Delannoy类矩阵的行多项式的根
特征多项式

特征多项式引言在数学中,特征多项式是一个与矩阵的特征值有关的多项式。
通过特征多项式,我们可以计算矩阵的特征值,从而获得矩阵的某些重要性质。
本文将介绍特征多项式的定义、计算方法以及应用。
定义给定一个n阶矩阵A,特征多项式是一个关于变量λ的多项式,记作π(λ),定义为:π(λ) = det(A - λI)其中,det表示矩阵的行列式,I是n阶单位矩阵。
计算方法1. 直接计算法特征多项式可以通过直接计算det(A - λI)来得到。
首先,我们需要计算出λI,即把矩阵A的每个元素都减去λ得到的矩阵。
接着,计算矩阵(λI)的行列式,即det(A - λI)。
这个行列式就是特征多项式π(λ)的值。
2. 展开法在计算特征多项式时,我们可以利用行列式的性质进行展开。
通过对(λI)的每一行或每一列展开,可以得到一个关于λ的多项式表达式。
这些多项式可以合并得到特征多项式π(λ)。
3. 代数余子式法代数余子式法是一种计算行列式的方法,可以用来计算特征多项式。
具体步骤如下:1.计算行列式det(A - λI)的n个代数余子式,即将第i行、第j列的元素删除,剩下的矩阵的行列式。
2.将每个代数余子式乘以对应的元素,得到n个项。
3.将这些项相加,得到特征多项式π(λ)。
应用特征多项式在线性代数和微积分中有广泛的应用。
下面介绍几个典型的应用场景:1. 计算特征值特征多项式的根就是矩阵的特征值。
通过解特征多项式的方程π(λ) = 0,可以得到矩阵的特征值。
特征值是矩阵的重要属性,它们可以描述矩阵的各种性质,例如矩阵的变换特性和稳定性。
2. 矩阵的对角化对角化是一种将矩阵表示为对角矩阵的变换。
特征多项式在矩阵的对角化问题中起到了重要作用。
通过计算特征多项式和对应的特征向量,我们可以将一个可对角化的矩阵表示为对角矩阵的形式。
这种表示使得矩阵的计算更加简单和高效。
3. 矩阵的相似性矩阵的相似性是一种与特征多项式密切相关的概念。
两个矩阵A和B是相似的,如果它们有相同的特征多项式。
多项式的根之美

多项式的根之美多项式的根之美木遥按:这是美国数学家JohnBaez今年11月14日在他的网页上贴出来的一篇文章(原文),很快引起了许多人的兴趣。
标题中的“根”是指数学中一个多项式的解。
如果你还没有忘光你的高中数学课,就应该知道下面这两个事实:任何一个多项式在复数域中必有根,并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。
这样,给定一系列多项式,我们就可以把它们的根都画在复平面上,从而形成一些特定的图案。
请放心,即使你对多项式毫不了解,也不会妨碍你欣赏这些图案之美的。
也许你曾经听说过经典的曼德布洛特集合(Mandelbrotset),那你很容易就能在这里看到某些相似之处。
所不同的是,人们对这些新的图案还所知甚少。
下面所有括号中的文字都是我所添加,以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。
我的朋友DanChristensen发现了一幅令人赞叹的图画(见题图)。
它是由所有系数为-4到4之间的整数的5次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。
点击图片可以看大图。
二次多项式的根是灰色的,三次多项式的根是青蓝色的,四次多项式的根是红色的,五次多项式的根是黑色的。
横轴是实轴,纵轴是虚轴,中间的大洞的中心是原点。
两侧小一点的洞的中心是±1,在±i处和1的所有六个虚根出也各有一个小洞(即中间那个大洞上下不远处有224个,其根大约共有24×224个,也就是大约四亿个。
他用mathematica(一个数学软件)花了大概四天时间才计算出所有这些根,得到了大约5G的数据。
然后他用Java语言生成了这幅美妙的图案:颜色表示根的密度,从黑色到暗红色到黄色再到白色。
上图是低分辨率版本,这里有一个90M的文件可供。
我们可以放大一点看到更多细节:请注意单位根周围的那些小洞,还有圆弧内部的那些羽毛。
