“五点法”作二次函数的图像导学案
“五点法”作二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c 的图像导学案
复习引入
1． 二次函y=5(x+1)²的图像与y 轴的交点坐标是___________。
2． 二次函数y=-2x²+1沿y 轴向下平移2个单位与y 轴的交点坐标是___________。
3． 把二次函数y=3x²的图像，先沿x 轴向左平移3个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，顶点坐标是
___________。
4． 二次函数y=-x²-x +2的图像与x 轴的交点坐标是_______, 对称轴是______, 与y 轴的交点坐
标是_______,此点关于抛物线对称轴对称的点的坐标是______。
例题讲解
例题1 二次函数 (1) 求出对称轴和顶点坐标。
（2）求抛物线与x 轴的交点坐标。
（3）求抛物线与y 轴的交点坐标，并求出此点关于抛物线对称轴对称的点的坐标。
（4）并画出这个函数的图像.
例2：指出抛物线: y= -x²+5x- 4的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x 轴的交点坐标。
并画出草图。
课堂小结
二次函数y=ax²+bx+c 的图像画法，一般分为三步：
1、利用配方法把二次函数y=ax²+bx+c 改写成y=a （x+m ）²+k 的形式；
2、确定抛物线的对称轴、顶点坐标、开口方向；
3、利用对称性描点作图。
总结：1、“五点”：①顶点坐标
②与y 轴的交点坐标
③与y 轴的交点坐标关于对称轴的对称点
④与x 轴的交点坐标（有交点时），
这样就可以画出它的大致图象。
2、抛物线y=ax²+bx+c 与y 轴的交点的求法： 令x=0，即y= c ，则交点为（0，c ）;
3、抛物线y=ax²+bx+c 与x 轴的交点的求法：
令y=0，即ax²+bx+c=0，求得x 1，x 2， 则交点为（x 1，0）、（x 2，0 ）。
3
42+-=x x y
作业
1、 抛物线()()513
3+-=x x y 的对称轴是__________，与x 轴的交点坐标是_______________，顶点坐标为________。
2、 形如抛物线q px x y ++=2
的对称轴是__________，顶点坐标为___________。
3、 若函数c bx x y ++=2
2的顶点坐标是(1，-2)，则b= ，c= 。
4、 已知抛物线9)2(2
++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．
5、已知抛物线y=2x²-4x-1与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于C 点，顶点为P ，求
（1）AB 长；
（2）△ABC 的面积；
（3）四边形ABPC 的面积。
6、已知抛物线y ＝ax²＋bx ＋c 与直线y ＝kx ＋4相交于点A(1，m)，B(4，8)，与x 轴交于坐标原点
O 和点C ，求：
(1)直线与抛物线的解析式；
(2)在轴上方的抛物线是否存在点D ，使得S △OCD ＝S △OCB ，求出所有符合条件的点；如果不存在说明理由。
九年级上册数学《二次函数》导学案(2)
22.1.2二次函数2(0)y ax a =≠的图象和性质一、知识链接：1.画一个函数图象的一般步骤是①_________；②__________；③_________.2.一次函数图象的形状是_______________. 二、自主学习：(一）画二次函数2y x =的图象．1.思考：图（2）和图（3）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？ 答：______________________________________________________________.2.归纳：①由图象可知二次函数2y x =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做_________线； ②抛物线2y x =是_________图形，对称轴是________； ③2y x =的图象开口向____；④__________与____________的交点叫做抛物线的顶点.抛物线2y x =的顶点坐 标是_________；它是抛物线的最___点（填“高”或“低”），即当0x =时，y 有 最____值等于____.⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈____趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈____趋势；即x <0时，y 随x 的增大而_____，x >0时，y 随x 的增大而______.（二）在图（4）中画出函数2221,,22y x y x y x ===的图象．归纳：二次函数2221,,22y x y x y x ===的图象的形状都是 ； 二次项系数a _____0；开口都向______；顶点都是__________； 对称轴都是________；顶点都是抛物线的最____点(填“高”或 “低”）；a 越大，抛物线的开口越______. 