高考考前数学小题强化训练六
高考考前数学小题强化训练六
时量：45分钟 满分：70分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，
在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的）
1．已知m 为实数，则函数f (x ) = x 2
cos x + m 是（ B ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．非奇非偶函数
D ．既奇又偶函数
2．下列直线中，不是圆C ：(x +1)2 + (y –1)2 = 1的切
线方程的是（ C ） A ．x = 0 B ．y = 0 C ．y = x – 1
D ．y = x +2+
2
【解析】数形结合知y = x – 1不是圆C 的切线. 3．已知等差数列{a n }中a 5 + a 7 = 12，a 2 = 3，则a 10的值是（ B ） A ．10 B ．9 C ．8
D ．7
【解析】∵a 5 + a 7 = a 2 + a 10 = 12，又a 2 = 3， ∴a 10 = 9.
4．在锐角△ABC 中，设x =sin A sin B ，y =cos A ·cos B ，
则x ，y 的大小关系是（ C ） A ．x ≥y B ．x ≤y C ．x ＞y
D ．x ＜y
【解析】∵y – x = cos A cos B – sin A sin B = cos (A + B )，又A 、B 为锐角三角形两内角. 则
π
π
<+<B A 2
，∴cos(A + B )＜0，即y – x ＜0，
∴x ＞y .
5．已知球O 的截面把垂直于截面的直径分成1:3
的两部分，若截面圆的半径为3，则球O 的体积为（ A ） A ．16π
B ．
3
16π
C ．
π3
32
D ．π34
【解析】设球的半径为R ，则R 2
=2
2
)
2
(
3
R +，
∴R 2
= 4，∴S 球 = 4ππ162=R .
6．已知条件p ：|x + 1|＞2，条件q ：5x – 6＞x 2，则┐p 是┐q 的（ B ）
A ．充分和要条件
B ．充分非必要条件
C ．必要非充分条件
D ．既非充分又非必要条件
【解析】∵┐p ：|x + 1|≤2⇔–2≤x + 1≤2⇔–3≤x ≤1，又┐q ：5x – 6≤x 2即x 2 – 5x + 6≥0⇔x ≤2或x ≥3，故┐p ⇒┐q ，但┐q ⇒┐p .
7．若f (m ) =n
n
m n n
i n n c m c m mc c m ++++∑
= 220
100，则
)
1(log
)3(log 2
2f f 的值为（ B ）
A ．
2
1 B ．
2 C ．3
1
D ．3
【解析】∵f (m ) = m 0C n 0 + m 1C n 1 + m 2C n 2 +…+m n C n n = (1 + m )n ，∴f (3) = 4n ，f (1) = 2n ， ∴
22
log
4log )
1(log
)3(log 2
22
2==
n
n f f .
8．已知向量a = (1, 1)，b = (1, –1)，c =α
cos 2(
，
)sin 2α)(R ∈α，实数
m 、n 满足m a + n b = c ，
则(m – 3)2 + n 2
的最大值为（ D ） A ．2 B ．3 C ．4
D ．16
【解析】由已知m a + n b = (m + n , m – n ) = c =)sin 2,
cos 2(
αα
∴⎪⎩⎪⎨
⎧=
-=+ααsin 2cos 2n m n m ，∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-=+=
)sin (cos 22)sin (cos 2
2
ααααn m
∴(m – 3)2 + n 2 = m 2 + n 2 – 6m + 9 = 10 – 3
2
(cos α+ sin α) = 10 – 6sin )
4
(π
α
+
≤16.
9．从6人中选出4个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、
莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ B ） A ．300种 B ．240种 C ．144种
D ．96
【解析】先进1人到巴黎有4种方案，再从余下的5人中选3人到伦敦、悉尼、莫斯科，有A 3
5
= 60种方案，由分步计数原理，共有4×60 = 240种，选B. 10．定义运算
bc
ad d
b c
a -=，则符合条件
1
21211-+--x y
y x = 0的点P (x , y )的轨迹方程为
（ A ）
A ．(x – 1)2
+ 4y 2
= 1 B ．(x –1)2 – 4y 2
= 1 C ．(x –1)2
+ y 2 = 1
D ．(x –1)2
– y 2
= 1
【解析】由已知
)
21()
1(1
212112
y x x y
y x +--=-+--
(1 – 2y ) = 0，即(x – 1)2 + 4y 2 = 1.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共
20分） 11．计算：
α
ααcos )
60cos()30sin(︒++︒+= 1 . (数字
作答)
【解析】原式=α
ααcos )
60cos()60cos(+︒+-︒
=
1cos cos 60cos 2=︒α
α
12．为了让学生了解丢弃塑料袋对环境的影响，某
班环保小组的六名同学记录了自己家中一周内丢弃的塑料袋的数量，结果如下（单位：个）33，25，28，26，25，31；如果该班有45名学生，根据提供的数据估计本周全班同学各家共丢弃的塑料袋共约 1512 个.
【解析】五家庭丢弃塑料袋的平均数
51685
31
2526282533=+++++=
x ，则45个家
庭丢弃的塑料袋总量为45×
1512
5
168=.
13．若函数f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≥<+-)2(2
)
2()2(x x x f x
，则f (–3)的值为
8
1
.
【解析】f (–3) = f (–3 + 2) = f (–1 + 2) = f (1 + 2)
= f (3) = 2–3 =81
.
14．甲、乙二人各有一个装有3张卡片的盒子，从
中取卡片来比胜负，甲的盒子中卡片的号码是2张1，1张3；乙的盒子中卡片的号码是1张
1，2张2，甲、乙两人同时从自己的盒子中取出1张比较，取出的不再放回，直到二人取的
卡片号码不相同时，号码大的一方为胜，则甲
获胜的概率是 .
【解析】取一张卡片甲获胜的概率
3
13
3311=
⨯⨯=P ，取两张卡片后甲获胜的概率
9
1)21)(12(2
3
2
32=⋅⨯⨯=
A A P .
故甲获胜的概率为P = P 1 + P 2 =9
49131=+.
15．以下同个关于圆锥曲线的命题中
①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，
k
PB PA =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；
②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若)(2
1OB OA OP +=
，则动点P
的轨迹为椭圆；
③方程2x 2 – 5x + 2 = 0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线9
25
2
2
y
x
-
=1与椭圆
135
2
2
=+y
x
有相同
的焦点.
其中真命题的序号为 4 . (写出所有真命题的序号)
【解析】依题意有：P = 4n
，S = 2n
， ∴4n + 2n = 272， ∴22n + 2n – 272 = 0， ∴2n = 16，∴n = 4.。
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考考前模拟数学试题含解析
安徽省合肥市一中、合肥六中2025届高考考前模拟数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(),12,1x e x f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若方程()10f x mx --=恰有两个不同实根，则正数m 的取值范围为（ ）A ．()1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭B ．(]1,11,12e e -⎛⎫-⎪⎝⎭C ．()1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭D ．(]1,11,13e e -⎛⎫-⎪⎝⎭2．如果实数x y 、满足条件10{1010x y y x y -+≥+≥++≤，那么2x y -的最大值为（ ）A ．2B ．1C ．2-D ．3-3．在ABC ∆中，D 为BC 中点，且12AE ED =，若BE AB AC λμ=+，则λμ+=（ ） A ．1B ．23-C ．13-D ．34-4．已知函数()()0xe f x x a a=->，若函数()y f x =的图象恒在x 轴的上方，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),e +∞D ．1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭5．复数12ii--的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知函数()(0xf x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则||a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<7．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60︒角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．4πB ．16πC ．163πD ．323π8．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中(0,)2πϕ∈，若,()6x R f x f π⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A ．,()36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．2,()33k k k z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦D ．2,()3k k k Z πππ⎡⎤+⎢⎥⎣∈⎦9．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( ) A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根 B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根 D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根 10．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．若函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．512．设等比数列{}n a 的前项和为n S ，若2019201680a a +=，则63S S 的值为（ ） A ．32B ．12C ．78 D ．98二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(六)含答案人教版高中数学高考真题汇编
解得 所以 .(10分)
4．选修4－2：矩阵与变换
解：记 ， ， ，则上述方程组可以写成
（＊）
又 ，在方程（＊）式两边左乘 可得：
＝ ；所以，原方程组的解为 ．……………10分．
5．【解】由题意得 …………6分
化简得 所以 …………………………10分
6．解： ＝ ．……………………6分
(2)求A4B．
8．已知矩阵M有特征值λ1=8及对应的一个特征向量e1= ，并有特征值λ。
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、填空题
1．考查行列式运算法则=
2．；
评卷人
得分
二、解答题
3．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的逆矩阵，考查运算求解能力．
设A(a，b)，则由 ＝ ，得
∴ 即A(－2，3)．……………………10分
7．（B）解：（1）设A的一个特征值为 ，由题意知：
……………………3分
…5分
(2） ………………………………………7分
故 ……10分
8．选修4－2（矩阵与变换）
解：设M= ，由题意得，Me1= λ1e1，Me2= λ1e2………………………………1分
4．请用逆矩阵的方法求下面二元一次方程组的解 ．
5．设矩阵 ，若矩阵 的属于特征值1的一个特征向量为 ，属于特征值2的一个特
征向量为 ，求实数 的值．
6．已知点A在变换：T： → ＝ 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B．若点B坐标为(－3，4)，求点A的坐标．
7．给定矩阵
(1)求A的特征值 及对应的特征向量 ；
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《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测
矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等考前冲刺专题练习(六)带答案人教版高中数学新高考指导