为了更清楚地观察,我们把下面这些标记出来的区域放大:这里是1这个点处的那个洞。
(即上面最右边那个标记出来的区域。
cauchy-riemann 方程 特征多项式

cauchy-riemann 方程特征多项式内容:一、简介Cauchy-Riemann 方程是复分析中的一个基本方程组,它描述了一组在复平面上定义的函数及其导数之间的关系。
这个方程组的解,也称为特征函数,与特征多项式有着密切的关系。
特征多项式是描述特征函数的特征值和特征向量的数学工具,它在许多数学和物理问题中都有应用。
f(z) = a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + ... + a_n z^nf'(z) = b_0 + b_1 z + b_2 z^2 + ... + b_m z^m其中 f(z) 是复函数,z 是复数变量,a_i 和 b_j 是常数。
这个方程组满足Cauchy-Riemann 定理的条件,即对于任意复数 z,有 f(z) = f(z) \bar{z} 和f'(z) = -f'(\bar{z})。
这些条件确保了函数和它的导数满足实函数的一阶偏微分方程,也称为 Riemann-Hilbert 方程。
三、特征多项式特征多项式的定义是一个复系数多项式,形式为:P(z) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + ... + a_{n-1} z + a_n这个多项式描述了特征函数的特征值和特征向量。
特征向量是由特征值的复数根决定的向量,它们是特征函数的解,满足相应的特征值对应的特征方程。
这些根可以通过求解特征多项式得到。
Cauchy-Riemann 方程的解(即特征函数)可以表示为特征多项式的特解形式。
具体来说,如果 f(z) 是 Cauchy-Riemann 方程的一个解,那么它的导数f'(z) 可以表示为对应的特征多项式的特解形式。
这意味着我们可以通过求解特征多项式得到解的特征向量和特征值,从而进一步理解 Cauchy-Riemann 方程的解的性质。
五、应用与扩展特征多项式在许多数学和物理问题中都有应用,包括但不限于微分方程的求解、量子力学中的波函数、复函数的性质研究等。
lambda矩阵的带余除法

lambda矩阵的带余除法在数学中,lambda矩阵的带余除法是一个重要的概念。
本文将介绍lambda矩阵的概念和带余除法的定义,以及相关的性质和应用。
1. lambda矩阵的定义lambda矩阵是一种特殊的矩阵,它由一系列的lambda元素构成。
lambda元素是指矩阵中的某个元素可以是一个常数,也可以是一个多项式的系数。
lambda矩阵的元素一般用小写字母加上下标表示,例如a_ij。
2. 带余除法的定义在lambda矩阵中,带余除法是一种类似于整数除法的操作。
给定一个被除数矩阵A和一个除数矩阵B,我们希望找到一个商矩阵Q和一个余数矩阵R,使得A = BQ + R。
其中,商矩阵Q和余数矩阵R的维度与被除数矩阵A相同。
3. 带余除法的计算步骤为了进行带余除法的计算,我们可以采用以下步骤:(1) 初始化商矩阵Q和余数矩阵R为零矩阵。
(2) 从左到右,逐列处理矩阵A的每一列:(a) 找到一个非零的主元素a_ij。
(b) 将主元素所在列的其它元素除以主元素,得到一列系数。
(c) 将主元素所在列的其它元素减去一列系数乘以主元素,得到一列新的剩余元素。
(d) 更新商矩阵Q和余数矩阵R。
(3) 重复步骤2,直到所有的列都被处理完毕。
4. 带余除法的性质带余除法具有以下性质:(1) 带余除法总是存在唯一解。
(2) 商矩阵Q的所有元素都是多项式的次数小于等于除数矩阵B的次数。
(3) 余数矩阵R的所有元素都是多项式的次数小于除数矩阵B的次数。
5. 带余除法的应用带余除法在代数运算中具有广泛的应用。
它可以用于解多项式方程组、计算多项式的最大公因式和最小公倍式等。
总结:本文介绍了lambda矩阵的带余除法,包括其定义、计算步骤、性质和应用。