在图（4）中画出函数2221,,22y x y x y x =-=-=-的图象． 归纳：二次函数2221,,22y x y x y x =-=-=-的图象的形状都是 ； 二次项系数a ____0；开口都向______；顶点都是_________；对称轴都是_______； 顶点都是抛物线的最_____点（填“高”或“低”）；a 越大，抛物线的开口越______. 三、合作交流：归纳：1.抛物线2y ax =的图像和性质：2函数 开口方向 开口大小2(0)y ax a =≠0a > 0a <a 越大，开口越___2.在前面图（4）中，关于x 轴对称的抛物线有_____对，它们分别是哪些？ 答：_____________________________________________________________. 由此可知和抛物线2y ax =关于x 轴对称的抛物线是_____________.四、课堂训练 1．函数237y x =的图象开口向_______，对称轴是________，顶点是__________， 当x ＝_____时，函数有最_____值是______．2.函数26y x =-的图象开口向_______，对称轴是________，顶点是__________， 当x ＝_____时，函数有最_____值是______．3.二次函数2(3)y m x =-的图象开口向下，则m __________． 4.二次函数22m y mx-=有最高点，则m ＝________________．5.二次函数2(1)y k x =+的图象如图所示，则k 的取值范围为_______． 6.若二次函数2y ax =的图象过点（1，－2），其解析式为___________.7.抛物线22225;2;5;7y x y x y x y x =-=-==①②③④开口从小到大排列是_________________（只填序号）；其中关于x 轴对称的两条抛物线是___和___.8.点A （1,2b ）是抛物线2y x =上的一点，则b =_______；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是__________.当______x 时，y 随x 增大而减小；当______x 时，y 随x 增大而增大.当______x 时，y 随x 增大而减小； 当______x 时，y 随x 增大而增大. 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 当______x ， 有最_____值_____y = 当______x ， 有最_____值_____y =9.如图，A 、B 分别为2y ax =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点（0,6），若AB=6， 则该抛物线的表达式为_______________________. 10.当m =_________时，抛物线2(1)mmy m x -=-开口向下．（9题图） （11题图）11.如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作 出函数213y x =与213y x =-的图像，则阴影部分的面积是_________________. 12.如图，已知二次函数2(0)y ax a =≠与一次函数2y kx =-的图像相交于A （-1，-1），B 两点. （1）求,a k 的值； （2）求点B 的坐标； （3）求0A B S ∆和AB 的长.。
数学学科《26.1.4二次函数的图像》导学案设计
26．1．4二次函数y=ax2+bx+c的图象教学设计第周第课时编号二道江区十四中学王暖云课题26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象。
教学目标知识与技能：1、掌握用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标及抛物线平移。
2、掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴、顶点坐标公式。
过程与方法：通过思考、探究、归纳、尝试等过程，让学生学会探索新知识的方式和方法。
情感态度与价值观：经历求二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标的探究过程，渗透配方和数形结合的思想。
重点重点：通过配方法把二次函数的一般式化成顶点式的形式，求出对称轴和顶点坐标。
难点推导二次函数y=ax2+bx+c的顶点公式和对称轴公式.教法学讲练三步教学法课型新授课课时1课时主备人王暖云审核人教学过程教学环节教学任务教师活动学生活动预见性问题及解决对策设计意图复习（3分钟）问题1：请说出二次函数的顶点式形式，及顶点坐标？问题2：请说出抛物线y=2(x+3)2+5和y = -3 (x-1)2-2，的顶点坐标和对称轴？1、组织教学，调节课堂气氛。
2、教师提出问题。
3、导入新课。
1、小组内交流问题1和问题2。
2、小组派代表回答问题，组员可以补充。
顶点的横坐标的符号有可能出错。
