第三章衍射详解
求在z>0半空间中的光波复振幅。
如孔径是在一无穷大的不透明屏幕 上开孔，则该孔径的透射函数为
t
(
x,
y)
=
⎧1, ⎨
⎩0,
(x, y)在Σ上; 其他.
更一般的情况是，在孔径内可以有位相改变，如在孔径内有透镜、棱 镜或透明薄膜等光学元件。这时，可定义复振幅透过率来表示孔径的
透射函数，它是紧靠孔径后的平面上的出射光场复振幅与入射光场的
第三章 衍射
1. 引言 2. 平面波角谱的衍射理论 3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似 4. 焦点附近的光场分布 5. 无衍射光束—Bessel光束
1. 引言
惠更斯原理
惠更斯首先用光的波动说来解释衍射现象。惠更斯原理把光波的 传播看成是这样一种过程：光波扰动（波前）所到达的每一点都起着一 个次级波源（子波源）的作用，每一个次级波源发出次级球面波(子 波)，它向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是新的波前。
因为孔径外的场为0，所以上式可以写为
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞
2π z
−∞ dfxdf y
U
Σ
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dx0dy0
以上用平面波角谱表示的衍射积分与惠更斯-菲涅尔原理的 基尔霍夫衍射积分公式是等价的。
基尔霍夫衍射积分定理
基尔霍夫理论的主要简化和近似是把光作为标量来处理，也就是 只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅。并且假定任何别的有关分量可 以用同样的方式独立处理。而实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克 斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明，只要满足两个条 件（1）衍射孔径比波长大得多，（2）不要在太靠近孔径的地方观察衍 射场，则标量理论可以得到满意的结果。
复振幅之比，
t(x, y) = Ut (x, y, 0) , 或 Ui (x, y, 0)
Ut (x, y, 0) = Ui (x, y, 0)t(x, y),
只要找出与 Ut
相应的角谱
At
( coλs α
,
cos
λ
β
)
和与
Ui
相应的角谱
Ai
(
cosα λ
,
cos
λ
β
)
之间的关系，就解决了这个问题。
基尔霍夫衍射公式
∫ ∫ U (x, y, z) = 1
iλ
∞ −∞
∞ −∞
U
(
x0
,
y0
)
exp(ikr r
)
cosθ
dx0
dy0
.
另一种完全波集是平面波集，即任意波长可以按平面波作展开， 这就是平面波角谱方法。这种方法首先是由瑞利用于描述平面波照明时 在褶皱介质边界上的透射和反射场。德拜在1909年用这种方法研究焦点 附近的场。1902年惠泰克证明用平面波角谱所描述的场是波动方程的 解。此后，从20世纪50年代至70年代，衍射理论的这一方法在无线电传 播理论中得到了广泛的应用。
2π λ
z
1−
λ2
f
2 x
−
λ2
f
2 y
)
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞ −∞
∞
2π z
U
−∞
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dfxdfydx0dy0
这是平面波角谱衍射理论的基本公式。
2. 平面波角谱的衍射理论
衍射孔径对角谱的效应
一个严格的单色平面波在时间和空间上应是无限的。如果一个平 面波入射到一个孔径上，即被该孔径所限制，显然这时由孔径出射的场 就不再是一个准确的平面波了。这就是我们要研究的衍射孔径对角谱的 扰动效应。
已知z=0平面处有一孔径，入射到该孔径上的复振幅为 Ui (x, y, 0),
由傅立叶变换定理可得
At
( coλs α
,
cos
λ
β
)
=
Ai
(
cosα λ,ຫໍສະໝຸດ cosλβ
)
*T
(
cosα λ
,
cos
λ
β
)
T (cosα , cos β ) λλ
为孔径函数的傅立叶变换。
卷积运算具有展宽带宽的性质。由于透射波的角谱等于入射波的
角谱与孔径函数的傅立叶变换的卷积，因此引入使入射波在空间上受限
制的衍射孔径的效应就是展宽了光波的角谱。而不同的角谱分量相应于
不同方向传播的平面波分量，故角谱的展宽就是在透射波中除了包含于
入射波相同方向传播的分量之外，还增加了一些与入射波传播方向不同
的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
平面波角谱的衍射理论
如果在 z = 0 处有一孔径，则 U (x, y, 0) 为通过孔径后的透射光场。
惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯可以用来确定波的传播方向，但不能解释衍射条纹的出 现，不能给出衍射光电场的定量分布。
菲涅尔综合惠更斯原理和干涉原理，认为次级波源是彼此相干 的，由此得到惠更斯-菲涅尔原理：波前上任何一个未受阻挡的点， 都可以看作为一个次级波源，在其后空间任一点P处的光振动，是这 些次级波源产生的次级波相干叠加的结果。
E1(P) = E0 (P)[1− exp(iπ p)],
式中 E0 (P) 为不存在屏时位于
轴上的点光源在P点引起光扰动的复振幅。
具有相同直径的不透光圆屏在P点引起的场振幅？ 由巴比涅原理，有圆屏时的场为
E2 (P) = E0 (P) − E1(P) = E0 (P) exp(iπ p),
则圆屏轴上该点的光强度为
I2 (P) = E2 (P) 2 = I0 (P).
