周期现象、角的概念的推广及弧度制题目与答案

周期现象、角的概念的推广 【要点链接】1．了解自然界中的周期现象；2．角的概念推广后，任意角包括、正角、负角、零角；象限角、轴上角、区间角及终边相同的角：(1)正角、负角和零角：它们是由于旋转方向不同而产生的角； (2)象限角和轴线角：它们是由于终边位置不同而产生的角；(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角 (连同角α在内)构成集合{}Z k k S ∈⨯+==︒,360|αββ.【随堂练习】1．0451-是第（ ）象限角．A ．一B ．二C ．三D ．四 2．下列现象不具有周期性的是（ ）A ．地球绕着太阳转，地球到太阳的距离B ．弹簧做上下振动时，悬挂的质点到平衡位置的位移C ．钟表走动过程中，分针的末端到钟面上的某确定点的距离D ．人造地球卫星从发射到回收过程中，卫星到地面的距离 3．将分针拨慢5分钟，则分针转过的度数是（ ）A ．030B ．060C ．030-D ．060-4．下列命题中正确的是（ ）A ．第二象限角比第一象限角大B ．第一象限角都是锐角C ．若0360360180()k k k Z α⋅<<⋅+∈，则α为第一、二象限角 D ．当始边重合时，角相等，则终边重合；终边重合时，角不一定相等 5．与0463-终边相同的角可表示为__________________________．6．若角α的终边和函数||x y -=的图像重合，则角α的集合为 ． 7．若α是第四象限的角，则0180α-是第___ ___象限的角． 8．已知01690α=．（1）把α表示成0360k β⋅+的形式（k Z ∈，000360β≤<）．（2）求θ，使θ与α的终边相同，且00720360θ-<<．9．如图，圆上一点A 以逆时针方向作匀速圆周运动，已知点A 每分钟转过θ角（00180θ<≤），经过2分钟后点A 在第三 象限，经过16分钟回到原来位置，求θ的大小．答案1．C 000451720269-=-+，知它是第三象限角．2．D 人造地球卫星从地面到预定的轨道时，这个过程不是周期出现的．3．A 分针拨慢，是逆时针，则分针转过的度数是030．4．D 如果始边重合，那么角相等，一定可得终边重合；终边重合时，如果始边不重合， 那么角不一定相等． 5．0360257()k k Z ⋅+∈ 000463720257-=-+，则0463-终边与0257终边相同，则与0463-终边相同的角可表示为0360257()k k Z ⋅+∈．6．0000{36045,360225,}k k k Z ααα=⋅-=⋅+∈或当终边在第四象限时，角α的集合为00{36045,}k k Z αα=⋅-∈；当终边在第三象限时，角α的集合为00{360225,}k k Z αα=⋅+∈．7．三 知036090360k k α⋅-<<⋅，k Z ∈，则018036018018036090k k α-⋅<-<-⋅+，则00000360180180360270k k α-⋅+<-<-⋅+，则0180α-是第三象限的角． 8．解：（1）0169014402504360250α==+=⨯+．（2）知θ在0720360θ-<<中的值有3个，显然一个为0250， 那么另两个分别为000360250110-+=-，000720250470-+=-． 9．解：由题意得016360k θ=⋅，k Z ∈，即0245k θ=⨯，k Z ∈，又00180θ<≤，所以002360θ<≤， 又因为2θ在第三象限，即01802270θ<<， 则018045270k <⋅<．解得46k <<，k Z ∈，故5k =， 所以00545112.52θ=⨯=．备选题1．已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．小于0180的正角 D ．第一或第二象限角1．C α是锐角，则2α可能是第一象限角，也可能是第二象限角，还可能终边在y 轴非负半轴．2．把下列各角写成0360(0360)k αα⋅+≤<的形式，并指出它们所在的象限或终边位置． （1）0135-； （2）01110； （3）0540-． 2．解：（1）000135360225-=-+，则它是第三象限角． （2）0001110336030=⨯+，则它是第一象限角．（3）0540(2)360180-=-⋅+，终边在x 轴非正半轴．弧度制【要点链接】1．弧度制的概念与有关概念一弧度角等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作一弧度的角.正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为0，； 2．弧度制与角度制的互化 我们用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad ”通常略去不写，例如，角α＝3就表示是3rad 的角，但用角度制表示角时，“度”或“°”不能省去．而且用“弧度”为单位度量角时，常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数，如45°＝4πrad ，不必写成45°＝0．785 rad ； 3．扇形的弧长公式与面积公式 注意公式l r α=中，左边是α的绝对值，不要误用为l rα=．【随堂练习】 1．下列与12π-终边相同的角为（ ）A ．0375B ．01055C ．0735- D ．01440-2．下列选项中，错误的是（ ） A ．“度”与“弧度”是度量的两种不同的度量单位B ．一度的角是周角的1360，一弧度的角是周角的12π C ．根据弧度的定义，0180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短有关 3．下列转化结果错误的是（ ）A ．06730'化成弧度是π83rad B ．π310-化成度是600-度C ．