策略：教师给予提示。
复习顶点式，并为学习二次函y=ax2+bx+c的图象做铺垫。
自学与互学（8分钟）出示学习目标:1、掌握用配方法确定抛物线的对称轴和顶点坐标及抛物线平移。
2、掌握二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式。
学生自学：首先自学教材第10页到12页、并解答学案问题。
然后让学生互学、讨论。
小组不能解决的问题写在小黑板上，并标注属于第几个学习目标的内容1、教师用课件出示学习目标，明确本节课任务。
2、教师巡视课堂，发现学生议论的焦点，解答个别同学的疑惑。
3、根据课堂实际情况，快速调整教学策略。
1、搞清楚本节课的学习目标。
2、结合教材依学案自学。
二次函数的图像第一课时导学案
学科 九年级数学课题二次函数y=ax 2图像和性质 课型新授授课时间 第 3 周 第 4 节2014年 9 月 18 日学习目标 会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质。
学习重点 根据特殊二次函数图象，观察、分析、归纳出二次函数的性质。
学习难点 用数形结合的方法归纳二次函数的性质。
导 学 过 程 设 计【复习旧知】：1、下列函数中，是二次函数的为（ ） A ．y=x+1 B ．y=x 2+1x C ．y=221x x -+ D ．y=2x+12x 22、一次函数12+=x y •的图象是一条_________，•反比例函数xy 3=的图象是_________．3、画函数图像的一般步骤_______、__________、_______ 【自学指导】： 1、 描点法画函数2x y =的图象（如果你觉得有困难，那么不妨先思考下面的问题：） ①自变量x 的取值范围是什么？②要画这个图，你认为x 取整数还是取其他数较好？③若选7个点画图，你准备怎样选？④观察2x y =的图象，是一条_________线．自变量x 的取值范围_________．列表： 描点、 连线2、 在同一图中画出22x y =和221x y =函数的图象，并观察它的图象与2x y =的图象有什么相同点和不同点。
3、 用描点法画函数2x y -=的图象，并猜想22x y -=和221x y -=的图象，用描点法画图验X Y证。
4、小结：观察图象知：抛物线 y ＝ax 2(a>0)y ＝ax 2(a<0)图像顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值【师生互动释疑】：（1） 两解析式的区别_________________________．图像的区别和联系_________________________．（2） 图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3） 当x ＜0时，y 随x 的增大而____________， x ＞0时呢？ （4） 若画二次函数y=ax 2图像的草图，要点是什么？举例说明。
导学案二次函数的图象1
导学案：二次函数的图象【学习目标】1.能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。
2．熟记二次函数的顶点坐标公式；3．会画二次函数一般式的图象．【学习过程】一、知识链接：1.抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。
2. 二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。
二、自主学习：（一）、问题：（1）你能直接说出函数 的图像的对称轴和顶点坐标吗？（2）你有办法解决问题（1）吗？解：的顶点坐标是 ，对称轴是 .（3）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质.（4）用配方法把下列二次函数化成顶点式：① ② ③（5）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式： ，因此抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 ，（6）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。
用公式法写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。
① ② ③（二）、用描点法画出的图像.（1）顶点坐标为 ；（2）列表：顶点坐标填在 ；（列表时一般以对称轴为中心，对称取值．）（3）描点，并连线：（4）观察：①图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；② 时，随的增大而增大； 时随的增大而减小。
③该抛物线与轴交于点 。
④该抛物线与轴有 个交点.三、合作交流求出顶点的横坐标后，可以用哪些方法计算顶点的纵坐标？计算并比较。
五点法绘制二次函数图像
五点法绘制二次函数图像二次函数的图像绘制可以通过多种方法，以下是一种常用的五步方法——五点法：五点法步骤1：确定顶点首先，根据二次函数的顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$，可以直接确定顶点坐标为$(h, k)$。
