实际问题与一元二次方程(1)增长率传播问题2020-2021学年九年级数学上册(原卷版)【人教版】
2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【人教版】
专题1.6实际问题与一元二次方程（1）增长率传播问题姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020•河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）
A．5000（1+2x）＝7500
B．5000×2（1+x）＝7500
C．5000（1+x）2＝7500
D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝7500
2．（2020•松滋市一模）某公司今年4月的营业额为2800万元，按计划第二季度的总营业额达到9800万元，设该公司5月，6月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2800（1+x）2＝9800
B．2800（1+x%）2＝9800
C．2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800
D．2800+2800（1+x）+2800（1+x）2＝9800
3．（2020•河池）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（）
A．6B．7C．8D．9
4．（2020•浙江自主招生）某班同学毕业时，都将自己的照片向本班其他同学送一张留念，全班一共送了1260张，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）
A．x（x+1）＝1260B．2x（x+1）＝1260
C．x（x﹣1）＝1260×2D．x（x﹣1）＝1260
5．（2020•鄂州）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（）
A．20%B．30%C．40%D．50%
6．（2020•南宁一模）某地区1月初疫情感染人数6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（）
A．6（1﹣2x）＝1B．6（1﹣x）2＝1C．6（1+2x）＝1D．6（1+x）2＝1
7．（2020春•包河区期末）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上购物，某购物APP今年二月份用户比一月份增加了44%，三月份用户比二月份增加了21%，则二、三两个月用户的平均每月增长率是（）
A．28%B．30%C．32%D．32.5%
8．（2020•武汉模拟）有5人患了流感，经过两轮传染后共有605人患流感，则第一轮后患流感的人数为（）A．10B．50C．55D．45
9．（2020•光明区一模）疫情期间居民为了减少外出时间，更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是（）
A．10%B．15%C．23%D．30%
10．（2019秋•南充期末）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（）
A．6个B．8个C．9个D．12个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020春•高淳区期末）某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是．
12．（2020•通辽）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．
13．（2020•通州区一模）某呼吸机制造商2020年一月份生产呼吸机1000台，2020年三月份生产呼吸机4000台，设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意，可列方程为．
14．（2020•西乡塘区模拟）据市场调查，某商品2018年的售价为120元/件，2020年的售价为180元/件，若该商品连续两年售价的年平均上涨率相同，求该商品售价的年平均上涨率．假设该商品售价的年平均上涨率为x，则可列方程为．
15．（2019秋•常州期末）某楼盘2018年初房价为每平方米20000元，经过两年连续降价后，2020年初房
价为16200元．设该楼盘这两年房价年平均降低的百分率为x ，根据题意可列方程为 ．
16．（2020春•哈尔滨期末）哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间
比赛一场），计划一共安排21场比赛，设邀请x 个学校参加比赛，列方程为 ．
17．（2020•山西一模）某工厂去年十月份生产零件50万个，为完成第四季度182万个零件的生产任务，该
工厂提高了生产效率．设该工厂十一、十二月份生产这种零件平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是 ．
18．（2019秋•抚州期末）九年级8班第一小组x 名同学在庆祝2020年新年之际，互送新年贺卡，表达同学
间的真诚祝福，全组共送出贺卡30张，则x 的值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020•大连二模）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，
这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：
（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？
（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？
20．（2020春•北碚区校级期末）每年农历五月初五，是中国民间传统节日﹣﹣端午节．今年端午节，某蛋
糕店推出了蛋黄肉粽和白粽两种粽子，其中蛋黄肉粽的销售单价为每千克30元，白粽的销售单价为每千克20元.5月份，蛋黄肉粽和白粽共销售了100千克，销售总额为2600元．
