力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩
工程力学第三章-测控
若三轮推车如图所示。已知
z
AH=BH=0.5m，CH=1.5m，
EH=0.3m，ED=0.5m，荷载 G=1.5kN。试求A、B、C三轮所 受到的压力。
解 1）作出受力图 2）并标上直角坐标系 3）列力系的平衡方程求解
B
H E
A x
FA
D FB
G
y C FC
∑Mx(F)=0， FC·HC－G·DE=0 取z轴取为小纵车坐为标研，究平对板象为xy平面， FC=G·DE /HC=1.5kN0.5m/1.5m=B0为.5k坐N标原点，BA为x轴。 ∑My(F)=0， G·EB-FC·HB-FA·AB=0 FA=(G·EB-FC·HB)/AB =(1.5kN0.8m-0.5kN0.5m)/1m=0.95kN ∑F若BF=z重=G0物，-F放C置-FFA过A＝+偏F1B.，5+k致FNC-使-0W.F95B=为k0N负-0值.5，kN则=小0.0车5k将N会翻倒。
A x
∑Fy=0 FA－Fcoscos=0
∑Fz=0 Fsin－G=0
DF
B y
FB
O
FA G
解上述方程得
F= G/sin=1.2kN/sin30=2.4kN
FA= Fcoscos=2.4kNcos30cos60=1.04kN FB=Fcossin=2.4kNcos30sin60=1.8kN
第三节 力对轴之矩
一、力对轴之矩的概念 在工程中，常遇到刚体绕定轴转动的情形。 为了度量力对转动刚体的作用效应，必须引入力 对轴之矩的概念。
z
现以关门动作为 例，图中门的一边有 固定轴z。
O
y
x
在A点作用一力F，为度量此力对刚体的转动效应，可将力 F分解为两个互相垂直的分力：一个是与转轴平行的分力 Fz=Fsinβ；另一个是在与转轴z垂直平面上的分力Fxy=Fcosβ。
工程力学(高教版)教案：4.1 力的投影与分解
第四章 空间力系作用在物体上各力的作用线不在同一平面内，称该力系为空间力系。
按各力的作用在空间的位置关系，空间力系可分为空间汇交力系、空间平行力系和空间任意力系。
前几章介绍的各种力系都是空间力系的特例。
第一节 力的投影与分解一、力在空间直角坐标轴上的投影已知力F 与x 轴如图4－1(a)所示，过力F 的两端点A 、B 分别作垂直于x 轴的平面M 及N ，与x 轴交于a 、b ，则线段ab 冠以正号或负号称为力F 在x 轴上的投影，即F x ＝±ab符号规定：若从a 到b 的方向与x 轴的正向一致取正号，反之取负号。
已知力F 与平面Q ，如图4－1(b)所示。
过力的两端点A 、B 分别作平面Q 的垂直线AA ′、BB ′，则矢量B A ''称为力F 在平面Q 上的投影。
应注意的是力在平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。
(a) (b)图4－ 1图4－2现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。
如图4－2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。
设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为：⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γβαcos cos cos F F F F F F z y x (4－1)用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。
一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图4－2（b ）所示。
设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则⎪⎭⎪⎬⎫±=±=±=γθγθγcos sin sin cos sin F F F F F F z y x (4－2)用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。
力学第三章空间力系
第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。
Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。
熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。
对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。
