第16章-几何非线性问题

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计算方法21-非线性方程

计算方法21-非线性方程

区间,如此反复,直到求出满足精度要求的近似根.
具体步骤如下:
10
令 (a, b) (a0 , b0 )
取a0 , b0 中点 x0
a0 b0 2
将其二分,
这时有三种情况: 若 f x0 0 , 则 x x0 ; 否则, x f a f x 0 , 则 a , x0 , 令 a1 a , b1 x0 ; 若 0
1 1 b2 a2 (b1 a1 ) 2 (b a ) , 2 2 ba bk ak k 2
ak bk 区间 ak , bk 的中点 xk 形成一个序列 x0 , x1 ,, xk ,, 2
显然有 lim x k x .
k
13
实际计算中,对于给定的根的允许误差 0 ,
5
求方程根的近似值,需要解决的问题:
⑴ 根的存在性. ⑵ 根的隔离. 要判断方程有没有根,有几个; 找出有根区间,使得在较小的区间内
方程只有一个根,以得到根的近似值.
⑶ 根的精确化. 利用合适的数值计算方法,逐步 把根精确化,直至满足精度要求.
6
二、逐步搜索法
假设f(x)在有根区间[a,b]单值连续,且f(a)<0.
一般步骤:
取合适的步长
y
ba h , n
f(x) 0 a x* b x
从x0=a出发,按步长逐步向右跨进行搜索,
若发现f(xk)与f(a)异号,则确定一个缩小的有根区间
[ xk 1 , xk ], 其宽度等于步长h.
特别地,若f(xk)=0,则xk就是所求的根.
7
例 对方程f (x)=x3-x-1=0 搜索有根区间.
12

第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法

第五章刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性模型假设,对一般的体积不可压缩材料,因为其静 水压力与体积应变率无关,如要计算应力张量,还必须进行应 力计算的处理。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 从数学的角度来讲,有限元法是解微分方程的一种数值方法。它的 基本思想是:在整个求解区域内要解某一微分方程很困难(即求出 原函数)时,先用适当的单元将求解区域进行离散化,在单元内假 定一个满足微分方程的简单函数作为解,求出单元内各点的解;然 后,再考虑各单元间的相互影响,最后求出整个区域的场量。
两个或一个事先得到满足,而将其余的一个或两个,通过拉格朗日
乘子引入泛函中,组成新的泛函,真实解使泛函取驻值,这就是不
完全广义变分原理。
❖ 在选择速度场时应变速率与速度的关系(1)式和速度边界条(3)式容 易满足,而体积不可压缩条件(2)式难于满足。因此,可以把体积 不可压缩条件用拉格朗日乘子入引入到泛函中,得到新泛函:
够的工程精度的前提下,可提高计算效率。
塑性成形过程 计算机数值模拟
第五章 刚塑性有限元法基本理论与模拟方法
❖ 由于刚塑性有限元法采用率方程表示,材料变形后的构形可通 过在离散空间对速度的积分而获得,从而避开了应变与位移之 间的几何非线性问题。
❖ 由于忽略了弹性变形,刚塑性有限元法仅适合于塑性变形区的 分析,不能直接分析弹性区的变形和应力状态,也无法处理卸 载和计算残余应力与变形。
在满足: (1) 速度-应变速率关系
ij
1 2
ui, j
u j,i
(2) 体积不可压缩条件 (3) 速度边界条件
V kk 0
ui ui
(在 Su 上)
的一切动可容场
ui*j

材料非线性

材料非线性
7
( ) P( ) f 0 0
其中: 表示载荷变化的量。 dP d d f 0 KT f0 0 d d d d 1 K T ( ) f 0 d 切线矩阵
1 1 m1 m KT ( m ) f0m KT ( m )f m
一、材料弹塑性行为的描述
弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后 存在不可恢复的永久变形,因而在涉及卸载的情 况下,应力和应变之间不再存在一一对应的关系, 这是区别于非线性弹性的基本属性。