（1）5月份，蛋黄肉粽的销售数量是多少千克？
（2）为迎接端午节的到来，6月份该蛋糕店将蛋黄肉粽的销售单价降低了13a %，其销量在5月份的基础上增加了43a %；白粽的销售单价保持不变，其销量在5月份的基础上增加了12a %．6月份两种粽子的销售总额比5月份两种粽子的销售总额增加了913a %，求a 的值．
21．（2020春•金华期中）在全国人民的共同努力下，新冠肺炎确诊病例逐渐减少，据统计，某地区2月2
日累计新冠肺炎确诊病例144例，2月16日累计新冠肺炎确诊病例36例，那么这两周确诊病例平均每周降低的百分率是多少？
22．（2020•揭西县模拟）新冠肺炎疫情在全球蔓延，造成了严重的人员伤亡和经济损失，其中一个原因是
新冠肺炎病毒传播速度非常快．一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人．
（1）求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人？
（2）按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？23．（2020•南漳县模拟）为了创建全国文明城市，提升城市品质，某市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，该市2017年的绿色建筑面积为950万平方米，2019年达到了1862万平方米．若2018年，2019年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：
（1）求2018年，2019年绿色建筑面积的年平均增长率；
（2）若该市2020年计划推行绿色建筑面积达到2600万平方米，如果2020年仍保持相同年平均增长率，请你预测2020年该市能否完成目标．
24．（2014秋•双峰县校级月考）某商场将某种商品的售价从原来的每件40元两次调价后调至每件32.4元．
①若该商场两次调价的降低率相同，求这个降低率．
②经调查，该商品原来每月可销售500件，商品每降价0.2元，即可多销售10件，那么两次调价后，每
月可销售商品多少件？。
21.3 第1课时 传播问题及增长率问题(含答案)-2021-2022学年九年级数学上(人教版)
2021－2022学年九年级数学上册课时作业(人教版)第二十一章一元二次方程21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题及增长率问题分点训练知识点1传播问题1. 禽流感是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天时间，某养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有禽流感，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( C )A. 10只B. 11只C. 12只D. 13只2. 有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )A. 12x(x－1)＝45 B.12x(x＋1)＝45C. x(x－1)2＝45D. x(x＋1)2＝453. 生物兴趣小组的同学将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠182件.如果全组有x名同学，则所列方程为.4. 有一人利用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条信息，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信平均一个人向多少个人发送信息?知识点2增长率问题5. 某市多年举办“桃花节”，观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2019年约为20万人次，2021年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是( )A. 20(1＋2x)＝28.8B. 28.8(1＋x)2＝20C. 20(1＋x)2＝28.8D. 20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2＝28.86. 某商品的售价为100元，连续两次降价x％后售价降低了36元，则x为( )A. 8B. 20C. 36D. 187. 某种药品原来售价为100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是.8. 随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社会养老中心等)建设稳步推进，拥有的养老床位数不断增加.该市的养老床位数从2018年底的2万个增长到2020年底的2.88万个. 求该市这两年(从2018年底到2020年底)拥有的养老床位数的平均年增长率.知识点3数字问题9. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.强化提升10. 家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2020年底某市汽车拥有量为16.9万辆，已知2018年底该市汽车拥有量为10万辆，设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意列方程得( )A. 10(1＋x)2＝16.9B. 10(1＋2x)＝16.9C. 10(1－x)2＝16.9D. 10(1－2x)＝16.911. 若两个连续整数的积是56，则它们的和为( )A. 11B. 15C. －15D. ±1512. 某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场个.13. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感.(1)求每轮传染中平均一个人传染几个人?(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染?14. 某生物实验室需培育一种有益菌.