高中数学专题复习《矩阵与变换二阶矩阵平面逆变换等》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、填空题1．在矩阵b0 1a⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下，将直线651x y-=变成21x y+=，则a b+=（ 0 ）2．矩阵1214A⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦的特征值是____________评卷人得分二、解答题3．已知矩阵1012,0206A B-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,求矩阵BA1-.（汇编年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））B. [选修4-2:矩阵与变换]本小题满分10分.4．已知矩阵2143-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A，4131-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B，求满足=AX B的二阶矩阵X．5．已知二阶矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，属于特征值3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A ．16．给定矩阵⎢⎣⎡=32A ⎥⎦⎤01，.22⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B （1）求A 的特征值21,λλ及对应的特征向量21,αα；（2）求.4B A7．求矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值及对应的特征向量．8．已知矩阵2112,.0112-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A B (Ⅰ)计算AB ；(Ⅱ) 若矩阵B 把直线l ：x y ++2=0变为直线l '，求直线l '的方程．2．（矩阵与变换选做题）【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、填空题1．A ．解析：设直线上任一点经变换后，变为，则，又P ′在直线上，∴，从而即与是同一条直线∴，从而．解析：A ．解析：设直线651x y -=上任一点(,)P x y 经变换后，变为00(,)P x y '，则0000b ,0 1 y x x ax by a x ax by y y y y =++⎡⎤⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤==∴⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，又P ′在直线21x y +=上， ∴0021x y +=，从而2()1ax by y ++=即2(21)1ax b y ++=与651x y -=是同一条直线∴26215a b =⎧⎨+=-⎩，从而3,03a a b b =⎧∴+=⎨=-⎩． 2．2或 3 评卷人得分 二、解答题3．B 解:设矩阵A 的逆矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a ,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡d c b a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ,即⎥⎦⎤⎢⎣⎡--d c b a 22 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1001 ,故a=-1,b=0,c=0,d=21∴矩阵A 的逆矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-=-210011 A , ∴B A 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-21001 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡6021 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅--30214．解：由题意得1312221-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A ，…………………………………………………5分=AX B ，1319411222312151-⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦-⎣⎦⎣⎦X A B …………………………10分 5．6．7．解：特征多项式2221()(2)14312f λλλλλλ--==--=-+--………………………………3分 由()0f λ=，解得121,3λλ==……6分 将11λ=代入特征方程组，得0,0--=⎧⎨--=⎩x y x y 0⇒+=x y ,可取11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦为属于特征值λ1=1的一个特征向量…………………8分 同理,当23λ=时,由0,00x y x y x y -=⎧⇒-=⎨-+=⎩,所以可取11⎡⎤⎢⎥⎣⎦为属于特征值23λ=的一个特征向量．综上所述,矩阵2112⎡⎤⎢⎥⎣⎦有两个特征值1213λλ==，；属于11λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， 属于23λ=的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦……………………………………10分 8． (Ⅰ)AB = 2314-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦； ………………………………3分 (Ⅱ) 任取直线l 上一点P （x ，y ）经矩阵B 变换后为点(),P x y '''， ……………4分则12201x x x y y y y '--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………6分 2,,x x y y y '=-⎧∴⎨'=⎩∴2,.x x y y y ''=+⎧⎨'=⎩ ……………………………8分 代入x y ++2=0得：220,x y y '''+++=∴320,x y ''++=∴直线l'的方程为320++=．………………………………10分x y。
高考数考前强化训练试题
高考数考前强化训练试题依据广阔考生的需求，查字典数学网高考频道整理了2021年高考数考前强化训练试题，欢迎大家关注!一、选择题1.点A(1,1)到直线xcos+ysin-2=0的距离的最大值是()(A)2 (B)2-(C)2+ (D)42.(2021柳州模拟)直线y=3x+1关于y轴对称的直线方程为()(A)y=-3x-1 (B)y=3x-1(C)y=-3x+1 (D)y=-x+13.(2021桂林模拟)点M是直线l:2x-y+4=0与x轴的交点,过M点作直线l的垂线,那么垂线方程为()(A)x-2y-2=0 (B)x+2y+2=0(C)x-2y+2=0 (D)x+2y-2=04.(2021长沙模拟)假定曲线y=2x-x3在横坐标为-1的点处的切线为l,那么点P(3,2)到直线l的距离为()(A) (B)(C) (D)5.(2021重庆模拟)m=是直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的()(A)充沛必要条件 (B)充沛而不用要条件(C)必要而不充沛条件 (D)既不充沛又不用要条件6.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为()(A)x+2y-5=0 (B)2x+y-4=0(C)x+3y-7=0 (D)3x+y-5=07.(2021合肥模拟)设△ABC的一个顶点是A(3,-1),C的平分线方程区分为x=0,y=x,那么直线BC的方程为()(A)y=2x+5 (B)y=2x+3(C)y=3x+5 (D)y=-x+8.区分过点A(1,3)和点B(2,4)的直线l1和l2相互平行且有最大距离,那么l1的方程是()(A)x-y-4=0 (B)x+y-4=0(C)x=1 (D)y=39.假定点A(3,5)关于直线l:y=kx的对称点在x轴上,那么k 是()(A) (B)(C) (D)10.(才干应战题)假定动点A(x1,y1),B(x2,y2)区分在直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,那么线段AB的中点M到原点的距离的最小值为()(A)2 (B)3(C)3 (D)4二、填空题11.(2021重庆模拟)两条直线l1:x-2y+4=0与l2:x+y-2=0的交点为P,直线l3的方程为3x-4y+5=0.那么过点P且与l3平行的直线方程是.那么过点P且与l3垂直的直线方程是.12.定点A(1,1),B(3,3),动点P在x轴上,那么|PA|+|PB|的最小值是.13.假定直线3x+4y-3=0与直线6x+my+14=0平行,那么它们之间的距离为.14.(2021武汉模拟)0|BC|,故当P与M重合时,|PA|+|PB|取得最小值2.答案:213.【解析】由两直线平行的条件得3m=46,解得m=8,此时直线6x+my+14=0的方程可化为3x+4y+7=0,两直线3x+4y-3=0和3x+4y+7=0间的距离为d==2.答案:2【误区警示】此题求解时易不将6x+8y+14=0化简,直接求两平行线间的距离,失掉d=或的错误,基本缘由是没能掌握好两平行线间距离公式的运用条件.14.【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,4),直线l1的纵截距为4-k,直线l2的横截距为2k2+2,如下图:所以四边形的面积S=[(4-k)+4]2+4[(2k2+2)-2]=4k2-k+8,故面积最小时,k=.答案:15.【解析】(1)设P(x0,x0+)(x00).那么|PN|=x0,|PM|==,因此|PM||PN|=1.(2)衔接OP,直线PM的方程为y-x0-=-(x-x0),即y=-x+2x0+.解方程组得x=y=x0+,所以|OM|=x0+.S四边形OMPN=S△NPO+S△OPM=|PN||ON|+|PM||OM|=x0(x0+)+(x0+)=+(+)+1,当且仅当x0=,即x0=1时等号成立,因此四边形OMPN面积的最小值为+1.封锁Word文档前往原板块。
数学-2022年高考考前押题密卷(新高考Ⅰ卷)(全解全析)
1 -sin α+2 ⎛ π ⎫ 4 ⎪ ⎝ ⎭3 24 3 a 2022 年高考考前押题密卷（新高考Ⅰ卷）数学·全解全析1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ADABCBDDBCACDABABC一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】因为 A = {x | -2 < x < 2} ， B = {x | 0 ≤ x ≤ 4} ，所以 A ∪B =（-2，4]．故选 A ． 2．【答案】D【解析】因为 z = 1 - i ，所以 2z - i z =2(1 - i) - i(1 + i)=3 - 3i ，所以| 2z - i z |= 32 + (-3)2 =3 ．故选 D ．3．【答案】Aα∈⎛ π , π ⎫ π⎛ π , 3π ⎫⎛ π ⎫ 3【解析】由 4 2 ⎪ ，得α+ 4 ∈ 2 4 ⎪ ，则cos α+ 4 ⎪ = - = - ， 5 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭cos α= cos ⎡⎛α+ π ⎫ - π⎤ = cos ⎛α+ π ⎫cos π + sin ⎛α+ π ⎫sin π = - 3⨯2 + 4⨯ 2 = 2 ．⎢ 4 ⎪ 4 ⎥ 4 ⎪ 4 4 ⎪ 45 2 5 2 10故选 A ． 4．【答案】B⎣⎝⎭ ⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 【解析】设正项等比数列{a n }的公比为 q (q > 0) .由a = a 4 可得： a = q 2 ，所以a = q , a = 1. 3 32 1 2所以 S = a + a + a = 1 + q + q 2 = 7 ，解得：q = 2 （ q = -3 舍去）， 3123所以a = a q 4 = 1⨯ 24 = 16 .故选 B ．515. 【答案】C【解析】从这三类乐器中各选 1 种乐器的选法有C 1 C 1 C 1= 24（种），将 3 种乐器分配给甲､乙､丙三位同学演奏的方法有A 3 = 6 （种），因此不同的分配方案共有24⨯ 6 = 144 （种）.故选 C ． 6. 【答案】B【解析】由题知T a = 25 ℃，由一杯 80℃的热水降至 75℃大约用时 1 分钟，1 1可得75 - 25 = ⎛ 1 ⎫h( 80 - 25) ，所以⎛ 1 ⎫ h= 50 = 10 ，⎪⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭255 112 2 5 ⎫ ⎝ ⎭10 ⎛ t t 又水温从 75℃降至 45℃，所以45 - 25 = ⎛ 1 ⎫ h(75 - 25 ) ，即⎛ 1 ⎫ h= 20 = 2 ，⎪ ⎝⎭ t⎡ 1 ⎤ t⎪50 5所以⎛ 1 ⎫h= ⎢⎛ 1 ⎫ h ⎥= ⎛ 10 ⎫ = 2 ，2 ⎪⎢ 2 ⎪ ⎥ 11 ⎪ 5⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎣ ⎦lg 2所以t = log 2115 lg 10 11= 2 lg 2 -1 ≈ 2 ⨯ 0.3 -1 = 10 ，1 - lg11 1 -1.04 所以水温从 75℃降至 45℃，大约还需要 10 分钟.故选 B.7. 【答案】D【 解 析 】 因 为 (x 2+ x + 1 )5 4 = [(x + 1 )2 ]5 = (x + 1 )10 2 2 ， 所 以(x + 1 )10 2展 开 式 的 通 项 公 式 为 T = C r x 10-r ⋅ 1r ，当10 - r = 7 时， r = 3 ， T = C 3 x 7 ⋅ 1 3 ， 则 31 3 = 15 ，x 7 的系数为 15.r +1 10 2 8. 【答案】D4 10 ( 2) C 10 ( 2) 【解析】由题知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数．=⎛1 ⎫⎛-1 ⎫a f log ⎪= f log 1 3 2 ⎪ = f (-log 2 3) = f (log 2 3) ， ⎝ 2 3 ⎭ ⎝22 ⎭=⎛ 1 ⎫⎛ - 1 ⎫b f log ⎪= f log 1 2 2 ⎪= f (-log 3 2) = f (log 3 2) ， ⎝ 3 2 ⎭ ⎝32⎭⎛ - 4 ⎫ ⎛ - 4 ⎫ c = f -3 3 ⎪ = f 3 3 ⎪ ， log 2 3 > log 2 2 = 1 ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 31 3 1 1 423= 3= 3, 所以 23> ⎛ 33 ⎫ , 2 > 33 ，所以1 = log 3 > log 2 > log 33 = 1 ， 0 < 3 3 < 3 = 1 ， - -1 8, 3 ⎪ ⎪ 3 3 33 3⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 因为 f ( x ) 在[0, +∞) 上单调递增，所以a > b > c .故选 D ．二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．9. 【答案】BC【解析】由已知，得 x + 2 y = 2 ≥ 2 则 xy ≤ 1，当且仅当 x = 2 y = 1时取等号，所以 xy 的最大值是 1，所以选项 A 错误；22⎛ 4 ⎫24 4 2 4 22 24 x 2 + y 2 = (2 - 2 y ) + y 2 =5 y - ⎪ + ≥ ，当且仅当 x = ，y = 时取等号，所以 x + y 的最小值是 ，所以选项 B 正确；⎝5 ⎭ 5 5 5 5 5 ( ) 2xy = t4 2 7⎝ ⎭ x y2x + 4 y ≥ 2 = 4 ，当且仅当 x = 2 y = 1时取等号，所以2x + 4y的最小值是 4，所以选项 C 正确；1 +2 = 1 1 + 2 ( x + 2 y ) = 1 ⎡5 + 2⎛ y + x ⎫⎤ ≥ 9 ，当且仅当 x = y = 2时取等号，所以 1 + 2 的最小值是 9 ，x y 2x y ⎪ ⎢⎪⎥ ⎣ ⎝ ⎭⎦ 3 x y2所以选项 D 错误．故选 BC ．10. 【答案】ACD【解析】因为 f (x ) = sin(4x + π) + cos(4x - π)3 6= 1 sin 4x + 3 cos 4x + 3 cos 4x + 1 sin 4x = sin 4x + 3 cos 4x = 2sin(4x + π2 2 2 23 由正弦函数的性质可知， f (x ) 的最大值为 2，A 正确；π π π 5π k π π k π 令- + 2k π ≤ 4x + ≤ + 2k π，k ∈ Z 解得- + ≤ x ≤ + ，2 3 2 24 2 24 2令 k = 0 得，函数的一个单调递增区间为[- 5π , π] ，B 错误；24 24π π k π - π令 f (x ) = 0 得sin （4x + 3 ）= 0 ，则 4x + 3= k π ，即 x = 3 ，k ∈ Z ， 4当 k = 1 时，x = π ，当 k = 2 时，x = 5π ，当 k = 3 时，x = 2π ，当 k = 4 时，x = 11π ，当 k = 5 时，x = 7π> π ， 6 12 3 12 6故 f (x ) 在[0,π] 上有 4 个零点，C 正确；把 f (x ) 的图象向右平移 π 个单位长度，得到函数 y=2sin4x 的图象关于直线 x = - π对称，D 正确．