三角函数综合应用50题
高一数学 知识点 三角函数 诱导公式 常考题 经典题 50道 含答案和解析
高一数学三角函数诱导公式50道常考题经典题一、单选题1.若角的终边上有一点(-4,a)，则a的值是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】任意角的三角函数的定义，诱导公式一【解析】【解答】由三角函数的定义知：，所以，因为角的终边在第三象限，所以<0,所以的值是。
【分析】三角函数是用终边上一点的坐标来定义的，和点的位置没有关系。
属于基础题型。
================================================================================2.若,则的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【解答】即，所以，，=，故选C。
【分析】简单题，此类题解的思路是：先化简已知条件，再将所求用已知表示。
================================================================================3.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】，故选C.================================================================================4.函数图像的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】诱导公式一，余弦函数的图象，余弦函数的对称性【解析】【分析】，由y=cosx的对称轴可知，所求函数图像的对称轴满足即，当k=-1时，，故选A.================================================================================5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【考点】诱导公式一，同角三角函数间的基本关系，弦切互化【解析】【解答】因为，所以，可得，故C符合题意.故答案为：C .【分析】利用诱导公式将已知条件化简可求出tan，将中分子分母同时除以cos.================================================================================6.函数（）A. 是奇函数B. 是偶函数C. 既是奇函数，又是偶函数D. 是非奇非偶函数【答案】A【考点】奇函数，诱导公式一【解析】【解答】∵，∴,∴是奇函数．故答案为：A【分析】首先利用诱导公式整理化简f(x) 的解析式，再根据奇函数的定义即可得证出结果。
高中三角函数经典例题50道
高中三角函数经典例题50道1.求解三角形中角度的相关问题是高中数学学习中的重要内容。
例如，考虑正三角形ABC，已知∠A=60°，求∠B和∠C的大小。
2.在三角形ABC中，已知∠A=30°，∠C=60°，求∠B的大小。
3.若在直角三角形ABC中，∠A=30°，求∠C的大小。
4.在锐角三角形ABC中，已知边b=5，c=10，∠A=30°，求边a的长度。
5.在钝角三角形ABC中，边a=6，b=10，∠A=120°，求边c的长度。
6.若在任意三角形ABC中，边a=8，b=6，∠A=45°，求∠B的大小。
7.在直角三角形ABC中，边a=1，b=√3，求∠A和∠B 的大小。
8.若在锐角三角形ABC中，已知边a=5，b=7，求∠A 和∠B的大小。
9.在任意三角形ABC中，边a=10，b=15，∠A=30°，求∠B的大小。
10.若在直角三角形ABC中，边b=4，c=5，求∠A和∠C的大小。
11.在锐角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，∠A=60°，求∠C的大小。
12.若在任意三角形ABC中，边a=7，c=9，∠A=45°，求边b的长度。
的长度。
14.在锐角三角形ABC中，已知∠A=45°，∠B=60°，求∠C的大小。
15.若在任意三角形ABC中，边a=12，b=16，求∠A和∠B的大小。
16.在直角三角形ABC中，已知边b=8，c=10，求∠A和∠C的大小。
17.在锐角三角形ABC中，边a=5，b=8，∠C=60°，求边c的长度。
18.若在任意三角形ABC中，边a=7，b=10，∠B=30°，求边c的长度。
19.在直角三角形ABC中，边a=2，c=√5，求∠A和∠B的大小。
20.在锐角三角形ABC中，已知边b=3，c=4，∠A=45°，求∠C的大小。
21.若在任意三角形ABC中，边a=9，c=12，∠C=45°，求边b的长度。
三角函数解答题50道试题(1)
三角函数解答题50道1. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知向量m - cos A ,cos B , n = 2c +b ,a ,且 m ⊥ n 。
（Ⅰ） 求角A 的大小；（Ⅱ） 若a =4 3，b +c =8，求△ABC 的面积。
2．已知向量 a =sin x , 32, b =12,cos x ,f (x )= a ⋅ b .(1)求函数y =f (x )的解析式;(2)求函数y =f (x )的单调递增区间.3.已知函数f (x )= 32sin2x -cos 2x - 12，x ∈R ．（1）求函数f (x )的最小正周期；（2）设ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c =3，f (C )=9，sin B =2sin A ，求a ,b 的值．4．在△ABC 中 ，角 A ,B , C 的对边分别为a ,b ,c 且满足(2c -a )cosB -b cos A =0.（1）若b =7,a +c =13，求此三角形的面积;（2）求3sin A +sin (C - π6)的取值范围。
5．已知 a =(2cos x +23sin x ,1)， b =(y ,cos x )，且 a // b ．（I ）将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；（II ）记f (x )的最大值为M ，a ,b ,c 分别为△ABC 的三个内角A ,B ,C 对应的边长，若fA2=M ,且a =2，求bc 的最大值．6．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a -2c sin A =0．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若c =2，求a +b 的最大值.7．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c 且a sin A +b sin B =c sin C + 2a sin B(I)求角C;(II)求 3sin A -cosB + π4的最大值.8．在△ABC 中，a ,b ,c 分别为三个内角A ,B ,C 的对边，锐角B 满足sin B = 53．(1)求sin2B +cos 2 A +C2的值；(2) 若b = 2，当ac 取最大值时，求cosA + π3的值．9．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知 a 3cos A= c sin C ,(Ⅰ)求y =f (x )的大小;(Ⅱ)若△ABC ,求△ABC 的周长的取值范围.10．设λ∈R ,f (x )=cos x λsin x -cos x +cos 2 π2-x 满足f- π3=f 0.(1) 求函数f (x )的单调递增区间;(2)设△ABC 三内角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c 且 a 2+c 2-b 2a 2+b 2-c 2= c 2a -c,求f (x )在 0,B 上的值域.11．在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别是内角A ,B ,C 所对边长,且满足sin 2A =sin ( π3+B )⋅sin ( π3-B )+sin 2B .(1)求角A 的大小;(2)若 AB ⋅ AC =12,a =27,求b ,c (b <c )12．函数f (x )=6cos 2ωx 2+ 3sin ωx −3(ω>0)的最小正周期是8(Ⅰ)求ω的值及函数f (x )的值域;(Ⅱ)若f (x 0)= 8 35,且x 0∈(- 103, 23),求f (x 0+1)的值.13．已知△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,设向量m =(c -2b ,a ),n =(cos A ,cos C ),且 m ⊥ n .(1)求角A 的大小;(2)若 AB ⋅AC =4,求边长a 的最小值.14．已知向量 m =(sin B ,1-cos B ),向量 n =(2,0),且 m 与 n 所成角为 π3,其中A 、B 、C 是△ABC 的内角(Ⅰ)求角B 的大小;(Ⅱ)求sin A +sin C 的取值范围.15．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，满足:c cos B +b cos C =4a cos A .(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)若 AB ⋅AC =b +c ,求△ABC 的面积S 的最小值.16．已知函数f x =cos ωx ( 3sin ωx −cos ωx )+ 12(ω>0)的周期为2π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且满足2b cos A =2c −3a ,求f (B )的值.17．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,C = π3,b =5,△ABC 的面积为10 3.(Ⅰ)求a ,c 的值; (Ⅱ)求sinA + π6的值.18．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足 a +c b = sin A −sin Bsin A −sin C.(Ⅰ)求角C ;(Ⅱ)求 a +bc的取值范围.19．已知a =( 12, 12sin x +32cos x ),b =(1,y ),且a//b .设函数y =f (x )(1) 求函数y =f (x )的解析式;(2) 若在锐角△ABC 中,fA − π3= 3,边BC = 3,求△ABC 周长的最大值.20．已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边, 2b -c a = cos Ccos A.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)求函数y = 3sin B +sinC - π6的值域.21．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知 cos A cos B= b a ,且∠C = 2π3.(Ⅰ)求角A ,B 的大小;(Ⅱ)设函数f (x )=sin (x +A )+cos x ,求f (x )在- π6, π3上的值域.22．已知向量 a =sin 2 π+2x4,cos x +sin x , b =(4sin x ,cos x -sin x ),f (x )= a ⋅ b (Ⅰ)求f (x )的解析式;(Ⅱ)求由f (x )的图象、y 轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积.23．已知向量 a = sin ωx ,1, b =3cos ωx , 12cos2ωx , ω>0,函数f x = a ⋅ b 的最小正周期为π.(1)求ω及函数的单调递减区间;(2)将函数y =f (x )的图象向左平移 π12个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 12倍,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象.求g (x )在 0, 5π24上的值域.24．已知函数f (x )=-2sin x cos x +2cos 2x +1(1)设方程f (x )-1=0在(0,π)内有两个零点x 1、x 2,求x 1+x 2的值;(2)若把函数y =f (x )的图像向左移动m (m >0)个单位,再向下平移2个单位,使所得函数的图象关于y 轴对称,求m 的最小值.25．在△ABC 中,A ,B ,C 所对边分别为a 、b 、c ,且满足cos A 2= 255，b +c =6,AB ⋅AC =3.(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)求 2sin A + π4sinB +C +π41-cos2A的值.26．已知函数f (x )=sin x 2cos x 2+cos 2 x2-2.(Ⅰ)将函数f (x )化简成A sin ωx +ϕ+B A >0,ω>0,ϕ∈ 0,2π的形式,并指出f (x )的周期;(Ⅱ)求函数f (x )在π, 17π12上的最大值和最小值27．已知函数f (x )=2sin 2π4+x - 3cos2x ,x ∈π4， π2.(I)求f (x )的最大值和最小值;(II)若不等式 f (x )-m <2在x ∈π4， π2上恒成立,求实数m 的取值范围.28．已知函数f (x )=tan13x -π6(I)求f (x )的最小正周期;(II)求f 3π2的值;(III)设f3α+ 7π2=- 12,求 sin (π-α)+cos (α-π) 2sin (α+ π4)的值.29．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知函数f (x )=cos x ∙cos x -A - 12cos Ax ∈R (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值;(2)若函数f (x )在x = π3处取得最大值,求 a cos B +cos C b +c sin A的值.30．已知△ABC 的面积为S ,且 AB ⋅AC =S .(1)求tan2A 的值;(2)若B = π4, CB - CA =3,求△ABC 的面积S .31．已知△ABC 的内角A 的大小为120°,面积为3.(1)若AB =22,求△ABC 的另外两条边长;(2)设O 为△ABC 的外心,当BC =21时,求 AO ⋅ BC 的值.32．在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan C = sin A +sin Bcos A +cos B.(1)求角C 的大小;(2)若△ABC 的外接圆直径为1,求a 2+b 2的取值范围.33．已知函数f (x )= 32sin2x -cos 2x - 12,x ∈R .](1)求函数f (x )的最小值和最小正周期;(2)设ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c ,且c =3,f (C )=0,若sin B =2sin A ,求a ,b 的值.34．已知向量 a =(sin x , 34), b =(cos x ,-1).(1)当 a //b 时,求cos 2x -sin2x 的值;(2)设函数f (x )=2( a + b )⋅b ,已知在△ ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a = 3,b =2,sin B =63,求f (x )+4cos2A + π6(x ∈ 0, π3)的取值范围.35．△ABC 中角A ,B ,C 所对的边之长依次为a ,b ,c ,且cos A = 255,5(a 2+b 2-c 2)=310ab .(Ⅰ)求cos2C 和角B 的值;(Ⅱ)若a -c =2-1,求△ABC 的面积.36．已知A ,B ,C 是△ABC 的三个内角，a ,b ,c 为其对应边，向量 m = -1,3,n = cos A ,sin A 且 m ∙ n =1（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若 AB = 2,1, cos B cos C = b c ,求△ABC 的面积S .37．在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边a ,b ,c 成等比数列.(1)求证:0<B ≤ π3;(2)求y = 1+sin2Bsin B +cos B 的取值范围.38．已知 m = 2 3,1, n =cos 2 A2,sin B +C ,其中A ,B ,C 是△ABC 的内角.(1)当A = π2时,求 n 的值(2)若BC =1, AB = 3,当m ⋅ n 取最大值时,求A 大小及AC 边长.39．设△ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别是a , b , c ,向量 m =(a ，b ),n =(sin B ，sin A ),p =(b -2， a -2).(1)若 m //n ,求证:△ABC 为等腰三角形;(2)若 m ⊥ p ,边长c =2,角C = π3,求ΔABC 的面积.40．已知向量 m =sin A -B ,sin π2-A , n = 1,2sin B , m ∙ n =-sin2C ,其中A ,B ,C分别为△ABC 的三边a ,b ,c 所对的角.(Ⅰ)求角C 的大小;(Ⅱ)若sin A +sin B =2sin C ,且S △ABC =3,求边c 的长.41．函数f (x )=M sinωx - π4(M >0,ω>0)的部分图像如右图所示.(Ⅰ)求函数f (x )的解析式;(Ⅱ)ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若fA 2+ π8= 3,其中A ∈0, π2,且a 2+c 2-b 2=ac ,求角A ,B ,C 的大小.42．设f (x )=6cos 2x -3sin2x (x ∈R )..(Ⅰ)求f (x )的最大值及最小正周期;(Ⅱ)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,锐角A 满足f (A )=3-23,B =π12,求 a c的值.43．已知sin θ+cos θ= 1+ 32,θ∈0, π4,(1)求θ的值;(2)求函数f (x )=sin (x −θ)+cos x 在x ∈[0,π]上的单调递增区间.44．已知函数f (x )= 12sin2x sin ϕ+cos 2x cos ϕ- 12sinπ2+ϕ 0<ϕ<π,其图象过点π6, 12;(1)求ϕ的值;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的 12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图象,求函数g (x )在0, π4上的最大值和最小值.45．设函数f (x )=(sin ωx +cos ωx )2+2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为 2π3.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求f x 在区间- π6， π3上的值域;(Ⅲ)若函数y=g(x)的图像是由y=f(x)的图像向右平移 π2个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.46．已知函数f(x)=sin2x+23sin x cos x+3cos2x,x∈R.求:(I) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(II) 求函数f(x)在区间- π6, π3上的值域.47.已知函数f(x)=A cosωx+ϕ(A>0,ω>0,- π2<ϕ<0)的图像与y轴的交点为0,1,它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为x0,2和x0+2π,-2(1)求函数f(x)的解析式;(2)若锐角θ满足cosθ= 13,求f2θ的值.48．已知函数f(x)=sin x cos x sinϕ+cos2x cosϕ+ 12cos(π+ϕ)(0<ϕ<π),其图象过点( π3, 14).(1)求ϕ的值;(2)将函数y=f(x)图象上各点向左平移 π6个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在- π4, 2π3上的单调递增区间.49．已知函数f(x)=cos( π3+x)cos( π3-x)-sin x cos x+ 14(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)求函数f x单调递增区间50．已知函数f(x)=A sin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,- π2<ϕ< π2),其部分图像如图所示.(1) 求函数f(x)的解析式;(2) 已知横坐标分别为-1.1.5的三点M,N,P都在函数f(x)的图像上,求sin∠MNP的值.。