现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后有多少个有益菌?15. 某蛋糕产销公司A品牌产销线2017年的销售量为9.5万份，平均每份获利1.9元，预计以后四年每年销售量按5000份递减，平均每份获利按一定百分数逐年递减；受供给侧改革的启发，公司早在2016年底就投入资金10.89万元，新增了B品牌产销线，以满足市场对蛋糕的多元需求.B品牌产销线2017年的销售量为1.8万份，平均每份获利3元，预计以后四年每年销售量按相同的份数递增，且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增；这样，2018年A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份，B品牌产销线2019年销售获利恰好等于当初的投入资金数.(1)求A品牌产销线2020年的销售量；(2)求B品牌产销线2018年平均每份获利增长的百分数.参考答案1. C 【解析】由题意可设每只病鸡传染健康鸡x只，得x＋1＋x(x＋1)＝169，整理得x2＋2x－168＝0，解得x1＝12，x2＝－14(舍去)，故选C.2. C【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∵共比赛场数为12x(x－1)，∵共比赛了45场，∵12x(x－1)＝45，故选A．3. x(x－1)＝182 【解析】由题意可得，x(x－1)＝182．4. 解：设平均一个人向x个人发送信息，则x＋x2＝90，∵x1＝9，x2＝－10(舍去). 则平均一个人向9个人发送短信.5. C 【解析】设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1＋x)2＝28.8，故选C．6. B 【解析】根据题意列方程得100×(1－x%)2＝100－36，解得x1＝20，x2＝180(不符合题意，舍去)．故选B．7. 10％【解析】设每次下降的百分率为x，依题意得100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)．故选B．8. 解：设该市这两年(从2018年底到2020年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x，由题意可列出方程2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20％，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 该市这两年拥有的养老床位数的平均增长率为20％.9. 解：设原来的两位数十位上的数字为x，则个位上的数字为(5－x)，依题意得(10x＋5－x)［10(5－x)＋x］＝736，解这个方程得x1＝2，x2＝3. 当x＝2时，5－x＝3；当x＝3时，5－x＝2，∵原来的两位数是23或32.10. A 【解析】设2018年底至2020年底该市汽车拥有量的年平均增长率为x，根据题意，可列方程10(1＋x)2＝16.9，故选A．11. D 【解析】设这两个连续整数为x，x＋1．则x(x＋1)＝56，解得x1＝7或x2＝－8，则x＋1＝8或－7，则它们的和为±15，故选D．12. 5 【解析】设共有x个飞机场．x(x－1)＝10×2，解得x1＝5，x2＝－4(舍去)．13. 解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得：1＋x＋(1＋x)x＝64，解得x1＝7，x2＝－9(舍去)，则每轮传染中平均一个人传染了7个人.(2)7×64＝448(人)，则第三轮将又有448人被传染.14. 解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌，由题意得60(1＋x)＋60x(1＋x)＝24000，60(1＋x)(1＋x)＝24000，解得x1＝19，x2＝－21(舍去)，∵x＝19.(2)由题意，得60×(1＋19)3＝480000(个).15. 解：(1)A品牌产销线2020年的销售量为9.5－(2020－2017)×0.5＝8(万份).(2)设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x，B品牌产销线的年销售量递增的份数为k万份. 依题意可得9.50.5 1.811.41.8231()()()2210.89.()kk x⨯⎧⎨⎩－＋＋＝，＋＋＝解得0.65kx⎧⎨⎩＝，＝％或0.6105.kx⎧⎨⎩＝，＝－％∵x＞0，∵0.65kx⎧⎨⎩＝，＝％，∵2x＝10％，即B品牌产销线2018年平均每份获利增长的百分数为10％.。
实际问题与一元二次方程(第一课时传播速度循环增长率问题)(原卷版)
九年级数学上分层优化堂堂清二十一章 一元二次方程实际问题与一元二次方程第一课时 传播速度、循环、增长率问题学习目标：1.掌握按照一定速度逐步传播问题；2.培养建立数学建模及应用一元二次方程解决实际问题的能力。
3.掌握根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理．4.掌握列方程解应用题的步骤和关键． 老师对你说：一 列一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审：读懂题目，弄清题意，明确已知量、未知量，以及它们之间的关系．（2）设：设出未知数．（3）列：找出相等关系，列出方程．（4）解：解方程，求出未知数的值．（5）验：检验方程的解是否符合实际意义．（6）答：写出答案．二 常见实际问题（1）传播问题传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=第二轮传染后的总数．即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数（2）平均增长（降低）率问题①设基数为a ，平均增长率为x ，则第一次增长后的值为()1a x +，两次增长后的值为()21a x +，依次类推，n 次增长后的值为()1n a x +．②设基数为a ，平均降低率为x ，则第一次降低后的值为()1a x -，两次降低后的值为()21a x -，依次类推，n 次降低后的值为()1n a x -即：增长率问题：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数，原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。