12 8故选ACD ． 11．【答案】AB【解析】由题意知 AP ≠ PF ，设 P ( x , y )(x > 0) ， 若 AF = PF ，则1+ 5 = x +1 ，解得 x = 5，44 则点 P 的坐标为⎛5 , 5 ⎫或⎛ 5 , - 5 ⎫， 4 ⎪ 4⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以k = 2 5 或k = - 2 5；AP 5 AP5若 AP = AF ，则⎛ x + 5 ⎫2⎪ + y 2 = ⎛1+ 5 ⎫2⎪ . ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭因为 y 2 = 4x ，所以2x 2 +13x - 7 = 0 ，解得 x = 1或 x = -7 （舍去），2所以点 P 的坐标为⎛ 1 , 2 ⎫ 或⎛ 1 , - 2 ⎫， 2⎪ 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝⎭所以k AP =或k AP = - 472.故选 AB ．2x +2 y 2 2， )⎨ln x , x ≥1 x + 2x x +1 1 2 2 1 2x x 2 12．【答案】ABC【解析】因为 y = ln x = ⎧- ln x , 0 < x < 1 ，⎩所以，当0 < x < 1时， y ' = - 1 ；当 x ≥ 1时， y ' = 1，xx不妨设点 P 1 ， P 2 的横坐标分别为x 1 ，x 2，且 x 1 < x 2 ，若0 < x < x ≤ 1 时，直线l ， l 的斜率分别为k= - 1， k = - 1，此时k k = 1> 0 ，不合题意； 12121x 2 x 1 x 2若 x > x ≥ 1时，则直线l ， l 的斜率分别为k= 1 ， k = 1 ，此时k k = 1> 0 ，不合题意. 21121x 2 x 1 x 2所以0 < x ≤ 1 < x 或0 < x < 1 ≤ x，则k = -1， k = ， 12121x 2由题意可得k 1k 2 = - 1x 1 x 2= -1，可得 x 1 x 2= 1 ，若 x 1 = 1 ，则 x 2 = 1；若 x 2 = 1，则 x 1 = 1 ，不合题意，所以0 < x 1 < 1 < x 2 ，选项 A 对； 对于选项 B ，易知点 P 1 ( x 1, -ln x 1 ) ， P 2 ( x 2 , ln x 2 ) ， 所以，直线 PP 的斜率为k=ln x 2 + ln x 1 = ln ( x 1x 2 ) = 0 ，选项 B 对；1 2P 1P 2x - x x - x2 1 2 1对于选项 C ，直线l 的方程为 y + ln x = -1(x - x ) ，令 x = 0 可得 y = 1 - ln x ，即点 A (0,1 - ln x ) ，1111 11直线l 的方程为 y - ln x =1(x - x ) ，令 x = 0 可得 y = ln x-1 = - ln x -1，即点 B (0, -ln x -1)，2222211所以， AB = (1- ln x 1 ) - (-1- ln x 1 ) = 2 ，选项 C 对；⎧y = - 1x + 1 - ln x⎪x 1 2x x 2x 对于选项 D ，联立⎨ ⎪ y = ⎪⎩2x 1 1 x + ln x -1 x 2 可得x P = 1 2 = 1 ， 1 2 12(1- x 2)令 f (x ) = x 2+1，其中 x ∈(0,1) ，则 f '(x ) = (x 2 +1)2> 0 ，所以，函数 f ( x ) 在(0,1) 上单调递增，则当 x ∈(0,1) 时， f ( x )∈(0,1) ，所以， S△ABP =AB ⋅ x P = 2x 1x 2 +1 ∈ (0,1) ，选项 D 错.故选 ABC.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．1 21 x 1 21x 1 2 1x3 a 2 + 1 5 13．【答案】 5（或2.5 ）2【解析】因为(λa - b ) ⊥ b ，所以(λa - b )⋅ b = 0 ，即λa ⋅ b - b 2 = 0 ，代入坐标得10λ- 25 = 0 ，解得 λ = 5，2故答案为： 5.214. 【答案】3π【解析】由题知过直线 PO 的平面截该圆锥所得的截面是面积为3 3 的正三角形（如下图），设该正三角形的边长为a ，可得3 a 2 = 3 4，解得a = 2 ，所以底面圆的半径r = ，圆锥的高h = 3 ， 所以该圆锥的体积为V = 1πr 2h = 1π3 33 )2⨯ 3 = 3π.故答案为：3π.15. 【答案】 52【解析】因为 PF 1= 6 ，则 PF 2= 6 - 2a ，且 F 1F 2= 2c = 2 ．5 5 PF 2 + PF 2 - F F 2 5 36 + 36 - 24a + 4a 2 - 4a 2 - 4 又cos ∠F PF = ，所以 = 1 2 1 2，即 = ，解得 a = 2 .所 1 2 6 6 2 PF 1 PF 26 2 ⨯ 6 ⨯ (6 - 2a )以c = ，所以双曲线的离心率e = c = 5．a 216．【答案】(4, 4) 44【解析】因为h ( x ) = f ( x - 4) + x ，所以h (x + 4) + h (4 - x ) = f (4 + x - 4) + 4 + x + f (4 - x - 4) + 4 - x = f (x ) + f (-x ) + 8= e -x - e x + e x - e -x + 8 = 8，所以h ( x ) 的图象的对称中心为⎛ 4 + 4 , 8 ⎫，即为(4, 4) ， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭因为等差数列{a n }中，a 1 + a 2 + a 3 + + a 11 = 44 ，所以2a 6 ⨯ 5 + a 6 = 44 ，得a 6 = 4 ，因为h (x ) 的图象的对称中心为(4, 4) ， 所以h (a 1 ) + h (a 11 ) = 2 ⨯ 4 = 8 ， h (a 2 ) + h (a 10 ) = 2 ⨯ 4 = 8 ， h (a 3 ) + h (a 9 ) = 2 ⨯ 4 = 8 ， h (a 4 ) + h (a 8 ) = 2 ⨯ 4 = 8 ，3 3 (7 3 ∠ = - ∠ h (a 5 ) + h (a 7 ) = 2 ⨯ 4 = 8 ，因为h (a 6 ) = h (4) = f (0) + 4 = 4 ，所以h (a 1 ) + h (a 2 ) + + h (a 11 ) = 5⨯8 + 4 = 44 ，故答案为： (4, 4) ，44．四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分）【解析】（1）由b sin C = sin C + 3 cos C 得c sin B = 2sin ⎛ C + π⎫，（1 分） 3 ⎪ ⎝ ⎭ 又 A = π， A + B + C = π，所以c sin B = 2sin(π- B ) = 2sin B ，（2 分）3 而0 < B < π，故sin B ≠ 0 ，故c = 2 ．（4 分）（2）选①：设 BC 边上的中线为 AD ，则 AD =AD 2 + BD 2 - AB 2 由cos ADB cos ADC 得 ， 2AD ⋅ BD2 ，（5 分）2= - AD 2 + CD 2 - AC 2 2AD ⋅ CD，（7 分） 1 + a 2- = - ⎛ 1 + a 2 - 2 ⎫ 即 2 4 4 2 4 b⎪ ，即a = 2b + 6 ， ⎝ ⎭由余弦定理a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A 得a 2 = b 2 - 2b + 4 ，即b 2 + 2b + 2 = 0 ， 该方程无实数解，故符合条件的三角形不存在. （10 分） 选②：设 AB 边上的中线为CF ，则CF = ．（5 分）在 ACF 中，由余弦定理得CF 2 = AF 2 + AC 2 - 2AC ⋅ AF cos A ， 即7 = 1 + AC 2 - 2 ⨯1⨯ AC cos π，（7 分）3整理得 AC 2 - AC - 6 = 0 ，解得AC = 3 或 AC = -2 （舍去），故 ABC 的面积 S = 1 AC ⋅ AB sin A = 1⨯ 3⨯ 2⨯ 3 = 3 3 ．（10 分）2 2 2 2选③，依题意得 AB + BC + CA = 6 ，由（1）知 AB = 2 ，所以 BC + CA = 4 ，（5 分）在 ABC 中，由余弦定理得， BC 2 = AB 2 + CA 2 - 2AB ⋅ CA cos A ， 所以CB 2 = 22 + CA 2 - 2 ⨯ 2 ⨯ 1CA ，即CB 2 = 4 + CA 2 - 2CA ，（7 分）2 所以(4 - CA )2 = 4 + CA 2 - 2CA ，解得 BC = CA = 2 ，所以 ABC 的面积S = 1 AC ⋅ AB sin A = 1 ⨯ 2⨯ 2⨯ 3= ．（10 分）2 2 2 18．（12 分）2 2n ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ - 2 = =≈ >【解析】（1）设等比数列{a n }的公比是 q ，首项是a 1 . 由8a 3 = a 6 ，可得q = 2 .（2 分）由a + a = 36 ，可得a q (1+ q 3 )= 36 ，所以a = 2 ，（4 分）2511所以a = 2n ；（6 分） （2）证明：因为b = a n= 1 - 1 ，（7 分）n(a +1)( a+1) 2n +1 2n +1 +1nn +1所以T = b + b + ⋅⋅⋅ + b =⎛ 1 - 1 ⎫ +⎛ 1- 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ + ⎛ 1 - 1 ⎫ （8 分）n12n21 + 1 22 + 1 ⎪ 22 + 1 23 + 1 ⎪ 2n +1 2n+1 +1⎪= 1 - 1 = 1 - 1.（10 分） 21 +1 2n +1 +1 3 2n +1+1又1> 0 ，所以T < 1 .（12 分） 2n +1 + 1 n 3 19．（12 分）【解析】（1）根据以上数据，得观测值 K200⨯(90⨯ 30 - 50⨯ 30)2 25 3.571 2.706 ，（3 分） 140⨯ 60⨯120⨯807所以有90%的把握认为是否参加直播带货与性别有关.（4 分） （2）由题意，女生未参加过直播带货的频率为30 = 1， 120 4将频率视为概率，每个女生未参加过直播带货的概率为 1，（5 分）4因为每次抽取的结果是相互独立的，所以 X ~ B ⎛ 3, 1⎫ ，（7 分） 4 ⎪所以 P ( X = k ) = C k⎛ 1 ⎫k⎛ 11 ⎫3-k⎝ ⎭，k = 0,1, 2, 3 ， 3 4 ⎪ 4 ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 P ( X = 0) = 27， P ( X = 1) = 27 ， P ( X = 2) =9 ， P ( X = 3) = 1.（10 分）64 64 所以随机变量 X 的分布列为64 64所以随机变量的均值 E ( X ) = 3 ⨯ 1 = 3.（12 分）4 4 11 分）20．（12 分）【解析】（1）如图，连接CE ，因为几何体是由等高的半个圆柱和 1个圆柱拼接而成，4 所以∠ECD = ∠DCG = 45 ， ∠ECG = 90 ， CE ⊥ CG ，（2 分）因为 BC ∥EF ， BC = EF ，所以四边形 BCEF 为平行四边形， BF ∥CE ，所以 BF ⊥ CG ，（3 分）因为 BC ⊥ 平面 ABF ， BF ⊂ 平面 ABF ，所以 BC ⊥ BF ，（4 分）因为 BC ⋂CG = C ，所以 BF ⊥ 平面 BCG ，（5 分）因为 BF ⊂ 平面 BFD ，所以平面 BFD ⊥ 平面 BCG .（6 分）（2）如图，以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 AF = 2 ， AD = t ，则 A (0, 0, 0) 、 B (0, 2, 0) 、 F (2, 0, 0) 、 D (0, 0, t )、G (-1,1, t )， AB = (0, 2, 0) ， AG = (-1,1, t ) ， FB = (-2, 2, 0) ， FD = (-2, 0, t ) ，（7 分）设平面 BDF 的一个法向量为n = ( x , y , z ) ， ⎧n ⋅ FB = 0 则⎨n ⋅⎧-2x + 2 y = 0 ，整理得⎨-2x + tz = 0 ，⎩ FD = 0⎩ 令 z = 2 ，则 x = t , y = t , 则平面 BDF 的一个法向量为n = (t , t , 2)，（9 分）设平面 ABG 的一个法向量为 m = ( x ', y ', z ') ，m ⋅ n15 2 a 2 ⎪ ⎧m ⋅ AB = 0 则⎨m ⋅⎧ y ' = 0，整理得⎨- x ' + y ' + tz ' = 0 ， ⎩ AG = 0⎩ 令 z ' = 1，则x ' = t , y ' = 0, 则平面 ABG 的一个法向量为 m = (t , 0,1)，（10 分）cosm , n =m ⋅ n =t 2 + 2 ，因为平面 BDF 与平面 ABG 所成锐二面角的余弦值为 15，5 t 2 + 2= ，解得t = 2 ，即 AD = 2 .（11 分） 5因为 DA ⊥ 平面 ABF ，所以∠DFA 即直线 DF 与平面 ABF 所成的角， 在 ADF 中，因为∠DAF = 90o ， AD = AF = 2 ，所以∠DFA = 45 ，故直线 DF 与平面 ABF 所成的角为45 .（12 分） 21．（12 分）⎧ b = 1⎪ c⎧⎪ a =【解析】（1）由已知得⎪ = ,解得⎨,（2 分） ⎨ ⎪⎩b = c = 1 ⎪⎩a 2 =b 2 +c 2x 2 2所以椭圆C 的标准方程 + y 2= 1 .（4 分）（2）由（1）的结论可知，椭圆的左焦点 F (-1, 0) ,（5 分）设 A ( x , y ), B ( x , y ) ,则M (-2, y ), N (-2, y ) , G ⎛-2,y 1 + y 2 ⎫. 1 1 2 2 1 2 2 ⎪y - ⎛ y 1 + y 2 ⎫⎝⎭y - 0 1 2 ⎪y - y ， k = 2 = - y .（6 分） k AG = ⎝ ⎭ = 1 2 x 1 + 2 2 (x 1 + 2 )FN -2 + 1 2 因为直线 y = k (x +1)(k ≠ 0)与椭圆交于 A , B 两点， 所以 y 1 = k (x 1 +1), y 2 = k ( x 2 +1), （7 分） 由于直线 y = k ( x +1)(k ≠ 0)与直线l : x = -2 不平行，所以四边形 AGNF 为梯形的充分必要条件是 AG / / FN ，即y 1 - y 22 ( x 1 + 2 )= - y 2 ， 即 y 1 + 3 y 2 + 2x 1 y 2 = 0 ,即k (x 1 +1) + 3k ( x 2 +1) + 2x 1k ( x 2 +1) = 0 ,（8 分） 因为k ≠ 0 ,所以上式又等价于( x 1 +1) + 3( x 2 +1) + 2x 1 ( x 2 +1) = 0 ， 即3( x 1 + x 2 ) + 2x 1x 2 + 4 = 0 （*）.2 2t 2 + 4 ⋅ t 2 +12t 2 + 4 ⋅ t 2 +1x + 2e a e ⎧ y = k ( x +1) ⎪ 联立⎨ 2 y = 1 ,消去 y 得(1+ 2k 2 ) x 2 + 4k 2 x + 2k 2 - 2 = 0,（10 分） ⎩⎪ 2 4k 2 2 (k 2 -1) 所以 x 1 + x 2 = - 1+ 2k 2 , x 1 x 2 = , 1+ 2k 2⎛ 4k 2 ⎫ 2(k 2 - 1)-12k 2 + 4k 2 - 4 + 4 + 8k 2 3( x 1 + x 2 ) + 2x 1x 2 + 4 = 3⨯ - 2 ⎪ + 2⨯ + 4= 2 = 0 ， 所以（*）成立，⎝ 1+ 2k ⎭ 1+ 2k 1+ 2k 所以四边形 AGNF 为梯形.