高中数学三角恒等变换与三角函数的化简求值
第1讲 三角恒等变换与三角函数的化简、
求值
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切，C 级要求；(2)二倍角的正弦、余弦及正切，B 级要求.应用时要适当选择公式，灵活应用，试题类型可能是填空题，同时在解答题中也是必考题，经常与向量综合考查，构成中档题
.
真 题 感 悟
1.(2017·江苏卷)若tan ? ????α－π4＝16，则tan α＝________. 解析 法一 ∵tan ? ??
??α－π4＝tan α－tan π
4
1＋tan αtan π4＝tan α－11＋tan α＝1
6，
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝7
5.
法二 tan α＝tan ??????? ?
???α－π4＋π4＝tan ? ????α－π4＋tan π41－tan ? ?
???α－π4tan π4＝16＋11－16×1
＝
75. 答案 7
5
2.(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－5
5. (1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.
解 (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝4
3cos α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝9 25，
因此，cos 2α＝2cos2α－1＝－7 25.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).又因为cos(α＋β)＝－
5 5，
所以sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝25
5，因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝4
3，所以tan 2α＝
2tan α
1－tan2α
＝－
24
7，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan（α＋β）
1＋tan 2αtan（α＋β）
＝－
2
11.
考点整合1.三角函数公式
(1)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，sin α
cos α＝tan α.
(2)诱导公式：对于“kπ
2±α，k∈Z的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关
系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.
(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
cos(α±β)＝cos αcos βαsin β；
tan(α±β)＝tan α±tan β
αtan β.
(4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(5)辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中cos φ＝
a
a2＋b2
，sin φ
＝
b
a2＋b2
.
2.公式的变形与应用
(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). (2)升幂、降幂公式
1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2；sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2
α＝1＋cos 2α2.
(3)角的拆分与组合
2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)； α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； α＝? ????π4＋α－π4＝? ?
?
??α－π3＋π3等
.
热点一 三角函数式的化简与求值
【例1】 (1)(2018·泰州模拟)化简：2cos 4
x －2cos 2
x ＋1
2
2tan ? ????π4－x sin 2? ??
?
?π4＋x ＝________.
(2)若tan α＝2tan π
5，则
cos ? ?
???α－3π10sin ? ?
?
??α－π5＝________. 解析 (1)原式＝12（4cos 4x －4cos 2
x ＋1）2×sin ? ????π4－x cos ? ????
π4－x ·cos
2? ????π4－x ＝（2cos 2x －1）2
4sin ? ????π4－x cos ? ????π4－x
＝cos 22x 2sin ? ??
?
?π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝1
2cos 2x .
(2)cos ? ????α－3π10sin ? ????α－π5＝sin ? ????π2＋α－3π10sin ? ?
???α－π5＝sin ? ????α＋π5sin ? ??
??α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5
sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α
tan π5＋1tan αtan π5－1＝
2＋1
2－1
＝3. 答案 (1)1
2cos 2x (2)3
探究提高 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
【训练1】 (1)(2018·徐州调研)计算：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)＝________. (2)若α∈? ????π2，π，且3cos 2α＝sin ? ????
π4－α，则sin 2α的值为________. 解析 (1)原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°
? ??
??3sin 20°－cos 20°
cos 20° ＝cos 10°·2? ????32sin 20°－1
2cos 20°
cos 70°＝－2cos 10°sin 10°cos 70°＝－sin 20°
cos 70°＝－1.
(2)由cos 2α＝sin ? ????π2－2α＝sin ??????2? ????π4－α＝2sin ? ????π4－αcos ? ????
π4－α
代入原式，得6sin ? ????π4－αcos ? ????π4－α＝sin ? ????
π4－α，
∵α∈? ????π2，π，∴π4－α∈? ????－3π4，－π4，sin ? ??
??
π4－α≠0，
∴cos ? ????π4－α＝16，∴sin 2α＝cos ? ????π2－2α＝2cos 2? ????
π4－α－1＝－1718.
答案 (1)－1 (2)－1718 热点二 三角函数的求值(求角)
【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷改编)若sin α＝1
3，则cos 2α＝________.