（3）单双循环问题：单循环：()21+n n ＝总数；双循环：()1+n n ＝总数。
（n 表示参与数量）基础提升 教材核心知识点精练知识点1：传播速度问题【例1-1】请根据图片内容，回答下列问题：(1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人？(2)按照这样的速度传染，第三轮将新增多少名感染者（假设每轮传染人数相同）？【例1-2】有两人患了流感，经过两轮传染后共有288人患了流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x 人，则可列方程为_____．知识点2：循环问题【例2-1】毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有x 人，根据题意，可列方程为 _____________．【例2-2】某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，则每个支干长出 个小分支．【例2-3】组织一次排球邀请赛，采取单循环的形式，即每两个队都要打一场比赛．(1)如果有四个队参赛，则需要打多少场比赛？(2)写出比赛的总场数y 与参赛队伍数量x 之间的函数关系式；(3)经过最后统计，共打了28场比赛，求这次比赛共有多少个队参加？知识点3：增长率问题【例3-1】小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．()22001242x+=B．()22001242x-=C．()20012242x+=D．()20012242x-=【例3-2】某厂一月份产值为2万元，以后每月产值的增长率都为x，且第一季度总产值为10万元，那么可以列出方程是__________．能力强化提升训练1 .2019年年底以来，湖北省武汉市发现一种新型冠状病毒引起的急性呼吸道传染疾病。
初中九年级数学教案- 实际问题与一元二次方程(传播问题)【全国一等奖】
胞的个数共有多少个
。
纳入知识系 统，总结本节 课内容，让学 生体会方程刻
四小结归纳 三类传播问题的区别
1 每名患者每轮都传染 2 每个树枝只能分支一次 3 每个细胞分裂后消失。 三类传播问题的联系 1 审、设、列、解、检、答; 2 关注起始值，新增数量，找出变化规律 五、作业设计 必做：教科书复习题 21 第 7 题 选做：P19：10
教学时间
课 题 实际问题与一元二次方程（传播问题）
新 课型
授
教学媒体
多媒体
1 能根据以流感为问题背景，按一定传播速度逐步传播的问题，体会方程刻画现实
教
知识
世界的模型作用
技 能 2 培养学生的阅读能力与分析能力
学
3 能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理
通过自主探究，独立思考与合作交流，弄清实际问题的背景，挖掘隐藏的数
点题，板书课题
联系上节课内
容，进一步学习
一元二次方程
教师提出问题，并指导 的应用
学生进行阅读，独立思
考，学生根据个人理
解，回答教师提出的问
题弄清题意，设出未知 弄清问题背
数，并表示相关量，根 景，特别注意
据相等关系尝试列方 分析清楚题
程，求根根据实际问题 意，题中没有
要求，对根进行选择确 特别说明，那
一类题型
播，这些问题有通性，在解题时有规律可循：它实际是一
个完全平方问题，设每轮传染中平均一个人传染了个人，
经两次传染共有 M 人被传染，则有
1（1）＝（1）2＝M
完全平方
教师提出问题，让学生
补充例题
结合画图独立理解并解
某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又 答问题，培养学生对实
《实际问题与一元二次方程》(传播、增长率问题问题)课件
探究2：某种植物的主干长出若干数目的支干， 每个支干又长出同样数目的小分支，主干、 支干、小分支的总数是111.求每个支干长出 多少个小分支．设：每个支干长出x个小分支
每两人赠两次
1个人
赠送(x-1)人
共计 x(x-1)图书
探究一：循环问题
2、在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参
加这次聚会，则列出方程正确的是( B )
A．x(x－1)＝10
B. xx 1 10
C. x(x + 1)＝10
D. xx2 1 10
2
1个人
3、某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降 到80元，则平均每次降价的百分率为____2_0_%__．
小结
本节课我们学习了几种问题： 传播问题、增长率问题 解决问题的步骤： 审、设、列、解、答
探究一：循环问题
1、“山野风”文学社在学校举行的图书共享仪式上互
赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送
设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则第一轮的传染源有 1 人，有 x 人被传染，
第二轮的传染源有 x+1 人，有 x(x+1) 人被传染.
1 x 传染源 1人
每人传染x人
传染了
传染后
结果
（x+1）人
传染源
每人传染x人
传染后
实际问题与一元二次方程(一)传播问题(课件)数学九年级上册(人教版)
例2.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分
支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
解:设每个支干长出x个小分支, 则 1+x+x2=91 即 x2 x 90 0 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去)
答:每个支干长出9个小分支.
…… ……
整理得 5(1+x)2=125
解得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去)
答：每轮传染中平均一个人传染了4个人.