（12 分）22．（12 分）【解析】（1）依题意，函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) ，（1 分）当a = e 时， f (x ) = ln e x- e ln x ， f '(x ) = - ln x - e x ，（2 分） x x 2 令h (x ) = -ln x - e x ，则 h '(x ) = - 1 - e < 0 ，则 h (x ) 在(0, +∞) 上单调递减，而h ⎛ 1 ⎫ = 0 ，（3 分）⎪ x⎝ ⎭ 当0 < x < 1 时， h (x ) > 0 ， f '(x ) > 0 ，当 x > 1时， h (x ) < 0 ， f '(x ) < 0 ，（4 分） e e 所以函数 f (x ) 的单调递增区间为⎛ 0, 1 ⎫ ，单调递减区间为⎛ 1 , +∞ ⎫ .（5 分） e ⎪ e ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭（2）当a > e 时， f '(x ) = 1 - ln ax - e = 1 - ln ax - e x ， x > 0 .（6 分）x 2 x x 2令ϕ(x ) = 1- ln ax - e x ，则ϕ'(x ) = - 1- e < 0 ， x ϕ(x ) 在(0, +∞) 上单调递减，而ϕ⎛ 1 ⎫ = 1- e > 0 ，ϕ⎛ 1 ⎫ = -ln a < 0 ，（7 分）则∃x ⎪ ⎝ ⎭ ∈ ⎛ 1 , 1 ⎫ 使得ϕ(x ) = 0 ，即1- ln ax a - e x ⎪ ⎝ ⎭ = 0 ，有ln ax e = 1- e x ， 0 a e ⎪ 0 0 0 0 0⎝ ⎭ 当 x ∈(0, x 0 ) 时，ϕ(x ) > 0 ， f '( x ) > 0 ， f (x ) 在(0, x 0 ) 上单调递增， x ∈( x 0 , +∞) 时，ϕ(x ) < 0 ， f '( x ) < 0 ， f (x ) 在( x 0 , +∞) 上单调递减， 因此，函数 f (x ) 在 x = x 0 时取最大值，即 f (x ) ≤ f (x 0 )= ln ax 0 - e ln x = x 0 1 - e - e ln x x 0 ，（9 分） 0 0 令函数r (x ) = 1 - e - e ln x ，则r (x ) 在 x ∈⎛ 1 , 1 ⎫上单调递减，即有r ( x ) < r ⎛ 1 ⎫ = a -e +e ln a ，（10 分） a e ⎪ 0 a ⎪x ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 要证 f (x ) < (a -1) e ，即证a - e + eln a < (a -1)e ，只需证(1- e)a + eln a < 0 ， 2令F (a) = (1- e)a + e ln a(a > e) ，F '(a) = 1 - e +e< 2 - e < 0 ，则F (a )在(e, +∞) 上单调递减，（11分）a因此，F (a) <F (e) = (1- e)e + e = 2e - e2< 0 ，即(1- e)a + eln a < 0 成立，则有f (x) <(a -1)e成立，所以当a > e 时，不等式f (x) < (a -1)e 成立.（12 分）。
2020届高考数学二轮复习专项二专题六专题强化训练Word版含解析
[A 组 夯基保分专练]一、选择题1．(2018·惠州第二次调研)设随机变量ξ服从正态分布N (4，3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B.由随机变量ξ服从正态分布N (4，3)可得正态分布密度曲线的对称轴为直线x ＝4，又P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，所以x ＝a －5与x ＝a ＋1关于直线x ＝4对称，所以a －5＋a ＋1＝8，即a ＝6.故选B.2．(2018·武汉调研)将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球，那么甲盒中恰好有3个小球的概率为( )A.310B.25C.320D.14解析：选C.将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁4个不同的小盒中，每个小盒中至少有1个小球有C 36种放法，甲盒中恰好有3个小球有C 23种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为C 23C 36＝320.故选C.3．小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A ＝“4个人去的景点不相同”，事件B ＝“小赵独自去一个景点”，则P (A |B )＝( )A.29B.13C.49D.59解析：选A .小赵独自去一个景点共有4×3×3×3＝108种可能性，4个人去的景点不同的可能性有A 44＝4×3×2×1＝24种，所以P (A |B )＝24108＝29. 4．用1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数，若用a 1，a 2，a 3，a 4，a 5分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为( )A.110B.120C.124D.310解析：选B .1，2，3，4，5可组成A 55＝120个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的5必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C 24C 22＝6个，故出现a 1<a 2<a 3>a 4>a 5特征的五位数的概率为6120＝120. 5．(2018·高考全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p , 各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)＜P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3解析：选B.由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4，所以p ＝0.6或p ＝0.4.由P (X ＝4)＜P (X ＝6)，得C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4，即(1－p )2＜p 2，所以p ＞0.5，所以p ＝0.6.6．(2018·贵阳模拟)点集Ω＝{(x ，y )|0≤x ≤e ，0≤y ≤e }，A ＝{(x ，y )|y ≥e x ，(x ，y )∈Ω}，在点集Ω中任取一个元素a ，则a ∈A 的概率为( )A.1e B.1e 2 C.e －1eD.e 2－1e2解析：选B.如图，根据题意可知Ω表示的平面区域为正方形BCDO ，面积为e 2，A 表示的区域为图中阴影部分，面积为⎠⎛01(e －e x )dx ＝(e x －e x )|10＝(e －e)－(－1)＝1，根据几何概型可知a ∈A 的概率P ＝1e2.故选B.二、填空题7．某人在微信群中发了一个7元的“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是________．解析：利用隔板法将7元分成3个红包，共有C 26＝15种领法．甲领3元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有3元，3元，1元与3元，2元，2元两种情况，共有A 22＋1＝3种领法；甲领4元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有4元，2元，1元一种情况，共有A 22＝2种领法；甲领5元不少于乙、丙分别领到的钱数的分法有5元，1元，1元一种情况，共有1种领法，所以甲领到的钱数不少于乙、丙分别领到的钱数的概率是3＋2＋115＝25.答案：258．(2018·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________．解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2. 又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π9．某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满3次为止．设甲每次击中的概率为p (p ≠0)，射击次数为η，若η的均值E (η)>74，则p的取值范围是________．解析：由已知得P (η＝1)＝p ，P (η＝2)＝(1－p )p ，P (η＝3)＝(1－p )2，则E (η)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3>74，解得p >52或p <12，又p ∈(0，1)，所以p ∈⎝⎛⎭⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎫0，12 三、解答题10．(2018·贵阳模拟)某高校通过自主招生方式在贵阳招收一名优秀的高三毕业生，经过层层筛选，甲、乙两名学生进入最后测试，该校设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽3个问题．已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23，甲、乙两名学生对每个问题的回答都是相互独立、互不影响的．(1)求甲、乙两名学生共答对2个问题的概率；(2)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两名学生哪位被录取的可能性更大？ 解：(1)由题意可得，所求概率为P ＝C 14C 22C 36×C 13×23×⎝⎛⎭⎫132＋C 24C 12C 36×C 03×⎝⎛⎭⎫230×⎝⎛⎭⎫133＝115.(2)设学生甲答对的题数为X ，则X 的所有可能取值为1，2，3.P (X ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (X ＝2)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝3)＝C 34C 02C 36＝15，E (X )＝1×15＋2×35＋3×15＝2，D (X )＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)×15＝25.设学生乙答对的题数为Y ，则Y 的所有可能取值为0，1，2，3. 由题意可知Y ～B ⎝⎛⎭⎫3，23， 所以E (Y )＝3×23＝2，D (Y )＝3×23×13＝23.因为E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y ) ， 所以甲被录取的可能性更大．11．(2018·西安模拟)一个盒子中装有大量形状、大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量(单位：克)，质量分组区间为[5，15]，(15，25]，(25，35]，(35，45]，由此得到样本的质量频率分布直方图(如图)．(1)求a 的值，并根据样本的数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均值；(2)从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5，15]内的小球个数为X ，求X 的分布列和数学期望．(以直方图中的频率作为概率)解：(1)由题意，得(0.02＋0.032＋a ＋0.018)×10＝1，解得a ＝0.03. 由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，而50个样本中小球质量的平均数为x －＝0.2×10＋0.32×20＋0.3×30＋0.18×40＝24.6(克)．故由样本估计总体，可估计盒子中小球质量的平均数为24.6克． (2)该盒子中小球质量在[5，15]内的概率为15，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，15.X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫150⎝⎛⎭⎫453＝64125，P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125，P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫152×45＝12125，P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫153⎝⎛⎭⎫450＝1125. 所以X 的分布列为所以E (X )＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1125＝35.⎝⎛⎭⎫或者E （X ）＝3×15＝35. 12．(2018·长春质量监测(二))某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别在[100，150)，[150，200)，[200，250)，[250，300)，[300，350)，[350，400](单位：克)中，经统计得频率分布直方图如图所示．(1)现按分层抽样的方法，从质量为[250，300)，[300，350)的芒果中随机抽取9个，再从这9个中随机抽取3个，记随机变量X 表示质量在[300，350)内的芒果个数，求X 的分布列及数学期望；(2)以各组数据的中间数代表这组数据的平均值，将频率视为概率，某经销商来收购芒果，该种植园中还未摘下的芒果大约还有10 000个，经销商提出如下两种收购方案：A ：所有芒果以10元/千克收购；B ：对质量低于250克的芒果以2元/个收购，高于或等于250克的以3元/个收购． 通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？解：(1)9个芒果中，质量在[250，300)和[300，350)内的分别有6个和3个．则X 的可能取值为0，1，2，3.P (X ＝0)＝C 36C 39＝2084，P (X ＝1)＝C 26C 13C 39＝4584，P (X ＝2)＝C 16C 23C 39＝1884，P (X ＝3)＝C 33C 39＝184.所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×2084＋1×4584＋2×1884＋3×184＝1.(2)设选择方案A 可获利y 1元，则y 1＝(125×0.002＋175×0.002＋225×0.003＋275×0.008＋325×0.004＋375×0.001)×50×10 000×10×0.001＝25 750.