(2)(2017·南京、盐城联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，则cos β＝________.
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－1
7，则2α－β的值为________. 解析 (1)cos 2α＝1－2sin 2
α＝1－2×? ??
??132＝7
9.
(2)∵α为锐角，∴sin α＝
1－? ????172＝437.∵α，β∈? ?
?
??0，π2，∴0＜α＋β＜π. 又∵sin(α＋β)＜sin α，∴α＋β＞π2，∴cos(α＋β)＝－11
14. cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－11
14×1
7＋
53
14×
43
7＝
49
98＝
1
2.
(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan（α－β）＋tan β
1－tan（α－β）tan β＝
1
2－
1
7
1＋
1
2×
1
7
＝
1
3＞0，
∴0＜α＜π
2.又∵tan 2α＝
2tan α
1－tan2α
＝
2×
1
3
1－?
?
?
?
?1
3
2＝
3
4＞0，
∴0＜2α＜π
2，∴tan(2α－β)＝
tan 2α－tan β
1＋tan 2αtan β
＝
3
4＋
1
7
1－
3
4×
1
7
＝1.
∵tan β＝－1
7＜0，∴
π
2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－
3π
4.
答案(1)7
9(2)
1
2(3)－
3π
4
探究提高(1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.
【训练2】(1)(2015·江苏卷)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝1
7，则tan β的值为
________.
(2)已知sin α＝
5
5，sin(α－β)＝－
10
10，α，β均为锐角，则角β等于________.
解析(1)∵tan α＝－2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝
－2＋tan β
1＋2tan β
＝
1
7，解得tan β
＝3.
(2)∵α，β均为锐角，∴－π
2＜α－β＜
π
2.又sin(α－β)＝－
10
10，
∴cos(α－β)＝310
10.又sin α＝
5
5，∴cos α＝
25
5，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝
5
5×
310
10－
25
5×?
?
?
?
?
－
10
10
＝
2
2.
∴β＝π4.
答案 (1)3 (2)π
4
(3)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ? ????－3
5，－45.
①求sin(α＋π)的值；
②若角β满足sin(α＋β)＝5
13，求cos β的值.
解 ①由角α的终边过点P ? ????－3
5，－45得sin α＝－45，所以sin(α＋π)＝－sin α＝45.
②由角α的终边过点P ? ????－35，－45得cos α＝－35， 由sin(α＋β)＝513得cos(α＋β)＝±
12
13.
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝16
65. 热点三 三角恒等变换的应用
【例3】 (2018·苏州期末)已知函数f (x )＝(3cos x ＋sin x )2－23sin 2x . (1)求函数f (x )的最小值，并写出f (x )取得最小值时自变量x 的取值集合； (2)若x ∈????
??
－π2，π2，求函数f (x )的单调递增区间.
解 (1)因为f (x )＝3cos 2x ＋23cos x sin x ＋sin 2x －23sin 2x ＝32(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＋1
2(1－cos 2x )－23sin 2x ＝－3sin 2x ＋cos 2x ＋2＝2sin ? ?
???2x ＋5π6＋2.
所以函数f (x )的最小值是0，
此时2x ＋5π6＝2k π＋3π
2，k ∈Z ，即x 的取值集合为?
???
??xx ＝k π＋π3，k ∈Z .
(2)当x ∈??????
－π2，π2时，2x ＋5π6∈????
??－π6，11π6，
令－π6≤2x ＋5π6≤π2或3π2≤2x ＋5π6≤11π6，得－π2≤x ≤－π6或π3≤x ≤π
2.
所以f (x )的单调递增区间是??????－π
2，－π6和??????π3，π2.
探究提高 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.
(2)把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性等性质.
【训练3】 已知函数f (x )＝4tan x sin ? ????π2－x cos ? ????
x －π3－ 3.
(1)求f (x )的定义域与最小正周期； (2)讨论f (x )在区间??????
－π4，π4上的单调性.
解
(1)f (x )的定义域为????
??xx ≠π
2＋k π，k ∈Z . f (x )＝4tan x cos x cos ? ????x －π3－3＝4sin x cos ? ????x －π3－ 3 ＝4sin x ? ????12cos x ＋3
2sin x －3＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3
＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )－3＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ? ?