泊松点
3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似
菲涅尔近似
考虑无穷大的不透明屏幕上 的一个有限孔径对单色光的衍 射，如图所示。
设屏的平面上的直角坐标系为
衍射要讨论的问题是，已知在 z = 0 处的光场 U (x, y, 0), 求z>0处
的光场分布 U (x, y, z).
∫ A0 ( fx , fy ) =
∞
U
−∞
(
x0
,
y0, 0) exp[−i2π (
fx x0
+
fy
y0 )]dx0dy0
A(
fx,
fy,
z)
=
A0 (
fx,
fy
) exp(i
巴比涅原理
关于互补屏衍射光分布的关系。
互补屏是指这样两个屏，其中一个的开孔部分正好对应另一个的不 透明部分。
对于上述互补屏，可得
E1(P) + E2 (P) = E0 (P) E1(P), E2 (P) 为由两个互补屏分别在P点的振幅。 E0 (P) 是没有屏时的振幅。
这个结论称为巴比涅原理。
在屏上开一圆孔时在轴上一点P 处的振幅为
如孔径是在一无穷大的不透明屏幕 上开孔，则该孔径的透射函数为
t
(
x,
y)
=
⎧1, ⎨
⎩0,
(x, y)在Σ上; 其他.
更一般的情况是，在孔径内可以有位相改变，如在孔径内有透镜、棱 镜或透明薄膜等光学元件。这时，可定义复振幅透过率来表示孔径的
透射函数，它是紧靠孔径后的平面上的出射光场复振幅与入射光场的
第三章 衍射
1. 引言 2. 平面波角谱的衍射理论 3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似 4. 焦点附近的光场分布 5. 无衍射光束—Bessel光束
1. 引言
惠更斯原理
惠更斯首先用光的波动说来解释衍射现象。惠更斯原理把光波的 传播看成是这样一种过程：光波扰动（波前）所到达的每一点都起着一 个次级波源（子波源）的作用，每一个次级波源发出次级球面波(子 波)，它向四面八方扩展，所有这些次级波的包络面便是新的波前。
因为孔径外的场为0，所以上式可以写为
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞
2π z
−∞ dfxdf y
U
Σ
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dx0dy0
以上用平面波角谱表示的衍射积分与惠更斯-菲涅尔原理的 基尔霍夫衍射积分公式是等价的。
基尔霍夫衍射积分定理
基尔霍夫理论的主要简化和近似是把光作为标量来处理，也就是 只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅。并且假定任何别的有关分量可 以用同样的方式独立处理。而实际上电磁场矢量的各个分量是通过麦克 斯韦方程组联系在一起的，不能独立处理。研究表明，只要满足两个条 件（1）衍射孔径比波长大得多，（2）不要在太靠近孔径的地方观察衍 射场，则标量理论可以得到满意的结果。
复振幅之比，
t(x, y) = Ut (x, y, 0) , 或 Ui (x, y, 0)
Ut (x, y, 0) = Ui (x, y, 0)t(x, y),
只要找出与 Ut
相应的角谱
At
( coλs α
,
cos
λ
β
)
和与
Ui
相应的角谱
Ai
(
cosα λ
,
cos
λ
β
)
之间的关系，就解决了这个问题。
基尔霍夫衍射公式
∫ ∫ U (x, y, z) = 1
iλ
∞ −∞
∞ −∞
U
(
x0
,
y0
)
exp(ikr r
)
cosθ
dx0
dy0
.
