重积分的变换公式

∫a
b
f ( x )dx =
∫α f (ϕ( t ))ϕ ′(t )dt
D → T (D )
β
⎧ x = x(u, v) 二重积分： 设 f ( x, y ) 在有界闭区域 D 连续， 变换 T : ⎨ : ⎩ y = y (u, v)
是一一对应，有连续偏导数，则类比定积分的变量代换公式，重积分的变量代换 公式似乎应该是
2
v h g
y
y ( x, h)
y ( x, g )
O
e
f
u
O
e
f
x
图 13.3.9
所以 T ( R) 的面积为
mT ( R ) =
T (R)
∫∫ dxdy = ∫ dx ∫
e
f
y( x,h )
y( x,g )
f ~, h) − y(u ~, g ))( f − e), dy = ∫ [ y( x, h) − y( x, g )]dx =( y(u e
= ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v))
Di
∂ ( x, y ) dudv 。 ∂(u , v)
因此
T ( D) M
∫∫
f ( x, y )dxdy =∑
M
i =1 T ( D ) i
∫∫ f ( x, y)dxdy
∂ ( x, y ) ∂ ( x, y ) dudv = ∫∫ f ( x(u, v), y (u, v) dudv . ∂(u, v) ∂(u, v) D
T 可以表示为两个一对一的本原映射的复合。 由于 U δ (Q) | Q ∈ D 覆盖了 D ， 中，
2
{
}
由 Heine-Borel 定理，存在有限多个邻域 U δ ( Q1 ) , U δ ( Q2 ),L , U δ
1 2 2 2
S
( QS ) ，
2
δ ⎫ ⎧δ δ 它们覆盖了 D 。设 δ * = min ⎨ 1 , 2 , L , S ⎬ 。 2 ⎭ ⎩2 2 取划分充分细， 使得所有的小矩形的对角线长度都小于 δ * ， 那么当小矩形 D i
证毕 下面证明变量代换公式对于本原映射成立。 引理 2 设 T 为本原映射，二元函数 f ( x, y ) 在 T (D) 上连续，则
T ( D)
∫∫ f ( x, y)dxdy =∫∫ f ( x(u, v), y(u, v)) ∂(u, v) dudv 。
D
∂ ( x, y )
证 考虑上述对区域 D 的分割，设 D1 , D 2 ,L, D M 是包含在区域 D 内的所有小矩 形，由引理 1，在 D i 上成立
Ty :
x = x(u , v ), y = y (u , v ) = v x = x (u , v ) = u , y = y ( u , v )
的映射称为本原映射。 引理 1 设 T 为本原映射，则对于每个小矩形 R ，等式 ∂ ( x, y ) mT ( R ) = mR ∂ (u , v) ( u ~ ,v ~) ~, v ~ ) 为 R 上某一点。 成立，这里 (u 证 仅对本原映射 Tx 证明，对 T y 的证明是类似的。 设在 U 上 J > 0 。由于这时成立 J=
~ ≤ f 。最后一步是利用了积分中值定理。再用一次微分中值定理得 其中 e ≤ u ∂y ~ ~ ∂y ~ ~ ⎛ ∂ ( x, y ) ⎞ mT ( R) = (u , v )(h − g )( f − e) = (u , v )mR = ⎜ mR ， ⎟ ∂v ∂v ~, v ~) ⎝ ∂ (u , v) ⎠ (u ~ < h。 其中 g < v 如果 T 的 Jacobi 行列式为负的，以上讨论中关于 y 的不等式反向，重复以上 证明可同样得到 ∂ ( x, y ) mT ( R) = mR 。 ∂ (u , v) ( u ~ ,v ~)
i i
∂ ( x, y ) mDi ， ∂ (u , v ) ( u ~ ,v ~)
i i
设所有小矩形的对角线长度的最大值为 ρ ，令 ρ 趋于 0，由二重积分的定义，即 得 ∂ ( x, y ) f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( x(u , v), y (u , v)) dudv 。 ∫∫ ∂(u , v) T ( D) D 证毕
∂ ( x, y ) = ∂y ∂ (u, v) ∂ u
1
∂y = > 0， ∂v ∂v
0
∂y
所以在每个小矩形 R=[e, f] × [g, h]上，对于固定的 u, y (u , v ) 是 v 的单调增加函数， 因此 R 被一一对应地映到 T ( R ) = {( x, y ) | e ≤ x ≤ f , y ( x, g ) ≤ y ≤ y( x, h)} 。
∂ ( x, y ) mD i ， ∂(u , v) (u ~ ,~ i vi )这里 ( ui , vi ) 为 D i 中某一点。设 xi = x ( ui , vi ) , yi = y ( u i i mT (D i ) =