锐角三角函数及其应用(共60题)(学生版)
锐角三角函数及其应用(60题)一、解答题1(2023·河南·统考中考真题)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF= 11m，BH=20cm．求树EG的高度(结果精确到0.1m)．2(2023·四川宜宾·统考中考真题)渝昆高速铁路的建成，将会显著提升宜宾的交通地位．渝昆高速铁路宜宾临港长江公铁两用大桥(如图1)，桥面采用国内首创的公铁平层设计．为测量左桥墩底到桥面的距离CD，如图2．在桥面上点A处，测得A到左桥墩D的距离AD=200米，左桥墩所在塔顶B的仰角∠BAD=45°，左桥墩底C的俯角∠CAD=15°，求CD的长度．(结果精确到1米．参考数据：2≈1.41，3≈1.73)3(2023·辽宁·统考中考真题)暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶600m高的山峰，由山底A处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°(换乘登山缆车的时间忽略不计)(1)求登山缆车上升的高度DE；(2)若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟(结果精确到0.1min)(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)4(2023·甘肃兰州·统考中考真题)如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园--“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC=38°、∠BAD=53°，AB=18m．求“龙”字雕塑CD的高度．(B，C，D三点共线，BD⊥AB．结果精确到0.1m)(参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)5(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B 处距离灯塔P有多远(结果取整数)？(参考数据：sin72°≈0.95,cos72°≈0.31,tan72°≈3.08,sin40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84．)6(2023·湖北·统考中考真题)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．(结果精确到米)(参考数据：sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32)7(2023·湖南张家界·统考中考真题)“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P 点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．(结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)8(2023·辽宁大连·统考中考真题)如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE,BC ⊥BE,CD∥BE，AC=10.4m,BC=1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？(结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,tan70°≈2.75)9(2023·广东·统考中考真题)2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂AC=BC= 10m，两臂夹角∠ACB=100°时，求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1m，参考数据sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192)10(2023·湖南·统考中考真题)我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功，如图(九)，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°．9s，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°．求火箭从P 到Q处的平均速度(结果精确到1m/s)．(参考数据：sin23°≈0.39,cos23°≈0.92,tan23°≈0.42)11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筺EF与支架DE在同一直线上，OA=2.5米，AD=0.8米，∠AGC=32°．(1)求∠GAC的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．(参考数据：sin32°≈0.53,cos32°≈0.85,tan32°≈0.62)12(2023·浙江台州·统考中考真题)教室里的投影仪投影时，可以把投影光线CA，CB及在黑板上的投影图像高度AB抽象成如图所示的△ABC，∠BAC=90°．黑板上投影图像的高度AB=120cm，CB 与AB的夹角∠B=33.7°，求AC的长．(结果精确到1cm．参考数据：sin33.7°≈0.55，cos33.7°≈0.83，tan33.7°≈0.67)13(2023·湖南怀化·统考中考真题)为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高CD(碑顶到水平地面的距离)，于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的A点用测角仪测得碑顶D的仰角为30°，在B点处测得碑顶D的仰角为60°，已知AB=35m，测角仪的高度是1.5m(A、B、C在同一直线上)，根据以上数据求烈士纪念碑的通高CD．(3≈1.732，结果保留一位小数)14(2023·新疆·统考中考真题)烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧(如图1)．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A处，测得烽燧BC的顶部C处的俯角为50°，测得烽燧BC的底部B处的俯角为65°，试根据提供的数据计算烽燧BC的高度．(参数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50≈1.2，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1)15(2023·四川遂宁·统考中考真题)某实践探究小组想测得湖边两处的距离，数据勘测组通过勘测，得到了如下记录表：实践探究活动记录表活动内容 测量湖边A、B两处的距离成员 组长：××× 组员：××××××××××××测量工具 测角仪，皮尺等测量示意图说明：因为湖边A、B两处的距离无法直接测量，数据勘测组在湖边找了一处位置C．可测量C处到A、B两处的距离．通过测角仪可测得∠A、∠B、∠C的度数．测量数据角的度数∠A=30°∠B=45°∠C=105°边的长度BC=40.0米AC=56.4米数据处理组得到上面数据以后做了认真分析．他们发现不需要勘测组的全部数据就可以计算出A、B之间的距离．于是数据处理组写出了以下过程，请补全内容．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°．．(从记录表中再选一个条件填入横线)求：线段AB的长．(为减小结果的误差，若有需要，2取1.41，3取1.73，6取2.45进行计算，最后结果保留整数．)16(2023·四川成都·统考中考真题)为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装避阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长．(结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29)17(2023·贵州·统考中考真题)贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．(图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上)(1)求索道AB的长(结果精确到1m)；(2)求水平距离AF的长(结果精确到1m)．(参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，2≈1.41)18(2023·湖北鄂州·统考中考真题)鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=43；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．(图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB)．(1)求自动扶梯AD的长度；(2)求大型条幅GE的长度．(结果保留根号)19(2023·山东东营·统考中考真题)一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为多少km？20(2023·四川凉山·统考中考真题)超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的C、E 两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且A、D、B、F在同一直线上．点C、点E到AB的距离分别为CD、EF，且CD=EF=7m,CE=895m，在C处测得A点的俯角为30°，在E处测得B点的俯角为45°，小型汽车从点A行驶到点B所用时间为45s．(1)求A,B两点之间的距离(结果精确到1m)；(2)若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点A行驶到点B是否超速？并通过计算说明理由．(参考数据：2≈1.4,3≈1.7)21(2023·内蒙古·统考中考真题)为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．(1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；(2)求检查点B和C之间的距离(结果保留根号)．22(2023·湖南常德·统考中考真题)今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图(图2)．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数)．(参考数据：sin65.8°=0.91，cos65.8°=0.41，tan65.8°=2.23)23(2023·山东·统考中考真题)无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米(点A，B，C，P在同一平面内)，求大楼的高度BC(结果保留根号)24(2023·重庆·统考中考真题)人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC=3600米．(1)求B养殖场与灯塔C的距离(结果精确到个位)；(2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)25(2023·山东聊城·统考中考真题)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向(点A，B，C，P四点在同一平面内)．求明珠大剧院到龙堤BC的距离(结果精确到1m)．(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50)26(2023·四川·统考中考真题)“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB 与塔干OD 叠合时，在与塔底D 水平距离为60米的E 处，测得塔顶部O 的仰角∠OED =45°，风叶OA 的视角∠OEA =30°．(1)已知α，β两角和的余弦公式为：cos α+β =cos αcos β-sin αsin β，请利用公式计算cos75°；(2)求风叶OA 的长度．27(2023·湖北宜昌·统考中考真题)2023年5月30日，“神舟十六号”航天飞船成功发射．如图，飞船在离地球大约330km 的圆形轨道上，当运行到地球表面P 点的正上方F 点时，从中直接看到地球表面一个最远的点是点Q ．在Rt △OQF 中，OP =OQ ≈6400km ．(参考数据：cos16°≈0.96，cos18°≈0.95，cos20°≈0.94，cos22°≈0.93，π≈3.14)(1)求cos α的值(精确到0.01)；(2)在⊙O 中，求PQ的长(结果取整数)．28(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值)．29(2023·山西·统考中考真题)2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单(2022-2025年)》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸(也叫护坡)．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算BC 和AB 的长度(结果精确到0.1m ．参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．课题母亲河驳岸的调研与计算调查方式资料查阅、水利部门走访、实地查看了解功能驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物驳岸剖面图相关数据及说明，图中，点A ，B ，C ，D ，E 在同一竖直平面内，AE 与CD 均与地面平行，岸墙AB ⊥AE 于点A ，∠BCD =135°，∠EDC =60°，ED =6m ，AE =1.5m ，CD =3.5m计算结果交流展示30(2023·湖南·统考中考真题)如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”一辆车从被山峰POQ遮挡的道路②上的点B处由南向北行驶．已知∠POQ=30°，BC∥OQ，OC⊥OQ，AO⊥OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．(1)求∠COD的大小；(2)若在点B处测得点O在北偏西α方向上，其中tanα=35，OD=12米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？(当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车)31(2023·四川内江·统考中考真题)某中学依山而建，校门A处有一坡角α=30°的斜坡AB，长度为30米，在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=45°，离B点4米远的E处有一个花台，在E 处测得C的仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线AM于点D，求DC的长(结果保留根号)．32(2023·湖北随州·统考中考真题)某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD=10米，坡角α=30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．(已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离；(2)求该建筑物的高度AB．33(2023·天津·统考中考真题)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD=6m,∠DCE=30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°．(1)求DE的长；(2)设塔AB的高度为h(单位：m)．①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)；②求塔AB的高度(tan27°取0.5，3取1.7，结果取整数)．34(2023·山东临沂·统考中考真题)如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B 处，测得灯塔A在北偏西58°方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？(参考数据：sin32°≈0.530,cos32°≈0.848,tan32°≈0.625;sin58°≈0.848,cos58°≈0.530，tan58°≈1.6)35(2023·湖南永州·统考中考真题)永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米(如图1所示)，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45°，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30°，求D、N两点间的距离(结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.732)36(2023·重庆·统考中考真题)为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①A-D-C-B；②A-E-B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B 的南偏西60°方向．(参考数据：2≈1.41,3≈1.73)(1)求AD的长度．(结果精确到1千米)(2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？37(2023·江苏苏州·统考中考真题)四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE,CD,GF为长度固定的支架，支架在A,D,G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为H)，在B,C处与篮板连接(BC所在直线垂直于MN)，EF是可以调节长度的伸缩臂(旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度)．已知AD=BC,DH=208cm，测得∠GAE=60°时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高(或降低)了多少？(参考数据：sin54°≈0.8,cos54°≈0.6)38(2023·湖南·统考中考真题)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼AB的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部243米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼AB的顶部B处的俯角为30°，CD长为49.6米．已知目高CE为1.6米．(1)求教学楼AB的高度．(2)若无人机保持现有高度沿平行于CA的方向，以43米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线EB．