浅谈换元法在高等数学教学中的运用
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是一种广泛应用于高中数学解题中的方法。
它的核心思想是通过一定的变换将问题转化为更易于解决的形式，从而得到问题的解。
一、函数换元法1. 基本思想函数换元法是一种利用函数的运算性质，将复杂函数转化为较为简单的函数，从而帮助我们解决问题的方法。
例如，在求函数 $f(x)=\frac{1}{x-1}$ 的零点时，我们可以采用换元法将 $x-1$ 替换为 $t$，从而得到 $f(t)=\frac{1}{t}$，这样我们就可以较为容易地求得 $t=0$，进一步得到 $x=1$ 这一解。
2. 具体应用函数换元法在高中数学中广泛应用于函数的求导、求极限等方面。
例如，在求函数$f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})$ 的导数时，我们可以采用函数换元法将$2x+\frac{\pi}{6}$ 替换为 $t$，这样就可以得到$\frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dt}\sin t \times\frac{d}{dx}(2x+\frac{\pi}{6})=\cos(2x+\frac{\pi}{6})\times2=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{\pi}{6})$。
这样问题就被转化为了求 $\sin t$ 的导数，从而便于计算。
二、微分方程的换元法微分方程是一种描述物理现象的重要工具，但由于其求解的困难度较大，我们需要采用适当的方法来简化问题。
其中，微分方程的换元法就是其中一个重要的方法。
例如，在求解微分方程 $y'+y=e^x$ 时，我们可以采用换元法将 $y=e^{-x}u$，得到$\frac{dy}{dx}=e^{-x}\frac{du}{dx}-e^{-x}u$，代入原方程后得到$\frac{du}{dx}=e^x$，进一步得到 $u=e^x+C$，从而得到原方程的通解为$y=e^{-x}(e^x+C)$。
微分方程的换元法在高中数学的物理问题中经常被应用。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中的换元法是一种重要的数学解题方法，它常常应用在积分、微分、微分方程等数学问题中。
在高等数学的学习中，换元法被广泛应用，并且具有很高的实用价值。
本文将深入探讨高等数学中的换元法，并探讨在教学过程中如何更好地教授和学习这一方法。
我们来介绍一下高等数学中的换元法的基本概念。
在数学中，换元法是指一种通过变量替换来简化问题的方法。
在积分中，通过引入新的变量，可以将原函数转化为一个更容易求解的形式；在微分方程中，通过引入新的未知函数或者变量替换，可以将原方程转化为更容易求解的形式。
在实际应用中，换元法常常被用于解决一些复杂的数学问题，因此具有非常重要的意义。
在教学过程中，如何更好地教授和学习换元法是一个重要的问题。
教师在教学中应该明确换元法的基本原理和方法，并且通过大量的例题来演示和讲解。
特别是对于一些实际问题，通过换元法来解决的例子可以帮助学生更好地理解和掌握这一方法。
教师还应该引导学生在学习中注重方法的灵活运用，通过不断的练习和应用，提高学生的解题能力和思维能力。
而对于学生来说，应该在学习过程中注重理解换元法的基本原理和方法，并通过大量的练习来巩固和加深自己的理解。
换元法在高等数学中的应用也与其他数学知识有着密切的联系。
在教学中，教师应该引导学生将换元法与其他数学知识相结合，帮助学生更好地理解和应用这一方法。
特别是在解决实际问题时，通过换元法可以将原问题转化为一个更容易解决的形式，因此学生需要通过不断的练习和实际应用，提高自己的问题转化能力和解决问题的能力。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中的一种重要的解题方法，广泛应用于微积分、积分学等领域。
通过适当的变换，可以将复杂的积分问题转化为简单的形式，使问题更易于解决。