0150-化成弧度是π67rad D ．12π化成度是15度4．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．81C ．4πD ．8π5．若46παπ<<，且与π34角的终边相同，则α=___________．6．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是__ __2cm ．7．在)4,2(ππ内，与角67π-的终边垂直的角为 ．8．如图，已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．9．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时 小链轮转过的角度是多少度？多少弧度？答案1．C 01512π-=-，00073572015-=--． 2．D 不论是用角度制还是弧度制度量角，它们与圆的半径长短无关． 3．C 0150-化成弧度是56π-rad ．4．B 设扇形的圆心角为θ，则其面积21122S l r θθ==，可得21842θ⨯=，则18θ=． 5．163π 在(4,6)ππ内与π34角的终边相同的角为416433πππ+=．6．4 l R θ=，则2R =，那么这个圆心角所夹的扇形的面积是2142S R θ==．7．73π，103π 从图形可以看出在(0,2)π内，与角67π-的终边垂直的角为3π和43π，那么在)4,2(ππ内，与角67π-的终边垂直的角为73π和103π． 8．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则有⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==+22162l r rl l r ∴扇形的面积2122S rl cm ==．9．解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数与小转轮过的圈数之比为20∶48， 据此解得当大轮转1周时，小轮转2. 4周. 故小轮转过的角度为360°×2. 4=864°，小轮转过的弧度为864°×5=︒ππ24180弧度.备选题1．一条弧长等于半径的21，这条弧所对的圆心角为（ ） A ．6π弧度 B ．3π弧度 C ．21弧度 D ．以上都不对1．C 由l r θ=，得12θ=弧度．2．036= 弧度，712π-= °． 2．5π，105- 036361805ππ=⨯=弧度，00771801051212π-=-⨯=-．同步测试题A 组一、选择题1．把01125-化成2(02,)k k Z απαπ+≤<∈的形式是（ ） A ．64ππ-- B ．764ππ- C ．84ππ-- D ．784ππ- 2．若3α=-，则角α的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列各组角中，终边相同的角是（ ）A ．0390，0690 B ．0330-，0750C ．0480，0420- D ．03000，0840-4．角的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，下列命题正确的是（ ） A ．相等的角终边必相同 B ．终边相同的角一定相等 C ．第二象限角必是钝角 D ．不相等的角终边必不相同 5．设α角的终边上一点P 的坐标是(sin ,sin )36ππ，则α等于（ ） A ．3π B ．6πC ．2()3k k Z ππ+∈D ．2()6k k Z ππ+∈6．已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角二、填空题7．半径为3cm ，中心角为0120的弧长为 cm .8．在00到0360范围内，与角060-的终边在同一条直线上的角为 ． 9．与0490-终边相同的角是第________象限的角，其中最大负角是___________．三、解答题10．如果角α的终边经过点M （1，3），试写出角α的集合A ，并求集合A 中最大的 负角和绝对值最小的角．11．若α是第一象限的角，求2α-所在的象限．12．如图是一个水车的示意图，水车按匀角速度顺时针转动，从M 点开始第一次转到A 点时用时5分钟，已知水车的 半径为10米，水车在水面上的高度为15米，A 点关于 x 轴的对称点为B ．（1）求在转动一圈过程中，圆上的一定点在水面下的时间； （2）求终边为OB 的所有角的集合；（3）求从B 点开始第二次转到A 点需要几分钟？B 组一、选择题1．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ） A ．2παβ=- B ．1(2)()2k k Z απβ=+-∈C ．2απβ=-D ．(21)()k k Z απβ=+-∈2．若θ为第二象限角，那么θ-和2θ-都不是第（ ）象限角． A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 3．已知集合{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z p p p p ==+?=+?，则（ ） A ．M N = B ．M N Í C ．M N Ê D ．M N ??4．一个半径为R 的扇形，它的周长为4R ，则这个扇形所含弓形的面积为（ ） A ．21(2sin1cos1)2R -⋅ B ．21sin1cos12R ⋅C ．221RD ．22sin1cos1R R -⋅二、填空题5．若一圆弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长， 那么其圆心角的弧度数是 ．6．终边在直线y ＝x 上的角的集合为 .三、解答题7．设扇形的周长为cm ，面积为12cm ，求扇形圆心角的弧度数．