了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。
能正确地画出各种常见空间的约束反力。
会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。
对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。
1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。
在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。
空间力系介绍
y
x
3.空间力系的平衡
空间力系的简化：与平面任意力系的简化方法一样，空
间力系也可以简化为一个主矢和一个主矩。
FR ' ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
Mo [ M x (F)]2 [ M y (F)]2 [ M z (F)]2
• 空间力系的平衡方程 平衡的必要与充分条件：
M＝o０， F＝R０
平衡方程：
Fx 0
Fy 0
Fz Mx My
0 (F) (F)
00
M z(F) 0
3.空间力系平衡问题的平面解法
在工程中，常将空间力系投影到三个坐标平 面上，画出构件受力图的主视、俯视、侧视等三 视图，分别列出它们的平衡方程，同样可解出所 求的未知量。这种将空间问题转化为平面问题的 研究方法，称为空间问题的平面解法。
x
y Fx
Fxy
A Fy
2.力对轴之矩
合力矩定理 ：如一空间力系由F1、F2、…、Fn组 成，其合力为FR，则合力FR对某轴之矩等于各分
力对同一轴之矩的代数和。
M z (FR ) M z (F)
例1：图示力F=1000N，求F对z轴的矩Ｍz。 FZ
z
Fx
Fy
Fxy
x
5
Fy
Fx
Fxy
10
则力在三个坐标轴上的投影 分别为 ：
z
Fz
Fx Fy
F F
sin sin
cos sin
Fz F cos
若已知力在三个坐标轴上的投
F 影Fx、Fy、Fz，也可求出力的大小 x
和方向，即 :
工程力学-4
图 4-2 解：研究对象：起重杆 ABG 重物
受力分析：P， F1， F2， FA (AB 为二力杆) 球铰链如图 4-2b 特点：1) 可绕球心任意相对转动
2) 约束反力可用三个直交分力表示 选坐标 Axyz 列平衡方程：
Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0,
F1 sin 45° F2 sin 45° = 0 FA sin 30° F1 cos 45°cos 30° F2 cos 45°cos 30° = 0 F1 cos 45°sin 30° + F2 cos 45°sin 30° + FA cos30° P = 0
2．空间汇交力系的合力与平衡条件
将平面汇交力系的合成法则扩展到空间，可得
(1) 空间汇交力系的合成：
① 几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
FR = F1 + F2 +……+Fn = F 即：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。
② 解析法：
将 F = Fxi + Fyj + Fzk 代入上式得 FR = Fxi + Fyj + Fzk 即： FRx = Fx, FRy = Fy, FRz = Fz 空间合力投影定理：
M0(F)在三个坐标轴上的投影，即
[M0(F)]x = yFz – zFy
[M0(F)]y = zFx – xFz
(a)
[M0(F)]z =xFy – yFz
2．力对轴的矩
以门的转动为例来说明：力 F 与转轴不相垂直的情况：此时可把力 F
分解为平行 z 轴的 Fz 和垂直于 z 轴的平面 xy 上的分力 Fxy，(即力 F 在 xy 平面上的投影)很显然 Fz 对门没有转动效应，只有 Fxy 对门有转动效应，因 此，可用力 Fxy 对 O 点主矩来度量，即：
第四章：空间力系
第四章空间力系一、要求1、能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2、对空间力偶的性质及其作用效应要有清晰的理解。
3、了解空间力系向一点简化的方法和结果。
4、能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
5、能正确地画出各种常见空间约束的约束反力。
二、重点、难点1、本章重点：力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡方程的应用。