某种病毒传播速度非常快，如果最初有两个人感染这种病毒，经两轮传播
后，就有五十个人被感染，求每轮传播中平均一个人会传染给几个人？若
病毒得不到有效控制，三轮传播后将有多少人被感染？
解：设每轮传播中平均一个人会传染给x个人， 根据题意列方程： 2+2x+x(2+2x)=50， 整理得：2(1+x)2=50， 解得：x1=4，x2=-6.（不合题意，舍去），
∴50×(1+4)=250（人）. 答：每轮传播中平均一个人会传染给4个人，若病毒得不到有效控制， 三轮传播后将有250人被感染.
运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题 分析数量关系 建立一元二
设未知数 次方程模型
解一元二次方程
实际问题的解
检验
一元二次方程的根
1．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中
解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人， 根据题意，得：（x+1）2=256， 直接开平方得x+1=±16， 解得x1=15，x2=-17， 经检验都是原方程的根，但x2=-17＜0不符合实际 （舍去）， 答：每轮传染中平均每个人传染了15个人．
21.3 实际问题与一元二次方程 2024-2025学年人教版数学九年级上册
解：（2）设第一次降价售出 a 件，则第二次降价售出
（20－ a ）件.由题意，得
[60（1－10％）－40] a ＋（48.6－40）×（20－ a ）
≥200，解得 a ≥5 .
∵ a 为非负整数，∴ a 的最小值是6.
答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价.
典例导思
根据题意，得60（1－ x ）2＝48.6，
解得 x 1＝0.1＝10％， x 2＝1.9（舍去）.
答：该商品每次降价的百分率为10％.
典例导思
（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方
式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总
利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进
（1＋ x ）2.当问题变为下降（或减产）率为 x 时，第二
次减少后的数量则为 a （1－ x ）2.
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例如：某品牌某羽绒服在冬季来临之际涨价销售，10、
11月份的平均增长率为 x ，9月份的售价为1 000元，10
月份的售价为
元，11月份的售
1 000（1＋ x ）
价为
元.若11月份的售价为1
典例导思
题型二 列一元二次方程解循环问题
例2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两
队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的
个数是（ C ）
A. 5个
B. 6个
C. 7个
D. 8个
典例导思
3. 在一次同学聚会上，每两人都互赠了一份礼物，所有人共送
了210份礼物，则参加聚会的同学有
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第七讲 传播问题与一元二次方程(解析版) -2021年新九年级数学上册(人教版)
第七讲传播问题与一元二次方程【学习目标】1.会分析实际问题（传播问题）中的数量关系并会列一元二次方程.2.正确分析问题（传播问题）中的数量关系.3.会找出实际问题（传播问题等）中的相等关系并建模解决问题.【新课讲解】知识点1：传播问题与一元二次方程1.解决这类传播问题的经验和方法（1）审题，设元，列方程，解方程，检验，作答；（2）可利用表格梳理数量关系；（3）关注起始值、新增数量，找出变化规律.2.运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤3.传播问题实例探索数量关系：第一轮传播后的量=传播前的量×（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×（1+传播速度）2【例题1】某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有 100 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，4 轮感染后，被感染的电脑会不会超过 7000 台？【答案】每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染 x 台电脑，则 1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得 x1＝9，x2＝－11(舍去)．∴x＝9.4轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000答：每轮感染中平均每一台电脑会感染 9 台电脑，4 轮感染后，被感染的电脑会超过 7000 台．【例题2】某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活体样本，经过两轮培植后，总和达24000个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.(1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？【答案】见解析。
【解析】设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益菌60+60x+60(1+x)x=24000x1=19，x2=-21（舍去）∴每个有益菌一次分裂出19个有益菌.三轮后有益菌总数为 24000×(1+19)=480000.【例题3】新冠病毒的传染性极强，某地因1人患了新冠病毒没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了新冠病毒，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患新冠病毒？【答案】每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患新冠病毒.【解析】设每天平均一个人传染了x人，1+x+x(1+x)=9，即（1+x）2=9.解得 x1=-4 (舍去），x2=2.9(1+x)5=9(1+2)5=2187(1+x)7= (1+2)7=2187答：每天平均一个人传染了2人，这个地区一共将会有2187人患新冠病毒.传播问题与一元二次方程过关检测注意：满分100分，答题时间60分钟一、单选题（每小题5分，共30分）1．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则x满足的方程是（）A．（1+x）2＝242 B．（2+x）2＝242C．2（1+x）2＝242 D．（1+2x）2＝242【答案】C【解析】根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．依题意得：2（1+x ）2＝242．2．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A ．x(x+1)=1035B ．x(x-1)=1035C ．12x(x+1)=1035D ．12x(x-1)=1035 【答案】B【解析】如果全班有x 名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x 名学生，那么总共送的张数应该是x （x-1）张，即可列出方程．