例说七类需要分类讨论的题型
分类讨论问题
分类讨论问题一、内容提要： 分类讨论的主要因素： （1）根据本身就是分类定义；（2）有些性质、公式在不同条件下有不同的结论； （3）一些定义、定理、公式和法则有范围或条件限制； （4）题目的条件或结论不唯一时；（5）解含参数（字母系数）的题目时，必须根据参数（字母系数）的不同取值范围进行讨论；（6）推理过程中，遇到数量的大小不确定，图形的位置或形状不确定的。
四个步骤： （1）确定分类对象 （2）进行合理分类 （3）逐类讨论，分级进行 （4）归纳并作出结论 二、例题精选 1．按图形的性质分类例1 如图1，⊙O 是等边ΔABC 的外接圆，D 是 BC上异于B 、C 的一点。
若 BD与 DC 的度数之比是1∶3，⊙O 的半径为1，取点F ，使ΔDCF 为等腰三角形，且顶角为钝角，试指出这时DF 的长或其取值范围。
分析：题目中，没有确定DC 是等腰三角形的底还是腰，所以要分为不同的情况讨论，在不同状态下求DF 。
解：因为 BC为120°， BD 与 DC 的度数的比是1∶3，所以 DC 为90°， DCB AO连结OC、OD，则=①以CD为底边时，如图2，DF可变化，若∠F为直角，则DF=1，而本题∠F为钝角，有<DF<1。
②以CF为底边时，如图3，DF确定，DF＝DC=。
③以DF为底边时，如图4，DF可变化，若∠C=90°，则DF=2，所以∠C为钝角时，DF>2。
又DF<2，所以2<DF<2。
说明：题目中的已知条件只是用来确定DC的长度，而后面的分类讨论内容与圆没有关系，是对等腰三角形的边进行计算，分类讨论注意全面，不要遗漏。
例2、抛物线y=m x2-(3m+)x+4与x轴交于两点A，B，与y轴交于C点，若ΔABC是等腰三角形，求抛物线的解析式。
解：在y=mx2-(3m+)x+4中令x=0, 得到y=4，∴ c(0,4 )令y=0，则m x2-(3m+)x+4=0∵ m≠0, ∴ x1=3, x2=。
分类讨论思想在解题中的应用
一、复习策略分类讨论思想是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位．所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．1. 分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点⑴分类讨论的思想具有明显的逻辑特点；⑵分类讨论问题一般涵盖知识点较多，有利于对学生知识面的考察；⑶解决分类讨论问题，需要学生具有一定的分析能力和分类技巧；⑷分类讨论的思想与生产实践和高等数学都紧密相关．2. 分类讨论的思想的本质分类讨论思想的本质上是“化整为零，积零为整”，从而增加了题设条件的解题策略．3. 运用分类讨论的思想解题的基本步骤⑴确定讨论对象和确定研究的区域；⑵对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；⑶逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；⑷归纳总结，整合得出结论．4. 明确分类讨论的思想的原因，有利于掌握分类讨论的思想方法解决问题，其主要原因有：⑴由数学概念引起的分类讨论：如绝对值定义、等比数列的前n项和公式等等；⑵由数学运算要求引起的分类讨论：如偶次方根非负、对数中的底数和真数的要求、不等式两边同乘以实数对不等号方向的影响等等；⑶由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论；⑷由几何图形中点、线、面的相对位置不确定引起的分类讨论；⑸由参数的变化引起的分类讨论：某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法；⑹其他根据实际问题具体分析进行分类讨论，如排列、组合问题，实际应用题等．5. 分类讨论思想的类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；⑵问题中的条件是分类给出的；⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的．二、典例剖析例1、（2007·上海）直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC中，若，则k的可能值个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解析：由（2，1），（3，k），得（1，k－1），由于为直角三角形，则，，都可能为直角，由向量数量积为0，分别有或或，解得或．答案：B点评：本题主要考查向量运算及向量垂直的判定，也考查了学生分类讨论思想能力，引起分类的原因是直角三角形直角的不确定，但有的学生也可能想到位置有三种情况，故主观认为有三个值，这也是值得思考的．例2、将一骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为（）A．B．C．D．解析：连续掷三次骰子出现点数的方法总数为种，其中公差为0的等差数列有6个，公差为1或－1的等差数列有个，公差为2或－2的等差数列有个，所以满足条件中的概率为．答案：B点评：本题主要考查概率基础知识，排列组合知识和等差数列的性质，由于取出的三个数成等差数列，则三个数由于顺序且公差不确定，所以需要分类进行计数．例3、（2007·陕西）已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求面积的最大值．分析：圆锥曲线方程的确定要了解其中参数字母具有的几何意义，掌握字母间的基本关系．解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，∴所求椭圆方程为．（2）设，．①当轴时，．②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为．由已知，得．把代入椭圆方程，整理得，，．．当且仅当，即时等号成立．当时，，综上所述．∴当|AB|最大时，面积取最大值．点评：本题考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线间的位置关系．对于直线方程，根据斜率存在与否是本题产生讨论的原因．例4、（2007·海南、宁夏）设函数．（1）若当x=－1时，f(x)取得极值，求a的值，并讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在极值，求a的取值范围，并证明所有极值之和大于．分析：函数的极值、单调性是函数的重要性质．极值问题的解决，需要利用导数知识判断在该点两侧函数的单调性；而函数单调性的讨论则需要考察相应导数的符号问题．解：（1），依题意有，故．从而．的定义域为．当时，；当时，；当时，．