高一函数小结(教师版)
（1） 当 y 2 0 即 y 0 时
x R 0
即： 4 y 2 4 y 2 3 y 7 0
2
9 解得 y 2 2
（2） 当 y 2 0 即 y 2 时 有 6 7 0 （舍去） 9 y 2 2
高一数学
函数总结
教师：谢焕钢
第二讲：函数的三性质 1、函数的单调性 定义： 一般地， 设函数 y=f(x)的定义域为 A， 区间 I A ， 如果对于区间 I 上的任意的两个值 x1 , x2 ， 当 x1 x2 时，都有
f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么就说 y f ( x) 在区间 I 上是单调增函数， I 称为 f ( x) 的单
2
点为 k , h ） ；两根式： f ( x) a x x1 x x2 ，其中 x1 ， x2 为使 f(x)=0 成立的两根；一般式：
f ( x) ax 2 bx c ；
反比例函数可设成： f ( x)
k ） x
例：已知 f ( x) 为一次函数， f ( f ( x)) 4 x 3 求 f ( x) 的函数解析式。 （注：这里不仅要利用到待定 系数法，也要用到直接代入法） 解：令 f ( x) ax b 则 f ( f ( x)) a ax b b a 2 x ab b 4 x 3
练习：函数 A 到 B 的函数 f ( x ) : x 2 x 1 集合 A 1, 2,3 ， B 0,1, 2,3, 4,5,6 求 f ( x) 的值域。 B、配方法：求二次函数的值域（通常和函数图像一起来求解）
2 ) , 例如：已知函数 y x 2 2 x 3 分别求出下列区间上的值域， （1）x R ， （2） 、x [2 ] 3 ,1 [ （3） 、x
2
法二： （拼凑法）解： f ( x 1)
x 1 5
2
x 1 2 x 1 3 x
x 1 4（ x 1 1 ）
所以：
f ( x) x 2 5 x 4
(x 1 )
（一定注意这里 x 的范围）
1 x 练习： f ( ) 2 求 f ( x) 的函数解析式。 x x x 1 1 D、方程组法： （主要对于含有 f ( x) 和 f ( ) 或者含有 f ( x) 和 f ( x ) 的情况） x 1 1 例：已知 f ( x) 2 f ( ) 3x 2 ，求 f ( x) （通过变换得到一个方程组消去 f ( ) 得到 f ( x) 的解 x x 析式） 1 1 解：把 x 换成 ， 换成 x x x 1 1 得 f ( ) 2 f ( x) 3 2 x x
9 所以：原函数的值域为 y / y 2 2
再例如，作业一中的 求 y 练习：求 y
2
1 的值域（因为分母也是恒大于零，也可以用判别式法求解） x 2x 3
2
12 的值域 x 2x 4 4、函数的三要素：定义域、对应法则和值域，三者缺一不可。定义域和对应法则确定，则函数确定！ （一般由此判断两个函数是否为同一函数。 ） 5、函数的表示方法：列表法、图象法和解析式法。 主要内容：函数解析式的求法： A、直接代入法： （主要针对于已给出 f(x)的解析式，求另一个函数解析式）
2x2 4x 7 的值域 x2 2x 3
（这里分母是恒大于零的）
解：已知函数式可变形为 y x2 2x 3 2x2 4x 7
yx 2 2 yx 3 y 2 x 2 4 x 7
y 2
程么？）
2 （ 注：这个方程可以看做是一元二次方 x 2 y 2 0 x3 y 7
0 x1 x2 1
x1 x2 0
x1 x2 0
x1 x2 1 0
所以 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 即 f ( x1 ) f ( x2 ) ……. …定号 所以 f ( x) 在 (0,1) 上为单调减函数………….结论 （对于函数单调性的判断也可以通过画图，从图形上直接分析出在某个区间上函数具有怎样的单调
例如：f ( x) 2 x 2 1 求 f ( x 2 1) （可以把 f(x)中的 x 直接换成 2 x 2 1 ） 得到 f ( x 2 1) 2 x 2 1 1
2
（要化简）
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练习：若 f ( x 1) 2 x 1 ，则 f ( x 2 ) _________________. B、 待定系数法： （主要针对于题意中给出 f（x）是一次或二次函数或者是反比例函数，一次函数一 般设成 f ( x) ax b 二次函数有三种设法，可根据题意选择：顶点式： f ( x) a x k h 表示顶
x 1 t x t 1 （ t 1）
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函数总结 则 x t 1 所以 所以
2
教师：谢焕钢
2 f (t ) t 1 3 t 1 t 5t 4
2
（ (t 1) ）
f ( x) x 2 5 x 4
( x 1 ) （一定注意这里 x 的范围）
x2 4x 3 的值域（这里是上面例题的变式，主要对于分子分母都可因式分解， 2x2 x 1
并含有公因子，消去公因子的时候注意公因子不能等于零！ ） 练习：求 f ( x)
2 x2 x 1 的值域。 3x 2 4 x 1
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函数总结
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D、换元法： （主要对于含有根号的函数，把较复杂的函数转化成我们常见的较简单的函数） 例如：求函数 f ( x) x 1 2x 的值域