???2x －π3.
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π
12＋k π，k ∈Z . 由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得5π12＋k π≤x ≤11π
12＋k π，k ∈Z .
所以当x ∈??????－π4，π4时，f (x )在区间??????－π12，π4上单调递增，在区间??????－π
4，－π12上
单调递减.
1.对于三角函数的求值，需关注：
(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对
于很难入手的问题，可利用分析法.
2.对于三角恒等变换的应用问题，可以运用化归思想和整体代换思想解决问题.讨论形如y＝a sin ωx＋b cos ωx函数的性质，可先化为y＝a2＋b2sin(ωx＋φ)型的函数.
一、填空题
1.计算：tan 12°－3
（4cos212°－2）sin 12°
＝________.
解析原式＝
sin 12°－3cos 12°
2sin 12°cos 12°cos 24°＝
2sin（12°－60°）
1
2sin 48°
＝
－2sin 48°
1
2sin 48°
＝－4.
答案－4
2.(2018·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则f(x)的最大值为________.
解析易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3cos 2x＋1
2＋1＝
3
2cos 2x＋
5
2，当x
＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
答案 4
3.(2018·南京、盐城模拟)已知锐角α，β满足(tan α－1)·(tan β－1)＝2，则α＋β的值为________.
解析因为(tan α－1)(tan β－1)＝2，所以tan αtan β－(tan α＋tan β)＋1＝2，即tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－1，所以tan(α＋β)＝－1.又α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，
即α＋β＝3 4π.
答案3π4
4.(2017·苏、锡、常、镇调研)已知α是第二象限角，且sin α＝3
10
，tan(α＋β)＝
－2，则tan β＝________.
解析由α是第二象限角，且sin α＝3
10
，则cos α＝－1－sin2α＝－
1
10
，
则tan α＝sin α
cos α＝－3，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝－2＋31＋6＝17.
答案 17
5.(2018·常州期末)满足等式cos 2x －1＝3cos x (x ∈[0，π])的x 的值为________. 解析 由题意可得，2cos 2x －3cos x －2＝0，解得cos x ＝－1
2或cos x ＝2(舍去).又x ∈[0，π]，故x ＝2π
3. 答案
2π3
6.(2018·全国Ⅱ卷)已知tan ? ?
???α－5π4＝15，则tan α＝________.
解析 法一 因为tan ? ?
???α－5π4＝15，所以
tan α－tan 5π
4
1＋tan αtan 5π4＝1
5，
即tan α－11＋tan α
＝15，解得tan α＝3
2. 法二 因为tan ? ?
???α－5π4＝15，所以tan α＝tan ???????
????α－5π4＋5π4＝tan ? ?
???α－5π4＋tan
5π41－tan ? ?
???α－5π4tan 5π4
＝1
5＋11－15×1＝32. 答案 32
7.(2012·江苏卷)设α为锐角，若cos ? ????α＋π6＝45，则sin ? ?
???2α＋π12的值为________.
解析 ∵α为锐角且cos ? ????α＋π6＝45，∴α＋π6∈? ????π6，2π3，∴sin ? ?
???α＋π6＝35.
∴sin ? ????2α＋π12＝sin ??????2? ????α＋π6－π4＝sin 2? ????α＋π6cos π4－cos 2? ?
???α＋π6sin π4 ＝2sin ? ????α＋π6cos ? ????α＋π6－22????
??2cos 2? ?
???α＋π6－1
＝2×35×45－22??????2×? ????452－1＝12225－7250＝172
50.
答案
172
50
8.(2016·苏北四市模拟)已知cos ? ????π6＋α·cos ? ????π3－α＝－14，α∈? ????
π3，π2，则sin 2α＝
________.
解析 cos ? ????π6＋α·cos ? ????π3－α＝cos ? ????π6＋α·sin ? ????π6＋α＝12sin ? ?
???2α＋π3＝－14，
即sin ? ????2α＋π3＝－12.∵α∈? ????π3，π2，∴2α＋π3∈? ????π，4π3， ∴cos ? ?