在平面直角坐标系中描出这个顶点M，并用虚线画出对称轴$x = h$。
步骤2：求与x轴的交点当 $aeq 0$ 时，将 $y$ 设为0，解方程 $a(x - h)^2 + k = 0$，得到与x轴的交点。
这个方程可能有两个不相等的实根（两个交点A、B）、两个相等的实根（一个交点）或没有实根（与x轴无交点）。
步骤3：求与y轴的交点将 $x$ 设为0，求得与y轴的交点C的坐标 $(0, c)$，其中 $c = ah^2 + k$。
步骤4：求关于对称轴的对称点如果抛物线与x轴有两个交点A、B，找到点C关于对称轴$x = h$ 的对称点D。
如果抛物线与x轴只有一个交点或无交点，则只需考虑点C和它的对称点D。
步骤5：绘制图像将顶点M、与x轴的交点A、B（如果存在）、与y轴的交点C及其对称点D按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到了二次函数的图像。
注意事项●当描点作图时，原则上相邻x的差值应相等，但远离顶点的点可以适当减小差值，以提高作图精度。
●如果需要更精确的图像，可以在顶点两侧各取多对对称点，并顺次连接这些点来绘制图像。
总结五点法是一种直观且实用的绘制二次函数图像的方法，通过确定顶点、与x轴和y轴的交点及其对称点，可以快速、准确地绘制出二次函数的图像。
这种方法适用于大多数二次函数的作图，无论是开口向上还是开口向下，都可以使用。
青岛版数学九年级下册5.4《二次函数的图象和性质》导学案1
5.4.2 二次函数的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画出二次函数与的图象；2．能结合图象确定抛物线与的对称轴与顶点坐标；3．通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力;【学习重难点】1、画出形如与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标.2、理解函数、与及其图象间的相互关系【学习过程】一、学习准备：提问：1．什么是二次函数？2．形如的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？二、自主探究（一）自己动手，获取真知。
1、完成下表，并比较x2，（x―1）2，x2+1的值有什么关系？x ―3 ―2 ―1 0 1 2 3x2（x―1）2x2+12、在下图中作出y=x2，y=（x―1）2，y=x2+1的图像。
3、由图象思考下列问题：（1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？（3）抛物线，与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？（4）抛物线与同有什么关系？继续回答：①抛物线的形状相同具体是指什么？②根据你所学过的知识能否回答：为何这三条抛物线的开口方向和开口大小都相同？③这三条抛物线的位置有何不同？它们之间可有什么关系？④抛物线是由抛物线沿y轴怎样移动了几个单位得到的？抛物线呢？⑤你认为是什么决定了会这样平移？三、课堂小结：本节课学习了二次函数与的图象的画法，主要内容如下。
填写下表：表一：抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标表二：抛物线开口方向 对称轴 顶点坐标四、随堂训练1．抛物线y=－4x 2－4的开口向 ，当x= 时，y 有最 值，y= ． 2．当m= 时，y=（m －1）x－3m 是关于x 的二次函数．3．当m= 时，抛物线y=（m ＋1）x ＋9开口向下，对称轴是 ．在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ．4、二次函数y=ax 2与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）mm +2mm +2。
(九年级数学教案)二次函数图像和性质导学案
二次函数图像和性质导学案九年级数学教案
1. 二次函数的图像和性质
>0
<0
开口
对称轴
顶点坐标
最值当x= 时,y有最值当x= 时,y有最值
增减性在对称轴左侧y随x的增大而y 随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而
2. 二次函数用配方法可化成的形式,其中
= , = .
3. 二次函数的图像和图像的关系.
4. 二次函数中的符号的确定.
【思想方法】
数形结合
【例题精讲】
例1.已知二次函数,
(1) 用配方法把该函数化为
(其中a、h、k都是常数且a≠0)形式,并画
出这个函数的图像,根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.
(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.
例2. (____年大连)如图,直线和抛物线
都经过点A(1,0),B(3,2).
⑴求m的值和抛物线的解析式;
⑵求不等式的解集.(直接写出答案)
【当堂检测】
1. 抛物线的顶点坐标是.