1 参考答案：令 t 1 2 x （ t 0 ） 所以，函数 f ( x) x 1 2x 的值域为 (, ] 2
练习：求 f ( x) 2x x 1 的值域。 E、判别式法： （主要针对分母是含有 x 的二次整式，分母必须恒大于零或恒小于零：也就是定义域 为 R） 例如：求 y
f ( x1 ) f ( x 2) x 1
1 1 (x ) ……………（.作差 2 x1 x2
x1 x2 (
1 1 ) x1 x2
x1 x2
x1 x2 1 …………………变形） ( x1 x2 ) x1 x2
x1 x2 x1 x2
（这里给出的 x 的范围主要有三种：整个定义域 R，区间介于对称轴的两边，区间在函数图像对称轴 的一边， ） 解：第一步：先进行配方。 第二步：作出函数的大致图像（要标出图像与坐标轴的交点和定点坐标、对称轴、要求的区间的端 点坐标） 第三步：从图像上分析，在要求的区间上的函数值域是多少 练习： 函数 f ( x) x 2 4 x 1 ，求 (1,3) 上的值域。 C、分离常数法： （主要针对于分子、分母都是一次式的分式函数，要我们分离出一个常数，得到一 个常数和一个分子不含未知数的和） 3x 1 例如：求函数 y 的值域 x 1 参考答案：函数的值域为 ,3 3, （写成区间或集合） 再如：求 y
性。常见函数的单调性有：1、一次函数 y kx b ，若 k 0 则在 R 上单调增， k 0 在 R 上单调减。 2、 二次函数 y ax 2 bx c (a 0) 若 a 0 则在对称轴左边和右边分别为单调减和单调增；a 0 则 在对称轴左边和右边分别为单调增和单调减。3、反比例函数 y 单调减，若 k 0 则在 ( , 0) 和 (0, ) 上单调增 若果 f ( x) 练习：求证： f ( x) x
x 3 x 2x
2
的定义域。
2、值域的求法： （值域的求法是比较难的内容，同学们暂时只要了解和掌握比较常见的值域求法就可 以了）主要有以下几种：
1 ,x 0 A、观察法：只要适合于比较简单的函数，比如： y 0 , x 0 值域就为 1, 0, 1 。 1, x 0
什么？） 关于单调性主要有： （a、函数单调性的证明；b、复合函数单调性问题 c、利用函数单调性解决实 际问题） 函数单调性的判断和证明： （定义法主要步骤：1、取值； 2、做差（作商）变形；3、定号；4、结论） 1 例：证明 f ( x) x 在 (0,1) 是单调增函数。 x 证明：任意取 x1 , x2 (0,1) 且 x1 x2 ……………..取值
调增区间。 （可简单的认为：在定义域的一个子区间 I 上，f(x)随着 x 的增大而增大，就说 y 在区间 I 上是单调增函数。这里的区间 I 一般是定义域的一个子区间，比如： 调增区间为 (0, ) ，单调减区间是？也可以是整个定义域比如： 上是单调增函数） （单调减函数类似）
f ( x)
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函数总结
教师：谢焕钢
函数总结 第一讲：函数的三要素
1、定义域的求法：主要遇到的是（1） 、分式函数的分母不为 0。例如： y
1 定义域为： x / x 1 x 1
有 x2 2 0
（写成集合的形式） （2） 、 含偶次根式的函数， 根号底下的大于等于 0。 例如：y x 2 2 求得其函数定义域的为： x / x 2或x 2 练习：求 f ( x)
的单
f ( x) x 2 1
f ( x) x3
其在整个定义域 R
注： f ( x) 在 A、B 两个单调区间上都是单调增的，不能简单的认为 f ( x) 在 A B 也是单调增的， 例如 f ( x)
1 的单调增区间为 , 0 和 0, ， 但在 , 0 0, 上并不具有单调性。 （想想为 x 1
高一抽象函数五大模型总结教师版
高一抽象函数五大模型总结模型一：正比例函数模型y =kx已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y ,当x >0时，f x <01证明：f 0=0; 2证明：函数f x 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为减函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0⇒f 0=0 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x ,由于f 0=0⇒f -x =-f x ⇒函数f x 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1<0,从而f x 1>f x 2即函数f x 在R 上为减函数。
证毕！模型二：一次函数模型y =kx -c已知函数f x 对一切x ,y ∈R ,都有f x +y =f x +f y +c ,且当x >0时，f x >-c1证明：f 0=-c ; 2证明：函数g x =f x +c 为奇函数； 3证明：函数f x 在R 上为增函数.证明： 1令x =y =0⇒f 0=f 0+f 0+c ⇒f 0=-c 2令y =-x ⇒f 0=f x +f -x +c⇒f -x +c =- f x +c ⇒g -x =-g x ⇒函数g x =f x +c 为奇函数3任取x 1<x 2,则f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1+f x 2-x 1+c 由于x 2-x 1>0,所以f x 2-x 1>-c ,从而f x 2>f x 1即函数f x 在R 上为增函数.证毕！