8．写出图阴影区域所表示的角的集合（包括边界）．同步测试题答案A 组1．D 011254360315-=-⨯+，则07112584ππ-=-． 2．C 32ππ-<-<-，则角α的终边在第三象限． 3．B 0007503360330=⨯-，则0330-与0750终边相同．4．A 0200-是第二象限角，但不是钝角，则A 错误；030与0390的终边相同，但它们不相等，知B 错误、D 错误．5．D知1)2P ，则6π的终边与OP 重合，则2()6k k Z παπ=+∈． 6．C 角2α的终边在x 轴的上方，则222,k k k Z παππ<<+∈，那么,2k k k Z ππαπ<<+∈，则α是第一、三象限角． 7．2π 中心角为0120，为23π，则弧长为2323cm ππ⨯=． 8．0120与0300 与角060-的终边在同一条直线上的角可表示为036060k α=⋅-，或036060180,k k Z α=⋅-+∈，则在00到0360范围内为0120与0300．9．三，0130- 000490720230-=-+，它是第三象限的角．又与0490-终边相同的角都可以表示为0360230,k k Z α=⋅+∈，则最大负角是000360230130-+=-．10．解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α=60°，∴A ={α|α=60°+k ·360°，k ∈Z}， 其中最大的负角为－300°（当k =－1时）， 绝对值最小的角为60°（当k =0时）． 11．解：α是第一象限的角，则036036090,k k k Z α⋅<<⋅+∈． 则0018045180,2k k k Z α-⋅-<-<-⋅∈．当k 为偶数时，不妨设2,k n n Z =-∈，则00360453602n n α⋅-<-<⋅，知2α-在第四象限． 当k 为奇数时，不妨设21,k n n Z =--∈，则0003601353601802n n α⋅+<-<⋅+，知2α-在第二象限． 综上可知，2α-在第二象限或第四象限． 12．解：设圆与水面的另一交点为C ，AC 的中点为N ．（1）则可知5ON =米，所以∠060AON =，则∠0120AOC =，∠0150AOM =，则在转动一圈过程中，圆上的一定点在水面下的时间为12054150⨯=分钟． （2）由对称性知∠0150MOB =，则以OB 为终边的所有角的集合为00{360150,}k k Z αα=⨯+∈．（3）转一圈（0360）所用的时间为360512150⨯=分钟， 注意是顺时针转动，则以OB 为始边转到第一次与OA 重合时转过的角度是0300， 用的时间是10分钟，则从B 点开始第二次转到A 点需要22分钟．B 组1．D 可举例，23απ=，3πβ=，它们的终边是关于y 轴对称的，检验只有D 成立． 2．A 因为θ为第二象限角，则22()2k k k Z ππθππ+<<+∈，所以222k k πππθπ--<-<--，知θ-是第三象限角．224k k πθπππ--<-<--，知2θ-是第二、四象限角．3．B 分2()k n n Z =∈、21()k n n Z =-∈，则{|,}42k N x x k Z p p==+?{|,}{|,}2224n n x x n Z x x n Z p p p p==+稳=+?，则M N Í．4．D 则扇形的弧长为2R ，则扇形的圆心角为2弧度，则弦长为2sin1R ，三角形的高为cos1R ，则弓形的面积为1122sin1cos122R R R R ⨯-⨯⨯．5设圆的半径为r， 设圆弧的圆心角的弧度数是αr α=，则α=6．{,}4k k Z πααπ=+∈ 当在第一象限时，{2,}4k k Z πααπ=+∈，当在第三象限时，5{2,}{(21),}44k k Z k k Z ππααπααπ=+∈==++∈， 则{2,}{(21),}{,}444k k Z k k Z k k Z πππααπααπααπ=+∈⋃=++∈==+∈．7．解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，11,22lr l r ⎧=⎪⎨⎪+=⎩化简得2220r -+=，解得l r ⎧=⎪⎨=⎪⎩或l r ⎧=⎪⎨=⎪⎩故扇形圆心角的弧度数为1或4．8．解：（1）0000[36030,36090]k k ⋅+⋅+0000[360210,360270]k k ⋅+⋅+0000[18030,18090]k k =⋅+⋅+，Z ∈k ．（2）0[36045,36045]k k ⋅-⋅+，Z ∈k ．备选题1．已知α可以表示为2()k k Z απα=-∈，则α的值可以为（ ）A ．2π B ．π- C ．4πD ．34π-1．B 可得22k απ=，则k απ=，由选项知选B ．2．与01050-终边相同的最小正角是 .2．030 与01050-终边相同的角是003601050k ⨯-（k Z ∈），当3k =时是满足要求的最小正角，此时角为030．3（1） （2） 3．解：（1）要注意，对于同一个k 来说，写在左边的数要比右边的数小，且这两数的差的绝对值小于0360，则0000{120360150360,}k k k Z αα-+⋅≤≤+⋅∈．（2）这四个阴影区域内角的集合分别为000{36045360,}k k k Z αα⋅≤≤+⋅∈， 0000{90360135360,}k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈， 0{180360225360,}k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈， 0000{270360315360,}k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，合并即为0{904590,}k k k Z αα⋅≤≤+⋅∈．。