2.将抛物线向上平移一个单位后,得到的抛物线解析式是.
3. 如图所示的抛物线是二次函数
的图象,那么的值是&n。
最全二次函数概念的图像与性质导学案完整版.doc
第二节 二次函数的图像与性质(第1课时)环节一 回顾旧知，导入新课。
1.一次函数的图像是 ，反比例函数的图像是 。
2.画函数图象的一般步骤是什么？， ， .环节二 小组合学，探究新知。
1.试画出二次函数y=x 2的图像。
（1.2.3组黑色笔完成）（1）列表（2）描点 （3）连线2. 试画出二次函数y=-x 2的图像。
（4.5.6组黑色笔完成）3. 在1中画出二次函数y ＝2x 2的图象（1.2.3组红色笔完成） 在2中画出二次函数y ＝-2x 2的图象（4.5.6组红色笔完成）环节三：归纳总结，提炼升华。
反思小结：1.当a>0时，a 越大，a ，抛物线开口 。
当a<0时，a 越小，a ，抛物线开口 。
综上：对于任意a ≠0，a越大， 抛物线开口 。
环节四:达标检测，反馈提高 A 组1．二次函数2x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 二次函数2-x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________2.判断正误（1）函数y = x2与y = －x2的图像都是抛物线（ ）； （2）函数y = x2与y = －x2的图像对称轴都是x 轴 （ ）； （3）函数y = x2与y = －x2的图像形状相同，开口方向相反（ ） （4）抛物线y = 3x2在x 轴的下方(除顶点外)（ ）（5）在抛物线y = -5x2左侧， y 随着x 的增大而增大（ ） 3.已知72)2(--=ax a y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大，则=a 。
4.设边长为x 的正方形的面积为y ，y 是x 的二次函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）B 组：1．在函数y = x 2上有两点，（－1，y 1），（－3，y 2），那么y 1，y 2，0的大小关系是（ ）A .y 1 ＜ y 2 ＜0 B. y 2 ＜ y 1 ＜0 C. y 1 ＞ y 2 ＞0 D. y 2 ＞ y 1 ＞02、直线1+-=x y 与抛物线2x y =有（ ）A ．1个交点B . 2个交点C ．3个交点D ．没有交点3、如图边长为2的正方形ABCD 的中心在直 角坐标系的原点O ，AD ∥x 轴，抛物线y = x 2和 y = －x 2别经过A ，B ，C ，D 点，将正方形成几部 分，则图中阴影部分的面积为 ．探索乐趣 ：课下猜想并验证抛物线y = 3x2与y = 3x2+4之间有什么关系？它们是轴对称图形吗？开方方向，对称轴、定点坐标分别是什么？温馨提示：只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步.赠送以下资料《二次函数的应用》中考题集锦10题已知抛物线222(0)y x mx m m =+-≠．（1）求证：该抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）过点(0)P n ，作y 轴的垂线交该抛物线于点A 和点B （点A 在点P 的左边），是否存在实数m n ，，使得2AP PB =？若存在，则求出m n ，满足的条件；若不存在，请说明理由．答案：解：（1）证法1：22229224m y x mx m x m ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，当0m ≠时，抛物线顶点的纵坐标为2904m -<， ∴顶点总在x 轴的下方．而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．（或者，当0m ≠时，抛物线与y 轴的交点2(02)m -，在x 轴下方，而该抛物线的开口向上，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点．）证法2 ：22241(2)9m m m ∆=-⨯⨯-=，当0m ≠时，290m >，∴该抛物线与x 轴有两个不同的交点． （2）存在实数m n ，，使得2AP PB =．设点B 的坐标为()t n ，，由2AP PB =知，①当点B 在点P 的右边时，0t >，点A 的坐标为(2)t n -，，且2t t -，是关于x的方程222x mx m n +-=的两个实数根．2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即294n m >-．且(2)t t m +-=-（I ），2(2)t t m n -=--（II ）由（I ）得，t m =，即0m >．将t m=代入（II ）得，0n =．∴当0m >且0n =时，有2AP PB =．②当点B 在点P 的左边时，0t <，点A 的坐标为(2)t n ，，且2t t ，是关于x 的方程222x mx m n +-=的两个实数根． 2224(2)940m m n m n ∴∆=---=+>，即 294n m >-．且2t t m +=-（I ），222t t m n =--（II ）由（I ）得，3mt =-，即0m >． 