数列不动点
用不动点法求数列的通项
定义：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.
利用递推数列)(x f 的不动点，可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所确定的数列化为等比数列或较易求通项的数列，这种方法称为不动点法.
定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点，n a 满足递推关系
)1(),(1>=-n a f a n n ，则)(1p a a p a n n -=--，即}{p a n -是公比为a 的等比数列.
证明：因为 p 是)(x f 的不动点
p b ap =+∴
ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---
所以}{p a n -是公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=
bc ad c d
cx b
ax x f ，}{n a 满足递推关系1),(1>=-n a f a n n ，
初值条件)(11a f a ≠
（1）：若)(x f 有两个相异的不动点q p ,，则
q a p a k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qc
a pc
a k --=）
（2）：若)(x f 只有唯一不动点p ，则
k p a p a n n +-=--111 （这里d
a c k +=2）
证明：由x x f =)(得x d
cx b
ax x f =++=
)(，所以0)(2=--+b x a d cx
（1）因为q p ,是不动点，所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(2
2b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧--=--=qc a b qd q pc a b pd p ，所以 q a p
a qc a pc a qc a
b qd a p
c a b
pd a qc
a pc a qd
b a q
c a p
d b a pc a q
d
ca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅
--=------
⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qc a pc
a k --=
，则q a p a k q a p a n n n n --=----1
1
（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的唯一解，所以0)(2
=--+b p a d cp 所以ap cp pd b -=-2
，c
d
a p 2-=
所以 d
ca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=
+-+-=+-+-=-++=---------111211111)
)(()()(所以
d
a c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令d
a c
k +=
2，则
k p a p a n n +-=--111 例1：设}{n a 满足*11,2
,1N n a a a a n
n n ∈+==+，求数列}{n a 的通项公式 解：作函数x
x x f 2
)(+=
，解方程x x f =)(求出不动点1,2-==q p ，于是 12212221211+-⋅-=++-+=+-++n n n n n n n n a a a a a a a a ，逐次迭代得n n n n
a a a a )2
1
(12)21(12111-=+-⋅-=+-- 由此解得n
n n n n a )
1(2)1(21---+=+ 例2：数列}{n a 满足下列关系：0,2,22
1
1≠-==+a a a a a a a n
n ，求数列}{n a 的通项公式
解：作函数x
a a x f 2
2)(-=，解方程x x f =)(求出不动点a p =，于是
a a a a a a a a a
a a a a a a
a n n n n
n n 1
1)(1211
2
21+-=-=-
=--=
-+ 所以}1{
a a n -是以a a a 111=-为首项，公差为a
1的等差数列 所以
a n a n a a n a a a a n =⋅-+=⋅-+-=-1)1(11)1(111，所以n
a
a a n +=
定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=
e a f
ex c
bx ax x f 有两个不同的不动点21,x x ,且由
)(1n n u f u =+确定着数列}{n u ,那么当且仅当a e b 2,0==时,
2
2
12111)(x u x u x u x u n n n n --=--++
证明: Θk x 是)(x f 的两个不动点
∴f
ex c bx ax x k k k k +++=2
即k k k bx x a e f x c --=-2
)()2,1(=k
∴
2
22221
2
11222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=
-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,
2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++⇔2
2
222
1
12222221211222)()()()(x u x u x u x u bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au n n n n n n n n +-+-=--+-+--+-+ ⇔2
2222
11222222
1
2
112
22)()(x u x u x u x u a
bx x a e u a ex b u a bx x a e u a ex b u n n n n n n n n +-+-=--+
-+--+-+ ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-221
1
22x a
ex b x a
ex b ⇔⎩⎨
⎧=-+=-+0)2(0)2(21x e a b x e a b Θ11 2
1x x
0≠ ∴方程组有唯一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*2
1
1,22,2N n a a a a n
n n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.