39(2023·山东烟台·统考中考真题)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325)40(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离(图1)．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．测量数据∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．(结果精确到0.1cm)(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40)41(2023·四川达州·统考中考真题)莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？(结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)42(2023·江西·统考中考真题)如图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成加如图2所示的示意图，已知点B，A，D，E均在同一直线上，AB=AC=AD，测得∠B=55°，BC=1.8m，DE=2m．(结果保小数点后一位)(1)连接CD，求证：DC⊥BC；(2)求雕塑的高(即点E到直线BC的距离)．(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)43(2023·浙江宁波·统考中考真题)某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．(1)如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．(2)如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC=20m，求气球A离地面的高度AD．(参考数据：sin37°≈0.60,cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)44(2023·江苏连云港·统考中考真题)渔湾是国家“AAAA”级风景区，图1是景区游览的部分示意图．如图2，小卓从九孔桥A处出发，沿着坡角为48°的山坡向上走了92m到达B处的三龙潭瀑布，再沿坡角为37°的山坡向上走了30m到达C处的二龙潭瀑布．求小卓从A处的九孔桥到C处的二龙潭瀑布上升的高度DC为多少米？(结果精确到0.1m)(参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80)45(2023·四川广安·统考中考真题)为了美化环境，提高民众的生活质量，市政府在三角形花园ABC 边上修建一个四边形人工湖泊ABDE，并沿湖泊修建了人行步道．如图，点C在点A的正东方向170米处，点E在点A的正北方向，点B、D都在点C的正北方向，BD长为100米，点B在点A的北偏东30°方向，点D在点E的北偏东58°方向．(1)求步道DE的长度．(2)点D处有一个小商店，某人从点A出发沿人行步道去商店购物，可以经点B到达点D，也可以经点E到达点D，请通过计算说明他走哪条路较近．结果精确到个位)(参考数据：sin58°≈0.85,cos58°≈0.53,tan58°≈1.60,3≈1.73)46(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．(1)身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°(如图3)，此时小若能被识别吗？请计算说明．(精确到0.1cm，参考数据sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27,sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36)47(2023·安徽·统考中考真题)如图，O,R是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到A点时，测得A到R点的距离为40m,R点的俯角为24.2°，无人机继续竖直上升到B点，测得R点的俯角为36.9°．求无人机从A点到B点的上升高度AB(精确到0.1m)．参考数据：sin24.2°≈0.41,cos24.2°≈0.91,tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75．48(2023·浙江·统考中考真题)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A -D -C ，已知DC ⊥BC ，AB ⊥BC ,∠A =60°,AB =11m ,CD =4m ，求管道A -D -C的总长．49(2023·浙江温州·统考中考真题)根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN (如图1)．他们通过自制的测倾仪(如图2)在A ，B ，C 三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN．任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．50(2023·四川自贡·统考中考真题)为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，CD，山的高度即为三段坡面的铅直高度BH，CQ，DR之和，坡面的长度可以直接测量得到，要求山坡高度还需要知道坡角大小．如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出α，β之间的数量关系．(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的Rt△TKS(如图3)，量得KT≈5cm，TS≈2cm．求山高DF．(2≈1.41，结果精确到1米)(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高MN为1.6米，求山高DF．(结果用不含β1，β2的字母表示)。
九年级数学上册 第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练(附答案)
2021-2022学年鲁教版九年级数学上册第2章《三角函数的应用综合性解答题》优生辅导专题提升训练（附答案）1．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行若干千米，到达E 处，测得灯塔C在北偏东45°方向上．（1）若BD＝30km，问E处距离港口A有多远？（2）若DE＝8km，问E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）2．如图为某景区五个景点A，B，C，D，E的平面示意图，B，A在C的正东方向，D在C 的正北方向，D，E在B的北偏西30°方向上，E在A的西北方向上，C，D相距1000m，E在BD的中点处．（1）求景点B，E之间的距离；（2）求景点B，A之间的距离．（结果保留根号）3．如图，一次军事演习中，蓝方在﹣条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截．红方行驶2000米到达C后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同距离，刚好在D处成功拦截蓝方．（1）求点C到公路的距离；（2）求红蓝双方最初的距离．（结果保留根号）4．川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C 作CH⊥AB于H．（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．5．黔东南州某校吴老师组织九（1）班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高（AB）．（结果精确到1m，参考数据：≈1.4，≈1.7）6．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A、B两船相距100（）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C 在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）求出A与C间的距离AC；（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救故障船C，在去营救的途中触暗礁危险．（填“有”或“无”，不必说明理由，参考数据：）7．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．8．如图，港口B在港口A的东北方向，上午9时，一艘轮船从港口A出发，以16海里/时的速度向正东方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正东方向航行．上午11时轮船到达C处，同时快艇到达D处，测得D处在C处的北偏东60°的方向上，且C、D两地相距80海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里/时，参考数据：，，）9．如图，大海中有A和B两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ上点E处测得∠AEP＝70°，∠BEQ＝30°；在点F处测得∠AFP＝60°，∠BFQ＝60°，EF＝km．（1）判断线段AB与AE的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A和B之间的距离．（sin70°≈，cos70°≈）10．综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α＝36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β＝72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）11．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A，B，C．经测量花卉世界D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°．（1）求B，D之间的距离；（2）求C，D之间的距离．12．如图，我国南海巡逻艇在A处执行任务时，发现在A处的北偏东30°方向有一岛屿C，在A处的北偏东75°方向、相距60海里的B处有一不明船只正以15海里/时的速度向B 处西北方向的C岛航行，于是巡逻艇马上以20海里/时的速度开向C岛去拦截，问巡逻艇与不明船只谁先到达C岛？（参考数据：≈1.4，≈1.7）13．如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B 的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30°方向上，已知点C 在点B的北偏西60°方向上，且B、C两地相距120海里．（1）求出此时点A到岛礁C的距离；（2）若“中海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A′时，测得点B在A′的南偏东75°的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离．（注：结果保留根号）14．一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．15．如图所示，A，B两地之间有条河，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿折线A⇒D⇒C⇒B 到达．现在新建了桥EF，可直接沿直线AB从A地到达B地．已知BC＝11km，∠A＝45°，∠B＝37°，桥DC和AB平行，则现在从A地到B地可比原来少走多少路程（结果精确到0.1km．参考数据：≈1.41，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）16．重庆市某校数学兴趣小组在水库某段CD的附近借助无人机进行实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组在水库正面左岸的C处测得水库右岸D处某标志物DE顶端的仰角为α．在C处一架无人飞机以北偏西90°﹣β方向飞行100米到达点A处，无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得正前方水库右岸D处的俯角为30°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．（1）求无人机的飞行高度AM；（2）求标志物DE的高度．（结果精确到0.1米）（已知数据：sinα＝，cosα＝，tanα＝，sinβ＝，cosβ＝，tanβ＝2，≈1.732）17．某市开展一项自行车旅游活动，线路需经A、B、C、D四地，如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向，在C地北偏西45°方向，C地在A地北偏东75°方向．且BC＝CD＝20km，问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少？（最后结果保留整数，参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，）18．如图，我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上．（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）19．如图，有A，B，C三个港口，都位于南北方向的海岸线上，P、Q是两个度银小岛，某游船从小岛P出发，向西航行到达港口A，再从港口A向北航行，到达港口B，在港口B 看到小岛P在南偏东60°处，游船由港口B出发40分钟后到达港口C，看到小岛P在南偏东30°处，这时游船的航向改为北偏东60°继续航行80分钟到达小岛Q．从港口A 到小岛Q，该游船航行的速度都有30海里/小时．（1）求港口C与小岛P之间的距离；（2）求P，Q两个小岛之间的距离．（≈2.646，结果精确到十分位）．20．如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A 的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：（1）港口A与小岛C之间的距离；（2）灯塔B与小岛C之间的距离．21．2016年1月6日，我国南沙永暑礁新建港口、机场完成试航试飞，将为岛礁物资运输、人员往来、通信导航、救援补给提供便捷支持，使航行和飞行更为安全可靠．如图所示，永暑礁新建港口在A处，位于港口A的正西方的有一小岛B，小岛C在小岛B的北偏东60°方向，小岛C在A的北偏西45°方向；小岛D在小岛B的北偏东38°方向且满足∠BCD＝37°，港口A和小岛C的距离是23km．（参考数据：sin38°≈，tan22°≈，tan37°≈）（1）求BC的距离．（2）求CD的距离．参考答案1．解：（1）作CF⊥AD于F，由题意得，∠D＝90°，∴FC∥BD，又AC＝CB，∴FC＝BD＝15，∵∠EFC＝90°，∠FEC＝45°，∴EF＝FC＝15，在Rt△AFC中，AF＝≈＝20，∴AE＝AF+FE＝35（km），答：BD＝30km，E处距离港口A约为35km；（2）设FC＝xkm，则EF＝FC＝x，AF≈＝x，由（1）得，AF＝FD，即x＝x+8，解得，x＝24，则x＝32，∴AE＝AF+FE＝32+24＝56，答：DE＝8km，E处距离港口A约为56km．2．解：（1）由题意得，∠C＝90°，∠CBD＝60°，∠CAE＝45°，∵CD＝1000，∴BC＝＝1000，∴BD＝2BC＝2000，∵E在BD的中点处，∴BE＝BD＝1000（米）；（2）过E作EF⊥AB与F，在Rt△AEF中，EF＝AF＝BE•sin60°＝1000×＝500，在Rt△BEF中，BF＝BE•cos60°＝500，∴AB＝AF﹣BF＝500（﹣1）（米）．3．解：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D 作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，（1）点C到公路的距离就是BE的长，在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴BE＝BC•cos60°＝2000×＝1000米．答：点C到公路的距离就是BE的长是1000米．（2）红蓝双方相距AB＝DF+CE．在Rt△BCE中，∵BC＝2000米，∠EBC＝60°，∴CE＝BC•sin60°＝2000×＝1000米．在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，CD＝2000米，∠DCF＝45°，∴DF＝CD•sin45°＝2000×＝1000米，∴AB＝DF+CE＝（1000+500）米．答：红蓝双方最初相距（1000+1000）米．4．解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH＝30°，∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝x，在Rt△BCH中，tan30°＝＝，∴BH＝x，∵AH+HB＝AB＝40，∴x+x＝40，解得x＝20﹣20，∴CB＝2CH＝40﹣40．答：牧民区C到B地的距离为（40﹣40）千米；（2）∵C、D两地距离是B、C两地距离的倍，CH＝BC，∴sin∠ADC＝＝＝，∴∠ADC＝60°．在Rt△CHD中，DH＝CH•cot∠CDH＝CH，∵BH＝CH，CH＝20﹣20，∴BD＝BH﹣DH＝CH﹣CH＝（20﹣20）＝40﹣．答：BD之间的距离为40﹣千米．5．解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，如图所示：在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，则CH＝CD•cos∠DCH＝4×cos60°＝2，DH＝CD•sin∠DCH＝4×sin60°＝2，∵DH⊥BG，∠G＝30°，∴HG＝＝＝6，∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，设AB＝xm，∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，∴BC＝x，BG＝＝＝x，∵BG﹣BC＝CG，∴x﹣x＝8，解得：x≈11（m）；答：电线杆的高为11m．6．解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan60°＝x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝x．则AE+BE＝x+x＝100（+1），解得：x＝100．AC＝2x＝200．答：A与C之间的距离AC为200海里．（2）过点D作DF⊥AC于点F，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y+y＝200，解得：y＝100（﹣1），∴AD＝2y＝200（﹣1），∴DF＝AF＝×100（﹣1）≈127海里，∵127＞100，∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中无触暗礁危险．故答案为：无．7．解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，BD＝100米，∴AB＝＝200米，AD＝BD•tan60°＝100米．∵在Rt△CBD中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，BD＝100米，∴DC＝BD＝100米，BC＝BD＝100米，∴AC＝AD+DC＝（100+100）米；（2）作EF⊥AB于F，∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，∴EF＝ED．在Rt△AEF与Rt△AED中，，∴△AEF≌△AED（HL），∴AF＝AD＝100米，∴BF＝AB﹣AF＝（200﹣100）米．∵在Rt△BEF中，∠EFB＝90°，∠BEF＝90°﹣60°＝30°，∴BE＝2BF＝（400﹣200）米．8．