将3m t =-代入（II ）得，2209n m =-且满足294n m >-． ∴当0m >且2209n m =-时，有2AP PB =第11题一人乘雪橇沿如图所示的斜坡笔直滑下，滑下的距离S （米）与时间t （秒）间的关系式为210S t t =+，若滑到坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为（ ）Ａ．24米 Ｂ．12米Ｃ．米 Ｄ．6米答案：Ｂ第12题我市英山县某茶厂种植“春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（1）中的一条折线表示．绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z （元）与上市时间t （天）的关系可以近似地用如图（2）的抛物线表示．（2）求出图（2）中表示的种植成本单价z （元）与上市时间t （天）（0t >）的函数关系式；（3）认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价最大？ （说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元／500克．）答案：解：（1）依题意，可建立的函数关系式为：2160(0120)380(120150)220(150180)5t t y t t t ⎧-+<<⎪⎪=<⎨⎪⎪+⎩，，． ≤ ≤≤ （2）由题目已知条件可设2(110)20z a t =-+． 图象过点85(60)3，，2851(60110)203300a a ∴=-+∴=．． 21(110)20300z t ∴=-+ (0)t >．（3）设纯收益单价为W 元，则W =销售单价-成本单价． )图(1)图(2)(天)故22221160(110)20(0120)3300180(110)20(120150)3002120(110)20(150180)5300t t t W t t t t t ⎧-+---<<⎪⎪⎪=---<⎨⎪⎪+---⎪⎩，，． ≤ ≤≤ 化简得2221(10)100(0120)3001(110)60(120150)3001(170)56(150180)300t t W t t t t ⎧--+<<⎪⎪⎪=-+<⎨⎪⎪--+⎪⎩，，． ≤ ≤≤①当21(10)100(0120)300W t t =--+<<时，有10t =时，W 最大，最大值为100； ②当21(110)60(120150)300W t t =--+<≤时，由图象知，有120t =时，W 最大，最大值为2593；③当21(170)56(150180)300W t t =--+≤≤时，有170t =时，W 最大，最大值为56．综上所述，在10t =时，纯收益单价有最大值，最大值为100元．第13题如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． （1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取7=）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取5=）答案：解：（1）（3分）如图，设第一次落地时， 抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+． 由已知：当0x =时1y =． 即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）（3分）令210(6)4012y x =--+=，．212(6)4861360x x x ∴-===-<．≈，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）（4分）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得1266x x =-=+1210CD x x ∴=-=． 1361017BD ∴=-+=（米）． 解法二：令21(6)4012x --+=．解得16x =-，2613x =+．∴点C 坐标为（13，0）．设抛物线CND 为21()212y x k =--+．将C 点坐标代入得：21(13)2012k --+=．解得：11313k =-（舍去），2667518k =+++=．21(18)212y x =--+ 令210(18)212y x ==--+，0．118x =-，21823x =+． 23617BD ∴=-=（米）． 解法三：由解法二知，18k =， 所以2(1813)10CD =-=， 所以(136)1017BD =-+=． 答：他应再向前跑17米．第14题荆州市“建设社会主义新农村”工作组到某县大棚蔬菜生产基地指导菜农修建大棚种植蔬菜．通过调查得知：平均修建每公顷大棚要用支架、农膜等材料费2.7万元；购置滴灌设备，这项费用（万元）与大棚面积（公顷）的平方成正比，比例系数为0.9；另外每公顷种植蔬菜需种子、化肥、农药等开支0.3万元．每公顷蔬菜年均可卖7.5万元． （1）基地的菜农共修建大棚x （公顷），当年收益（扣除修建和种植成本后）为y （万元），写出y 关于x的函数关系式．（2）若某菜农期望通过种植大棚蔬菜当年获得5万元收益，工作组应建议他修建多少公项大棚．（用分数表示即可）（3）除种子、化肥、农药投资只能当年受益外，其它设施3年内不需增加投资仍可继续使用．如果按3年计算，是否修建大棚面积越大收益越大？