带余除法是一种重要的数学概念,在代数运算中具有广泛的应用。
通过对lambda矩阵进行带余除法的计算,可以得到商矩阵和余数矩阵,进而解决多项式方程组和计算多项式的最大公因式和最小公倍式等问题。
n阶方阵的零化多项式的存在唯一性结论

n阶方阵的零化多项式的存在唯一性结论n阶方阵的零化多项式的存在唯一性结论是美国数学家山姆吉尔伯特所提出的。
他指出,任何n阶方阵的零化多项式都可以由一个非零元素组成,求解n阶方阵的零化多项式可以有效地简化其它数学问题,例如秩定义,矩阵运算等等。
【定义】n阶方阵的零化多项式是指一个数学表达式,它的值在n阶方阵的各个元素上取值为0。
它可以表示为:P(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=0其中x_1,x_2,x_3,...,x_n为n阶方阵的元素,a_1,a_2,a_3,...,a_n为常数。
【证明】假定P(x)=a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=0为n阶方阵的零化多项式,则易知:a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+...+a_nx_n=0设P_1(x)=b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=0为另一个n阶方阵的零化多项式,则b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+...+b_nx_n=0将两个方程相减,得(a_1-b_1)x_1+(a_2-b_2)x_2+(a_3-b_3)x_3+...+(a_n-b_n)x_n=0 令A=(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3,...,a_n-b_n),B=(x_1,x_2,x_3,...,x_n),则有AB=Ax-Bx=0,可得A=B即证。
【结论】由上面的证明可知,任何n阶方阵的零化多项式都可以由一个非零元素组成,且给定任意一个零化多项式,都可以得到一个唯一的解。
也就是说,只要知道一个零化多项式的非零元素,就可以很容易地求出其系数。
这一结论可以有效地简化其它数学问题,例如秩定义,矩阵运算等等。
哈工大 严质彬 矩阵分析 讲义(二)

0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r
n× n
U (λ )V (λ ) = V (λ )U (λ ) = I n . (1.1.1)
n× n
[λ ]
( A(λ )) −1 =
计算逆矩阵 然而这样求得的逆矩阵一般情况下会是一个有理分式矩阵. 定理 1.1.1 (单位模阵的行列式刻画) 多项式矩阵 U (λ ) ∈ F [λ ] 是单位模阵, 当且仅当行列式 det( A(λ )) ∈ F[λ ] 为非零常值多项式. 证明: “当”部分. 易见, adj(U (λ )) ∈ F [λ ] 为多项式矩阵(不含分母为次数 ≥ 1 的多项式的不可约分式为元
i i +1 i i +1 11
0 d1 (λ ) d 2 (λ ) 0 , (1.1.3) O d r (λ ) 0 0 0m − r , n − r di (λ ), i = 1,2,K, r , 1 i = 1,2,K, r − 1 . : A(λ ) , . A(λ )
第一章 λ矩阵与矩阵的 Jordan 标准型
1.1 λ矩阵及其 Smith 标准型