另一种完全波集是平面波集，即任意波长可以按平面波作展开， 这就是平面波角谱方法。这种方法首先是由瑞利用于描述平面波照明时 在褶皱介质边界上的透射和反射场。德拜在1909年用这种方法研究焦点 附近的场。1902年惠泰克证明用平面波角谱所描述的场是波动方程的 解。此后，从20世纪50年代至70年代，衍射理论的这一方法在无线电传 播理论中得到了广泛的应用。
2π λ
z
1−
λ2
f
2 x
−
λ2
f
2 y
)
∫ ∫ U (x, y, z) =
∞ −∞
∞
2π z
U
−∞
(
x0
,
y0
,
0)
exp(i
λ
1−
λ
2
f
2 x
−
λ
2
f
2 y
)
iexp{i2π[ fx (x − x0 ) + fy ( y − y0 )]}dfxdfydx0dy0
这是平面波角谱衍射理论的基本公式。
2. 平面波角谱的衍射理论
衍射孔径对角谱的效应
一个严格的单色平面波在时间和空间上应是无限的。如果一个平 面波入射到一个孔径上，即被该孔径所限制，显然这时由孔径出射的场 就不再是一个准确的平面波了。这就是我们要研究的衍射孔径对角谱的 扰动效应。
已知z=0平面处有一孔径，入射到该孔径上的复振幅为 Ui (x, y, 0),
由傅立叶变换定理可得
At
( coλs α
,
cos
λ
β
)
=
Ai
(
cosα λ,ຫໍສະໝຸດ cosλβ
)
*T
(
cosα λ
,
cos
λ
β
)
T (cosα , cos β ) λλ
为孔径函数的傅立叶变换。
卷积运算具有展宽带宽的性质。由于透射波的角谱等于入射波的
角谱与孔径函数的傅立叶变换的卷积，因此引入使入射波在空间上受限
制的衍射孔径的效应就是展宽了光波的角谱。而不同的角谱分量相应于
不同方向传播的平面波分量，故角谱的展宽就是在透射波中除了包含于
入射波相同方向传播的分量之外，还增加了一些与入射波传播方向不同
的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。
平面波角谱的衍射理论
如果在 z = 0 处有一孔径，则 U (x, y, 0) 为通过孔径后的透射光场。
惠更斯-菲涅尔原理
惠更斯可以用来确定波的传播方向，但不能解释衍射条纹的出 现，不能给出衍射光电场的定量分布。
菲涅尔综合惠更斯原理和干涉原理，认为次级波源是彼此相干 的，由此得到惠更斯-菲涅尔原理：波前上任何一个未受阻挡的点， 都可以看作为一个次级波源，在其后空间任一点P处的光振动，是这 些次级波源产生的次级波相干叠加的结果。
E1(P) = E0 (P)[1− exp(iπ p)],
式中 E0 (P) 为不存在屏时位于
轴上的点光源在P点引起光扰动的复振幅。
具有相同直径的不透光圆屏在P点引起的场振幅？ 由巴比涅原理，有圆屏时的场为
E2 (P) = E0 (P) − E1(P) = E0 (P) exp(iπ p),
则圆屏轴上该点的光强度为
I2 (P) = E2 (P) 2 = I0 (P).
泊松点
3. 菲涅尔近似与夫琅和费近似
菲涅尔近似
考虑无穷大的不透明屏幕上 的一个有限孔径对单色光的衍 射，如图所示。
设屏的平面上的直角坐标系为
衍射要讨论的问题是，已知在 z = 0 处的光场 U (x, y, 0), 求z>0处
的光场分布 U (x, y, z).