解:作函数为x
x x f 22
)(2+=,解方程x x f =)(得)(x f 的两个不动点为2±
22
2
2
2
11)2
2(
222222222
222
2
2+-=++-+=
++-+=
+-++n n n
n n n n
n n n n n a a a a a a a a a a a a
再经过反复迭代,得
1
1
2
22
11222211)2
222(
)2
2(
)2
2(
)2
2(
2
2--+-=+-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=+-=+-=+-----n n a a a a a a a a n n n n n n
由此解得1
1
1122
22)
22()
22()22()22(2------+-++⋅
=
n n n n n a
其实不动点法除了解决上面所考虑的求数列通项的几种情形,还可以解决如下问题: 例4：已知1,011≠>a a 且)
1(4162
2
4
1+++=
+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.
解: 作函数为)
1(41
6)(2
24+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 3
3,33,1,14321=-
==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 4
2
3
4
23422
42
2
4
11)1
1(
1
46414641
)
1(41
61)
1(41
611-+=+-+-++++=-+++++++=-+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 逐次迭代后,得:1
11
1
41414141)
1()
1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n。
用不动点法求数列的通项公式
用不动点法求数列的通项公式
不动点法求数列的通项公式，属于数学当中的经典问题。
在数列
求解中，通项公式是根据一系列给定的数据，推导出整个数列通项的
一个重要方法，常用于数学教学中。
不动点法就是一种特殊的求解数
列通项公式的方法，也称为四平方定理，它是以π（取3.14）为精
度来进行计算的。
不动点法求数列的通项公式是基于一个给定数列，建立一个满足
条件的多项式，其本质上是一个多项式合成问题，通过证明不动点法
的公式有解，从而得到了一个关于数列的通项的求解公式。
不动点法的求解步骤：
1、首先将给定的数列表示为：x0, x1, x2,..., xn。
2、接着求出其差分序列，即：y0 = x1 - x0, y1 = x2 - x1,… yn-
1=xn - xn-1。
3、对差分序列求出n-1阶伴随矩阵：A = (aij)n-1 * (n-1)，其系
数aij满足：aij(i≥j) = yi + 1 - yj，aij(i < j) = -(yi - yj)。
4、解半平方定理，即:det(A)= B^2 - 4AC = 0, 求出参数A，B，C，
其中A为半平方定理中的A，B为半平方定理中的B，C为半平方定理
中的C。
5、由A，B，C，求出数列的通项公式：an = x0 + nb + cn(n-1)/2。
总结一下，不动点法求数列的通项公式主要步骤：首先表示数列
为x0, x1, x2 ... xn；接着求出差分序列；依据差分序列求出伴随矩阵；然后解得半平方定理；最后根据参数求出数列的通项公式，即an
= x0 + nb + cn(n-1)/2。
数列不动点法
数列不动点法
数列不动点法是一种求解方程根的数值方法。
其基本思想是通过构造一个数列，使得数列的每一项都是方程的一个近似解，然后迭代该数列，直到数列的两个相邻项之差小于预设的精度要求，此时数列的极限就是方程的根。
具体的实现方法是，先将方程化为等价的形式g(x)=0，然后选取一个初始值x0，构造数列xn+1=g(xn)，不断迭代直到满足精度要求。
一般来说，数列需要收敛才能求得方程的根，所以选取初始值时需要注意。
数列不动点法的优点是计算简单，收敛速度比较快，且适用于一般的非线性方程。
但其缺点也比较明显，比如可能会出现不收敛的情况，且对于复杂的方程，可能需要多次迭代才能求得根。
- 1 -。
高考数列不动点法解题方法整理版
利用“不动点"法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型,对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题,充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况,因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果,来简化对数列通项问题的探究.笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助．1 不动点的定义一般的，设()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使f x x ()00=成立,则称x 0为f x ()的 不动点,或称00(,)x x 为f x ()图像的不动点。