从而，分别在区间单调递增，在区间单调递减．（2）的定义域为，．方程的判别式．（i）若，即，在的定义域内，故无极值．（ⅱ）若，则或．若，，．当时，，当时，，所以无极值．若，，，也无极值．（ⅲ）若，即或，则有两个不同的实根，．当时，，从而在的定义域内没有零点，故无极值．当时，，，在的定义域内有两个不同的零点，由极值判别方法知在取得极值．综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为．f(x)的极值之和为：．点评：本题主要考查函数的导数、极值、单调区间的求法，考查利用导数和函数知识解综合问题的能力.求函数的单调区间，因函数的单调性可能是单调递增也可能是单调递减所以要讨论，其实质就是讨论导数的符号．一般地可导函数的极值存在要求有两个条件：一是方程在的定义域内有解；二是在方程的根的两边导数的符号要相反．因此在利用导数求可导函数的极值时就要分两层讨论．例5、设函数的图象是曲线，曲线与关于直线对称．将曲线向右平移1个单位得到曲线，已知曲线是函数的图象．（1）求函数的解析式；（2）设求数列的前项和，并求最小的正实数，使对任意都成立．解：（1）由题意知，曲线向左平移1个单位得到曲线，∴曲线是函数的图象．曲线与曲线关于直线对称，∴曲线是函数的反函数的图象．的反函数为．．（2）由题设：，．．①．②由②—①得，．当．．当时，．∴当时，对一切，恒成立．当时，．记，则当大于比大的正整数时，．也就证明当时，存在正整数，使得.也就是说当时，不可能对一切都成立.∴t的最小值为2.例6、（2007·天津）在数列中，，其中λ＞0．求数列的前项和．分析：数列的通项公式和前项和的求解，是高考中考查的一个重点内容，对于它们的解决要掌握一些方法．解：由，，可得，所以为等差数列，其公差为1，首项为0，故，所以数列的通项公式为．设，①②当时，①式减去②式，得，．这时数列的前项和．当时，．这时数列的前项和．点评：本题考查数列的通项公式和前项和．对于等比数列的前项和公式，由于公比的取值不同而需要分类讨论．例7、已知函数f（x）=ax＋lnx，其中a为实常数，设e为自然对数的底数.（1）若f（x）在区间（0，e上的最大值为－3，求a的值；（2）当a=－1时，试推断方程| f（x）|=是否有实数解.解：（1）∵=a＋，x∈(0，e)，∈［，＋∞．①若a≤－，则≥0，从而f(x)在(0，e)上增函数.∴f(x)max =f(e)=ae＋1≥0.不合题意.②若a<－，则由>0a＋>0，即0<x<－由f(x)<0a＋<0，即－<x≤e.∴f(x)max=f(－)=－1＋ln(－).令－1＋ln(－)=－3，则ln(－)=－2.∴－=e－2，即a=－e2. ∵－e2<－，∴a=－e2为所求.（2）当a=－1时，f(x)=－x＋lnx，=－1＋=.当0<x<1时，>0；当x>1时，<0.∴f(x)在（0，1）上是增函数，在（1，＋∞）上减函数.从而f(x)max=f(1)=－1.∴f(x)=－x＋lnx≤－1，从而lnx≤x－1.令g(x)=|f(x)|－==x－lnx－－=x－(1＋)lnx－①当0<x<2时，有g(x)≥x－(1＋)(x－1)－=－>0.②当x≥2时，g′(x)=1－［(－)lnx＋(1＋)·］==.∴g(x)在[2，＋∞上增函数，∴g(x)≥g(2)=综合①、②知，当x>0时，g(x)>0，即|f(x)|>.故原方程没有实解.例8、已知函数（1）当a=2时，求使f（x）＝x成立的x的集合；（2）求函数y＝f (x)在区间[1，2]上的最小值.解：（1）由题意，．当时，由，解得或；当时，由，解得．综上，所求解集为．(2)设此最小值为m．①当时，在区间[1，2]上，，因为，，则是区间[1，2]上的增函数，所以．②当时，在区间[1，2]上，，由知．③当时，在区间[1，2]上，．．若，在区间（1，2）上，，则是区间[1，2]上的增函数，所以．若，则．当时，，则是区间[1，]上的增函数，当时，，则是区间[，2]上的减函数，因此当时，或．当时，，故，当时，，故．综上所述，所求函数的最小值例9、设函数f(x)=x2＋｜x－a｜＋1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值．解：(1)当a=0时，函数f(－x)=(－x)2＋｜－x｜＋1=f(x)，此时f(x)为偶函数．当a≠0时，f(a)=a2＋1，f(－a)=a2＋2｜a｜＋1.f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)．此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2－x＋a＋1=(x－)2＋a＋．若a≤，则函数f(x)在(－∞，a］上单调递减．从而函数f(x)在（－∞，a上的最小值为f(a)=a2＋1．若a＞，则函数f(x)在（－∞，a上的最小值为f()=＋a，且f()≤f(a)．②当x≥a时，函数f(x)=x2＋x－a＋1=(x＋)2－a＋．若a≤－，则函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(－)=－a，且f(－)≤f(a)；若a＞－，则函数f(x)在［a，＋∞)单调递增．从而函数f(x)在［a，＋∞］上的最小值为f(a)=a2＋1.综上，当a≤－时，函数f(x)的最小值为－a；当－＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2＋1；当a＞时，函数f(x)的最小值是a＋．。
高考思想方法：分类讨论(精华版)
2015届高三数学思想方法专题二：分类讨论班级： 姓名：分类讨论是解决问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想，这种思想对于简化研究对象，发展人的思维有着重要帮助，因此，有关分类讨论的数学命题在高考试题中占有重要位置。
所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
需要运用分类讨论的思想来解决的数学问题的背景可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
因此运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
分类原则：分类的对象确定，标准统一，不重复，不遗漏，分层次，不越级讨论。
分类方法：明确讨论对象，确定对象的全体，确定分类标准，正确进行分类；逐类进行讨论，获取阶段性成果；归纳小结，综合出结论。
含参数问题的分类讨论是常见题型，注意简化或避免分类讨论。