∫ A0 ( fx , fy ) =
∞
U
−∞
(
x0
,
y0, 0) exp[−i2π (
fx x0
+
fy
y0 )]dx0dy0
A(
fx,
fy,
z)
=
A0 (
fx,
fy
) exp(i
巴比涅原理
关于互补屏衍射光分布的关系。
互补屏是指这样两个屏，其中一个的开孔部分正好对应另一个的不 透明部分。
对于上述互补屏，可得
E1(P) + E2 (P) = E0 (P) E1(P), E2 (P) 为由两个互补屏分别在P点的振幅。 E0 (P) 是没有屏时的振幅。
这个结论称为巴比涅原理。
在屏上开一圆孔时在轴上一点P 处的振幅为
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第三章 光的衍射
2.679
0.0042
3.238 3.699
0 0.00016
29
y
圆孔衍射因子
2 J1 ( x) y x
2
中央的圆形亮斑称为艾里斑（Airy disk）
30
艾里斑集中了总光能的84% 第二个暗纹内达到91%
x ka sin 1.220 sin 1.22 1.22
17
强度分布公式
L2
B P
C N
P0
单缝宽度b，从B到C相位差逐点增加，BC两点的相位差为
2
2
b sin
θ称为衍射角
18
矢量图解法
O
2
R B A
C
A0
2
A 2 R sin A0 2R
I0为接收屏中央的强度
A A0
sin
I I0
sin 2
波长的影响 ，所以长波长
2
I
4I0 I0
b 的光衍射半角宽度大。 根据基尔霍夫积分公式 ： I 1
蓝光
2
，所以波长短的光
I
红光
衍射峰值大。
关于强度的结论只能从衍射积分公式中得出
22
主极大的半角宽度，即波长与缝宽的比值可作为衍射效应的标志
b
Δ θ越大，衍射效应越强；越小，衍射效应越弱，趋于几何光学
i ~ ~ ikr U ( P) U ( Q ) e dS 0 r0
我们有以下条件
~ U0 (Q) A, r0 f , r L( x0 ), x0 cosf, dS dfd
电子显微镜 第三章 衍射花样分析
18
四、二次衍射花样
在较厚单晶体或两相合金中常产生二次衍射:
电子通过晶体时，产生的较强衍射线可以作 为新的入射线，在晶体中再次产生衍射。
d1晶体Ⅰ D1: 一次衍射斑点 D3: 二次衍射斑点
19
d2晶体Ⅱ
O D3 D2 D1
两相合金中的二次衍射
20
d2晶体Ⅱ
d1晶体Ⅰ
O D3 D2 D1
O
(a)
E （-200）
R1
O
B （200）
A （020）
C （220） D
OERS零阶劳厄带 测得R1＝10mm，R2＝ 35.7mm，R3＝38.1mm， R12：R22：R32=4：51：59； S属于{711}，R属于 {731}； 测得R1，R2间夹角为820； 由夹角关系可得S点为 （-1 -7 1）；由矢量关 系可得R点为（-3 7 1）， T点（1 -7 1）；晶带轴 [uvw]为[017]。
D1
O
D2
(b)
O (c)
D2 D1 (d) 两相合金二次衍射示意图
21
五、菊池花样
花样特点: 除规则斑点之外,还出现一些亮暗成对的 平行线条。
22
菊池线花样的产生及其几何特征
菊池线是由经过非弹性相干散射失 去较少能量的电子随后又受到弹性散射 所产生的。
23
入射束
入射束
试样
A B F C I
A
当晶体点阵常数较 大（即倒易面间距 较小），导致球可 同时与几层相互平 行的倒易面上的阵 点相交，产生几套 衍射斑。
5
当晶体试样较薄 时(即倒易点成杆 状) ，Ewald球可 能与几层相平行 的倒易面上的倒 易杆相交，产生 几套衍射斑。
四、二次衍射花样
在较厚单晶体或两相合金中常产生二次衍射:
电子通过晶体时，产生的较强衍射线可以作 为新的入射线，在晶体中再次产生衍射。
d1晶体Ⅰ D1: 一次衍射斑点 D3: 二次衍射斑点
19
d2晶体Ⅱ
O D3 D2 D1
两相合金中的二次衍射
20
d2晶体Ⅱ
d1晶体Ⅰ