设选择方案B ，从质量低于250克的芒果中获利y 2元，从质量高于或等于250克的芒果中获利y 3元，则y 2＝(0.002＋0.002＋0.003)×50×10 000×2＝7 000. y 3＝(0.008＋0.004＋0.001)×50×10 000×3＝19 500. y 2＋y 3＝7 000＋19 500＝26 500.由于25 750<26 500，故B 方案获利更多，应选B 方案．[B 组 大题增分专练]1．(2018·合肥第一次质量检测)2014年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》．某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始，高考不再分文理科，语文、数学、英语三科为必考科目，考生从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考，其中物理、化学、生物为自然科学科目，思想政治、历史、地理为社会科学科目，假设某位考生选考这六个科目的可能性相等．(1)求这位考生所选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率；(2)已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目，若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获A 等的概率都是45，所选的自然科学科目考试的成绩获A 等的概率都是34，且所选的各个科目的考试成绩相互独立，用随机变量X表示他所选的三个科目中考试成绩获A 等的科目数，求X 的分布列和数学期望．解：(1)记“这位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件M ， 则P (M )＝1－C 33C 36＝1－120＝1920，所以这位考生选考的三个科目中至少有一个自然科学科目的概率为1920.(2)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3. 因为P (X ＝0)＝15×⎝⎛⎭⎫142＝180，P (X ＝1)＝45×⎝⎛⎭⎫142＋15×C 12×14×34＝18， P (X ＝2)＝45×C 12×14×34＋15×⎝⎛⎭⎫342＝3380，P (X ＝3)＝45×⎝⎛⎭⎫342＝920，所以X 的分布列为所以E (X )＝0×180＋1×1080＋2×3380＋3×3680＝2.3.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p (0＜p ＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )，求f (p )的最大值点p 0.(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(ⅰ)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；(ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p )＝C 220p 2(1－p )18.因此f ′(p )＝C 220[2p (1－p )18－18p 2(1－p )17]＝2C 220p (1－p )17(1－10p )．令f ′(p )＝0，得p ＝0.1.当p ∈(0，0.1)时，f ′(p )>0；当p ∈(0.1，1)时，f ′(p )<0.所以f (p )的最大值点为p 0＝0.1. (2)由(1)知，p ＝0.1.(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ～B (180，0.1)， X ＝20×2＋25Y ，即X ＝40＋25Y . 所以EX ＝E (40＋25Y )＝40＋25EY ＝490.(ii)如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元． 由于EX >400，故应该对余下的产品作检验．3．2017年央视3·15晚会曝光了一些饲料企业瞒天过海地往饲料中非法添加各种“禁药”，包括“人用西药”，让所有人惊出一身冷汗．某地区质量监督部门对该地甲、乙两家畜牧用品生产企业进行了突击抽查，若已知在甲企业抽查了一次，抽中某种动物饲料的概率为34，用数字1表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中；在乙企业抽查了两次，每次抽中该动物饲料的概率为23，用数字2表示抽中该动物饲料产品，用数字0来表示没有抽中．该部门每次抽查的结果相互独立．假设该部门完成以上三次抽查．(1)求该部门恰好有一次抽中动物饲料这一产品的概率；(2)设X 表示三次抽查所记的数字之和，求随机变量X 的分布列和数学期望． 解：记“恰好抽中一次动物饲料这一产品”为事件A ，“在甲企业抽中”为事件B ，“在乙企业第一次抽中”为事件C ，“在乙企业第二次抽中”为事件D ，则由题意知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23.(1)因为A ＝B C －D －＋B －C D －＋B －C －D ，所以P (A )＝P (B C －D －＋B －C D －＋B －C －D )＝P (B C －D －)＋P (B －C D －)＋P (B －C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝736. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.所以P (X ＝0)＝P (B －C －D －)＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )]＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝136， P (X ＝1)＝P (B C －D －)＝P (B )[1－P (C )][1－P (D )]＝34×⎝⎛⎭⎫1－23×⎝⎛⎭⎫1－23＝112， P (X ＝2)＝P (B －C D －＋B －C －D )＝P (B CD )＋P (B －C －D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝19， P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D )＝34×23×⎝⎛⎭⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎫1－23×23＝13， P (X ＝4)＝P (BCD )＝[1－P (B )]P (C )P (D )＝⎝⎛⎭⎫1－34×23×23＝19， P (X ＝5)＝P (BCD )＝P (B )P (C )P (D )＝34×23×23＝13.故X 的分布列为 所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.4．交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为a 元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与车辆发生有责任道路交通事故的情况相联系，发生有责任交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车在下一年续保时的情况，统计得到下面的表格：以这60率，完成下列问题：(1)按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》中汽车交强险价格的规定，a ＝950.某同学家里有一辆该品牌同型号车且车龄刚满三年，记X 为该车在第四年续保时的费用，求X 的分布列与数学期望；(数学期望值保留到个位数字)(2)某二手车销售商专门销售这一品牌同型号的二手车，且将下一年的交强险保费高于基准保费的车辆记为事故车．假设购进并销售一辆事故车亏损5 000元，购进并销售一辆非事故车盈利10 000元．①若该销售商购进三辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；②若该销售商一次购进100辆(车龄已满三年)该品牌二手车，求他获得利润的期望值． 解：(1)由题意可知，X 的可能取值为0.9a ，0.8a ，0.7a ，a ，1.1a ，1.3a . 由统计数据可知：P (X ＝0.9a )＝16，P (X ＝0.8a )＝112，P (X ＝0.7a )＝112，P (X ＝a )＝13，P (X ＝1.1a )＝14，P (X＝1.3a )＝112.所以X 的分布列为 所以E (X )＝0.9a ×16＋0.8a ×112＋0.7a ×112＋a ×13＋1.1a ×14＋1.3a ×112＝11.9a 12＝11 30512≈942(元)．(2)①由统计数据可知，任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为13，则三辆车中至多有一辆事故车的概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－133＋C 1313⎝⎛⎭⎫232＝2027. ②设Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为－5 000，10 000.11 所以Y 的分布列为所以E (Y )＝－5 000×13＋10 000×23＝5 000(元)． 故该销售商一次购进并销售100辆(车龄已满三年)该品牌的二手车获得利润的期望值为100×E (Y )＝50(万元)．。
高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷01(参考答案)
2024年高考考前信息必刷卷（新题型地区专用）01数学·答案及评分标准（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
12345678DDBDADAA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
91011ADABCAC第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．513．①④14．①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）【解析】（1）当1a =时，函数31()ln 222f x x x x x =--+的定义域为(0,)+∞，求导得21()ln 212f x x x '=+-，（2分）令21()ln ,0212g x x x x =+->，求导得233111()x g x x x x-'=-=，（4分）当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>，则函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，()(1)0g x g ≥=，即(0,)∀∈+∞x ，()0f x '≥，当且仅当1x =时取等号，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，即函数()f x 的递增区间为(0,)+∞.（6分）（2）依题意，5(2)2ln 204f a =->，则0a >，（7分）由（1）知，当1x ≥时，31ln 2022x x x x--+≥恒成立，当1a ≥时，[1,)x ∀∈+∞，ln 0x x ≥，则3131()ln 2ln 202222f x ax x x x x x x x=--+≥--+≥，因此1a ≥；（9分）当01a <<时，求导得231()(1ln )22f x a x x '=+-+，令231()(1ln )22h x a x x =+-+，（11分）求导得()23311a ax h x x x x -=-='，当1x <<时，()0h x '<，则函数()h x ，即()f x '在上单调递减，当x ∈时，()(1)10f x f a ''<=-<，因此函数()f x 在上单调递减，当x ∈时，()(1)0f x f <=，不符合题意，所以a 的取值范围是[1,)+∞.（13分）16．（15分）【解析】（1）由题意得584018x =-=，422220y =-=；（4分）（2）由22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，得22100(40221820) 4.625 3.84158426040χ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（8分）（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为20624020⨯=+，记为1，2，来自非一线城市的人数为40644020⨯=+，（10分）记为a ，b ，c ，d ，选设事件A 为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,),(2,),(2,),(,),(,)a b c d a b c d a b a c ，(,),(,),(,),(,)a d b c b d c d ，事件(1,2),(1,),(1,),(1,),(1,),(2,),(2,)(2,),(2,)A a b c d a b c d 共有9个，（13分）93()155P A ==或63()1155P A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（15分）17．（15分）【解析】（1）因为//AD BC ，且22BC AD AB AB BC ===⊥，可得AD AB ==2BD ==，（2分）又因为45DBC ADB ∠=∠=︒，可得2CD ==，所以222BD DC BC +=，则CD BD ⊥，（4分）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，且CD ⊂平面BCD ，所以CD ⊥平面ABD ，又因为AB ⊂平面ABD ，所以CD AB ⊥；（6分）（2）因为CD ⊥平面ABD ，且BD ⊂平面ABD ，所以CD BD ⊥，（7分）如图所示，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，可得()1,0,1A ，()2,0,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，（9分）所以()0,2,0CD =- ，()1,0,1AD =--．设平面ACD 的法向量为(),,n x y z = ，则200n CD y n AD x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，令1x =，可得0,1y z ==-，所以()1,0,1n =-，（11分）假设存在点N ，使得AN 与平面ACD 所成角为60 ，（12分）设BN BC λ=uuu r uu u r，（其中01λ≤≤），则()22,2,0N λλ-，()12,2,1AN λλ=-- ，所以sin 60n ANn AN⋅︒==（13分）整理得28210λλ+-=，解得14λ=或12λ=-（舍去），所以在线段BC 上存在点N ，使得AN与平面ACD 所成角为60︒，此时14=BN BC ．（15分）18．（17分）【解析】（1）由已知得()11,0F -，22220000313434x y x y +=⇒=-（2分）则10122PF x ==+．所以当012x =时，194PF =；（5分）（2）设(),0M m ，在12F PF △中，PM 是12F PF ∠的角平分线，所以1122PF MF PF MF =，（6分）由（1）知10122PF x =+，同理20122PF x =-，（8分）即0012121122x m m x ++=--，解得014m x =，所以01,04M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过P 作PH x ⊥轴于H ．