【基础练习】 1、设{}A a =，{}1B x a x =⋅=，且A B B ⋂=，则实数a =1,1,0-.2、若1log 13a <，则实数a 的取值范围为1013a a <<>或. 3、方程2560zz -+=在复数集内解的个数为6个.4、在ABC ∆中，已知15sin ,cos 213A B ==，则cos C .5、方程20x y m +-=只表示一条直线，则————————————————————————（B ）()A 2m >()B 2m =或0m < ()C 2m =或0m > ()D 2m =6、函数()2231y ax a x a =--+在()1,+∞内递增，则实数a 的取值范围为———————————————（D ）()A 1a > ()B 1a ≥ ()C 01a <≤ ()D 01a ≤≤【示范例题】例1、（由于结论的不确定性引起的分类讨论）求与椭圆2213x y +=有两个公共焦点，且过点)2P 的圆锥曲线的方程.参考解答；椭圆2213x y +=的焦点为())1200,F F ，（共焦点的圆锥曲线系方程）情况一：以12,F F 为焦点的椭圆方程可写成()22222122+=>-x y a a a ，由题意知，它过点)2P ， 即225412a a +=-，得()()221100-⋅-=a a ，210∴=a ，故所求椭圆方程为221108x y +=.情况二：以12,F F 为焦点的双曲线方程可写成()22222122+=<-x y a a a ，由题意知，它过点)2P ， 可得21a =，故所求的双曲线方程为221x y -=.例2、（由于图形位置的不确定引起的分类讨论）已知圆()12:22=-+y x A ，动圆P 与圆A 相切并且与x 轴相切，求圆P 的圆心P 点的轨迹方程，并指明表示何种曲线.参考解答：令点P 坐标为(),x y ，情况一：当圆P 与圆A 外切时，1y +=，显然0y >，可得2222144y y x y y ++=+-+，整理即263xy =-.情况二：当圆P 与圆A 内切时，1y -=，显然0y >，可得2222144y y x y y -+=+-+，整理即223xy =-.综上可知，P 点的轨迹为抛物线263x y =-及223x y =-.例3、（由于含参数引起的分类讨论）设函数()()()21211=--+-||f x m x m x 的图像与x 轴恰有一个公共点，求实数m 的值及公共点坐标. 参考解答： 情况一：当1m=±时，10||m -=，此时()()211=-+-f x m x ，它的图像是一条直线，若1m=，则()41=--,f x x 它的图像与x 轴只有一个公共点104⎛⎫- ⎪⎝⎭,，符合题意；若1m =-，则()1=-f x ，它的图像与x 轴没有公共点，不合题意.情况二：当1m≠±时，()f x 是二次函数，它的图像是抛物线.当且仅当()()24110⎡⎤∆=++-=⎣⎦||m m 时，抛物线与x 轴恰有一个公共点，整理得220||m m m ++=.当0m ≥时，解得0m =，此时公共点为()10-,；当0m <时，解得1m =-（舍去）.综上所述，所求m 的值为1或0，相应的公共点为104⎛⎫- ⎪⎝⎭,或()10-,.例4、（由于公式的分段表达引起的分类讨论）已知{}n a 是由正数组成的数列，c a =1，c 为正常数，n n a b lg =，{}n b 成等差数列，公差为c lg ，⑴求{}n a 的通项公式；⑵{}n a 的前n 项的和为n S ，求nnn S a ∞→lim；⑶令n n n a a c lg ⋅=，是否存在c 使得{}n c 中的每一项恒小于它后面的项？若存在，请求出c 的取值范围.若不存在，请说明理由.参考解答： ⑴1lg b c =，111lg lg lglg n n n n n n a b b a a c a +++-=-==，因此1n nac a +=推得{}n a 成以c 为首项， 以c 为公比的等比数列，因此()*n n a c n N =∈.⑵当1c =时，nS n =，因此1limlim 0n n n na S n →∞→∞==；当1c ≠时，()11n n c c S c ⋅-=-，因此()()0011lim lim 111n nn n n nc c c a c S c c c c→∞→∞<<⎧⋅-⎪==-⎨>⋅-⎪⎩. 因此，综上所述可知001lim 11n n n c a c S c c →∞<≤⎧⎪=-⎨>⎪⎩. ⑶lg lg lg n n n n n n c a a c c n c c =⋅=⋅=⋅⋅，推得()111lg n n c n c c ++=+⋅⋅，又10n n c c +->恒成立，因此()11lg lg 0n n n c c n c c ++⋅⋅-⋅⋅>，因为0n c >，所以()lg 10c n c n ⋅+⋅->⎡⎤⎣⎦，当01c <<时，可得1n c n <+恒成立，因此推得12c <，因此102c <<；当1c >时，1n c n >+恒成立， 因此()10,1,2c ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭. 例5、（由于实施某些运算引起的分类讨论）解关于x 的不等式：()()()()1212log 2log 122nna a x x ----⋅>⋅+（其中*n N ∈，0>a 且1≠a ）.参考解答：情况一：当n 为奇数时，()1202n-->，因此()log 2log 1a a x x >+，讨论底数a ，所以当1a >时有1x >，当01a <<时有01x <<；情况二：当n 为偶数时，()1202n--<，因此()log 2log 1a a x x >+，讨论底数a ，当1a >时有01x <<，当01a <<时有1x >.【巩固练习】 1、若3201log (1)log (1)a a aa p a a q a a p q >≠=++=++且则，，，，、的大小关系为p q >.2、设ω是1的7次方根，则632ωωωω+++++1…的值为07或.3、函数2()(3)1f x m x m x =⋅+-+的图像与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 取值范围为(],1-∞.4、函数()2231y a x a x a =⋅--⋅+在()1,+∞内递增，则实数a 的取值范围为01a ≤≤.5、解关于x 的不等式：⑴()2110⋅-++<a x a x⑵解关于x 的不等式：111⎛⎫-> ⎪⎝⎭log ax 参考解答：⑴原不等式的解集为当0a<时，解集为11⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或x x x a ；当0a =时，解集为{}1>x x ；当01a <<时，解集为11⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x a ；当1a =时，解集为∅；当1a >时，解集为11⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭x x a .