O D3 D2 D1
O
(a)
E （-200）
R1
O
B （200）
A （020）
C （220） D
OERS零阶劳厄带 测得R1＝10mm，R2＝ 35.7mm，R3＝38.1mm， R12：R22：R32=4：51：59； S属于{711}，R属于 {731}； 测得R1，R2间夹角为820； 由夹角关系可得S点为 （-1 -7 1）；由矢量关 系可得R点为（-3 7 1）， T点（1 -7 1）；晶带轴 [uvw]为[017]。
D1
O
D2
(b)
O (c)
D2 D1 (d) 两相合金二次衍射示意图
21
五、菊池花样
花样特点: 除规则斑点之外,还出现一些亮暗成对的 平行线条。
22
菊池线花样的产生及其几何特征
菊池线是由经过非弹性相干散射失 去较少能量的电子随后又受到弹性散射 所产生的。
23
入射束
入射束
试样
A B F C I
A
当晶体点阵常数较 大（即倒易面间距 较小），导致球可 同时与几层相互平 行的倒易面上的阵 点相交，产生几套 衍射斑。
5
当晶体试样较薄 时(即倒易点成杆 状) ，Ewald球可 能与几层相平行 的倒易面上的倒 易杆相交，产生 几套衍射斑。
材料科学研究方法 第三章 X射线衍射方法
根据衍射几何关系，偏 装法固定了两个圆孔位 置后就能求出相机的真 实圆周长度。 由图可见， C有效 = A+B=2π R， 其中R就是真实半径。 则： 2L 4R 4 ＝ C有效 2R 2 偏装法可以消除底片收缩、试样偏心、相机直径不准等 造成的误差。
德拜法的试样制备
首先，试样必须具有代表性；其次试样粉末尺寸大小要 适中（250-300目），第三是试样粉末不能存在应力 脆性材料可以用碾压或用研钵研磨的方法获取；对于塑 性材料（如金属、合金等）可以用锉刀锉出碎屑粉末 德拜法中的试样尺寸为φ 0.4-0.8×5-10mm的圆柱样品。 制备方法有： （1）用细玻璃丝涂上胶水后，捻动玻璃丝粘结粉末。（2） 将粉末填入石英毛细管或玻璃毛细管中即制成试样。或 用胶水将粉末调成糊状注入毛细管中，从一端挤出2-3mm 长作为试样。 （3）直接用金属丝作试样
X射线衍射仪
布鲁克公司生产的D8X射线衍射仪
控制及数据收集计算机
3.2.1 测角仪：核心部件
1. 测角仪的构造：
测角仪圆中心是样品台 H。样品台可以绕中心O 轴转动。平板状粉末多 晶样品安放在样品台H 上，并保证试样被照射 的表面与O轴线严格重 合。 测角仪圆周上安装有X 射线辐射探测器D，探 测器亦可以绕O轴线转 动。 工作时，探测器与试样 同时转动，但转动的角 速度为2：1的比例关系 （θ～2θ连动）。
3. 测角仪的光路布置
线状焦点 S 的长边方向与测角仪中心 轴平行，采用联合光阑（窄缝光阑a ＋梭拉光阑S1）控制X 射线在两个方 向上的发散。
窄缝光阑 a：控制与测角仪平面平行方向的发散度。 梭拉光阑 S1：由一组互相平行、间隔很密的重金属薄片组成 （长32mm， 薄片厚0.05mm，薄片间距0.43mm），用于 控制与测角仪平面垂直方 向的发散度。 窄缝光阑 b：控制试样上的照射面积。 狭缝光阑 F：控制衍射线进入计数器的辐射能量。
第三章 X射线衍射的基本原理
第三章
X射线衍射的基本原理
X射线的衍射实质上就是经过相互干涉而 加强的大量散射线所组成的射线 本章主要讨论内容: ⒈X射线衍射的条件? ⒉衍射线的方向? ⒊X射线衍射与晶体结构之间的关系?
§3-1 一个晶胞对X射线的散射
假设: ① 所研究的晶体是理想晶体,晶体内部没有任何缺陷或畸变. ② 不考虑温度的影响,晶体中各个原子均处于静止状态,没有热 运动. ③ 由于X射线的折射率近似等于1,可以认为X射线在传播时,光 程差等于程差. ④ 入射X射线是单色的严格平行的射线,不考虑X射线的吸收衰减 问题. ⑤ 晶体中各个原子的散射线不会再被其它原子散射. ⑥ 由于晶体的点阵常数都很小,在实验中,X射线源与试样的距离 和探测器与试样的距离相对于点阵常数均可视为无穷远.所以 衍射线和入射线相同,均是平行光.