???2α＋π3＝－32，∴sin 2α＝sin ???????
????2α＋π3－π3 ＝sin ? ????2α＋π3cos π3－cos ? ?
???2α＋π3sin π3＝12.
答案 12 二、解答题 9.已知tan α＝2. (1)求tan ? ?
???α＋π4的值；
(2)求
sin 2α
sin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1
的值.
解 (1)tan ? ?
?
??α＋π4＝
tan α＋tan π
4
1－tan αtan π4＝
2＋11－2×1＝－3.
(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos α
sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan α
tan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2
＝1. 10.(2018·北京卷)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (x )在区间????
??
－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值.
解 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ? ?
???2x －π6＋12.
所以f (x )的最小正周期为T ＝2π
2＝π.
(2)由(1)知f (x )＝sin ? ?
???2x －π6＋12.由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.
要使得f (x )在??????－π3，m 上的最大值为32，即sin ? ????2x －π6在??????
－π3，m 上的最大值为1.
所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π
3.
11.(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy 中，锐角α，β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ，Q .已知点P 的横坐标为277，点Q 的纵坐标为3314.
(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值.
解 (1)由三角函数的定义，得cos α＝277.所以cos 2α＝2cos 2α－1＝1
7. (2)因为α∈? ????0，π2，所以2α∈(0，π).由(1)得cos 2α＝17，所以2α∈? ?
???0，π2，
且sin 2α＝1－cos 2
2α＝43
7.
由三角函数的定义，得sin β＝3314，且β∈? ?
???0，π2，所以cos β＝1－sin 2β＝1314.
因为sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝437×1314－17×3314＝3
2， 且2α－β∈? ??
??
－π2，π2，所以2α－β＝π3.
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角，且445 9 sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 三、例题分析 例1、化简： 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
突破难点(十六)三角函数式的化简与求值
2011突破难点 （十六）三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 (★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2 α的值_________. ●案例探究 ［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =2 1 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+ 3sin20° (cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－2 1cos40°－4 1cos40°－ 43sin40°+43sin40°－2 3sin 220°
=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°=2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1. ［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=2 1的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值. 命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目 知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错. 技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等. 解：由y =2(cos x －2a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )??? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122 ) 2( 12a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a = 21?a =8 1 ?［2,+∞) 故－22a －2a －1=2 1 ，解得：a =－1，此时， y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5. ［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；
第七节 三角函数的化简与求值
第七节三角函数的化简与求值 [选题明细表] 知识点、方法题号 三角函数式的化简15 三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13 三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14 一、选择题 1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B ) (A)(B)(C)-(D)- 解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B. 2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A ) (A)(B)(C)(D) 解析:因为α为锐角,即0<α<, 所以<α+<+=. 因为cos(α+)=, 所以sin(α+)=.
所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+) =2×× =. cos(2α+)=2cos2(α+)-1=. 所以sin(2α+)=sin(2α+-) =sin(2α+)cos -cos(2α+)sin =×-× =. 故选A. 3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D ) (A)(B)-(C)(D)- 解析:cos 2α=sin(-2α) =sin[2(-α)] =2sin(-α)cos(-α), 代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),
因为α∈(,π),所以cos(-α)=, 所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D. 4.函数y=的单调递增区间是( A ) (A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z) (B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z) (C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z) (D)(kπ-,kπ+)(k∈Z) 解析:y== = = =tan(+), 当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z. 故选A.
三角函数的化简求值
【知识要点】 利用同角三角函数的基本关系式——平方关系、商数关系、倒数关系和两角和差倍半角公式来化简求值. 和差化积、积化和差公式： sin sin 2sin cos 22αβ αβαβ+-+= sin sin 2sin cos 22 αβαβαβ-+-= cos cos 2cos cos 22αβαβαβ+-+= cos cos 2sin sin 22 αβαβαβ+--= 1sin cos [sin()sin()]2αβαβαβ=++- 1cos sin [sin()sin()]2 αβαβαβ=+-- 1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++- 1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=+-- 【典型例题】 例1求234cos cos cos cos 9999 π πππ的值. 例2化简下列各式： （1）2sin10cos 20sin 20?-?? （2）22sin sin cos sin cos tan 1x x x x x x +---（3）66441sin cos 1sin cos θθθθ---- 例3已知tan 2α=，求：（1） 4sin 2cos 5sin 3cos αααα -+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-.