2 求线性递推数列的通项定理 1 设()(01)f x ax b a =+≠，，且x 0为f x ()的不动点，{}a n 满足递推关系1()n n a f a -=，2,3,n =，证明{}a x n -0是公比为a 的等比数列。
证：∵x 0是f x ()的不动点,所以ax b x 00+=，所以b x ax -=-00，所以a n -=+-=-=----x a a b x a a ax a a x n n n 0101010()()··,∴数列{}a x n -0是公比为a 的等比数列.例1（2010上海文数21题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且585n n S n a =--,*n N ∈ （1）证明：{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n S 的通项公式，并求出使得1n n S S +>成立的最小正整数n 。
证:（1) 当n =1时，a 1=-14；当2n ≥时，a n =S n -S n -1=-5a n +5a n -1+1,即1651n n a a -=+(2)n ≥即15166n n a a -=+(2)n ≥，记51()66f x x =+，令()f x x =，求出不动点01x =，由定理1知：151(1)(2)6n n a a n --=-≥，又a 1-1= -15 ≠0，所以数列{a n -1｝是等比数列。
用不动点法求数列通项
用不动点法求数列的通项界说：方程x x f =)(的根称为函数)(x f 的不动点.应用递推数列)(x f 的不动点,可将某些递推关系)(1-=n n a f a 所肯定的数列化为等比数列或较易求通项的数列,这种办法称为不动点法.定理1：若),1,0()(≠≠+=a a b ax x f p 是)(x f 的不动点,n a 知足递推关系)1(),(1>=-n a f a n n ,则)(1p a a p a n n -=--,等于}{p a n -公比为a 的等比数列.证实：因为 p 是)(x f 的不动点ap p b -=-∴由b a a a n n +⋅=-1得)(11p a a p b a a p a n n n -=-+⋅=---所所以}{p a n -公比为a 的等比数列. 定理2：设)0,0()(≠-≠++=bc ad c dcx bax x f ,}{n a 知足递推关系1),(1>=-n a f a n n ,初值前提)(11a f a ≠（1）：如有)(x f 两个相异的不动点q p ,,则qa pa k q a p a n n n n --⋅=----11 （这里qca pca k --=）（2）：若)(x f 只有独一不动点p ,则k pa p a n n +-=--111 （这里da ck +=2）证实：由x x f =)(得x dcx bax x f =++=)(,所以0)(2=--+b x a d cx（1）因为q p ,是不动点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=--+=--+0)(0)(22b q a d cq b p a d cp ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=qc a bqd q pc a b pd p ,所以q a pa qc a pc a qc ab qd a pc a bpd a qc a pc a qd b a qc a pd b a pc a qdca b aa p d ca b aa q a p a n n n n n n n n n n n n --⋅--=------⋅--=-+--+-=-++-++=------------1111111111)()(令qca pca k --=,则q a p a k q a p a n n n n --=----11（2）因为p 是方程0)(2=--+b x a d cx 的独一解,所以0)(2=--+b p a d cp所以ap cp pd b -=-2,cda p 2-=所以 dca p a cp a d ca ap cp a cp a d ca pd b a cp a p d ca b aa p a n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111))(()()(所以da c p a p a cp a cp d cp a c p a cp d p a c cp a p a d ca cp a p a n n n n n n n ++-=-⋅-++-=-++-⋅-=-+⋅-=-------211)(111111111令da ck +=2,则k pa p a n n +-=--111例1：设}{n a 知足*11,2,1N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项公式 例2：数列}{n a 知足下列关系：0,2,2211≠-==+a a a a a a