记号 F[λ ] 表示系数在 F 中的λ的多项式的全体; 而 F(λ ) 表示系数在 F 中的λ的有理分式的全体. 显然, F[λ ] ⊂ F(λ ) . 我们知道, 两个多项式相除, 结果不一定是多项式(只在整除时才是). 因此, 作为运算系统, 加、减、乘三法在 F[λ ] 中总能进行, 而除法不是总能. 这样的运算系统称为环, 而 F[λ ] 称为多项式环. 另一 方面, 在 F(λ ) 中, 四则运算皆能进行, 这样的运算系统称为域, F(λ ) 称为有理分式域. 定义 1.1.1 (多项式矩阵) 以多项式为元素的矩阵称为多项式矩阵, 简称为λ矩阵. 记号 F [λ ] 表示所有 m 行 n 列的λ矩阵的集合, 矩阵的元素是系数在 F 中的λ的多项式 . 也就是说 , A(λ ) ∈ F [λ ] 表示 A(λ ) = [a (λ )] , 其中 ,
矩阵重特征根的求解方法
矩阵重特征根的求解方法矩阵特征根的求解是线性代数中的一个重要课题,尤其是在工程学、物理学以及计算机科学等领域具有广泛的应用。
在某些情况下,矩阵可能存在重特征根,这给特征向量的求解带来了一定的挑战。
本文将详细介绍矩阵重特征根的求解方法,帮助读者掌握这一关键技能。
一、什么是重特征根?首先,我们需要了解什么是特征根。
对于一个(n times n)的方阵(A),如果存在一个非零向量(vec{x})和一个标量(lambda),使得(Avec{x} = lambda vec{x}),那么(lambda)称为矩阵(A)的特征根,(vec{x})称为对应于特征根(lambda)的特征向量。
所谓重特征根,即指矩阵的一个特征根对应的特征向量不止一个。
数学上,如果特征根的代数重数(即特征多项式中作为根出现的次数)大于它的几何重数(即对应的特征空间维数),那么这个特征根就是重特征根。
二、求解重特征根的方法1.**幂法**:- 当矩阵是对称矩阵时,可以通过幂法来求解重特征根。
- 选择一个初始向量(vec{v}),计算(Avec{v}),然后再计算((Avec{v})),重复此过程,直至得到一个近似特征向量。
- 对得到的近似特征向量进行归一化处理,可以得到近似的特征根。
2.**逆幂法**:- 适用于非对称矩阵。
- 首先求矩阵(A)的逆矩阵(A^{-1}),然后使用幂法求解逆矩阵的特征向量。
- 求得的近似特征向量同样需要归一化。
3.**正交化方法**:- 当矩阵可能存在多个重特征根时,可以利用Gram-Schmidt正交化过程。
- 从一个特征根的近似特征向量开始,逐步构造出与已求得特征向量正交的特征向量。
- 对每一个重特征根,重复此过程,直到求得所有的特征向量。
4.**数值方法**:- 使用数值方法,如QR算法,可以有效地求解重特征根。
- QR算法通过迭代的方式,将矩阵分解为正交矩阵(Q)和上三角矩阵(R)的乘积,再利用(RQ)或者(QR)来逼近特征值。
多项式矩阵
多项式矩阵多项式矩阵(polynomialmatrix)是指将多项式作为元素,构成矩阵的矩阵。
它是数学上的一种重要结构,可以用于复杂方面的多项式计算。
多项式矩阵的研究属于矩阵论(matrix theory)的范畴,主要涉及求解系统矩阵方程,求解极大值问题,求解微分方程等等。
定义:设有一个n阶矩阵A,它的元素均由单项式组成,则称A为多项式矩阵。
特别地,若A的元素均为实数项式,则称A为实数多项式矩阵;若A的元素均为复数项式,则称A为复数多项式矩阵。
多项式矩阵的基本性质包括:1、交换律:多项式矩阵间的加法满足交换律,即A+B=B+A,其中A,B为任意两个多项式矩阵。
2、结合律:多项式矩阵间的加法满足结合律,即(A+B)+C=A+(B+C),其中A,B,C为任意三个多项式矩阵。
3、元素恒等律:多项式矩阵的加法满足元素恒等律,即若A+B=C,则A的第i行第j列元素与C的第i行第j列元素均相等,其中A,B,C为任意三个多项式矩阵。
4、可加性:若A+B=C,则A的所有元素可以借助B的元素得到C 的所有元素,其中A,B,C为任意三个多项式矩阵。
5、可积性:若A与B的任意一个元素相乘,其积仍然是多项式,则称A与B为可积多项式矩阵。
多项式矩阵的应用1、求解系统矩阵方程:利用多项式矩阵的可加性和可积性,可以用于求解系统矩阵方程,即(A+B)X=C,其中A,B,C为多项式矩阵。
2、求解极大值问题:多项式矩阵可以用来表示多项式极大值问题,即求解如何使多项式函数达到最大值,从而解决求极值问题。