修建面积为多少时可以得到最大收益？请帮工作组为基地修建大棚提一项合理化建议．答案：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+． （2）当20.9 4.55x x -+=时，即2945500x x -+=，153x =，2103x =从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建53公顷大棚． （3）设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+（10分）不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．建议：①在大棚面积不超过10.5公顷时，可以扩大修建面积，这样会增加收益． ②大棚面积超过10.5公顷时，扩大面积会使收益下降．修建面积不宜盲目扩大．③当20.3 6.30x x -+=时，10x =，221x =．大棚面积超过21公顷时，不但不能收益，反而会亏本．（说其中一条即可）第15题一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）； （2）求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；（3）请你通过（2）中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品的销售单价范围，使月销售利润不低于480万元．答案：略．第16题一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为8m ，宽为2m ，隧道最高点P 位于AB 的中央且距地面6m ，建立如图所示的坐标系（1）求抛物线的解析式；（2）一辆货车高4m ，宽2m ，能否从该隧道内通过，为什么？（3）如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？答案：（1）由题意可知抛物线经过点()()()024682A P B ，，，，，设抛物线的方程为2y ax bx c =++ 将A P D ，，三点的坐标代入抛物线方程． 解得抛物线方程为21224y x x =-++ （2）令4y =，则有212244x x -++=解得1244x x =+=-212x x -=>∴货车可以通过．（3）由（2）可知21122x x -=>∴货车可以通过．第17题如图，在矩形ABCD 中，2AB AD =，线段10EF =．在EF 上取一点M ，分别以EM MF ，为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令M N x=，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？答案：解：矩形MFGN ∽矩形ABCD ，MN MFAD AB∴=． 2AB AD MN x ==，，2MF x ∴=．102EM EF MF x ∴=-=-． (102)S x x ∴=-2210x x =-+ 2525222x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴当52x =时，S 有最大值为252．第18题某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y （万元）与投资金额x （万元）之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元．信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y （万元）与投资金额x （万元）之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元时，可获利润3.2万元．（1）请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；（2）如果企业同时对AB ，两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少？答案：解：（1）当5x =时，12250.4y k k ===，，， 0.4A y x ∴=，当2x =时， 2.4B y =；当4x =时， 3.2B y =．2.4423.2164a ba b =+⎧∴⎨=+⎩解得0.21.6a b =-⎧⎨=⎩∴20.2 1.6B y x x =-+．（2）设投资B 种商品x 万元，则投资A 种商品(10)x -万元，获得利润W 万元，根据题意可得220.2 1.60.4(10)0.2 1.24W x x x x x =-++-=-++ 20.2(3) 5.8W x ∴=--+当投资B 种商品3万元时，可以获得最大利润5.8万元，所以投资A 种商品7万元，B 种商品3万元，这样投资可以获得最大利润5.8万元．第19题如图所示，图（1）是一座抛物线型拱桥在建造过程中装模时的设计示意图，拱高为30m ，支柱3350m A B =，5根支柱1122334455A B A B A B A B A B ，，，，之间的距离均为15m ，1515B B A A ∥，将抛物线放在图（2）所示的直角坐标系中．（1）直接写出图（2）中点135B B B ，，的坐标； （2）求图（2）中抛物线的函数表达式； （3）求图（1）中支柱2244A B A B ，的长度．答案：（1）1(30)B -，0，3(030)B ，，5(300)B ，； （2）设抛物线的表达式为(30)(30)y a x x =-+，把3(030)B ，代入得(030)(030)30y a =-+=．B A D MFB 图(1)图(2)l130a =-∴． ∵所求抛物线的表达式为：1(30)(30)30y x x =--+． （3）4B ∵点的横坐标为15， 4B ∴的纵坐标4145(1530)(1530)302y =--+=． 3350A B =∵，拱高为30，∴立柱44458520(m)22A B =+=． 由对称性知：224485(m)2A B A B ==。