模型三：指数函数模型y =a x已知定义域为R 的函数f x 对任意的实数x ,y ∈R 均有 f x +y =f x f y ,且当x <0时，f x >11证明：f 0=1; 2证明：当x >0时，有0<f x <1; 3证明：函数f x 在R 上单调递减证明： 1令x =0,y =-1⇒f -1=f 0f -1,又f -1>1则f 0=12令y =-x ⇒f 0=f x f -x ⇒f -x = 1fx 当x >0时，f -x >1,f x =f - -x = 1f-x ∈ 0,1 3任取x 1<x 2,f x 2=f x 1+ x 2-x 1=f x 1f x 2-x 1易知f x 1>0,f x 2-x 1∈ 0,1,所以f x 2<f x 1即函数f x 在R 上单调递减.证毕！模型四：对数函数模型y =log a x已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意的x ,y ∈ 0,+∞均有f xy =f x +f y ,且当x >1时，f x >01证明：f 1=0; 2证明：当0<x <1时，f x <0; 3证明：函数f x 在 0,+∞上为增函数.证明： 1令x =y =1⇒f 1=f 1+f 1⇒f 1=02令y = 1x ⇒f 1=f x +f 1x ⇒f 1x=-f x ⇒当0<x <1时，f 1x >0⇒f x =f1 1x =-f 1x <0 3任取0<x 1<x 2, x 2x 1>1⇒f x 2x 1>0则f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1+fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上为增函数.证毕！模型五：幂函数模型y =x α已知定义在 0,+∞上的函数f x 对任意x ,y ∈R ∈均有f xy =f x f y ,且当x >1时，f x >11证明：f 0=0; 2证明：函数f x 在 0,+∞上单调递增.证明： 1令x =0,y =1⇒f 0=f 0f 1,又f 1>1故f 0=02令x =1,y =2⇒f 2=f 1f 2，又f 2>1⇒f 1=1令y = 1x ⇒f 1=f x f 1x ⇒f 1x = 1fx ⇒当x ∈ 0,1时，f 1x>1则f x =f1 1x = 1f 1x ∈ 0,1任取0<x 1<x 2,则f x 1>0,f x 2x 1>1f x 2=f x 1⋅ x 2x 1=f x 1fx 2x 1>f x 1即函数f x 在 0,+∞上单调递增.证毕！。
高一函数知识点总结及例题
高一函数知识点总结及例题高一函数知识点总结及例题：1. 函数的定义与性质：- 函数的定义：函数是一种对应关系，每个自变量对应唯一的因变量。
- 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量值的集合。
- 奇偶性：奇函数的图像以原点对称，即满足$f(-x)=-f(x)$；偶函数的图像以y轴对称，即满足$f(-x)=f(x)$。
- 单调性：递增函数的图像从左到右逐渐升高；递减函数的图像从左到右逐渐降低。
例题：给定函数$f(x)=2x^2+3x-1$，求其定义域和值域。
解答：由于函数是多项式函数，所以定义域为全体实数。
接下来求值域，可以求出函数的导函数$f'(x)=4x+3$，根据导函数的单调性可以判断函数的增减性。
导函数的系数为正数4，所以原函数是递增函数。
考虑到函数是二次函数，开口向上，所以函数的最小值就是导数的零点，即$x=-\frac{3}{4}$。
将$x=-\frac{3}{4}$代入函数中，得到最小值为$f(-\frac{3}{4}) = -\frac{7}{8}$。
所以值域为$[-\frac{7}{8},+\infty)$。
2. 基本初等函数：- 线性函数：$f(x)=kx+b$，k为斜率，b为截距。
- 幂函数：$f(x)=x^a$，a为常数，当a>0时，函数递增；当a<0时，函数递减。
- 指数函数：$f(x)=a^x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 对数函数：$f(x)=\log_a x$，a为常数，a>1时，函数递增；0<a<1时，函数递减。
- 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例题：已知函数$f(x)=2^x-3$，求解方程$f(x)=0$的解。
解答：将$f(x)$置0得到方程$2^x-3=0$，移项得$2^x=3$。
由指数函数的性质可知，$x=\log_2 3$。
学好高中函数的心得体会8篇
学好高中函数的心得体会8篇第1篇示例：高中函数是数学学科中的重要内容之一，它不仅是数学的基础，也是后续学习更高级数学知识的基石。
在学习高中函数的过程中，我深刻体会到了它的重要性，也积累了一些心得体会。
学习高中函数需要打好基础。
高中函数是整个数学体系中的一个重要组成部分，它涉及到代数、几何等多个知识领域的综合运用。
在学习高中函数之前，我们要先打好数学基础，掌握好代数、几何等基础知识，才能更好地理解和掌握高中函数的内容。
学习高中函数需要掌握好概念和方法。
高中函数涉及到诸如函数的定义、性质、图像、解析式等概念，我们要逐一理解这些概念的含义和作用，掌握它们之间的逻辑关系。
还要掌握好解题的方法，熟练运用函数的性质和定理，灵活运用代数运算和几何图形知识，以便解决各种类型的函数题目。
学习高中函数需要多加练习。
练习是学习函数的重要手段，只有通过不断的练习，我们才能更加熟练地掌握函数的相关知识和技巧，提高我们的计算能力和解题能力。
在练习的过程中，我们要注意总结经验，分析错误原因，及时纠正错误，以便不断提高自己的学习水平。
学习高中函数还需要注重理论与实践结合。
高中函数是一个理论性很强的学科，但它又是数学在实际问题中的具体应用。