所以34PM MH PNOH ==．（10分）（3）记1F N P 面积的面积为S ，由（1）可得，(100001114423612S F M y y x x =⋅+=+=+()()02,00,2x ∈-⋃，则)20022S xx =+'-，（12分）当()()02,00,1x ∈-⋃时，0,S S '>单调递增；当)01,2x ∈时，0,S S '<单调递减．（16分）所以当01x =-时，S 最大．（17分）19．（17分）【解析】（1）由题意得124n a a a +++= ，则1124++=或134+=，故所有4的1减数列有数列1,2,1和数列3，1.（4分）（2）因为对于1i j n ≤<≤，使得i j a a >的正整数对(),i j 有k 个，且存在m 的6减数列，所以2C 6n ≥，得4n ≥.（6分）①当4n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以1234106m ≥+++=>.（7分）②当5n =时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m ≥.（8分）若6m =，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以4k ≤，不符合题意，所以6m >.（9分）③当6n ≥时，因为存在m 的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以6m >.综上所述，若存在m 的6减数列，则6m >.（10分）（3）若数列中的每一项都相等，则0k =，若0k ≠，所以数列A 存在大于1的项，若末项1n a ≠，将n a 拆分成n a 个1后k 变大，所以此时k 不是最大值，所以1n a =.（12分）当1,2,,1i n =- 时，若1i i a a +<，交换1,i i a a +的顺序后k 变为1k +，所以此时k 不是最大值，所以1i i a a +≥.若{}10,1i i a a +-∉，所以12i i a a +≥+，所以将i a 改为1i a -，并在数列末尾添加一项1，所以k 变大，所以此时k 不是最大值，所以{}10,1i i a a +-∈.（14分）若数列A 中存在相邻的两项13,2i i a a +≥=，设此时A 中有x 项为2，将i a 改为2，并在数列末尾添加2i a -项1后，k 的值至少变为11k x x k ++-=+，所以此时k 不是最大值，所以数列A 的各项只能为2或1，所以数列A 为2,2,,2,1,1,,1 的形式.设其中有x 项为2，有y 项为1，因为存在2024的k 减数列，所以22024x y +=，所以()2220242220242(506)512072k xy x x x x x ==-=-+=--+，（16分）所以，当且仅当506,1012x y ==时，k 取最大值为512072.所以，若存在2024的k 减数列，k 的最大值为512072.（17分）。
2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷附答案解析
2024年新课标Ⅰ卷高考数学考前押题试卷（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}{}{3,Z ,06A x x n n B x x ==∈=≤≤，则A B = （）A ．{1,2}B ．{3,6}C ．{0,1,2}D ．{0,3,6}2．若角α的终边位于第二象限，且1sin 2α=，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．12B ．12-CD．3．双曲线2221(0)y x m m-=>的渐近线方程为2y x =±，则m =（）A ．12B ．22CD ．24．已知在ABC 中，点D 在边BC 上，且5BD DC = ，则AD =（）A ．1566AB AC + B ．1566AC AB +uuur uu u r C ．1455AB AC + D ．4155AB AC+ 5．函数()21ex x f x -=的图象大致为（）A．B．C ．D．6．三个相同的圆柱的轴线123,,l l l ，互相垂直且相交于一点O ，底面半径为1.假设这三个圆柱足够的长，P 同时在三个圆柱内（含表面），则OP 长度最大值为（）A ．1B．2C．D．27．甲、乙两人进行一场游戏比赛，其规则如下：每一轮两人分别投掷一枚质地均匀的骰子，比较两者的点数大小，其中点数大的得3分，点数小的得0分，点数相同时各得1分．经过三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的条件下，乙也至少有一轮比赛得3分的概率为（）A ．209277B ．210277C ．211277D ．2122778．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且()1142,N 2n n n n n a a *-=+≥∈，若11a =，则（）A ．202431,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．20243,22S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．202452,2S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．20245,32S ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数12,z z ，下列结论正确的有（）A ．若120z z ->，则12z z >B ．若2212z z =，则12=z z C ．1212z z z z ⋅=⋅D ．若11z =，则12i z +的最大值为310．如图，点,,A B C 是函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>的图象与直线32y =相邻的三个交点，且ππ,0312BC AB f ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，则（）A ．4ω=B ．9π182f ⎛⎫=⎪⎝⎭C ．函数()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．若将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位，得到一个偶函数的图像，则θ的最小值为π2411．已知椭圆22143x y +=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 交椭圆于,P Q 两点，则（）A ．2PF Q △的周长为4B ．1PF 的取值范围是[]1,3C ．PQ 的最小值是3D ．若点,M N 在椭圆上，且线段MN 中点为()1,1，则直线MN 的斜率为34-第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出一个同时具有下列性质①②③的函数()f x ：，①()()()1212f x x f x f x =；②当()0,x ∈+∞时，()f x 为增函数；③()f x 为R 上偶函数.13．甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为．14．若关于x 的方程()2e e x xx a x +=存在三个不等的实数根，则实数a 的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15．已知函数()e xf x =．(1)求曲线()y f x =在0x =处的切线l 与坐标轴围成的三角形的周长；(2)若函数()f x 的图象上任意一点P 关于直线1x =的对称点Q 都在函数()g x 的图象上，且存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，求实数m 的取值范围．16．为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．(1)根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB 12AB AC A B ===，1AC BC ==(1)证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；(2)若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．18．已知,A B 是椭圆22:14x E y +=的左，右顶点，点()(),00M m m >与椭圆上的点的距离的最小值为1.(1)求点M 的坐标.(2)过点M 作直线l 交椭圆E 于,C D 两点（与,A B 不重合），连接AC ，BD 交于点G .（ⅰ）证明：点G 在定直线上；（ⅱ）是否存在点G 使得CG DG ⊥，若存在，求出直线l 的斜率；若不存在，请说明理由.19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足23n n S a +=；数列{}n b 满足121n n b b n ++=+，其中11b =.(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)对于给定的正整数()1,2,,i i n = ，在i a 和1i a +之间插入i 个数12,,,i i ii c c c ，使1,i i a c ，21,,,i ii i c c a + 成等差数列.（i ）求11212212n n n nn T c c c c c c =+++++++ ；（ii ）是否存在正整数m ，使得21123123m m m m b a m b T +-++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.1．D【分析】利用交集的定义即可求解.【详解】依题意，}{}{{}3,Z 060,3,6A B x x n n x x ⋂==∈⋂≤≤=.故选：D.2．D【分析】根据已知条件利用诱导公式确定πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再根据角α所属象限确定cos α=-，即可求解.【详解】由诱导公式有：πsin cos 2αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为角α的终边位于第二象限，则cos 2α=-，所以πsin cos 22αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：D.3．D【分析】借助渐近线的定义计算即可得.【详解】由题意可得21m =，又0m >，故2m =.故选：D.4．A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC 中，BC AC AB =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+ ，故选：A.5．A【分析】利用导数判断函数的单调性即可得到函数的大致图象.【详解】易知R x ∈，因为()()12ex x x f x --'=，令()0f x '=，得0x =，或2x =，则()(),02,x ∞∞∈-⋃+时，()0f x '<，()0,2x ∈时，()0f x '>，所以()f x 在(),0∞-和(2,)+∞上单调递减，在()0,2上单调递增，所以选项A 符合题意,故选：A.6．B【分析】根据给定条件，构造以线段OP 为体对角线的长方体，再求出OP 的最大值.【详解】令直线123,,l l l 两两确定的平面分别为,,αβγ，显然,,αβγ两两垂直，把三个圆柱围成的几何体等分为8个部分，由对称性知，考查其中一个部分，当线段OP 在平面α或β或γ内时，1OP =，当线段OP 不在,,αβγ的任意一个内时，线段OP 可视为一长方体的体对角线，要OP 最长，当且仅当此长方体为正方体，其中一个表面正方形在α内，对角线长为1，边长即正方体的棱长为22，体对角线长为22所以OP 长度最大值为2.故选：B 7．B【分析】先根据古典概型得出一轮游戏中，甲得3分、1分、0分的概率.进而求出三轮比赛，在甲至少有一轮比赛得3分的概率，以及事件三轮比赛中，事件甲乙均有得3分的概率.即可根据条件概率公式，计算得出答案.【详解】用(),a b 分别表示甲、乙两人投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包含6636⨯=个等可能的基本事件.其中，甲得3分，即a b >包含的基本事件有()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15个，概率为1553612p ==.同理可得，甲每轮得0分的概率也是512，得1分的概率为16.所以每一轮甲得分低于3分的概率为57111212p -=-=．设事件A 表示甲至少有一轮比赛得3分，事件B 表示乙至少有一轮比赛得3分，则事件A 表示经过三轮比赛，甲没有比赛得分为3分.则()333377C 1212P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()37138511121728P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭.事件AB 可分三类情形：①甲有两轮得3分，一轮得0分，概率为221355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②甲有一轮得3分，两轮得0分，概率为212355125C 1212576P ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；③甲有一轮得3分，一轮得0分，一轮得1分，概率为33355125A 12126144P ⨯⨯⨯==.所以()12312512525175576576144288P AB P P P =++=++=175288=，所以()()()175210288|13852771728P AB P B A P A ===.故选：B ．8．A【分析】先对1n a)22n ≥+≥()*21N n n ≥-∈，进而()()()()211111223212232121n a n n n n n n ⎛⎫≤<=-≥ ⎪----⎝⎭-，应用裂项相消法即可求解.【详解】因为11a =，则211402na a =+>，即20a >，结合()1142,N 2n n nn n a a *-=+≥∈，可得0n a >，则()221112422222n n n n n n a a a --⎛⎫⎛⎫-==+≥+≥ ⎝⎝，)22n≥+≥()22n≥，22，…()22n≥，()21n≥-()()21212n n n+-=-≥，当1n=1=()*21Nn n≥-∈，所以()()()()211111223212232121na nn n n nn⎛⎫≤<=-≥⎪----⎝⎭-，所以()1111111113131112335232122122212 nS an n n n⎛⎫⎛⎫<+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-<⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故202432S<，因为0na>，所以202412202411S a a a a=++⋅⋅⋅+>=，所以2024312S<<．故选：A．【点睛】数列与不等式结合，关键是看能不能求和，不能的要对通项公式进行放缩后进行. 9．BCD【分析】利用特殊值判断A选项；由复数的运算判断BCD.