本文将探讨高等数学中换元法的教学方法和注意事项，帮助学生更好地理解和运用这一解题方法。
换元法的教学内容应包括基本概念和基本方法。
换元法的核心思想是通过变量的替换，改变被积函数的形式，使之更方便进行积分。
教学内容可以从简单的一元函数开始，引导学生理解变量代换的意义和作用，进而介绍二元函数和多元函数的换元法。
教学方法可以通过具体的例子和图形解释，帮助学生理解换元法的基本原理和步骤。
换元法的教学过程应注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
换元法的应用需要学生具备一定的数学分析和推理能力，能够分析问题、找到解决问题的方法和途径。
在教学过程中，可以引导学生进行问题分析和推理，培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
给学生提供一个较复杂的积分问题，要求他们分析问题的特点和难点，找到合适的变量代换，并运用相应的换元方法进行求解。
换元法的教学应注重实际应用的训练和综合能力的培养。
换元法不仅仅是一种技术性的解题方法，还可以应用于实际问题的求解。
在教学过程中，可以通过一些实际应用问题的训练，培养学生将数学理论与实际问题相结合的能力。
引导学生通过利用换元法分析和解决实际问题，如求曲线与坐标轴所围成的面积，计算杯子中液体的体积等，帮助学生理解和掌握换元法的实际应用。
换元法的教学中需要注意的是引导学生理解和掌握换元法的思想和原则，而不仅仅是记忆和机械运用公式和方法。
换元法的应用需要学生具备一定的数学分析和推理能力，能够灵活运用所学的知识解决实际问题。
教师应引导学生通过大量的练习和思考，培养他们的分析和推理能力，帮助学生理解和掌握换元法的思想和原则。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中的一种重要解题方法，它常常应用在代数、微积分和函数等领域。
换元法是一种通过引入新的变量或函数来简化原问题的方法，它能够将原问题转化为更容易处理的形式，从而解决原问题。
本文将着重介绍换元法在高中数学解题中的应用，探讨它的作用和优势。
在代数中，换元法常常用于简化复杂的代数式或方程。
当我们要求解一个关于变量的复杂方程时，可以通过引入新的变量或代数式来简化原方程，从而更容易求解。
当我们要对一个复杂的代数式进行因式分解或化简时，也可以运用换元法来转化成更简单的形式，便于进行后续操作。
对于如下代数式：x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1，我们可以引入新的变量y=x+1，从而将原式转化为y^4的形式，进而进行简化或因式分解操作。
这种方法能够大大简化代数式的求解过程，提高解决问题的效率。
二、换元法在微积分中的应用在微积分中，换元法是一种常用的积分方法，它常常用于求解含有根式、三角函数等特殊形式的积分。
通过引入新的变量或函数，可以将原积分转化为更容易处理的形式，从而利用已知积分的性质或方法求解原积分。
对于积分\int \frac{1}{x\sqrt{x^2+1}} dx，我们可以通过引入新的变量u=x^2+1，从而将原积分转化为\int \frac{1}{2\sqrt{u}} du的形式，利用已知积分\int\frac{1}{\sqrt{u}} du的性质求解原积分。
这种方法在解决含有根式的积分时具有很大的优势，能够简化积分的求解过程，提高解题的效率。
在函数的研究中，换元法也具有重要的应用价值。
当我们要对一个复杂的函数进行求导或积分时，可以通过引入新的变量或函数来简化原函数，从而利用已知函数的性质或方法求解原函数。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用1. 引言1.1 介绍换元法换元法是高中数学中常用的一种解题方法，通过对变量进行替换或者转化，可以简化问题的处理过程，使得原本复杂的数学题目变得更容易解决。
换元法在数学中的应用非常广泛，不仅可以用来解一元二次方程、化简代数式，还可以用来证明数学定理、解决几何问题以及处理微积分问题等。
在数学中，换元法是一种灵活的工具，能够帮助我们更加深入地理解数学概念，提高问题解决效率。