例4已知sin()410πα- =，7cos 225α=，求sin α及tan()3πα+的值. 例5已知α为第二象限内的角，3sin 5α= ，β为第一象限内的角，5cos 13 β=，求tan （2α-β）的值. 【课堂练习】 1.若sin cos 2sin cos x x x x +=-，则sin cos x x =（ ）.
三角函数诱导公式专项练习(含答案)
三角函数诱导公式专项练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（） A． B． C． D． 2．的值为（） A． B． C． D． 3．已知，则cos（60°–α）的值为 A． B． C． D．– 4．已知，且，则（）A． B． C． D． 5．已知sin(π－α)＝－，且α∈(－，0)，则tan(2π－α)的值为( ) A． B．－ C．± D． 6．已知，则=( ) A． B． C． D． 7．已知，，则（） A． B． C． D． 8．已知，则（） A． B． - C． D． - 9．如果，那么 A． - B． C． 1 D． -1 10．已知，则（） A． B． C． D． 11．化简的值是（）
A． B． C． D． 12．的值是（） A． B． C． D． 13．已知角的终边经过点，则的值等于 A． B． C． D． 14．已知，则（） A． B． C． D． 15．已知的值为（）A． B． C． D． 16．已知则（） A． B． C． D． 17．已知，且是第四象限角，则的值是( ) A． B． C． D． 18．已知sin＝，则cos＝( ) A． B． C．－ D．－ 19．已知cos α＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝( ) A．－ B． C．± D．－k 20．＝( ) A． sin 2－cos 2 B． sin 2＋cos 2 C．±(sin 2－cos 2) D． cos 2－sin 2 21．的值为 A． B． C． D． 22．（） A． B． C． D．
三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1.
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
高考三角函数化简求值
高考 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的 重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场(★★★★★)已知 2 π ＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.● 案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体 会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°= 21 (1－cos40°)+2 1 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－2 1 cos40° +2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－4 3 (1－ cos40°)= 4 1 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－ 3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°= －2sin100°sin60°+3sin100°=0∴x =y =4 1 ，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° =41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座 等.解：由y =2(cos x －2 a )2－22 42+-a a 及cos x ∈［－1，1］得： f (a )?? ? ????≥-<<-----≤)2( 41)22( 122) 2( 12 a a a a a a ∵f (a )=21,∴1－4a =21?a =81?［2,+∞)故－ 22a －2a －1= 21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+2 1 ，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x + 3 π )－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12 π，127π ］时，f (x )的反函数
三角函数化简求值专题复习
三角函数化简求值专题复习 高考要求 1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。 2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式） 3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。 热点分析 1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强. 2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题 3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解. 【例1】求值： ? +?? ??+?+?80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子? ? ?+??+ ?=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ? ?+ ?=20cos 10cos 20sin 2?? +?=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =? ? ?=??+?= ， 原式的分母＝ ? ? +?=??