我们要注重理论与实践的结合，积极参与到实际问题的解决中去，运用函数知识解决实际问题，使函数的学习不仅停留在书本知识上，更能够应用于解决实际生活中的问题。
学好高中函数需要全面提升自己的数学素养，打好数学基础，掌握好函数的概念和方法，多加练习，注重理论与实践结合。
只有这样，我们才能真正理解高中函数的精髓，提高自己的数学能力，为将来更深入的学习和研究打下坚实的基础。
希望通过不断努力，我们能够更好地掌握高中函数，成为数学领域的佼佼者。
第2篇示例：要学好高中函数，必须牢固掌握函数的基础知识。
函数是数学中一个极为重要的概念，它是一种特殊的关系，将自变量和因变量联系起来。
在学习函数的过程中，首先要理解函数的定义，准确区分自变量和因变量，并能够熟练运用函数的符号表示。
高一函数知识点总结归纳
高一函数知识点总结归纳高中数学的学习难度主要在于概念的深入和方法的抽象。
高一是数学学习的起步阶段，更是重中之重。
今天小编在这给大家整理了高一函数知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一函数知识点总结1高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。
2、函数定义域的解题思路：⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。
⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。
⑶ 对数式的真数必须大于0。
⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。
⑸ 指数为0时，底数不得为0。
⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。
⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。
3、相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。
⑵ 定义域一致，对应法则一致。
4、函数值域的求法⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。
⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。
⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。
⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。
5、函数图像的变换⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。
⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。
⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。
6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y 与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。
⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。
2024年度高一数学教师个人总结
2024年度高一数学教师个人总结尊敬的领导、亲爱的同事们：时间如白驹过隙，转眼间，2024年度即将结束。
在这一年的工作中，我认真履行了高一数学教师的职责与使命，尽力做好每一堂课，为学生的学习成长和未来发展做出了积极的贡献。
在此，我将对本学年的工作进行总结，并对未来的工作提出展望，希望与领导和同事们共同交流、进步。
一、教学工作总结本学年，我承担了高一数学的教学工作，根据教育部门的安排和学校的教学大纲，合理部署教学内容，科学编排教学计划，严格按照教材要求进行教学。
我注重理论与实践的结合，注重培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，尽可能地将抽象的数学知识与实际生活相结合，提升学生的学习兴趣和学科素养。
在教学过程中，我深入探索不同教学方法和手段，通过多媒体教学、课堂讲解、小组合作学习、问题探究等方式，不断调整教学策略，提高教学效果。
我尊重学生的主体地位，注重培养学生的自主学习能力和团队协作能力，鼓励学生提出问题、讨论问题、解决问题，引导学生扩展思维，培养创新精神。
同时，我注重学生的个性化发展，根据不同学生的学习情况和兴趣特长，因材施教，帮助他们充分发挥潜能，取得更好的学习效果。
我积极参与学校举办的各类学科竞赛和数学活动，组织学生参加各类数学比赛和讲座，丰富学生的数学课外活动，增强他们的数学综合素质。
二、教学成果与问题分析1.教学成果在本学年的教学工作中，我取得了一些成果。
首先，学生的数学成绩有了明显的提高。
通过对部分学生的课堂表现和考试成绩的统计分析，发现学生的平均分数提高了10个百分点。
其次，学生的数学思维能力和解决问题的能力有所增强。
在课堂上，学生能够积极思考、提出问题，并尝试不同的解决方法。
此外，学生的数学兴趣得到了培养和激发，大部分学生对数学的态度变得积极向上，愿意主动学习和探究。
2.问题分析在本学年的教学工作中，我也存在一些问题需要解决。
首先，由于时间安排不合理，有时候无法充分展开教学内容，导致部分知识点难以深入学习和掌握。
高一函数知识点总结（通用3篇）