通过适当选择变量的替换，可以将原本复杂的问题简化为更容易处理的形式，从而更快地得出解答。
换元法在高中数学学习中起着举足轻重的作用，不仅可以帮助我们更好地掌握数学知识，还可以培养我们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
要想在高中数学学习中取得更好的成绩，掌握好换元法这一重要的解题工具是至关重要的。
通过不断练习和理解，我们可以更好地运用换元法解决各种数学问题，提高自己的数学解题能力，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
1.2 换元法在解高中数学问题中的重要性在高中数学中，换元法可以用于解一元二次方程。
通过适当的变量替换，可以将原问题转化为简单的一次方程问题，从而更容易地求解方程的解。
换元法还可以用于化简复杂的代数式，从而简化计算过程，提高计算效率。
换元法还可以用于证明数学定理。
通过巧妙地引入新的变量，可以简化证明过程，使得证明更加清晰和简洁。
换元法还可以用于解决几何问题和微积分问题，在解决这些问题时发挥着非常重要的作用。
换元法在高中数学解题中的灵活运用可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解题效率和解题能力。
换元法是高中数学学习中不可或缺的重要工具，学生应该认真学习和掌握这一方法，以便更好地应对各种数学问题。
2. 正文2.1 利用换元法解一元二次方程利用换元法解一元二次方程是高中数学学习中非常常见的问题。
一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
当解一元二次方程时，有时候可以通过换元法来简化计算过程。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨引言换元法是高等数学中比较重要的一个概念，在求解一些较为复杂的积分时，起到了非常重要的作用。
然而，对于初学者来说，换元法并不是一件容易掌握的事情。
在教学中如何更好地让学生理解和掌握换元法，是每一位高等数学教师必须面对的问题。
本文将从以下几方面探讨高等数学中换元法的教学方法。
一、基本概念的讲解在教学中，首先应该从基本概念讲起，即什么是换元法，为什么使用换元法可以求出积分。
可以结合图例进行讲解，让学生通过图像感性理解换元法的原理，进而掌握其思想。
二、例题的讲解与分析在讲解基本概念后，需要配合一些例题进行讲解和分析。
在例题的选择上，要注意难度逐渐递增，避免一开始就使用过于复杂的例题，造成学生的挫败感。
同时，通过对例题的分析和讲解，可以帮助学生更好地掌握换元法的应用技巧和方法。
三、引导学生探究在掌握了基本概念和应用技巧后，可以引导学生探究一些新的问题，如何判断某个积分中是否需要使用换元法？如果选择的换元方法不正确，会对结果造成怎样的影响？可以通过一些综合性的例题进行引导，激发学生的独立思考能力和问题解决能力。
四、拓展应用与归纳总结在完成了一系列的教学任务后，可以引导学生拓展换元法的应用范围，并给予充分的练习和实践机会。
同时，通过对换元法的归纳总结，可以让学生更好地理解其内在的规律和思想，从而提高其整体的学习效果。
思考与展望总的来说，换元法是高等数学中比较重要的一个概念，其教学方法也需采用灵活多样的方式，从基本概念、例题讲解、问题探究、拓展应用等多方面展开。
除此之外，还可以采用一些生动有趣的小技巧和案例，激发学生的兴趣和积极性，让他们自主学习和探索，实现真正的知识共享和问题解决。
希望能够借此机会，共同探讨高等数学中换元法的教学策略，推动数学教育的创新和发展。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨一、换元法的基本概念换元法是指将一个变量替换成一个表达式，从而使原有的方程式变形成一个更加容易求解的方程的方法。
通常情况下，采用换元法前后的未知量并不相同，因此可以通过选择合适的代换量，以便将方程转化成最简单的形式。
二、换元法的一般步骤（1）化简原方程，以便找到需要代换的变量。