【详解】若复数122i,1iz z=+=+，满足12z z->，但这两个虚数不能比大小，A选项错误；若2212z z=，则2212z z-=，即()()1212z z z z+-=，得12z z=或12z z=-，所以12=z z，B选项正确；设()11111i R,z a b a b=+∈，()22222i R,z a b a b=+∈，则()()()()12112212121221i i iz z a b a b a a b b a b a b⋅=++=-++，12||z z⋅==12||||z z==，所以1212z z z z⋅=⋅，C选项正确；若11z=，得22111a b+=，有111a-≤≤，111b-≤≤，则12i3z+===≤，1b=时取等号，则12i z +的最大值为3，D 选项正确.故选：BCD.10．ACD【分析】令()f x =,,A B C x x x 根据π3BC AB -=求得4ω=，根据π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭求得()f x 的解析式，再逐项验证BCD 选项.【详解】令()()sin 2f x x ωϕ=+得，π2π3x k ωϕ+=+或2π2π3x k ωϕ+=+，Z k ∈，由图可知：π2π3A x k ωϕ+=+，π2π+2π3C x k ωϕ+=+，2π2π3B x k ωϕ+=+，所以1π2π3C B BC x x ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，1π3B A AB x x ω=-=⋅，所以π12π2π33BC AB ω⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以4ω=，故A 选项正确，所以()()sin 4f x x ϕ=+，由π012f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭且π12x =-处在减区间，得πsin 03ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π3k ϕ-+=+，Z k ∈，所以4π2π3k =+ϕ，Z k ∈，所以()4π4ππsin 42πsin 4sin 4333f x x k x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，9π9ππ1sin 8232f ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误.当ππ,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π5ππ42π333x ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为sin y t =-在5ππ,2π33t ⎛⎫∈+ ⎝⎭为减函数，故()f x 在ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故C 正确；将函数()f x 的图象沿x 轴平移θ个单位得()πsin 443g x x θ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，（0θ<时向右平移，0θ>时向左平移），()g x 为偶函数得ππ4π32k θ+=+，Z k ∈，所以ππ244k θ=+，Z k ∈，则θ的最小值为π24，故D 正确.故选：ACD.11．BCD【分析】利用椭圆的定义可判定A ，利用焦半径公式可判定B ，利用椭圆弦长公式可判定C ，利用点差法可判定D.【详解】由题意可知椭圆的长轴长24a =，左焦点()11,0F -，由椭圆的定义可知222221148PF Q C PF QF PQ PF QF PF QF a =++=+++== ，故A 错误；设()()1122,,,P x y Q x y ，11142PF x ===+，易知[][]112,242,6x x ∈-⇒+∈，故B 正确；若PQ 的斜率存在，不妨设其方程为：y kx k =+，联立椭圆方程()2222221438412043x y k x k x k y kx k ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，则2122212284341243k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以223334343PQ k k ===+>++，若PQ 的斜率不存在，则其方程为=1x -，与椭圆联立易得3PQ =，显然当PQ 的斜率不存在时，min 3PQ =，故C 正确；设()()3344,,,M x y N x y ，易知()()()()2233343443342244143043143x y x x x x y y y y x y ⎧+=⎪+-+-⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩34343434343434PQ y y y y y y k x x x x x x +-+⇒⋅=-=⋅+-+，若MN 中点为()1,1，则3443324PQ x x y y k +=+=⇒=-，故D 正确.故选：BCD12．()2f x x =（答案不唯一）【分析】利用基本初等函数的性质，逐一分析各性质即可得解.【详解】由性质①可联想到幂函数，由性质②可知该幂函数的指数大于0，由性质③可考虑将该幂数函数的自变量加上绝对值，或指数为偶数，或指数为分式形式且分子为偶数，综上，可考虑()()0af x x a =>或()af x x =（a 为正偶数）或()nm f x x =（n 为偶数，0nm>），不妨取2a =，得()2f x x =.故答案为：()2f x x =（答案不唯一）.13．35##0.6【分析】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，根据条件概率公式分别求解()P A 、()P AB 的值，进而计算可得答案．【详解】根据题意，设甲获胜为事件A ，比赛进行两局为事件B ，()P A 122221220C 3333327=⨯+⨯⨯⨯=，22224()C 339P AB =⨯⨯=，故4()1239(|)20()20527P AB P B A P A ====．故答案为：35．14．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【分析】0x =不是方程的根，当0x ≠时，变形为e e x x x a x =-，构造()e ex x xf x x =-，0x ≠，求导得到函数单调性，进而画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】当0x =时，()e 0xx a x +=，2e 1x =，两者不等，故0不是方程的根，当0x ≠时，e ex x xa x =-，令()e ,0xg x x x =≠，则()()2e 1x x g x x ='-，当0x <，01x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，且当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，画出()e ,0xg x x x=≠的图象如下：令()e xxh x =，0x ≠，则()1e xxh x ='-，当0x <，01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减，且当0x <时，()0h x <，当0x >时，()0h x >，画出()e xxh x =，0x ≠的函数图象，如下：令()e e x x x f x x =-，0x ≠，则()()()22e 11e 11e e x x x x x x f x x x x -⎛⎫-=-=-+ ⎝'⎪⎭，由于2e 10ex x x +>在()(),00,∞∞-⋃+上恒成立，故当0x <，01x <<时，()0f x '<，()e e x xxf x x =-单调递减，当1x >时，()0f x '>，()e ex x xf x x =-单调递增，其中()11e ef =-，从()(),g x h x 的函数图象，可以看出当x →-∞时，()f x ∞→+，当0x <且0x →时，()f x ∞→-，画出函数图象如下，要想e ex x xa x =-有三个不同的根，则1e ,e a ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭.故答案为：1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题或函数零点，一般有三个方法，一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.15．(1)2(2)(,∞--【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程,进而求得l 与x 轴的交点与y 轴的交点，计算可得结果；（2）根据对称性求函数()g x 的解析式，将问题转化为存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，构造函数()2e e 2e x xF x x -=--，转化为函数的最值问题并求解.【详解】（1）由()e x f x =，得()()01,e xf f x '==，所以切线l 的斜率(0)1k f '==.所以切线l 的方程为1y x -=，即1y x =+.令0x =，得1y =，令0y =，得=1x -，所以切线l 与x 轴交于点(1,0)-，与y 轴交于点(0,1)，所以切线l 与坐标轴围成的三角形的周长为112+=.（2）设(,)Q x y ，则(2,)P x y -，由题意知(2,)P x y -在()f x 的图象上，所以2e x y -=，所以()2e xg x -=.由()()2e f x x m g x -≥+，得()()2e f x g x x m --≥，即2e e 2e x x x m ---≥，因为存在[)0,1x ∈，使()()2e f x x m g x -≥+成立，所以存在[)0,1x ∈，使2e e 2e x x x m ---≥成立，设()2e e 2e x x F x x -=--，则()2e e 2e x xF x -='+-，又()2e 0F x ≥'=，当且仅当1x =时等号成立，所以()F x 单调递增，所以当[)0,1x ∈时，()(1)2e F x F <=-，可得2e m <-，即实数m 的取值范围是(,2e).∞--16．(1)67（分钟）(2)分布列见解析；期望为1【分析】（1）根据平均数等于每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和求解；（2）依题意求出随机变量ξ的分布列，并利用数学期望公式求解.【详解】（1）由题知：各组频率分别为：0.15，0.25，0.3，0.2，0.1，日均阅读时间的平均数为：300.15500.25700.3900.21100.167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分钟）（2）由题意，在[60，80），[80，100），[100，120]三组分别抽取3，2，1人ξ的可能取值为：0，1，2则304236C C 1(0)C 5P ξ===2142363(1)5C C P C ξ===1242361(2)5C C P C ξ===所以ξ的分布列为：ξ012P153515()1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=17．(1)证明见解析(2)427【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【详解】（1）取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABCA B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =22211AC AA A C +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==-⎪⎩ ，取x =0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>=⋅=若0a =，则21sin 7θ=，若0a≠，则42sin 7θ==，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C427.18．(1)()3,0；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，【分析】（1）设()00,P x y ，利用两点间距离公式得PM =然后根据330,22m m ≤分类讨论求解即可；（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理得121265y y ty y +=-，写出直线AC ，BD 的方程，进而求解即可；（ⅱ）由题意点G 在以AB为直径的圆上，代入圆的方程求得4,33G ⎛± ⎝⎭，写出直线AC 的方程，与椭圆联立，求得点C 的坐标，进而可得答案.【详解】（1）设()00,P x y 是椭圆上一点，则220044x y +=，因为()022PM x =-≤≤，①若min 30,12m PM <≤=，解得0m =（舍去），②若min3,12m PM >=，解得1m =（舍去）或3m =，所以M 点的坐标位()3,0.（2）（ⅰ）设直线()()1122:3,,,,l x ty C x y D x y =+，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224650t y ty +++=，所以12122265,44t y y y y t t +=-=++，所以121265y y ty y +=-，①由216800t ∆=->，得t >t <，易知直线AC 的方程为()1122y y x x =++，②直线BD 的方程为()2222y y x x =--，③联立②③，消去y ，得()()()()121212221211212552221x y ty y ty y y x x x y ty y ty y y ++++===--++，④联立①④，消去12ty y ，则()()12212155265526y y y x x y y y -+++==---++，解得43x =，即点G 在直线43x =上；（ⅱ）由图可知，CG DG ⊥，即AG BG ⊥，所以点G 在以AB 为直径的圆上，设4,3G n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则22443n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以3n =±，即4,3G ⎛ ⎝⎭.故直线AC的方程为)2y x =+，直线AC 的方程与椭圆方程联立，得291640x x +-=，因为2A x =-,所以412929C x ⎛⎫=-⋅-= ⎪⎝⎭，所以C y =故l MC k k ==19．(1)()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N (2)（i ）323223n nn T +=-⨯；（ii ）存在，1m =【分析】（1）根据,n n S a 的关系式可得{}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，再根据121n n b b n ++=+可分别对{}n b 的奇数项和偶数项分别求通项公式可得()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）利用定义可求得新插入的数列公差()231n nd n =-+，求得23nk n nc =并利用错位相减法即可求出323223n nn T +=-⨯；（ii ）求得1211132313123m m m m m m b a m m m b T ++-+-+=+-+---，易知对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以不是数列{}n a 中的项；又()*n b n n =∈N ，分别对其取值为1132,313m mm m +-+=-+时解方程可求得1m =.