高一函数知识点总结（通用3篇）高一函数知识点总结篇1（一）、映射、函数、反函数1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。
2、对于函数的概念，应注意如下几点：（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。
（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。
（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g 的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数、3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域、注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起、②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算、（二）、函数的解析式与定义域1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。
求函数的定义域一般有三种类型：（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。
如：①分式的分母不得为零；②偶次方根的被开方数不小于零；③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。
应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。
（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。
高一数学函数总结(优选3篇)
高一数学函数总结（优选3篇）【第1篇】总结高一数学函数的知识点1．高中数学必修一函数的基本性质——函数的概念：设a、b是非空的数集，假如根据某个确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数*，在集合b中都有唯一确定的数f(*)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函数.记作： y=f(*)，*∈a.其中，*叫做自变量，*的取值范围a叫做函数的定义域;与*的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(*)| *∈a }叫做函数的值域.留意：假如只给出解析式y=f(*)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数 * 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1) 分式的分母不等于零;(2) 偶次方根的被开方数不小于零;(3) 对数式的真数需要大于零;(4) 指数、对数式的底需要大于零且不等于 1.(5) 假如函数是由一些基本函数通过四那么运算结合而成的 . 那么，它的定义域是使各部分都有意义的 * 的值组成的集合 .(6)指数为零底不能等于零构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域再留意：(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决断的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全全都，即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全全都，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同;②定义域全都 (两点需要同时具备) 值域补充( 1 )、函数的值域取决于定义域和对应法那么，不论采用什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域 . ( 2 ) . 应熟识掌控一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解繁复函数值域的基础 . ( 3 ) . 求函数值域的常用方法有：径直法、反函数法、换元法、配方法、均值不等式法、判别式法、单调性法等 .3. 高中数学必修一函数的基本性质——函数图象知识归纳(1) 定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(*) , (* ∈a)中的 * 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 p(* ， y) 的集合 c ，叫做函数 y=f(*),(* ∈a)的图象.c 上每一点的坐标 (* ， y) 均满意函数关系 y=f(*) ，反过来，以满意 y=f(*) 的每一组有序实数对 * 、 y 为坐标的点 (* ， y) ，均在 c 上 . 即记为 c={ p(*,y) | y= f(*) , * ∈a }图象 c 一般的是一条光滑的连续曲线 ( 或直线 ), 也可能是由与任意平行与 y 轴的直线最多只有一个交点的假设干条曲线或离散点组成 .(2) 画法a、描点法：依据函数解析式和定义域，求出 *,y 的一些对应值并列表，以 (*,y) 为坐标在坐标系内描出相应的点p(*, y) ，最末用平滑的曲线将这些点连接起来 .b、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换(3) 作用：1 、直观的看出函数的性质;2 、利用数形结合的方法分析解题的`思路。