（2）找到一个代换变量，将原方程中的变量全部替换为代换变量，并将原方程转化成带有新变量的方程。
（3）求解新方程，得到新变量的值。
（4）将新变量的值代入代换变量，得到原变量的值。
三、实际教学中如何进行换元法的解题（1）帮助学生掌握常见的代换方法对于换元法的教学来说，了解常见的代换方法是非常重要的。
例如，对于二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方数形式，从而进行方便的变量替换。
而对于三次方程，可以使用Tartaglia公式求解，从而将不易求解的三次方程转化为容易求解的算式形式。
（2）引导学生选择合适的替代变量不同的代换变量可能会导致不同的转换结果，因此在实际解题中需要根据题目的要求来选择合适的替代变量。
例如，某些题目需要进行逆变换，这时选择正弦或余弦的比值作为代换变量可能会更加适合。
（3）注重解题过程中的物理意义在高等数学的教学中，注重解题过程中的物理意义能够帮助学生更好地理解本质。
例如，在物理问题中，可能需要使用对数或指数来描述问题，在解题过程中注重对数或指数的物理含义可以更好地理解问题以及求解过程。
四、结束语在高等数学的教学中，换元法是重要的解题方法之一，不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，并且可以帮助学生更好地掌握解题思路。
因此，在高等数学的教学中，教师需要注重引导学生掌握常见的代换方法，引导学生选择合适的替代变量，并注重解题过程中的物理意义，从而帮助学生更好地掌握这一重要的解题方法。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学中一种重要的解题方法，在解决各类函数的求导、定积分以及一些简单的微分方程中都有广泛的应用。
它是一种通过合理的变量替换来简化问题、降低难度的数学技巧，能够极大地提高解题的效率，因此在高中数学的学习中至关重要。
一、换元法的概念与基本思想换元法是一种将复杂的算术计算问题转化为简单的计算问题的数学方法，它通过构造适当的变量替换来简化原问题。
换元的基本思想是通过替换自变量，使问题的解能够进行简化或者直接得到。
对于一个给定的函数，我们可以对其进行合适的变换，从而使函数的形式更加简单。
这种变换可以通过引入一个新的变量来实现，这个新的变量通常被称为“中间变量”或者“代换变量”。
通过代入变量替换原函数，我们可以得到一个形式更加简单的函数。
换元法的核心是将问题转化为新的问题求解，通过合适的代换使问题变得更简单。
二、换元法的主要应用换元法在高中数学中的应用很广泛，主要包括以下几个方面：1.函数的求导换元法在函数求导的计算中有重要的应用。
对于复杂的函数，我们可以通过引入合适的变量替换来简化计算过程。
对于含有根号的函数，可以通过引入一个新的变量来简化计算。
具体而言，如果要计算函数y=f(x)的导数，我们可以令y=g(u)，其中u是一个函数，然后通过计算导数du/dx和函数关系g(u)得到dy/dx。
这样，我们可以通过导数的链式法则将原函数的导数表示为新变量的导数和链式法则的乘积。
2.定积分3.微分方程在求解一些简单的微分方程中，换元法也有重要的应用。
通过引入恰当的变量替换，我们可以将微分方程转化为更简单的形式，从而使求解过程更加容易。
具体而言，我们可以将微分方程中的变量替换为新变量，并根据新变量的定义和微分方程的关系来求解新变量。
通过求解新变量，我们可以得到原微分方程的解。
三、换元法的常用方法在使用换元法求解问题时，我们需要根据具体问题选择合适的代换方法。
常见的代换方法主要有以下几种：1.代换叠加法对于一些含有多项的复杂函数，我们可以通过分别代换每一项来简化计算。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中一种基本的解法方法，可以运用于微积分、线性代数等多个领域的问题解决。
本文就对高等数学中换元法的教学进行探讨，旨在让学生对换元法有更深入的理解与掌握。
一、换元法的基本概念换元法就是将一个或多个自变量用一个或多个新变量来代替，以便简化问题进一步求解。
在微积分中，通常情况下都是将一些复杂表达式中的函数用类似于反函数之类的方法进行换元化简，使其变成可进行进一步处理的形式。