高中数学 2.4 二次函数的图像导学案 北师大版必修1
高中数学北师大版必修一导学案：2.4 二次函数的图像
教学目标：1.理解二次函数的图像中ａ，ｂ，ｃ，ｈ，ｋ的作用 ２．能够熟练地对一般二次函数的解析式配方，研究二次函数图像的上下左右平移 ３．培养学生由形到数的抽象概括能力，观察分析能力。
重点：二次函数图像的变换
难点：二次函数图像的配方
自主 预习：
１．如何由函数ｙ＝2x 图像得到函数y=a 2
x (a ≠0)的图像 a 决定了图像 和 a>0,开口 a<0开口 ； a 越大开口 ；a 越小，开口 2.如何由函数y=a 2x (a ≠0)的图像得到函数
y=a 2)(h x ++k (a ≠0)的图像
3.二次函数解析式的三种形式是
问题1.画出二次函数ｙ＝2x 和y=22
)1(-x +3的图像，思考二者有什么关系，能否相互转化？
.
课后作业
1.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1，则f(x)=
2.二次函数的图像经过点（-1，-6），（1,-2），（2,3），则f(x)=
3.已知抛物线与x轴交于A（-1,0），B（1,0）并且经过点M（0,1），则抛物线的解析式为
4.把函数y= 22x-4x-5的图像向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得到的
函数图像的解析式为＿＿。
5.把y=32x的图像向右平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，就可以得到函数＿＿＿
＿＿的图像。
6.函数y=－22x的图像经过怎样的变换才能得到函数
f(x)= -22x+3x-6的图像？。
九年级数学上册 5 二次函数的图像导学案(无答案)(新版)新人教版
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二次函数的图像归纳：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像画法，可分三步：①用配方法把函数化为()k h x a y +-=2形式，②利用顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，③利用对称点描点画图问题：对于二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx ax y ，怎样求对称轴、顶点坐标？()2222222222422244.24b c a a b b b c b ac b y ax bx c a x a x x a x a a a a a a b ac b a x a a +⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=++-+=++⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图像的性质是：1.对称轴是 ，顶点坐标是2.当a ＞0时，开口向 ，当x ＝ 时，函数有最 值为 ；当a ＜0时，开口向 当x ＝ 时，函数有最 值为 。
三.拓展提升1.抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋4的顶点坐标是_______；对称轴是_______；2.二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，求a 的值。
3、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在y 轴上，求a 的值?若顶点在x 轴上呢？4、已知二次函数图象的对称轴是x =-3，且函数有最大值为2，图象与x 轴的一个交点是（－1，0），求这个二次函数的解析式。
5、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，下列结论中： ①abc ＞0，②b ＝2a ；③a ＋b ＋c ＜0，④a －b ＋c ＞0，正确的个数是( ) A ．4个 B ．3个 C. 2个 D ．1个6、已知抛物线c bx x y ++=2的部分图象如右图所示，若y<0,则x 的取值范围是（ ） A ．-1<x<4 Ｂ．-1<x<3 Ｃ．x<-1或x>4 Ｄ．x<-1或x>3 四.当堂反馈1、下列抛物线，对称轴是x =21的是 ( ) A. 221x y =B. x x y 22+=C. 22++=x x yD. 22--=x x y 2、抛物线24y x x m =-+与x 轴只有一个交点，则m= 。