11
单调加载 对于大多数材料存在屈服应力,应力低于屈服 应力时,材料为弹性,而当应力超出屈服应力时, 材料进入 弹塑性状态。 当应力达到屈服应力后,应力不再增加,而材料 变形可以继续增加—理想弹塑性材料。
第六章 材料非线性问题的有限元法
1
第一节
引言
线弹性力学基本方程的特点: 几何方程的位移和应变的关系是线性的; 物理方程的应力和应变的关系是线性的; 建立于变形前的平衡方程也是线性的。 几何非线性问题 结构的变形使体系的受力状态发生显著变化, 以致于不能用变形前的平衡方程分析,且位移和应 变的关系不是线性的。
K ( ) f 0
增量法 载荷分为若干步: f 0 , f1 , f 2 , f 3 位移分成若干步: 0 , 1 , 2 , 3 每两步之间增长量为增量。 增量解法的一般做法是: 假设第m步的载荷 f m 和位移 m ; 让载荷增加 f m1 ( f m f ) ,再求解 m1( m )。 如果每一步的增量 f 足够小,解的收敛性 可以得到保证
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NmR-N方法求解非线性方程组时,收敛速度 较慢,特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突 然变软的情况下,收敛速度会很慢。为了加速收敛, 可以采用一些方法,比较常用和有效的是Aitken法。 该方法每隔一次迭代进行一次加速。

第四章 土木工程中的几何非线性问题

第四章 土木工程中的几何非线性问题
Kirchhoff(克希霍夫)应力:
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力,用 表示; 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时(Updated)Kirchhoff 应力, 用 表示。
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非线性有限元
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Euler应力张量:τij
在大变形问题中,是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相 等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量, 称为Euler应力张量; 此应力张量有明确的含义,即代表真实的应力张量。是现 时位形和变形相关的真实应力。
Case-1
同乘以时间增量
增量形式 …
Case-2
可以证明,这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
旋转率
现时Green应变的线性部分
可以证明,这两个率都与转动无关
8/5/2024
非线性有限元
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三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题,上述三种本构关系并不等价。可以证明,弹性 材料是一种特殊的次弹性材料,超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
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应力是借助于微元体来定义的,但在大变形分析中,必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似,连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力:
从当前构型中取出微元体,在其上定义的应力称为Euler应力,用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而,当前构型是待求的未知构型, 因而,有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力(增量)和Green应变(增量)。 优点:参考构型不发生变化,本构关系与虚功方程描述形式简单。

梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法

梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法

NUMERICAL IMPLEMENTATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR BEAM STRUCTURES
CHEN Zheng-qing
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
= tσ ij + ∆∗T ij = ∆∗ Eij
(1) (2)
而它在 t+Δt 时刻柯西应变就等于其增量:
t + ∆t t Eij
式中, ∆ Eij 为:

∆∗ Eij = ∆∗ε ij + ∆∗ηij 1 ∆∗ε ij = (∆ui ,j + ∆u j ,i ) 2 1 ∆∗ηij = ∆uk ,i ∆uk ,j 2
———————————————
收稿日期:2013-05-01;修改日期:2014-03-06 基金项目:国家自然科学基金项目(91215302) 作者简介: 陈政清(1947―), 男, 湖南湘潭人, 教授, 博士, 湖南大学风工程研究中心主任, 主要从事结构振动与控制研究(E-mail: zqchen@).
(3) (4) (5)
44




E G [ t kαβ ]{∆qα } = {t+ ∆t Pβ − tψ β } + t kαβ
仍然假定变形体的应变增量是小应变,应 力应变增量关系可以记为:
(14) (15) (16)
′ ∆∗ε kl ∆∗T ij = Cijki
功增量方程如下: ′ = A3 ′ − A4 ′ A1′ + A2 式中:

第8章 接触问题的有限元法

第8章 接触问题的有限元法
从属表面应该是网格划分的更精细的表面; 如果网格密度相近似,从属表面应该由柔软的材 料组成。
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小滑动和有限滑动 当选用小滑动公式时,ABAQUS从模拟开始就
建立从属表面和主控表面的关系。ABAQUS确定主 控表面的哪个部分与从属表面的每一个节点发生关 系。这种关系在整个分析中保持不变。如果分析包 括几何非线性,小滑动公式需要考虑主控表面的任 何转动与变形对接触力的影响。如果不包括几何非 线性问题,可忽略主控表面的任何转动和变形,认 为加载路径是固定的。
一对接触面的法线方向应该相反,如果法线方向 错误,ABAQUS理解为过盈接触,因此无法收敛。
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从属表面和主控表面
ABAQUS采用主控—从属接触算法:从属表面 的节点不能穿透主控表面的任何部分。这种算法对 主控表面没有限制,它可以穿透从属表面。为了获 得接触模拟的最好结果,必须认真和准确地定义从 属和主控表面:
力引起的等效节点力向量
和罚系数有关的矩阵
F 'k+1 = −Λ'T T N cd c − Λ'd '
整体坐标系下接触力等效节点力向量
对称阵 F k+1 = −(N c )T T Λ'T T N cd c − (N c )T T Λ'd '
F k+1 = −Kcd c + F̃ k+1 --系统的等效节点接触力向量
采用有限元法分析接触问题时,需要分别对接触 物体进行有限元网格剖分,并规定在初始接触面上, 两个物体对应节点的坐标位置相同,形成接触对。整 体和局部坐标系下,两个物体由于接触载荷引起的等 效节点力矢量分别记为
3
{ } F Ι = F1Ι , F2Ι , F3Ι T