+?80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()??+?+?=80sin 80cos 40cos 40cos ?? ?+?=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =? ? ?=??+?= ， 所以，原式＝１． 【变式】1、求值 () ? +??+?+?10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()2 5cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 23 10cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=? ??=??+?=??-?+?=? ?? ? ? ???+?+?=??+?+?=·原式 【变式】2、求00 20 210sin 21)140 cos 1140sin 3( ?- 。 分析：原式= 202020210sin 21 140cos 140sin 140sin 140cos 3? -
(精心整理)三角函数的化简与求值
专题12 三角函数的化简与求值 一、复习目标 1．掌握三角函数恒等变形的一般思路与方法； 2．能利用恒等变形进行三角函数式的化简与求值． 二、基础训练 1．=-15cot 15tan ( ) A ．2 B ．32+ C ．4 D ．32- 2．3,(2),2 P π απ=<<若 则化简P 可得 （ ） A ．2 cos α - B ．2 cos α C ．2 sin α- D ．2 sin α 3． 若α为锐角，且,3 1 )6sin(=- π α则=αcos ． 42 cos 1010)1cos 10170 --= ． 三、典型例题 1．（1）若等于则θ θ θ2sin 12cos ,21tan +- = （ ） A ．2- B ．2 1 - C ．3- D ．3 （2）若71cos = α，??? ??∈2,0πα，则??? ? ? +3cos πα=__________。 2．已知)3 tan(sin ,2572cos ,1027)4sin(π +αα=α=π-α及求
3．化简：2 2221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? ． 4．已知1 0,sin cos 25 x x x π - <<+= ． （Ⅰ）的值求x x cos sin -； （Ⅱ）求2 23sin 2sin cos cos 2222tan cot x x x x x x -++的值．
四、课堂练习 1． 对任意的锐角βα，，下列不等关系中正确的是 （ ） A ．sin()sin sin αβαβ+>+ B ．sin()cos cos αβαβ+>+ C ．cos()sin sin αβαβ+<+ D ．cos()cos cos αβαβ+<+ 2． 已知,16 3,16π βπ α= = 则 =+?+)tan 1(tan 1βα）（ ． 3． 已知α为第二象限的角，53sin =α，β为第一象限的角，13 5 cos =β，求) 2tan(βα-的值． 五、巩固练习 1．已知=-=+= +)4 tan(,223)4tan(,52)tan(π βπαβα那么 （ ） A ．51 B ．41 C ．1813 D ．2213 2．若=+=-)232cos(,31)6sin(απ απ则 （ ） A ．97- B ．31- C ．31- D ．9 7 3．若βα，均是锐角，且2 sin cos(),ααβ=-则的关系是与βα （ ） A ．αβ> B ．αβ< C ．βα= D ．2 π αβ+> 4．函数x x x x f cos )cos 4sin 3()(-=的最小正周期为 ． 5．已知α为锐角，且2 2 sin sin cos 2cos 0,αααα--=则αtan = ，
三角函数化简题
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
高考数学三角函数的化简与求值
数学(第 二 轮)专 题 训 练 第九讲: 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂 公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34 (2) 已知=α=α cos ,32 tan 则 .
24三角函数化简、求值、证明(一)
1. 已知3,1616 π παβ==,则(1tan )(1tan )αβ++（1+tanα）的值为 。 2. 已知5sin 5α=,10sin 10 β=,且,αβ为锐角，则αβ+的值是 。 3. 若cos 222sin() 4απα=--，则sin cos αα+的值为 。 4. 已知()4 3sin 2,,252π πααπ??-=∈ ???,则sin cos sin cos αα αα+-等于 。 5. 若23 5cos 2,3252x x π π=<<,则sin 2x 和tan 2x 的值分别是 。 6. sin50(13tan10)+=___________________。 7. 44sin 22.5cos 22.5-=______________________。 8. 化简22cos() cos()23cos 2tan ()cos ()sin() 2π θθπ ππθθθ+--=?-+?-___________。 9. 已知向量(c o s ,s i n )a b ααββ==，25 5a b -=, 若0,022π παβ<<-<<，且5 sin 13β=-,则sin α的值为_______。 10. 已知23cos ()5cos()12x x π π++-=，求226sin 4tan 3cos ()x x x π+--的值． 11. 已知方程sin(3)2cos(4)απαπ-=-，求) sin()23sin(2)2cos(5)sin(ααπ απαπ----+-的值。 12. 已知函数2()2sin cos 2cos f x a x x b x =+，且(0)8,()126f f π == （Ⅰ）求实数,a b 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的值.