解：分别过点B、D作AC的垂线，交AC的延长线于点E、F，在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝90°﹣60°＝30°，则DF＝CD＝40海里，CF＝CD cos∠DCF＝40海里，故可得AF＝AC+CF＝16×2+40＝32+40海里，∵DF⊥AF，BE⊥AF，BE⊥BD，∴四边形BEFD是矩形．∴BE＝DF＝40海里，在Rt△BAE中，∠BEA＝90°，∠BAE＝90°﹣45°＝45°，∴AE＝BE＝40海里，∴EF＝AF﹣AE＝32+40﹣40＝（40﹣8）海里，∴BD＝EF＝40﹣8（海里），故可求得快艇的速度＝（40﹣8）÷2＝20﹣4≈30.6（海里/小时）．答：快艇的速度约为30.6海里/时．9．解：（1）相等．∵∠BEQ＝30°，∠BFQ＝60°，∴∠EBF＝∠BEQ＝30°，∴EF＝BF，又∵∠AFP＝60°，∴∠BF A＝60°．在△AEF与△ABF中，∵，∴△AEF≌△ABF（SAS），∴AB＝AE；（2）过点A作AH⊥PQ，垂足为H．设AE＝xkm，则AH＝x sin70°km，HE＝x cos70°km，∴HF＝HE+EF＝x cos70°+4﹣5（km），Rt△AHF中，AH＝HF•tan60°，∴x sin70°＝（x cos70°+4﹣5）•tan60°，即：x＝（x+4﹣5）×，解得：x≈13，即AB＝AE＝13km．答：两个岛屿A与B之间的距离约为13km．10．解：过点F作FG∥EM交CD于G，则MG＝EF＝10米．∵∠FGN＝∠α＝36°．∴∠GFN＝∠β﹣∠FGN＝72°﹣36°＝36°．∴∠FGN＝∠GFN，∴FN＝GN＝50﹣10＝40（米）．在Rt△FNR中，FR＝FN×sinβ＝40×sin72°＝40×0.95≈38（米）．答：河宽FR约为38米．11．解：（1）如图，由题意得，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°，∴∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝45°+15°＝60°．∵AE∥BF∥CD，∴∠FBC＝∠EAC＝60°．∵∠FBD＝30°∴∠DBC＝∠FBC﹣∠FBD＝30°．（2分）又∵∠DBC＝∠DAB+∠ADB，∴∠ADB＝15°．∴∠DAB＝∠ADB．∴△ABD为等腰三角形，∴BD＝AB＝2．即BD之间的距离为2km．（4分）（2）过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD＝2，∠DBO＝60°，∴DO＝2×sin60°＝，BO＝2×cos60°＝1．（6分）在Rt△CBO中，∠CBO＝30°，CO＝BO tan30°＝，∴CD＝DO﹣CO＝（km）．即C，D之间的距离km．（8分）12．解：如图，过C作CH⊥AB于H，由题可得，∠DAB＝75°，∠DAC＝30°，∠CBF＝45°，∴∠BAC＝45°，∠BAE＝∠ABF＝15°，∴∠ABC＝60°，设BH＝x，则CH＝AH＝x，BC＝2x，∵AB＝60，∴x+x＝60，解得x＝30（﹣1），∴AH＝30（3﹣），∴Rt△ACH中，AC＝AH＝×30（3﹣）＝30（3﹣），Rt△BCH中，BC＝2BH＝60（﹣1），∴巡逻艇到达C岛的时间为30（3﹣）÷20≈2.7小时，不明船只到达C岛的时间为60（﹣1）÷15≈2.8小时，∴巡逻艇先到达C岛．13．解：（1）如图所示：延长BA，过点C作CD⊥BA延长线与点D，由题意可得：∠CBD＝30°，BC＝120海里，则DC＝60海里，故cos30°＝＝＝，解得：AC＝40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；（2）如图所示：过点A′作A′N⊥BC于点N，可得∠1＝30°，∠BA′A＝45°，则∠2＝15°，即A′B平分∠CBA，设AA′＝x，则A′E＝x，故CA′＝2A′N＝2×x＝x，∵x+x＝40，∴解得：x＝60﹣20（，答：此时“中国海监50”的航行距离为（60﹣20）海里．14．解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，∴∠C＝23°+22°＝45°．过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．∵BC＝10海里，∴CD＝BC•cos45°＝10×≈7.0（海里），∴AD＝＝5÷＝5×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9（海里）．∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19（海里）．答：小船到码头的距离约为19海里．15．解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．∵DC∥AB，∴四边形DCBG为平行四边形．∴DC＝GB，GD＝BC＝11．∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．在Rt△DGH中，DH＝DG•sin37°≈11×0.60＝6.60，GH＝DG•cos37°≈11×0.80≈8.80．在Rt△ADH中，AD＝DH≈1.41×6.60≈9.31．AH＝DH≈6.60．∴AD+DG﹣AG＝（9.31+11）﹣（6.60+8.80）≈4.9（km）．即现在从A地到B地可比原来少走约4.9km．16．解：（1）根据题意可知：∠ACM＝β，AC＝100米，∴AM＝AC•sinβ＝100×＝200（米），答：无人机的飞行高度AM为200米；（2）根据题意可知：∠ECD＝α，AB＝30米，∠FBD＝30°，如图，作BG⊥MC于点G交AC于点H，∵AB∥CM，∴∠BAH＝∠ACM＝β，∴BH＝AB•tanβ＝30×2＝60（米），∴HG＝BG﹣BH＝200﹣60＝140（米），∵AB∥CM，∴△HBA∽△HGC，∴AB：GC＝BH：HG，∴30：GC＝60：140，解得GC＝70（米），∵∠GBD＝90°﹣30°＝60°，∴GD＝BG•tan∠GBD＝200×＝200（米），∴CD＝GD﹣GC＝（200﹣70）米，∴DE＝CD•tanα＝（200﹣70）×≈207.3（米）．答：标志物DE的高度为207.3米．17．解：由题意可知∠DCA＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形．过点B作BE⊥AD，垂足为E，如图所示：由题意可知∠DAC＝75°﹣30°＝45°，∵△BCD是等边三角形，∴∠DBC＝60°BD＝BC＝CD＝20km，∴∠ADB＝∠DBC﹣∠DAC＝15°，∴BE＝sin15°BD≈0.25×20≈5km，∴AB＝＝≈7km，∴AB+BC+CD≈7+20+20≈47km．答：从A地跑到D地的路程约为47km．18．解：（1）过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG＝90°﹣60°＝30°，∴CG＝BC＝×（30×）＝7.5海里，∵∠DAG＝90°，∴四边形ADFG是矩形，∴GF＝AD＝1.5海里，∴CF＝CG﹣GF＝7.5﹣1.5＝6海里，在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∵∠DCF＝53°，∴COS∠DCF＝，∴CD＝＝＝10海里．答：CD两点的距离是10；（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE＝30t海里，DE＝1.5×2×t＝3t海里，∠EDC＝53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD＝∠CHE＝90°，∴sin∠EDH＝，∴EH＝ED sin53°＝3t×＝t，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD＝＝＝．答：sin∠ECD＝．19．解：（1）由题意得，BC＝30×＝20海里，∠ABP＝60°，∠ACP＝30°，∴∠BPC＝30°，∴BP＝BC＝20海里，∴AP＝BP•sin∠ABP＝20×＝10，∵∠ACP＝30°，∴PC＝2AP＝20海里，答：港口C与小岛P之间的距离为20海里；（2）∵在港口C看到小岛P在南偏东30°处，游船的航向改为北偏东60°，∴∠PCQ＝90°，又CQ＝30×＝40海里，由勾股定理得，PQ＝＝20≈52.9海里，答：P，Q两个小岛之间的距离约为52.9海里．20．解：（1）∵∠EAC＝60°，∴∠DAC＝30°，在Rt△ADC中，AC＝60÷Cos30°＝40海里，CD＝AC＝20海里．故港口A与小岛C之间的距离是40海里；（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，∵∠BAD＝60°，∴∠BDA＝30°，∴∠ABD＝90°，∴△ABD是直角三角形，∴AB＝30海里；在Rt△ABE中，AE＝15海里，BE＝15海里，∴BF＝60﹣15＝45海里，CF＝20﹣15＝5海里，在Rt△BCF中，BC＝＝10海里．即灯塔B与小岛C之间的距离是10海里．21．解：（1）作CE⊥AB于E，由题意得，∠CAE＝45°，∠CBE＝30°，∴AE＝CE＝AC•sin∠CAE＝23×＝23km，∴BC＝2CE＝46km，答：BC的距离为46km；（2）作DF⊥BC于F，设DF＝xkm，∴CF＝＝x，BF＝＝x，则x+x＝46，解得，x＝12，∴DF＝12，CF＝16，由勾股定理得，CD＝＝20km．答：CD的距离约为20km．。
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数(50题竞赛真题强化训练)解析版+原卷版
【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=【答案】A 【解析】 【详解】由()1sin 3f x x ≥得sin (1cos 01cos 0x x x ），-≥-≥，所以该式不一定成立，sinx 有可能是负数，所以选项A 错误； ()sin sin 2cos x f x x x x =≤≤+.所以选项B 正确；()sin 2cos x f x x=+=sin 0||cos (2)x x ---表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到()f x ≤C 正确； ()()f x f x ππ++-=sin sin 002-cos 2-cos 2-cos x x x x x-+==，所以选项D 正确.故答案为A2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D【答案】B 【解析】 【详解】因为()sin cos sin cos 122sin cosxx x x x y x ⋅-++=+⋅，令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭， 则()21sin cos 12x x t ⋅=-，于是()()22211112.2121t t t y t t --+==-++- 令()(21t g t t t =+，则()()22211t g t t '-=+. 由()0g t '=知1t =-或1.因为(()()111,1,22g g g g =-=-==()g t 的最小值是()112g -=-，所以y 的最大值是11122⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为:B3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,1--【答案】D 【解析】 【详解】1sin224y x x π⎤⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦..下面的讨论均视k Z ∈. （1）当222k x k πππ≤≤+时，1y =； （2）当32224k x k ππππ+<≤+时，1y =-； （3）当3224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （4）当2x k ππ=+或322k ππ+时，1y =-；（5）当3222k x k ππππ+<<+时，2y =-； （6）当372224k x k ππππ+<<+时，2y =-； （7）当72224k x k ππππ+≤<+时，1y =-. 综上，{}2,1,1y ∈--. 故答案为D4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【详解】sin cos αα+，所以，p 是q 的充要条件．5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【详解】由条件有)sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++=++2sincos sin 22A C A C B +-⇒︒+ 2cos cos cos 22A C A C B +-⎫=︒+⎪⎭2sin cos222A C A C A C ++-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ sin B B =. 利用辅助角公式有2sin cossin 3223A C A C B ππ+-⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin cos 262B A C π-⎛⎫⇒- ⎪⎝⎭ 2sin cos 2626B B ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭60602sin cos cos 0222B A C B -︒--︒⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭606060sinsin sin 0244B AC B B A C -︒-+-︒-+-︒⇒︒︒=， 所以，600B ∠-︒=或者600A C B ∠-∠+∠-︒=或者600B A C ∠-∠+∠-︒=, 即60B ∠=︒或者60C ∠=︒或者60A ∠=︒,亦即A B C ∠∠∠、、中有一个为60︒.若60B ∠<︒,则60A B ∠≤∠<︒，所以，只能60C ∠=︒，此时，180A B C ∠+∠+∠<︒,矛盾； 若60B ∠>︒，则60C B ∠≥∠>︒,所以，只能60A ∠=︒，从而，180A B C ∠+∠+∠>︒，亦矛盾. 选C. 二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．【答案】3- 【解析】 【详解】 根据π3x y =-，π3z y =+，则tan x =tan z =所以tan tan x y tan tan y z 22tan 3tan tan 13tan y z x y -=-． 则229tan 3tan tan tan tan tan tan 313tan y x y y z z x y-++==--． 故答案为-37．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC 的三个角A 、B 、C 成等差数列，对应的三边为a 、b 、c ，且a 、c成等比数列，则2:ABC S a ∆=___________.【解析】 【详解】因为A 、B 、C 成等差数列，2B A C =+，3180B A B C =++=︒，因此60B =︒.又因为a 、c成等比数列，所以c qa =，b =由正弦定理()sin sin 120a qa A A ==︒-，整理得22sin A q =221A q q=-，()()232235420q q q q ⎡⎤-+++-=⎣⎦. 所以2q =，1sin 2A =，30A =︒，90C =︒.故212ABC S ab ∆==，所以2:ABC S a ∆=8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角α、β满足αβ≠，且()()22cos cos 1tan tan 2αβαβ++⋅=，则αβ+=__________． 【答案】90 【解析】 【详解】由已知等式得()()()()22222tan tan 1tan tan 21tan 1tan αβαβαβ+++⋅=++，()()2tan tan tan tan 10αβαβ-⋅-=.但锐角αβ≠，故tan tan 10αβ⋅-=()cos 090αβαβ⇒+=⇒+=︒.故答案为909．（2021·全国·高三竞赛）函数sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭的最小正周期为____________．【答案】2π 【解析】 【详解】解析：当=2,x k k Z π∈时，sin 1tan tan 02x y x x ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，当2,x k k Z π≠∈时，sin 1cos sin 1tan cos sin x x y x x x x -⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，其中2x k ππ≠+且2x k ππ≠+，画出图象可得函数周期为2π．故答案为：2π.10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设()()πcos 2243x f x x x =++为定义在R 上的函数．若正整数n 满足()12021nk f k ==∏，则n 的所有可能值之和为______．【答案】12121 【解析】 【详解】()cos cos cos 2222()41(1)(3)xxxf k k k k k πππ=++=++,111()(11)(13)(21)(23)nk f k --==++++⨯∏00(431)(433)m m ⨯-+-+11(421)(423)m m --⨯-+-+0011(411)(413)(41)(43)m m m m ⨯-+-+++,考虑cos2x π的周期为4,分四种情况考虑(1)当43k m =-(m 为正整数)时,4311111001()(21)(23)(41)(43)(443)(431)(433)m k f k m m m ---==++++⨯-+-+-+∏13(41)2021m -=⨯-=,所以416063,436061m n m -==-=;(2)当42k m =-时，42111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(3)当41k m =-时，41111()3(41)2021m k f k m ---==⨯+=∏,无正整数解;(4)当4k m =时，41111()3(43)2021m k f k m --==⨯+=∏,此时46060n m ==，综上,6060n =或6061n =, 故答案为：12121.11．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，1155,tantantan222AC AC B =+-=，则+BC AB 的值为__________． 【答案】7 【解析】 【详解】解析：记ABC 中A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ， 如图，设内切圆的半径为r ，则tan22A r b c a =+-，tan 22C r a b c =+-，tan 22B r a c b =+-，故5()b c a a b c a c b +-++-=+-，故()57a c b +=， 即7a c +=， 故答案为：712．（2021·全国·高三竞赛）已知ABC 满足2sin sin 2sin A B C +=，则59sin sin A C+的最小值是_______． 【答案】16 【解析】【详解】解析：2sin sin 2sin sin 2(sin sin )A B C B C A +=⇒=-2sincos 4sin cos 2222A C A C C A A C ++-+⇒⋅=⋅sin 2sin tan 3tan 2222A C C A C A+-⇒=⇒=． 令tan 2A t =，则222259595527326sin sin 22191t t t t A C t t t t +++=+=+++216416t t +=≥=．当113,tan ,tan 22222A C t ===时，tan02A C+>，所以180A C +<︒， 故min5916sin sin A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 故答案为：1613．（2020·浙江·高三竞赛）已知,,0,2παβγ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos 2cos cos cos()2cos()αβγαγβγ++-+-+的最大值为___________.