3、求解微分方程:多项式矩阵可以用来表示多项式微分方程,通过解决多项式微分方程,可以求出曲线的极值,解决求根问题等。
4、应用于数字信号处理:多项式矩阵可以用于处理复杂的数字信号,如滤波、数字信号检测、声音分析、图像处理等。
多项式矩阵的研究多项式矩阵的研究是矩阵论的重要主题,它涉及的主要研究领域包括:1、多项式线性方程组的求解:多项式矩阵可以用来求解多项式线性方程组,即求解系数矩阵A及常数矩阵B满足AX=B的多项式矩阵X。
特征多项式求解技巧最简单
特征多项式求解技巧最简单特征多项式求解是一种在线性代数中常用的技巧,用于求解矩阵的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵的重要性质,对于研究矩阵的性质和解决相关问题非常有用。
在实际应用中,特征多项式求解技巧的简单性使其成为首选方法之一。
本文将介绍如何利用特征多项式求解技巧求解特征值和特征向量,以及其简单性的原因。
首先,我们来看一下什么是特征值和特征向量。
对于一个n×n的矩阵A,如果存在一个非零向量x和一个数lambda,使得Ax=lambda*x,那么lambda就是A的特征值,x就是A对应于特征值lambda的特征向量。
特征值和特征向量可以帮助我们研究矩阵的行为和性质,例如矩阵的对角化、稳定性分析等。
特征多项式求解的基本思想是通过求解矩阵A的特征多项式方程来获得矩阵A的特征值和特征向量。
特征多项式是一个以lambda为变量的多项式,定义为p(lambda)=det(A-lambda*I)。
其中,det表示行列式,I 表示单位矩阵。
特征值lambda是特征多项式p(lambda)的根,即p(lambda)=0。
首先,我们需要计算特征多项式p(lambda)。
这可以通过对矩阵A减去lambda乘以单位矩阵I,然后计算新矩阵的行列式来实现。
计算行列式的方法有很多,例如展开法、拉普拉斯展开等。
选择适当的方法可以使计算过程更加简单。
一旦求解得到特征多项式p(lambda),我们需要找到它的根,即特征值lambda。
寻找根的方法有很多,例如牛顿迭代法、二分法等。
在实际应用中,我们可以借助计算机软件或数值计算方法来找到特征多项式的根。
当我们求解得到特征值lambda后,我们可以通过求解方程(A-lambda*I)x=0来获得特征向量x。
通常情况下,我们可以通过高斯消元法或矩阵求解方法来求解此方程组。
特征多项式求解技巧的简单性主要体现在以下几个方面:首先,特征多项式求解的公式简单清晰。
特征多项式方程p(lambda)=det(A-lambda*I)=0只涉及基本的矩阵运算,易于理解和计算。
matlab 勒让德多项式
matlab 勒让德多项式
Matlab是一款十分强大的科学计算软件,也是应用最广泛的工具之一,其内置各种数学公式和函数,可以作为数学和工程领域的一个辅助工具。
在Matlab中,勒让德多项式是一种特定类型的多项式函数,常
常被用于解决一些常微分方程和偏微分方程中的问题。
勒让德多项式是由法国数学家勒让德发现,并因其特定的性质而得名。
在Matlab中,勒让德多项式是通过legenpoly函数实现的。
legenpoly函数的输入参数包括阶数n和自变量x,通过这些参数,可以生成一个n阶勒让德多项式函数。
在Matlab中,勒让德多项式是一个包含n+1项的多项式,其中每一
项都是关于x的幂次的多项式,即:
$$P_n(x) ={1\over2^nn!}{d^n\over dx^n}(x^2-1)^n$$
其中阶数n是一个非负整数,d/dx是求导运算符,x是自变量。
勒让德多项式在数学和工程学科领域已经被广泛地应用。
在物理学中,它是描述量子力学中角动量矢量的基函数之一,在电学中,它是分析
某些复杂电路的重要工具。
在计算机图形学中,勒让德多项式也用于
在曲面上进行参数化和进行平滑。
总之,勒让德多项式是一个重要的多项式函数,它具有许多有用的性质和应用,可以用来解决一些复杂的数学问题。
在Matlab中,我们可以通过legenpoly函数来生成勒让德多项式函数,从而更好地完成我们的科学计算任务。