【详解】（1）由23n n S a +=①，当2n ≥时，1123n n S a --+=②，①-②得()11120.23n n n n n a a a a a n --+-=∴=≥，当1n =时，11123,1a a a +=∴=，{}n a ∴是首项为1，公比为13的等比数列，故()1*13n n a n -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，由121n n b b n ++=+③.由11b =得22b =，又1223n n b b n +++=+④.④-③得22n n b b +-=，{}n b 的所有奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列：所有偶数项构成首项为2，公差为2的等差数列.得()()()*212n 11221,2122,n n b n n b n n b n n -=+-⨯=-=+-⨯=∴=∈N .综上可得()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ；（2）（i ）在n a 和1n a +之间新插入n 个数12,,,n n nn c c c ，使121,,,,,n n n nn n a c c c a + 成等差数列，设公差为n d ，则()()111123321131nn n n n n a a d n n n -+⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+-++，则111122(1)2,33(1)33(1)23n nnk n n nk n n n n k k n n n n c a kd c n n --=+⎛⎫=+=-∴=-⋅= ⎪++⎝⎭∑.112122122122333n n n nn nn T c c c c c c ⎛⎫=+++++++=+++ ⎪⎝⎭⑤则23111223333n n n T +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ ⑥⑤-⑥得：21111112111233332211333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫-⨯ ⎪+⎛⎫=+++=-=-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭，所以可得323223n nn T +=-⨯（ii ）由（1）()1*1,3n n n a b n n -⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭N ，又323223n nn T +=-⨯，由已知1211132313123m m m m m m b a m m m b T ++-+-+=+-+---，假设11313m mm m +-+-+是数列{}n a 或{}n b 中的一项，不妨设()()()()1*130,,113313m m mm k k m k m k m +-+=>∈∴--=-⋅-+N ，因为()*10,30mm m -≥>∈N ，所以13k <≤，而1113n n a -⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，所以11313m mm m +-+-+不可能是数列{}n a 中的项.假设11313m mm m +-+-+是{}n b 中的项，则*k ∈N .当2k =时，有13m m -=，即113m m -=，令()()()111123,13333m m m m m m m m f m f m f m ++---+=+-=-=，当1m =时，()()12f f <；当2m ≥时，(1)()0,(1)(2)(3)(4)f m f m f f f f +-<<>>> ，由()()110,29f f ==知1113m m +-=无解.当3k =时，有10m -=，即1m =.所以存在1m =使得113313mm m m +-+=-+是数列{}n b 中的第3项；又对于任意正整数m 均有1131313m m m m +-+<≤-+，所以4k ≥时，方程11313m mm k m +-+=-+均无解；综上可知，存在正整数1m =使得21123123m m m m b a m b T +-++---是数列{}n b 中的第3项.【点睛】关键点点睛：求解是否存在正整数m ，使得21123123m m m m b a m b T +-++---恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项时，关键是限定出1131313m mm m +-+<≤-+，再对数列{}n a 的取值范围进行限定可得不是数列{}n a 中的项，再由{}n b 只能取得正整数可知只需讨论113213mm m m +-+=-+或3有无解即可求得结论.。
数学-2024届高考考前最后一卷(新课标卷)(全解全析及评分标准)
2024届高考考前最后一卷（新课标卷）数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B 【解析】因为2{|5240}{0,1,2,3,4,8}A x x x N ,,{2,0,2,4},B 所以{0,2,4}A B ．故选B ． 2．C 【解析】令i(,)z a b a b R ，则i 2(i)3i 1a b a b ，所以23b b ，解得1b .故选C ．3．D 【解析】因为12AC CB ，所以1(),2OC OA OB OC 所以3115(1,2)(3,0)(,2)2222OC OA OB ,所以54(,33OC ，所以点C 的坐标为54(,33．故选D ． 4．A 【解析】用抽签的方式确定这四个节目的出场顺序有44A 种方法，小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的排列有2223A A 种方法，由古典概型，得小提琴合奏与管弦乐合奏不相邻的概率222344A A 1A 2P ．故选A ． 5．D【解析】由题意，知34a .由3a ，10，62a 成等差数列，得63202aa ，所以632a ，所以等比数列{}n a 的公比2q ，所以3121a a q ，438a a q ，47364a a q ，所以14773a a a .故选D ．6．C 【解析】设椭圆C 的半焦距为(0)c c ，因为点Q 在x 轴上，且1223PQ PF PF ，所以13，所以114 ．由13 ，得121233PQ PF PF ，所以1212()()33PQ PF PF PQ ，即121233F Q QF,所以122F Q QF ，即12||2||F Q QF .因为PQ 平分12F PF ，所以1122||||2||||1PF F Q PF QF . 又12||||2PF PF a ，所以14||3a PF，22||3a PF ． 在12PF F △中，由余弦定理的推论，得222222221212122124220()((2)4||||||1339cos 42162||||42339a a a c c PF PF F F F PF a a a PF PF，化简，得2223c a ，即椭圆C 的离心率e ．故选C ．7．B 【解析】二次函数2y x x 图象的对称轴是直线2x，当2x时，2y x x 单调递减，2e xxy 也单调递减，当2x时，2y x x 单调递增，2e xxy 也单调递增.因为2e nnn a 中的自变量n 为正整数，所以由*10,n n a a N ，得1921222，所以2119 ，所以“21 ”是“*10,n n a a N ”的必要不充分条件．故选B ． 8．A 【解析】1e 1ln(0)x x m m m等价于ln e 1ln(1)ln x m x m ， 令ln e x m t ，则1ln(1)(ln )t x t x ，即ln ln(1)1t t x x ． 而ln y x x 在(0,) 上单调递增，所以1t x ，即e 1x m x ，即1e xx m ． 令1()((1,))e x x f x x，则2()exxf x ，当(1,2)x 时，()0,()f x f x 单调递增， 当(2,)x 时，()0,()f x f x 单调递减，所以()f x 在2x 处取得极大值，即最大值为21(2)e f ，所以21e m．故选A ． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2023届高考数学考前押题卷(山东适用)
2023年高考考前押题卷（山东适用）数学第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．1．集合|{|1|2}A x x =-< 2{4}|0B x x =-≥ 则()R AB =（ ）A ．[1,1]-B ．(1,2)-C ．[1,2)D ．(2,1]-2．若复数z 满足2(1)34i z i +=+ 则在复平面内z 的共轭复数所对应的点位于（ ） A ．第二象限 B ．第一象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知3sin()35πα+= 则sin(2)6πα+=（ ） A.2425 B.2425- C.725D.725- 4.已知向量(3,4),(8,)a b m == 且||||a b a b +=- 则||b =（ ） A.6 B.8 C.10 D.125.等差数列{}n a 中 首项1a 和公差d 且1lg a 3lg a 6lg a 成等差数列 则数列1lg a 3lg a6lg a 的公差为（ ）A.lg dB.2lg3 C.3lg 2D.lg 2d 6. 蹴鞠(如图所示),又名球、蹴圆、筑球、踢圆等,有用脚蹴、蹋、踢的含义,鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而赋鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动类似今日的足球2006年5月20日 蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录,已知鞠的表面上有四个点A B C D 四面体ABCD 的体积为26BD 经过该鞠的中心 且1AB BC == AB BC ⊥ 则该鞠的表面积为（ ）A.2πB.16πC.8πD.4π7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 2F ,以12F F 为直径的圆依次交双曲线于A B C D 四点,直线2CF 交双曲线于点C ,E ,且222CF F E =,则双曲线的离心率为（ ）A.3B.43 C.38．已知a =ln3b = 43c =则（ ） A.a c b >> B.c a b >> C.a b c >> D.c b a >>二、多项选择题：本题共4小题 每小题5分 共20分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得5分 部分选对的得2分 有选错的得0分．9．袋中装有除颜色外完全相同的3个红球和(3)n n >个白球 从袋中一次抓出2个球 记事件A =“两球同色” 事件B =“两球异色” 事件C =“至少有一红球” 则（ ） A ．事件A 与事件B 是对立事件B ．事件A 与事件B 是相互独立事件C ．若()()P A P B = 则5n =D ．若()()P A P B = 则7()12P C =10．如图 将一副三角板拼成平面四边形 将等腰直角ABC ∆沿BC 向上翻折 得三棱锥A BCD - 设2CD = 点,E F 分别为棱,BC BD 的中点 M 为线段AE 上的动点 下列说法正确的是（ ）A ．不存在某个位置 使AC CD ⊥B ．存在某个位置 使AB CD ⊥C ．当三棱锥A BCD -体积取得最大值时 AD 与平面ABC 6D ．当AB AD =时 CM FM +422+11．在平面直角坐标系xOy 中 由直线4x =-上任一点P 向椭圆22143x y +=作切线 切点分别为A B 点A 在x 轴的上方 则（ ） A ．APB ∠恒为锐角B ．当AB 垂直于x 轴时 直线AP 的斜率为12 C ．||AP 的最小值为4D ．存在点P 使得()0PA PO OA +⋅=12．已知函数()f x 的定义域为,(1)R f x -为奇函数 (1)f x +为偶函数 当(1,1)x ∈-时2()1f x x =- 则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为周期函数且最小正周期为8B ．73()24f =C ．()f x 在(6,8)上为增函数D ．方程()lg 0||f x x +=有且仅有7个实数解第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题 每小题5分． 13.已知1sin()33x π-= 则sin(2)6x π-=________. 14.已知函数32()26y f x x x x ==+- 则过点(1,3)-且与曲线()y f x =相切的切线方程为________.15.两动直线1l ：50mx ny m n +--= 2l ：50nx my m n -+-=（,m n 不同时为0）分别与圆C ：22(2)(3)16x y -+-=交于A B 和C D 点 连接AC 、CB 、BD 、DA 围成一个四边形ACBD 则该四边形ACBD 面积的最大值为________.16.菱形ABCD 中 4AB AD == 将ABD ∆绕BD 旋转60︒ 形成一个空间四面体ABCD 该四面体外接球的球心O 到AC BD 的距离相等 则该外接球的表面积为________. 四、解答题：本大题共6个大题 共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足295S a = 23a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）如果数列{}n a 的各项都不为0 数列{}n b 满足12n n n b a a += 求数列{}n b 的前n 项和n T .18.在ABC ∆中 角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c 若3b = 1c =4sin cos 0C B +=.（1）求cos B ； （2）求ABC ∆的面积.19.如图 四棱锥P ABCD -中 //AD BC 3AB AD AC === 4PA BC == M 为线段AD 上一点 2AM MD = N 为PC 的中点 四面体N BCM -的体积为453.（1）证明：//MN 平面PAB ；（2）求二面角A PC M --的平面角的余弦值.20.甲、乙两人拿两颗质地均匀的骰子做抛掷游戏 规则如下：由一人同时掷两颗骰子 观察两颗骰子向上的点数之和 若两颗骰子的点数之和为两位数 则由原掷骰子的人继续掷 若掷出的点数之和不是两位数 就由对方接着掷 第一次由乙开始掷 设第n 次由甲掷的概率为n P .（1）求第3次由甲掷的概率3P ； （2）请用n 表达n P .21.已知抛物线C ：22(0)y px p => 其焦点记为F 点0(,)N x p 在C 上 过点N 的切线在x 轴上的截距为2- 过F 的一条直线l 与C 交于A B 两点.BCPAN M（1）求抛物线C 的方程；（2）若在y 轴上有一点P 使得PAB ∆是以P 为直角顶点的等腰直角三角形 求出该等腰直角三角形的面积S 并求出此时直线l 的斜率平方值.22.已知222(ln )2()2ax x e x x ef x x -+-= a R ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若b R ∃∈ 使得方程()0f x b -=有3个根 证明：函数()f x 有且只有一个零点.。