各种常见的空间约束及约束反力。
2、本章难点：空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体图。
三、学习指导1、空间力系的基本问题及其研究方法空间力系研究的基本问题仍然是静力学的三个基本问题，即：物体的受力分析、力系的等效替换和力系的平衡条件。
空间力系是力系中最普遍的情形，其它各种力系都是它的特殊情形。
按由浅入深、由特殊到一般的认识规律研究空间力系，是从理论上对静力学作一个系统而完整的总结。
与平面力系的研究方法相似，这里也采用力向一点平移的方法将空间任意力系分解为空间汇交力系和空间力偶系，再应用这两个力系的合成方法来简化原力系，然后根据简化结果推导出平衡条件。
由于空间力系各力作用线分布在空间，因而使问题复杂化。
出现了力在坐标轴上的二次投影法、力对轴的矩以及用向量表示力对点的矩和力偶矩等新问题，简化的结果和平衡方程也复杂了。
2、各类力系的平衡方程各类力系的独立的平衡方程的数目不变。
但是平衡方程的形式可以改变。
上表列出的是一般用形式。
解题指导1、对于解力在直角坐标轴上投影或力沿直角坐标轴分解这类问题，重要的是确定力在空间的位置。
一般解题的思路如下：（1）认清题意，仔细查看结构（或机构）的立体图，它由哪些部件组成，各部件在空间的位置，以及它们和坐标轴的关系。
（2）认清力的作用线在结构（或机构）的哪个平面内，寻找它与坐标面的交角，然后找力与坐标平面的夹角及力与坐标轴的夹角。
（3）考虑用一次投影或二次投影的方法求解。
第一章 静力学基本知识解析
3 ..... 2
F3x F3
cos450 100
2 ... 2
F3y F3 sin 450 100
2 ... 2
F4 x
F4
c os 450
250
2 ... 2
F4y F4 sin 450 250
2 ... 2
合力的投影影：
合力：
FR
α
思考练习：
同一平面的三根钢索连结在一固定环上，如图所示，
它是代数量，方向规定 + – 力对轴之矩的解析式
特例：力对与它平行或相交的 轴的矩为零。即力F与轴 共面时，力对轴之矩为零。
力对与它平行或相交的轴的矩为零。 即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
三、力对点的矩与力对轴之矩的关系：力矩关系定理
[证]
通过O点作任一轴Z，则：
即：
由几何关系： 所以：
力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于力对 该轴的矩。 这就是力对点之矩与对通过该点的轴之矩的关系。
力对任一轴的矩，等于该力对 轴上任一点的矩矢在该轴上的投 影。这就是力对轴之矩与对过该轴上任一点之矩的关系。
力矩关系定理
四、合力矩定理 定理：合力对任一点的矩，等于各分力对同一点的矩的矢量和
即：
[证] 以汇交力系为例
R F1 F2 Fn
z F3
R
mO (R ) r R r (F1 F2 Fn )
B
⑵建坐标系
⑶列写平衡方程
G
C
y
FBA F2
FBC
B
G
⑷解方程得杆AB和BC所受的力:
x
思考：
用解析法求平面汇交力系的平衡问题时，X 轴与Y轴是否一定相互垂直？当不垂直时， 建立的平衡方程能满足力系的平衡条件吗？
工程力学教学课件模块3空间力系
的单位为N•m或kN•m。
由上述结论可知，力的作用线与轴相交或平
行时，力对轴之矩等于零。
提
示
3.2.2 合力矩定理
在平面力系中推导出来的合力矩定理对空间力系也同样适用，即空间力系中的合力对某轴之
矩等于力系中各分力对同一轴之矩的代数和，其表达式为
在计算力对轴之矩时，有时应用合力矩定理会使计算变得简单：先将力F沿空间直角坐标轴
Fz=Fsin 60°=600×0.866=520（N）
19
3.2.2 合力矩定理
20
3.2.2 合力矩定理
（2）计算力对轴之矩。先将力F在作用点处沿x、y、z方向分解，得到
三个分量Fx、Fy、Fz，它们的大小分别等于投影Fx、Fy、Fz的大小。
根据合力矩定理，可求得力F对指定的x、y、z轴之矩。
（b）所示。
先将力F向Axy平面和Az轴投影，得到Fxy和Fz；再将Fxy向x、y轴
投影，得到Fx和Fy。于是，有
Fx=Fxycos 45°=Fcos 60°cos 45°=600×0.5×0.707=212（N）
Fy=Fxysin 45°=Fcos 60°sin 45°=600×0.5×0.707=212（N）
力FNA、FNB、FNC的作用下保持平衡，各力的作
用线相互平行，构成空间平行力系。
3.3 空间力系的平衡方程
30
3.3 空间力系的平衡方程
（2）根据各力的作用线方向与几何位置，建立空间直角
坐标系Hxyz（点H为坐标原点）。
（3）列平衡方程并求解。
∑Fz=0，FNA+FNB+FNC-G=0