n =1 n=2 n=3 M
λ
2d ( hkl )
θ1 θ2 θ3 M
θ3 θ2 θ3 θ2 θ1
θ1
d(hkl)
2
θ1
d (hkl ) n
sinθ = λ
θ1
θ2 θ2 θ3 θ3
d(hkl)/2 d(hkl)/1
2
r r r a(σ - σ 0 )
r r r b(σ - σ 0 )
r r r c(σ - σ 0 )
λ
从三维干涉函数中可以看出,一个单晶体的衍射线强度与衍射线的方向 有关,也与点阵常数,晶体大小有关. 如果认为,在B处接收的所接收到的散射线都是彼此加强的,强度取得最 大,则此时必须是分母为最小
r r r a (σ - σ 0 ) r r r b (σ - σ 0 ) r r r c (σ - σ 0 )
r* r r r G( HKL ) = Ha + Kb + Lc
X射线衍射的基本原理
X射线的衍射实质上就是经过相互干涉而 加强的大量散射线所组成的射线 本章主要讨论内容: ⒈X射线衍射的条件? ⒉衍射线的方向? ⒊X射线衍射与晶体结构之间的关系?
§3-1 一个晶胞对X射线的散射
假设: ① 所研究的晶体是理想晶体,晶体内部没有任何缺陷或畸变. ② 不考虑温度的影响,晶体中各个原子均处于静止状态,没有热 运动. ③ 由于X射线的折射率近似等于1,可以认为X射线在传播时,光 程差等于程差. ④ 入射X射线是单色的严格平行的射线,不考虑X射线的吸收衰减 问题. ⑤ 晶体中各个原子的散射线不会再被其它原子散射. ⑥ 由于晶体的点阵常数都很小,在实验中,X射线源与试样的距离 和探测器与试样的距离相对于点阵常数均可视为无穷远.所以 衍射线和入射线相同,均是平行光.
n =1 n=2 n=3 M
λ
2d ( hkl )
θ1 θ2 θ3 M
θ3 θ2 θ3 θ2 θ1
θ1
d(hkl)
2
θ1
d (hkl ) n
sinθ = λ
θ1
θ2 θ2 θ3 θ3
d(hkl)/2 d(hkl)/1
2
r r r a(σ - σ 0 )
r r r b(σ - σ 0 )
r r r c(σ - σ 0 )
λ
从三维干涉函数中可以看出,一个单晶体的衍射线强度与衍射线的方向 有关,也与点阵常数,晶体大小有关. 如果认为,在B处接收的所接收到的散射线都是彼此加强的,强度取得最 大,则此时必须是分母为最小
r r r a (σ - σ 0 ) r r r b (σ - σ 0 ) r r r c (σ - σ 0 )
r* r r r G( HKL ) = Ha + Kb + Lc
第三章 X射线衍射原理
一、一个原子对X射线的散射
电子的散 射公式：
1 cos 2 2 e2 Ie I0 2 2 4 0 mRC
2
上式也适用于重粒子（例如质子或者原子核） 的散射，但由于质子质量是电子质量的1836倍， 代入上式可知其散射波的强度为电子散射波强 度的1/(1836)2 ，因而可以忽略不计。所以原子 对X射线的散射主要是电子的行为。
E E
X
E
P
E
E’
O 2θ
E// E//
E//
I I 0
e 4 0 mRC 2
2 2 2
2
e I I 0 cos 2 2 4 0 mRC 2
1 cos 2 2 e Ie I0 2 2 4 0 mRC
实际上原子中的电子是按电子云状态分布在核 外空间的，不同位置的电子散射波间存在周相 差。因为用于衍射分析的X射线波长与原子尺度 为同一数量级，这个周相差便不可忽略，它使 合成电子散射波的振幅减小。
在某方向上原子的散射波振幅与一个电子散射波 振幅的比值，用原子散射因数f表示。
一个原子相干散射波的振幅 Aa f ＝ 一个电子相干散射波的振幅 Ae
E E
X
E
P
E
E’
O 2θ
E// E//
E//
实际应用的X射线一般不是偏振光。我们可以将 X射线的电场矢量（总是垂直于X射线传播方向） 分解成垂直于XOP平面和平行于XOP平面的分 量。容易理解:
2 2 E E; E E ; I 0 I 0 E E ; E 2 E 2 ; I I I0 2 I 2
晶体X射线衍射学3,衍射原理
距d的函数。如果将各晶系的d值代入布拉格方程，可得：