∵全班有x 名同学，∴每名同学要送出（x-1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x （x-1）=1035．3．为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n 个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n 个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n 的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 【答案】B【解析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．依题意，得：1+n +n 2＝111，解得：n 1＝10，n 2＝﹣11．4.学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要赛一场.若共赛了15场，则有几个球队参赛？设有x 个球队参赛，则下列方程中正确的是（ ）A ．(1)15x x +=B ．1(1)152x x += C ．(1)15x x -=D ．1(1)12x x -= 5 【答案】D【解析】设有x 个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打（x −1）场球，第二个球队和其他球队打（x −2）场，以此类推可以知道共打（1＋2＋3＋…＋x −1）场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解． 设有x 个球队参加比赛，依题意得1＋2＋3＋…＋x−1＝15，即1(1)1 2x x-= 55．某地区1月初疫情感染人数6万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至1万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（）A．6（1﹣2x）＝1 B．6（1﹣x）2＝1 C．6（1+2x）＝1 D．6（1+x）2＝1【答案】B【解析】等量关系为：1月感染人数×（1﹣下降率）2＝3月感染人数，把相关数值代入计算即可．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意得：6（1﹣x）2＝16.2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜（）A．10场B．11场C．12场D．13场【答案】B【解析】设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：12x（x+1）=66，整理，得：x2+x-132=0，解得：x1=11，x2=-12（不合题意，舍去）．所以，中国队在本届世界杯比赛中连胜11场．二、填空题（每空4分，共24分）7．有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．【答案】12【解析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．8．今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红包，则该群一共有_____人．【答案】10【分析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，根据群内所有人共收到90个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】设该群一共有x人，则每人收到（x﹣1）个红包，依题意，得：x（x﹣1）＝90，解得：x1＝10，x2＝﹣9（舍去）．9．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有_____人．【答案】22【分析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，列出方程进行计算即可.【解析】设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），∴2（1+x）＝22．10．哈尔滨市南岗区中学校组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间比赛一场），计划一共安排21场比赛，设总共x个学校参加比赛，列方程为．【答案】x（x﹣1）＝21．【分析】根据赛制为单循环形式且共安排了21场比赛，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解析】依题意，得：x（x﹣1）＝21．11．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数为_____．【答案】15．【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯105次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解析】设参加酒会的人数为x人，依题意，得：12x （x ﹣1）＝105， 整理，得：x 2﹣x ﹣210＝0，解得：x 1＝15，x 2＝﹣14（不合题意，舍去）．12．随着互联网的迅速发展，某购物网站的年销售额从2017年的300万元增长到2019年的507万元，设平均每年销售额增长的百分率为x,则关于x 的方程是____________.【答案】【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），参照本题，如果设平均增长率为x ，根据“从2017年的300万元增长到2019年的507万元”，即可得出方程．【解析】设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为x ，根据题意，得：300（1+x ）2=507，【点睛】本题考查一元二次方程的应用.关于平均增长率问题，可设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.三、解答题（46分）13.（8分）某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?【答案】每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑；若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700台.【解析】设每轮感染中平均一台电脑会感染x 台电脑．则依题意得：(1)(1)81x x x +++=整理,得：2(1)81x +=解得:128,10x x ==-(不合题意舍去).∴x =8.3轮感染后,被感染的电脑有81818729700+⨯=>.14．（8分）岳一中初三某学生聆听了感恩励志主题演讲《不要让爱你的人失望》后，写了一份《改变，从现在开始》的倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n 个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n 个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有421人参与了传播活动，求n 的值．【答案】20.【解析】设邀请了n 个好友转发倡议书，第一轮传播了n 个人，第二轮传播了n 2个人，根据两轮传播后，共有421人参与，列出方程求解即可．解：由题意，得，n+n2+1=421，解得：n1=﹣21（舍去），n2=20．故n的值是20．15．（10分）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【答案】见解析。