⑵当1a >时，解集为101⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭x x a ；当01a <<时，解集为111⎧⎫<<⎨⎬-⎩⎭x x a .6、设k R ∈，问方程()()()()228484-+-=-⋅-k x k y k k 表示什么曲线？参考解答： ⑴当4k=时，方程变为240x =，即0x =，表示直线； ⑵当8k =时，方程变为240y =，即0y =，表示直线；⑶当4k ≠且8k ≠时，原方程变为22148x y k k+=-- ①当4k <时，方程表示双曲线； ②当46k <<时，方程表示椭圆； ③当6k =时，方程表示圆；④当68k <<时，方程表示椭圆； ⑤当8k >时，方程表示双曲线.7、已知抛物线x y 22=，求经过点()0,2P ，且与抛物线只有一个公共点的直线方程.参考解答：情况一：当所求直线斜率不存在时，直线的方程为0=x，容易知道该直线（也即y 轴）与已知抛物线有一个公共点（原点），因此符合题意； 情况二：当所求直线斜率为0时,此时直线的方程为2=y ,这条平行于x 轴的直线同样与已知抛物线有唯一公共点,因此也满足题意.情况三：当所求直线斜率存在且不为0时，设直线的方程2y kx =+，由()()222222142404216042y x k x k x k k k y kx ⎧=⇒+-+=⇒∆=--=⇒=⎨=+⎩综上所述，满足题意的直线总共有三条: 0=x 、2=y 、241+=x y .8、数列{}n a 的通项公式是*(tn n a e n N =∈，e 是自然对数的底数，t 为常数). ⑴求证：数列{}n a 是等比数列⑵设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求1limn n nS S +→∞.参考解答：⑴由题设得()11t n t n tn n a e e a e++==，又t e 是不为零的常数，因此数列{}n a 是等比数列.⑵若0t =时，即1te =，则n S n =，11n S n +=+，所以1lim n n nS S +→∞1lim 1n n n →∞+==.若0t≠，即1te ≠，则()11t tn n te e S e -=-，从而()1111t n n tnn S e S e ++-=-.①当0t <时，即01te <<时，1limn n nS S +→∞()11lim 11t n tn n e e +→∞-==-； ②当0t >，即1te >时，1lim n n nS S +→∞1lim 11ntt t n n t e e e e →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭.因此，可知110lim 0n t n n t S S et +→∞≤⎧=⎨>⎩.9、已知()23gx x =--，()f x 是二次函数，当[]1,2x ∈-时，()f x 的最小值是1，且()()f x g x +为奇函数，求()f x 的解析式.参考解答： 用待定系数法求()f x 的解析式，设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()213f x g x a x bx c +=-++-.由已知()()f x g x +为奇函数，则1030a c -=⎧⎨-=⎩，所以13a c =⎧⎨=⎩，所以()23f x x bx =++. 下面通过确定()f x 在[]1,2-上何时取最小值来确定b ，()22324b b f x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x =-.①当22b-≥时，即4b ≤-时，()f x 在[]1,2-上为减函数，所以()min 2271y f b ==+=，所以3b =-（舍）.②当()1,22b -∈-，即42b -<<时，2min 3124b b y f ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭，所以b =±.③当12b-≤-，即2b ≥时，()f x 在[]1,2-上为增函数，所以()min 141y f b ==-=，所以3b =. 所以，所求函数()23f x x =-+或()233f x x x =++.【高考真题】1、设函数()()2120>⎧⎪=⎨-<⎪⎩log log x x f x x x ，若()()>-f a f a ，则实数a 的取值范围是—————————（C ）()A ()()1,00,1-⋃()B ()(),11,-∞-⋃+∞()C ()()1,01,-⋃+∞ ()D ()(),10,1-∞-⋃2、如果函数()()23101=⋅-->≠,x x y a a a a a 在区间[)0,+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是——（B ）()A 20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ ()B ⎫⎪⎪⎣⎭()C (()D 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 3、从集合{,,,}U a b c d =的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：⑴,U ∅都要选出；⑵对选出的任意两个子集,A B ，必有A B ⊆或B A ⊆. 那么共有36种不同的选法.参考解答：依题意可知子集A 和B 可互换，即视为一种选法，从而对子集A 分类讨论： ⑴若A 是单元素集合或若A 是四元集，根据题意是选出4个不同的子集，所以不符合要求；⑵若A 是二元集，则A 有246C =种情况，此时B 相应的只有两种，共有12种选法；⑶若A 是三元集，则A 有344C =种情况，此时B 相应的只有6种，共有24种选法， 综上所述，共有种122436+=选法.4、设()1af x x x =++()a R ∈，[)0,x ∈+∞，求函数()f x 的最小值. 参考解答： ①当0a ≤时，函数()f x 在[)0,+∞上为增函数，所以()min 0y f a ==；②当01a <<时，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，所以()min 0y f a ==；③当1a ≥时，()()1111af x x x =++-≥+，因此)min 11y f ==；综上可知，min 111aa y a <⎧⎪=⎨≥⎪⎩.5、已知抛物线22y px =()0p >的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .⑴求抛物线方程； ⑵过M 作MNFA ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标；⑶以M 为圆心，MB 为半径作圆M ，当(),0K m 是x 轴上一动点时， 讨论直线AK 与圆M 的位置关系.参考解答：⑴抛物线22y px =的准线为2p x =-，于是452p+=，2p =，抛物线方程24y x =. ⑵因为A 的坐标为()4,4，由题意得()0,4B ，()0,2M ，，又因为()1,0F ，43FA k =，因为MNFA ⊥，所以34MN k =-，则FA 的方程为()413y x =-，而MN 的方程为324y x -=-. 解方程组()413324y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即84,55N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.⑶由题意得圆M 的圆心是点()0,2，半径为2.当4m =时，实现AK 的方程为4x =，此时直线AK 与圆M 相离；当4m ≠时，直线AK 的方程为()44y x m m=⋅--，即为()4440x m y m ---=.圆心()0,2M 到直线AK 的距离为d =，令2d>，可得1m >.综上所述，当1m >时直线AK 与圆M 相离；当1m =时直线AK 与圆M 相切；当1m <时直线AK 与圆M 相交.6、已知点()1,0,32,0-⎪⎭⎫⎝⎛N C 以及椭圆:E 1322=+y x ，过C 点作直线l 交椭圆于B A ,两点， 且有BN AN =，问满足条件的直线l 共有几条？并写出它们的方程.参考解答：情况一：0k=时满足条件的直线为23y =； 情况二：0k ≠时，；令直线方程为23y kx =+，令()()1122,,,A x y B x y ，()0,1N -，可得22AN BN =，即()()2222112211x y x y ++=++，推得121y y +=，联立方程2212333x y k x y ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪+=⎩，得2221443339y y y k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 整理即()22244133039k y y k +-+-=，所以12243113y y k +==+，可得13k =±，代入检验∆满足要求，因此1233y x =±+.综上可知满足条件的直线l 有23y =和1233y x =±+这三条.7、设数列{}n a 的首项11a =，前n 项和n S 满足关系式：()()132330234-⋅-+⋅=>=,,,,...n n t S t S t t n⑴求证：数列{}n a 是等比数列⑵设数列{}n a 的公比为()f x ，作数列{}n b ，使()1111234-⎛⎫=== ⎪⎝⎭,,,,...nn b b f n b ，求lg lim nn n a b →∞；⑶求和：112233411-+⋅-⋅+⋅-+-⋅⋅()n n n b b b b b b b b 参考解答： ⑴证明：由11212211===+=+,S a S a a a ，得()()231233+-+=t a t t ，可见221232333,a t t a t a t++==，由()()11232333233----+=-+=,n n n n tS t S t tS t S t，两式相减得，()()132303--+=≥∈*,nn ta t a n n N ，所以()12333-+=≥∈*,n n a t n n N a t，注意到21233+=a t a t ，所以{}n a 是一个首项为1，公比为233t t+的等比数列. ⑵由()11232112333--⎛⎫+==+==+ ⎪⎝⎭,,n n n t f t b f b t t b 可见，{}n b 是一个首项为1，公差为23的等差数列， 于是()2211133+=+-=n n b n ，于是，()233132332123→∞→∞+-+==+lglg limlim lg n n n nt n a t t b n t .⑶由213n n b +=可知{}21n b -和{}2n b 是首项分别为1和53，公差均为43的Ap ，即221414333,n n n n b b +++==， 情况一：当()212==,,...n m m 时，()()()()()12233421222121343522121241541412326323399-+-+⋅-⋅+⋅-+⋅-⋅=⋅-+⋅-++⋅-+⎛⎫=-⋅⋅+=-⋅+=-+ ⎪⎝⎭m m m m m m m b b b b b b b b b b b b b b b b b b b m m m m n n 情况二：当()2112=-=,,...n m m 时，()()()()()()12233422212122122242394143411238432679999---+⋅-⋅+⋅--⋅+⋅=-⋅++⋅+⋅+=-⋅++=++=++m m m m m mb b b b b b b b b b m m b b m m m m m m n n综上所述，()()()21122334121269112679-+⎧-+⎪⎪⋅-⋅+⋅-+-⋅⋅=⎨⎪++⎪⎩为偶数为奇数，，n n n n n n b b b b b b b b n n n .2015届高三数学思想方法专题二：分类讨论班级： 姓名：需要分类讨论的问题：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的，含参数问题的分类讨论是常见题型，注意简化或避免分类讨论。
中考数学复习指导：例说七类需要分类讨论的题型
分析 △ABC 与其外心 O 的位置关系有三种情况: 当△ABC 为锐角三角形时，其外心 O 在形内;当△ABC 为钝角三角形时，其外心 O 在形外;当△ABC 为直角三角形时，其外心 O 在斜边上.这三种情况都有可能存在，如图 1,2.
解 根据圆心角定理，得∠A 的度数为 50°或 130°. 三、对应关系的不明确
后表示出 AE 的长度，根据勾股定理求出 AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可.
解 根据图 4 可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C.
∵点 P、Q 的运动的速度都是 1 cm/秒，
∴BC＝BE＝5cm，∴ AD＝BE ＝5.
故①正确;
因为当 0＜t≤5 时，曲线 OM 为抛物线的一部分，所以设 y=ax2，将点(5,10 )代入，
x 的取值需分三种情况: x<1 (从小到大顺序为: x, 1, 3 ),1< x < 3 (从小到大顺序为:1, x,
3 ), x > 3 (从小到大顺序为:1, 3 , x).