【答案】【解析】 【详解】()cos cos 2sin sin 2sin 222γγγααγα⎛⎫-+=+≤ ⎪⎝⎭，同理()cos cos 2sin2γββγ-+≤，故cos 2cos cos cos()6sin22cos()cos αβγαγβγγγ++-+-++≤，而22cos 2sin 3116sin 6sin 12sin 222222γγγγγ⎛⎫+++=--+ -⎪=⎝⎭，因为0sin 2γ≤≤23112sin 222γ⎛⎫--+≤ ⎪⎝⎭当且仅当,24ππγαβ===时，各等号成立，故答案为：14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形ABC 的三个边长a b c 、、成等比数列，并且满足a b c ≥≥.则A ∠的取值范围为___________.【答案】2[,)33ππ【解析】 【详解】由条件2b ac =，结合余弦定理222cos 2a c b B ac+-=，则有11cos (1)22a c B c a =+-≥，从而(0,]3B π∈，而A 是最大角，从而2,33A ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：2,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 15．（2021·全国·高三竞赛）设02πθ<<，且333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++，则实数m 的取值范是___________.【答案】14⎫⎪⎣⎭ 【解析】 【详解】解析：333cos sin 1(cos sin 1)m θθθθ++=++ ()223(cos sin )cos cos sin sin 1(cos sin 1)θθθθθθθθ+-++=++.令cos sin x θθ=+，则4x πθ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 2x θθ-=， 于是2323321112232231(1)2(1)2(1)2(1)2(1)2x x x x x x x m x x x x x ⎛⎫--+ ⎪+-+--⎝⎭=====-+++++， 为然m是上的减函数，所以()(1)f f m f ≤<，即14m ⎫∈⎪⎣⎭.故答案为：41,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．（2021·浙江·高三竞赛）在ABC 中，30B C ∠=∠=︒，2AB =.若动点P ，Q 分别在AB ，BC 边上，且直线PQ 把ABC 的面积等分，则线段PQ 的取值范围为______.【答案】 【解析】 【分析】【详解】如图所示，设,BP x BQ y ==,所以113sin 30222BPQBBCSxy S ︒===,所以23xy =由余弦定理可得,2222222312266PQ x y xy x y x x=+-=+-=+-, 易得[1,2]x ∈,所以2[1,4]x ∈, 所以2367PQ ≤≤,则PQ 的取值范围为[436,7]-. 故答案为：[436,7]-.17．（2021·浙江·高三竞赛）若π3,π44x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则函数4sin cos 3sin cos x x y x x +=+的最小值为______.【答案】22【解析】 【分析】 【详解】令(sin cos 224t x x x π⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭， ()22213211222t t y t tt t-++===+≥当且仅当12t t =即2t =.故答案为：2218．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上，记PQR 、ABC 的面积分别为PQR S、ABCS，则PQR ABCS S的最小值为__________．【答案】15【解析】 【分析】 【详解】（1）当PQR 的直角顶点在ABC 的斜边上，如图1所示，则P ，C 、Q ，R 四点共圆，180APR CQR BQR ∠=∠=︒-∠，所以sin sin APR BQR ∠=∠．在APR △、BQR 中分别应用正弦定理得,sin sin sin sin PR AR QR BRA APRB BQR==∠∠． 又45,A B PR QR ∠=∠=︒=，故AR BR =，即R 为AB 的中点． 过R 作RH AC ⊥于H ，则12PR RH BC ≥=， 所以22221124PQR ABCBC SPR SBC BC ⎛⎫ ⎪⎝⎭=≥=，此时PQR ABCS S 的最小值为14．（2）当PQR 的直角顶点在ABC 的直角边上，如图2所示．设1,(01),02BC CR x x BRQ παα⎛⎫==≤≤∠=<< ⎪⎝⎭，则90CPR PRC BRQ α∠=︒-∠=∠=． 在Rt CPR 中，sin sin CR xPR αα==，在BRQ 中， 31,,sin 4x BR x RQ PR RQB QRB B ππαα=-==∠=-∠-∠=-， 由正弦定理，11sin 3sin sin sin cos 2sin sin sin 44x RQ RB x x B RQB απαααπα-=⇔=⇔=∠+⎛⎫- ⎪⎝⎭，因此222111122sin 2cos 2sin PQRx SPR ααα⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭． 这样，()()2222111cos 2sin 512cos sin PQR ABCS Sαααα⎛⎫=≥= ⎪+++⎝⎭，当且仅当arctan 2α=时取等号，此时PQR ABCS S的最小值为15．故答案为：15.19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程223cos cos 22cos cos2cos4,[0,2]4x x x x x x π+-=∈的实数x 构成的集合的元素个数为________． 【答案】14 【解析】 【分析】 【详解】将方程变形为，1cos2cos44cos cos2cos42x x x x x +-=-．两边同乘2sin x ，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：(sin3sin )(sin5sin3)sin8sin x x x x x x -+--=-，即sin5sin8x x =，故58(21),x x k k π+=+∈Z 或852,x x k k π=+∈Z ， 即21,13k x k π+=∈Z 或2,3k x k π=∈Z ． 又因为在方程两边同时乘sin x 时，所以引入了增根,x k k π=∈Z （代入原方程检验可得）． 再结合[0,2]xπ，得所求结果为14．故答案为：14.20．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，若2b c a +-=，则2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +-值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】 【详解】2222sin sin 2sin sin sin 22222C B A B Cb c bc +- 2211(1cos )(1cos )12(cos cos cos 1)22b Cc B bc A B C =-+--++- 22(2)(cos cos 1114)(cos cos 22)b c bc b C b c B c c B b C =++-+-+221(2cos )4b c bc A ++-22221111(2)()142242b c a b c bc ba ca a +-=++--+==． 故答案为：1.21．（2021·全国·高三竞赛）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，O 是ABC 的外心，点P 满足OP OA OB OC =++，若3B π=，且4BP BC ⋅=，则ABC 的面积为_________．【答案】【解析】 【分析】 【详解】由OP OA OB OC =++，得OP OA OB OC -=+，即AP OB OC =+． 注意到()OB OC BC +⊥，所以AP BC ⊥． 同理，BP AC ⊥，所以P 是ABC 的垂心， ()BP BC BA AP BC BA BC ⋅=+⋅=⋅，所以cos 4ac B =，8ac =，所以1sin 2ABC S ac B ==△故答案为：22．（2021·全国·高三竞赛）设ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，并且sin cos sin A B C 、、成等比数列，cos sin cos A B C 、、成等差数列，则B 为____________. 【答案】23π【解析】 【分析】 【详解】依题意，2sin sin cos ,cos cos 2sin A C B A C B =+=， 前一式积化和差可得2cos()2cos cos A C B B -=-，后一式和差化积可得cos2cos 22A C B-=， 所以22cos()2cos18cos 14cos 322A CB AC B --=-=-=+，联立两式得1cos 2B =-或3（舍去），所以23B π=. 故答案为：23π. 23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数x y 、、z 满足2225x xy y ++=，22144y yz z ++=，22169z zx x ++=，则xy yz zx ++=_________.【答案】【解析】 【分析】 【详解】易知三个等式可化为2222222222cos1205,2cos12012,2cos12013.x y xy y z yz z x zx ⎧+-︒=⎪+-︒=⎨⎪+-︒=⎩构造Rt ABC ，其中13,5,12AB BC CA ===.设P 为ABC 内一点，使得,,,120PB x PC y PA z BPC CPA APB ===∠=∠=∠=︒. 因BPCCPAAPBABCSSSS++=，则11()sin12051222xy yz zx ++︒=⨯⨯，所以xy yz zx ++=故答案为：24．（2021·全国·高三竞赛）设()cos ()cos 30xf x x =︒-，则()()()1260f f f ︒+︒++︒=_________．【解析】 【分析】 【详解】 因为()cos ()cos 30xf x x =︒-，所以：()()()()cos 60cos ()60cos 30cos 30x xf x f x x x ︒-+︒-=+︒--︒()()()()cos cos 602cos30cos 30cos 30cos 30x x x x x +︒-︒-︒===-︒-︒令：()()()1259s f f f =︒+︒++︒，① ()()()()595821s f f f f =︒+︒++︒+︒，②①+②得：：()()()()()()2159258591s f f f f f f =︒+︒+︒+︒++︒+︒=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以s =()()()59312592f f f +++=．又()()1cos6060cos 3060f ︒︒==︒=︒-，则()()()()125960f f f f ︒+︒++︒+︒==． 25．（2021·全国·高三竞赛）已知cos cos 1x y +=，则sin sin xy -的取值范围是________. 【答案】⎡⎣【解析】 【分析】 【详解】设sin sin x y t -=，易得2cos in sin 1cos s 2y x y t x --=，即21cos()2t x y -+=. 由于()1cos 1x y -≤+≤，所以21112t --≤≤，解得t≤故答案为：⎡⎣.26．（2020·全国·高三竞赛）在ABC中，6,4AB BC ==，边AC 66sin cos 22A A+的值为_______． 【答案】211256． 【解析】【分析】由中线长公式计算出AC 的长度，然后运用余弦定理计算出cos A 的值，化简后即可求出结果. 【详解】记M 为AC 的中点，由中线长公式得()222242BM AC AB BC +=+，可8AC ==．由余弦定理得2222228647cos 22868CA AB BC A CA AB +-+-===⋅⋅⋅，所以66224224sin cos sin cos sin sin cos cos 22222222A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22222sin cos 3sin cos 2222A A A A ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭231sin 4A =-213211cos 44256A =+=． 故答案为：211256【点睛】关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数()4sin 23cos 22sin 4cos f x x x a x a x =+++的最小值为－6，则实数a 的值为________ .【答案】【解析】 【详解】令sin 2cos x x t +=，则[t ∈， ∴224sin 23cos 25t x x =++，∴2()()225,[f x g t t at t ==+-∈，当2a-≤a ≥函数的最小值为：(((22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =当2a-a ≤-函数的最小值为：22256g a =⨯+⨯⨯-=-，解得：a =，不合题意，舍去；当2a-<a -< 函数的最小值为：22256222a a a g a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得：a =.故答案为：28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若AC =AB =25tan 12π=，则BC =____________ .【解析】 【详解】5tan 12π=，得2sin 56tan 122cos 6A A πππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即5tan tan 612A ππ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以5,612A k k πππ+=+∈Z . 结合0A π<<，得5,6124A A πππ+==. 所以由余弦定理，得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅⋅22222cos4π=+-⋅2=所以BC29．（2018·全国·高三竞赛）设 A B C ∠∠∠、、是ABC 的三个内角.若sin ,A a =cos B b =,其中,a ＞0,0b >,且221a b +≤,则tan C =______.【解析】 【详解】因为cos 0B b =>,所以,B ∠为锐角,sin B又221a b +≤,则sin sin A a B =≤. 于是()sin sin A B π-≤. 若A ∠为钝角,则A π-∠为锐角.又B ∠为锐角,则A B A B ππ-∠≤∠⇒∠+∠≥矛盾.从而,A ∠为锐角,且cos A .故sin tan cos A A A ==sin tan cos B B B ==则tan tan tan tan tan 1A B C A B +==⋅-30．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，已知a 、b 、c 分别是A ∠、B 、C ∠的对边．若4cos a b C b a +=，()1cos 6A B -=，则cos C ______． 【答案】23【解析】 【详解】由题设及余弦定理知222222422a b a b c a b c b a ab+-+=⋅⇒+=()()2221cos21cos22sin sin sin 1cos cos 22A BC A B A B A B --⇒=+=+=-+⋅-()2111cos 1cos 21cos 66C C C =+⇒+=-2cos 3C ⇒=或34-． 而()3cos cos 2sin sin 0cos 4C A B A B C ++=⋅>⇒=-（舍去）．因此，2cos 3C =． 31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的ABC ∆，只要()+p q r p q R 、+=∈，就有222sin sin sin p A q B pq C +>，则正数r 的取值范围是______.【答案】01r <≤ 【解析】 【详解】设的三边长分别为a 、b 、c . 则222sin sin sin p A q B pq C +>①22211a b c q p⇔+>. 若1r ≤，则()22221111a b q p a b q p qp ⎛⎫+≥++ ⎪⎝⎭ ()22a b c ≥+>；若1r >，令2rp q ==. 当a b =，C π∠→时，2221 22a b rc +→<，式①不成立.综上，01r <≤.32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角ABC ∆中，cos cos sin sin A B A B +--的取值范围是______. 【答案】()2,0- 【解析】 【详解】由02A B C π<∠∠∠<、、 22A B AB πππ⇒<∠+∠⇒∠-∠，2B A π∠>-∠.则0cos sin 1A B <<<，0cos sin 1B A <<<故2cos cos sin sin 0A B A B -<+--<. 所以取值范围是()2,0-.33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆221x y +=上三个点()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y满足1231230x x x y y y ++=++= .则222222123123x x x y y y ++=++=__________.【答案】32【解析】 【详解】设1cos x α=，2cos x β=，3cos x γ=，1sin y α=，2sin y β= 3sin y γ=. 由题设知ABC ∆的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.故()222313cos cos cos cos2cos2cos2222αβγαβγ++=+++=， ()222313sin sin sin cos2cos2cos2222αβγαβγ++=-++=. 故答案为3234．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，2cos 3cos 6cos A B C +=，则cos C 的最大值为_______________．【解析】 【分析】 【详解】令cos ,cos ,cos A x B y C z ===，则236x y z +=，即223y z x =-． 因为222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=， 所以22222212233x z x z x z x z ⎛⎫⎛⎫+-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得222134********z x z z x z ⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2228134Δ44510393z z z z ⎛⎫⎛⎫=----≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2413(1)(1)4039z z z z ⎛⎫+-+-≥ ⎪⎝⎭， 于是24134039z z +-≤，得z ≤ 所以cos C．16. 35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数n p 、，且2p ≥，设正实数12,,,n m m m 满足1111npi im ==+∑，则12n m m m 的最小值为_______．【答案】(1)mp n - 【解析】 【分析】【详解】令2tan ,0,,1,2,,2p i i i m x x i n π⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭．由题设可得22212cos cos cos 1n x x x +++=，于是：2222121cos cos cos sin n n x x x x -+++=，222221221cos cos cos cos sin n n n x x x x x --++++=，……2222231cos cos cos sin n x x x x +++=，将上述各式利用均值不等式得：2221(1)cos sin n n n x x --≤， 22221(1)cos sin n n n x x ---≤，……2231(1)cos sin n n x x -≤，再把上述n 个不等式相乘，得()2222221212(1)cos cos cos sin sin sin n n n n x x x x x x -≤，即22212tan tan tan (1)n n x x x n ≥-．由于2tan ,1,2,,p i i m x i n ==，故12(1)n pn m mm n ≥-，当且仅当1(1)p i m n =-时上式等号成立．故答案为：(1)mp n -.36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角ABC 的三个内角、、A B C ，满足sin sin sin A B C =⋅，则tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值为_______．【答案】163【解析】 【分析】 【详解】由题设可知，0,,2A B C π<<，则cos 0,cos 0B C >>．又由A B C π++=及sin sin sin A B C =⋅ 得()()sin sin sin B C B C π-+=⋅， 即()sin sin sin B C B C +=⋅，则sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=⋅， ① 由cos 0,cos 0B C >>，①式两边同时除以cos cos B C ⋅， 可得tan tan tan tan B C B C +=⋅． 设tan tan B C s +=，则tan tan B C s ⋅=， 由0,2B C π<<知，tan 0,tan 0B C >>，则0s >． 于是有()tan tan B s B s ⋅-=，故2tan tan 0B s B s -+=，从而有22(tan )(4)244s s sB s s -=-=-．又2(tan )02s B -≥，得(4)04s s -≥，而0s >．所以4s ≥．故4s ≥．tan tan tan tan(())tan tan A B C B C B C π⋅⋅=-+⋅⋅2tan tan tan tan 1tan tan 1B C s B C B C s +=-⋅⋅=-⋅-． 因为4s ≥，于是求tan tan tan A B C ⋅⋅的最小值转化为求函数2()(4)1x f x x x =≥-的最小值．考虑函数221()(4),()(1)2(4)111x x f x x f x x x x x x =≥==-++≥---，即()f x 在[)4,+∞上单调递增，从而()()4,4x f x f ≥≥． 因此()f x 的最小值在4x =时取得，为2416(4)413f ==-． 由tan tan tan tan 4B C B C +=⋅=得，tan tan 2B C ==，从而4tan 3A =， 故当4tan 3A =，tan tan 2BC ==时，tan tan tan A B C ⋅⋅取得最小值163． 故答案为：163. 37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC 中，0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=.则(tan tan )tan tan tan A B CA B+⋅=____________ .【答案】12 【解析】 【详解】设△ABC 中角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .由0,0GA GB GC GA GB ++=⋅=，知G 为△ABC 的重心. 又GA ⊥GB ，所以22222222211221122GA GB c GA GB a GB GA b ⎧⎪+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩.得到2225a b c +=.故：(tan tan )tan (sin cos cos sin )sin tan tan sin sin cos A B C A B A B C A B A B C++=⋅2sin sin sin cos C A B C =()22222abc ab a b c =+-2222212c a b c ==+-. 故答案为：12．38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A =3B =9C ，则cos cos A B +cos cos cos cos B C C A +=____________ .【答案】14-【解析】 【详解】设,3,9C B A θθθ===，由39θθθπ++=得13πθ=，所以cos cos cos cos cos cos S A B B C C A =++9339coscos cos cos cos cos 131313131313ππππππ=++112642108cos cos cos cos cos cos 2131313131313ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 注意括号中的诸角度构成公差为213π的等差数列，两边同乘4sin 13π，得到 246810124sin2sincos cos cos cos cos cos 1313131313131313S ππππππππ⎛⎫⋅=+++++⎪⎝⎭35375sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭971191311sin sin sin sin sin sin 131313131313ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ sin13π=-.所以，14S =-.故答案为：14-．三、解答题39．（2021·全国·高三竞赛）在ABC 中，三内角A 、B 、C 满足tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，求cos C 的最小值．【答案】23【解析】 【分析】 【详解】由tan tan tan tan tan tan A B B C C A =+，得： sin sin sin sin sin sin cos cos cos cos cos cos A B B C C AA B B C C A =+sin (sin cos sin cos )cos cos cos C B A A B A B C +=sin sin()cos cos cos C A B A B C+=2sin cos cos cos C A B C=， 所以2sin sin cos sin A B C C =．由正余弦定理，得22222a b c abc ab+-=， 所以2222222sin 223,cos sin sin 333C c a b ab a b c C A B ab ab ab ++====≥=， 当且仅当a b =时等号成立，所以cos C 的最小值为23．40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x 的方程：{}202020201arctan k x x k==∑（这里{}[][],x x x x =-为不超过实数x 的最大整数） 【答案】{}0 【解析】 【分析】 【详解】（1）当0x <时，{}202020201arctan 0(1,2,,2020),arctan 0k x x k x k k =<=<≤⋅⋅⋅∑，此时原方程无解．（2）当0x =时，有{}202020001arctan0k x x k===∑． （3）当01x <<时，令arct ()1)2an (0x xf x x =-<<，则211()0(01)12f x x x '=-><<+， 故()f x 在()0,1上递增．有()()00f x f >=，即arctan 2x x > 于是，此时{}202020204202020201111125arctan 2224k k k x x x xx x x k k k =====>>=>∑∑∑，即1x >，矛盾．故无解．（4）当1≥x 时，注意到111123tan(arctan arctan )112316++==-， 且由110arctan arctan arctan1arctan1232π<+<+=，知11arctan arctan 234+=π．则{}20202020202011111arctan arctan arctan1arctan arctan 1232k k x x k k π===≥>++=>∑∑，与{}202001x <<，矛盾．故此时无解．由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为{}0．41．（2021·全国·高三竞赛）已知点(2cos ,sin ),(2cos ,sin ),(2cos ,sin )A B C ααββγγ，其中,,[0,2)αβγπ∈，且坐标原点O 恰好为ABC 的重心，判断ABCS是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】三角形ABC【解析】 【分析】 【详解】先证明一个引理：若()()1122,,,,(0,0)A x y B x y C ，则122112ABCS x y x y =-． 因为()()1122,,,CA x y CB x y ==， 所以21cosCA CB C CA CBx⋅==⨯所以sin C ==所以：1sin 2ABCSCACB C =⋅⋅ 12211122x y x y ==-回到原题，连结OA 、OB 、OC ，则： ABCOABOBCOACSSSS=++112cos sin 2sin cos 2cos sin 2sin cos 22αβαββγβγ=-+- 12cos sin 2sin cos 2αγαγ+- sin()sin()sin()αββγαγ=-+-+-．由三角形的重心为原点得sin sin sin 0,2cos 2cos 2cos 0.αβγαβγ++=⎧⎨++=⎩即sin sin sin ,cos cos cos .αβγαβγ+=-⎧⎨+=-⎩ 所以两式平方相加可得1cos()2αβ-=-，所以sin()αβ-=，同理sin()sin()βγαγ-=-=， 所以sin()sin()sin()3ABCSαββγαγ=-+-+-==故三角形ABC 42．（2019·上海·高三竞赛）已知,0,2A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin A B =()sin A B +，求tanA 的最大值.【答案】43【解析】 【详解】由题设等式可得sin sin (sin cos cos sin )A B A B A B =+， 所以tan sin (tan cos sin )A B A B B =+. 令tan t A =，则2sin cos sin t t B B B =+，于是2sin 21cos2t t B B =+-，21)t B θ--， 这里θ是锐角，sin θ=.所以2|21|1t t -+，注意到t >0，可得43t. 当413arctan ,arcsin 3225A B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭时，题设等式成立.所以，tanA 的最大值为43.43．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，证明：coscos cos cos cos cos 222222cos cos cos 222B C C A A BA B C ⋅⋅⋅++≥ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.【答案】见解析 【解析】 【详解】如图，对ABC ∆，作其相伴111A B C ∆. 则11cos 2B E B B O =，111cos 2C G C A C =，111cos 2C G A B C =. 故11111111111111coscos 22cos2B E C G B C B O A C B E B C A C G B O A C B C ⋅⋅⋅==⋅. 由O 、E 、1C 、F 四点共圆得11111B E B C B O B F ⋅=⋅则111cos cos 22cos 2B C B F A AC ⋅=.类似地，111coscos 22cos 2B C C G A A B ⋅=，111cos cos 22cos2B C A E A B C ⋅= 记111A B C ∆的三边111111B C C A A B 、、分别为111a b c 、、，相应边上的高111A E B F C G 、、分别为123h h h 、、，且其面积为S 、则312222222111111111cos cos 222111222cos2B C h h h S S S S A a b c a b c a b c ⋅⎛⎫∑=++=++=++ ⎪⎝⎭.其中，“∑”表示轮换对称和.由熟知的不等式222111111334a b c S++≥，得coscos 33222cos 2B CA ⋅∑≥. 当且仅当ABC ∆为正三角形时，上式等号成立.44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC 中，若cos cos 2sin sin A BB A+=，证明:∠A ＋∠B ＝90° 【答案】见解析 【解析】 【详解】由sin cos sinB sin sin sin sinB 0A A cosB A B A ⇒⋅+⋅-⋅-⋅=()()sin cos sin sinB cosB sinA 0A A B ⇒-+-=()()sinA sin 90sinB sinB sin 90sinA 0A B ⎡⎤⎡⎤⇒︒--+︒--=⎣⎦⎣⎦909090902sinA cossin 2sin cos sin 2222A B A B B A B AB ︒-+︒--︒-+︒--⇒⋅⋅+⋅⋅ 902sin sin cos 45?sin cos 450222A B A B A B A B ⎡⎤︒----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒⋅︒-+⋅︒+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=0902A B ︒--⎛⎫⇒ ⎪⎝⎭sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.()()90cos sin sin sin sin sin 0222A B A B A B A B A B ︒----⎛⎫⎡⎤⇒++-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦222cos sin 2sin cos 02222A B A B A B A B -+-+⋅+⋅>sin cos sin sin cos sin 02222A B A B A B A B A B ⎡⎤----⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 90sin 02A B ︒--⎛⎫⇒= ⎪⎝⎭ 90A B ⇒∠+∠=︒()10A a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，. 45．（2018·全国·高三竞赛）已知ABC 的三个内角满足2A C B ∠+∠=∠,cos cos A C +=cos 2A C -的值.【解析】 【详解】由题设知60,B ∠= 120A C ∠+∠=︒. 设2A Cα∠-∠=,则2A C α∠-∠=,于是,60,60A C αα∠=+∠=-. 故()()cos cos cos 60cos 602cos60cos cos A C αααα+=++-=⋅=.()()()260cos 6032cos2cos120cos cos604αααα+⋅-⎫==+︒=-⎪⎭.故223cos cos 2cos 04αααα⎫=--⇒+-=⎪⎭()(32cos 0αα⇒+=.若3cos 1αα+⇒=<-舍，从而,2cos 0cos αα=⇒=. 46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数()()()3333sin cos sin cos f x x x m x x =+++在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有最大值2.求实数m 的值.【答案】1m =- 【解析】 【详解】注意到，()()233sin cos sin cos sin cos 3sin cos x x x x x x x x ⎡⎤+=++-⋅⎣⎦()()()223sin cos sin cos sin cos 12x x x x x x ⎧⎫⎡⎤=++-+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭.令sin cos 4t x x x π⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭. 则()()()223333931222f x t t t mt m t t g t ⎡⎤⎛⎫=--+=-+∆ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.由()233322g t m t ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'，有以下两种情形.（1）32m ≥. 由()0g t '>，知()max 92322g t g m ⎫==-+=⎪⎭ 230m ⇒-<，矛盾.（2）32m <. 若32132m -<-，即0m <时，()()max 1321g t g m m ==+=⇒=-；若32132m -≤≤-3012m ⎛≤≤ ⎝⎭时， ()max271523248g t g m m ==⇒=-⇒=-，矛盾；若3232m ->-33122m ⎛<< ⎝⎭时，()max 3 222g t g m ⎫==+=⎪⎭34m ⇒=-. 综上，1m =-.47．（2019·全国·高三竞赛）求(),f xy =【答案】42 【解析】 【详解】注意到，2cos472cos 26x x +=+ ()2222cos 16x =-+ ()428cos cos 1x x =-+，同理，()42cos478cos cos 1y y y +=-+，而22cos4cos48sin sin 6x y x y +-⋅+ ()()22cos47cos478sin sin 8x x x y =+++-⋅-()428cos cos 1x x =-++ ()428cos cos 1y y -+- ()()2281cos 1cos 8x y ---()44228cos cos 8cos cos x y x y =+-⋅，()()42424422,8cos cos 1cos cos 1cos cos cos cos f x y x x y y x y x y =-++-+++-⋅，如图，作边长为1的正SAB ∆、SBC ∆、SCD ∆，在SB 、SC 上分别取点X 、Y 使得2cos SX x =，2cos SY y =，联结AX 、AY ，则(),f x y ()8AX XY YD =++，其最小值就是线段ASD 的长度，即当2x y π==时，min 2842f ==.48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】由于1111tan arctan 1412111n n n n n π-⎛⎫+-== ⎪++⎝⎭+⨯+，只需证： 2111arctan arctan arctanarctan 3712nn n n +++=+++．