例如，可以使用$x^2=\sin t$将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos t$，方便进行计算。
换元法的一般步骤包括确定新变量、确定旧变量与新变量之间的关系、求解新方程、将得到的结果通过新旧变量之间的关系回代到原方程中。
其中，确定新变量的关键是要找到能够化简问题的合适变量。
以求解微积分中的曲线积分为例，根据问题不同，我们可以使用极坐标、参数方程等不同的变量来实现化简。
确定旧变量与新变量之间的关系，通常需要根据题目的要求，采用特定的变量替换方法。
有的换元法遇到的变量替换可能较复杂，学生可借助画图来理解和记忆。
例如常常遇到的三角换元法。
三、典型例题具体来看，下面结合具体的例子，进行探讨。
例1. 求$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$解: 可以使用反三角函数中的$\arcsin$关系进行换元，设$x=\sin t$，则$\mathrm{d}x = \cos t\mathrm{d}t$，原式变为$\int\frac{\cost\mathrm{d}t}{\sin^2t\cos t} = \int\frac{\mathrm{d}t}{\sin t} =\ln|\tan\frac{t}{2}|+C$。
通过将$t$换回$x$来得到最终的答案，记得当$x$在区间$(-1,1)$之外时需加符号来保证得到的结果为正值，答案为$\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1-x^2}\right|+C$。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨1. 引言1.1 引言在高等数学中，换元法是一种重要的解题方法，它在解决一些复杂问题时起到了至关重要的作用。
换元法的基本概念是通过引入新的变量或者函数，将原来的积分或者微分问题转化为容易求解的形式。
这种方法通常能够简化问题的结构，使得计算变得更加方便和高效。
换元法的原理与方法主要是通过进行代换，将原函数转化为另一种形式，进而简化问题的求解过程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择适合的换元方法，以达到最优的解题效果。
在不同类型的问题中，换元法都有着广泛的应用。
比如在求不定积分、解微分方程、计算面积和体积等方面，换元法都能够发挥巨大的作用，帮助我们解决各种复杂的数学难题。
当使用换元法时，需要注意一些技巧和注意事项，比如选择合适的代换变量、避免代换后引入无关的项等等。
只有在掌握了这些注意事项后，我们才能更好地运用换元法来解决问题。
为了更好地掌握换元法，我们还需要不断练习。
通过大量的练习，我们才能熟练掌握不同类型的换元方法，提高解题的效率和准确性。
换元法是高等数学中一个重要的解题工具，掌握了它，我们能够更加轻松地解决各种复杂的数学问题。
展望未来，我们可以通过不断地学习和实践，进一步提高换元法的运用能力，为解决更多更复杂的数学难题奠定更加坚实的基础。
2. 正文2.1 换元法的基本概念换元法是高等数学中常用的一种方法，它在解决复杂数学问题时具有重要的作用。
换元法的基本概念涉及到将复杂的问题转化为简单的形式，从而更容易解决。
换元法的核心思想是通过引入一个新的变量或函数，将原问题转化为一个容易求解的形式。
换元法的基本步骤包括确定新的变量或函数的取值范围，建立新旧变量之间的关系，然后将原问题转化为新变量或函数的形式，最终求解新问题。
在换元法中，选择合适的变量或函数是至关重要的。
通常情况下，我们会选择与原问题具有相关性的变量或函数作为新的代换变量，这样可以更好地反映原问题的性质。
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在解数学题中，使用换元法可以使问题由难转易，由不熟悉转到熟悉，从而使得问题得到解决。
一般地，通过把某个式子看成整体，用某一变量来代替它，使问题得到简化，这种方法称为换元法。