布拉格方程能给出晶胞参数（晶胞大小）与晶体所属晶系（晶胞形 状）。但是，不能给出晶胞中原子的种类和位置。因此，在研究晶胞中 原子的位置和种类的变化时，除布拉格方程外，还需要有其它的判断依 据。这种判据就是下一章要讲的结构因子和衍射线强度理论。
32
结构因子
X射线衍射理论所要解决的中心问题: 在衍射现象与晶体结
构之间建立起定性和定量的关系，这个关系的建立依靠一 个参数联系--晶面间距。
7
晶体的衍射方向
为什么在这个方向上能产生衍射，而不是其他方向？ 回答这个问题就涉及到衍射方向的问题
8
晶体衍射方向就是X射线与周期性排列的晶体中的原
子、分子相互作用时，产生散射后X射线干涉、叠加 相互加强的方向。讨论衍射方向的方程有： 劳厄Laue方程和 布拉格Bragg方程。
22
根据图示，光程差：
干涉加强的条件是：
式中：d晶面间距，n为整数， 称为反射级数；θ 为入射线或 反射线与反射面的夹角，称为 掠射角，由于它等于入射线与 衍射线夹角的一半，故又称为 半衍射角，把2 θ 称为衍射角。
23
因此，已经证明：当一束单色平行的X射线照射到晶
体时， （1）同一晶面上的原子的散射线，在晶面反射方向上 可以相互加强； （2）不同晶面的反射线若要加强，必要的条件是相 邻晶面反射线的光程差为波长的整数倍。 布拉格方程是X射线对晶体产生衍射的必要条件而非 充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，但 不一定出现衍射线，即所谓系统消光。
衍射矢量方程与倒易点阵结合，表示衍射条件与衍射
方向。
反射球中的衍射矢量与倒易矢量的等同，直接把正空
物理光学-第3章 光的衍射
f x = ρ cos φ
f y = ρ sin
dx0 dy 0 = r0 dr0 dα 0
( x0 , y 0 ) = A
α0
0 ~ 2π
r0
0~a
24
3-4 夫琅和费圆孔衍射
光强分布公式
ie iKz 2 z ( x12 + y12 ) + ∞ i 2π ( f x x0 + f y y0 ) u ( x, y ) = e u ( x 0 y 0 )e dxo dy 0 ∫ ∫∞ λz
4
3.2衍射的基本理论
①狭缝衍射 ②圆孔衍射
5
3.2衍射的基本理论
惠更斯-菲涅耳原理
6
3.2衍射的基本理论
惠更斯原理是描述波的传播过程的一个原理。设波 源在某一时刻的波阵面，面上每一点都是一个次波 源，发出球面次波。次波在随后的某一时刻的包迹 面形成一个新的波阵面。波面的法线方向就是波的 传播方向。这就是惠更斯原理。 菲涅耳在研究了光的干涉现象以后，考虑到次波来 自同一光源，应该相干，因而波阵面上每一点的光 振动应该是在光源和该点间任意一个波面上发出的 次波迭加的结果。这样用干涉理论补充的惠更斯原 理叫作惠更斯-菲涅耳原理。
12
3-2-3 夫琅和费衍射和菲涅耳衍射
夫琅和菲近似：衍射屏到孔的距离z很大，透光孔很小 2 2
2 2 x0 + y 0 k ( x0 + y 0 ) max ≈0 z >> 2 z 2 2 2 2 2 1 ( x1 x0 ) + ( y1 y 0 ) 1 x12 + y12 1 x0 + y 0 x1 x0 + y1 y 0 r ≈ z 1 + = z 1 + 2 z 2 + 2 z 2 2 z2 2 z k [( x x ) + ( y y ) ] i i ikz u ( x1 y1 ) = e ∫∫ u ( x 0 y 0 )e 2 Z dx 0 dy 0 λz k 2 2 2 2
射线衍射分析基础教程第3章射线衍射的几何原理
N
m0
n0
p0
N1 1
N2 1
N3 1
G exp(ima k) exp(inb k) exp(ipc k)
m0
n0
p0
G
2
sin 2
1 2
N1a • k
sin 2
1 2
N2b • k
sin 2
1 2
N3c • k
sin 2 1 a • k sin 2 1 b • k sin 2 1 c • k
我们的任务是求出散射体外某一点 的相干散射振幅和强度。
任意两个阵点相干散射的示意图及简单推导方法
ON - MA r S - r S0 r(S S0 )
