三角形，而∆ECB 是锐角三角形，∴∆AEB 不可能与∆CEB 相似；<2>当圆心O 在正方形ABCD 内时，∠<︒AEB 90， CF 切⊙O 于E∴∠=∠CEB EAB①欲使∆ECB ∽∆ABE ，只须∠=∠EBC AEB ，就有AE BC //，这不可能∴ 此时∆ECB 与∆ABE 不相似。

②欲使∆EBC ∽∆ABE ，只须∠=∠EBC ABE ，此时E 在对角线BD 上，∴∆EBC ∽∆ABE∴=∴=⋅=∴=>>∴+=+=BE BA BCBEBE BA BC AB AB BE AB BE AE BE AE AB 22003()，点评：本题考查了一元二次方程根与系数关系，切线长定理，勾股定理等知识，第（2）问是探索性问题，要运用分类讨论的思想考虑各种情况。

【模拟试题】一. 选择题：1. 在Rt ABC ∆中，∠=︒C 90，BC ＝a ，AC ＝b ，点Ｏ在AB 上，以O 点为圆心作圆分别与BC 、AC 相切于D 、E 两点，则⊙O 的半径长（ ）A ab a bB a bC a b abD a b ab....+⋅++222. 若圆的外切四边形ABCD 的面积为202cm ，AD 边与BC 边的和为10cm ，则该圆的半径长为（ ） A. 4cm B. 2cm C. 1cm D. 以上都不对3. 若⊙O 外一点P ，P 点与O 点的距离为4cm ，从P 点向⊙O 作切线，切线长与圆的半径之差为2cm ，则圆的半径长为（ ）A cmB cmC cm cmD cm cm.().().()().()()177171171717+--+-+或或4. AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，∠=︒A 30，则∠C 的度数为（ ） A B C D ....40302010︒︒︒︒5. 四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，P 、Q 切⊙O 于C ，∠=︒ABC 56，则∠BCP 等于（ ）A B C D ....345624104︒︒︒︒6. 圆内两条弦相交，其中一条弦长为8cm ，而且被交点所平分，另一条弦被交点分为1：4两部分，则这条弦长为（ ）cm 。