设*(),2nf n n n =∈+N ，注意到：21()(1)12111()(1)1121n n f n f n n n n n f n f n n n n n ----++==-+-+++⋅++，即21tan[arctan ()arctan (1)]tan arctan 1f n f n n n ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭， 又由于()f n 、(1)f n -、211n n ++均大于0，则21[arctan ()arctan (1)],,arctan 0,2212f n f n n n πππ⎛⎫⎛⎫--∈-∈ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 从而21arctanarctan ()arctan (1)1f n f n n n =--++． 所以2111arctan arctan arctan371n n +++=++arctan ()arctan (0)arctan 2nf n f n -=+，所以对任意的n +∈N ，都有21111arctan arctan arctanarctan 37114n n n π++++=+++．49．（2021·全国·高三竞赛）设αβγ、、是锐角，满足αβγ+=，求证：cos cos cos 1αβγ++-≥【答案】证明见解析 【解析】 【详解】2cos cos cos 12coscos2sin 222αβαβγαβγ+-++-=⋅- 2cos cos sin sin 2222γαβγαβ-+⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭.由于0,224αβγπ+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以cos cos cos sin 2222αβαβγγ-+>=>. 由恒等式()()222222()()ac bd ad bc a b c d ---=--可知，如果0a b >>且0c d >>，则ac bd -≥cos cossinsin2222γαβγαβ-+⋅≥-⋅===所以cos cos cos 1αβγ++-≥50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC 中，求证：cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C ---.【答案】证明见解析 【解析】 【详解】 原不等式等价于cos()cos()cos()8cos cos cos B C C A A B A B C---.在三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=， cos()sin sin cos cos cos sin sin cos cos B C B C B C A B C B C -+=-tan tan 1tan tan 1B C B C +=-tan (tan tan 1)tan tan A B C B C +=+2tan tan tan tan tan A B CB C++=+.令tan tan tan tan tan tan A B xB C y C A z+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，则原不等式等价于()()()8z x y z x y yxz +++. 而上式左边228zx yxz⋅=，故原不等式得证【高中数学竞赛专题大全】 竞赛专题3 三角函数 （50题竞赛真题强化训练）一、单选题1．（2018·吉林·高三竞赛）已知()sin 2cos xf x x=+，则对任意x ∈R ，下列说法中错误的是（ ） A ．()1sin 3f x x ≥B ．()f x x ≤C ．()f x ≤D ．()()0f x f x ππ++-=2．（2018·四川·高三竞赛）函数()()()sin 1cos 12sin 2x x y x R x--=∈+的最大值为（ ）.A ．2B ．1C ．12+D3．（2019·全国·高三竞赛）函数[][]sin cos sin cos y x x x x =⋅++的值域为（ ）（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）. A ．{}2,1,0,1,2-- B ．{}2,1,0,1-- C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,1--4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件43p =和条件4:sin cos 3q αα+=．则p 是q 的（ ）． A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2018·全国·高三竞赛）在ABC ∆中，A B C ∠≤∠≤∠，sin sin sin cos cos cos A B CA B C++=++则B 的取值范围是（ ）.A ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π D ．,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角x 、y 、z 成等差数列，公差为π3，则tan tan tan tan tan tan x y y z z x ++=______．。
锐角三角函数的综合常考50题
《各章节核心资料“锐角三角函数”50道常考题型》【韩春成内部核心资料（33）】知识构架一、 三角函数基础二、 锐角三角函数与代数综合 三、 化简求值 四、 比较大小五、 三角函数与几何综合典题精练三角函数基础1. 【易】︒的值是____________．2. 【易】（江西南昌十五校联考）计算：tan60︒=_______．3. 【易】（沈阳）在Rt ABC △中，C ∠为直角，sin A cos B 的值是（ ） A ．12 B C ．1 D ．4. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）在ABC △中，90C =︒∠，1tan 3A =，则sinB =（ ）A B ．23 C ．34D 5. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）若3cos 4A =，则下列结论正确的为（ ） A ．030A ︒<<︒∠ B ．3045A ︒<<︒∠ C ．4560A ︒<<︒∠ D ．6090A ︒<<︒∠ 6. 【易】（2013年广东省佛山市高中阶段招生考试数学试题）如图，若60A ∠=︒，20m AC =，则BC 大约是（结果精确到0.1m ）（ ）A ．34.64mB ．34.6mC ．28.3mD ．17.3mA CB7. 【易】（浙江省初中毕业生学业考试（湖州市））如图，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，13AB =，12AC =，则cos B 的值为________8. 【易】如图，ABC △中，90C ∠=︒，12AC =，5BC =．⑴ 求AB 的长；⑵ 求sin A 、cos A 的值； ⑶ 求22sin cos A A +的值； ⑷ 比较sin A 与cos B 的大小．9. 【易】（石家庄市42中二模）在Rt ABC △中，90C ∠︒＝，1BC =，2AC =，则tan A 的值为（ ）A ．2B ．12CD10. 【易】（莆田市初中毕业、升学考试试卷）已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，5sin 13A =，则tan B 的值为____________． 11. 【易】已知α为锐角，且5sin 13α=，求cos α的值；12. 【易】（贵阳市初中毕业生学业数学考试试题卷）如图，P 是α∠的边OA 上一点，点P的坐标为（12，5），则tan α等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．125BCACBA13. 【难】用几何方法求15︒角的三角函数值．14. 【中】（杭州市各类高中招生文化考试）在Rt ABC △中，90C ∠=︒，2AB BC =，现给出下列结论：①sin A ；②1cos 2B =；③tan A ；④tan B 结论是__________（只需填上正确结论的序号）锐角三角函数与代数综合15. 【易】（淮南市洞山中学第四次质量检测）在ABC △中，若()2sin 1tan 0A B -=，则C ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．60︒C ．75︒D ．105︒16. 【易】（海南省中考数学科模拟）在ABC △中，()2tan 12cos 0C B -=，则A ∠=______． 17. 【易】（安徽省芜湖市中考）已知锐角A 满足关系式22sin 7sin 30A A -+=，则sin A 的值为（ ）A ．12B ．3C ．12或3D ．418. 【易】求适合下列条件的锐角α：2cos(10)α+︒19. 【中】若方程222210x ax a -+-=的一个根是sin α，则它的另一个根必是cos α或cos α-．20. 【中】已知ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是,,,a b c 若,a b 是关于x 的一元二次方程2(4)480x c x c -+++=的两个根，且925sin .c a A =⑴求证：ABC △是直角三角形； ⑵求ABC △的三边长．化简求值21. 【易】（北大附中初二第二学期期末考试）计算：tan60tan 45cos30︒-︒︒的值是___________．22. 【易】（延庆县2011-2012学年第一学期期末试卷）tan452cos30sin60-+23. 【易】（深圳初三月考）计算：2cos30cos45tan45-+°°°°24. 【易】（深圳初三月考）已知tan 2A =，求3sin cos sin cos A AA A-+的值25. 【易】（初三深圳实验第一次月考）()114cos0π 3.14tan 453-⎛⎫︒--+︒+ ⎪⎝⎭的值．26. 【易】（初三期末）sin30tan60+°°°的值为__________． 27. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）计算sin60tan 45cos30-的值是____________．已知3tan 0 A A ∠=则______．28. 【易】21220103tan303-⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭29. 【易】（滨州市初级中学学业水平考试）计算：()12112|52009π2-⎛⎫-++-⨯- ⎪⎝⎭．30. 【易】（怀化市初中毕业学业考试试卷）先化简，再求值：()20tan60a ab a b b a b-⨯--⋅︒-，其中1a b =，三角函数与几何综合31. 【易】（江苏沭阳银河学校质检题）在ABC △中，若tan 1A =，sin B ABC △是______三角形． 32. 【易】（江苏沭阳银河学校质检题）一等腰三角形的两边长分别为4cm 和6cm ，则其底角的余弦值为_____． 33. 【易】（兴仁中学一模）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD 是AB 边上的中线，若6BC =，8AC =，则tan ACD ∠的值为（ ）A ．35B ．45C ．43D ．3434. 【易】（温州市泰顺九校模拟、第一学期期末考试九年级数学试卷）直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ）A ．tan 2α=B ．1tan 2α=C ．sin 2α=D ．cos 2α=35. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）等腰ABC △中，5AB AC ==，8BC =，求底角B ∠的四个三角函数值．36. 【易】（南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）在ABC △中，::2a b c =，那么cos A 的值为（ ）． ABC ．12DDCBA37. 【易】（北京二中分校第一学期初三期中）已知：如图，ABC △中，135A ∠=︒，2tan 3B =，8AB =，求AC ．38. 【易】（宝山区二模、北大附中2010-2011学年度初二第二学期期末考试）如图，ABC△中，AB AC =，4cos 5ABC ∠=，点D 在边BC 上，6BD =，CD AB =． ⑴求AB 的长；⑵求ADC ∠的正切值．39. 【易】（福建厦门）已知：如图，在ABC △中，90C ∠=︒DE BC ∥，3DE =，9BC =．⑴求ADAB的值； ⑵若10BD =，求sin A ∠的值．ABCCDABEDCBA40. 【易】（浦东新区中考预测）如果等腰三角形的腰长为13厘米，底边长为10厘米，那么底角的余切值等于（ ）A ．513B ．1213C ．512D ．12541. 【易】（罗湖初三第一次月考）如果ABC △中，sin cos A B ==，则下列最确切的结论是（ ）A ．ABC △是直角三角形B ．ABC △是等腰三角形 C ．ABC △是等腰直角三角形D ．ABC △是锐角三角形42. 【易】（延庆县第一学期期末试卷）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(100)，，点B 在第一象限内，5BO =，3sin 5BOA =∠．求：⑴点B 的坐标；⑵cos BAO ∠的值．43. 【易】（遂宁市初中毕业生学业考试）如图，已知O ⊙的两条弦AC ，BD 相交于点E ，70A =︒∠，50C =︒∠，那么sin AEB ∠的值为（ ）A ．12BCD44. 【易】（九年级第一模拟试题）如图，在菱形ABCD 中，DE AB ⊥，4sin 5A =，2BE =，则tan BDE ∠的值是（ ）A ．12BC ．2 DABCDE45. 【易】（河南省实验中学内部中考数学第一轮复习资料4）（2012年初三期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，2AB CD ==，AC AB ⊥，4AC =，则sin DAC ∠=（ ）A ．12 BCD ．2 46. 【易】（福建福州中考）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30︒、45︒，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一条直线上，则A 、B 两点的距离是（ ）A ．200米 B． C．D．)1001米47. 【易】（东城二模）如图，将三角板的直角顶点放置在直线AB 上的点O 处．使斜边CD AB ∥，则α∠的余弦值为__________．锐角三角函数48. 【易】（江苏省竞赛题）如图，等腰Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，D 为BC 中点，将ABC ∆折叠，使A 点与D 点重合，若EF 为折痕，则BED ∠sin 的值为_______．DCBA45°30°DC BAACB DOα30°D EFABC49. 【易】（南充市中考题）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，BCE ∆沿BE 折叠为BFE ∆，点F 落在AD 上， ⑴ 求证：ABF ∆∽DFE ∆；⑵ 若31sin =∠DFE ，求EBC ∠tan 的值．50. 【易】（济南市中考题）如图，AOB ∠是放置在正方形网格中的一个角，则AOB ∠cos 的值是（ ）E《各章节核心资料“锐角三角函数”50道常考题型》答案【韩春成内部核心资料（33）】三角函数基础1.2.3. 【答案】D4. 【答案】D5. 【答案】B6.【答案】A7. 【答案】5138. 【答案】⑴∵90C ∠=︒，12AC =，5BC =，∴13AB ==． ⑵5sin 13BC A AB ==，12cos 13AC A AB ==． ⑶∵22525sin ()13169A ==，2212144cos ()13169A ==，∴2225144sin cos 1169169A A +=+= ⑷∵5cos 13BC B AB ==， ∴sin cos A B =．9. 【答案】B 10. 【答案】125 11. 【答案】121312. 【答案】C13. 【答案】如图所示，画Rt ABC ∆，使90ACB ∠=︒，D15︒30︒CBA1AC =，2AB =，30ABC ∠=︒，BC延长CB 到D ，使2BD BA ==，连接AD ，则15ADC ∠=︒．在Rt ACD ∆中，15ADC ∠=︒，1AC =，2DC =∵222AD DC AC =+2(21=+86432=+=++2262(2)=++2=∴AD =依定义得：sin15︒==；cos15︒==； tan152︒==- cot152︒=14. 【答案】②③④根据题意，因为90C =︒∠，2AB BC =，则该直角三角形是含30︒角的直角三角形，则12BC AB AC =∶∶1BC =，2AB =，AC 1sin 2BC A AB ==，②1cos 2BC B AB ==，③tan BC A AC ==④tan AC B BC ==，则答案为②③④. 锐角三角函数与代数综合15.【答案】C 16.【答案】105︒ 17.【答案】A18. 【答案】20α=︒【解析】∵2cos(10)α+︒=cos(10)α+︒=． ∵cos30︒=1030α+︒=︒，∴20α=︒． 19. 【答案】不妨设方程的另一根为m ，由一元二次方程的根系关系可知sin m a α+=，21sin 2a m α-=， 故2(sin )1sin 2m m αα+-=，整理可得22sin (sin )1m m αα=+-，即22sin 1m α+=，又22sin cos 1αα+=，故cos m α=±．20. 【答案】⑴∵,a b 是方程2(4)480x c x c -+++=的两个根，∴4,48a b c ab c +=+=+．∴222222()2(4)2(48)816816a b a b ab c c c c c c +=+-=+-+=++--=∴ABC ∆是直角三角形()90C ∠=︒．⑵在Rt ABC ∆中，sin a A c=，并代入925sin c a A =得22925.c a = ∴34,.55a cbc == 由344455a b c c c c +=++=+，． ∴10c =，且此时0∆>，从而68a b ==，化简求值21. 【答案】122. 【答案】tan452cos30sin60-+=12-+=1=1）． 23. 【答案】124. 【答案】5325. 【答案】126. 27. 【答案】0，30︒28. 【答案】1029. 【答案】2-30. 【答案】()20tan60a ab a b b a b-⨯--⋅︒- ()1a a b b a b-=⨯--a b =-1a b =，∴原式12=-三角函数与几何综合31. 【答案】等腰直角．32. 【答案】34或13． 33. 【答案】D34. 【答案】A35. 【答案】3sin 5B =，4cos 5B =，3tan 4B =，4cot 3B =． 36. 【答案】B37.【答案】38. 【答案】⑴过点A 作AH BC ⊥，垂足为H∵AC AB =∴BC HC BH 21== 设x CD AC AB ===∵6=BD∴6+=x BC ，26+=x BH 在Rt △AHB 中，，又54cos =∠ABC ∴5426=+x x解得：10=x ，所以10=AB ⑵821===BC HC BH 2810=-=-=CH CD DH在Rt △AHB 中，222AB BH AH =+，又10=AB ，∴6=AH 在Rt △AHD 中，326tan ===∠DH AH ADC ∴ADC ∠的正切值是339. 【答案】⑴∵DE BC ∥，∴ADE ABC △∽△． ∴AD AB ＝13DE BC =. ⑵过点D 作DG BC ⊥，垂足为G ．∴DG AC ∥．∴A BDG =∠∠．又∵DE BC ∥，∴四边形ECGD 是平行四边形．∴DE CG =．∴6BG =．在Rt DGB △中，GOB A ∠=∠∴sin A =∠35．AB BH ABC =∠cos40. 【答案】C41. 【答案】C42. 【答案】⑴如图，作BH OA ⊥，垂足为H在Rt OHB △中，5BO =，3sin 5BOA ∠=， 3BH ∴=．4OH ∴=．∴点B 的坐标为(43)，．⑵10OA =，4OH =，6AH ∴=．在Rt AHB △中，3BH =，AB ∴=．cos AH BAO AB ∴∠==． 43.【答案】D 44.【答案】A 45.【答案】B 46. 【答案】D47. 【答案】12 锐角三角函数48. 【答案】35△AFE ≌△DFE ，45A FDE ∠=∠=︒，∵135135CDF EDB DEB EDB ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴ 2DEB CDF AC CF x ∠=∠==，设，，则21DF AF x CD ==-=，，由2(2)x -= 22351 44x x DF +==，得，，3sin sin 5CF BED CDF DF ∠=∠== 49. 【答案】⑴略⑵由△ABF ∽△DFE，得EF DF BF AB ===，故tan tan EF EBC EBF BF ∠=∠=．50.△AOB 为直角三角形．。