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Delannoy类矩阵的行多项式的根
邢媛媛,林佳倩
辽宁师范大学数学学院,辽宁 大连
收稿日期:2020年8月29日;录用日期:2020年9月15日;发布日期:2020年9月22日
摘要
本文证明了Delannoy类矩阵的行多项式 dn
(x)
=
∑m k=
0
d
(
n,
k
)
x
k
的根是实根的,其全部实根在开区间
( ) ( ) −
且元素满足递归关系 tn,k = tn−1,k −1 + tn−1,k + tn−2,k −1 ,
其中 t0,0 = 1 。
Delannoy 类矩阵定义为 D (e, h) = dn,k n,k≥0 ,见图 1。
Figure 1. Delannoy-like matrix 图 1. Delannoy 类矩阵
( ) 因为 h > 0 ,所以 b r= n−1,k hrn−1,k < 0 。由引理 2.3 从而有 dn ( x) 的根为实根且 dn−1 ( x) dn ( x) 。
以上证明了 dn ( x) 的实根性,下面我们给出根的存在区间及在对应的闭区间上稠密的证明。在证明
之前,先来介绍一下相关的定义及引理。
λ1 − λ2
n
2 k =1
(e
+
x)2
+
4hxCk2
.
不难得到
( ) ( )
x
+
e + hCk2 +
hCk
2
x
+
e + hCk2 −
hCk
2
=(e
+
x)2
+
4hxCk2
,
即
( ) ( ) ∏ dn (= x)
n
2 k =1
x
+
e + hCk2 +
hCk
2
x
+
e + hCk2 − hCk 2 .
∑m k=0
d
(
n,
k
)
xk
of Delannoy-like
( ) ( ) matrix are real in the open interval −
2
e+h + h ,−
e + h − h 2 and are dense in the cor-
responding closed interval.
引理 2.3 [4]令 F, f , g 是三个实多项式,且满足下面条件
= a) F ( x) a ( x) f ( x) + b ( x) g ( x) ,其中 a ( x),b ( x) 是两个实多项式,有 deg F = deg f 或 deg f +1 。
b) f , g ∈ RZ , g f 。
Open Access
1. 引言
Delannoy 数 d (n, k ) 是计数从 (0, 0) 到 (n, k ) 且只走上步 (0,1) 、下步 (1, 0) 和对角步 (1,1) 的格路数。 Delannoy 矩阵 D = tn,k n,k≥0 ,其中元素 t= n,k d (n − k, k ) ,则 D 是无限下三角矩阵,即当 n ≥ k ≥ 0 时 tn,k = 0
r2,2 = −
2
,
均为实根且满足 r2,1 < r1,1 < r2,2 ,即 d1 ( x) d2 ( x) 。现假设 k < n 时 dk ( x) 的根均为实的且 dn−2 ( x) dn−1 ( x) 。 易知 dn ( x) 与 dn−2 ( x) 的首项系数相同。dn−1 ( x) 的各项系数均为正,故 dn−1 ( x) = 0 的根全为负数,即 rn−1,k < 0 。
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2020, 9(9), 1534-1539 Published Online September 2020 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2020.99180
( ) 定义 2.5 假设
fn (x)
n≥0
为
一
个
复
多
项
式
序
列
。
若
存
在
一
个
序
列
(
zn
) n≥0
使得
fn ( zn ) = 0 并且当
n
→
+∞
有
z
→
x
成立,则我们称复数
x
为多项式序列
(
fn