第六章非线性系统的反馈线性化

第六章非线性系统的反馈线性化

第六章非线性系统的反馈线性化反馈线性化方法的基本思想是用反馈的方法,将非线性被控对象补偿成为一个具有线性特性的系统,然后利用线性系统理论进行控制系统设计。

基于微分几何的反馈线性化方法是一种精确线性化方法。

6.1 反馈线性化基本概念反馈线性化设计步骤是:(1)通过反馈的方法将非线性系统转化为线性系统,这个过程可以微分几何方法;(2)经过线性化处理后的系统进行设计。

与泰勒级数展开的近视线性化方法不同,它是建立在系统状态变换与非线性反馈基础上的一种精确方法。

它是大范围有效的,而不是仅仅局限于工作点附近。

1水槽的系统模型为()()2h d A h dhu t a ⎡⎤=−∫4()f B =+ xx u 考虑如下系统x是系统状态,f(x)是光滑向量场,u是控制输入,B是输入矩阵且可逆。

设跟踪轨迹为x d 。

=d e x x−定义跟踪误差=f()B d ex x u −− 主要思路是设计如下的补偿控制算法1=(f())d u Bxx ke −−+ =-eke 补偿后的误差动态方程为稳定例2 两关节机械手111212121112122212220H H qhq hqhq q g H H qhq qg ττ−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&&&&&&&(6.1)5其中,[]12,Tq q =q 为关节角,[]12,Tττ=τ为关节输入。

12222221222221111211222222221212122221211122122122122cos cos sin cos cos()cos cos()c c c c c c c c c c H m l I m l l l l q I H m l I H H m l l q m l I h m l l q g m l g q m g l q q l q g m l g q q ⎡⎤=+++++⎣⎦=+==++=⎡⎤=+++⎣⎦=+表示成向量形式()(,)()H q qC q q q g q τ++=&&&&两边同乘以1H −,可变成仿射非线性系统(6.1)。

第三章几何非线性

第三章几何非线性

在大应变问题中,对数应变并不能自动适应任意大的旋转。
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-19
真实应力或 Cauchy 应力
与对数应变 l 共轭的一维应力是真实应力 ,真实应力的计算是当 前的力 F 除以当前(或变形的)面积 A :

F A
真实应力通常也称为 Cauchy 应力。
1 G U T U I 2
这种应变在计算时直接忽略了旋转矩阵 的形式写出,如下式所示:


。 G 可以变形梯度
R
u u T u T u G X X X X
几何非线性 – 5.7版本
u
Y
X
X
x
• 如果我们观察物体上一个点的运动,它的初始位置是 X ,最终 位置是 x ,它运动的量 u 为
u x X
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-24
变形梯度
变形梯度是物体变形多少的一个度量,它的定义是:
变形梯度 F 包含的信息有:

October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-22
将非线性应变定义扩展至一般的三维情况
• 在二维或三维问题中,当物体承受大应变变形时,不只长度发生 改变,而且厚度、面积与体积都发生改变。
A0 A
P
October 17, 2000
几何非线性 – 5.7版本
3-23
运动与变形
• 当物体承受一些外载时,它将移动和变形。
l l0
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1
= ������������
1
������
−1
������������ +
������−1
������
−1 ������−1
������
������������
= ������
,������������
= ������
1
16.1 非线性方程组的解法
3、弧长法-超平面约束
定义矢量 ������
������ ������
������������ = ������−1 ������ (������)������0 ������������ 欧拉法求解增量方程和解的漂移 ������������������ = ������−1 ������ (������������ )������0 ������������������ = ������ ������
2、荷载增量法
对于方程������(������) = ������(������) − ������ = 0,首先将载荷分为若干步, 每两步之间的增长量称之为增量; 假设第m步的载荷������������ 和相应的位移������������ 为已知,将载荷增加 为������������+1 (= ������������ +∆������������ ),再求解位移������������+1 (= ������������ +∆������������ )。如果 每步的载荷增量∆������������ 足够小,则可以保证解的收敛性; 可得到每一增量步的荷载与位移,从而得到位移和应力等 随载荷变化情况。 引入荷载变化系数λ 将上式对λ求导 得增量方程 ������(������) = ������(������) − ������������0 = 0
������������ ������������ ������������ − ������0 = ������ ������ − ������0 = 0 ������������ ������������ ������������
������������ = ������−1 ������ (������)������0 ������������
同济大学土木工程学院研究生课程 《有限单元法》
第16章
几何非线性问题
授课教师:吴明儿教授 2015年春
16.1 非线性方程组的解法
1、Newton-Raphson迭代法
������ ������ = ������
������ ������ 是������的非线性函数向 量,������是节点位移向量,������ 是节点载荷向量。 ������������
对于m+1次增量步的第n+1次迭代
������ ������������������ ������ = ������ ������ −1 (������ ������ ������+1
对于mN-R法,切线刚度矩阵取
− ������(������������ ������ ))
������������ ������
������
������
=
������ ������ ������
−1
(������ − ������
������
������
)
������+1
= ������
������
+ ������������
N-R方法中的初始试探解������(0) , 可以简单的假设������(0) =0。 重复上述迭代求解过程直至 满足收敛要求。
= ������
������ ������
������ ������
������ ������
������
������������ ������ ������
= ������������ ⋅ ������ ⋅ ������
������
������������ ������
������
约束条件
1 ������ 2 = ������0
������0 为标量,称为弧长。
1 ������ 1 ������ ������−1 ������ 2 = ������0
������
⋅ ������������
=0
16.1 非线性方程组的解法
3、弧长法-超平面约束
本次增量步第1次迭代计算
������ ������ ������
1
1
= ������ 1 = ������ ⋅ ������
−1 ������������ ������ ������
考虑平衡校正的增量解法 ������������������ = ������ ������
−1 ������ (������������+1
− ������(������������ ))
16.1 非线性方程组的解法
2、荷载增量法
(2)Newton-Raphson法
������
������
−1
������������
������
1 ������
������ 1
=
������ 1
������
������
−1
������0
������
������ 1
������
1 ������ 1
1
2 = ������0
������

������
������0 ������
−1
������ + ������������ ������ ������������ −
������−1
������−1
������
= ������������ 1 ������0 + ������������ 上次增量步达到收敛条件: ������������ = ������
������
= ������������ ������ ������������ +
������ = ������������������
P (U ) − ������������������ = 0
载荷增量和位移增量满足约束 方程:弧长法 ������ ������, ������ = 0
16.1 非线性方程组的解法
3、弧长法
������, ������������:上次增量步收敛 结束时的荷载系数与位移 ������, ������:本次增量步第j次 迭代后的荷载系数与位移 ������ ������ , ������ ������ :本次增量步从 迭代开始到第 j 次迭代后 的增量 ������������ ������ ,������������ ������ :本次增量步 从迭代 j-1次到 j 次的增量 ������ ������ = ������ − ������������ ������
������������
������
= =
−1 ������ − ������ ������ ������ ������ = −1 ������ ������ ������ (������ − ������ ������ ������
− )
������ ������ ������
−1
������
������
������
= ������0 ������
������
= ������������ (������������ )
������������
������+1
������ = ������������ ������ + ������������������
16.1 非线性方程组的解法
3、弧长法
复杂荷载位移平衡路径的追迹
������
= ������ − ������������
������
= ������ −
������−1
− ������
������−1
16.1 非线性方程组的解法
3、弧长法
本次增量步第1次迭代计算
������
本次增量步第 j 次迭代计算
������−1
������ ������������
1
= 1������ ������0 − ������������
������������
������
������
������
−1
������������ + 1
由������ 1 算出������ 1 。 式中正负号选取:使矢量������
1
与连接点m-1与m的矢量������呈锐角。
16.1 非线性方程组的解法
1、Newton-Raphson迭代法
������(������) = ������(������) − ������ = 0
方程的第n次近似解������(������) ,但������(������ ������ ) ≠ 0,为得到第n+1次近似解 ������(������+1) ,在������(������) 附近作������(������ ������+1 ) 的Taylor展开。仅保留线性项。 ������������ ������+1 ������ ������(������ ) ≡ ������(������ ) + ������������ ������ = 0 ������������ ������ ������������ ������������ ≡ ≡ ������ ������ (������) 切线矩阵 ������ ������+1 = ������ ������ + ������������ ������ ������������ ������������
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