三角函数经典题目(带答案)
三角函数经典题目练习1.已知α1231、已知角2、P (x ,5则sin 1、已知2、函数(f3、已知 象限1. 已知π22.设0≤α是 .sin αtan x 若<0___.53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θ________.1tan tan αα，是关于x 的方程2230x kx k -+-=的个实根，且παπ273<<，则ααsin cos +的值 .0)13(22=++-m x x 的两根为()πθθθ2,0,cos ,sin ∈，求（1）m =_______（2）θθθθtan 1cos cot 1sin -+-=________.α )415tan(325cos ππ-+= . θθθθcos sin cos sin -+=2,则sin(θ-5π)·sin ⎪⎭⎫⎝⎛-θπ23= α终边上P （－4，3），)29sin()211cos()sin()2cos(απαπαπαπ+---+= .已知锐角α终边上一点P 的坐标是（2sin2,-2cos2)，α= . sin163°·sin223°+sin253°·sin313°= . =-+θθtan 1tan 1_________tan 20tan 4020tan 40︒+︒︒⋅︒= α∈(0,2π)，若sin α=53，则2cos(α+4π)= . 336cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ65cos =______，)65απ--=_____．.【知二求多】1、已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2βα= -54,sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2αβ=135,且0<β<2π<α<π,则cos 2βα+=____.2已知tan α=43,cos(α+β)=-1411, α、β为锐角，则cos β=______.【方法套路】1、设21sin sin =+βα，31cos cos =+βα，则)cos(βα-=___ .2.已知ββαcos 5)2cos(8++=0，则αβαtan )tan(+= .3,41)sin(,31)sin(=-=+βαβα则___tan tan =βα【给值求角】1tan α=71,tan β=31,α,β均为锐角，则α+2β= .2、若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角, 则A+B= .【半角公式】1α是第三象限，2524sin -=α，则tan 2α= . 2、已知01342=+++a ax x （a >1）的两根为αtan ，βtan ，且α,∈β ⎝⎛-2π,⎪⎭⎫2π,则2tan βα+=______3若cos 22π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭，则cos sin αα+= . 4、若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈27,25ππα，则ααsin 1sin 1-++=5x 是第三象限角xx xx x x x x cos sin 1cos sin 1cos sin 1cos sin 1-++++++-+=______ 【公式链】1=+++ 89sin 3sin 2sin 1sin 2222_______ 2sin10o sin30o sin50o sin70o=_______ 3（1+tan1o ）（1+tan2o ）…（1+tan45o ）=_______六、给值求角 已知31sin -=x ，写出满足下列关系x 取值集合 ]3,5[)3()2(]2,0[)1(πππ--∈∈∈x R x x七、函数性质 【定义域问题】 1. x x y sin 162+-=定义域为_________2、1)32tan(--=πx y 定义域为_________【值域】1、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为__________2、若函数g (x )＝2a sin x ＋b 的最大值和最小值分别为6和2，则|a |＋b 的值为________3、函数x xy sin 2sin 1+-=的值域4、函数xxy cos 1sin 21+-=的值域5、函数x x y sin 2cos -=的值域【解析式】1、已知函数f (x )＝3sin 2ωx －cos 2ωx 的图象关于直线x ＝π3对称，其中ω∈⎝⎛⎭⎫－12，52.函数f (x )的解析式为________．2、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象在y 轴上的截距为1，在相邻两最值点(x 0，2)，⎝⎛⎭⎫x 0＋32，－2(x 0＞0)上f (x )分别取得最大值和最小值．则所得图像的函数解析式是________ 3.将函数sin y x =的图像上所有的点右移10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是___________4、()()sin f x A x h ωϕ=++(0,0,)2A πωϕ>>< 的图象如图所示，求函数)(x f 的解析式；【性质】1、已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0，2] 2、若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在区间ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω=3、sin(2)3y x π=+图像的对称轴方程可能是A ．6x π=- B ．12x π=- C ．6x π= D ．4、已知函数x a x x f 2cos 2sin )(+=关于x 称，则a =_______5.()2sin()f x x ωϕ=++m 对任意x 有()6f x f π+=若()6f π=3，则m=________【图象】1、为了得到函数sin(2)3y x π=-sin(2)6y x π=+的图像向____移动____2、为了得到函数sin(2)3y x π=-y=cos2x 图像向____移动____个长度单位 3.将函数sin(2)y x ϕ=+的图象沿x 个单位后,得到一个偶函数的图象,则ϕ取值为 (A)34π (B) 4π(C)0 (D) 4π-【综合练习】1、已知定义在R 上的函数f (x )满足：当sin x f (x )＝cos x ，当sin x ＞cos x 时，f (x )＝sin x .下结论：①f (x )是周期函数；②f (x )③当且仅当x ＝2k π(k ∈Z)时，f (x )当且仅当2k π－π2＜x ＜(2k ＋1)π(k ∈Z)时，f (⑤f (x )的图象上相邻两个最低点的距离是正确的结论序号是________．f(x)=sin(2x+x x 2cos 2)62sin()6+-+ππ）求f(x)的最小值及单调减区间； ）求使f(x)=3的x 的取值集合。
初中三角函数专项练习题及答案
初中三角函数专项练习题（一）精心选一选1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）A 、缩小2倍B 、扩大2倍C 、不变D 、不能确定2、在Rt △ABC 中，∠C=90，BC=4，sinA=54，则AC=（ ）A 、3B 、4C 、5D 、63、若∠A 是锐角，且sinA=31，则（ ）A 、00<∠A<300B 、300<∠A<450C 、450<∠A<600D 、600<∠A<9004、若cosA=31，则A A AA tan 2sin 4tan sin 3+-=（ ）A 、74B 、31C 、21D 、05、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）A 、1：1：2B 、1：1：2C 、1：1：3D 、1：1：226、在Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）A 、sinA=sinB B 、sinA=cosBC 、tanA=tanBD 、cosA=tanB 7．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则下列各式中，正确的是（ ）A ．sinB=23B ．cosB=23C ．tanB=23D ．tanB=328．点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）A ．（32，12）B ．（-32，12）C ．（-32，-12） D ．（-12，-32）9．每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们感受到了国旗的神圣．•某同学站在离旗杆12米远的地方，当国旗升起到旗杆顶时，他测得视线的仰角为30°，•若这位同学的目高1.6米，则旗杆的高度约为（ ）A ．6.9米B ．8.5米C ．10.3米D ．12.0米10．王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350m （B ）100 m（C ）150m （D ）3100m11、如图1，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30︒， 向高楼前进60米到C 点，又测得仰角为45︒，则该高楼的高度大约为（ ）A.82米B.163米C.52米D.70米12、一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B 地向北偏西10º的方向行驶40海里到达C 地，则A 、C 两地相距（ ）．（A ）30海里 （B ）40海里 （C ）50海里 （D ）60海里 （二）细心填一填1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB=_____． 2．在△ABC 中，若BC=2，AB=7，AC=3，则cosA=________． 3．在△ABC 中，AB=2，AC=2，∠B=30°，则∠BAC 的度数是______．图145︒30︒BAD C4．如图，如果△APB 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到△A ＇P ＇B ，且BP=2，那么PP ＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624-，cos15°=624+)5．如图，在甲、乙两地之间修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东48°．甲、乙两地间同时开工，若干天后，公路准确接通，则乙地所修公路的走向是南偏西___________度．6．如图，机器人从A 点，沿着西南方向，行了个42单位，到达B 点后观察到原点O 在它的南偏东60°的方向上，则原来A 的坐标为___________结果保留根 号）． 7．求值：sin 260°+cos 260°=___________．8．在直角三角形ABC 中，∠A=090，BC=13，AB=12，则tan B =_________． 9．根据图中所给的数据，求得避雷针CD 的长约为_______m （结果精确的到0.01m ）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）第6题图xOAy B北甲北乙第5题图αACB第10题图A40°52mCD第9题图B43第4题图10．如图，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为___________米（结果用含α的三角比表示）．11．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，•这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为________米。
九年级数学 三角函数50道练习题
九年级数学三角函数50道练习题（以上为标题，不计入800字）1. 已知一个角的补角是60度，求该角的大小。
2. 求解sin45°的值。
3. 已知tanθ = 1/√3，求θ的度数。
4. 求解cos30°的值。
5. 若sinθ = cos(180° - θ)，求θ的度数。
6. 求解tan60°的值。
7. 若secθ = 2，求cosθ的值。
8. 若tanθ = 2，求cotθ的值。
9. 求解sin60°的值。
10. 若sinθ = cos90° - θ，求θ的度数。
11. 已知sinθ = 1/2，求θ的度数。
12. 求解tan30°的值。
13. 若cscθ = 4/3，求sinθ的值。
14. 已知cosθ = 1/√2，求θ的度数。
15. 求解cos45°的值。
16. 若secθ = -2，求cosθ的值。
17. 如果tanθ = 4/3，求cotθ的值。
18. 求解sin30°的值。
19. 若sinθ = cos(90° - θ)，求θ的度数。
20. 已知cosθ = 1/2，求θ的度数。
21. 求解tan45°的值。
22. 若secθ = -1/2，求cosθ的值。
23. 如果tanθ = 3/4，求cotθ的值。
24. 求解sin120°的值。
25. 若sinθ - cosθ = 0，求θ的度数。
26. 已知tanθ = √3，求θ的度数。
27. 求解cos60°的值。
28. 若secθ = -√2，求cosθ的值。
29. 如果tanθ = -2/3，求cotθ的值。
30. 求解sin150°的值。
31. 若sinθ + cosθ = 1，求θ的度数。
32. 已知cotθ = 4/3，求θ的度数。
33. 求解cos75°的值。
34. 若secθ = -1/√3，求cosθ的值。
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【答案】A．
三、解答题
1．（2010安徽省中中考） 若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的A处沿直线方向开往对岸的B处，AB与河岸的夹角是600，船的速度为5米/秒，求船从A到B处约需时间几分。（参考数据： ）
【答案】
2．（2010安徽芜湖）（本小题满分8分）图1为已建设封项的16层楼房和其塔吊图，图2为其示意图，吊臂AB与地面EH平行，测得A点到楼顶D点的距离为5m，每层楼高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF＝16cm，求塔吊的高CH的长．
（1）求新传送带AC的长度；
（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45)
5．（2010江苏南京）（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度。已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°.求树的高度AB。
距灯塔S的最近距离是海里（不作近似计算）。
【答案】
5．（2010广东深圳）如图5，某渔船在海面上朝正方方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行 分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置。
【答案】15
6．（2010广东佛山）如图，AB是伸缩式的遮阳棚，CD是窗户，要想在夏至的政务时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB的长度是米。（假设夏至的政务时刻阳光与地平面夹角为60°）
解：
3．（2010广东广州，22，12分）目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图8所示，新电视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°．
（1）求大楼与电视塔之间的距离AC；
（2）求大楼的高度CD（精确到1米）
4．（2010甘肃兰州）（本题满分8分）如图是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
6．（2010江苏南通）（本小题满分9分）
光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min的速度向正东方向行走，在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上，20min后他走到B处，测得建筑物C在北偏西45°方向上，求建筑物C到公路AB的距离．（已知 ）
3．（2010江西）如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【答案】
4．（2010 湖北孝感）如图，一艘船向正北航行，在A处看到灯塔S在船的北偏东
30°的方向上，航行12海里到达B点，在B处看到灯塔S在
船的北偏东60°的方向上，此船继续沿正北方向航行过程中
【答案】
7．（2010辽宁沈阳）若等腰梯形ABCD的上、下底之和为2，并且两条对角线所成的锐角为60°，则等腰梯形ABCD的面积为。
【答案】 或
8．（2010四川达州）如图5，一水库迎水坡AB的坡度 ︰ ，
则该坡的坡角 =.
【答案】30°
（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这棵树高是（ ）
A．（ ）m B．（ ）m
7．（2010江苏盐城）（本题满分10分）如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D处的仰角为30º，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45º．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离（ ≈1.732，结果精确到0.1m）．
【答案】
2．（2010重庆市潼南县）如图所示,小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30m，则电梯楼的高BC为米（精确到0.1）.（参考数据： ）
【答案】82.0
8．（2010山东青岛） 小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝ 米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）
（参考数据： ）
9．（2010四川凉山）如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由 降为 ，已知原滑滑板AB的长为4米，点D、B、C在同一水平地面上。
（1）改善后滑滑板会加餐长多少米？
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由。】
10．（2010四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．
三角函数综合应用50题
1．（2010辽宁丹东市）如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角板测量一棵树
的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m，AB为1.5m
二、填空题
1．（2010山东济宁）如图，是一张宽 的矩形台球桌 ，一球从点 （点 在长边 上）出发沿虚线 射向边 ，然后反弹到边 上的 点. 如果 ， .那么 点与 点的距离为.
C． m D．4m
【答案】A
9．（2010江苏宿迁）小明沿着坡度为1:2的山坡向上走了1000m，则他升高了
A． mB．500mC． mD．1000m
【答案】A
10．（2010浙江湖州）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1： （坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（ ）