解 己知三角形的三边按从小到大的顺字为 2 ,21 的情况应舍去. 31
得 a＝ 2 ，y＝ 2 x2. 故②正确;
5
5
根据 5 ~ 7 秒时三角形面积的不变性，可得 ED＝2,当点 P 运动到点 C 时，面积变 0,
此时点 P 走过的路程为 BE+ED + DC＝11, 故 CD ＝4，点 H 的坐标为(11,0).设直
线 NH 的解析式为 y＝kx+b，将点 H(11,0)，点 N(7,10)代入可得 11k+b＝0, 7k+b＝10,
BE→ED→DC 运动到点 C 停止，点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止，它们的运动速度都是 1cm/s
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
分类讨论数学思想
(3)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为()
A．1或3B．1或4C．2或3D．2或4
解析设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示．
(6)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)
解析分三类：①选1名骨科医生，则有C (C C ＋C C ＋C C )＝360(种)．
②选2名骨科医生，则有C (C C ＋C C )＝210(种)；
当a≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
当－1<a<0时，f(x)在 上单调递增，
解∵A＝{0，－4}，B⊆A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得 解得a＝1.
(2)当B A时，又可分为两种情况．
①当B≠∅时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
(8)排列、组合、概率中的分类计数问题．
(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等．
分类讨论的原则
(1)不重不漏．(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f(x)＝ 若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________．
一些常见的分类讨论题型
儒洋教育学科教师辅导讲义一、专题精讲：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．二、典型例题剖析【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲线的一个交点为点C，CD⊥x轴于点D，OD＝2OB＝4OA＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（－4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、B两点，过点A作直线l与x轴负方向相交成60°角。
以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D.（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线l沿x轴向右平移，当⊙O2第一次与⊙O2相切时，直线l也恰好与⊙O2第一次相切，求直线l平移的速度；（3）将⊙O2沿x轴向右平移，在平移的过程中与x轴相切于点E，EG为⊙O2的直径，过点A作⊙O2的切线，切⊙O2于另一点F，连结A O2、FG，那么FG·A O2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。
【例3】（2005，衢州，14分）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．(1)求过A、C两点直线的解析式；(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．【例4】（2005，杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在旁边标上P1,P2,……,P k,(有k个就标到P K为止,不必写出画法)点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．x-=，则第三边长为．例5：已知直角三角形两边x、y的长满足240例6：⊙O的半径为5㎝，弦AB∥∥CD，AB=6㎝，CD=8㎝，则AB和CD的距离是（）（A）7㎝（B）8㎝（C）7㎝或1㎝（D）1㎝三、同步跟踪配套试题（60分 45分钟）一、选择题（每题 3分，共 15分）1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（）A．500 ，80o B．650， 650C．500 ，650 D．500，800或 650，6502．若||3,||2,,( )且则==>+=a b a b a bA．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－13．等腰三角形的一边长为3cm ，周长是13cm ，那么这个等腰三角形的腰长是（ ） A ．5cm B.3cm C ．5cm 或3cm D ．不确定4．若⊙O 的弦 AB 所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ ）A ．300B 、600C ．1500D ．300或 15005．一次函数y=kx+b ，当－3≤x ≤l 时，对应的y 值为l ≤y ≤9， 则kb 值为（ ） A ．14 B ．－6 C ．－4或21 D.－6或14 二、填空题（每题3分，共15分）6．已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则_______.7．已知⊙O 的半径为5cm ，AB 、CD 是⊙O 的弦，且 AB=8cm ，CD=6cm ，AB ∥CD ，则AB 与CD 之间的距离为__________.8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为__________. 9．已知⊙O 1和⊙O 2相切于点P ，半径分别为1cm 和3cm ．则⊙O 1和⊙O 2的圆心距为________.10 若a 、b 在互为倒数，b 、c 互为相反数，m 的绝对值为 1，则2()abb c m m m ++-的值是______.三、解答题（每题10分，共30分）11 已知 y=kx ＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．12 解关于x 的方程(2)1a x b -=-．13 已知：如图3－2－8所示，直线l 切⊙O 于点C ，AD 为⊙O 的任意一条直径，点B 在直线l 上，且∠BAC=∠CA D(A D 与AB 不在一条直线上)，试判断四边形ABCO 为怎样的特殊四边形？四、同步跟踪巩固试题（10分 60分钟）一、选择题（每题4分，共20分）1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（） A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 182．已知11||1,||a aa a-=+则的值为（）..1A C3．若2222122,a b a b ab ab a b+++-=+则值为（）A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或04．若直线4y x b=-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（）...A B C D±±-5．在同一坐标系中，正比例函数-3y x=与反比例函数kyx=的图象的交点的个数是（）A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个二、填空题（每题4分，共24分）6．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．