换元的实质是依据等量代换把研究对象转化，将问题迁移至已知的对象的知识中去研究，从而使复杂问题变得易于处理。
在研究三角、不等式、方程、函数和数列等问题中有着广泛的应用。
在高等数学的许多概念和定理的讲解中适当地引入换元的思想对概念和定理的理解都有出其不意的效果，下面举几个例子。
对于著名的拉格朗日中值定理，较为常见的证明是引入辅助函数利用罗尔中值定理证明，假设函数f（x）在区间[a，b]上满足罗尔定理的边值条件：f（a）=f（b）=c，即
f（a）-c=0；f（b）-c=0，（1）
观察拉格朗日定理的函数图形实际上就是罗尔定
理函数图形倾斜到直线y=f（a）+f（b）-f（a）
b-a（x-
a）的情形。
因此，对于拉格朗日中值定理而言，我们可以用y|x=a，y|x=b来代替（1）式中的c，则有
f（a）-y|x-a=0；f（b）-y|x=b=0，（2）
很明显再用f（x）代替（2）式中f（a），f（b）得到
φ（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）
b-a（x-a），（3）
显然有φ（a）=φ（b）=0，这即是一般证明拉格朗日中值定理的辅助函数，如若函数 f（x）在区间[a， b]上满足拉格朗日中值定理条件，则φ（x）满足罗尔中值条件，从
而至少存在一点ξ∈[a，b]使得f'（ξ）-f（b）-f（a）
b-a=0。
关于罗尔中值定理和拉格朗日中值定理是等价性，只要把在区间[a， b]上满足特殊的情形f（a）=（b）的函数f（x）带入拉格朗日中值定理则有罗尔中值定理，也即罗尔中值定理和拉格朗日中值定理是等价的。
关于如上（3）式的辅助函数φ（x）而言，我们可以认为是有两个函数f（x）和x的组合，如下：φ（x）=f（x）-f（a）-f（b）-f（a）
x|x=b-x|x=a（x-x|x=a），把x替换成一般函数g（x），φ（x）=f （x）-f（a）-
f（b）-f（a）
g（b）-g（a）（g（x）-g（a）），则函数φ（x）仍然满足罗尔中值定理，从而很自然的若g（x）也满足拉格朗日定理条件且g'（x）≠0， x∈（a，b），就至少存在一点ξ∈（a，b）使得
f（b）-f（a）
g（b）-g（a）=
f'（ξ）
g'（ξ），这就是著名的柯西中值
定理。
关于柯西中值定理的结论
f（b）-f（a）
g（b）-g（a）=
f'（ξ）
g'（ξ），若把b换做x且考虑特殊情形f（a）=g（a）=0，即
f（x）
g（x）= f'（ξ）
g'（ξ），改变中值定理证明中值存在的思路，运用于两
端求x→a 的极限（0
型），则有：
lim
x→a
f（x）
g（x）=lim x→a
f'（ξ）
g'（ξ）=limξ→a
f'（ξ）
g'（ξ）=lim x→a
f'（ξ）
g'（ξ），实际上这就是著名的罗必塔法则。
依次类推若有lim
ξ→a
f'（x）=lim
x→a
g'
（x）=0，则再以f'（x），g'（x）代替f（x），g（x）有lim
x→a
f（x）
g（x）=lim x→a f'（x）
g'（x）=lim x→a
f''（x）
g''（x），这也就是多次连续使用罗必塔法则求解0型极限问题的证明了。
牛顿-莱布尼茨公式讲完后作为应用可以再讲解积分第一中值定理：如果函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则在积分区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得：
b
a∫f（x）dx=f（ξ）（b-a）（a≤ξ≤b）（4）
如果我们用t代替（4）式左端的b得到φ（t）=
b
a∫f（x）dx，若f（x）的原函数F（x）存在，则φ（t）且F（t）-F（a）且φ（t）满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在一点ξ∈
[a，b]使得φ'（ξ）=f（ξ）=
F（b）-F（a）
b-a=
b
a∫f（x）dx（b-a），从而得到（4）式在一定条件下成立。
对这些证明的讲解还需要进一步规范，但这些简洁一目了然的讲解能够使学生们对于一些定理的证明
浅谈换元法在高等数学教学中的运用
宋奇庆1，郭敏2
（1.桂林理工大学，广西桂林541004；