函数的基本概念—函数定义、解析式(教师版)
函数（1）——函数的基本概念一、基础知识 (一)、函数的有关概念 （1）函数的定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y =f (x )，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )| x ∈A }叫做函数的值域．（强调：①任意性；②唯一性）。
（2）函数的定义域、值域在函数y ＝f(x)，x ∈A 中，x 叫做自变量， A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 叫做函数的值域．（3）函数的三要素： 、 和 。
（4）．函数的表示方法表示函数的常用方法有： 、 和 （二）．相等函数如果两个函数的 相同，并且 完全一致，则这两个函数为相等函数． 三、分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 ，其值域等于各段函数的值域的 ，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．二、 例题分析 （一） 函数的概念：例题1、以下各组函数表示同一函数的是（ C ）A . f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)； B. f (x )＝x 2－4x －2，g (x )＝x ＋2；C. f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1；D. f (n )＝2n －1(n ∈Z )，g (n )＝2n ＋1(n ∈Z )． 例题2、下各组函数表示同一函数的是（ D ）A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝x |x |与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x >0)－x 2 (x <0) D ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)例题3．下列说法中正确的为( A )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数例题4．图中(1)(2)(3)(4)四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有_(1)(3)___．例题5.下列各图中，不能是函数f (x )图象的是( C )（二）求函数的解析式例题1．根据下列条件，求函数()f x 的解析式：⑴已知)12fx x x =+()f x ；⑵已知()f x 是一次函数，且()98f f x x =+⎡⎤⎣⎦，求()f x ；⑶已知()()3225f x f x x +-=+，求()f x ．解：⑴设1t x 1x t =-，∴()()()221211f t t t t =-+-=-， ∵11t x ,∴()()2 1 1f x x x=-．⑵设()() 0f x ax b a =+≠，则()()()2f f x af x b a ax b b a x ab b =+=++=++⎡⎤⎣⎦，由 298a x ab b x ++=+ 得2339248a a a b b ab b ==-⎧=⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或．∴()()3234f x x f x x =+=--或．⑶在()()3225f x f x x +-=+ ①中，以x -换x 得()()3225f x f x x -+=-+ ② 由①，②消去()f x -得()21f x x =+．例题2．已知函数 ()f x 满足2211f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭．（1）()f x 的解析式；⑵求()f x 的定义域、值域．解析（1）本题若采用换元法，令1t x x=+，则难以用t 来表示出x ，注意到2112f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而()22f x x =-.（2）为确定函数的定义域，必须求出1t x x=+的值域，可考虑用判别式法：由1t x x=+，得：210x tx -+=．由240t ∆=-，得22t t -或， ∴()f x 的定义域是(][),22,-∞-+∞，又24x ，∴()222f x x =-，即值域为[)2,+∞．例题3．设f(x)是R 上的函数，且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)， 求f(x)的表达式。
高一函数总结(推荐5篇)
高一函数总结第1篇(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称,高中数学;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称。
高一函数总结第2篇(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的.解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;高一函数总结第3篇一、函数的概念与表示1、映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。