7．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．8．等腰三角形的一个内角为70°，则其预角为______．9．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，那么有______种换法．10 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．11 矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.三、解答题（56分）12．（8分）化简|1|x-13．（9分）抛物线2y ax c=+与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．14．（13分）已知关于 x的方程22(23)10x k k--++=.⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．15．(13分)抛物线222y x bx =+-经过点A (1，0)．⑴ 求b 的值；⑵ 设P 为此抛物线的顶点，B （a ，0）（a ≠1）为抛物线上的一点，Q 是坐标平面内的点．如果以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ 的长．16．（13分）已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．五、课外练习1．已知等腰△ABC 的周长为18㎝，BC=8㎝．若△ABC ≌△A ´B ´C ´，则△A ´B ´C ´中一定有一定有条边等于（ ）A ．7㎝B ．2㎝或7㎝C ．5㎝D ．2㎝或7㎝2．已知⊙O 的半径为2，点P 是⊙O 外一点，OP 的长为3，那么以P 这圆心，且与⊙O 相切的圆的半径一定是（ ）A ．1或5B ．1C ．5D ．1或则3．A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行．已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，以过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ） A ．2或2．5 B ．2或10 C ．10或12．5 D ．2或12．5４．已知点Ｐ是半径为２的⊙Ｏ外一点，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，且PA=2，在⊙O 内作了长为的弦AB ，连续PB ，则PB 的长为5．在直角坐标系xoy 中，一次函数2y =+的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）苈以原点O 这圆心的圆与直线AB 切于点C ，求切点C 的坐标．（2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）． 设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ． 点A ，B 在一次函数图象上， ∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21b k则一次函数解析式是 .121--=x y点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为my x=． 点C 在反比例函数图象上，则41-=m ，m ＝－4．故反比例函数解析式是：xy 4-=．点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。
第四讲 分类讨论型问题
分类讨论型问题的解题策略 数学思想和方法属于基础知识的范畴，分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方法。
近年各地中考试题都加强了数学思想方法的考查，其中分类讨论思想的应用最为广泛，成为检测学生分析问题和解决问题能力的常见题型。
分类讨论是在解题过程中，将某一数学对象根据它本身的本质属性，按照一定的原则或标准分成若干类，然后逐类进行讨论解决，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案的一种思想方法；其作用是克服思维的片面性，防止漏解。
常见的分类讨论题有：按数分类（绝对值概念，实数的分类等）；按字母的取值范围分类（二次根式的化简，一元二次方程概念中二次项不为0等）；按图形的位置分类（如点与直线，直线与圆的位置关系等）。
考查方式有填空题，选择题，综合题，特别是在中考压轴题中，往往涉及分类讨论思想。
【例题讲解】例1 、若0322=+--+b a b a x x 是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值 解答：当⎩⎨⎧=-=+222b a b a 或⎩⎨⎧=-=+122b a b a 或⎩⎨⎧=-=+212b a b a 或⎩⎨⎧=-=+012b a b a 或⎩⎨⎧=-=+202b a b a 时，原方程为关于x 的一元二次方程，因此，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3234b a 或⎩⎨⎧==01b a 或⎩⎨⎧-==11b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3232b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==3432b a 解析： 结合方程特点，由于 x 2a+b 项的次数是2a+b ， -2x a -b 项的次数是a – b,因而考虑这两个次数至少有一个为2即可，共有五种情况。
按题目的要求解决问题时，考虑问题要全面周到，要把所有可能的情况进行穷举，避免出现少解或漏解的情况。
例2、（04年贵阳市）如图，AB 是半圆O 的直径，BC是弦，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以每秒1㎝的速度移动，若AB 长为10㎝，点O 到BC 的距离为4㎝。
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例说七类需要分类讨论的题型当我们解决一个问题时，如果无法一次性解决，那么就需要用一个标准，将问题划分成几个能分别解决的小问题，将这些小问题加以解决，从而最终使问题得到解决，这就是分类讨论思想。
当数学问题中的条件，结论不明确，或题中含参数或图形不确定时，就需要分类讨论.本文举例说明如下:一、边(角)的指代不明有些图形中的边(或角)的大小虽是己知的但具体是哪条边(或哪个角)不明确.对此先需分类讨论，再依据定义或定理求解.例1 (2013年广安市中考题)等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周 长为( )(A) 25 (B) 25或32 (C) 32 (D) 19分析 长度为6和13的两边，没有明确出谁是底边谁是腰，所以先需分类再求周长. 解 当6为底边时，其它两边都为6, 13,而边长为6,13,13可以构成三角形，周长为32; 当6为腰时，其它两边为6, 13, ∵ 6+6<13 ,∴边长为6, 6, 13不能构成三角形,应舍去，故选C.例2 一个直角三角形的两边长分别为6和8, 则该三角形中较小锐角的正弦值为_____.分析 长为8的边虽是最长边，但没有明确出是直角边还是斜边，对此需分类.解 当8为直角边时, 三边长为6, 8, 10; 当8为斜边时，三边长为所以该三角形中较小锐角的正弦值为35或4. 例3 (2013年荆门市中考题) 若等腰三角形的一个角为50°,则它的顶角为______. 分析 50°的角，没有明确出是顶角还是底角，对此先要分类。