三角公式化简求值
三角函数与解三角形知识拓展 (1) 诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变,符号看象限． (2)同角三角函数基本关系式的常用变形： (sin α±cosα)2＝1±2sin αcosα； (sin α＋cosα)2＋(sin α－cosα)2＝2； (sin α＋cosα)2－(sin α－cosα)2＝4sin αcosα. (3)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α 2 ,sin2α＝ 1－cos 2α 2 . (4)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α,1－cos 2α＝2sin2α. 题型分析 (一) 三角变换,角为先锋 三角函数作为一种特殊函数,其“角”的特殊性不容忽视,因此我们在三角函数恒等变换中,应该首先注意角的形式,从统一角的角度出发,往往能够达到事半功倍的效果. 【例1】【江苏省苏州市2017-2018学年高三上学期期中】已知 π tan2 4 α?? -= ? ?? ,则cos2α的 值是_____． 【答案】 4 5 - 【解析】因为 π tan2 4 α?? -= ? ?? , 所以cos2α= π sin2 2 α ?? -- ? ?? = 22 ππ 2sin cos 44 ππ sin cos 44 αα αα ???? -- ? ? ???? - ???? -+- ? ? ???? = 2 π 2tan 4 π tan1 4 α α ?? - ? ?? - ?? -+ ? ?? = 4 5 - 【点评】(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． (2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β),α＝(α＋β)－β,β＝α＋β 2 － α－β 2,α＝ α＋β 2 ＋ α－β 2 , α－β 2 ＝(α＋ β 2 )－( α 2 ＋β)等．
(完整版)三角函数公式练习(答案)
三角函数公式练习题（答案） 1．1．29 sin 6 π=（ ） A ．2- ．12- C ．12 D ．2 【答案】 【解析】C 试题分析：由题可知，2 165sin )654sin(629sin ==+=ππππ； 考点：任意角的三角函数 2．已知1027)4 (sin = -π α，25 7cos2=α，=αsin （ ） A ． 54 B ．54- C ．5 3- D ．53 【答案】D 【解析】 试 题 分 析 ： 由 7 sin()sin cos 4105 πααα-=?-= ①， 2277cos2cos sin 2525 ααα= ?-= 所以()()7cos sin cos sin 25αααα-+=②，由①②可得1 cos sin 5 αα+=- ③， 由①③得，3 sin 5α= ，故选D 考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式 3．cos690=o （ ） A ． 21 B ．2 1- C ．23 D ．23- 【答案】C 【解析】 试题分析：由( )()cos 690cos 236030 cos 30cos30 =?-=-== o o o o o ，故选C 考点：本题考查三角函数的诱导公式 点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值 4．π3 16 tan 的值为 A.33- B.3 3 C.3 D.3- 【答案】 C 【解析】
试题分析tan π=tan（6π﹣）=﹣tan =． 考点：三角函数的求值，诱导公式． 点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值． 5．若2 02παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，3cos()42πβ-= cos()2β α+= A ． 33 B ．33- C ．935 D ．9 6 - 【答案】C ． 【解析】 试题分析：因为202παβπ<<<<- ，1cos()43πα+=，所以4 344π αππ< +<，且322)4 sin( = +απ ；又因为3cos()42πβ-=，且02 <<-βπ，所以2 244π βππ<-<，且36)24sin(= -βπ．又因为)24()4(2βπαπβα--+=+，所以) 2 4sin()4sin()24cos()4cos()]24()4cos[()2cos(β παπβπαπβπαπβ α-++-+=--+=+ 9 35363223331=?+?= ．故应选C ． 考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式． 6．若角α的终边在第二象限且经过点(13)P -，则sin α等于 A ． 32 B ．32- C ．12- D ．1 2 【答案】A 【解析】 试题分析：由已知2 3sin 2,3,1== ?=∴= -=r y r y x α，故选A ． 考点：三角函数的概念． 7．sin70Cos370- sin830Cos530 的值为（ ） A ．21- B ．21 C ．2 3 D ．23- 【答案】A 【解析】 试题分析： sin70Cos370- sin830Cos530 ()() ο οοοοο3790sin 790cos 37cos 7sin ---=
高考数学专题训练 三角函数的化简与求值