a nn ,求数列}{n a 的通项公式 定理3：设函数)0,0()(2≠≠+++=e a fex c bx ax x f 有两个不合的不动点21,x x ,且由)(1n n u f u =+肯定着数列}{n u ,那么当且仅当ae b 2,0==时,2212111)(x u x u x u x u n n n n --=--++ 证实: k x 是)(x f 的两个不动点∴fex cbx ax x k k k k +++=2即k k k bx x a e f x c --=-2)()2,1(=k∴222221211222211222122111)()()()()()()()(bx x a e u ex b au bx x a e u ex b au f x c u ex b au f x c u ex b au f eu x c bu au f eu x c bu au x u x u n n n n n n n n n n n n n n n n --+-+--+-+=-+-+-+-+=+-+++-++=--++于是,1121x x 0≠∴方程组有独一解a e b 2,0== 例3：已知数列}{n a 中,*211,22,2N n a a a a nn n ∈+==+,求数列}{n a 的通项.其实不动点法除懂得决上面所斟酌的求数列通项的几种情况,还可以解决如下问题:例4：已知1,011≠>a a 且)1(4162241+++=+n n n n n a a a a a ,求数列}{n a 的通项.解: 作函数为)1(416)(224+++=x x x x x f ,解方程x x f =)(得)(x f 的不动点为 i x i x x x 33,33,1,14321=-==-=.取1,1-==q p ,作如下代换: 逐次迭代后,得:111141414141)1()1()1()1(------+-++=n n n n a a a a a n已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==．从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ,切点为(,)n n n P x y ．（１）求数列{}{}n n x y 与的通项公式;（２）证实：13521n n nxx x x x y -⋅⋅⋅⋅<< 设p q ，为实数,αβ，是方程20x px q -+=的两个实根,数列{}n x 知足1x p =,22x p q =-,12n n n x px qx --=-（34n =，，…）．（1）证实：p αβ+=,q αβ=;（2）求数列{}n x 的通项公式;（3）若1p =,14q =,求{}n x 的前n 项和n S ．已知函数2()1f x x x =+-,αβ，是方程()0f x =的两个根（αβ>）,()f x '是()f x 的导数,设11a =,1()(12)()n n n n f a a a n f a +=-='，，． （1）求αβ，的值;（2）证实：对随意率性的正整数n ,都有n a α>; （3）记ln(12)n n n a b n a βα-==-，，,求数列{}n b 的前n 项和n S13陕西文21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 知足,*11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝. ()I 令1n n n b a a +=-,证实：{}n b 是等比数列; (Ⅱ)求{}n a 的通项公式.山东文20.（本小题满分12分）等比数列{n a }的前n 项和为n S , 已知对随意率性的n N +∈ ,点(,)n n S ,均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.（1）求r 的值;（11）当b=2时,记1()4n nn b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T。
数列特征根和不动点法解题原理
数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。
- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。
关于不动点解数列问题
关于不动点解数列问题关于不动点解数列问题当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。
典型例子：a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d)注：我感觉一般非用不动点不可的也就这个了，所以记住它的解法就足够了。
我们如果用一般方法解决此题也不是不可以，只是又要待定系数，又要求倒数之类的，太复杂，如果用不动点的方法，此题就很容易了x=(ax+b)/(cx+d)令，即，cx2+(d-a)x-b=0令此方程的两个根为x1，x2，若x1=x2则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p其中P可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将p的表达式记住，p=2c/(a+d)若x1≠x2则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2)其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。