如图3-1，设有两个任意的阵点O、A，取O为 坐标原点，A点的位置矢量r=ma+nb+pc，即空 间坐标为（m,n,p），S0和S分别为入射线和散 射线的单位矢量，散射波之间的光程差为:图31 任意两阵点的相干散射
ON - MA r S - r S0 r(S S0 )……（3-1）
其位相差为：
2 2 S S0 r
k r k(ma nb pc)
……(3-2)
图3-1 任意两阵点的相干散射
A Ap exp(i)
p
N1 1
N2 1
N3 1
Ac Ap exp(i) Ap exp(ima k) exp(inb k) exp(ipc k) ApG
上都可以产生反射，而原子面对X射线的反射 并不是任意的，只有当、、d三者之间满足 布拉格方程时才能发生反射，所以把X射线这
种反射称为选择反射。
产生衍射的极限条件
根据布拉格方程 2d
2d 对衍射而言，n的最小值为1，所以 在任何可观测的衍射角下，产生衍射的 条件为<2d，这也就是说，能够被晶体 衍射的电磁波的波长必须小于参加反射 的晶面中最大面间距的二倍，否则不能 产生衍射现象。
光学原理 第三章 标量衍射理论基础
+
ak 2
= a1 + ak (P点相长, 亮点) 22
当k为偶数时 :
Ak
=
a1 2
+ ⎜⎛ ⎝
a1 2
− a2
+
a3 2
⎟⎞ + ⎜⎛ ⎠⎝
a3 2
− a4
+
a5 2
⎟⎞ + L + ⎜⎛
⎠
⎝
ak −3 2
− ak−2
+
ak −1 2
⎟⎞ + ⎠
ak −1 2
−
ak
=
a1 2
+
ak −1 2
−
ak
4.若λ/a趋于零Æ衍射现象消失—几何光学是λ/a趋于零 的极限情况
• 格里马耳迪(F.M.Grimaldi)1665 年首先报道 和描述了衍射现象。他当时用来观察光衍射的 装置由光源发出的光照射到一个不透明的屏所 开的孔径上，在孔径后方用一个平面屏来观察 经孔径透射的光在它上面分布的情况。
• 按照几何光学的观点，在观察平面上影子与亮 区的交界处应该是轮廓分明的，然而实际的观 察表明有一部分光线进入了几何阴影的暗区， 同时在亮区中却出现了暗纹。索未菲将这种 “不能用反射或折射来解释的光线对直线光路 的任何偏离”的现象定义为衍射。
r0
+
3⋅
λ
2
L
Bk
P
=
r0
+
k
⋅
λ
2
B0
r0
C‘ 极点
P
对称轴， S的法线
相邻波面到观察点距离 均相差λ/2的环形带波 面称为半波带。
二、半波带性质
第三章 衍射原理及分析.ppt
公式讨论：Ie
I0
e4 m2C 4R2
1
cos2 2
2
一束射线经电子散射后，其散射强度在各个方 向上是不同的：沿原X射线方向上散射强度（2 ＝0或2＝π时）比垂直原入射方向的强度（2 ＝π/2时）大一倍。
说明X射线经电子散射后，散射线被偏振化了，
偏振化的程度取决于2θ角，所以把 1 cos2 2 称
简单正交 底心正交 体心正交 面心正交
晶系 三斜 单斜
正交
布拉菲点阵 简单六方
简单菱方
简单四方 体心四方 简单立方 体心立方 面心立方
晶系 六方 菱方 四方
立方
The 14 possible BRAVAIS LATTICES
{note: that spheres in this picture represent lattice points, not atoms!}
在运算上，用复数的方法更为简单一些。
在复平面上，用一个向量的长度A代表波的振幅，
用向量与实轴的夹角φ表示波的位相。于是这个
波向量可用三角函数形式表示为：
E=Acosφ+iAsinφ
根据欧拉公式，也可以用更简单的指数函数形式
写为
E=Aeiφ
于是多个向量的合成的新向量就可写成：
n
n
H ( Aj cos j Aji sin j ) Aj ei j
j1
j 1
假定一个晶胞中有n个原子， 它们的坐标分别为u1v1w1、u2v2w2……unvnwn； 每个原子的原子散射因子分别为f1、f2、 f3…… fn ；它们的散射波的振幅为Aef1、Aef2、 Aef3……Ae fn 各原子散射波与入射波的位相差分别为φ1、 φ2、φ3、……φn 则n个原子的散射波互相叠加合成的整个晶胞