九年级数学上册 21.3.2 实际问题与一元二次方程—增长率问题教案 (新版)新人教版(1)
21.3.2实际问题与一元二次方程—增长率问题一、教学目标1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.二、课时安排1课时三、教学重点建立数学模型以解决增长率与降低率问题四、教学难点正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.五、教学过程（一）导入新课小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？教师引导学生积极讨论，引入新课。
（二）讲授新课两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：（1）怎样理解下降额和下降率的关系？（2）若设甲种药品平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了元，此时成本为元；两年后，甲种药品下降了元，此时成本为元。
（3）对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根？解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得5000（1-x）2=3000解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）（4）同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
设乙种药品成本的平均下降率为y ．则：6000（1-y ）2=3600整理，得：（1-y ）2=0.6解得：y ≈0.225答：两种药品成本的年平均下降率一样大（5）思考经过计算，你能得出什么结论？小结：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．小结：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x ，增长（或降低）前的是a ，增长（或降低）n 次后的量是b ，则它们的数量关系可表示为a (1±x )n ＝b （增长取＋，降低取－）．（三）重难点精讲例2 某公司2014年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．解：设这个增长率为x .根据题意，得200+200(1+x ) +200(1+x )2=950整理方程，得 4x 2+12x -7=0，解这个方程得 x 1=-3.5（舍去），x 2=0.5.答：这个增长率为50%.注意：增长率不可为负，但可以超过1.（四）归纳小结小结：1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。
21.3+实际问题与一元二次方程第一课时传播问题-【高效课堂】2023-2024学年九年级数学上册同
新知探究
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
于是可列方程： 1+x+x(1+x)=121
解方程得 x1=10， x2=-12(不合题意舍去) 因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
新知探究
5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。 6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有 多少人患流感？
思考：1.本题中有哪些数量关系？ 1人传染最后121人患了流感 2. 如何理解“两轮传染”？ 1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源； 这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
新知探究
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮 传染中传染了__x___人；第一轮传染后，共有_1_+__x__人患了流感； 在第二轮传染中，传染源是_1_+__x__人，这些人中每一个人又传染了 __x___人，第二轮传染后，共有_x_(_1_+_x_)__人患流感.
填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有_6__个人 患了流感，第二轮过后共有__3_6_个人患了流感．
复习回顾
我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解 应用问题的步骤是怎样的吗？
审清题意
找等量关系
设未知数
列方程
解方程
验根
作答
新知探究
探究1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？
谢谢观看
21.3 实际问题与一元二次方程 第1课时 传播问题
1个人
与（x-1）个人握手
每两人都握了一次手： 1 x(x 1) 次手
21.3.1+实际问题与一元二次方程+——传染问题++2025学年人教版数学九年级上册
所以 x 1 30 不合题意，舍去
5
x 1 30 9.5%
5
答：每次升价的百分率为9.5%.
练习巩固
1：二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升， 第一次月考数学成绩是a分，第二次月考增长了10%， 第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
分析：
第一次 a
aX10%
第二次
a+aX10%= a（1+10%）
4）某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x， 则：第一次降价后的价格是_1_0_0_(1_-x_)__元；第二次降价后的价 格是_1_0_0(_1_-x_)2_元。（填含有x的式子）
探究活动
两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙 种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在 生产1 吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品 的成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析（1）
1
2
答:平均一个人传染了10个人.
总结步骤 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
第一步：审题，明确已知和未知； 第二步：找相等关系，设元 ； 第三步：列方程； 第四步：解方程； 第五步：检验根的合理性； 第六步：作答.
探究活动
(5)如果按照这样的传染速度,三轮传染后有多少 人患流感? 121+121×10=1331人
甲种药品成本的年平均下降额为： （5000-3000）÷2=1000（元） 乙种药品成本的年平均下降额为：
（6000-3600）÷2=1200（元）
乙种药品成本的年平均下降额较大，但是年平均下降额 （元）不等于年平均下降率（百分数）
探究活动
两年前生产1 吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙 种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生 产1 吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的 成本是3600元。哪种药品成本的年平均下降率较大？ 分析：（2）你是如何理解下降额与下降率的？