∑Mx（F）=0，FNC-G=0
理论力学3—空间力系
r r ur
uur uur r
i jk
M O (F ) r Fuur = x y z
z MO(F)
kr Oj
ih x
Fx Fy Fz
r
r
ur
( yFz zFy )i (zFx xFz ) j (xFy yFx )k
B F
A(x,y,z) y
3.2.1 力对点的矩以矢量表示－力矩矢
力矩矢MO(F)在三个坐标轴上的投
偶系，如图。
z F1
z M2
z
Fn O
x F2
＝ M1
y
O
x F'n
F'1
＝ MO
Mn y
O
F'2
x
F'R y
uur uur
uFuri Fuiur uur
M i M O (Fi ) (i 1, 2,L , n)
3.4.1 空间力系向一点的简化
空间汇交力系可合成一合力F'R：
uur uur uur FR Fi Fi
如图所示，长方体棱长为a、b、c，力F沿BD，求力F对AC之矩。
解：
uur uur uur M AC (F ) M C (F ) AC
uur uur
M C (F ) F cos a
Fba
a2 b2
B
C
F
D
c
A
a
b
uur uur uur
M AC (F ) M C (F ) cos
Fabc a2 b2 a2 b2 c2
(F ) uur
[M O (F )]y M y (F )
uur uur
uur
[M O (F )]z M z (F )
工程力学3.1到3.3
2．合力矩定理 设某空间力系由 F1、F 2、…、Fn组成，其 合力为FR，可以证明合力FR对某轴之矩等于各分力对同一轴之 矩的代数和。这就是空间力系的合力矩定理。其数学表达式为
Mz（FR）=∑Mz(Fi)
（3-5）
Fz F cos
（3-3）
其中，cosα、cosβ和cosγ称为力F的方向余弦，并 且满足关系：cos2α+cos2β+cos2γ=1。
3．1 力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩
例3-1 在图3-4a中，F1=1000N，F2=2500N，该两力 矢端坐标值分别为F1(-4,2,0)，F2(-4,3,2)。试求两力在三 个坐标轴上的投影。
F1x F1 cos1 1000 (
4 )N 894N 42 22
F1y F1 cos 1 1000
2 N 447N 42 22
F1z F1 cos1 1000 cos 90 N 0N
3．1 力在空间直角坐标轴上的投影与力对轴之矩
2）求F2的投影。设F2与x、y和z轴正向的夹角分别 为α2、β2和γ2，则
2 N 447N 42 22
F1z F1 cos1 1000cos90 N=0N
设F2xy与y轴正向的夹角为φ2(见图3-4b)，将F2xy再投影到x、
y轴上，得
F2 x
F2xy sin 2 2320 F2y F2xy cos2 2320
4 N 1857N 32 342
若已知力F在三个坐标轴上的投影，也能求出力F的大小 和方向，由图3-1的正六面体对角线与棱边的关系，得
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授 课 日 期 授 课 班 级 课题与主要 内
．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ． 装 ． ．． ．． ．． ．． ．． ．． 订 ． ．． ．． ．． ．． ． 线 ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．． ．．
力对轴的 矩的计算 是解决空 间问题的 关键
（4）F 作用面不在与轴垂直的平面内 ，也不与轴平行或相交 a、 力对轴之矩等于这个力在垂直于于轴的平面上的分力对平面与轴的 交点的矩。 即：mz(F) = mo(Fxy) =±Fxy×d 先求出力 F 在垂直于 z 轴的平面上的投影 Fxy.。然后按平面上力对 O 点之矩进行计算。
§2 力对轴之矩 1、定义： 力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量。 2、力对轴之矩的求解 （1）F 作用平面与轴垂直 mz(F) = mo(F) =±Fd （2）F 作用平面与轴垂直并与轴正交 mz(F) = 0 （3）F 作用面与轴共面（F 与 z 轴平行） mz(F)=0 （4）F 作用面不在与轴垂直的平面内 ，也不与轴平行或相交 a、力对轴之矩等于这个力在垂直于于轴的平面上的分力对平面与轴的 交点的矩。 即：mz(F) = mo(Fxy) =±Fxy×d b、 先求出力 F 沿三个直角坐标轴的分力 Fx,Fy,Fz， 然后根据力对轴之矩 的定义和合力矩定理进行计算 §3 空间力系的平衡