注：如果有能力，可以将q的表达式记住，q=(a-cx1)/(a-cx2) 简单地说就是在递推中令an=x 代入a(n+1)也等于x然后构造数列.（但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出）我还是给几个具体的例子吧：1。
已知a(1)=m. a(n+1)=〔a*a(n)+b〕/〔c*a(n)+d〕求an的通项a(n)和a(n+1)分别表示数列的第n项和第n+1项解：这种形式的递推式我有两种解法,待定系数法和不动点法,在此用不动点法解决此问题.将原递推式中的a[n]与a[n+1]都用x代替得到方程x=(ax+b)/(cx+d)即cx2+(d-a)x-b=0记方程的根为x1,x2(为了简单起见,假设方程有两实根)原方程可以变形为-x(a-cx)=b-dx所以-x=(b-dx)/(a-cx),将x1,x2代入得到-x1=(b-dx1)/(a-cx1)-x2=(b-dx2)/(a-cx2)将递推式两边同时减去x1得到a[n-1]-x1=[(a-cx1)a[n]+b-dx1]/(ca[n]+d)即a[n-1]-x1=(a-cx1)[a[n]+(b-dx1)/(a-cx1)]/(ca[n]+d)将-x1=(b-dx1)/(a-cx1)代入得到:a[n-1]-x1=(a-cx1)(a[n]-x1)/(ca[n]+d)同理:a[n-1]-x2=(a-cx2)(a[n]-x2)/(ca[n]+d)两式相除得到(a[n+1]-x1)/(a[n+1]-x2)=[(a-cx1)/(a-cx2)]*[(a[n]-x1)/(a[n]-x2)]从而{(a[n]-x1)/(a[n]-x2)}是等比数列(a[n]-x1)/(a[n]-x2)=[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1) 所以a[n]={x2*[(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a-cx2)]^(n-1)-x1}/([(m-x1)/(m-x2)]*[(a-cx1)/(a -cx2)]^(n-1)-1}2。
不动点法求数列通项公式
不动点法求数列通项公式通常为了求出递推数列a[n+1]=(ca[n]+d)/(ea[n]+f)【c、d、e、f是不全为0的常数,c、e不同时为0】的通项,我们可以采用不动点法来解.假如数列{a[n]}满足a[n+1]=f(a[n]),我们就称x=f(x)为函数f(x)的不动点方程,其根称为函数f(x)的不动点.至于为什么用不动点法可以解得递推数列的通项,这足可以写一本书.但大致的理解.首,比如：◎例∵∴令∴=(-a[n]+1)/(2a[n]+4)=(-1/2)(a[n]-1)/(a[n]+2)∵a[1]=2∴(a[1]-1)/(a[1]+2)=1/4∴{(a[n]-1)/(a[n]+2)}是首项为1/4,公比为-1/2的等比数列∴(a[n]-1)/(a[n]+2)=1/4(-1/2)^(n-1)解得：a[n]=3/[1-(-1/2)^(n+1)]-2◎例2：已知数列{a[n]}满足a[1]=3,a[n]a[n-1]=2a[n-1]-1,求通项.【说明：这题是“重合不动点”的例子.“重合不动点”往往采用取倒数的方法.】∵a[n]=2-1/a[n-1]∴采用不动点法,令：x=2-1/x∴∵∴∵∴∴例3【说明：上面两个例子中获得的不动点方程系数都是常数,现在看个不动点方程系数包含n的例子.】∵S[n]=a[n]n^2-n(n-1)∴S[n+1]=a[n+1](n+1)^2-(n+1)n将上面两式相减,得：a[n+1]=a[n+1](n+1)^2-a[n]n^2-(n+1)n+n(n-1) (n^2+2n)a[n+1]=a[n]n^2+2n(n+2)a[n+1]=na[n]+2a[n+1]=a[n]n/(n+2)+2/(n+2)【1】采用不动点法,令：x=xn/(n+2)+2/(n+2)解得：x=1【重合不动点】.b[3]/b[2]=2/4【这里保留分子】b[2]/b[1]=1/3【这里保留分子】将上述各项左右各自累乘,得：b[n]/b[1]=(1*2)/[n(n+1)]∵a[1]=1/2∴b[1]=a[1]-1=-1/2∴b[n]=-1/[n(n+1)]∴通项a[n]=b[n]+1=1-1/[n(n+1)]◎例4：已知数列{a[n]}满足a[1]=2,a[n+1]=(2a[n]+1)/3,求通项.【说明：这个例子说明有些题目可以采用不动点法,也可以采用其他解法.】∵a[n+1]=(2a[n]+1)/3∴∴∴∴∴◎例5：已知数列{x[n]}满足x[1]=2,x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n]),求通项.【说明：现在举个不动点是无理数的例子,其中还要采用对数的方法.】∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/(2x[n])∴采用不动点法,设：y=(y^2+2)/(2y)y^2=2解得不动点是：y=±√2【相异不动点为无理数】∴(x[n+1]-√2)/(x[n+1]+√2)【使用不动点】={(x[n]^2+2)/2x[n]-√2}/{(x[n]^2+2)/2x[n]+√2}=(x[n]^2-2√2x[n]+2)/(x[n]^2+2√2x[n]+2)={(x[n]-√2)/(x[n]+√2)}^2∵x[n+1]=(x[n]^2+2)/2x[n]=x[n]/2+1/x[n]≥2/√2=√2∴∵∴∴∴◎例,但采用求不动点：x=(1+x)/(1-x),即：x^2=-1,得：x[1]=i,x[2]=-i【相异不动点为虚数,i为虚数单位】∴(a[n+1]-i)/(a[n+1]+i)【使用不动点】={(1+a[n])/(1-a[n]-i}/{(1+a[n])/(1-a[n]+i}=(1+a[n]-i+a[n]i)/(1+a[n]+i-a[n]i)={(1+i)/(1-i)}{(a[n]-i)/(a[n]+i)}=i(a[n]-i)/(a[n]+i)∵a[1]=2∴{(a[n]-i)/(a[n]+i)}是首项为(a[1]-i)/(a[1]+i)=(2-i)/(2+i),公比为i的等比数列即：(a[n]-i)/(a[n]+i)=[(2-i)/(2+i)]i^(n-1)(a[n]-i)(2+i)=(a[n]+i)(2-i)i^(n-1)∴∵∴令∵θ∵∴∴a[n]=tan[(n-1)π/4+arctan2]。
数列的特征值法与不动点法
数列的特征值法与不动点法
一、特征值法
特征值法是一种对数列的处理方法，根据序列中的元素和它们两两之间的距离来识别出特征值以便将序列分割成若干个子序列，并计算每个子序列的最小元素、最大元素、中间元素、最长元素等。
特征值法的步骤如下：
1.计算数列中每个元素与它前一个元素之间的距离，即距差Xj=Xj-Xj-1，其中j=2,3,…,n；
2.根据第一步所得的距差Xj，计算距差Xj的绝对值X，j，=，Xj，其中j=2,3,…,n；
3.根据距差X，j，计算距差Xj大于一些正实数值T的个数，即：
N(T)={X，j，>T}，其中j=2,3,…,n；
4.如果N(T)的数值大于等于一些正整数K，则将该正实数值T作为数列序列的一个特征值，即T称为该序列的特征值。
二、不动点法
不动点法是一种可以用来分析数列结构的方法，这种方法通过比较不同分割点位置上的不同序列的值，以确定分割点之间的结构。
1.将数列分为两个子序列，计算每个子序列的均值；
2.计算不同分割点位置上的不同序列的均值之差；
3.如果均值之差小于一些阈值，则该分割点位置就是不动点；
4.重复以上步骤，可以得到数列中所有不动点的位置。
不动点法求数列
不动点法求数列
不动点法求数列通项原理是不动点是使f(x)=x的x值。
1、不动点法是作为求解函数迭代的方法而被研究的。
所以在开始之前，我们先介绍一下递推数列与函数迭代的关系。
如果我们把函数看作从R到R的一个映射，那么不动点经过这一映射之后，还是它本身，就像固定在数轴上“不动”，所以叫作“不动点”。
2、设不动点为x0,则f(x0)-x0=0,即x是f(x)-x0=0的根，所以f(x)-x0因式分解时有x-x0这个因子，对数列有a(n+1)=f（an）,两边同时减去不动点x0有a(n+1)-x0=f（an）-x0，f（an）-x0只不过是把x换成了an，所以f（an）-x0有an-x0这个因子，所以a(n+1)-x0=（an-x0）*g （an）,减去不动点后两边出现了形式相同的项an-x0，g（an）则相当于公比。
3、数列通项公式（an=f(n)）表示的是数列的第n项a与项的序数n之间的关系。
对于一个数列{ an}，如果任意相邻两项之差为一个常数，那么该数列为等差数列，且称这一定值差位公差，记为d ；从第一项a1到第n项an的总和，记为Sn。
数列问题不动点法的运用
数列问题不动点法的运用
有一位名叫ZeroToss的网友给我提出下列的数列问题，问我如何解决?
其实，本题可用“不动点法”求数列的通项公式。
首先，我们要知道，什么叫做函数的“不动点”？
对于一个函数f(x)，我们把满足f(m)=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”。
巧用“不动点”法求数列的通项公式，是高考中的一种比较特殊的方法。
为了让同学们好好理解并掌握这一方法。
下面我们以典型例题来加以说明（由于篇幅的关系，我们只讲步骤和方法，至于详细的证明，同学们可以在相关的《高中数学竞赛教程中》找到）。
当函数有两个“不动点”时，请同学们看下面的几个例题，即可掌握方法。
从上面的方法中，大家可以概括总结出函数“不动点”法求数列通项公式的基本方法了吗？
其实，第二种题型，相应的函数有两个不动点的，一般是形如
a(n+1)=(pan+m)/(qan+u)这样的数列求通项.这样的数列相应的函数的不动点为f(x)=(px+m)/(qx+u)=x的解x1=u，x2=v，最后一般都化归为:数列{(an-u)/(an-v)}是等比数列来求通项的问题。
我们现在再来看网友ZeroToss提出的数列问题的解答：。