(
x)) n≥0
的零点的极限。
DOI: 10.12677/aam.2020.99180
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应用数学进展
邢媛媛,林佳倩
c) F 与 g 有相同的首项系数。
假设当 f (r ) = 0 时 b (r ) ≤ 0 ,则,i 和 rn,i 分别是多项式 dn−1 ( x), dn ( x) 的根。 dn ( x) 的根均为实根且 dn−1 ( x) 的根严格交 替于 dn ( x) 的根,即
2
e+h + h ,−
e + h − h 2 内且在对应闭区间上稠密。
关键词
Delannoy类矩阵,行多项式,根
The Zeros of Row Polynomials of Delannoy-Like Matrix
Yuanyuan Xing, Jiaqian Lin
School of Mathematics, Liaoning Normal University, Dalian Liaoning
邢媛媛,林佳倩
Copyright © 2020 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
DOI: 10.12677/aam.2020.99180
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应用数学进展
邢媛媛,林佳倩
因为 Cn+1−k = −Ck ,故
则 dn ( x) 的 n 个根为
( ) ∏ dn (= x)
n k
=1
x
+
e + hCk2 + hCk 2 .
( )2
rn,k = − e + hCk2 + hCk , k = 1, 2,, n.
数与 n 为奇数的情况结果相同,现只对 n 为偶数进行分析。由引理 2.7 知,n + 1 为奇数时,有
n
( )∏ ( ) λn+1 1
− λ2n+1
= λ1
−
λ2
2 k =1
λ1 + λ2
2 − 4λ1λ2Ck2 ,
其中 Ck
=
cos
kπ n +1
。所以
∏ ( ) dn= x
λ n+1 1
−
λ= 2n+1
2 s =1
λ1
+
λ2
)2
−
4λ1λ2
cos2
sπ n
.
( 定理 2.8 Delannoy 类矩阵多项式的根都是实互异的,在区间 − e + h +
且在闭区间上稠密。
证明:由定理 2.4 知, dn ( x) 只有实根。由(2.1)式知其特征多项式为 λ2 − (e + x) λ − hx =0.
引理 2.7 [6]令 λ1, λ2 ∈ , n ∈ 。 i) 若 n 为奇数,
∏ λ1n − λ2n = (λ1 − λ2 )
( n−1
2 s =1
λ1
+ λ2 )2
− 4λ1λ2
cos2
sπ n
.
ii) 若 n 为偶数,
∏ λ1n − λ2n = (λ1 − λ2 )(λ1 + λ2 )
( n−1
Received: Aug. 29th, 2020; accepted: Sep. 15th, 2020; published: Sep. 22nd, 2020
Abstract
In this paper, we show that the zeros of row polynomials
dn
(
x
)
=
rn,1
<
rn−1,1
<
rn,2
<<
rn,n−1
<
rn −1,n −1
<
rn,n .
证明:由(2.1)递归关系
dn ( x) = (e + x) dn−1 ( x) + hxdn−2 ( x) (n ≥ 2),
d0 ( x)= 1, d1 ( x)= e + x 知
= deg dn ( x) deg dn−1 ( x) +1.
引理
2.6
[5]在非退化的情况下,fn
(
x)
=
∑
k j =1
a
j
(
x
)
λ
n j
(
x
)
中的任意一个
a
j
(
x
)
都不恒为零多项式且使
得对于一些单位模的 ω ∈ 有 λi ( x) = ωλj ( x) 成立的 i 与 j( i ≠