~ ,v ~ ~ ~ xi , ~ y i ) mT ( Di ) = ∑ f ( x(u ∑ f (~ i i ), y (u i , vi ))
证毕
= ∑ ∫∫ f ( x(u, v), y (u , v)
i =1 D i
5． n 重积分的变量代换公式 对于 n 重积分的变量代换，我们不加证明给出公式： 设 U 为 R n （ n > 2 ）上的开集，映射 T : y1 = y1 ( x1 , L , x n ), L , y n = y n ( x1 , L , x n ) 将 U 一一对应地映到 V ⊂ R n 上。进一步假设 y1 = y1 ( x1 ,L , x n ),L , y n = y n ( x1 ,L , x n ) 都具有连续偏导数，而且这个映射的 Jacobi 行列式不等于零。 设 Ω 为 U 中具有分片光滑边界的有界闭区域，则有与二维情形类似的结论： 定理 2 映射 T 和区域 Ω 如上假设。如果 f ( y1 , y 2 ,L , y n ) 是 T (Ω)上的连续函 数，那么变量代换公式
4
T ( Di )
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫
f ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η ))
T1 ( D i )
∂ ( x, y ) dξ dη ∂(ξ ,η )
= ∫∫ f ( x(ξ (u , v),η (u , v)), y (ξ (u , v),η (u , v)))
Di
∂( x, y ) ∂(ξ ,η ) dudv ∂(ξ ,η ) ∂(u , v)
3
为了完全证明定理 1，还需要以下的结果： 引理 3 设 T 满足定理 1 的假设， 则对于任意点 Q0 = (u 0 , v 0 ) ∈ U ，T 在点 Q0 附近可以表示成 2 个具有连续偏导数的、一对一的本原映射的复合。 证 设 x0 = x(u 0 , v0 ), y 0 = y (u 0 , v0 ), P0 = ( x0 , y 0 ) 。 ∂ ( x, y ) ∂x 由于 (u 0 , v0 ) ≠ 0 ，行列式中必有元素不为零。不妨设 (u 0 , v0 ) ≠ 0 ， ∂ (u , v) ∂u 于是，本原映射 ⎧ξ = x(u, v), T1 : ⎨ ⎩η = v ∂(ξ ,η ) ∂x 的 Jacobi 行列式 由隐函数存在定理 （或逆映射定 (u 0 , v0 ) = (u 0 , v0 ) ≠ 0 ， ∂(u , v) ∂u ⎧u = g (ξ ,η ), 理） ，局部地可得逆映射 ⎨ 且 g (ξ , η ) 在 T1 ( u0 , v 0 ) 的一个邻域具有连续 ⎩v = η , 偏导数。注意这时成立 g ( x (u , v ), v) = u 。 作 ⎧x = ξ , T2 : ⎨ ⎩ y = y ( g (ξ ,η ),η ), 则有 x = ξ = x(u , v), y = y ( g (ξ ,η ),η ) = y ( g ( x(u , v), v), v) = y (u , v)。 即 T2 o T1 = T 。 证毕 4．二重积分变量代换公式的证明： 根据引理 3，对于每点 Q = (u , v) ∈ D 存在它的一个邻域 U δ (Q) ，在这个邻域
与U δ
j
D i 必包含在某个 U δ (Q ) 中 (1 ≤ j ≤ S ) 。 于是在每个 D i （ i = (Q j ) 相交时，
2
j
1,2, L , M ）上成立 T = T2 o T1 （为简便起见去掉了标记 i ，注意对不同的 D i ，可
能有不同 T1 和 T2 ） ，这里 T1 和 T2 是本原映射。设 ⎧ξ = ξ (u, v), ⎧ x = x(ξ ,η ), T1 : ⎨ 和 T2 : ⎨ ⎩η = η (u, v), ⎩ y = y (ξ ,η ). 那么 ∂( x, y ) ∂( x, y ) ∂(ξ ,η ) 。 = ⋅ ∂(u , v) ∂(ξ ,η ) ∂(u , v) 由引理 2 得
3. 教学安排
1．我们先叙述定积分的变量代换公式（即换元法） ，然后利用类比法看一下 二重积分变量代换公式应该是怎样的： 定积分： 设 f ( x ) 在区间 [a, b] 上连续， 变换 x = ϕ (t ) 是一一对应， 有连续导数， ，则 x = ϕ (t ) : [α , β ] （或 [ β ,α ] ） → [ a, b] （ ϕ (α ) = a ， ϕ (β) = b ）
教案 重积分变量代换公式的证明
1. 教学内容
我们先对本原变换证明二重积分变量代换公式， 然后将一般的变量代换视为向量 值函数，将它分解为两个本原变换的复合，从而给出了重积分变量代换公式一个 容易理解而简单的证明。
2. 指导思想