注意点：(1)对映射定义的理解。
(2)判断一个对应是映射的方法。
一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：(1)分式的分母不为零;(2)偶次xxx的被开方数不小于零，零取零次方没有意义;(3)对数函数的真数必须大于零;(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;三、函数的值域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数;②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式;③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围;适合分母为二次且∈R的分式;④分离常数：适合分子分母皆为一次式(x有范围限制时要画图);⑤单调性法：利用函数的单调性求值域;⑥图象法：二次函数必画草图求其值域;⑦利用对号函数⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。
第三章函数的概念与性质 小结与复习(第1课时) 教案-高一上学期数学人教A版必修第一册
第三章函数的概念与性质小结与复习教案第1课时一、内容和内容解析1.内容函数的概念、表示和函数单调性的复习课2. 内容解析这是在学生已经学习完本章内容的基础上进行的复习课，复习课一共两节课，这是第一节复习课.在这一章中，学生从用变量之间依赖关系描述函数上升到用集合语言和对应关系刻画函数，建立了完整的函数概念，并体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.这是一个难点，因此在复习的过程中还要巩固.除此之外，还要了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域，能根据实际的情况用不同的函数表示方法表示函数，了解简单的分段函数，并能简单应用.同样地，在研究函数单调性的过程中，能够使用符号化的语言来描述，这是学生学习这部分内容时的一个难点. 这样一种从形象直观到定性刻画再到定量刻画的研究过程，以及通过引入数学符号、借助代数语言精确刻画刻画定量变化规律的方法，体现了数学抽象的一般过程，对于培养学生的数学抽象能力具有重要意义.基于以上分析，确定教学重点：复习建立在集合与对应关系的函数概念以及函数单调性的符号语言刻画和单调性的应用.二、目标和目标解析1.目标（1）理解函数的概念和表示方法，并能应用函数的概念解决一些问题；（2）掌握函数单调性的概念，会用符号语言表达单调性、最值，理解它们的作用和实际意义；（3）能用定义证明简单函数的单调性；（4）能运用所学的知识解决一些数学问题和实际问题.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）能用集合间的对应关系的观点定义函数，能根据实际的问题表示函数；（2）知道用符号语言刻画函数单调性时，“任意”“都有”等关键词的含义；能够从函数图象，或通过代数推理，得出函数的单调递增、单调递减区间；知道函数的单调性反映了现实世界中事物在量的增加或减小上的变化趋势.（3）会用函数单调性的定义，按一定的步骤证明函数的单调性；（4）会用函数最大值、最小值的定义，按一定的步骤求函数的最大（小）值.三、教学问题诊断分析学生已经学习了相关的知识，在这节复习课上，要巩固前面学习的相关内容，让学生进一步体会用数学的语言和符号化的方式表达数学概念，表达函数的概念、函数的性质等.作为复习课，在教学的过程中也要充分利用信息技术展示函数的对应关系、函数的单调变化规律、函数的最值等，也可以用表格形式加强自变量从小到大时函数值的大小变化趋势等，数形结合地提出问题，给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数单调性的定义，再通过辨析、练习帮助学生理解定义.另外，在教学的过程中，还要有一定的习题，让学生通过习题，自己体会函数的概念和函数的性质等，通过习题，体会这些概念和性质的应用，并体会一些内容的综合运用.根据以上分析，确定教学难点是：符号化的语言表述，对量词的使用和运用函数的单调性解决问题.四、教学支持条件分析为使学生更好地理解形式化定义，降低归纳定义过程中的难度，可利用计算工具，采用动态方式展现函数图象、展示变化规律等.五、教学过程设计（一）引入问题1：初中函数概念和高中函数概念的区别是什么？（1）请说出初中函数的定义；（2）请说出高中函数的定义；（3）辨析这两者有什么不同.师生活动：教师提出问题，前2个问题学生自主回答，第3个问题由学生之间讨论、分析并总结.设计意图：让学生复习函数的概念，并通过对比初中和高中的概念区别，进一步体会函数是建立在集合间的对应关系.（二）函数的概念和表示法的巩固师生活动：学生先独立思考，计算，黑板板书（或者利用信息技术将学生的书写过程展示）.设计意图：让学生体会在一个熟知的二次函数中，利用单调性解决数学问题.（四）课堂小结问题11：回答下列问题（1）在解决有关函数概念的问题，以及利用函数的概念解决其他问题的时候，有什么需要特别注意的问题吗？（2）在处理函数单调性的问题时，有什么需要注意的吗？师生活动：学生先独立思考，然后讨论，发表观点，教师进行归纳.设计意图：让学生进一步体会和注意，处理有关函数问题的时候，需要注意的问题.六、目标检测设计设计意图：本题通过绘制函数图象，能够观察出（也可以严格的证明）它是一个增函数，因此将f(2-a2)>f(a)转化为1-a2>a，解二次不等式得到结果. 这道题目将分段函数，函数的图象，函数的单调性充分综合，是检测学生综合运用本章知识分析和解决问题的能力.。