2.桂林理工大学博文管理学院，广西桂林541004）
摘要：高等数学的教学中，定理的证明过程往往是难点，使用换元法可以使一些定理的证明显得更加简单和易于理解，本文讲解了教学过程中中值定理的一些使用换元法的证明方法。
关键词：换元法；中值定理
【学法指导】
90
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函数思想在解题中的应用
曹爱丽
（江苏省郑集高级中学，江苏铜山221112）
摘要：所谓函数思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究（一般借助函数的性质、图象等），从而使问题获得解决。
下面结合几个实例谈谈函数思想在解决不等式、数列、解析几何中的应用。
关键词：函数；数量；解决
一、利用函数思想解决不等式问题
对于一些从形式上看是以非函数的问题出现的题目，经过适当地变换和构造，可以使这一非函数的问题转化为函数的问题，并运用函数的有关知识来处理这一问题，从而使原问题得到顺利解决。
例1已知b ＞a ＞e ，求证a b ＞b a ．
分析与简解：观察发现要求证的不等式a b ＞b a 两边均是指数式，而指数式与对数式关系密切，从而想到将指数式化成对数式，又因为条件中出现了唯一的一个数字“e ”，所以考虑在不等式两边同时取以e 为底的对数。
要证a b ＞b a
只要证b ln a ＞a ln b
只要证ln a a ＞ln b b ，构造函数f （x ）=ln x x ，x ＞e
f'（x ）=1-ln x x 2，显然当x ＞e 时，f'（x ）＜0所以f （x ）在区间（e ，+∞）上单调递减.而b ＞a ＞e ，所以f （b ）＞f （a ）即ln a a ＞ln b b
，得证．
例2求证a √-a -1√＜a -2√-a -3√．分析与简解：观察不等式两边式子的结构，都是x √-x -1√的形式，于是联想用构造函数来解。
令f
（x ）=x √-x -1√（x ≥3），则f'（x ）=12x √-12x -1＜0，所以f （x ）在[3，+∞）上单调递减，因此f （a ）＜f
（a -2），即a √-a -1√＜a -2√-a -3√．
例3
求证
a 2+1a
2√
-2√≥a +1a -2（a ＞0）．分析与简解：注意到a 2+1a 与a +1a
之间的关系a 2+
1a 2
=a +1
a (
)2
-2，
不妨设x =a +1a
，则x ≥2．要证
a 2+1a 2√
-2óa +1a
-2只要证x 2-2-2√≥x -2．
只要证x 2-2√-x ≥2√-2，令f （x ）=x 2-2√-x （x ≥2）
则f'（x ）=
x x 2-2
√-1＞0，所以f （x ）在[2，+∞）上单
调递增，因此f （x ）≥f （2），于是x 2-2√-x ≥2√-2，得证．
2010年的高考中突出考查函数思想解决不等式问题的另举两例：
例4
已知函数f （x ）=12
x 2-ax +（a -1）ln x ，1＜a ＜5
证明：对任意的x 1，x 2∈（0，+∞）且x 1≠x 2，有
f （x 1）-f （x 2）x 1-x 2
＞-1分析与简解：函数背景下的不等式证明，联想到利用函数的单调性去解决。
由于x 1≠x 2，不妨设x 1＞x 2要证f （
x 1）-f （x 2）x 1-x 2
＞-1的来龙去脉有比较清楚的认识，使得学生对数学家们对问题的构思和考虑有了较为接近的理解，更为重要的是对定理的理解和学习产生浓厚的兴趣。
参考文献：
[1]吴君.换元法在复积分中的应用[J].教育教学论坛，113.[2]同济大学数学系.高等数学（第六版）[M].高等教育出版社，2007.
[3]同济大学数学系.高等数学附册-学习辅导与习题选解[M].
北京：高等教育出版社，2007.
基金项目：广西新世纪教改工程“十一五”立项项
目（No ：2009C034）作者简介：宋奇庆（1980-），男，讲师，研究方向：优化与对策；郭敏（1980-），女，硕士，桂林理工大学博文管理学院。
【学法指导】
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