解 50°为顶角时，则底角为65°, 65°;50°为底角时，则其他两角分别为50°, 80°.综上,顶角为50°或80°.二、图形的相对位置关系不确定若几何图形之间的相对位置关系在已知条件中不明朗，则需分情况讨论，列举出所有可能的情况，以免疏漏现象的发生.例4 已知△ABC 的外心为点O ，若∠BOC = 100°，则∠A 的度数为_______.分析 △ABC 与其外心O 的位置关系有三种情况: 当△ABC 为锐角三角形时，其外心O 在形内;当△ABC 为钝角三角形时，其外心O 在形外;当△ABC 为直角三角形时，其外心O 在斜边上.这三种情况都有可能存在，如图1,2.解 根据圆心角定理，得∠A 的度数为50°或130°.三、对应关系的不明确三角形的全等或相似中的判定和性质司体现了对应的思想.所以在已知图形全等或相似的前提下,解边(或角)的问题时，需要突出边(或角)的对应关系.例5 另一个三角形的两边长分别为1, 则它的第三边长为________.分析设第三边长为x，因为它和另一个三角形中三边中的哪一条是对应的并不明确,所以x的取值需分三种情况: x<1 (从小到大顺序为: x, x (从小到大顺序为:1, x,x (从小到大顺序为x).解21,所以x ＜1的情况应舍去.同理，舍去1＜x.当x1x2x,所以x四、动态问题对动点问题中的数量关系及其对应的图象进行“分段破译”，挖掘每段图象所蕴藏的信息和段与段间“折点”的信息，做到形数的结合与转换.例6 (2013四川南充中考题) 如图3, 点E为矩形ABCD边AD上一点，点P、点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s设P, Q出发秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系的图象如图2（曲线OM为抛物线的一部分).则下列结论;①AD＝BE＝5cm；②当0＜t≤5时，y＝25t2；③直线NH的解析式为y=﹣25t + 27；④若△ABE与△QBP相似，则t＝294秒。
其中正确结论的个数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1分析据图4可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P到达点E时点Q 到达了点C，从而得到BC, BE的长度，再根据M,N是从5秒到7秒，可得ED的长度，然后表示出AE的长度，根据勾股定理求出AB的长度，然后针对各小题分析解答即可.解根据图4可得，当点P到达点E时点Q到达点C.∵点P、Q的运动的速度都是1 cm/秒，∴BC＝BE＝5cm，∴AD＝BE＝5.故①正确;因为当0＜t≤5时，曲线OM为抛物线的一部分，所以设y=ax2，将点(5,10 )代入，得a＝25，y＝25x2. 故②正确;根据5 ~ 7秒时三角形面积的不变性，可得ED＝2,当点P运动到点C时，面积变0,此时点P走过的路程为BE+ED+DC＝11, 故CD＝4，点H的坐标为(11,0).设直线NH的解析式为y＝kx+b，将点H(11,0)，点N(7,10)代入可得11k+b＝0, 7k+b＝10,解得k＝﹣52，b＝552. 故直线NH的解析式为y＝﹣52t＋552,故③错误；当t＝294秒时,点P将落在边CD上的一点处，如图5.因为Rt△CBP中，CP<BC<BP，在Rt△ABE中，AE<AB<BE,所以若△ABE与△QBP相似，只能有一种对应关系:CP AE ＝BCAB,即3CP＝54，CP＝154.所以点P从点B开始运动到此点的路程为11﹣154＝294（cm）,时间为294s. 故④正确. 答案选B.五、字母系数的不确定当一个式、方程或函数中的最高项的系数为字母或字母的式子且式、方程或函数的“类型”比较“泛化”时，需对字母或字母的式子是0和非0作出分类.例7 (2011年南京中考题) 己知函数y=mx2﹣6x+1 (m是常数)·(1)求证: 不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点;(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值.解(1) 当x＝0时，y=1.所以不论m为何值，函数的图象经过轴上的一个定点(0,1);(2) 当m＝0时，函数y＝﹣6x＋1的图象与x轴只有一个交点(16,0);当m≠0时, y＝mx2﹣6x＋1为二次函数，若函数的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2﹣6x＋1有两个相等的实数根，所以(-6)2﹣4m=0 ,m=9.综上，函数y＝mx2﹣6x+1的图象与x轴只有一个交点,则m的值为0或9.六、反比例函数图象的增减性反比例函数y＝kx（k≠0), 图象为双曲线，其增减性与k值的正、负相关，又与象限相关.对于同一个确定的k值，应分支(每一象限)考察，也就是说，同一个象限内的两点的纵坐标的大小可以按增减性去判断，但在两个分支上的点就不能按增减性质去判断了.例8 (2012四川达州中考题) 一次函数y1＝kx＋b(k≠0)与反比例函数y2＝mx（m≠0）,在同一直角坐标系中的图象如图所示，若y1> y2，则x的取值范围是( )(A)﹣2< x< 0或x<1 (B) x <﹣2或0< x< 1(C) x < 1 (D)﹣2< x< 1分析由图象观察可知，一次函数与反比例函数相交于点(﹣2,﹣2)、(1, 4)两点，进一步观察当一2< x< 0时(第三象限曲线)，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值即y1＞y2;当x >1时(第一象限曲线)，一次函数的函数值大于反比例函数的函数值，即y1＞y2。
综上，选A.七、应用问题中的不同方案某些应用题中蕴含着不同的方案，则相应的计算法则也随之发生变化.例9 (2012年黄石中考题) 某楼盘一楼是车库(暂不出售)，二楼至二十三楼均为商品房(对外销售).商品房售价方案如下: 第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元; 反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元，已知商品房每套面积均为120平方米.开发商为购买者制定了两种购房方案:方案一购买者先交纳首付金额(商品房总价的30%)，再办理分期付款(即贷款).方案二购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费(已知每月物业管理费为a元)，(1)请写出每平方米售价y (元/米2)与楼层x (2≤x≤23，x是正整数)之间的函数解析式;(2)小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢?(3)有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算.你认为老王的说法一定正确吗?请用具体数据阐明你的看法。
分析(1)楼层x有可能高于第八层、也有可能低于第八层，而每层楼每平米的售价均以第八层楼每平米的售价为参照进行变化，故此需要将楼层分为两种情况讨论.(2)小张购房采用的方案一，故此需求出小张按这种方案付款的算式，需按照高于第八层和低于第八层两种情况来进行(承接第一问);无论购置哪一个楼层，小张付款金额都不会大于120000元，由此产生了不等关系.(3)判断老王自想的法则和方案二哪一个购房更划算，需先求出各自对应的付款算式.因为方案二中的算式中含有字母a，无法直接比较二者大小，故此采用逆向思维的方法分类来进行.解(1)当2≤x≤8且x是正整数时，有y＝3000－20(8－x)＝20x+2840;当9≤x≤23且x是正整数时，有y＝3000＋40(x－8)＝40x+2680;(2)①当2≤x≤8时,小张若买第八层需交纳首付金额为:3000×120×30%＝108000(元),而108000元<120000元，所以小张可从2 ~ 8层中任选一层.②当9≤x≤23时，小张交纳首付金额为(40x+2680}×120×30%(元).由(40x+2680) ×120×30%≤120000,得x≤493＝1163.∵x为正整数, ∴9≤x≤16.综上可知, 小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层。
(3)若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为y1＝（40×16＋2680）×120×91％－60a(元);若按老王自想的法则要交房款为y2＝(40×16+2680)×120 ×91%(元).易得y1－y2＝3984－60a, 当y1>y2即y1－y2 > 0时，解得0<a<66.4，此时老王想法正确; 当y1≤y2即y1－y2 ≤0时,解得a≥66.4，此时老王想法不正确.。