2008高考数学专题训练 三角函数的化简与求值 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 掌握同角的三角函数的基本关系式: 掌握正弦,余弦的诱导公式;掌握两角和与两角 差的正弦,余弦,正切公式;掌握二倍角的在正弦，余弦,正切公式. 2. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式证明. 综合脉络 三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点. 提高三 角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能. 常 用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之 间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题 获解.对角的变形如下: )2()2()(,2304560304515α -β-β+α=β-β+α=α=-=-= , )4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4 (24α-π -π=α+π 特别地, α+π4与α-π 4 为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高. 2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是 基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名. 3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常 数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=2 2 2 2 2 2 cot csc tan sec cos sin 1. 4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的 方法. 常用降幂公式有: 1cos sin ,2 2cos 1cos ,22cos 1sin 2222 =α+αα +=αα-= α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与 降幂公式是相对而言的. 5. 公式变形式: 三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用, 逆用以及变形式 的应用. 如: )tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β?αβ±α=β±αα α =α 等. (一) 典型例题讲解: 例1. (1)当2x 0π <<时，函数x 2sin x sin 8x 2cos 1)x (f 2++=的最小值为 ( ) A. 2 B. 32 C. 4 D. 34
三角函数诱导公式练习题集附答案解析
三角函数诱导公式练习题 一、选择题(共21小题) 1、已知函数f(x)=sin,g(x)=tan(π﹣x),则( ) A、f(x)与g(x)都就是奇函数 B、f(x)与g(x)都就是偶函数 C、f(x)就是奇函数,g(x)就是偶函数 D、f(x)就是偶函数,g(x)就是奇函数 2、点P(cos2009°,sin2009°)落在( ) A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 3、已知,则=( ) A、B、C、D、 4、若tan160°=a,则sin2000°等于( ) A、B、C、D、﹣ 5、已知cos(+α)=﹣,则sin(﹣α)=( ) A、﹣ B、 C、﹣ D、 6、函数得最小值等于( ) A、﹣3 B、﹣2 C、 D、﹣1 7、本式得值就是( ) A、1 B、﹣1 C、 D、 8、已知且α就是第三象限得角,则cos(2π﹣α)得值就是( ) A、B、C、D、 9、已知f(cosx)=cos2x,则f(sin30°)得值等于( ) A、B、﹣C、0 D、1 10、已知sin(a+)=,则cos(2a﹣)得值就是( ) A、B、C、﹣D、﹣ 11、若,,则得值为( )
A、B、C、D、 12、已知,则得值就是( ) A、B、C、D、 13、已知cos(x﹣)=m,则cosx+cos(x﹣)=( ) A、2m B、±2m C、 D、 14、设a=sin(sin20080),b=sin(cos20080),c=cos(sin20080),d=cos(cos20080),则a,b,c,d 得大小关系就是( ) A、a＜b＜c＜d B、b＜a＜d＜c C、c＜d＜b＜a D、d＜c＜a＜b 15、在△ABC中,①sin(A+B)+sinC;②cos(B+C)+cosA;③tantan;④,其中恒为定值得就是( ) A、②③ B、①② C、②④ D、③④ 16、已知tan28°=a,则sin2008°=( ) A、B、C、D、 17、设,则值就是( ) A、﹣1 B、1 C、 D、 18、已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β为非零实数),f(2007)=5,则f(2008)=( ) A、3 B、5 C、1 D、不能确定 19、给定函数①y=xcos(+x),②y=1+sin2(π+x),③y=cos(cos(+x))中,偶函数得个数就是( ) A、3 B、2 C、1 D、0 20、设角得值等于( ) A、B、﹣C、D、﹣ 21、在程序框图中,输入f0(x)=cosx,则输出得就是f4(x)=﹣csx( )
模块4——三角函数的化简、求值与证明
模块4——三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 A 组 1、已知θ是第三象限角，且4 4 59 sin cos θθ+= ，那么2sin θ等于 （ ） A 、 3 B 、3- C 、 23 D 、23 - 2 、函数2 22 y sin x x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3 、tan 70cos10201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4 、已知46 sin (4)4m m m αα-- = ≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos 2α＝＿＿＿＿＿。 6、化简： 42 2 12cos 2cos 2.2tan( )sin ( ) 4 4 x x x x ππ-+ -+ 7、设3177cos(),45124x x π ππ+=<<，求2 sin 22sin 1tan x x x +-的值。 8、求证： sin(2) sin 2cos().sin sin αββαβα α +-+=