本节讲解力 在空间直角 坐标轴上的 投影和力对 轴 矩 之
容 要 求
教 学 目 的 与
教学重、 难点 布 置 作 业
空间力系的定义、分类、空间力系和平面力系的相同点和不同点。 §1 力在空间直角坐标轴上的投影 一、直接投影法 直接投影法公式 二、二次投影法 二次投影法 Fx=±Fsinγcosβ Fy=±F sinγsinβ Fz=±Fcosγ Fx =±F cosα Fy =±Fcosβ Fz =±Fcosγ
坐标轴上 的投影计 算可在平 面问题上 讲述和训 练
的投影是代数量。正负与平面力系在轴上的投影规定相同。 二、二次投影法 当力 F 与每个坐标轴的夹角不易全部求得，但如果 F 与如图所示的夹 角已知或容易求得时，力 F 投影到 xy 面，再将 Fxy 投影到 x,y 轴上。 Fx=±Fsinγcosβ 二次投影法 Fy=±F sinγsinβ Fz=±Fcosγ
b、先求出力 F 沿三个直角坐标轴的分力 Fx,Fy,Fz，然后根据力对轴之 矩的定义和合力矩定理进行计算
mx(F) =mx(Fz)+mx(Fy) = yFz-zFy my(F) =my(Fx)+my(Fz) = zFx – xFz mz(F) =mz(Fy)+mz(Fx) = xFy – yFx
§2 力对轴之矩 1、定义： 力对轴之矩是力使物体绕轴转动效果的度量。 2、力对轴之矩的求解 （1）F 作用平面与轴垂直 力对 z 轴之矩，就是力对 O 点之矩，因此有 mz(F) = mo(F) =±Fd 符号规定：从轴的正向看,使物体绕轴逆时针方向 转为正，反之为负。 （2）F 作用平面与轴垂直并与轴正交 mz(F) = 0 （3）F 作用面与轴共面（F 与 z 轴平行） mz(F)=0
力在空间
§1 力在空间直角坐标轴上的投影 研究空间力系应先掌握力在空间直角坐标轴上投影的计算，一般有直 接投影和二次投影两种方法。 一、直接投影法 已知一力 F 在空间直角坐标轴 x，y，z 的正向之间的夹角分别为α, β,γ则 F 在 x,y,z 轴上的投影记作:Fx,Fy,Fz.故有 Fx =±F cosα Fy =±Fcosβ Fz =±Fcosγ 上式中的 cosα,cosβ,cosγ为力 F 对 x,y,z 轴的方向余弦，故力在轴上 直接投影法公式
课时授课计划
年 月 日 节 年 月 日 节
年 月 日 节
力在空间直角坐标轴上的投影；力对轴之矩；空间力系的平衡问题 能计算力在空间直角坐标系中坐标轴上的投影和力对坐标轴的矩；能用 空间力系的平移方程求简单的空间力系的问题 空间力系力的投影和力对轴之矩 4-1 4-3 教 学 内 容 与 方 法 步 骤 第四章 空间力系
c、 空间力系的合力矩定理： 空间力系的合力对某轴之矩等于各分力对 此轴之矩的代数和。
§3 空间力系的平衡 一、空间力系的简化 将空间一般力系向一点简化，简化后一般得到一力和一力偶。这个力 作用与简化中心，其力系的大小和方向等于力系诸力的矢量和。称为原力 学的主矢。这个力偶的力偶矩等于力系诸力对简化中心之矩的矢量和，称 为原力系对简化中心的主矩。即 R=∑F ∑ mo=∑mo (F) 二、空间一般力系的必要和充分条件是： R=0 或∑F=0 ∑FX =0 ∑FY =0 ∑FZ =0 四、特殊力系的平衡方程： 空间汇交力系： ∑FX =0 ∑FY =0 ∑FZ =0 mO =0 ∑mo (F)=0 ∑mX (F) =0 ∑mY (F) =0 ∑mZ (F) =0
空间力系 的平衡条 件从简化 结果推出
三、空间一般力系平衡的方程（基本形式） ：
空间力偶系： ∑mX (F) =0 ∑mY (F) =0 ∑mZ (F) =0 空间平行力系： ∑FZ =0 ∑mX (F) =0 ∑mY (F) =0
教 学 内 容 第四章 空间力系
教学方法 与手段
空间力系的定义：作 用在物体上 各力的作用线不在同 一个平面内 的力系。 汇交力系：各力的作用线交于一点。 空间力系的分类： 平行力系：各力的作用线互相平行。 一般力系：各力的作用线在空间任意分布。 空间力系和平面力系的相同点与不同点 相同点： 1、空间力系的简化------空间力系的简化依然以力向一点平移为基础。 选择研究对象。 2、受力分析方法相同 跟据约束性质分析约束力。 正确画出隔离体的受力图。 3、根据平衡条件建立平衡方程并求解未知力。 不同点： 1、平面力系中力是在平面直角坐标上的投映,而在空间力系中力是在三 维坐标系上的投影。 2、平面力系中力的转动效应用力对点之矩度量,空间力系中力对刚体的 转动效应则用力对轴之矩度量。 力矩 mｏ(F)=±Fd 3、平面力系 力偶矩 m=±Fd 力矩：力矩的大小,作用面方位,力矩在作用面的转向。 空间力系 力偶矩：力偶的作用面的方位不同时,所产生的效应也 不同。